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title: "Variables aléatoires et loi binomiale"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 33
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale
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# Chapitre 33 — Variables aléatoires et loi binomiale

Une [variable aléatoire](#def-g12-randvar-rv) attache un nombre à chaque issue d’une expérience : un gain, un compte, une durée. Son [espérance](#def-g12-randvar-exp) est la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) à long terme des valeurs qu’elle produit, sa [variance](#def-g12-randvar-exp) mesure leur dispersion. La star de ce chapitre est la [loi binomiale](#def-g12-randvar-binomial), qui compte les succès dans des épreuves indépendantes répétées. Les [variables aléatoires](#def-g12-randvar-rv) et la [loi binomiale](#def-g12-randvar-binomial) ont été rencontrées dans les Chapitres [18](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#ch-g11-prob) et [19](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/19-la-loi-binomiale#ch-g11-binom) ; ce chapitre les revoit et les approfondit, avec les outils combinatoires du [Chapitre 27](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/27-combinatoire-et-denombrement#ch-g12-comb) désormais disponibles.

## 33.1 Variables aléatoires discrètes

**Définition 33.1 (Variable aléatoire, loi).**

Une *variable aléatoire* sur un [univers](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-model) fini $\Omega$ est une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $X \colon \Omega \to \R$. Sa *loi* (ou distribution) est la donnée de ses valeurs possibles $x_1, \dots, x_k$ et des [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution)

$$
p_i = \P(X = x_i), \qquad \sum_{i=1}^{k} p_i = 1 .
$$

**Définition 33.2 (Espérance, variance, écart-type).**

L’*espérance* de $X$ est

$$
\E(X) = \sum_{i=1}^{k} p_i\, x_i ,
$$

sa *variance* et son *écart-type* sont

$$
\V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \sum_{i=1}^k p_i\bigl(x_i - \E(X)\bigr)^2,
\qquad
\sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .
$$

**Proposition 33.3 (Formule de König–Huygens).**

$\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2$.

**Démonstration.** Écrire $m = \E(X)$ et [développer](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) :

$$
\V(X) = \sum_i p_i (x_i^2 - 2m x_i + m^2)
= \E(X^2) - 2m\sum_i p_i x_i + m^2\sum_i p_i
= \E(X^2) - 2m^2 + m^2 . \qedhere
$$

∎

**Proposition 33.4 (Transformation affine).**

Pour $a, b \in \R$ :

$$
\E(aX + b) = a\,\E(X) + b, \qquad
\V(aX + b) = a^2\,\V(X) .
$$

**Démonstration.** La première est un réarrangement de la somme définissante. Pour la seconde, $aX + b$ s’écarte de sa [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) de $a(X - \E(X))$, et le carré multiplie par $a^2$. ∎

**Exemple 33.5 (Jeux équitables).**

Un jeu coûte $2$ euros ; on lance un dé, et le joueur reçoit la valeur affichée si elle est au moins $5$, rien sinon. Le gain $G$ prend les valeurs $-2$ ([probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac46$), $3$ ($\frac16$), $4$ ($\frac16$) :

$$
\E(G) = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac{1}{6} < 0 .
$$

En [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean), le joueur perd $17$ centimes par partie : le jeu est défavorable (comme la plupart des jeux réels).

## 33.2 Épreuves de Bernoulli et loi binomiale

**Définition 33.6 (Loi de Bernoulli).**

Une *épreuve de Bernoulli* est une expérience à deux issues, *succès* ([probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $p$) et *échec* ($q = 1 - p$). L’indicatrice $X$ de succès ($X = 1$ en cas de succès, $0$ en cas d’échec) suit la *[loi](#def-g12-randvar-rv) de Bernoulli* $\mathcal B(p)$ :

$$
\E(X) = p, \qquad \V(X) = p(1-p) .
$$

(En effet $\E(X) = p$, $\E(X^2) = p$, et König–Huygens donne $\V(X) = p - p^2$.)

**Définition 33.7 (Loi binomiale).**

Répéter une [épreuve de Bernoulli](#def-g12-randvar-bernoulli) $n$ fois indépendamment, et soit $X$ le nombre total de succès. La [loi](#def-g12-randvar-rv) de $X$ est la *loi binomiale* $\mathcal B(n, p)$.

![Trois épreuves de Bernoulli : exactement 32 = 3 des 23 chemins donnent deux succès (en rouge), chacun de probabilité p2(1-p), donc (X = 2) = 3p2(1-p).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-ff3d6753d84e.svg)

*Trois [épreuves de Bernoulli](#def-g12-randvar-bernoulli) : exactement $\binom{3}{2} = 3$ des $2^3$ chemins donnent deux succès (en rouge), chacun de [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $p^2(1-p)$, donc $\P(X = 2) = 3p^2(1-p)$.*

**Théorème 33.8.**

Si $X \sim \mathcal B(n, p)$, alors pour $0 \leq k \leq n$ :

$$
\P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},
$$

et

$$
\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p) .
$$

**Démonstration.** Une [suite](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) spécifiée d’issues avec $k$ succès et $n-k$ échecs a pour [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $p^k(1-p)^{n-k}$ par [indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) ; le nombre de telles [suites](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) est le nombre de façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ épreuves, soit $\binom nk$ ([Chapitre 27](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/27-combinatoire-et-denombrement#ch-g12-comb)). En sommant sur les [suites](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) on obtient la formule — et la formule du binôme confirme $\sum_k \P(X = k) = (p + q)^n = 1$.

Pour l’[espérance](#def-g12-randvar-exp), en utilisant $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ ([Exercice 27.7](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/27-combinatoire-et-denombrement#exo-g12-comb-7)) :

$$
\E(X) = \sum_{k=1}^{n} k\binom nk p^k q^{n-k}
= np\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)}
= np\,(p + q)^{n-1} = np .
$$

La formule de la [variance](#def-g12-randvar-exp) se prouve de façon analogue avec l’identité $k(k-1)\binom nk = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$, donnant $\E(X(X-1)) = n(n-1)p^2$, d’où $\V(X) = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p)$. (Une preuve structurelle — la [variance](#def-g12-randvar-exp) d’une somme de variables indépendantes — arrive avec [Théorème 34.4](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/34-sommes-de-variables-aleatoires-et-loi-des-grands-nombres#thm-g12-sums-variance).) ∎

![La loi B(20, 0.3) : moyenne np = 6, écart-type √npq 2.05.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-a340174233d1.svg)

*La [loi](#def-g12-randvar-rv) $\mathcal B(20, 0.3)$ : [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) $np = 6$, écart-type $\sqrt{npq} \approx 2.05$.*

**Méthode 33.9 (Reconnaître une situation binomiale).**

Vérifier les trois ingrédients avant d’écrire $X \sim \mathcal B(n,p)$ : un *nombre fixé* $n$ d’épreuves ; *deux issues* par épreuve avec la *même* [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) de succès $p$ ; *[indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep)* des épreuves (tirage *avec* remise, ou dans une grande population). Puis utiliser

$$
\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n
$$

pour « au moins un succès », et une calculatrice ou des tables cumulatives pour $\P(X \leq k)$ en général.

**Exemple 33.10.**

Combien de fois faut-il lancer un dé pour avoir au moins $99\%$ de chance d’obtenir un six ? Avec $X \sim \mathcal B\left(n, \frac16\right)$ : $\P(X \geq 1) = 1 - \left(\frac56\right)^n \geq 0.99$ signifie $\left(\frac56\right)^n \leq 0.01$, *c’est-à-dire* $n \geq \frac{\ln 0.01}{\ln(5/6)} \approx 25.3$ : à partir de $n = 26$ lancers.

## 33.3 Exercices

**Exercice 33.1 ★.**

Une [variable aléatoire](#def-g12-randvar-rv) $X$ prend les valeurs $-1, 0, 2, 5$ avec les [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $0.3, 0.2, 0.4, 0.1$. Calculer $\E(X)$, $\V(X)$ et $\sigma(X)$.

**Solution de Exercice 33.1.**

$\E(X) = -0.3 + 0 + 0.8 + 0.5 = 1$. $\E(X^2) = 0.3 \times 1 + 0 + 0.4\times4 + 0.1\times25 = 4.4$, donc par König–Huygens $\V(X) = 4.4 - 1 = 3.4$ et $\sigma(X) = \sqrt{3.4} \approx 1.84$.

**Exercice 33.2 ★.**

Un QCM a $10$ questions, chacune à $4$ choix dont un seul est correct. Un élève répond uniformément au hasard, indépendamment. Soit $X$ le nombre de réponses correctes.

1. Donner la [loi](#def-g12-randvar-rv) de $X$ , $\E(X)$ et $\sigma(X)$ .
2. Calculer $\P(X = 0)$ , $\P(X = 5)$ et $\P(X \geq 1)$ .

**Solution de Exercice 33.2.**

*1.* Les $10$ questions sont des [épreuves de Bernoulli](#def-g12-randvar-bernoulli) indépendantes avec $p = \frac14$ : $X \sim \mathcal B\left(10, \frac14\right)$, $\E(X) = 2.5$, $\sigma(X) = \sqrt{10 \times \frac14 \times \frac34} = \sqrt{1.875}
\approx 1.37$.

*2.* $\P(X = 0) = \left(\frac34\right)^{10} \approx 0.056$ ;

$$
\P(X = 5) = \binom{10}{5}\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^5
\approx 0.058;
\quad
\P(X \geq 1) = 1 - \left(\tfrac34\right)^{10} \approx 0.944 .
$$

**Exercice 33.3 ★.**

Une compagnie d’assurance assure $n = 400$ clients ; chacun déclare un sinistre dans l’année avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $p = 0.05$, indépendamment. Soit $X$ le nombre de sinistres. Identifier la [loi](#def-g12-randvar-rv) de $X$ et calculer son [espérance](#def-g12-randvar-exp) et son écart-type.

**Solution de Exercice 33.3.**

Essais identiques [indépendants](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) : $X \sim \mathcal B(400,\ 0.05)$, donc $\E(X) = 20$ réclamations et

$$
\sigma(X) = \sqrt{400 \times 0.05 \times 0.95} = \sqrt{19} \approx 4.4 .
$$

**Exercice 33.4 ★★.**

Dans le jeu de l’[Exemple 33.5](#ex-g12-randvar-game), l’organisateur veut un jeu équitable ($\E(G) = 0$) en changeant le prix d’entrée $c$. Trouver $c$. Calculer la [variance](#def-g12-randvar-exp) du gain pour cette version équitable ; « équitable » est-il la même chose que « sans risque » ?

**Solution de Exercice 33.4.**

Le paiement $P$ reçu vérifie $\E(P) = \frac{5 + 6}{6} = \frac{11}{6}$, donc le prix équitable est $c = \frac{11}{6} \approx 1.83$ euros. Le gain équitable $G = P - \frac{11}6$ prend les valeurs $-\frac{11}{6}, \frac{19}{6},
\frac{25}{6}$ avec [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac46, \frac16, \frac16$ :

$$
\V(G) = \E(G^2)
= \frac{4 \times 121 + 361 + 625}{6 \times 36} = \frac{1470}{216}
= \frac{245}{36} \approx 6.8,
\qquad \sigma(G) \approx 2.6 .
$$

Un jeu équitable a un gain *moyen* nul mais ses issues fluctuent encore : équitable n’est pas sans risque.

**Exercice 33.5 ★★.**

Un joueur de basket marque ses lancers francs avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $0.7$. Elle tire $8$ fois (tirs [indépendants](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep)). Calculer la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) qu’elle marque : exactement $6$ ; au moins $6$ ; au moins une fois. Quel est le nombre le plus probable de paniers ?

**Solution de Exercice 33.5.**

$X \sim \mathcal B(8,\ 0.7)$.

$$
\P(X = 6) = \binom86 (0.7)^6(0.3)^2 \approx 0.296 ;
$$

$$
\P(X \geq 6) = \P(6) + \P(7) + \P(8)
\approx 0.296 + 8(0.7)^7(0.3) + (0.7)^8
\approx 0.296 + 0.198 + 0.058 = 0.552 ;
$$

$\P(X \geq 1) = 1 - (0.3)^8 \approx 0.99993$. Mode : $(n+1)p = 6.3$, donc la valeur la plus probable est $k^* = 6$ ([Exercice 33.7](#exo-g12-randvar-7)).

**Exercice 33.6 ★★.**

Une compagnie aérienne sait que chaque passager ayant réservé se présente avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $0.9$, indépendamment. Un vol a $100$ places et la compagnie vend $104$ billets. Exprimer, à l’aide d’une [loi binomiale](#def-g12-randvar-binomial), la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) que plus de passagers se présentent qu’il n’y a de places, et la borner numériquement avec une calculatrice (donner l’expression exacte).

**Solution de Exercice 33.6.**

Le nombre de passagers se présentant est $X \sim \mathcal B(104,\ 0.9)$ ; le vol est en surréservation lorsque $X \geq 101$ :

$$
\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{104}\binom{104}{k}(0.9)^k(0.1)^{104-k}
\approx 0.006 .
$$

Vendre $4\%$ de billets de plus que de places provoque un incident sur seulement environ $0.6\%$ des vols — l’économie derrière la surréservation.

**Exercice 33.7 ★★.**

Soit $X \sim \mathcal B(n, p)$. Montrer que

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

et en déduire que la [loi](#def-g12-randvar-rv) croît jusqu’à $k^* = \floor{(n+1)p}$ et décroît ensuite (le *mode* de la binomiale).

**Solution de Exercice 33.7.**

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)}
= \frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk}\cdot\frac{p}{1-p}
= \frac{n - k}{k + 1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

en utilisant $\binom{n}{k+1} = \binom nk \frac{n-k}{k+1}$. Ce rapport est $\geq 1$ ssi $(n-k)p \geq (k+1)(1-p)$ ssi $np - k p \geq k - kp + 1 - p$ ssi $k \leq (n+1)p - 1$. Donc les [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) croissent strictement tant que $k + 1 \leq (n+1)p$ et décroissent ensuite : le [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) est atteint en $k^* = \floor{(n+1)p}$ (partagé avec $k^* - 1$ lorsque $(n+1)p$ est un entier).

**Exercice 33.8 ★★★.**

*(Saint-Pétersbourg, apprivoisé.)* On lance une pièce équilibrée jusqu’à l’apparition de pile, mais au plus $10$ fois. Soit $N$ le nombre de lancers utilisés, et le joueur reçoit $2^N$ euros si pile est apparu, $0$ sinon.

1. Donner la [loi](#def-g12-randvar-rv) de $N$ restreinte aux issues gagnantes : $\P(\text{pile d'abord au lancer } k) = 2^{-k}$ pour $1 \leq k \leq 10$ , et vérifier la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) totale de gagner.
2. Calculer le gain espéré. Que deviendrait-il sans le plafond de $10$ lancers ?

**Solution de Exercice 33.8.**

*1.* Pile d’abord au lancer $k$ signifie $k-1$ faces puis pile : [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\left(\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac12 = 2^{-k}$, pour $1 \leq k \leq 10$. [Probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) totale de gagner $\sum_{k=1}^{10} 2^{-k} = 1 - 2^{-10} = \frac{1023}{1024}$ (le jeu n’est perdu que sur dix faces consécutives).

*2.* Gain espéré :

$$
\sum_{k=1}^{10} 2^k \cdot 2^{-k} = \sum_{k=1}^{10} 1 = 10 \text{ euros}.
$$

Sans le plafond, la somme $\sum_{k\geq1} 1$ diverge : le gain espéré est infini, bien que le jeu paie presque toujours un petit montant — le célèbre *paradoxe de Saint-Pétersbourg*, montrant que l’[espérance](#def-g12-randvar-exp) seule ne mesure pas la valeur d’un jeu.

## 33.4 Problème : le vol en surréservation

**Problème 33.1.**

Devoir du week-end — les compagnies aériennes vendent plus de places qu’elles n’en ont, les usines acceptent des lots à peine inspectés, et la loi binomiale arbitre les deux

Une compagnie disposant de $100$ places vend allègrement $105$ billets : environ $10\,\%$ des passagers ne se présentent jamais, et un siège vide ne rapporte rien. Jusqu’où la compagnie peut-elle pousser avant que les passagers refusés à l’embarquement ne mangent le bénéfice ? La [loi binomiale](#def-g12-randvar-binomial) ([Théorème 33.8](#thm-g12-randvar-binomial)) répond à la décimale près — et la même mécanique inspecte les lots d’usine, tarife les tombolas et maintient les assureurs solvables. Décider en régime de répétition : c’est le métier quotidien de la binomiale.

**Partie I — Aisance.**

1. Donner le tableau complet de la [loi](#def-g12-randvar-rv) du nombre $X$ de six obtenus en trois lancers d’un dé.
2. Calculer $\E(X)$ et $V(X)$ ( [Définition 33.2](#def-g12-randvar-exp) ).
3. Un stand fait payer $1$ euro pour trois lancers et verse $2$ euros par six obtenu. Calculer le gain espéré : le jeu est-il équitable ?
4. Exercice de liste de contrôle ( [Méthode 33.9](#met-g12-randvar-recognize) ) : le nombre de cœurs parmi $5$ cartes tirées *sans* remise suit-il une [loi binomiale](#def-g12-randvar-binomial) ? Et avec remise ? Justifier.
5. Pour $X \sim \mathcal B(20,\ 0.3)$ : donner $\E(X)$ et $\sigma(X)$ , puis $\E(S)$ et $\sigma(S)$ pour le score $S = 5X - 10$ ( [Proposition 33.4](#prop-g12-randvar-affine) ).

**Partie II — Le vol en surréservation.** Places : $100$. Billets vendus : $105$. Chaque détenteur de billet se présente avec la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $0.9$, indépendamment ; on note $X$ le nombre de présents.

6. Modélisation : justifier $X \sim \mathcal B(105,\ 0.9)$ à l’aide de la liste de contrôle — et avouer le point le plus faible du modèle (les absences sont-elles vraiment indépendantes ? penser aux groupes et aux tempêtes).
7. Calculer $\E(X)$ et $\sigma(X)$ .
8. Il y a refus d’embarquement lorsque $X \geq 101$ : écrire $\P(X \geq 101)$ comme une somme explicite de cinq termes binomiaux.
9. Évaluer la somme (à la calculatrice) : quelle fraction des vols voit au moins un passager refusé ?
10. L’argent : les cinq billets supplémentaires rapportent $5 \times 200 = 1\,000$ euros ; chaque passager refusé coûte $800$ euros d’indemnisation. Calculer le nombre espéré de passagers refusés, $\sum_{k=101}^{105} (k - 100)\,\P(X = k)$ , l’indemnisation espérée, et le verdict sur cette politique.
11. Conception : le régulateur tolère $\P(\text{refus}) < 5\,\%$ . En testant $n = 105, 106, 107, \dots$ billets, déterminer le plus grand $n$ autorisé.
12. Le raccourci de la cloche : pour $n = 105$ , calculer la [cote z](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#pb-g11-stat-1) du seuil de refus, $z = \frac{100.5 - \E(X)}{\sigma(X)}$ , et comparer l’estimation grossière « environ $2\sigma$ , donc à peu près $2$ à $3\,\%$ dans la queue supérieure » avec votre réponse exacte. (La courbe qui se cache derrière ce raccourci est la vedette des chapitres suivants.)

**Partie III — La porte de l’usine.** Un lot de pièces est accepté si un [échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) de $20$ contient au plus une pièce défectueuse.

13. Si le vrai taux de défaut est $2\,\%$ (un lot honnête), calculer la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) d’acceptation.
14. Si le taux est $10\,\%$ (un mauvais lot), la calculer de nouveau.
15. Nommer les deux risques de la procédure (le lot honnête refusé ; le mauvais lot accepté), lire leurs valeurs aux questions 13 et 14, et dire quel changement unique améliore les deux à la fois — et à quel prix.
16. Derrière cette amélioration : montrer que la *[fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series)* observée de défauts $\frac Xn$ dans un [échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) de taille $n$ a pour [écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ , et en déduire comment la précision varie avec la taille de l’ [échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) (une vieille connaissance : le $\frac{1}{\sqrt n}$ d’il y a deux ans).

**Partie IV — Jeux, tombolas, réserves.**

17. Le jeu de Saint-Pétersbourg plafonné de l’ [Exercice 33.8](#exo-g12-randvar-8) a un gain espéré de $10$ euros. Le comparer en un paragraphe au paradoxe non plafonné rencontré au [Problème 18.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#pb-g11-prob-1) : qu’est-ce exactement que le plafond dompte, et quel prix serait désormais équitable ?
18. Une tombola caritative vend $200$ billets à $2$ euros ; les lots sont un panier à $100$ euros et deux paniers à $50$ euros. Calculer le gain espéré d’un billet et la marge de la tombola ; comparer avec la marge de la roulette européenne, $\frac{1}{37} \approx 2.7\,\%$ . Pourquoi la tombola s’en tire-t-elle ?
19. Un assureur détient $1\,000$ contrats [indépendants](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) : [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) de sinistre $0.01$ chacun, sinistre de $10\,000$ euros, prime de $130$ euros. Calculer le bénéfice annuel espéré *et* l’ [écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) du total des sinistres. Comparer les deux nombres : que cette comparaison impose-t-elle aux assureurs réels de détenir ?
20. Pour finir — la binomiale comme arbitre des décisions : la liste de reconnaissance ; la boussole $\E \pm \sigma$ ; les [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) de queue comme prix du risque ; et les deux réserves permanentes (l’ [indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) est une affirmation de modélisation, et ce sont les queues rares, non les [moyennes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) , qui ruinent). Une phrase pour chacun, avec l’annonce : la loi des grands nombres et la courbe en cloche, aux chapitres suivants, complètent le règlement de l’arbitre.

**Solution de Problème 33.1.**

**1.** $X \sim \mathcal B\!\left(3, \frac16\right)$ : $\P(X = 0) = \frac{125}{216}$, $\P(X = 1) = \frac{75}{216}$, $\P(X = 2) = \frac{15}{216}$, $\P(X = 3) = \frac{1}{216}$.

**2.** $\E(X) = 3 \times \frac16 = \frac12$ ; $V(X) = 3 \times \frac16 \times \frac56 = \frac{5}{12}$.

**3.** Versement espéré $2\,\E(X) = 1$ euro contre une mise de $1$ euro : gain nul — parfaitement équitable (une rareté).

**4.** Sans remise, les tirages sont dépendants (les chances de la seconde carte dépendent de la première) : la [loi](#def-g12-randvar-rv) n’est pas binomiale — la case « [indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) » de la liste de contrôle échoue. Avec remise : $n = 5$ fixé, $p = \frac14$ constant, tirages [indépendants](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) : c’est binomial.

**5.** $\E(X) = 6$, $\sigma(X) = \sqrt{4.2} \approx 2.05$. $\E(S) = 5 \times 6 - 10 = 20$ ; $\sigma(S) = 5\sigma(X) \approx 10.25$.

**6.** $n = 105$ épreuves fixées (les billets), chacune une présence ou une absence de même paramètre $p = 0.9$, supposées indépendantes : c’est binomial. L’aveu : les familles ratent leur vol *ensemble* et les tempêtes vident des avions entiers — l’[indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) est l’acte de foi du modèle, et des absences corrélées rendent les queues plus épaisses que ne le promet la binomiale.

**7.** $\E(X) = 94.5$ ; $\sigma(X) = \sqrt{105 \times 0.9 \times 0.1} = \sqrt{9.45}
\approx 3.07$.

**8.** $\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{105}
\binom{105}{k} 0.9^k\, 0.1^{105 - k}$.

**9.** Environ $0.0167$ : à peu près un vol sur soixante refuse quelqu’un.

**10.** $\E(\text{refusés}) \approx 0.023$ passager par vol : indemnisation espérée d’environ $19$ euros — contre $1\,000$ euros de recettes supplémentaires. Surréserver de cinq places est massivement rentable ; d’où la pratique universelle.

**11.** D’après le tableau des [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) de queue : $n = 105$ : $1.7\,\%$ ; $n = 106$ : $4.0\,\%$ ; $n = 107$ : $8.1\,\%$. La plus grande vente conforme est de $n = 106$ billets.

**12.** $z = \frac{100.5 - 94.5}{3.07} \approx 1.95$ : le seuil se situe deux [écarts types](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) au-dessus de la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean), et la règle empirique de la cloche (« queue supérieure au-delà de $2\sigma$ $\approx 2.5\,\%$ ») tombe près du $1.7\,\%$ exact — la courbe lisse qui double la binomiale est la protagoniste des chapitres à venir.

**13.** $0.98^{20} + 20 \times 0.02 \times 0.98^{19}
\approx 0.94$ : le lot honnête passe $94\,\%$ du temps.

**14.** $0.9^{20} + 20 \times 0.1 \times 0.9^{19}
\approx 0.39$ : le mauvais lot se faufile encore $39\,\%$ du temps.

**15.** Risque du producteur : un bon lot refusé (environ $6\,\%$) ; risque du consommateur : un mauvais lot accepté (environ $39\,\%$). Un [échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) plus grand (avec un seuil d’acceptation proportionnel) réduit les deux — au prix de davantage d’inspection : la qualité a sa ligne budgétaire.

**16.** $V\!\left(\frac Xn\right) = \frac{V(X)}{n^2} =
\frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}$ : l’[écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) vaut $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Quadrupler l’[échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) divise le bruit par deux : la [loi](#def-g12-randvar-rv) en $\frac{1}{\sqrt n}$ des [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de fluctuation d’il y a deux ans, désormais démontrée.

**17.** Le plafond borne le gain à $2^{10} = 1024$ euros, si bien que chacun des dix tours contribue exactement pour $1$ euro à l’[espérance](#def-g12-randvar-exp) : $\E = 10$. L’[espérance](#def-g12-randvar-exp) infinie du jeu non plafonné venait entièrement de gains astronomiquement rares et astronomiquement grands ; plafonner, c’est avouer qu’aucune banque ne verse $2^{50}$ euros. Prix équitable du billet pour le jeu plafonné : $10$ euros — et voilà le paradoxe dissipé.

**18.** Lots espérés par billet : $\frac{100 + 2 \times 50}{200} = 1$ euro contre un billet à $2$ euros : marge de $50\,\%$ — dix-huit fois les $2.7\,\%$ de la roulette. La tombola s’en tire parce que ses joueurs font sciemment un don : la « perte » est précisément le but.

**19.** Sinistres espérés : $1\,000 \times 0.01 \times
10\,000 = 100\,000$ ; primes : $130\,000$ : bénéfice espéré $30\,000$ euros. [Écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) du total des sinistres : $10\,000 \times \sqrt{1\,000 \times 0.01 \times 0.99}
\approx 31\,500$ euros — une seule mauvaise année ordinaire dévore tout le bénéfice espéré. D’où les réserves de capital, la réassurance et des portefeuilles bien plus vastes que mille contrats : les assureurs vivent de la loi des grands nombres et gardent des réserves contre sa lenteur.

**20.** La liste de contrôle d’abord — $n$ fixé, même $p$, [indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) *revendiquée* — sans quoi il n’y a pas de binomiale du tout. Ensuite, naviguer avec $\E \pm \sigma$ : les [moyennes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) situent, les écarts avertissent. Puis tarifer les queues : refus d’embarquement, mauvais lots et années ruineuses vivent tous au-delà de $2\sigma$. Réserves : l’[indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) est une promesse du modélisateur, pas du monde ; et l’[espérance](#def-g12-randvar-exp) ignore précisément ce qui vous détruit. Les pages manquantes du règlement — à quelle vitesse les [fréquences](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) se stabilisent, et quelle forme prennent les fluctuations — sont les deux chapitres suivants.