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title: "Fonctions"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 3
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions
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# Chapitre 3 — Fonctions

Une [fonction](#def-g10-functions-function) est une machine qui prend un nombre en entrée et produit un nombre en sortie, toujours la même sortie pour la même entrée. Les [fonctions](#def-g10-functions-function) sont les objets centraux de l’analyse que l’on construira au cours des prochaines années ([Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#ch-g11-quad) et suivants) ; ce chapitre met en place le vocabulaire — [ensemble de définition](#def-g10-functions-function), [image](#def-g10-functions-function), [graphique](#def-g10-functions-graph), variations — et entraîne la compétence essentielle de lire des informations sur un [graphique](#def-g10-functions-graph).

## 3.1 Vocabulaire : images et antécédents

**Définition 3.1 (Fonction).**

Soit $D$ un ensemble de [nombres réels](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets). Une *fonction* $f$ définie sur $D$ associe à chaque nombre $x \in D$ exactement un [nombre réel](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets), noté $f(x)$ et appelé l’*image* de $x$. L’ensemble $D$ est l’*ensemble de définition* de $f$. On écrit

$$
f : x \longmapsto f(x).
$$

Si $f(x) = y$, alors $x$ est un *antécédent* de $y$.

**Remarque 3.2.**

Chaque $x$ dans l’[ensemble de définition](#def-g10-functions-function) a exactement une [image](#def-g10-functions-function), mais un nombre $y$ peut avoir plusieurs [antécédents](#def-g10-functions-function), ou aucun. Pour $f(x) = x^2$ : l’[image](#def-g10-functions-function) de $3$ est $9$, et $9$ a deux [antécédents](#def-g10-functions-function), $3$ et $-3$ ; le nombre $-4$ n’a pas d’[antécédent](#def-g10-functions-function).

**Exemple 3.3 (Trouver un ensemble de définition).**

Lorsqu’une [fonction](#def-g10-functions-function) est donnée par une formule, son [ensemble de définition](#def-g10-functions-function) est l’ensemble des $x$ pour lesquels la formule a un sens.

- $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ a un sens pour tout $x$ : l’ [ensemble de définition](#def-g10-functions-function) est $\R$ .
- $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ exige $x - 2 \neq 0$ : l’ [ensemble de définition](#def-g10-functions-function) est tous les réels sauf $2$ .
- $h(x) = \sqrt{x - 3}$ exige $x - 3 \geq 0$ : l’ [ensemble de définition](#def-g10-functions-function) est $\intco{3}{+\infty}$ .

**Exemple 3.4 (Calculer images et antécédents).**

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$, définie sur $\R$.

*[Image](#def-g10-functions-function) de $5$ :* substituer $x = 5$ : $f(5) = 25 - 20 + 3 = 8$.

*[Antécédents](#def-g10-functions-function) de $3$ :* résoudre $f(x) = 3$ :

$$
x^2 - 4x + 3 = 3
\quad\Longleftrightarrow\quad
x^2 - 4x = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x(x - 4) = 0,
$$

donc les [antécédents](#def-g10-functions-function) de $3$ sont $0$ et $4$.

## 3.2 Le graphique d’une fonction

**Définition 3.5 (Graphique).**

Dans un repère, le *graphique* (ou la *courbe*) de $f$ est l’ensemble de tous les points $(x, f(x))$ pour $x$ dans l’[ensemble de définition](#def-g10-functions-function). Autrement dit, un point $(x, y)$ appartient au graphique exactement lorsque $y = f(x)$.

![Lire une image sur un graphique : partir de x = 3 sur l’axe horizontal, monter verticalement jusqu’à la courbe, puis horizontalement jusqu’à l’axe vertical pour lire f(3) = -1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-7b566b99be89.svg)

*Lire une [image](#def-g10-functions-function) sur un [graphique](#def-g10-functions-graph) : partir de $x = 3$ sur l’axe horizontal, monter verticalement jusqu’à la courbe, puis horizontalement jusqu’à l’axe vertical pour lire $f(3) = -1$.*

**Méthode 3.6 (Lire un graphique).**

Sur le [graphique](#def-g10-functions-graph) de $f$ :

1. *[image](#def-g10-functions-function) de $a$ :* monter verticalement depuis $x = a$ sur l’axe horizontal jusqu’à la courbe, puis horizontalement jusqu’à l’axe vertical ; la valeur lue est $f(a)$ ;
2. *[antécédents](#def-g10-functions-function) de $b$ :* tracer la droite horizontale $y = b$ ; les [antécédents](#def-g10-functions-function) sont les abscisses de tous ses points d’ [intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) avec la courbe ;
3. *solutions de $f(x) = k$ :* même chose que les [antécédents](#def-g10-functions-function) de $k$ ;
4. *solutions de $f(x) \leq k$ :* les $x$ pour lesquels la courbe est sur ou sous la droite $y = k$ .

![Résoudre f(x) = k graphiquement : les solutions x_1 et x_2 sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite horizontale y = k. Ici f(x) ≤ k est réalisé sur (x_1, x_2), où la courbe est sous la droite.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-d26495113fd4.svg)

*Résoudre $f(x) = k$ graphiquement : les solutions $x_1$ et $x_2$ sont les abscisses des points d’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) de la courbe avec la droite horizontale $y = k$. Ici $f(x) \leq k$ est réalisé sur $\intcc{x_1}{x_2}$, où la courbe est sous la droite.*

**Exemple 3.7.**

Le point $A(2, 5)$ appartient-il au [graphique](#def-g10-functions-graph) de $f(x) = x^2 + 1$ ? Calculer $f(2) = 4 + 1 = 5$ : oui, puisque $f(2)$ égale l’ordonnée de $A$. Le point $B(3, 8)$ n’est pas sur le [graphique](#def-g10-functions-graph), car $f(3) = 10 \neq 8$.

## 3.3 Variations d’une fonction

**Définition 3.8 (Croissante, décroissante).**

Soit $f$ définie sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$.

- $f$ est *croissante* sur $I$ lorsque pour tous $u, v \in I$ , si $u < v$ alors $f(u) \leq f(v)$ : les sorties croissent avec les entrées, et le [graphique](#def-g10-functions-graph) monte de gauche à droite.
- $f$ est *décroissante* sur $I$ lorsque $u < v$ implique $f(u) \geq f(v)$ : le [graphique](#def-g10-functions-graph) descend de gauche à droite.

Avec des inégalités strictes $f(u) < f(v)$ (resp. $>$) on dit *strictement* croissante (resp. décroissante).

**Définition 3.9 (Tableau de variations).**

Un *tableau de variations* résume sur quels [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $f$ croît et décroît, avec des flèches $\nearrow$ et $\searrow$, et enregistre les valeurs de $f$ aux points de retournement.

**Exemple 3.10.**

Considérons la [fonction](#def-g10-functions-function) grapquée ci-dessous sur $\intcc{-2}{4}$.

![Une fonction définie sur (-2, 4), croissante puis décroissante.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-0353dee9a0b8.svg)

*Une [fonction](#def-g10-functions-function) définie sur $\intcc{-2}{4}$, [croissante](#def-g10-functions-variations) puis [décroissante](#def-g10-functions-variations).*

Lecture du [graphique](#def-g10-functions-graph) : $f$ croît de $f(-2) = -1.5$ jusqu’à son [maximum](#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 3$, puis décroît jusqu’à $f(4) = -1.5$. Son [tableau de variations](#def-g10-functions-table) est

| $x$ | $-2$ |  | $1$ |  | $4$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $f$ | $-1.5$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-1.5$ |

**Exemple 3.11 (Démontrer une variation).**

Montrer que $f(x) = 3x + 1$ est strictement [croissante](#def-g10-functions-variations) sur $\R$. Prendre $u < v$ quelconques et comparer les [images](#def-g10-functions-function) :

$$
f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,
$$

car $v - u > 0$. Donc $f(u) < f(v)$ : la [fonction](#def-g10-functions-function) est strictement [croissante](#def-g10-functions-variations). Le même calcul avec un coefficient négatif, par exemple $g(x) = -2x + 5$, donne $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$ : strictement [décroissante](#def-g10-functions-variations).

## 3.4 Extrema

**Définition 3.12 (Maximum, minimum).**

Soit $f$ définie sur $D$ et $a \in D$. La valeur $f(a)$ est le *maximum* de $f$ sur $D$ lorsque $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x \in D$ ; c’est le *minimum* lorsque $f(x) \geq f(a)$ pour tout $x \in D$. Sur un [graphique](#def-g10-functions-graph), ce sont les points les plus hauts et les plus bas de la courbe.

**Exemple 3.13.**

Montrer que $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ a pour [minimum](#def-g10-functions-extrema) $2$ sur $\R$, atteint en $x = 1$. Pour tout $x$, le carré $(x-1)^2$ est $\geq 0$, donc $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$ ; et $f(1) = 0 + 2 = 2$, donc la valeur $2$ est effectivement atteinte. Ces deux faits ensemble prouvent que $2$ est le [minimum](#def-g10-functions-extrema).

![La courbe de f(x) = (x-1)2 + 2 ne descend jamais sous la droite en pointillés y = 2, et la touche en x = 1 : le minimum de f est 2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-87e2c2026d31.svg)

*La courbe de $f(x) = (x-1)^2 + 2$ ne descend jamais sous la droite en pointillés $y = 2$, et la touche en $x = 1$ : le [minimum](#def-g10-functions-extrema) de $f$ est $2$.*

## 3.5 Exercices

**Exercice 3.1 ★.**

Soit $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Calculer les [images](#def-g10-functions-function) de $0$, $2$, $-1$ et $\frac12$.

**Solution de Exercice 3.1.**

$f(0) = 1$ ; $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ ; $f(-1) = 2 + 3 + 1 = 6$ ; $f\!\left(\tfrac12\right) = 2 \times \tfrac14 - \tfrac32 + 1 = \tfrac12 -
\tfrac32 + 1 = 0$.

**Exercice 3.2 ★.**

Donner l’[ensemble de définition](#def-g10-functions-function) de chaque [fonction](#def-g10-functions-function) :

$$
f(x) = 5x - 2, \qquad
g(x) = \frac{3}{x + 4}, \qquad
h(x) = \sqrt{2x - 6}, \qquad
k(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.
$$

**Solution de Exercice 3.2.**

$f$ : aucune contrainte, [ensemble de définition](#def-g10-functions-function) $\R$.

$g$ : exige $x + 4 \neq 0$, [ensemble de définition](#def-g10-functions-function) tous les réels sauf $-4$.

$h$ : exige $2x - 6 \geq 0$, c’est-à-dire $x \geq 3$ : [ensemble de définition](#def-g10-functions-function) $\intco{3}{+\infty}$.

$k$ : $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ ne s’annule jamais, [ensemble de définition](#def-g10-functions-function) $\R$.

**Exercice 3.3 ★.**

Soit $f(x) = x^2 - 2x$. Trouver tous les [antécédents](#def-g10-functions-function) de $0$, de $3$, et de $-1$.

**Solution de Exercice 3.3.**

*[Antécédents](#def-g10-functions-function) de $0$ :* $x^2 - 2x = x(x-2) = 0$, donc $0$ et $2$.

*[Antécédents](#def-g10-functions-function) de $3$ :* $x^2 - 2x = 3$, c’est-à-dire $x^2 - 2x - 3 = 0$, c’est-à-dire $(x-3)(x+1) = 0$ (vérifier en développant), donc $3$ et $-1$.

*[Antécédents](#def-g10-functions-function) de $-1$ :* $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0$, donc l’unique [antécédent](#def-g10-functions-function) $1$.

**Exercice 3.4 ★.**

Le point $A(-1, 4)$ appartient-il au [graphique](#def-g10-functions-graph) de $f(x) = x^2 - 2x + 1$ ? Et le point $B(2, 1)$ ? Justifier par un calcul.

**Solution de Exercice 3.4.**

$f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$ : oui, $A(-1, 4)$ est sur le [graphique](#def-g10-functions-graph). $f(2) = 4 - 4 + 1 = 1$ : oui, $B(2, 1)$ est aussi sur le [graphique](#def-g10-functions-graph).

**Exercice 3.5 ★.**

Une [fonction](#def-g10-functions-function) $g$ définie sur $\intcc{-3}{5}$ a le [tableau de variations](#def-g10-functions-table)

| $x$ | $-3$ |  | $0$ |  | $3$ |  | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $g$ | $1$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $4$ | $\searrow$ | $0$ |

1. Quels sont le [maximum](#def-g10-functions-extrema) et le [minimum](#def-g10-functions-extrema) de $g$ sur $\intcc{-3}{5}$ ?
2. Comparer $g(-1)$ et $g(-0.5)$ sans connaître leurs valeurs.
3. Combien de solutions l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $g(x) = 0$ a-t-elle au plus sur chaque [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) du tableau ?

**Solution de Exercice 3.5.**

*1.* La plus grande valeur du tableau est $4 = g(3)$ ([maximum](#def-g10-functions-extrema)), la plus petite est $-2 = g(0)$ ([minimum](#def-g10-functions-extrema)).

*2.* Sur $\intcc{-3}{0}$ la [fonction](#def-g10-functions-function) décroît, et $-1 < -0.5$, donc $g(-1) \geq g(-0.5)$.

*3.* Sur chaque [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de monotonie, $g$ prend chaque valeur au plus une fois, donc $g(x) = 0$ a au plus une solution par [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) : au plus $3$ solutions au total. (Ici $0$ est entre $-2$ et $1$, entre $-2$ et $4$, et entre $0$ et $4$, donc il y en a exactement trois.)

**Exercice 3.6 ★★.**

Soit $f(x) = -2x + 7$. Montrer, en comparant $f(u)$ et $f(v)$ pour $u < v$, que $f$ est strictement [décroissante](#def-g10-functions-variations) sur $\R$.

**Solution de Exercice 3.6.**

Soit $u < v$. Alors

$$
f(v) - f(u) = (-2v + 7) - (-2u + 7) = -2(v - u) < 0,
$$

car $v - u > 0$. Donc $f(v) < f(u)$ : $f$ est strictement [décroissante](#def-g10-functions-variations) sur $\R$.

**Exercice 3.7 ★★.**

Montrer que la [fonction](#def-g10-functions-function) $f(x) = x^2 + 6x + 11$ a un [minimum](#def-g10-functions-extrema) sur $\R$, et donner sa valeur et où il est atteint. (Indication : écrire $f(x) = (x + 3)^2 + c$ pour la bonne constante $c$.)

**Solution de Exercice 3.7.**

Compléter le carré : $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, donc

$$
f(x) = x^2 + 6x + 11 = (x + 3)^2 + 2 .
$$

Pour tout $x$, $(x+3)^2 \geq 0$, donc $f(x) \geq 2$ ; et $f(-3) = 0 + 2 = 2$. Le [minimum](#def-g10-functions-extrema) de $f$ est $2$, atteint en $x = -3$.

**Exercice 3.8 ★★.**

Un jardin rectangulaire a un périmètre de $40$ m. Soit $x$ sa largeur, en mètres.

1. Exprimer la longueur, puis l’aire $A(x)$ , en [fonction](#def-g10-functions-function) de $x$ . Pour quels $x$ cela a-t-il un sens ?
2. Calculer $A(4)$ , $A(8)$ , $A(10)$ , $A(12)$ et $A(16)$ . Que conjecturer sur la forme d’aire maximale ?

**Solution de Exercice 3.8.**

*1.* Longueur $+$ largeur $= 20$, donc la longueur est $20 - x$ et

$$
A(x) = x(20 - x).
$$

Les deux dimensions doivent être positives : $0 < x < 20$.

*2.* $A(4) = 64$, $A(8) = 96$, $A(10) = 100$, $A(12) = 96$, $A(16) = 64$. Les valeurs croissent jusqu’à $x = 10$ puis décroissent symétriquement : l’aire semble maximale pour $x = 10$, c’est-à-dire pour un jardin *carré*. ([Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#ch-g11-quad) prouve cette conjecture.)

**Exercice 3.9 ★★.**

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$, définie sur $\R$.

1. Montrer que $0 < f(x) \leq 1$ pour tout réel $x$ .
2. $f$ a-t-elle un [maximum](#def-g10-functions-extrema) sur $\R$ ? Un [minimum](#def-g10-functions-extrema) ? Justifier.

**Solution de Exercice 3.9.**

*1.* Pour tout $x$ : $x^2 + 1 \geq 1 > 0$, donc $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ est positif, et comme $x^2 + 1 \geq 1$, en prenant les inverses (les deux membres positifs) on obtient $f(x) \leq 1$.

*2.* [Maximum](#def-g10-functions-extrema) : $f(0) = 1$ et $f(x) \leq 1$ pour tout $x$, donc $1$ est le [maximum](#def-g10-functions-extrema), atteint en $0$. [Minimum](#def-g10-functions-extrema) : $f(x) > 0$ toujours, mais aucune valeur de $x$ n’atteint $0$ (un quotient de nombres non nuls est non nul), et $f$ prend des valeurs aussi proches de $0$ que l’on veut pour $x$ grand ; donc $f$ n’a pas de [minimum](#def-g10-functions-extrema).

**Exercice 3.10 ★★★.**

Soit $f(x) = x^2$ sur $\R$.

1. Soit $0 \leq u < v$ . Factoriser $f(v) - f(u)$ et en déduire que $f$ est strictement [croissante](#def-g10-functions-variations) sur $\intco{0}{+\infty}$ .
2. Adapter l’argument pour montrer que $f$ est strictement [décroissante](#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{-\infty}{0}$ .

**Solution de Exercice 3.10.**

*1.* $f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$. Si $0 \leq u < v$, alors $v - u > 0$ et $v + u > 0$ (somme d’un nombre positif ou nul et d’un nombre positif), donc $f(v) - f(u) > 0$ : $f$ est strictement [croissante](#def-g10-functions-variations) sur $\intco{0}{+\infty}$.

*2.* Si $u < v \leq 0$, alors $v - u > 0$ encore, mais maintenant $v + u < 0$ (somme d’un nombre négatif ou nul et d’un nombre négatif), donc $f(v) - f(u) < 0$ : $f$ est strictement [décroissante](#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{-\infty}{0}$.

## 3.6 Problème : des machines nourries de leur propre sortie

**Problème 3.1.**

Devoir du week-end — points fixes, itération et trois machines célèbres : l’améliorateur de Héron, l’élévateur au carré et les grêlons non résolus

Une [fonction](#def-g10-functions-function) est une machine : un nombre entre, un nombre sort. Les expériences les plus intéressantes consistent à lui redonner à manger *sa propre sortie*, encore et encore — et deux questions dominent alors : le procédé se stabilise-t-il quelque part (en un *point fixe*), et comment les variations de la machine l’y conduisent-elles ? L’une des machines de ce problème polit des racines carrées depuis deux mille ans ; une autre garde le plus célèbre problème ouvert que les mathématiques élémentaires aient à offrir.

**Partie I — La machine de Héron.** On considère la [fonction](#def-g10-functions-function)

$$
f(x) = \frac12\left(x + \frac2x\right).
$$

1. Donner l’ [ensemble de définition](#def-g10-functions-function) de $f$ , et calculer $f(1)$ , $f(2)$ et $f\!\left(\frac32\right)$ sous forme de fractions exactes.
2. Déterminer tous les [antécédents](#def-g10-functions-function) de $\frac32$ : résoudre $f(x) = \frac32$ (chasser le dénominateur et employer les méthodes du [Problème 2.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#pb-g10-algebra-1) ).
3. Un *[point fixe](#pb-g10-functions-1)* de $f$ est un nombre que la machine laisse inchangé : $f(x) = x$ . Déterminer les deux [points fixes](#pb-g10-functions-1) de $f$ . Quelle vieille connaissance garde le [point fixe](#pb-g10-functions-1) positif ?
4. En partant de $x = 1$ , redonner trois fois à la machine sa propre sortie et noter les résultats exacts. Quelle suite du devoir du week-end sur l’irrationalité, dans le volume précédent, vient-on de reconstruire — et qu’était la « recette de Héron », dans le langage des [fonctions](#def-g10-functions-function) ?
5. Sur une même figure, tracer l’allure de la courbe de $f$ (pour $x > 0$ ) et la droite $y = x$ . Où sont les [points fixes](#pb-g10-functions-1) sur ce dessin ? (Comparer avec le devoir du week-end sur les deux thermomètres, dans le volume précédent : la température qui se lit de la même façon dans les deux échelles reposait sur la même idée.)

**Partie II — Pourquoi la machine ne peut pas manquer sa cible.**

6. Pour $0 < u < v$, montrer par réduction au même dénominateur que $$f(v) - f(u) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv} ,$$ et en déduire les variations de $f$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : [décroissante](#def-g10-functions-variations) jusqu’à un certain point, puis [croissante](#def-g10-functions-variations) — lequel ? (Même technique qu’à l’[Exercice 3.10](#exo-g10-functions-10).)
7. En déduire que sur $\intoo{0}{+\infty}$ la [fonction](#def-g10-functions-function) $f$ admet un [minimum](#def-g10-functions-extrema) , valant exactement $\sqrt2$ et atteint en $\sqrt2$ . Que cela dit-il de *toute* sortie de la machine (entrées positives) ?
8. Montrer que si $x > \sqrt2$ , alors $\sqrt2 < f(x) < x$ : une estimation trop grande est toujours améliorée, jamais dépassée. (Pour $f(x) < x$ , comparer $\frac2x$ et $x$ .)
9. Rassembler les questions 6 à 8 dans le [tableau de variations](#def-g10-functions-table) de $f$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ ( [Définition 3.9](#def-g10-functions-table) ), [minimum](#def-g10-functions-extrema) compris.
10. Une deuxième machine : $g(x) = x^2$ . Ses [points fixes](#pb-g10-functions-1) sont $0$ et $1$ (le vérifier). Itérer $g$ quatre fois à partir de $x = 0.9$ , puis quatre fois à partir de $x = 1.1$ (calculatrice, trois décimales). L’un des [points fixes](#pb-g10-functions-1) attire, l’autre repousse : lequel est lequel ?

**Partie III — La machine à grêlons.** Sur les entiers naturels, on pose $h(n) = \frac n2$ si $n$ est pair, et $h(n) = 3n + 1$ si $n$ est impair. Les nombres rebondissent sous $h$ comme des grêlons dans un nuage d’orage.

11. Calculer le vol complet de $7$ sous $h$ , jusqu’à $1$ . Combien d’étapes faut-il, et à quelle hauteur monte-t-il ?
12. Amorcer le vol de $27$ et calculer dix étapes. (Son vol complet dure $111$ étapes et culmine à $9\,232$ — pour un point de départ égal à $27$ .) Quelle leçon $7$ et $27$ donnent-ils sur les règles simples ?
13. Expliquer pourquoi tout vol qui atteint une puissance de $2$ retombe droit sur $1$ , et ce qui se passe en $1$ (calculer $h(1)$ , $h(4)$ , $h(2)$ ). La [fonction](#def-g10-functions-function) $h$ a-t-elle un [point fixe](#pb-g10-functions-1) parmi les entiers strictement positifs ? Que forme plutôt la fin de tout vol observé ?
14. La *conjecture de Collatz* affirme que tout nombre de départ finit par atteindre $1$ . Les ordinateurs l’ont vérifiée bien au-delà de $10^{20}$ ; personne ne l’a démontrée. Quelles sont les deux sortes de découvertes qui la *réfuteraient* ? Et pourquoi une vérification massive ne clôt-elle toujours pas l’affaire (le devoir du week-end sur l’oracle aux allumettes, dans le volume précédent, avait déjà sonné cette alarme) ?
15. « Les mathématiques ne sont pas encore mûres pour de telles questions », disait Paul Erdős de cette conjecture. En une phrase : qu’est-ce qui sépare la machine à grêlons de celle de Héron, où les questions 6 à 8 ont tout réglé ?

**Partie IV — Le mode d’emploi des machines.**

16. [Ensembles de définition](#def-g10-functions-function) sous forme d’ [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) (le langage du [Problème 1.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#pb-g10-numbers-1) ) : donner les [ensembles de définition](#def-g10-functions-function) de $x \mapsto \sqrt{x - 3}$ , $x \mapsto \frac{1}{x^2 - 9}$ , $x \mapsto \sqrt{9 - x^2}$ .
17. Retour au $f$ de Héron : déterminer les [antécédents](#def-g10-functions-function) exacts de $3$ (résoudre $f(x) = 3$ par mise sous forme canonique).
18. On lance une pierre vers le haut : sa hauteur vaut $H(t) = 20t - 5t^2$ mètres après $t$ secondes. Sur quel [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de temps la formule a-t-elle un sens physique ? Mettre sous forme canonique pour trouver la hauteur maximale et l’instant où elle est atteinte ( [Définition 3.12](#def-g10-functions-extrema) ), puis donner le [tableau de variations](#def-g10-functions-table) .
19. Pendant combien de temps la pierre est-elle à au moins $15$ m de hauteur ? (Résoudre $H(t) \geq 15$ à l’aide d’un [tableau de signes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-signtable) , [Méthode 2.17](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#met-g10-algebra-signtable) .)
20. Pour finir : ce problème a fait tourner quatre machines — l’améliorateur de Héron, l’élévateur au carré, les grêlons, la hauteur de la pierre. En deux ou trois phrases, énoncer ce que toute [fonction](#def-g10-functions-function) possède (un [ensemble de définition](#def-g10-functions-function) , une règle, une courbe) et les deux grandes questions que ce problème a posées à chacune (où l’itération se stabilise-t-elle ? comment la [fonction](#def-g10-functions-function) varie-t-elle ?) — questions que les chapitres suivants reprennent une à une.

**Solution de Problème 3.1.**

**1.** [Ensemble de définition](#def-g10-functions-function) : $x \neq 0$ (division par $x$). $f(1) = \frac12(1 + 2) = \frac32$ ; $f(2) = \frac12(2 + 1) =
\frac32$ ; $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 +
\frac43\right) = \frac{17}{12}$.

**2.** $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ donne $x^2 + 2 = 3x$, c’est-à-dire $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$ : les [antécédents](#def-g10-functions-function) de $\frac32$ sont $1$ et $2$ — comme la question 1 l’annonçait.

**3.** $f(x) = x$ donne $x + \frac2x = 2x$, donc $\frac2x = x$ et $x^2 = 2$ : [points fixes](#pb-g10-functions-1) $\sqrt2$ et $-\sqrt2$. Le [point fixe](#pb-g10-functions-1) positif est la diagonale du carré unité, irrationnelle d’après le devoir du week-end sur l’irrationalité du volume précédent.

**4.** $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to \frac{577}{408}$ : les [approximations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-approx) de $\sqrt2$ dues à Héron. Sa recette « faire la moyenne de l’estimation et de $2/$estimation » est exactement *l’itération de la [fonction](#def-g10-functions-function) $f$* — et le nombre que le procédé poursuit est le [point fixe](#pb-g10-functions-1) de $f$.

**5.** Les [points fixes](#pb-g10-functions-1) sont les [intersections](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) de la courbe avec la droite $y = x$ : réinjecter les sorties fait cheminer le point le long de la courbe vers cette [intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion). Dans le devoir du week-end sur les deux thermomètres, du volume précédent, la lecture $-40^\circ$ reposait sur la même idée de croisement avec la diagonale, pour la [fonction](#def-g10-functions-function) de conversion.

**6.** $f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u
= \frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv}
= (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right)
= \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$. Pour $0 < u < v \leq \sqrt2$ : $uv < 2$, la parenthèse est négative, donc $f(v) < f(u)$ : $f$ est [décroissante](#def-g10-functions-variations). Pour $\sqrt2 \leq u < v$ : $uv > 2$, donc $f$ est [croissante](#def-g10-functions-variations). Point de retournement : $\sqrt2$.

**7.** [Décroissante](#def-g10-functions-variations) avant $\sqrt2$, [croissante](#def-g10-functions-variations) après : $f$ atteint son [minimum](#def-g10-functions-extrema) en $\sqrt2$, et ce [minimum](#def-g10-functions-extrema) vaut $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right) =
\sqrt2$. Conséquence : toute sortie de la machine (pour une entrée positive) vaut au moins $\sqrt2$ — dès le premier tour de manivelle, les estimations vivent dans $\intco{\sqrt2}{+\infty}$.

**8.** Si $x > \sqrt2$, alors $x^2 > 2$, donc $\frac2x < x$ et la moyenne $f(x)$ de $x$ et de $\frac2x$ est inférieure à $x$ ; et $f(x) \geq \sqrt2$ d’après la question 7, avec égalité seulement en $x = \sqrt2$. Ainsi $\sqrt2 < f(x) < x$ : chaque itération améliore strictement sans jamais dépasser — la suite de la question 4 descend en glissant sur $\sqrt2$.

**9.** Sur $\intoo{0}{+\infty}$ : $f$ décroît depuis $+\infty$ (au voisinage de $0$) jusqu’au [minimum](#def-g10-functions-extrema) $\sqrt2$ atteint en $x = \sqrt2$, puis croît sans borne.

**10.** $g(x) = x$ donne $x^2 = x$, soit $x(x - 1) = 0$ : [points fixes](#pb-g10-functions-1) $0$ et $1$. À partir de $0.9$ : $0.81$, $0.656$, $0.430$, $0.185$ — glissement vers $0$. À partir de $1.1$ : $1.21$, $1.464$, $2.144$, $4.595$ — fuite vers l’infini. Le [point fixe](#pb-g10-functions-1) $0$ attire, le [point fixe](#pb-g10-functions-1) $1$ repousse : un cheveu d’écart au départ, des destins opposés.

**11.** $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to
13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ : seize étapes, avec un sommet à $52$.

**12.** $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to
47 \to 142 \to 71 \to 214 \to \dots$ — toujours en train de monter après dix étapes, en route vers un sommet à $9\,232$ et un vol de $111$ étapes. Leçon : une règle de deux lignes peut produire un comportement que personne ne devine au premier coup d’œil — des nombres voisins ($26$, $27$, $28$) ont des vols radicalement différents.

**13.** Une puissance de $2$ redescend toute son échelle par divisions successives : $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to 1$. En bas, $h(1) = 4$, $h(4) = 2$, $h(2) = 1$ : le vol entre dans le cycle $4 \to 2 \to 1 \to 4$. Un [point fixe](#pb-g10-functions-1) exigerait $\frac n2 = n$ (seulement $n = 0$) ou $3n + 1 = n$ (négatif) : il n’y en a aucun parmi les entiers strictement positifs — les vols observés s’achèvent non pas en un [point fixe](#pb-g10-functions-1), mais dans ce petit *cycle*.

**14.** Un contre-exemple serait soit un vol qui croît indéfiniment (sans jamais revenir à $1$), soit un second cycle disjoint de $4 \to 2 \to 1$. Une vérification jusqu’à $10^{20}$ laisse une infinité de nombres non testés — exactement la leçon des régions du cercle, dans le devoir du week-end sur l’oracle aux allumettes du volume précédent : un accord sur un nombre fini de cas ne démontre rien sur tous.

**15.** Pour la machine de Héron, nous avions une *structure* — une différence factorisée (question 6) révélant les variations, un [minimum](#def-g10-functions-extrema), un encadrement — tandis que la règle à bascule de parité des grêlons n’offre aucune prise de ce genre : personne n’a trouvé la structure qui la dompterait.

**16.** $\sqrt{x - 3}$ exige $x - 3 \geq 0$ : $\intco{3}{+\infty}$. $\frac{1}{x^2 - 9}$ exige $x \neq \pm 3$ : $\R$ privé de $-3$ et de $3$. $\sqrt{9 - x^2}$ exige $x^2 \leq 9$ : $\intcc{-3}{3}$.

**17.** $f(x) = 3$ donne $x + \frac2x = 6$, donc $x^2 - 6x + 2 = 0$, c’est-à-dire $(x - 3)^2 = 7$ : $x = 3 - \sqrt7$ ou $x = 3 + \sqrt7$ (tous deux positifs : deux [antécédents](#def-g10-functions-function) exacts).

**18.** La formule a un sens physique tant que la pierre est en l’air : $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$ pour $t \in \intcc{0}{4}$. Forme canonique : $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$ : [maximum](#def-g10-functions-extrema) $20$ m à $t = 2$ s. Variations : [croissante](#def-g10-functions-variations) sur $\intcc{0}{2}$ de $0$ à $20$, [décroissante](#def-g10-functions-variations) sur $\intcc{2}{4}$ jusqu’à $0$.

**19.** $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff
(t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$ : deux secondes pleines au-dessus de $15$ m.

**20.** Chaque machine possède un [ensemble de définition](#def-g10-functions-function) (là où la règle est autorisée), une règle (la formule ou la bascule de parité) et une courbe ou un tableau qui l’affiche tout entière. À chacune nous avons posé les deux grandes questions : *où mène la répétition* ([points fixes](#pb-g10-functions-1), cycles, attraction — réglé pour Héron, ouvert pour les grêlons) et *comment la sortie bouge avec l’entrée* (variations, extremums — le sommet de la pierre, le [minimum](#def-g10-functions-extrema) de Héron). Les chapitres à venir affinent les deux : les [fonctions](#def-g10-functions-function) de référence d’abord, puis, les années suivantes, les dérivées pour mesurer les variations et les limites pour certifier où les itérations aboutissent.