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title: "Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 34
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/34-sommes-de-variables-aleatoires-et-loi-des-grands-nombres
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# Chapitre 34 — Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres

Pourquoi les casinos gagnent-ils toujours à la fin, et pourquoi les sondages fonctionnent-ils ? Parce que les [moyennes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) de nombreuses quantités aléatoires [indépendantes](#def-g12-sums-indep) fluctuent de moins en moins. Ce chapitre le prouve : linéarité de l’[espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp), additivité de la [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) pour des variables [indépendantes](#def-g12-sums-indep), inégalité de Bienaymé–Tchebychev, et loi des grands nombres.

## 34.1 Sommes de variables aléatoires

Étant données deux [variables aléatoires](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) $X, Y$ sur le même [univers](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-model) fini $\Omega$, la somme $X + Y$ est la [variable aléatoire](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) $\omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$.

**Théorème 34.1 (Linéarité de l’espérance).**

Pour toutes [variables aléatoires](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) $X, Y$ sur $\Omega$ et $a, b \in \R$ :

$$
\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y), \qquad \E(aX + b) = a\E(X) + b .
$$

*Aucune hypothèse d’[indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) n’est nécessaire.*

**Démonstration.** Écrivons l’[espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) comme une somme sur les issues. Comme $\P(X = x) = \sum_{\omega : X(\omega) = x} \P(\{\omega\})$, un regroupement des termes donne

$$
\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} \P(\{\omega\})\,X(\omega) .
$$

Alors

$$
\E(X + Y) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})\bigl(X(\omega) + Y(\omega)\bigr)
= \sum_{\omega} \P(\{\omega\})X(\omega)
+ \sum_{\omega} \P(\{\omega\})Y(\omega) = \E(X) + \E(Y). \qedhere
$$

∎

**Définition 34.2 (Variables aléatoires indépendantes).**

$X$ et $Y$ sont *indépendantes* si pour toutes valeurs $x, y$ :

$$
\P(X = x \text{ et } Y = y) = \P(X = x)\,\P(Y = y).
$$

Plusieurs variables $X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes si cette règle de produit vaut pour tout choix de valeurs de toute sous-famille.

**Proposition 34.3.**

Si $X$ et $Y$ sont [indépendantes](#def-g12-sums-indep), $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$.

**Démonstration.**

$$
\begin{aligned}
\E(XY) &= \sum_{x, y} xy\;\P(X = x \text{ et } Y = y)
= \sum_{x, y} xy\,\P(X=x)\P(Y=y) \\
&= \Bigl(\sum_x x\P(X=x)\Bigr)\Bigl(\sum_y y\P(Y=y)\Bigr). \qedhere
\end{aligned}
$$

∎

**Théorème 34.4 (Variance d’une somme).**

Si $X$ et $Y$ sont *[indépendantes](#def-g12-sums-indep)*, alors

$$
\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y).
$$

Plus généralement, pour $X_1, \dots, X_n$ [indépendantes](#def-g12-sums-indep) : $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n)$.

**Démonstration.** En utilisant König–Huygens ([Proposition 33.3](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#prop-g12-randvar-konig)) et la linéarité :

$$
\begin{align*}
\V(X + Y) &= \E\bigl((X+Y)^2\bigr) - \bigl(\E X + \E Y\bigr)^2\\
&= \E(X^2) + 2\E(XY) + \E(Y^2)
- \E(X)^2 - 2\E(X)\E(Y) - \E(Y)^2\\
&= \V(X) + \V(Y) + 2\bigl(\E(XY) - \E(X)\E(Y)\bigr),
\end{align*}
$$

et le dernier crochet s’annule pour des variables [indépendantes](#def-g12-sums-indep) ([Proposition 34.3](#prop-g12-sums-prodexp)). Le cas général suit par récurrence. ∎

**Exemple 34.5 (Binomiale revisitée).**

Une variable binomiale $X \sim \mathcal B(n, p)$ est une somme $X = X_1 + \dots + X_n$ de $n$ variables de Bernoulli [indépendantes](#def-g12-sums-indep). D’où, structurellement :

$$
\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p),
$$

retrouvant [Théorème 33.8](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#thm-g12-randvar-binomial) sans aucun calcul.

**Proposition 34.6 (Moyenne empirique).**

Soient $X_1, \dots, X_n$ [indépendantes](#def-g12-sums-indep) de même [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) que $X$ ([espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $\mu$, [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2$), et soit $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ leur *moyenne empirique*. Alors

$$
\E(M_n) = \mu, \qquad \V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad
\sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.
$$

**Démonstration.** La linéarité donne $\E(M_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu$ ; l’[indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) donne $\V(X_1 + \dots + X_n) = n\sigma^2$, et diviser par $n$ multiplie la [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) par $\frac{1}{n^2}$ ([Proposition 33.4](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#prop-g12-randvar-affine)). ∎

La quantité $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ est la *loi de la racine carrée* fondamentale : pour diviser par deux les fluctuations d’une [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean), il faut quadrupler la taille de l’[échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample).

![La loi de la racine carrée : chaque quadruplement de la taille de l’échantillon ne divise l’écart-type de la moyenne que par deux.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-sums/fig-6dba91820ddb.svg)

*La loi de la racine carrée : chaque quadruplement de la taille de l’[échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) ne divise l’écart-type de la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) que par deux.*

## 34.2 Inégalités de concentration

**Théorème 34.7 (Inégalité de Markov).**

Si $X \geq 0$ et $a > 0$ :

$$
\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a}.
$$

**Démonstration.** Dans $\E(X) = \sum_i p_i x_i$ (tous les termes positifs), ne garder que les termes avec $x_i \geq a$ : chacun vaut au moins $a\,p_i$, donc $\E(X) \geq a \sum_{x_i \geq a} p_i = a\,\P(X \geq a)$. ∎

**Théorème 34.8 (Inégalité de Bienaymé–Tchebychev).**

Pour toute [variable aléatoire](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) $X$ et tout $\varepsilon > 0$ :

$$
\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.
$$

**Démonstration.** Appliquer l’inégalité de Markov à la variable positive $Y = (X - \E(X))^2$ avec $a = \varepsilon^2$ :

$$
\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr)
= \P(Y \geq \varepsilon^2)
\leq \frac{\E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}. \qedhere
$$

∎

![Concentration : Bienaymé–Tchebychev borne la probabilité que X tombe dans les queues (en rouge), à distance au moins de son espérance, par (X)/ 2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-sums/fig-f1c91d470ce9.svg)

*Concentration : Bienaymé–Tchebychev borne la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) que $X$ tombe dans les queues (en rouge), à distance au moins $\varepsilon$ de son [espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp), par $\V(X)/\varepsilon^2$.*

**Théorème 34.9 (Loi des grands nombres).**

Soient $X_1, \dots, X_n$ [indépendantes](#def-g12-sums-indep) de même [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) ([espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $\mu$, [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2$) et $M_n$ leur [moyenne empirique](#prop-g12-sums-mean). Pour tout $\varepsilon > 0$ :

$$
\P\bigl(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2}
\xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 .
$$

La [moyenne empirique](#prop-g12-sums-mean) se concentre autour de l’[espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp).

**Démonstration.** Bienaymé–Tchebychev appliqué à $M_n$, d’[espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $\mu$ et de [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $\frac{\sigma^2}{n}$ ([Proposition 34.6](#prop-g12-sums-mean)). ∎

**Remarque 34.10.**

Ce théorème est le pont entre théorie des [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) et statistique : la *[fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series)* d’un [événement](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-model) sur de nombreuses répétitions [indépendantes](#def-g12-sums-indep) approche sa *[probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution)* (prendre $X_i$ l’indicatrice de l’[événement](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-model), de sorte que $\mu = p$). Il justifie l’estimation d’une [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) par simulation (*méthode de Monte-Carlo*) et d’une proportion dans une population par un sondage — quantitativement : voir [Chapitre 35](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/35-variables-aleatoires-continues#ch-g12-contdist).

**Méthode 34.11 (Utiliser Bienaymé–Tchebychev).**

Pour garantir $\P(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon) \leq \alpha$, il suffit que $n \geq \frac{\sigma^2}{\alpha\,\varepsilon^2}$. La borne est grossière (les fluctuations réelles sont en général bien plus petites) mais parfaitement générale : elle n’exige rien sur la [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) au-delà d’une [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) finie.

## 34.3 Exercices

**Exercice 34.1 ★.**

On lance deux dés équilibrés ; soit $S$ la somme. En utilisant la linéarité (pas la [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) de $S$ !), calculer $\E(S)$ ; puis calculer $\V(S)$ en utilisant l’[indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep), sachant qu’un dé équilibré a pour [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $\frac{35}{12}$.

**Solution de Exercice 34.1.**

Chaque dé a pour [espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$, donc par linéarité $\E(S) = \frac72 + \frac72 = 7$. Les dés sont [indépendants](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep), donc $\V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.83$.

**Exercice 34.2 ★.**

Soit $X \sim \mathcal B(100,\ 0.5)$. Borner $\P(X \geq 75)$ par l’inégalité de Markov, puis $\P(\abs{X - 50} \geq 25)$ par Bienaymé–Tchebychev. Comparer.

**Solution de Exercice 34.2.**

$\E(X) = 50$ et $\V(X) = 100 \times 0.25 = 25$.

Markov ($X \geq 0$) : $\P(X \geq 75) \leq \frac{50}{75} = \frac23$.

Bienaymé–Tchebychev : $\P(\abs{X - 50} \geq 25) \leq \frac{25}{25^2} = 0.04$ — et cela borne même l’[événement](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-model) *bilatéral*, dont $X \geq 75$ est la moitié. Tchebychev est bien plus fin ici car il exploite la [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp), pas seulement la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean). (La vraie valeur de $\P(X \geq 75)$ est inférieure à $10^{-6}$ : les deux bornes sont grossières.)

**Exercice 34.3 ★.**

On lance une pièce équilibrée $n$ fois et $F_n$ désigne la [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) de pile. Quelle taille $n$ doit-on prendre pour que, par la borne de Bienaymé–Tchebychev, $\P\bigl(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\bigr) \leq 0.05$ ?

**Solution de Exercice 34.3.**

$F_n$ est la [moyenne empirique](#prop-g12-sums-mean) de $n$ variables de Bernoulli $\left(\frac12\right)$, de [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2 = \frac14$. La borne

$$
\P\left(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\right)
\leq \frac{1/4}{n \times 0.05^2} = \frac{100}{n}
$$

est $\leq 0.05$ dès que $n \geq 2000$.

**Exercice 34.4 ★★.**

Une investisseuse répartit son capital également entre $n$ actifs [indépendants](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep), chacun de rendement espéré $\mu = 5\%$ et d’écart-type $\sigma = 20\%$. Calculer l’[espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) et l’écart-type du rendement du portefeuille $M_n$, et le nombre d’actifs nécessaires pour ramener l’écart-type sous $4\%$. Quel principe financier cela illustre-t-il ?

**Solution de Exercice 34.4.**

Par la [Proposition 34.6](#prop-g12-sums-mean), $\E(M_n) = 5\%$ (la diversification ne change pas le rendement espéré) et $\sigma(M_n) = \frac{20\%}{\sqrt n}$. Exiger $\frac{20}{\sqrt n} < 4$ donne $\sqrt n > 5$, *c.-à-d.* $n \geq 26$. C’est le principe de *diversification* : répartir le capital sur des risques [indépendants](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) divise le risque ([écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance)) par $\sqrt n$ sans réduire le rendement espéré.

**Exercice 34.5 ★★.**

Soient $X$ et $Y$ [indépendantes](#def-g12-sums-indep), toutes deux uniformes sur $\{1, 2, 3\}$.

1. Donner la [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) de $S = X + Y$ et calculer $\E(S)$ , $\V(S)$ directement à partir de celle-ci.
2. Retrouver les deux valeurs par linéarité et additivité de la [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) .

**Solution de Exercice 34.5.**

*1.* En comptant les $9$ couples équiprobables : $S$ prend les valeurs $2, 3, 4, 5, 6$ avec [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac19, \frac29, \frac39, \frac29, \frac19$. D’où $\E(S) = \frac{2 + 6 + 12 + 10 + 6}{9} = 4$ et $\E(S^2) = \frac{4 + 18 + 48 + 50 + 36}{9} = \frac{156}{9} = \frac{52}{3}$, donc $\V(S) = \frac{52}{3} - 16 = \frac43$.

*2.* Une variable : $\E(X) = 2$, $\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9}{3} = \frac{14}{3}$, $\V(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23$. Puis $\E(S) = 2 + 2 = 4$ et, par [indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep), $\V(S) = \frac23 + \frac23 = \frac43$. Mêmes valeurs.

**Exercice 34.6 ★★.**

Montrer que l’additivité de la [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) peut échouer sans [indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) : calculer $\V(X + Y)$ pour $Y = X$, et comparer avec $\V(X) + \V(Y)$. Pour quelles variables $X$ a-t-on $\V(2X) = 2\V(X)$ ?

**Solution de Exercice 34.6.**

Avec $Y = X$ : $\V(X + Y) = \V(2X) = 4\V(X)$, tandis que $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X)$. Les deux coïncident seulement lorsque $\V(X) = 0$, *c.-à-d.* lorsque $X$ est constante — donc l’additivité exige vraiment l’[indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) (ici $X$ est maximalement dépendante d’elle-même).

**Exercice 34.7 ★★.**

Un dé est soupçonné d’être pipé. On le lance $1200$ fois et on obtient un six $260$ fois ($f = 0.2167$ au lieu de $\frac16 \approx 0.1667$). Sous l’hypothèse que le dé est équilibré, borner $\P\bigl(\abs{F_n - \frac16} \geq 0.05\bigr)$ par Bienaymé–Tchebychev, et discuter si l’hypothèse d’équité est plausible.

**Solution de Exercice 34.7.**

Sous l’hypothèse d’équilibre, $F_n$ est la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) de $n = 1200$ variables de Bernoulli avec $p = \frac16$, $\sigma^2 = \frac16\cdot\frac56 = \frac{5}{36}$ :

$$
\P\left(\abs{F_n - \tfrac16} \geq 0.05\right)
\leq \frac{5/36}{1200 \times 0.0025} = \frac{5}{108} \approx 0.046 .
$$

L’écart observé est exactement $0.05$ : un [événement](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-model) qu’un dé équilibré produit avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) au plus $4.6\%$ — et comme Tchebychev est très conservateur, la vraie [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) est bien plus petite. L’hypothèse d’équilibre n’est pas plausible ; le dé est très probablement pipé.

**Exercice 34.8 ★★★.**

*(Une meilleure inégalité pour la pièce.)* Soient $X \sim \mathcal B(n,\ p)$ et $F_n = \frac Xn$.

1. Montrer que $p(1-p) \leq \frac14$ pour $p \in \intcc{0}{1}$ .
2. En déduire la borne indépendante de la [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) $\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq  \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .
3. Combien de personnes faut-il interroger pour que la [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée soit à moins de $3$ points de la vraie proportion avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) au moins $95\%$ , en utilisant cette borne ? (Les vrais sondages utilisent des estimations plus fines, mais l’ordre de grandeur est correct.)

**Solution de Exercice 34.8.**

*1.* $p(1-p) = \frac14 - \left(p - \frac12\right)^2 \leq \frac14$.

*2.* $F_n$ a pour [espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $p$ et pour [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $\frac{p(1-p)}{n} \leq \frac{1}{4n}$ ; Bienaymé–Tchebychev donne

$$
\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2},
$$

valable quel que soit le $p$ inconnu.

*3.* Avec $\varepsilon = 0.03$ et niveau $0.05$ :

$$
\frac{1}{4n(0.03)^2} \leq 0.05
\iff n \geq \frac{1}{4 \times 0.0009 \times 0.05} \approx 5556 .
$$

Environ $5600$ personnes suffisent par cette borne grossière (la réponse classique par [approximation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-approx) normale est plus proche de $1100$, voir le [Chapitre 35](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/35-variables-aleatoires-continues#ch-g12-contdist)).

## 34.4 Problème : la banque gagne toujours

**Problème 34.1.**

Devoir du week-end — la loi des grands nombres explique les casinos, les sondages et l’assurance, et démolit au passage l’illusion du joueur

Un joueur de roulette, après $100$ tours, est *gagnant* presque une fois sur deux. Le casino qui fait tourner un million de coups est gagnant avec une certitude qu’aucun tribunal ne contesterait. Même jeu, même minuscule avantage — la différence est $\sqrt n$, et c’est le sujet de ce chapitre ([Proposition 34.6](#prop-g12-sums-mean), [Théorème 34.8](#thm-g12-sums-chebyshev), [Théorème 34.9](#thm-g12-sums-lln)). Ce problème tient la comptabilité du casino, dimensionne un sondage électoral, tarife la diversification — et démonte le sophisme le plus coûteux de l’histoire du jeu.

**Partie I — Aisance.**

1. Deux dés [indépendants](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) : calculer $V(X + Y)$ ( [Théorème 34.4](#thm-g12-sums-variance) ).
2. On lance $100$ dés [indépendants](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) et l’on fait la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) des résultats : donner l’ [espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) et l’ [écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) de la [moyenne empirique](#prop-g12-sums-mean) ( [Proposition 34.6](#prop-g12-sums-mean) ; pour un dé, $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1.71$ ).
3. Une [variable aléatoire](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) positive a pour [espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $2$ . Que dit l’inégalité de Markov ( [Théorème 34.7](#thm-g12-sums-markov) ) de $\P(X \geq 10)$ ?
4. Majorer $\P\left(\abs{\bar X_{100} - 3.5} \geq  0.5\right)$ pour la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) des dés de la question 2 par l’inégalité de Bienaymé–Tchebychev.
5. Les [espérances](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) s’ajoutent toujours, les [variances](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) seulement sous [indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) : exhiber des variables $X, Y$ dépendantes (indication : $Y = -X$ ) pour lesquelles $V(X + Y) \neq V(X) + V(Y)$ .

**Partie II — Les comptes de la banque.** Roulette européenne, mise de $1$ euro sur le rouge : gain $+1$ avec la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac{18}{37}$, perte $-1$ avec la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac{19}{37}$.

6. Calculer l’ [espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) et l’ [écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) du gain d’une mise.
7. Un joueur effectue $100$ mises [indépendantes](#def-g12-sums-indep) ; soit $G$ le gain total. Calculer $\E(G)$ et $\sigma(G)$ , puis le rapport $\frac{\abs{\E(G)}}{\sigma(G)}$ . Que signifie une dérive d’un quart d’ [écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) pour les chances du joueur d’être gagnant ce soir ?
8. Le casino voit passer $1\,000\,000$ de mises. Calculer l’ [espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) et l’ [écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) de sa recette totale, puis le même rapport. Interpréter le nombre $27$ .
9. Certifier avec Tchebychev : majorer la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) que le casino *perde* de l’argent sur le million de mises.
10. Les martingales : doubler après une perte, s’arrêter quand on est gagnant … À l’aide de la linéarité de l’ [espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) ( [Théorème 34.1](#thm-g12-sums-linearity) ) sur la [suite](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) (éventuellement aléatoire) des mises, expliquer pourquoi *toute* stratégie dans un jeu à avantage négatif a un gain espéré négatif — que violerait une martingale gagnante ?
11. Énoncer ce que la loi des grands nombres ( [Théorème 34.9](#thm-g12-sums-lln) ) promet sur la [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) du rouge — et ce qu’elle ne promet *pas* sur le prochain coup après dix rouges d’affilée. Nommer le sophisme.
12. Le point le plus subtil : la [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) opère par *dilution* , non par compensation. Si les rouges sont en avance de $100$ sur l’ [espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) au soir d’une soirée, cet excédent n’est jamais « remboursé » — calculer ce qu’il advient plutôt de la *fraction* $\frac{100}{n}$ à $n = 10^6$ , et réécrire en une phrase l’erreur de l’illusion du joueur.

**Partie III — Les sondages.**

13. D’après l’ [Exercice 34.8](#exo-g12-sums-8) : combien de personnes faut-il interroger pour que la [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée tombe à moins de $3$ points de la vérité avec une [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) d’au moins $95\,\%$ , selon la majoration de Tchebychev, valable sans hypothèse de forme ?
14. Les instituts de sondage réels emploient environ $1\,100$ personnes pour une marge de $\pm 3$ points à $95\,\%$ : leur formule est $n \approx \frac{1.96^2 \times p(1-p)}{\varepsilon^2}$ avec $p(1-p) \leq \frac14$ . L’évaluer, et expliquer l’écart avec la question 13 (que Tchebychev ignore-t-il de la forme des fluctuations ?).
15. Pour diviser par deux la marge d’erreur, comment l’ [échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) doit-il croître ? En partant de $\pm 3$ points à $1\,100$ personnes, quel [échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) donne $\pm 1.5$ point ?
16. Le classique contre-intuitif : la taille d’ [échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) nécessaire n’a jamais fait appel à la taille de la population — $1\,100$ personnes suffisent pour une ville comme pour un continent. Montrer l’endroit du modèle où la taille de la population est absente, et donner l’analogie culinaire dont usent les sondeurs.

**Partie IV — La diversification.**

17. L’assureur du [Problème 33.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#pb-g12-randvar-1) gagne $30n$ euros en [espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) sur $n$ contrats, avec un [écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) des sinistres d’environ $315\sqrt n$ . À partir de quel $n$ le bénéfice espéré dépasse-t-il enfin un [écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) des sinistres ? Que fait le $\sqrt n$ pour l’assureur ?
18. Le rendement annuel d’une action fluctue avec $\sigma = 20\,\%$ . Répartissons l’argent également sur $25$ actions de ce type, *[indépendantes](#def-g12-sums-indep)* : calculer le $\sigma$ du portefeuille. La finance appelle la diversification le seul repas gratuit — en quoi consiste exactement ce repas ?
19. Supposons maintenant les $25$ actions parfaitement corrélées (elles bougent toutes ensemble) : que vaut le $\sigma$ du portefeuille ? Comparer les deux extrêmes et dire quelle hypothèse tout raisonnement de diversification loue en secret — et ce qui s’est produit lorsqu’elle a cédé à l’échelle du système en 2008.
20. Pour finir — la symphonie du $\sqrt n$ : les sommes fluctuent comme $\sqrt n$ tandis que leurs [moyennes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) se stabilisent comme $\frac{1}{\sqrt n}$ ; jouer le thème à travers les quatre industries de ce problème (casino, sondage, assurance, portefeuille), nommer les deux contrevenants habituels (l’illusion du joueur et l’ [indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) de façade), et donner l’annonce : la *forme* des fluctuations — la cloche — est la vedette [continue](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity) du chapitre suivant, et son théorème complet couronne les volumes universitaires.

**Solution de Problème 34.1.**

**1.** $V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} +
\frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ (par [indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep)).

**2.** $\E(\bar X) = 3.5$ ; $\sigma(\bar X) = \frac{1.71}{\sqrt{100}} \approx 0.17$ : la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) de cent dés serre $3.5$ à un cinquième de point près.

**3.** $\P(X \geq 10) \leq \frac{2}{10} = 0.2$.

**4.** $\P \leq \frac{V(\bar X)}{0.5^2} =
\frac{35/1200}{0.25} \approx 0.117$ : au plus $12\,\%$ environ.

**5.** Avec $Y = -X$ : $V(X + Y) = V(0) = 0$, alors que $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$ : des variables parfaitement anticorrélées se compensent — l’additivité des [variances](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) est un privilège de l’[indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep).

**6.** $\E = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} = -\frac{1}{37}
\approx -0.027$ ; $\sigma = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{37}\right)^2} \approx 1.00$.

**7.** $\E(G) = -2.70$, $\sigma(G) = 10 \times 1.00 = 10$ : la dérive ne vaut que $0.27\sigma$. Le bruit d’une soirée écrase l’avantage de la banque — une large minorité de joueurs (environ $40\,\%$, dit la cloche) repart gagnante, et c’est précisément ce qui les fait revenir.

**8.** Recette du casino : [espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $+27\,027$ euros, [écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) environ $1\,000$ : le bénéfice se situe $27$ [écarts types](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) au-dessus de zéro. À $27\sigma$, « le casino pourrait perdre cette année » n’est pas un risque, c’est une erreur d’arrondi.

**9.** $\P(\text{perte}) = \P(G \geq 27\,027$ pour les joueurs$)$ $\leq \frac{10^6 \times 1}{27\,027^2} \approx 0.0014$ : même l’inégalité la plus grossière du livre garantit la banque à $99.86\,\%$ — la vérité est astronomiquement plus forte.

**10.** Chaque euro misé, quand et comme que ce soit, a un rendement espéré de $-\frac{1}{37}$ de lui-même ; par linéarité, le gain total espéré vaut $-\frac{1}{37} \times (\text{total misé})$, négatif pour toute stratégie qui mise quelque chose. Une martingale gagnante violerait la linéarité de l’[espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) — aucun ordonnancement astucieux de mauvais paris n’en fait un bon. (Les martingales de doublement échangent simplement beaucoup de petits gains contre de rares pertes catastrophiques.)

**11.** Le théorème : la *[fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series)* du rouge sur $n$ coups [converge](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-limit) (en [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution)) vers $\frac{18}{37}$. Il ne dit rien du coup $n + 1$ : la roue n’a pas de mémoire, et après dix rouges la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) du rouge vaut toujours $\frac{18}{37}$. Croire le contraire, c’est l’*illusion du joueur*, et la question 12 montre ce qu’il advient réellement des séries.

**12.** L’excédent de $100$ rouges n’est pas remboursé — les coups à venir sont des copies équitables, et l’excédent espéré reste $100$. Mais $\frac{100}{10^6} = 0.0001$ : un centième de point. L’erreur du sophisme en une phrase : *la loi des grands nombres dilue les accidents passés dans un océan d’épreuves nouvelles ; elle n’envoie jamais la roue recouvrer des dettes.*

**13.** $n \geq \frac{1}{4 \times 0.05 \times 0.03^2}
\approx 5\,556$ personnes.

**14.** $\frac{1.96^2 \times 0.25}{0.03^2} \approx 1\,067$ : cinq fois moins. Tchebychev vaut pour *toutes* les [lois](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) et paie son universalité par du mou ; la constante $1.96$ des sondeurs vient de la vraie forme en cloche des fluctuations, qui se concentre bien davantage.

**15.** La marge est proportionnelle à $\frac{1}{\sqrt n}$ : la diviser par deux quadruple l’[échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) — environ $4\,400$ personnes pour $\pm 1.5$ point. La précision s’achète à prix quadratique.

**16.** Le modèle est celui de $n$ tirages [indépendants](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) de [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) de succès $p$ — la taille $N$ de la population n’y apparaît jamais (sonder une infime fraction d’une grande population bien brassée, voilà ce que code l’[indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep)). L’analogie des sondeurs : pour goûter la soupe, une cuillerée bien remuée suffit — que la marmite serve dix personnes ou dix mille. Le piège est le brassage — un plan de sondage biaisé, comme dans le sondage du volume précédent qui a trompé tout un pays — et non la marmite.

**17.** $315\sqrt n < 30n \iff \sqrt n > 10.5 \iff n > 110$ : au-delà d’une centaine de contrats, la dérive distance le bruit, et chaque contrat supplémentaire creuse l’écart selon la [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) en $\sqrt n$ — la mutualisation *est* le modèle économique.

**18.** Parts égales [indépendantes](#def-g12-sums-indep) : $\sigma_{\text{pf}} =
\frac{20\,\%}{\sqrt{25}} = 4\,\%$ : même rendement espéré, un cinquième de la fluctuation. Le repas : une réduction du risque à coût nul en [espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) — moyenner du hasard indépendant.

**19.** Parfaitement corrélées : le portefeuille n’est qu’une seule action en $25$ costumes, donc $\sigma = 20\,\%$, sans la moindre réduction. La diversification loue l’*[indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep)* ; lorsqu’une crise corrèle tout (2008 : tous les paris immobiliers n’en faisaient qu’un), la protection en $\sqrt n$ s’évapore exactement au moment où l’on en a besoin.

**20.** Les sommes dérivent comme $n$ et fluctuent comme $\sqrt n$, si bien que les [moyennes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) se stabilisent comme $\frac{1}{\sqrt n}$ : le casino encaisse la dérive sur un million de coups ; le sondeur achète $\frac{1}{\sqrt{1100}}$ de bruit pour un budget de téléphone ; l’assureur dépasse ses propres sinistres dès $n > 110$ ; l’investisseur divise le risque par $\sqrt{25}$. Contrevenants : le joueur qui croit aux dettes (il n’y a que dilution) et le financier qui croit à l’[indépendance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep) (il n’y a parfois qu’un seul pari). La forme universelle des fluctuations — la cloche — est la vedette du chapitre continu qui vient, et son théorème, le théorème central limite, est le sommet des [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) des volumes universitaires.