--- title: "Intégration" book: "Mathématiques du lycée" subject: math language: fr chapter: 25 exercises: 9 source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/25-integration --- # Chapitre 25 — Intégration L’intégration répond à deux questions à la fois : quelle est l’aire sous une courbe, et comment récupérer une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) à partir de son taux de variation ? Le théorème fondamental du calcul énonce que ce sont la même question — la découverte la plus profonde et la plus utile des mathématiques du XVIIe siècle. ## 25.1 L’intégrale d’une fonction continue **Définition 25.1 (Intégrale d’une fonction positive).** Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity) et positive sur $\intcc{a}{b}$. L’*intégrale* $$ \int_a^b f(x)\,\dd x $$ est l’aire, en unités d’aire, de la région bornée par la courbe de $f$, l’axe des $x$, et les droites verticales $x = a$ et $x = b$. ![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-be957e4dcae1.svg) Pour une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de signe quelconque, les aires sous l’axe des $x$ sont comptées négativement ; et on pose $\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x$. ![Aires algébriques : ∈t_02π x\, x = 0, la région sous l’axe (rouge) annulant la région au-dessus (bleu).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-49f37058cc51.svg) *Aires algébriques : $\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0$, la région sous l’axe (rouge) annulant la région au-dessus (bleu).* **Proposition 25.2 (Propriétés de l’intégrale).** Soient $f, g$ [continues](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) contenant $a, b, c$, et $\lambda \in \R$. 1. *Linéarité :* $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$ . 2. *Relation de Chasles :* $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ . 3. *Positivité :* si $a \leq b$ et $f \geq 0$ sur $\intcc{a}{b}$ , alors $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; si $f \leq g$ , alors $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ . **Démonstration.** Chasles et la positivité sont immédiates d’après l’interprétation en aires (les aires s’ajoutent lorsque les régions sont juxtaposées ; une région de hauteur positive a une aire positive). La comparaison suit en appliquant la positivité à $g - f$. La linéarité est intuitive pour la somme de [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) positives (empiler les aires) et se prouve rigoureusement à l’université ; *elle est admise ici*. ∎ ## 25.2 Le théorème fondamental du calcul **Définition 25.3 (Primitive).** Une *primitive* (ou antédérivée) de $f$ sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$ est une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [dérivable](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) $F$ sur $I$ telle que $F' = f$. **Proposition 25.4.** Si $F$ est une [primitive](#def-g12-integ-primitive) de $f$ sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$, les [primitives](#def-g12-integ-primitive) de $f$ sur $I$ sont exactement les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $F + c$, $c \in \R$. Étant donnés $x_0 \in I$ et $y_0 \in \R$, il existe une unique [primitive](#def-g12-integ-primitive) avec $F(x_0) = y_0$. **Démonstration.** Si $G' = F' = f$, alors $(G - F)' = 0$ sur l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$, donc $G - F$ est constante.[1](#fn-1) Réciproquement toute $F + c$ est une [primitive](#def-g12-integ-primitive). La condition $F(x_0) = y_0$ fixe la constante. ∎ **Théorème 25.5 (Théorème fondamental du calcul).** Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$ et $a \in I$. La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $$ F \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t $$ est la [primitive](#def-g12-integ-primitive) de $f$ sur $I$ s’annulant en $a$. Par conséquent, pour toute [primitive](#def-g12-integ-primitive) $G$ de $f$ et $a, b \in I$ : $$ \int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a). $$ ![L’idée de la démonstration : l’incrément F(x+h) - F(x) est l’aire de la bande étroite (orange), encadrée entre les rectangles de hauteurs f(x) et f(x+h) sur une base de longueur h.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-fc94b388b117.svg) *L’idée de la démonstration : l’incrément $F(x+h) - F(x)$ est l’aire de la bande étroite (orange), encadrée entre les rectangles de hauteurs $f(x)$ et $f(x+h)$ sur une base de longueur $h$.* **Démonstration lorsque $f$ est croissante.** Fixer $x \in I$ et $h > 0$ avec $x + h \in I$. Par Chasles, $$ F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t . $$ Comme $f$ est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic), $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$ pour $t \in \intcc{x}{x+h}$, et par comparaison d’[intégrales](#def-g12-integ-area) (l’[intégrale](#def-g12-integ-area) d’une constante $c$ sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de longueur $h$ est $ch$) : $$ h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h), $$ donc $$ f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h). $$ Lorsque $h \to 0^+$, $f(x+h) \to f(x)$ par [continuité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity), et le théorème des gendarmes donne que le taux d’accroissement tend vers $f(x)$ ; le cas $h < 0$ est symétrique. D’où $F' = f$, et $F(a) = 0$. Le cas général (non [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone)) continu est prouvé à l’université. Enfin, si $G$ est une [primitive](#def-g12-integ-primitive) quelconque, $G = F + c$ ([Proposition 25.4](#prop-g12-integ-primunique)), donc $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$. ∎ **Exemple 25.6.** $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : l’aire sous la [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola) est un tiers du carré unité, comme Archimède le savait. Le tableau des [primitives](#def-g12-integ-primitive) se lit sur le tableau des [dérivées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) ($u$ désigne une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [dérivable](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative), $c$ une constante arbitraire) : | $f(x)$ | [primitive](#def-g12-integ-primitive) | $f$ | [primitive](#def-g12-integ-primitive) | | --- | --- | --- | --- | | $x^n \ (n \neq -1)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$ | $u'u^n \ (n \neq -1)$ | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c$ | | $\dfrac1x \ (x > 0)$ | $\ln x + c$ | $\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)$ | $\ln u + c$ | | $\eu^x$ | $\eu^x + c$ | $u'\eu^u$ | $\eu^u + c$ | | $\cos x$ | $\sin x + c$ | $\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)$ | $2\sqrt u + c$ | | $\sin x$ | $-\cos x + c$ | | | **Méthode 25.7 (Reconnaître la forme u′×(quelque chose en u)u' \times (\text{quelque chose en } u)u′×(quelque chose en u)).** Pour intégrer un produit, chercher un facteur qui est la [dérivée](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) d’une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) intérieure $u$, à une constante multiplicative près. Par exemple dans $\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$, le facteur $x$ est $\frac12 (x^2)'$ : $$ \int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}. $$ **Théorème 25.8 (Intégration par parties).** Soient $u, v$ [dérivables](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) sur $\intcc{a}{b}$ à [dérivées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) [continues](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity). Alors $$ \int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t . $$ **Démonstration.** La règle du produit donne $(uv)' = u'v + uv'$ ; en intégrant les deux membres sur $\intcc{a}{b}$ et en utilisant le théorème fondamental pour le premier membre, on obtient $\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$. ∎ **Exemple 25.9.** $\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t$ : prendre $u' = \eu^t$, $v = t$, donc $u = \eu^t$, $v' = 1$ : $$ \int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 . $$ ## 25.3 Applications **Définition 25.10 (Valeur moyenne).** La *valeur moyenne* d’une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [continue](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity) $f$ sur $\intcc{a}{b}$ ($a 0$. ∎ **Méthode 25.12 (Aire entre deux courbes).** Si $f \geq g$ sur $\intcc{a}{b}$, l’aire entre les deux courbes est $\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x$. Si les courbes se croisent, découper l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) aux points de croisement et intégrer $\abs{f - g}$ morceau par morceau. ![L’aire entre la droite y = x + 1 (rouge) et la parabole y = x2 - 1 (bleu) est ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-d9b9464c2389.svg) *L’aire entre la droite $y = x + 1$ (rouge) et la [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola) $y = x^2 - 1$ (bleu) est $\int_{-1}^{2} \bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92$.* ## 25.4 Exercices **Exercice 25.1 ★.** Calculer $$ \int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} . $$ **Solution de Exercice 25.1.** $$ \int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}. $$ $$ \int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 . $$ Avec $u = 2t+1$, $\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u}$ : $$ \int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}. $$ **Exercice 25.2 ★.** Trouver la [primitive](#def-g12-integ-primitive) $F$ de $f(x) = x\eu^{x^2}$ sur $\R$ telle que $F(0) = 1$. **Solution de Exercice 25.2.** $x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2}$ a pour [primitives](#def-g12-integ-primitive) $\frac12\eu^{x^2} + c$. La condition $F(0) = 1$ donne $\frac12 + c = 1$, donc $$ F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}. $$ **Exercice 25.3 ★.** Calculer la [valeur moyenne](#def-g12-integ-mean) de $f(t) = \sin t$ sur $\intcc{0}{\pi}$, et interpréter le résultat sur un [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph). **Solution de Exercice 25.3.** $$ \mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 . $$ Graphiquement, le rectangle de base $\intcc{0}{\pi}$ et de hauteur $\frac{2}{\pi}$ a la même aire que l’arche de la courbe du [sinus](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/24-fonctions-trigonometriques#def-g12-trigo-cossin). **Exercice 25.4 ★★.** En utilisant l’[intégration par parties](#thm-g12-integ-ibp), calculer $$ \int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{et}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t . $$ **Solution de Exercice 25.4.** Prendre $u' = 1$, $v = \ln t$, donc $u = t$, $v' = \frac1t$ : $$ \int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 . $$ Prendre $u' = \sin t$, $v = t$, donc $u = -\cos t$, $v' = 1$ : $$ \int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi . $$ **Exercice 25.5 ★★.** Calculer l’aire de la région entre la [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ et la droite $y = x + 2$. **Solution de Exercice 25.5.** Les courbes se coupent où $x^2 = x + 2$, *c.-à-d.* $x \in \{-1, 2\}$, et sur $\intcc{-1}{2}$ la droite est au-dessus de la [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola). L’aire est $$ \int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}. $$ **Exercice 25.6 ★★.** Soit $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t}$. 1. Calculer $I$ . 2. Pour $n \in \N$ , soit $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ . Montrer que $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ , et que $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ . 3. En déduire que $1 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2$ . **Solution de Exercice 25.6.** *1.* $I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2$. *2.* $$ I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}. $$ Sur $\intcc{0}{1}$, $0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n$, donc par comparaison $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}$. *3.* À partir de la récurrence, par une récurrence télescopique, $$ I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right), $$ *c.-à-d.* $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n$ (rappel : $I_0 = \ln 2$). Comme $\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0$, la somme harmonique alternée tend vers $\ln 2$. **Exercice 25.7 ★★.** La vitesse d’un train (en m/s) pendant les $100$ premières secondes après le départ est modélisée par $v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr)$. Calculer la distance parcourue pendant ces $100$ secondes, et la vitesse [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) du train sur l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval). **Solution de Exercice 25.7.** Distance : $$ d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}. $$ Numériquement $d \approx 1500 + 203 = 1703$ m. Vitesse [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) : $\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0$ m/s. **Exercice 25.8 ★★★.** Pour $n \geq 1$, soit $S_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n}$. 1. Interpréter $S_n$ comme une aire de rectangles approximant une région sous la courbe de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ sur $\intcc{0}{1}$ . 2. En utilisant la monotonie de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$, montrer que $$S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),$$ et en déduire $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2$. **Solution de Exercice 25.8.** *1.* $S_n$ est l’aire totale de $n$ rectangles de largeur $\frac1n$ et de hauteurs $f\left(\frac kn\right)$, $k = 1, \dots, n$, où $f(t) = \frac{1}{1+t}$ : c’est l’[approximation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-approx) par rectangles « à extrémité droite » de l’aire sous $f$ sur $\intcc{0}{1}$. *2.* $f$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations), donc sur chaque [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn}$, $f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right)$ ; en intégrant et en sommant sur $k$ : $$ S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}. $$ (Le terme intermédiaire de l’affichage de l’exercice, avec $f(0) - f(1) = 1 - \frac12$, est exactement cette borne.) D’où $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0$, donc $S_n \to \ln 2$. **Exercice 25.9 ★★★.** *([Intégrales](#def-g12-integ-area) de Wallis.)* Pour $n \in \N$, soit $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$. 1. Calculer $W_0$ et $W_1$ . 2. En écrivant $\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$ et en intégrant par parties, montrer que $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n$ . 3. En déduire $W_2$ , $W_3$ , $W_4$ et montrer que $(W_n)$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) et positive. **Solution de Exercice 25.9.** *1.* $W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2}$ et $W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1$. *2.* [Intégration par parties](#thm-g12-integ-ibp) avec $u' = \sin t$, $v = \sin^{n+1} t$, donc $u = -\cos t$, $v' = (n+1)\sin^n t \cos t$ : $$ W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t, $$ le crochet s’annulant aux deux extrémités. D’où $W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2})$, *c.-à-d.* $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$. *3.* $W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}$, $W_3 = \frac23 W_1 = \frac23$, $W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}$. Sur $\intoo{0}{\frac\pi2}$, $0 < \sin t < 1$, donc $\sin^{n+1} t \leq \sin^n t$ avec inégalité stricte à l’intérieur ; en intégrant, $0 < W_{n+1} \leq W_n$ (en fait $<$) : $(W_n)$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) et positive. ## 25.5 Problème : Archimède contre la machine **Problème 25.1.** Devoir du week-end — l’aire sous la parabole, calculée de trois façons à vingt-deux siècles d’écart, et l’identité secrète du logarithme comme aire Vers 240 avant notre ère, Archimède calcula l’aire exacte d’un segment de [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola) — sans [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system), sans limites, sans algèbre. Dix-neuf siècles plus tard, les rectangles de Riemann refirent le calcul par encadrement brutal ; et le théorème fondamental de l’analyse ([Théorème 25.5](#thm-g12-integ-ftc)) le fait désormais en une ligne. Ce problème dispute les trois matchs, puis emploie la même machine pour révéler ce qu’est vraiment le [logarithme](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#def-g12-exp-ln) : une aire munie d’une symétrie d’échelle. **Partie I — Aisance.** 1. Calculer $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\,\dd x$ , $\displaystyle\int_1^{\eu} \frac{\dd x}{x}$ , et $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\dd x$ . 2. Reconnaître les formes $u'u$ ( [Méthode 25.7](#met-g12-integ-uprime) ) : $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ et $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,\dd x$ . 3. Par parties ( [Théorème 25.8](#thm-g12-integ-ibp) ) : $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^x \dd x$ et $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln x\,\dd x$ . 4. Calculer la [valeur moyenne](#def-g12-integ-mean) ( [Définition 25.10](#def-g12-integ-mean) ) de $\sin$ sur $\intcc{0}{\pi}$ — et remarquer qu’elle ne vaut *pas* $\frac12$ . 5. Calculer l’aire comprise entre la droite $y = x$ et la [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ sur $\intcc{0}{1}$ ( [Méthode 25.12](#met-g12-integ-areabetween) ). **Partie II — La [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola), de trois façons.** 6. Le dispositif de Riemann pour l’aire sous $y = x^2$ sur $\intcc{0}{1}$ : écrire la somme inférieure $L_n$ et la somme supérieure $U_n$ sur $n$ rectangles égaux (comme à l’ [Exercice 25.8](#exo-g12-integ-8) ). 7. Démontrer par récurrence (la machine du [Problème 20.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#pb-g12-seq-1)) la formule de la somme des carrés : $$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .$$ 8. En déduire des expressions closes de $U_n$ et $L_n$ , calculer leur limite commune, et conclure : l’aire vaut $\frac13$ . 9. Passons à la machine : calculer $\int_0^1 x^2\,\dd x$ par le théorème fondamental, en une ligne. Comparer les efforts. 10. Archimède l’énonçait autrement : *un segment de [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola) vaut $\frac43$ du triangle qui y est inscrit* . Pour le segment découpé dans $y = x^2$ par la corde joignant $(-1, 1)$ à $(1, 1)$ : calculer l’aire du segment par une [intégrale](#def-g12-integ-area) , l’aire du triangle inscrit (de sommet le point $(0, 0)$ ), et vérifier le rapport du maître. 11. La méthode d’Archimède lui-même : remplir le segment par le grand triangle $T$ , puis par deux triangles totalisant $\frac T4$ , puis par quatre totalisant $\frac{T}{16}$ , et ainsi de [suite](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) . Sommer la série géométrique et retrouver $\frac43 T$ — la tablette de chocolat indéfiniment croquée du volume précédent, mangée par un géomètre grec. 12. Une phrase pour chacune : l’exhaustion (Archimède), l’encadrement (Riemann), la primitivation (Newton–Leibniz) — de quoi chacune a-t-elle besoin, et que donne chacune ? **Partie III — Le [logarithme](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#def-g12-exp-ln) est une aire.** Pour $x > 0$, on pose $A(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{\dd t}{t}$. 13. Donner $A(1)$ et $A'(x)$ ( [Théorème 25.5](#thm-g12-integ-ftc) ), et conclure que $A$ est exactement le [logarithme népérien](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#def-g12-exp-ln) de la [Définition 23.5](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#def-g12-exp-ln) . 14. Le miracle de l’échelle : fixons $a > 0$ et étudions $g(x) = A(ax) - A(x)$. Calculer $g'$ (dérivation des composées), en déduire que $g$ est constante, évaluer la constante — et conclure l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) fonctionnelle $$\ln(ab) = \ln a + \ln b ,$$ démontrée par pure analyse : l’aire de $1$ à $ab$ se scinde en copies dilatées. 15. Déduire de la question 14 que $\ln(a^n) = n\ln a$ et $\ln\frac1a = -\ln a$ . 16. L’ [Exercice 25.8](#exo-g12-integ-8) lit $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ comme des rectangles sous $\frac{1}{1 + t}$ : calculer cette somme pour $n = 10$ (trois décimales) et la comparer à $\ln 2$ . Quelles sommes de saveur harmonique, divergentes terme à terme, convergent ici vers une aire ? **Partie IV — Accumulation.** 17. Une voiture accélère avec la vitesse $v(t) = 3t^2$ m/s pour $t \in \intcc{0}{10}$ . Calculer la distance parcourue, la vitesse [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) , et l’instant où la vitesse instantanée égale la vitesse [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) . 18. Une tige de $4$ mètres a pour masse linéique $\rho(x) = 2 + x$ kg/m. Calculer sa masse totale et son centre de masse $\dfrac{\int_0^4 x\,\rho(x)\,\dd x}{\int_0^4 \rho(x)\,\dd x}$ — le point d’équilibre du triangle de carton du volume précédent, enfin calculé avec des poids qui varient. 19. Les [intégrales](#def-g12-integ-area) de Wallis ( [Exercice 25.9](#exo-g12-integ-9) ) : calculer $W_0$ , $W_1$ , puis $W_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^2 t\,\dd t$ à l’aide de la linéarisation du [Problème 24.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/24-fonctions-trigonometriques#pb-g12-trigo-1) . (Leur échelle infinie mène, dans les volumes universitaires, à une formule de produit pour $\pi$ et à la normalisation de la courbe en cloche.) 20. Pour finir — les trois visages de l’intégration : une *aire* par définition, une *accumulation* dans le monde (distance, masse), une *[primitive](#def-g12-integ-primitive)* par le théorème fondamental ; et son histoire en trois noms. Terminer par la perle du chapitre : quelle touche quotidienne de la calculatrice est secrètement l’aire sous $\frac1t$ — et quelle identité cette aire a-t-elle démontrée ? **Solution de Problème 25.1.** **1.** $\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1$ ; $\left[\ln x\right]_1^{\eu} = 1$ ; $\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1$. **2.** $\left[\frac12 \eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}$ ; $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2$. **3.** $\int_0^1 x\eu^x = \left[x\eu^x\right]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$. Et $\int_1^{\eu} \ln x = \left[x\ln x\right]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1 = \eu - (\eu - 1) = 1$. **4.** $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,\dd x = \frac{2}{\pi} \approx 0.64$ : la hauteur [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) de l’arche de [sinus](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/24-fonctions-trigonometriques#def-g12-trigo-cossin) vaut $\frac2\pi$, sensiblement plus que la moitié — l’arche est large près de son sommet. **5.** $\int_0^1 (x - x^2)\,\dd x = \frac12 - \frac13 = \frac16$. **6.** $L_n = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac kn\right)^2$ et $U_n = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^2$ : des rectangles de largeur $\frac1n$ dont la hauteur est lue à l’extrémité gauche (sous la courbe) ou droite (au-dessus). **7.** Vrai pour $n = 1$ ($1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}$). Si la formule vaut pour $n$, alors en ajoutant $(n+1)^2$ : $$ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\left(2n^2 + n + 6n + 6\right)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}, $$ c’est-à-dire la formule au rang $n + 1$ : hérédité, c’est fait. **8.** $U_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(1 + \frac1n)(2 + \frac1n)}{6} \to \frac26 = \frac13$, et $L_n = U_n - \frac1n \to \frac13$ : encadrée par ses escaliers, l’aire vaut exactement $\frac13$. **9.** $\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : une ligne. Le théorème fondamental convertit un encadrement infini en une seule évaluation de [primitive](#def-g12-integ-primitive) — et c’est pourquoi on le dit fondamental. **10.** Segment : $\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,\dd x = 2 - \frac23 = \frac43$. Triangle de base la corde (de longueur $2$, à la hauteur $1$) et de sommet $(0,0)$ : aire $\frac12 \times 2 \times 1 = 1$. Rapport : $\frac43$ — exactement le théorème d’Archimède, vérifié par la machine qui lui manquait. **11.** $T\left(1 + \frac14 + \frac{1}{16} + \dots\right) = T \cdot \frac{1}{1 - \frac14} = \frac43 T$ (série géométrique de raison $\frac14$) : avec $T = 1$, on retrouve l’aire $\frac43$ du segment. Archimède sommait la série par un argument purement géométrique — les bouchées d’un quart, à la manière de la tablette de chocolat, deux millénaires avant que le mot « limite » n’existe. **12.** L’exhaustion réclame une astucieuse autosimilitude géométrique et donne des aires exactes au cas par cas ; Riemann ne réclame que la monotonie et donne une définition universelle, au prix du calcul de sommes ; le théorème fondamental réclame tout l’édifice des [dérivées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) et le rembourse en faisant des aires des calculs d’une ligne. **13.** $A(1) = 0$ et $A'(x) = \frac1x$ (théorème fondamental) : $A$ est la [primitive](#def-g12-integ-primitive) de $\frac1x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ qui s’annule en $1$ — c’est-à-dire précisément le [logarithme népérien](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#def-g12-exp-ln). **14.** $g'(x) = \frac{a}{ax} - \frac1x = 0$ : $g$ est constante ; en $x = 1$, $g(1) = A(a) - A(1) = A(a)$. Donc $A(ax) = A(a) + A(x)$ pour tout $x$, et avec $x = b$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. L’aire sous l’[hyperbole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-reference) se moque de l’échelle horizontale : dilater $t$ d’un facteur $a$ écrase $\frac1t$ du même facteur, et l’aire survit — l’addition des [logarithmes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#def-g12-exp-ln) est une symétrie d’échelle. **15.** Par itération : $\ln(a^n) = n\ln a$ (récurrence sur $n$). Et $0 = \ln 1 = \ln\left(a \cdot \frac1a\right) = \ln a + \ln\frac1a$, donc $\ln\frac1a = -\ln a$. **16.** $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} \approx 0.669$, contre $\ln 2 \approx 0.693$ : dix rectangles sous $\frac{1}{1+t}$, et déjà proches. La série harmonique diverge, mais ses *tranches* de $n$ à $2n$ se stabilisent sur $\ln 2$ : une divergence au pas de tortue, mesurée par une aire. **17.** Distance : $\int_0^{10} 3t^2\,\dd t = 1000$ m. Vitesse [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) : $100$ m/s. Instant où $v = 100$ : $3t^2 = 100$, donc $t = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77$ s. **18.** Masse : $\int_0^4 (2 + x)\,\dd x = 8 + 8 = 16$ kg. Moment : $\int_0^4 (2x + x^2)\,\dd x = 16 + \frac{64}{3} = \frac{112}{3}$. Centre de masse : $\frac{112/3}{16} = \frac73 \approx 2.33$ m — repoussé au-delà du [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) par l’extrémité droite plus lourde, comme l’intuition l’exige. **19.** $W_0 = \frac\pi2$ ; $W_1 = \left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = 1$ ; et $W_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2}\,\dd t = \frac\pi4$. **20.** Aire : la définition, encadrée par des escaliers. Accumulation : des distances à partir de vitesses, des masses à partir de densités — l’[intégrale](#def-g12-integ-area) comme total courant. [Primitive](#def-g12-integ-primitive) : le théorème fondamental, le raccourci de Newton et de Leibniz à travers la patience d’Archimède. La perle : la touche $\ln$ est l’aire sous $\frac1t$, et la symétrie d’échelle de cette aire *est* l’identité $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. 1. Qu’une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de [dérivée](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) nulle sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) soit constante suit du [Théorème 22.7](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#thm-g12-deriv-variations) : elle est à la fois [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic) et [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) . [↩](#fnref-1)