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title: "Nombres complexes"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 28
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/28-nombres-complexes
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# Chapitre 28 — Nombres complexes

L’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $x^2 = -1$ n’a pas de solution réelle. En élargissant $\R$ d’un seul nouveau nombre $\iu$ dont le carré vaut $-1$, on obtient le corps $\C$ des [nombres complexes](#def-g12-complex-def), dans lequel *toute* [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) polynomiale a des solutions — et dont l’arithmétique encode la géométrie du plan : translations, rotations et homothéties deviennent additions et multiplications.

## 28.1 Forme algébrique

**Définition 28.1 (Nombres complexes).**

L’ensemble des *nombres complexes* est

$$
\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\},
$$

où $\iu$ est un symbole soumis à la seule règle $\iu^2 = -1$ ; l’addition et la multiplication se font comme pour les polynômes réels en $\iu$, en réduisant $\iu^2$ à $-1$. Les réels $a$ et $b$ sont la *partie réelle* $\Rea(z)$ et la *partie imaginaire* $\Ima(z)$ de $z = a + \iu b$ ; cette expression est la *forme algébrique* de $z$, et elle est unique : $a + \iu b = a' + \iu b'$ si et seulement si $a = a'$ et $b = b'$.

**Exemple 28.2.**

$(2 + 3\iu)(1 - \iu) = 2 - 2\iu + 3\iu - 3\iu^2 = 5 + \iu$.

**Définition 28.3 (Conjugué).**

Le *conjugué* de $z = a + \iu b$ est $\conj{z} = a - \iu b$.

**Proposition 28.4 (Propriétés de la conjugaison).**

Pour tous $z, w \in \C$ :

$$
\conj{z + w} = \conj z + \conj w, \quad
\conj{zw} = \conj z\,\conj w, \quad
\conj{\conj z} = z, \quad
z + \conj z = 2\Rea(z), \quad
z - \conj z = 2\iu\,\Ima(z),
$$

et $z\conj z = a^2 + b^2 \geq 0$ pour $z = a + \iu b$. De plus $z \in \R$ si et seulement si $z = \conj z$.

**Démonstration.** Toutes se vérifient par calcul direct à partir des [formes algébriques](#def-g12-complex-def) ; par exemple $z\conj z = (a + \iu b)(a - \iu b) = a^2 - (\iu b)^2 = a^2 + b^2$. ∎

**Méthode 28.5 (Diviser des nombres complexes).**

Pour écrire un quotient sous [forme algébrique](#def-g12-complex-def), multiplier numérateur et dénominateur par le [conjugué](#def-g12-complex-conjugate) du dénominateur :

$$
\frac{1}{2 + \iu} = \frac{2 - \iu}{(2+\iu)(2-\iu)} = \frac{2 - \iu}{5}
= \frac25 - \frac15\iu .
$$

Tout [nombre complexe](#def-g12-complex-def) non nul a donc un inverse : $\C$ est un *corps*.

## 28.2 Le plan complexe, module et argument

**Définition 28.6 (Affixe, module).**

Dans le plan muni d’un [repère orthonormé](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system), le point $M(a, b)$ est l’*[image](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function)* de $z = a + \iu b$, et $z$ est l’*affixe* de $M$. Le *module* de $z$ est la distance de $M$ à l’origine :

$$
\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\conj z}.
$$

![Le point M(a,b) d’affixe z : le module z est la longueur OM, et le conjugué z est le symétrique de z par rapport à l’axe réel.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-0baf1f3783e3.svg)

*Le point $M(a,b)$ d’[affixe](#def-g12-complex-modulus) $z$ : le [module](#def-g12-complex-modulus) $\abs z$ est la longueur $OM$, et le [conjugué](#def-g12-complex-conjugate) $\conj z$ est le symétrique de $z$ par rapport à l’axe réel.*

**Proposition 28.7 (Propriétés du module).**

Pour $z, w \in \C$ :

$$
\abs{zw} = \abs z\,\abs w, \qquad
\abs{\tfrac zw} = \tfrac{\abs z}{\abs w}\ (w \neq 0), \qquad
\abs{\conj z} = \abs z, \qquad
\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w} \ \text{(inégalité triangulaire)}.
$$

De plus $\abs{z_B - z_A}$ est la distance entre les points d’[affixes](#def-g12-complex-modulus) $z_A$ et $z_B$.

**Démonstration.** $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ donne la première ; la deuxième et la troisième sont analogues. Pour l’inégalité triangulaire :

$$
\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w)
= \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Rea(z \conj w)
\leq \abs z^2 + \abs w^2 + 2\abs{z\conj w}
= \bigl(\abs z + \abs w\bigr)^2,
$$

en utilisant $\Rea(u) \leq \abs u$. L’énoncé sur la distance est la formule de Pythagore appliquée aux [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de $z_B - z_A$. ∎

**Définition 28.8 (Argument, formes trigonométrique et exponentielle).**

Soit $z \neq 0$. Un *argument* de $z$, noté $\Arg(z)$, est toute mesure $\theta$ de l’angle de l’axe réel positif vers le rayon $OM$ ; il est défini à $2k\pi$ près. En notant $r = \abs z$,

$$
z = r(\cos\theta + \iu\sin\theta)
\qquad\text{(forme trigonométrique)}.
$$

En introduisant la notation

$$
\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta,
$$

cela devient la *forme exponentielle* $z = r\,\eu^{\iu\theta}$.

![Forme exponentielle : z est déterminé par sa distance r à l’origine et l’angle depuis l’axe réel positif.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-b5b1d1679901.svg)

*[Forme exponentielle](#def-g12-complex-argument) : $z$ est déterminé par sa distance $r$ à l’origine et l’angle $\theta$ depuis l’axe réel positif.*

**Théorème 28.9.**

Pour tous $\theta, \theta' \in \R$ :

$$
\eu^{\iu\theta}\,\eu^{\iu\theta'} = \eu^{\iu(\theta + \theta')},
\qquad
\conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta},
\qquad
\abs{\eu^{\iu\theta}} = 1 .
$$

Par [suite](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence), pour $z = r\eu^{\iu\theta}$ et $z' = r'\eu^{\iu\theta'}$ non nuls :

$$
zz' = rr'\,\eu^{\iu(\theta+\theta')},
\qquad
\frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,\eu^{\iu(\theta - \theta')} :
$$

*les [modules](#def-g12-complex-modulus) se multiplient, les [arguments](#def-g12-complex-argument) s’ajoutent.*

**Démonstration.** La première identité *est* le couple de formules d’addition ([Proposition 24.3](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/24-fonctions-trigonometriques#prop-g12-trigo-addition)) :

$$
(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\theta' + \iu\sin\theta')
= (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta')
+ \iu(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta').
$$

Le reste suit par calcul direct. ∎

**Corollaire 28.10 (Formule de Moivre).**

Pour $\theta \in \R$ et $n \in \Z$ : $\bigl(\cos\theta + \iu\sin\theta\bigr)^n = \cos n\theta + \iu \sin n\theta$.

**Démonstration.** Récurrence sur $n \geq 0$ en utilisant [Théorème 28.9](#thm-g12-complex-expform) ; étendre à $n < 0$ en prenant les inverses. ∎

**Méthode 28.11 (Passer d’une forme à l’autre).**

De l’algébrique à l’exponentielle : calculer $r = \abs z$, puis trouver $\theta$ avec $\cos\theta = \frac ar$, $\sin\theta = \frac br$ (situer le bon quadrant avant d’invoquer un arccosinus). De l’exponentielle à l’algébrique : [développer](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) $r\cos\theta + \iu\, r\sin\theta$. Utiliser la [forme algébrique](#def-g12-complex-def) pour les sommes, la [forme exponentielle](#def-g12-complex-argument) pour les produits, puissances et quotients.

**Exemple 28.12.**

$z = 1 + \iu$ : $\abs z = \sqrt2$ et $\cos\theta = \sin\theta =
\frac{1}{\sqrt2}$, donc $\theta = \frac\pi4$ et $z = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$. D’où $z^{20} = 2^{10}\,\eu^{5\iu\pi} = -1024$.

## 28.3 Équations du second degré et racines de l’unité

**Théorème 28.13 (Équations du second degré à coefficients réels).**

Soient $a, b, c \in \R$, $a \neq 0$, et $\Delta = b^2 - 4ac$. L’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $az^2 + bz + c = 0$ a des solutions dans $\C$ :

$$
\begin{aligned}
&\Delta > 0:\ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{deux réelles}); \qquad
\Delta = 0:\ z = \frac{-b}{2a} \ (\text{double}); \\
&\Delta < 0:\ z = \frac{-b \pm \iu\sqrt{-\Delta}}{2a} \ (\text{deux conjuguées}).
\end{aligned}
$$

**Démonstration.** Compléter le carré : $az^2 + bz + c = a\left(\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 -
\frac{\Delta}{4a^2}\right)$. Si $\Delta < 0$, alors $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\iu\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2$, et la différence de carrés se factorise comme d’habitude. ∎

**Définition 28.14 (Racines de l’unité).**

Pour $n \geq 1$, les *racines $n$-ièmes de l’unité* sont les solutions de $z^n = 1$.

**Théorème 28.15.**

L’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $z^n = 1$ a exactement $n$ solutions :

$$
\omega_k = \eu^{2\iu k\pi/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 .
$$

Leurs [images](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) sont les sommets d’un $n$-gone régulier inscrit dans le cercle unité, et pour $n \geq 2$ leur somme vaut $0$.

**Démonstration.** Chaque $\omega_k$ vérifie $\omega_k^n = \eu^{2\iu k\pi} = 1$, et ils sont deux à deux distincts car leurs [arguments](#def-g12-complex-argument) sont dans $\intco{0}{2\pi}$. Réciproquement, si $z^n = 1$ alors $\abs z^n = 1$, donc $\abs z = 1$ (réel positif) et $z = \eu^{\iu\theta}$ avec $n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$, *c’est-à-dire* $\theta = \frac{2k\pi}{n}$ ; en réduisant $k$ modulo $n$ on retombe parmi les $\omega_k$. Les sommets sont espacés de l’angle $\frac{2\pi}{n}$ : un $n$-gone régulier. Enfin, avec $\omega = \omega_1$, $\omega \neq 1$ et la somme géométrique donne

$$
\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k
= \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 . \qedhere
$$

∎

![Les racines cinquièmes de l’unité, = 2 π/5 : les sommets d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-613555d80b0f.svg)

*Les [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) cinquièmes de l’unité, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : les sommets d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité ([Exercice 28.10](#exo-g12-complex-10)).*

**Exemple 28.16.**

Les racines cubiques de l’unité sont $1$, $j = \eu^{2\iu\pi/3} =
-\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}{2}$ et $\conj j = j^2$, vérifiant $1 + j + j^2 = 0$.

## 28.4 Nombres complexes et géométrie plane

**Proposition 28.17 (Dictionnaire géométrique).**

Soient $A, B, C, D$ des points d’[affixes](#def-g12-complex-modulus) $a, b, c, d$ ($a \neq b$, $c \neq d$).

1. La translation de [vecteur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) d’ [affixe](#def-g12-complex-modulus) $t$ est $z \mapsto z + t$ .
2. La rotation de centre $\omega$ ( [affixe](#def-g12-complex-modulus) ) et d’angle $\theta$ est $z \mapsto \omega + \eu^{\iu\theta}(z - \omega)$ .
3. L’homothétie de centre $\omega$ et de rapport $k \in \R^*$ est $z \mapsto \omega + k(z - \omega)$ .
4. $\dfrac{d - c}{b - a}$ a pour [module](#def-g12-complex-modulus) $\dfrac{CD}{AB}$ et pour [argument](#def-g12-complex-argument) l’angle entre les [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ . En particulier, $AB \perp CD$ si et seulement si $\frac{d-c}{b-a}$ est purement imaginaire, et $A, B, C$ sont alignés ( $C \ne A$ , $C\ne B$ ) si et seulement si $\frac{c-a}{b-a} \in \R$ .

**Démonstration.** (1) et (3) reformulent les formules en [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system). Pour (2), l’application $w \mapsto \eu^{\iu\theta} w$ multiplie les [modules](#def-g12-complex-modulus) par $1$ et ajoute $\theta$ aux [arguments](#def-g12-complex-argument) : c’est la rotation d’angle $\theta$ autour de l’origine ; en conjuguant par la translation envoyant $\omega$ en $0$ on obtient le centre général. Pour (4), [modules](#def-g12-complex-modulus) et [arguments](#def-g12-complex-argument) des quotients se soustraient ([Théorème 28.9](#thm-g12-complex-expform)). ∎

## 28.5 Exercices

**Exercice 28.1 ★.**

Écrire sous [forme algébrique](#def-g12-complex-def) : $(3 - 2\iu)(1 + 4\iu)$, $\dfrac{2 + \iu}{1 - \iu}$, $\iu^{2027}$.

**Solution de Exercice 28.1.**

$(3-2\iu)(1+4\iu) = 3 + 12\iu - 2\iu - 8\iu^2 = 11 + 10\iu$.

$\dfrac{2+\iu}{1-\iu} = \dfrac{(2+\iu)(1+\iu)}{(1-\iu)(1+\iu)}
= \dfrac{1 + 3\iu}{2} = \dfrac12 + \dfrac32\iu$.

$\iu^{2027}$ : comme $\iu^4 = 1$ et $2027 = 4 \times 506 + 3$, $\iu^{2027} = \iu^3 = -\iu$.

**Exercice 28.2 ★.**

Résoudre dans $\C$ : (a) $z^2 - 4z + 13 = 0$ ; (b) $z^2 + z + 1 = 0$. Vérifier dans chaque cas que les deux solutions sont [conjuguées](#def-g12-complex-conjugate) et calculer leur produit.

**Solution de Exercice 28.2.**

*(a)* $\Delta = 16 - 52 = -36$ : $z = \dfrac{4 \pm 6\iu}{2} = 2 \pm 3\iu$. Paire conjuguée ; produit $= 4 + 9 = 13 = \frac ca$. *(b)* $\Delta = 1 - 4 = -3$ : $z = \dfrac{-1 \pm \iu\sqrt3}{2}$ (les racines cubiques de l’unité $j$ et $\conj j$) ; produit $= \frac{1 + 3}{4} = 1$.

**Exercice 28.3 ★.**

Mettre sous [forme exponentielle](#def-g12-complex-argument) : $z_1 = -1 + \iu$, $z_2 = \sqrt3 - \iu$, et calculer $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous [forme exponentielle](#def-g12-complex-argument) puis algébrique. En déduire la valeur exacte de $\cos\dfrac{11\pi}{12}$.

**Solution de Exercice 28.3.**

$\abs{z_1} = \sqrt2$, [argument](#def-g12-complex-argument) $\frac{3\pi}{4}$ (deuxième quadrant) : $z_1 = \sqrt2\,\eu^{3\iu\pi/4}$. $\abs{z_2} = 2$, [argument](#def-g12-complex-argument) $-\frac\pi6$ : $z_2 = 2\,\eu^{-\iu\pi/6}$. D’où

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{\iu\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)}
= \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{11\iu\pi/12}.
$$

Algébriquement,

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+\iu}{\sqrt3 - \iu}
= \frac{(-1+\iu)(\sqrt3+\iu)}{4}
= \frac{-\sqrt3 - 1 + \iu(\sqrt3 - 1)}{4}.
$$

En identifiant les [parties réelles](#def-g12-complex-def) : $\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{11\pi}{12} = \frac{-\sqrt3-1}{4}$, donc

$$
\cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.
$$

**Exercice 28.4 ★★.**

Décrire géométriquement l’ensemble des points $M$ d’[affixe](#def-g12-complex-modulus) $z$ tels que : (a) $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ ; (b) $\abs{z - 1 - \iu} = 3$ ; (c) $\dfrac{z - 1}{z + 1}$ est purement imaginaire.

**Solution de Exercice 28.4.**

*(a)* $\abs{z - 2} = \abs{z - (-\iu)}$ signifie que $M$ est équidistant de $A(2, 0)$ et $B(0, -1)$ : la *médiatrice* de $[AB]$.

*(b)* Distance $3$ du point $(1,1)$ : le *cercle* de centre $1 + \iu$ et de rayon $3$.

*(c)* Par la [Proposition 28.17](#prop-g12-complex-geometry)(4), $\frac{z-1}{z+1}$ purement imaginaire signifie que les [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) de $A(1,0)$ vers $M$ et de $B(-1,0)$ vers $M$ sont [orthogonaux](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/16-le-produit-scalaire-dans-le-plan#def-g11-scal-orthogonal) : $M$ voit le segment $[AB]$ sous un angle droit. L’ensemble est le *cercle de diamètre $[AB]$* (le cercle unité) *privé des points $A$ et $B$* eux-mêmes.

**Exercice 28.5 ★★.**

À l’aide de la formule de Moivre et de la formule du binôme, exprimer $\cos 3\theta$ comme polynôme en $\cos\theta$, et $\sin 3\theta$ en [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de $\sin\theta$.

**Solution de Exercice 28.5.**

Moivre : $\cos3\theta + \iu\sin3\theta = (\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$. En développant par la formule du binôme avec $c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$ :

$$
(c + \iu s)^3 = c^3 + 3\iu c^2 s - 3 c s^2 - \iu s^3
= (c^3 - 3cs^2) + \iu(3c^2 s - s^3).
$$

En identifiant les parties et en utilisant $s^2 = 1 - c^2$, $c^2 = 1 - s^2$ :

$$
\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta,
\qquad
\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta .
$$

**Exercice 28.6 ★★.**

*(Linéarisation.)* En utilisant $\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}$, linéariser $\cos^3\theta$ (l’écrire comme combinaison de $\cos k\theta$), et en déduire $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta$.

**Solution de Exercice 28.6.**

$$
\cos^3\theta = \left(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\right)^{\!3}
= \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8}
= \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}.
$$

D’où

$$
\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta
= \frac14\left[\frac{\sin3\theta}{3} + 3\sin\theta\right]_0^{\pi/2}
= \frac14\left(-\frac13 + 3\right) = \frac{2}{3}.
$$

(Cohérent avec $W_3 = \frac23$ dans l’[Exercice 25.9](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/25-integration#exo-g12-integ-9), car $\int_0^{\pi/2}\cos^3 = \int_0^{\pi/2}\sin^3$ par la symétrie $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$.)

**Exercice 28.7 ★★.**

Soient $A$ et $B$ d’[affixes](#def-g12-complex-modulus) $a = 1 + \iu$ et $b = 3 + 2\iu$. Déterminer les deux points $C$ rendant le triangle $ABC$ équilatéral, comme [images](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de $B$ par les rotations de centre $A$ et d’angles $\pm\frac{\pi}{3}$.

**Solution de Exercice 28.7.**

$c = a + \eu^{\pm\iu\pi/3}(b - a)$ avec $b - a = 2 + \iu$ et $\eu^{\pm\iu\pi/3} = \frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}{2}$ :

$$
\eu^{\iu\pi/3}(2+\iu) = \left(\tfrac12 + \iu\tfrac{\sqrt3}{2}\right)(2+\iu)
= \left(1 - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\tfrac12 + \sqrt3\right),
$$

donc $c_1 = \left(2 - \frac{\sqrt3}{2}\right) +
\iu\left(\frac32 + \sqrt3\right)$, et de même avec l’angle $-\frac\pi3$ : $c_2 = \left(2 + \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 - \sqrt3\right)$.

**Exercice 28.8 ★★★.**

Résoudre $z^4 = -4$ dans $\C$ et placer les solutions. Factoriser $z^4 + 4$ en deux polynômes du second degré à coefficients réels.

**Solution de Exercice 28.8.**

$-4 = 4\,\eu^{\iu\pi}$, donc les solutions de $z^4 = -4$ sont

$$
z_k = \sqrt2\,\eu^{\iu\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)},
\quad k = 0, 1, 2, 3,
$$

*c.-à-d.* $1 + \iu$, $-1 + \iu$, $-1 - \iu$, $1 - \iu$ : les sommets d’un carré de circonférence de rayon $\sqrt 2$. En groupant les [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) [conjuguées](#def-g12-complex-conjugate),

$$
z^4 + 4 = \bigl(z - (1{+}\iu)\bigr)\bigl(z - (1{-}\iu)\bigr)
\bigl(z + (1{-}\iu)\bigr)\bigl(z + (1{+}\iu)\bigr)
= (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2).
$$

**Exercice 28.9 ★★★.**

Pour $\theta \in \intoo{0}{2\pi}$ et $n \in \N$, calculer

$$
S = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta
$$

en sommant la progression géométrique $\sum_{k=0}^n \eu^{\iu k\theta}$ et en prenant les [parties réelles](#def-g12-complex-def). (Réponse : $S = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}
\cos\frac{n\theta}{2}$.)

**Solution de Exercice 28.9.**

Avec $q = \eu^{\iu\theta} \neq 1$ :

$$
\sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}
= \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2}}
\cdot\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2} - \eu^{-\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2}}
= \eu^{\iu n\theta/2}\,
\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}},
$$

en utilisant $\eu^{\iu\alpha} - \eu^{-\iu\alpha} = 2\iu\sin\alpha$ (le *factorisation en demi-angle*). En prenant les [parties réelles](#def-g12-complex-def) :

$$
S = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\,
\cos\frac{n\theta}{2}.
$$

**Exercice 28.10 ★★★.**

Soit $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$.

1. Justifier que $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ .
2. Soient $u = \omega + \omega^4$ et $v = \omega^2 + \omega^3$ . Montrer que $u + v = -1$ et $uv = -1$ , et en déduire que $u = \frac{-1+\sqrt5}{2}$ .
3. Conclure que $\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}$ .

**Solution de Exercice 28.10.**

*1.* $\omega$ est une [racine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) $5$-ième de l’unité différente de $1$, donc la somme des cinq [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) s’annule ([Théorème 28.15](#thm-g12-complex-rootsofunity)), ce qui s’écrit $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$.

*2.* $u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ par le point 1. Pour le produit, en utilisant $\omega^5 = 1$ :

$$
uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3)
= \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7
= \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .
$$

Donc $u, v$ sont les [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) de $X^2 + X - 1 = 0$ : $\left\{\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}$. Or $u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (car $\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$), donc $u = \frac{-1 + \sqrt5}{2}$.

*3.* $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac u2 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$.

## 28.6 Problème : le pentagone dans le miroir de l’unité

**Problème 28.1.**

Devoir du week-end — les racines cinquièmes de l’unité calculent $\cos 72^\circ$ exactement, le nombre d’or signe le résultat, et la multiplication se révèle être une rotation

Euclide savait construire le pentagone régulier, mais la raison *pour laquelle* il cède à la règle et au compas — alors que l’humble angle de $20^\circ$ y résiste — est restée cachée deux mille ans. Elle se cache dans ce chapitre : les cinq [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) cinquièmes de l’unité ([Théorème 28.15](#thm-g12-complex-rootsofunity)) ont une somme nulle, et cette seule ligne d’algèbre extrait $\cos 72^\circ$ d’une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du second degré — des racines carrées seulement, donc constructible, et signé, bien entendu, par le nombre d’or. Autour de ce joyau : de l’aisance, le raccourci de Moivre vers la trigonométrie, et la multiplication démasquée en géométrie.

**Partie I — Aisance.**

1. Calculer $(2 + \iu)(3 - \iu)$ , $\dfrac{1 + \iu}{1 - \iu}$ ( [Méthode 28.5](#met-g12-complex-division) ) et $\abs{3 + 4\iu}$ .
2. Mettre sous [forme exponentielle](#def-g12-complex-argument) : $1 + \iu$ ; $-2$ ; $1 - \iu\sqrt3$ .
3. Calculer $(1 + \iu)^8$ à l’aide de la [forme exponentielle](#def-g12-complex-argument) .
4. Résoudre $z^2 = \iu$ , puis $z^2 - 2z + 5 = 0$ ( [Théorème 28.13](#thm-g12-complex-quadratic) ).
5. Dictionnaire géométrique ( [Proposition 28.17](#prop-g12-complex-geometry) ) : décrire l’application $z \mapsto \iu z$ , ainsi que l’ensemble $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$ .

**Partie II — Cinq [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant), un pentagone.** Posons $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ et considérons $1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$.

6. Vérifier que ce sont exactement les solutions de $z^5 = 1$ , et décrire la figure qu’elles dessinent dans le plan.
7. Démontrer que leur somme est nulle. ( [Suite géométrique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/13-suites-un-premier-cours#def-g11-seq-geometric) — ou bien multiplier la somme par $1 - \omega$ .)
8. Prendre les [parties réelles](#def-g12-complex-def) et en déduire $$1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0 .$$
9. Poser $c = \cos\frac{2\pi}{5}$ et utiliser la formule de duplication pour $\cos\frac{4\pi}{5}$ afin de convertir la question 8 en une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du second degré en $c$ ; la résoudre et conclure $$\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4} .$$
10. Vérifier numériquement, puis laisser le nombre d’or signer son œuvre : montrer que $c = \frac{1}{2\varphi}$ , où $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ ( [Problème 2.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#pb-g10-algebra-1) ) — et énoncer le célèbre écho géométrique : dans un pentagone régulier, la diagonale vaut $\varphi$ fois le côté.

**Partie III — Les raccourcis de Moivre.**

11. Le verdict de constructibilité : $\cos 72^\circ$ ne réclame que des racines carrées (question 9), donc le pentagone est constructible à la règle et au compas ; $\cos 20^\circ$ vérifie une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du troisième degré irréductible ( [Problème 24.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/24-fonctions-trigonometriques#pb-g12-trigo-1) ), donc l’angle de $60^\circ$ ne peut être trisecté. Énoncer le critère qui se dessine (les racines carrées se construisent, les racines cubiques non), dont la théorie complète — Gauss, à dix-neuf ans, et le polygone à 17 côtés — réside dans les volumes universitaires.
12. Résoudre $z^4 = -4$ par la [forme exponentielle](#def-g12-complex-argument) et retrouver la factorisation de l’ [Exercice 28.8](#exo-g12-complex-8) , $z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2)$ , en appariant les [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) [conjuguées](#def-g12-complex-conjugate) .
13. Développer $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$ par la formule du binôme et par la formule de Moivre, et retrouver $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ en trois lignes — comparer avec la voie des formules d’addition du [Problème 24.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/24-fonctions-trigonometriques#pb-g12-trigo-1) .
14. Recouper avec l’ [Exercice 28.9](#exo-g12-complex-9) : pour $\theta = \frac{2\pi}{5}$ et $n = 4$ , que vaut la somme $1 + \cos\theta + \dots + \cos 4\theta$ , et pourquoi est-ce cohérent avec la question 8 ?
15. Calculer les trois racines cubiques de $8\iu$ sous [forme algébrique](#def-g12-complex-def) .

**Partie IV — La multiplication est une géométrie.**

16. Décrire complètement l’application $z \mapsto (1 + \iu)z$ : de quel angle fait-elle tourner, de quel facteur dilate-t-elle, et que devient le carré unité ?
17. Démontrer $\abs{z_1 z_2} = \abs{z_1}\,\abs{z_2}$ à l’aide des [conjugués](#def-g12-complex-conjugate) ( [Proposition 28.7](#prop-g12-complex-modulus) ), puis calculer $(1+\iu)^n$ pour $n = 1, 2, 3, 4$ et décrire la spirale que tracent les puissances.
18. Le nombre $\mathrm{j} = \eu^{2\iu\pi/3}$ : montrer que $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$ , et vérifier sur le triangle $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$ le critère classique : $a + \mathrm{j} b + \mathrm{j}^2 c = 0$ caractérise (pour une orientation) un triangle équilatéral $abc$ .
19. Le théorème fondamental de l’algèbre (admis : d’Alembert–Gauss) : tout polynôme se factorise complètement sur $\C$ . En déduire le corollaire pour le monde réel — tout polynôme réel se factorise en facteurs réels du premier et du second degré — et citer la question 12 comme exemple.
20. Pour finir — le portrait de $\C$ , une phrase pour chacune : les nombres deviennent des points ; la multiplication devient rotation et dilatation ; les [racines de l’unité](#def-g12-complex-rootsofunity) deviennent des polygones réguliers ; Moivre transforme les puissances en identités trigonométriques ; et la clôture algébrique garantit qu’aucune [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) n’aura jamais besoin d’un monde plus vaste. Coda : quels deux nombres célèbres se sont rencontrés à la question 10 ?

**Solution de Problème 28.1.**

**1.** $(2 + \iu)(3 - \iu) = 6 - 2\iu + 3\iu + 1 = 7 + \iu$. $\frac{1 + \iu}{1 - \iu} = \frac{(1 + \iu)^2}{2} =
\frac{2\iu}{2} = \iu$. $\abs{3 + 4\iu} = 5$.

**2.** $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$ ; $-2 = 2\eu^{\iu\pi}$ ; $1 - \iu\sqrt3 = 2\eu^{-\iu\pi/3}$.

**3.** $(1 + \iu)^8 = \left(\sqrt2\right)^8
\eu^{8\iu\pi/4} = 16\,\eu^{2\iu\pi} = 16$.

**4.** $z^2 = \eu^{\iu\pi/2}$ : $z = \pm\eu^{\iu\pi/4} = \pm\frac{\sqrt2}{2}(1 + \iu)$. Et $\Delta = 4 - 20 = -16$ : $z = 1 \pm 2\iu$.

**5.** $z \mapsto \iu z$ : la rotation d’un quart de tour autour de l’origine. $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$ : le cercle de centre $1 + \iu$ et de rayon $2$.

**6.** $\left(\omega^k\right)^5 = \eu^{2\iu\pi k} = 1$, et les cinq points $\eu^{2\iu k\pi/5}$ sont distincts : ce sont les cinq solutions de $z^5 = 1$. Elles se placent sur le cercle unité à des angles égaux de $72^\circ$ : un pentagone régulier ayant un sommet en $1$.

**7.** $S = 1 + \omega + \dots + \omega^4$ vérifie $(1 - \omega)S = 1 - \omega^5 = 0$, et $\omega \neq 1$, donc $S = 0$. (Le point d’équilibre du pentagone est son centre.)

**8.** $\omega^4 = \overline\omega$ et $\omega^3 = \overline{\omega^2}$ : en appariant les [conjugués](#def-g12-complex-conjugate), la [partie réelle](#def-g12-complex-def) de la somme s’écrit $1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0$.

**9.** $\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1$, donc $1 + 2c + 4c^2 - 2 = 0$, c’est-à-dire $4c^2 + 2c - 1 = 0$ : $c = \frac{-1 + \sqrt5}{4}$ (la [racine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) positive, puisque $72^\circ$ est aigu) : $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$.

**10.** Numériquement $c \approx 0.30902$ : cela correspond à la calculatrice. Et $\frac{1}{2\varphi} = \frac{1}{1 + \sqrt5} =
\frac{\sqrt5 - 1}{4}$ (après rationalisation) : donc $c = \frac{1}{2\varphi}$. Le pentagone est doré de part en part : sa diagonale coupe son côté dans le rapport $\varphi$ — l’autosimilitude sans fin du pentagramme.

**11.** Les racines carrées se construisent au compas (la machine du demi-cercle et de la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) géométrique du volume précédent), si bien qu’un nombre bâti à partir des rationnels par des racines carrées seulement — comme $\cos 72^\circ$ — est constructible ; les racines cubiques ne le sont pas, et $\cos 20^\circ$ en réclame une : le pentagone cède, la trisection résiste. Le critère de Gauss règle le sort de tout polygone régulier — son polygone à 17 côtés, à dix-neuf ans, lui a fait choisir les mathématiques.

**12.** $-4 = 4\eu^{\iu\pi}$ : les [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) quatrièmes ont pour [module](#def-g12-complex-modulus) $\sqrt2$ et pour [arguments](#def-g12-complex-argument) $\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$ : ce sont les quatre nombres $\pm 1 \pm \iu$. En appariant les [conjugués](#def-g12-complex-conjugate) : $(z - 1 - \iu)(z - 1 + \iu) = z^2 - 2z + 2$ et $(z + 1 - \iu)(z + 1 + \iu) = z^2 + 2z + 2$ : c’est la factorisation de l’[Exercice 28.8](#exo-g12-complex-8).

**13.** $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 = \cos^3\theta +
3\iu\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta -
\iu\sin^3\theta$ ; par la formule de Moivre, cela vaut $\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta$. [Parties réelles](#def-g12-complex-def) : $\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta)
= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ — et les [parties imaginaires](#def-g12-complex-def) livrent $\sin 3\theta$ par-dessus le marché.

**14.** C’est la [partie réelle](#def-g12-complex-def) de $1 + \omega + \dots + \omega^4 = 0$ : la somme vaut $0$ — exactement la question 8, vue à travers le noyau de l’[Exercice 28.9](#exo-g12-complex-9).

**15.** $8\iu = 8\eu^{\iu\pi/2}$ : [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) $2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt3 + \iu$ ; $2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt3 + \iu$ ; $2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu$.

**16.** $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$ : l’application fait tourner le plan de $45^\circ$ et le dilate d’un facteur $\sqrt2$. Le carré unité devient un carré incliné de côté $\sqrt2$ — d’aire doublée et pivoté d’un huitième de tour.

**17.** $\abs{z_1 z_2}^2 = z_1 z_2 \overline{z_1 z_2} =
z_1\overline{z_1}\, z_2\overline{z_2} =
\abs{z_1}^2\abs{z_2}^2$ ; il ne reste qu’à prendre les racines carrées. Puissances de $1 + \iu$ : $1 + \iu$, $2\iu$, $-2 + 2\iu$, $-4$ : chacune tournée de $45^\circ$ de plus et allongée d’un facteur $\sqrt2$ — une spirale sortante de [modules](#def-g12-complex-modulus) $\sqrt2, 2, 2\sqrt2, 4, \dots$

**18.** $\mathrm{j}$ est une racine cubique de l’unité distincte de $1$, donc (l’[argument](#def-g12-complex-argument) de la question 7 avec $n = 3$) $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$. Critère sur le triangle de référence : $a + \mathrm{j}b + \mathrm{j}^2 c = 1 +
\mathrm{j}\cdot\mathrm{j} + \mathrm{j}^2 \cdot \mathrm{j}^2 =
1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j}^4 = 1 + \mathrm{j}^2 +
\mathrm{j} = 0$ : il est vérifié, comme l’exige le triangle équilatéral $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$.

**19.** Sur $\C$, un polynôme réel se scinde en facteurs du premier degré ; ses [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) non réelles vont par paires [conjuguées](#def-g12-complex-conjugate) (conjuguer l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation)), et chaque paire se multiplie en un trinôme réel $z^2 - 2\operatorname{Re}(z_0)\,z + \abs{z_0}^2$ : d’où la factorisation réelle en morceaux de degré $1$ et de degré $2$ — la question 12 l’a réalisée sur $z^4 + 4$.

**20.** Des points ; rotation et dilatation ; des polygones réguliers ; des identités trigonométriques par développement ; et un monde clos où toute [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de degré $n$ possède ses $n$ [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant). Coda : à la question 10, le pentagone de $\pi$ a serré la main du nombre d’or — les deux hôtes les plus célèbres d’Euclide, enfin présentés l’un à l’autre par une somme de cinq flèches égale à zéro.