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title: "Équations différentielles"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 26
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/26-equations-differentielles
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# Chapitre 26 — Équations différentielles

Une [équation différentielle](#def-g12-diffeq-ode) relie une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) à ses [dérivées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative). La physique, la chimie, la biologie et l’économie expriment leurs [lois](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-rv) sous cette forme : la vitesse de refroidissement d’un corps, la désintégration d’un noyau radioactif, la croissance d’une population sont toutes des énoncés sur $y'$. Ce chapitre résout complètement les [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) linéaires du premier ordre à coefficients constants.

## 26.1 L’équation $y' = ay$

**Définition 26.1 (Équation différentielle).**

Une *équation différentielle* est une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) dont l’inconnue est une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $y$, et qui fait intervenir $y$ et ses [dérivées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative). Une *solution* sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$ est une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [dérivable](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) vérifiant l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) en tout point de $I$.

**Théorème 26.2 (Solutions de y′=ayy' = ayy′=ay).**

Soit $a \in \R$. Les solutions sur $\R$ de l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $y' = ay$ sont exactement les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function)

$$
y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .
$$

Pour tout couple $(x_0, y_0)$ il existe une unique solution avec $y(x_0) = y_0$.

**Démonstration.** Chaque $y = C\eu^{ax}$ vérifie $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$. Réciproquement, soit $y$ une solution quelconque et posons $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$. Alors

$$
z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax}
= \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,
$$

donc $z$ est constante, disons $C$, et $y(x) = C\eu^{ax}$. La condition initiale $y(x_0) = y_0$ impose $C = y_0 \eu^{-a x_0}$, de façon unique. ∎

**Remarque 26.3.**

L’exponentielle est ainsi *caractérisée* par la plus simple de toutes les [équations différentielles](#def-g12-diffeq-ode) : une croissance proportionnelle à la taille. C’est pourquoi elle apparaît partout dans la nature.

![L’équation y' = y prescrit une pente en chaque point du plan (segments gris). Les solutions C x — ici C = 1 (bleu), C = 0.3 (rouge), C = -0.5 (orange) — sont exactement les courbes qui suivent ce champ de pentes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-4ca95fee37c9.svg)

*L’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $y' = y$ prescrit une pente en chaque point du plan (segments gris). Les solutions $C\eu^{x}$ — ici $C = 1$ (bleu), $C = 0.3$ (rouge), $C = -0.5$ (orange) — sont exactement les courbes qui suivent ce champ de pentes.*

**Exemple 26.4 (Désintégration radioactive).**

Une quantité radioactive vérifie $N' = -\lambda N$ avec $\lambda > 0$, donc $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ ; voir [Exemple 23.9](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#ex-g12-exp-halflife) pour la demi-vie.

## 26.2 L’équation $y' = ay + b$

**Théorème 26.5 (Solutions de y′=ay+by' = ay + by′=ay+b).**

Soient $a \neq 0$ et $b \in \R$. Les solutions sur $\R$ de $y' = ay + b$ sont exactement les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function)

$$
y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .
$$

La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) constante $y_p = -\frac ba$ est la *solution d’équilibre*. Pour tout $(x_0, y_0)$ il existe une unique solution avec $y(x_0) = y_0$ ; si $a < 0$, toute solution tend vers l’équilibre $-\frac ba$ lorsque $x \to +\infty$.

**Démonstration.** La constante $y_p = -\frac{b}{a}$ vérifie $y_p' = 0 = a y_p + b$. Or $y$ est solution si et seulement si

$$
(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0}
= a (y - y_p),
$$

c’est-à-dire si et seulement si $z = y - y_p$ résout $z' = az$. Par le [Théorème 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous), $z = C\eu^{ax}$, d’où la formule, l’existence et l’unicité. Si $a < 0$, $\eu^{ax} \to 0$ lorsque $x \to +\infty$, donc $y(x) \to -\frac ba$. ∎

**Méthode 26.6 (Résoudre y′=ay+by' = ay + by′=ay+b avec condition initiale).**

1. Trouver la solution d’équilibre $y_p = -\frac{b}{a}$ (résoudre $y' = 0$ ).
2. Écrire la solution générale $y = C\eu^{ax} + y_p$ .
3. Déterminer $C$ grâce à la condition initiale.
4. Vérifier le comportement à long terme face à l’intuition physique (la solution converge-t-elle vers l’équilibre ?).

La même stratégie — *solution particulière + solution générale de l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) homogène* — s’étend à $y' = ay + f(x)$ : voir la [Proposition 26.8](#prop-g12-diffeq-general).

**Exemple 26.7 (Loi de refroidissement de Newton).**

Une tasse de café à $80\,^\circ$C se trouve dans une pièce à $20\,^\circ$C. La [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-rv) de Newton affirme que la température $T$ vérifie $T' = -k(T - 20)$ pour un certain $k > 0$, *c.-à-d.* $T' = -kT + 20k$. L’équilibre est $20$, et $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$ : le café refroidit exponentiellement vers la température ambiante.

![Quelle que soit leur température initiale, toutes les solutions de T' = -k(T - 20) convergent exponentiellement vers l’équilibre T = 20.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-86158fae572d.svg)

*Quelle que soit leur température initiale, toutes les solutions de $T' = -k(T - 20)$ convergent exponentiellement vers l’équilibre $T = 20$.*

## 26.3 L’équation $y' = ay + f(x)$

**Proposition 26.8 (Structure de l’ensemble des solutions).**

Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$ et soit $y_p$ une solution particulière de

$$
y' = ay + f(x)
$$

sur $I$. Alors les solutions sur $I$ sont exactement les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $y = C\eu^{ax} + y_p$, $C \in \R$.

**Démonstration.** Comme dans le [Théorème 26.5](#thm-g12-diffeq-affine) : $y$ est solution si et seulement si $z = y - y_p$ vérifie $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$, si et seulement si $z = C\eu^{ax}$. ∎

**Méthode 26.9 (Deviner une solution particulière).**

Chercher une solution particulière *de même forme* que $f$ :

- $f$ polynôme de degré $n$ : essayer un polynôme de degré $n$ ;
- $f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ avec $k \neq a$ : essayer $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ ;
- $f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (cas résonant) : essayer $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ .

Substituer dans l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) et identifier les coefficients.

**Exemple 26.10.**

Résoudre $y' = 2y + 4x$. Essayer $y_p = \alpha x + \beta$ : $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ pour tout $x$ impose $2\alpha + 4 = 0$ et $\alpha = 2\beta$, donc $\alpha = -2$, $\beta = -1$. Solution générale : $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$.

## 26.4 Exercices

**Exercice 26.1 ★.**

Résoudre sur $\R$ : (a) $y' = 3y$ avec $y(0) = 2$ ; (b) $2y' + y = 0$ avec $y(0) = -1$ ; (c) $y' = -y + 5$ avec $y(0) = 0$.

**Solution de Exercice 26.1.**

*(a)* $y = C\eu^{3x}$ ; $y(0) = 2$ donne $y = 2\eu^{3x}$.

*(b)* $y' = -\frac12 y$, donc $y = C\eu^{-x/2}$ ; $y(0) = -1$ donne $y = -\eu^{-x/2}$.

*(c)* Équilibre $y_p = 5$ ; $y = C\eu^{-x} + 5$ ; $y(0) = 0$ donne $C = -5$ : $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$.

**Exercice 26.2 ★.**

Une population bactérienne croît à un taux proportionnel à sa taille, en doublant toutes les $3$ heures. Écrire l’[équation différentielle](#def-g12-diffeq-ode) satisfaite par la population $N(t)$ et déterminer la constante de proportionnalité.

**Solution de Exercice 26.2.**

$N' = kN$, donc $N(t) = N_0 \eu^{kt}$. Doubler en $3$ heures signifie $\eu^{3k} = 2$, *c.-à-d.*

$$
k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{h}^{-1}.
$$

**Exercice 26.3 ★.**

Vérifier que $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ est solution de $y' = y + \eu^x$, et donner toutes les solutions sur $\R$.

**Solution de Exercice 26.3.**

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$ : $y_p$ est une solution particulière (c’est le cas résonant de la [Méthode 26.9](#met-g12-diffeq-particular)). Par la [Proposition 26.8](#prop-g12-diffeq-general), les solutions sont $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$, $C \in \R$.

**Exercice 26.4 ★★.**

Résoudre $y' = -2y + \eu^{x}$ avec $y(0) = 1$. (Indication : chercher une solution particulière de la forme $\beta\,\eu^{x}$.)

**Solution de Exercice 26.4.**

Essayer $y_p = \beta\eu^x$ : $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ donne $3\beta = 1$, donc $y_p = \frac13\eu^x$. Solution générale $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$ ; la condition $y(0) = 1$ donne $C = \frac23$ :

$$
y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.
$$

**Exercice 26.5 ★★.**

Le carbone 14 se désintègre avec une demi-vie de $5730$ ans. Un [échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) archéologique contient $60\%$ du carbone 14 d’un organisme vivant. Estimer son âge.

**Solution de Exercice 26.5.**

$N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ avec $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ ([Exemple 23.9](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#ex-g12-exp-halflife)). On résout $\eu^{-\lambda t} = 0.6$ :

$$
t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2}
\approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ ans}.
$$

**Exercice 26.6 ★★.**

Un réservoir contient $100$ L d’eau pure. De la saumure contenant $0.2$ kg de sel par litre entre à $5$ L/min, le mélange (maintenu homogène) sort au même débit. Soit $m(t)$ la masse de sel dans le réservoir à l’instant $t$ (en minutes).

1. Justifier que $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ .
2. Résoudre, et déterminer la limite de $m(t)$ lorsque $t \to +\infty$ . Interpréter.

**Solution de Exercice 26.6.**

*1.* Le sel entre à $0.2 \times 5 = 1$ kg/min. Le flux sortant emporte la concentration $\frac{m}{100}$ kg/L à $5$ L/min, *c.-à-d.* $\frac{m}{20}$ kg/min. D’où $m' = 1 - \frac{m}{20}$.

*2.* Équilibre $m_p = 20$ ; $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$, et $m(0) = 0$ donne $C = -20$ :

$$
m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.
$$

À long terme la concentration du réservoir égale celle de la saumure entrante : $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg.

**Exercice 26.7 ★★.**

Un parachutiste de masse $80$ kg tombe sous l’effet de la gravité ($g = 9.8\ \text{m/s}^2$) et d’une résistance de l’air proportionnelle à la vitesse, de sorte que sa vitesse vérifie $v' = g - \frac{k}{m}v$ avec $k = 16$ kg/s.

1. Résoudre l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) avec $v(0) = 0$ .
2. Calculer la *vitesse limite* $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ , et le temps nécessaire pour atteindre $95\%$ de celle-ci.

**Solution de Exercice 26.7.**

*1.* $v' = g - \frac{k}{m} v$ avec $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$. Équilibre $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s ; $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$, et $v(0) = 0$ donne

$$
v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).
$$

*2.* Vitesse limite $49$ m/s ($\approx 176$ km/h). On veut $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$, *c.-à-d.* $\eu^{-0.2t} = 0.05$ :

$$
t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.
$$

**Exercice 26.8 ★★★.**

*([Équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) logistique.)* Une population $y(t) \in \intoo{0}{1}$ (comme fraction de la population maximale) vérifie

$$
y' = y(1 - y).
$$

1. Soit $z = \dfrac{1}{y}$ . Montrer que $z$ satisfait l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) linéaire $z' = -z + 1$ .
2. Résoudre pour $z$ , puis pour $y$ , avec $y(0) = \frac{1}{10}$ .
3. Montrer que $y(t) \to 1$ lorsque $t \to +\infty$ et esquisser l’allure de la courbe solution.

**Solution de Exercice 26.8.**

*1.* $z = \frac1y$ donne $z' = -\frac{y'}{y^2}
= -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1$.

*2.* Équilibre $z_p = 1$, donc $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$. De $y(0) = \frac{1}{10}$, $z(0) = 10$, donc $C = 9$ et

$$
y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .
$$

*3.* Lorsque $t \to +\infty$, $9\eu^{-t} \to 0$ et $y(t) \to 1$. La courbe est la classique courbe logistique en S (*sigmoïde*) : croissance lente au début ($y$ petit, $y' \approx y$), croissance la plus rapide lorsque $y = \frac12$ (où $y' = y(1-y)$ est maximale), puis saturation vers la capacité $1$.

**Exercice 26.9 ★★★.**

Soit $y$ une solution de $y' = ay + b$ et soit $u_n = y(n)$ pour $n \in \N$. Montrer que $(u_n)$ satisfait une récurrence arithmético-géométrique $u_{n+1} = q u_n + r$, et exprimer $q$ et $r$ en [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de $a$ et $b$. À quoi correspond la condition $\abs{q} < 1$ pour l’[équation différentielle](#def-g12-diffeq-ode) ?

**Solution de Exercice 26.9.**

Par le [Théorème 26.5](#thm-g12-diffeq-affine), $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$. D’où

$$
u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba
= \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right)
= q\,u_n + r
$$

avec $q = \eu^{a}$ et $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$. La condition $\abs q < 1$ signifie $\eu^a < 1$, *c.-à-d.* $a < 0$ : exactement la condition sous laquelle les solutions de l’[équation différentielle](#def-g12-diffeq-ode) convergent vers l’équilibre $-\frac ba$ — et en effet le [point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) de la récurrence est $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$.

## 26.5 Problème : l’horloge à l’intérieur des choses

**Problème 26.1.**

Devoir du week-end — le carbone 14 date les grottes, la loi de refroidissement de Newton chronomètre un crime, et une seule petite équation porte quatre costumes

Une [équation différentielle](#def-g12-diffeq-ode) est une [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-rv) d’évolution ; la résoudre transforme la [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-rv) en *horloge*. La même minuscule [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $y' = ay + b$ ([Théorème 26.5](#thm-g12-diffeq-affine)) bat à l’intérieur des charbons préhistoriques, du café qui refroidit, des gouttes de pluie qui tombent et des perfusions hospitalières — et lire ces horloges est l’affaire de ce problème : il date les peintures de Lascaux, fixe une heure de décès, et vérifie ses propres hypothèses comme le ferait un bon scientifique.

**Partie I — Aisance.**

1. Résoudre $y' = 3y$ avec $y(0) = 2$ ; puis $y' = -2y + 6$ avec $y(0) = 0$ ( [Méthode 26.6](#met-g12-diffeq-solve) ).
2. Retrouver l’astuce d’unicité qui fonde le [Théorème 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous) : si $y' = ay$ , calculer la [dérivée](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) de $y(t)\,\eu^{-at}$ et en conclure que *toute* solution est de la forme $C\eu^{at}$ .
3. Pour $y' = -2y + 6$ : trouver la solution d’équilibre, et décrire le sort de toutes les autres solutions quand $t \to +\infty$ . (Les [points fixes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) des récurrences du [Problème 13.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/13-suites-un-premier-cours#pb-g11-seq-1) , passés au continu.)
4. Pour la [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-rv) de décroissance $y' = -\frac{y}{\tau}$ : montrer que la demi-vie vaut $t_{1/2} = \tau \ln 2$ .
5. Représenter (ou décrire) la famille des solutions de $y' = -2y + 6$ : que font les solutions qui partent au-dessus de $3$ ? Au-dessous de $3$ ? En $3$ ?

**Partie II — Le carbone 14.** Un tissu vivant maintient une proportion constante de carbone 14 radioactif ; à la mort, l’apport cesse et le stock décroît : $N' = -\lambda N$, avec une demi-vie de $5\,730$ ans.

6. Calculer $\lambda$ (par an).
7. Un os conserve $20\,\%$ de la proportion du vivant : quel est son âge ?
8. Le charbon des grottes ornées de Lascaux en conserve environ $15\,\%$ : dater les peintures.
9. L’homme des glaces Ötzi, retrouvé dans un glacier alpin, en présentait environ $53\,\%$ : le dater (les archéologues annoncent environ $5\,300$ ans — et vous ?).
10. Pourquoi le carbone 14 ne peut-il pas dater les dinosaures ? Calculer la fraction restante après dix demi-vies, exprimer la fraction restante après $65$ millions d’années sous forme de puissance de $2$ , et conclure.
11. Barres d’erreur : si les $53\,\%$ d’Ötzi ne sont connus qu’à $\pm 1\,\%$ près, calculer la fourchette d’âge. Quelle précision de laboratoire achète quelle précision de datation ?

**Partie III — Le refroidissement de Newton, et un crime.** Un corps à la température $T$ dans un [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de température constante $T_a$ se refroidit selon $T' = -k\,(T - T_a)$.

12. Résoudre l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) (poser $z = T - T_a$) : $$T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .$$
13. Un café servi à $90\,^\circ$ C dans une pièce à $20\,^\circ$ C indique $70\,^\circ$ C au bout de $5$ minutes. Déterminer $k$ , puis le temps d’attente avant les $55\,^\circ$ C buvables.
14. La question du lait : pour boire le café le plus chaud possible dans dix minutes, faut-il verser le lait froid tout de [suite](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) ou au dernier moment ? Répondre à l’aide de l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) (que fait l’ajout de lait à l’écart $T - T_a$ , et comment cet écart pilote-t-il la perte ?).
15. Médecine légale : un corps est découvert à minuit à $30\,^\circ$ C dans une pièce à $20\,^\circ$ C ; une heure plus tard il indique $28\,^\circ$ C. En supposant $37\,^\circ$ C au moment du décès, retrouver $k$ à partir des deux mesures, puis calculer l’heure de la mort.
16. Auditer l’horloge du légiste : nommer trois entorses réelles aux hypothèses du modèle et, pour chacune, le sens dans lequel elle biaiserait l’heure estimée du décès.

**Partie IV — Quatre costumes et une courbe en S.**

17. L’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) logistique de l’ [Exercice 26.8](#exo-g12-diffeq-8) , $y' = y(1 - y)$ avec $y(0) = 0.1$ : à l’aide du changement de [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de l’exercice, établir $y(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ , et déterminer l’instant du [point d’inflexion](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-inflection) $y = \frac12$ — la date de l’épidémiologiste du [Problème 22.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#pb-g12-deriv-1) , désormais calculable.
18. Une goutte de pluie obéit à $v' = 10 - \frac v2$ (la pesanteur moins le frottement), avec $v(0) = 0$ . Déterminer la vitesse limite, résoudre pour $v(t)$ , et calculer l’instant où la goutte atteint $95\,\%$ de sa vitesse limite.
19. Une perfusion délivre un médicament à débit constant tandis que l’organisme l’élimine proportionnellement : $c' = 4 - 0.5c$ , avec $c(0) = 0$ . Déterminer la concentration d’équilibre et le temps nécessaire pour en atteindre la moitié. Énoncer en une phrase le parallèle avec les récurrences d’emprunt de l’ [Exercice 26.9](#exo-g12-diffeq-9) .
20. Pour finir — une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) , quatre costumes : désintégration, refroidissement, chute, perfusion, toutes de la forme $y' = ay + b$ avec des signes et des noms différents. Réciter la boucle de modélisation que ce problème a parcourue quatre fois ( [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-rv) $\to$ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $\to$ solution $\to$ calibrage $\to$ prévision $\to$ audit), et nommer le phénomène qui réclame $y''$ — ainsi que le problème qui l’a déjà rencontré.

**Solution de Problème 26.1.**

**1.** $y = 2\eu^{3t}$. Pour la seconde : équilibre $3$, donc $y = 3 + C\eu^{-2t}$ avec $y(0) = 0$, d’où $C = -3$ et $y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right)$.

**2.** $\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} -
ay\eu^{-at} = (y' - ay)\eu^{-at} = 0$ : le produit est une constante $C$, donc $y = C\eu^{at}$ — aucune solution n’échappe.

**3.** Équilibre : $y \equiv 3$. Toute autre solution s’écrit $3 + C\eu^{-2t}$ avec $C \neq 0$ : l’exponentielle meurt et la solution glisse vers $3$ — un [point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) stable, jumeau continu des [points fixes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) de récurrence du [Problème 13.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/13-suites-un-premier-cours#pb-g11-seq-1).

**4.** $y = y_0\eu^{-t/\tau}$ est divisé par deux lorsque $\eu^{-t/\tau} = \frac12$, c’est-à-dire $t = \tau\ln 2$.

**5.** Toutes les solutions sont des translatées verticales de la décroissance vers $3$ : celles qui partent au-dessus retombent vers $3$, celles qui partent au-dessous montent vers $3$, et la solution constante $3$ ne bouge pas — un entonnoir autour de l’équilibre.

**6.** $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times
10^{-4}$ par an.

**7.** $\eu^{-\lambda t} = 0.2$ : $t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx 13\,300$ ans.

**8.** $t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700$ ans : les taureaux de Lascaux datent de la fin de la période glaciaire.

**9.** $t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250$ ans : à une vie d’homme près de la valeur des archéologues — l’horloge fonctionne.

**10.** Dix demi-vies laissent $2^{-10} \approx 0.1\,\%$ : à la limite de la mesure. Après $65$ millions d’années, la fraction vaut $2^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344}$ : il ne reste aucun atome du stock initial dans le moindre fossile — les dinosaures se datent avec des horloges plus lentes (potassium-argon et apparentées).

**11.** $52\,\%$ donne environ $5\,405$ ans, $54\,\%$ environ $5\,095$ : le $\pm 1\,\%$ de la chimie devient à peu près $\pm 155$ ans d’histoire — la précision au laboratoire est la précision du cartel de musée.

**12.** $z = T - T_a$ vérifie $z' = -kz$, donc $z = (T_0 - T_a)\eu^{-kt}$ et $T = T_a + z$.

**13.** L’écart initial vaut $T_0 - T_a = 70$ ; après cinq minutes il vaut $70 - 20 = 50$, donc $50 = 70\eu^{-5k}$ et $k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067$ par minute. Buvable : $55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}$, d’où $t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3$ minutes.

**14.** La vitesse de perte est proportionnelle à l’écart $T - T_a$ : un café brûlant perd sa chaleur le plus vite. Verser le lait *tout de [suite](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence)* réduit immédiatement l’écart, donc moins de chaleur est perdue sur les dix minutes ; le verser à la fin laisse d’abord le café refroidir à pleine vitesse. Pour la tasse la plus chaude : le lait d’abord. (Les hôtes impatients ont la thermodynamique à l’envers.)

**15.** Écarts au [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) ambiant : $10$ à minuit, $8$ une heure plus tard, donc $\eu^{-k} = 0.8$ et $k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223$ par heure. À la mort, l’écart valait $17$ ; il a décru jusqu’à $10$ à minuit : $s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4$ heures. Heure du décès : vers $21{:}40$.

**16.** Une pièce chauffée ou traversée de courants d’air ($T_a$ non constant) fausse l’horloge dans un sens ou dans l’autre ; des vêtements ou une corpulence différente changent $k$ (les tables des légistes le corrigent) — un $k$ erroné dilate tout l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) ; et un corps déplacé depuis un autre lieu remet $T_a$ à zéro en cours de refroidissement, simulant une mort plus précoce ou plus tardive. L’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) est honnête ; ce sont les hypothèses qui portent le risque.

**17.** $z = \frac1y$ obéit à $z' = 1 - z$ : $z = 1 + 9\eu^{-t}$ (à partir de $z(0) = 10$), donc $y = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$. Inflexion en $y = \frac12$ : $9\eu^{-t} = 1$, soit $t = \ln 9 \approx 2.2$ — la date de retournement de l’épidémie, tirée directement de la formule.

**18.** Vitesse limite : $v' = 0$ pour $v = 20$ m/s. Solution : $v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$. Puis $0.95$ : $\eu^{-t/2} = 0.05$, donc $t = 2\ln 20 \approx 6$ s — les gouttes de pluie atteignent leur vitesse de croisière en quelques secondes, et c’est pourquoi la pluie ne tue pas.

**19.** Régime permanent : $c = 8$. La moitié : $4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$, donc $\eu^{-t/2} = \frac12$ et $t = 2\ln 2 \approx 1.4$ heure. La perfusion est le jumeau continu de l’emprunt : entrée constante, sortie proportionnelle — l’[Exercice 26.9](#exo-g12-diffeq-9) rend le dictionnaire exact.

**20.** Désintégration ($a < 0$, $b = 0$), refroidissement ($y = T - T_a$), chute ($a < 0$, $b > 0$ : approche de l’équilibre par en dessous), perfusion (idem, dans une veine) : une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation), quatre mondes. La boucle : énoncer la [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-rv) d’évolution ; écrire l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) ; résoudre ([Méthode 26.6](#met-g12-diffeq-solve)) ; calibrer les constantes sur des mesures ; prévoir ; puis auditer les hypothèses (question 16). L’oscillation, elle, réclame $y'' = -\omega^2 y$ — rencontrée, résolue et mise en branle au [Problème 24.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/24-fonctions-trigonometriques#pb-g12-trigo-1).