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title: "Variables aléatoires continues"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 35
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/35-variables-aleatoires-continues
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# Chapitre 35 — Variables aléatoires continues

Temps d’attente, mesures physiques, proportions : de nombreuses quantités aléatoires prennent un continuum de valeurs, et aucune valeur isolée n’a de [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) positive. Les [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) se calculent alors en intégrant une *[densité](#def-g12-contdist-density)*. Ce chapitre étudie les [lois uniforme](#def-g12-contdist-uniform), exponentielle et normale, et utilise la [loi normale](#def-g12-contdist-normal) pour quantifier les fluctuations des sondages et des [échantillons](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample).

## 35.1 Densités de probabilité

**Définition 35.1 (Densité, variable aléatoire continue).**

Une *densité de probabilité* sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$ est une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [continue](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity), positive ou nulle, $f$ sur $I$ avec $\int_I f(t)\,\dd t = 1$ (l’[intégrale](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/25-integration#def-g12-integ-area) sur un $I$ non borné s’entendant comme limite d’[intégrales](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/25-integration#def-g12-integ-area) sur des [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) bornés croissants). Une [variable aléatoire](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) $X$ a pour densité $f$ si pour tous $a \leq b$ dans $I$ :

$$
\P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\,\dd t .
$$

Les [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) sont des *aires sous la courbe de [densité](#def-g12-contdist-density)*. En particulier $\P(X = a) = \int_a^a f = 0$ pour toute valeur isolée $a$ : seuls les [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) portent de la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution), et $\P(a \leq X \leq b) = \P(a < X < b)$.

**Définition 35.2 (Espérance et variance).**

Pour $X$ de [densité](#def-g12-contdist-density) $f$ sur $I$ :

$$
\E(X) = \int_I t\,f(t)\,\dd t, \qquad
\V(X) = \int_I \bigl(t - \E(X)\bigr)^2 f(t)\,\dd t
= \E(X^2) - \E(X)^2 .
$$

Les règles des chapitres 14–15 (linéarité de l’[espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp), additivité de la [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) pour des variables [indépendantes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/34-sommes-de-variables-aleatoires-et-loi-des-grands-nombres#def-g12-sums-indep), Bienaymé–Tchebychev) restent valables ; leurs preuves, avec des [intégrales](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/25-integration#def-g12-integ-area) à la place des sommes, sont admises à ce niveau.

## 35.2 Loi uniforme

**Définition 35.3 (Loi uniforme).**

$X$ suit la *loi uniforme* $\mathcal U\intcc ab$ si sa [densité](#def-g12-contdist-density) est constante, $f(t) = \frac{1}{b-a}$ sur $\intcc{a}{b}$. Alors pour $\intcc{c}{d} \subseteq \intcc ab$, $\P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$ : [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) proportionnelle à la longueur.

**Proposition 35.4.**

Si $X \sim \mathcal U\intcc ab$, alors $\E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ et $\V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$.

**Démonstration.** $\E(X) = \int_a^b \frac{t}{b-a}\dd t
= \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$. Pour la [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp), $\E(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$, et

$$
\V(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4}
= \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12}
= \frac{(b - a)^2}{12}. \qedhere
$$

∎

## 35.3 Loi exponentielle

**Définition 35.5 (Loi exponentielle).**

Pour $\lambda > 0$, $X$ suit la *loi exponentielle* $\mathcal E(\lambda)$ si sa [densité](#def-g12-contdist-density) sur $\intco{0}{+\infty}$ est

$$
f(t) = \lambda\,\eu^{-\lambda t}.
$$

Alors $\P(X \leq x) = 1 - \eu^{-\lambda x}$ et $\P(X > x) = \eu^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$.

**Proposition 35.6.**

Si $X \sim \mathcal E(\lambda)$ : $\E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ et $\V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$.

**Démonstration.** [Intégration par parties](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/25-integration#thm-g12-integ-ibp) sur $\intcc{0}{A}$ :

$$
\int_0^A t\,\lambda\eu^{-\lambda t}\dd t
= \bigl[-t\,\eu^{-\lambda t}\bigr]_0^A + \int_0^A \eu^{-\lambda t}\dd t
= -A\eu^{-\lambda A} + \frac{1 - \eu^{-\lambda A}}{\lambda}
\xrightarrow[A\to+\infty]{} \frac1\lambda,
$$

en utilisant $A\eu^{-\lambda A} \to 0$ ([Théorème 23.4](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#thm-g12-exp-growth)). Une seconde [intégration par parties](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/25-integration#thm-g12-integ-ibp) donne $\E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$, d’où $\V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2}$. ∎

**Théorème 35.7 (Absence de mémoire).**

Si $X \sim \mathcal E(\lambda)$, alors pour tous $s, t \geq 0$ :

$$
\pcond{X > s}{X > s + t} = \P(X > t) .
$$

La [loi exponentielle](#def-g12-contdist-expo) est la [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) des durées de vie *sans vieillissement* (noyaux radioactifs, pas les ampoules).

**Démonstration.**

$$
\pcond{X > s}{X > s+t}
= \frac{\P(X > s + t)}{\P(X > s)}
= \frac{\eu^{-\lambda(s+t)}}{\eu^{-\lambda s}} = \eu^{-\lambda t}
= \P(X > t). \qedhere
$$

∎

![La densité exponentielle - x (ici = 1) : l’aire de la queue au-delà de t (en rouge) est - t, et l’absence de mémoire dit que chaque queue ressemble à la distribution entière redimensionnée.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-contdist/fig-60c0c3684efd.svg)

*La [densité](#def-g12-contdist-density) exponentielle $\lambda\eu^{-\lambda x}$ (ici $\lambda = 1$) : l’aire de la queue au-delà de $t$ (en rouge) est $\eu^{-\lambda t}$, et l’[absence de mémoire](#thm-g12-contdist-memoryless) dit que chaque queue ressemble à la distribution entière redimensionnée.*

## 35.4 Loi normale

**Définition 35.8 (Loi normale).**

$X$ suit la *loi normale centrée réduite* $\mathcal N(0, 1)$ si sa [densité](#def-g12-contdist-density) sur $\R$ est

$$
\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\eu^{-t^2/2}
$$

(la courbe en cloche). Plus généralement, $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ si $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim
\mathcal N(0,1)$ ; alors $\E(X) = \mu$ et $\V(X) = \sigma^2$.

![La densité normale : environ 68.3\% de la masse se trouve à moins de de la moyenne, 95.4\% à moins de 2, 99.7\% à moins de 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-contdist/fig-4494c7446eb1.svg)

*La [densité](#def-g12-contdist-density) normale : environ $68.3\%$ de la masse se trouve à moins de $\sigma$ de la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean), $95.4\%$ à moins de $2\sigma$, $99.7\%$ à moins de $3\sigma$.*

**Remarque 35.9.**

Le facteur $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ rend l’aire totale égale à $1$ — un calcul célèbre (l’*[intégrale](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/25-integration#def-g12-integ-area) de Gauss*) mené à l’université. Il n’y a pas de formule élémentaire pour $\int \varphi$ : les [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) normales se lisent dans des tables ou sur une calculatrice.

**Théorème 35.10 (De Moivre–Laplace, admis).**

Soient $X_n \sim \mathcal B(n, p)$ et $Z_n = \dfrac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ (la binomiale normalisée). Alors pour tous $a \leq b$,

$$
\P(a \leq Z_n \leq b) \xrightarrow[n\to+\infty]{}
\int_a^b \varphi(t)\,\dd t .
$$

*Ce résultat est admis à ce niveau.* Il explique l’apparition universelle de la courbe en cloche : une binomiale de grand $n$ est approximativement normale — et (théorème central limite, université) il en va de même de toute somme de nombreux petits effets [indépendants](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#def-g12-condprob-indep).

**Méthode 35.11 (Intervalle de fluctuation à 95%95\%95%).**

Comme une variable normale tombe à moins de $1.96$ écarts-types de sa [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $0.95$, pour $n$ grand une [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) $F_n = \frac{X_n}{n}$ d’un [échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) $\mathcal B(n,p)$ vérifie

$$
\P\left(p - 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}} \leq F_n \leq
p + 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right) \approx 0.95 .
$$

- *[Intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de fluctuation* (test) : si une $p$ affirmée place la [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée hors de cet [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) , rejeter l’affirmation au niveau $5\%$ .
- *[Intervalle de confiance](#met-g12-contdist-fluctuation)* (estimation) : l’ [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) simplifié $\left[F_n - \frac{1}{\sqrt n},\ F_n + \frac{1}{\sqrt n}\right]$ contient $p$ avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) au moins $0.95$ (en utilisant $1.96\sqrt{p(1-p)} \leq 1$ , voir [Exercice 34.8](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/34-sommes-de-variables-aleatoires-et-loi-des-grands-nombres#exo-g12-sums-8) ).

**Exemple 35.12.**

Un sondage de $n = 1000$ électeurs donne $52\%$ à un candidat. L’[intervalle de confiance](#met-g12-contdist-fluctuation) $52\% \pm \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 52\% \pm 3.2\%$ contient encore $50\%$ : le sondage seul n’établit pas que le candidat est en tête.

## 35.5 Exercices

**Exercice 35.1 ★.**

Un bus passe toutes les $15$ minutes ; un voyageur arrive à un instant uniformément aléatoire. Soit $X \sim \mathcal U\intcc{0}{15}$ le temps d’attente. Calculer $\P(X \leq 5)$, $\P(4 \leq X \leq 10)$, $\E(X)$ et $\sigma(X)$.

**Solution de Exercice 35.1.**

$\P(X \leq 5) = \frac{5}{15} = \frac13$ ; $\P(4 \leq X \leq 10) = \frac{6}{15} = \frac25$ ; $\E(X) = \frac{15}{2} = 7.5$ min ; $\sigma(X) = \frac{15}{\sqrt{12}} = \frac{5\sqrt3}{2} \approx 4.3$ min.

**Exercice 35.2 ★.**

Vérifier que $f(t) = \frac{3}{8}t^2$ est une [densité](#def-g12-contdist-density) sur $\intcc{0}{2}$, et calculer $\E(X)$ et $\P(X \geq 1)$ pour une variable $X$ de cette [densité](#def-g12-contdist-density).

**Solution de Exercice 35.2.**

$f \geq 0$ et $\int_0^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac38\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2
= \frac38 \times \frac83 = 1$ : une [densité](#def-g12-contdist-density).

$$
\E(X) = \int_0^2 \frac38 t^3\,\dd t = \frac38 \times \frac{16}{4} = \frac32,
\qquad
\P(X \geq 1) = \int_1^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac{8 - 1}{8} = \frac78 .
$$

**Exercice 35.3 ★.**

La durée de vie (en années) d’un composant électronique suit $\mathcal E(0.2)$.

1. Calculer l’ [espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) de durée de vie et $\P(X > 5)$ .
2. Le composant a déjà fonctionné $3$ ans. Quelle est la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) qu’il fonctionne encore au moins $5$ ans ?

**Solution de Exercice 35.3.**

*1.* $\E(X) = \frac{1}{0.2} = 5$ ans ; $\P(X > 5) = \eu^{-0.2\times5} = \eu^{-1} \approx 0.37$.

*2.* Par l’[absence de mémoire](#thm-g12-contdist-memoryless) ([Théorème 35.7](#thm-g12-contdist-memoryless)), $\pcond{X > 3}{X > 8} = \P(X > 5) = \eu^{-1} \approx 0.37$ : les trois ans de service ne changent rien.

**Exercice 35.4 ★★.**

La demi-vie d’un atome radioactif dont la durée de vie suit $\mathcal E(\lambda)$ est la [médiane](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-median) $m$ : $\P(X > m) = \frac12$. Exprimer $m$ en [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de $\lambda$ et comparer à l’[espérance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp). Laquelle est plus grande, et pourquoi cela a-t-il un sens pour une distribution asymétrique ?

**Solution de Exercice 35.4.**

$\P(X > m) = \eu^{-\lambda m} = \frac12$ donne $m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69}{\lambda}$, plus petite que $\E(X) = \frac1\lambda$. La [densité](#def-g12-contdist-density) exponentielle a une longue queue à droite : quelques durées de vie atypiquement longues tirent la *[moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean)* au-dessus de la *[médiane](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-median)*, la valeur dépassée par la moitié de la population. (C’est la demi-vie de l’[Exemple 23.9](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#ex-g12-exp-halflife) : la moitié des atomes y survivent, bien que la durée de vie [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) soit plus longue.)

**Exercice 35.5 ★★.**

Les tailles dans une population suivent $\mathcal N(175,\ 7^2)$ (en cm). En utilisant la règle $68$–$95$–$99.7$, estimer la proportion de la population de taille entre $168$ et $182$ cm, au-dessus de $189$ cm, et en dessous de $154$ cm.

**Solution de Exercice 35.5.**

$168 = \mu - \sigma$ et $182 = \mu + \sigma$ : environ $68\%$. $189 = \mu + 2\sigma$ : au-dessus se trouve la moitié du reste $100 - 95.4 = 4.6\%$, donc environ $2.3\%$. $154 = \mu - 3\sigma$ : environ $\frac{100 - 99.7}{2} = 0.15\%$.

**Exercice 35.6 ★★.**

Une machine remplit des sacs étiquetés $500$ g ; la masse remplie suit $\mathcal N(\mu,\ 4^2)$. La réglementation exige qu’au plus $2.5\%$ des sacs pèsent moins de $500$ g. En utilisant la règle des $95\%$, quel réglage minimal de $\mu$ est conforme ?

**Solution de Exercice 35.6.**

$\P(X < 500) \leq 2.5\%$ signifie que $500$ doit se situer au moins deux [écarts types](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) sous la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) (la normale laisse $2.3\% \approx 2.5\%$ sous $\mu - 2\sigma$ ; avec le conventionnel $1.96$, le raisonnement est identique) :

$$
\mu - 2\sigma \geq 500 \iff \mu \geq 500 + 8 = 508 \text{ g}.
$$

La machine doit être réglée sur $508$ g en [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) — le prix de la garantie est $8$ g de produit « gratuit » par sac.

**Exercice 35.7 ★★.**

Un dé affirmé équilibré est lancé $1200$ fois et donne un six $260$ fois (comme dans l’[Exercice 34.7](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/34-sommes-de-variables-aleatoires-et-loi-des-grands-nombres#exo-g12-sums-7)).

1. Calculer l’ [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de fluctuation à $95\%$ pour la [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) de six d’un dé équilibré sur $1200$ lancers.
2. La [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée est-elle à l’intérieur ? Comparer la force de cette conclusion avec l’analyse de Bienaymé–Tchebychev.

**Solution de Exercice 35.7.**

*1.* Avec $p = \frac16$, $n = 1200$ : $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{5/36}{1200}} \approx 0.0108$, donc l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de fluctuation à $95\%$ est

$$
\frac16 \pm 1.96 \times 0.0108 \approx \intcc{0.146}{0.188}.
$$

*2.* La [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée $\frac{260}{1200} \approx 0.217$ est largement hors : l’hypothèse d’équilibre est rejetée au niveau $5\%$. L’écart est d’environ $4.6$ [écarts types](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) — pour une [approximation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-approx) normale, une [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) de l’ordre de $10^{-6}$, bien plus concluante que la borne $\leq 4.6\%$ de Bienaymé–Tchebychev ([Exercice 34.7](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/34-sommes-de-variables-aleatoires-et-loi-des-grands-nombres#exo-g12-sums-7)).

**Exercice 35.8 ★★★.**

Avant une élection, un sondage de $n$ personnes estimera le score $p$ d’un candidat par la [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée $F_n$.

1. Avec l’ [intervalle de confiance](#met-g12-contdist-fluctuation) de [Méthode 35.11](#met-g12-contdist-fluctuation) , quelle taille d’ [échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) garantit une marge de $\pm 2$ points ?
2. Les candidats sont séparés de $1$ point en réalité. Expliquer pourquoi aucun sondage réaliste ne peut désigner le vainqueur de façon fiable, si bien conduit soit-il.

**Solution de Exercice 35.8.**

*1.* Une marge $\frac{1}{\sqrt n} \leq 0.02$ exige $n \geq 2500$ personnes.

*2.* Pour distinguer des scores séparés d’un point, la marge doit être bien sous $0.5$ point, exigeant $n \geq \left(\frac{1}{0.005}\right)^2 = 40\,000$ par la formule simplifiée — déjà impraticable pour la plupart des sondages. Pire, la marge statistique ne compte que l’erreur d’*échantillonnage* ; les biais systématiques ([échantillons](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) non représentatifs, non-réponse, bascules de dernière minute) ne diminuent pas avec $n$ et dépassent typiquement un point. Une course à $1$ point est réellement trop serrée pour être appelée.

**Exercice 35.9 ★★★.**

Soit $X$ de [densité](#def-g12-contdist-density) $f$ sur $\intcc ab$ et soit $Y = \alpha X + \beta$ avec $\alpha > 0$.

1. Montrer que $\P(c \leq Y \leq d)  = \P\left(\frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq  \frac{d-\beta}{\alpha}\right)$ , et en déduire que $Y$ a pour [densité](#def-g12-contdist-density) $g(y) = \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y - \beta}{\alpha}\right)$ .
2. En déduire que si $Z \sim \mathcal N(0,1)$ , alors $\mu + \sigma Z$ a pour [densité](#def-g12-contdist-density) $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,  \eu^{-(y - \mu)^2/(2\sigma^2)}$ — la [densité](#def-g12-contdist-density) normale générale.

**Solution de Exercice 35.9.**

*1.* Comme $\alpha > 0$, $c \leq \alpha X + \beta \leq d
\iff \frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d - \beta}{\alpha}$, donc

$$
\P(c \leq Y \leq d)
= \int_{(c-\beta)/\alpha}^{(d-\beta)/\alpha} f(t)\,\dd t .
$$

La substitution $y = \alpha t + \beta$ (c.-à-d. lire l’aire dans la variable $y$, $t = \frac{y - \beta}{\alpha}$, $\dd t = \frac{\dd y}{\alpha}$) transforme ceci en $\int_c^d \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)\dd y$ : la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $g(y) = \frac1\alpha f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)$ est une [densité](#def-g12-contdist-density) de $Y$.

*2.* Avec $f = \varphi$, $\alpha = \sigma$, $\beta = \mu$ :

$$
g(y) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{y - \mu}{\sigma}\right)
= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,
\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),
$$

qui est donc la [densité](#def-g12-contdist-density) de $\mathcal N(\mu, \sigma^2) = \mu + \sigma\,\mathcal N(0,1)$.

## 35.6 Problème : attendre le bus, mesurer la foule

**Problème 35.1.**

Devoir du week-end — trois densités gouvernent le monde : l’ignorance totale, l’attente sans mémoire et la cloche des nombreuses petites causes ; plus le paradoxe qui met toujours votre bus en retard

Pourquoi votre bus semble-t-il toujours mettre plus de temps que l’horaire ne le promet ? Pourquoi la classe où se trouve un élève moyen est-elle plus grande que la classe [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) ? Pourquoi vos amis ont-ils plus d’amis que vous ? Une seule idée mathématique rusée — l’échantillonnage biaisé par la longueur — répond aux trois, et elle vit dans ce chapitre, entre les [lois uniforme](#def-g12-contdist-uniform), exponentielle et normale ([Définition 35.3](#def-g12-contdist-uniform), [Définition 35.5](#def-g12-contdist-expo), [Définition 35.8](#def-g12-contdist-normal)). Ce dernier problème du volume met les trois [densités](#def-g12-contdist-density) au travail et s’achève là où pointe toute la série : la courbe en cloche.

**Partie I — Trois personnages.**

1. Un bus arrive à un instant uniformément réparti sur les $30$ prochaines minutes. Calculer $\P(\text{attente} \leq 10)$ , l’attente espérée et $\sigma$ ( [Proposition 35.4](#prop-g12-contdist-uniformmoments) ).
2. Vérifier que $f(x) = 2x$ sur $\intcc{0}{1}$ est une [densité](#def-g12-contdist-density) , et calculer $\E(X)$ et $\P\left(X > \frac12\right)$ .
3. Des appels parviennent à une ligne d’assistance en un flux sans mémoire : l’attente du prochain appel suit une [loi exponentielle](#def-g12-contdist-expo) de [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) $10$ minutes. Calculer $\P(T > 15)$ et l’attente [médiane](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-median) — pourquoi la [médiane](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-median) est-elle *inférieure* à la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) ?
4. Vous avez déjà attendu $20$ minutes. Que vaut $\P(T > 35 \mid T > 20)$ ( [Théorème 35.7](#thm-g12-contdist-memoryless) ) ? Interpréter en une phrase.
5. Associer chaque attente à son bon modèle — uniforme, exponentielle, ou aucun des deux : (a) le déclic d’un compteur Geiger ; (b) un métro toutes les $8$ minutes, votre arrivée n’étant pas synchronisée ; (c) le prochain appel de la ligne d’assistance ; (d) la panne d’une ampoule qui *s’use* . Justifier (d) par le théorème d’ [absence de mémoire](#thm-g12-contdist-memoryless) .

**Partie II — La cloche au travail.** (Utiliser les [repères](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de la [loi normale](#def-g12-contdist-normal) : $68\,\%$ à moins de $\sigma$, $95\,\%$ à moins de $2\sigma$, $99.7\,\%$ à moins de $3\sigma$.)

6. Les tailles adultes suivent approximativement $\mathcal N(172,\ 8)$ (en cm). Quelles fractions se trouvent dans $\intcc{164}{180}$ , $\intcc{156}{188}$ , $\intcc{148}{196}$ ?
7. Estimer la proportion de personnes dépassant $190$ cm (cote $z$ d’abord ; table ou calculatrice).
8. Les tests de quotient intellectuel sont étalonnés sur $\mathcal N(100, 15)$ . Quelle fraction dépasse $130$ — et cela fait environ une personne sur combien ?
9. Une machine découpe des boulons de longueurs $\mathcal N(50,\ 0.1)$ mm et la spécification est $\intcc{49.8}{50.2}$ . Quelle part est rejetée ? L’industrie célèbre les procédés « six sigma », dont les spécifications se situent à $\pm 6\sigma$ : qu’achète-t-on ainsi, et pourquoi les usines y courent-elles ?
10. De Moivre–Laplace ( [Théorème 35.10](#thm-g12-contdist-tcl) ) : pour $100$ lancers d’une pièce équilibrée, approcher $\P(45 \leq \text{piles} \leq 55)$ (correction de [continuité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity) : $\pm 0.5$ ; $\sigma = 5$ ). Quelle machine de bois du [Problème 19.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/19-la-loi-binomiale#pb-g11-binom-1) ce théorème lisse-t-il en une courbe ?
11. D’après l’ [Exercice 35.8](#exo-g12-contdist-8) : une marge de $\pm 2$ points demande environ $n = 2\,400$ . Calculer l’ [échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) nécessaire pour $\pm 0.5$ point — et conclure, en une phrase, pourquoi aucune enquête ne peut honnêtement départager une course serrée à un point près.

**Partie III — Le paradoxe du bus.**

12. Les bus arrivent en un flux sans mémoire d’ [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) moyen $10$ minutes. Vous arrivez à l’arrêt à un moment quelconque. L’intuition dit que l’attente espérée est de $5$ minutes (la moitié d’un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) ). Que dit à la place le théorème d’ [absence de mémoire](#thm-g12-contdist-memoryless) ?
13. Diagnostiquer l’intuition sur un horaire jouet : les [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) alternent $5$ et $15$ minutes ( [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) moyen $10$ ). Calculer la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) qu’une arrivée uniformément répartie tombe dans un grand [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) , puis la véritable attente espérée — et nommer le coupable : les arrivées échantillonnent les [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) avec une [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) proportionnelle à leur *longueur* .
14. Dans le flux sans mémoire, l’ [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) dans lequel vous tombez a une longueur espérée de $20$ minutes — le double de l’ [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) typique (le temps qui vous sépare du bus précédent et celui qui vous sépare du suivant sont *tous deux* exponentiels de [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) $10$ ). Réconcilier avec la question 12 et énoncer en une phrase le *paradoxe de l’inspection* .
15. La même piqûre sur terre ferme : une université fait tourner neuf classes de $10$ étudiants et une de $110$ . Calculer la taille [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) d’une classe, puis la taille de classe vécue par l’étudiant *moyen* . Quel nombre la brochure citera-t-elle, et lequel est la vérité vécue des étudiants ?
16. Le paradoxe de l’amitié — « vos amis ont, en [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) , plus d’amis que vous » — relève des mêmes mathématiques. Dire en une phrase ce qui y joue le rôle du grand [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) .

**Partie IV — Clore le volume.**

17. La simulation, pont des praticiens : si $U$ est uniforme sur $\intoo{0}{1}$ , montrer que $T = -10\ln U$ suit une [loi exponentielle](#def-g12-contdist-expo) de [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) $10$ (calculer $\P(T > t)$ ). Toute simulation industrielle d’attente aléatoire repose sur cette astuce d’une ligne.
18. Une vieille recette de programmeurs de jeux fabrique une cloche : additionner douze uniformes [indépendantes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/34-sommes-de-variables-aleatoires-et-loi-des-grands-nombres#def-g12-sums-indep) sur $\intcc{0}{1}$ et retrancher $6$ . Donner la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) et la [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) de la somme, et expliquer — la planche de Galton en main — pourquoi le résultat est presque normal.
19. Les marchés s’effondrent plus fort que la cloche ne l’autorise : le krach de 1987 a été décrit comme un « [événement](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-model) à $25\sigma$ », ce qui, sous hypothèse de normalité, a une [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) de l’ordre de $10^{-137}$ . Quelle est la bonne conclusion — sur le monde, ou sur le modèle ? (Une phrase, le catéchisme du statisticien.)
20. Pour finir, et pour prendre congé du volume : les trois personnages en une ligne chacun — uniforme (l’ignorance entre deux bornes), exponentielle (le risque sans mémoire), normale (la somme de nombreuses petites causes) ; le paradoxe de l’inspection comme piqûre du chapitre ; et l’arc de toute la série — du dénombrement des briques de jus de fruits du premier volume à la courbe en cloche qui mesure toutes les foules — les volumes universitaires attendant là où les limites, les [intégrales](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/25-integration#def-g12-integ-area) et le théorème central limite prennent le relais.

**Solution de Problème 35.1.**

**1.** $\P(\text{attente} \leq 10) = \frac{10}{30} =
\frac13$ ; $\E = 15$ min ; $\sigma = \frac{30}{\sqrt{12}} \approx 8.7$ min.

**2.** $\int_0^1 2x\,\dd x = 1$ : c’est bien une [densité](#def-g12-contdist-density). $\E(X) = \int_0^1 2x^2\,\dd x = \frac23$ ; $\P\left(X > \frac12\right) = \int_{1/2}^1 2x\,\dd x =
1 - \frac14 = \frac34$.

**3.** $\P(T > 15) = \eu^{-15/10} \approx 0.22$. [Médiane](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-median) : $\eu^{-m/10} = \frac12$, donc $m = 10\ln 2 \approx 6.9$ min — inférieure à la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) $10$ parce que la longue traîne droite de l’exponentielle (de rares attentes énormes) tire la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) vers le haut tandis que la [médiane](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-median) reste à l’attente « typique ».

**4.** Par [absence de mémoire](#thm-g12-contdist-memoryless), $\P(T > 35 \mid T > 20) = \P(T > 15) \approx 0.22$ : les vingt minutes déjà passées n’achètent rien — le flux ne vieillit pas.

**5.** (a) exponentielle (la désintégration radioactive est le modèle pour lequel l’[absence de mémoire](#thm-g12-contdist-memoryless) a été inventée) ; (b) uniforme sur $\intcc{0}{8}$ (un horaire régulier avec un décalage aléatoire) ; (c) exponentielle ; (d) aucun des deux : une ampoule usée a *plus* de chances de griller dans l’heure qui vient qu’une ampoule neuve, donc $\P(T > s + t \mid T > s) < \P(T > t)$ : le vieillissement contredit le théorème d’[absence de mémoire](#thm-g12-contdist-memoryless).

**6.** $68\,\%$, $95\,\%$, $99.7\,\%$ : les trois [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) [repères](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system).

**7.** $z = \frac{190 - 172}{8} = 2.25$ : queue supérieure d’environ $1.2\,\%$.

**8.** $z = 2$ : environ $2.3\,\%$ — à peu près une personne sur $44$.

**9.** La spécification se situe à $\pm 2\sigma$ : environ $95.4\,\%$ passent et $4.6\,\%$ sont rejetés — ruineux à grande échelle. À $\pm 6\sigma$, le taux de défaut tombe à environ deux pièces par *milliard* : le six sigma achète le droit de produire en masse sans inspecter en masse.

**10.** $\sigma = 5$ ; avec la correction de [continuité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity), $\P \approx \P\left(\abs Z \leq \frac{5.5}{5}\right) =
\P(\abs Z \leq 1.1) \approx 0.73$. Le théorème lisse la planche de Galton du [Problème 19.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/19-la-loi-binomiale#pb-g11-binom-1) : l’escalier des cases devient la cloche [continue](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity).

**11.** $n \approx \frac{1.96^2 \times 0.25}{0.005^2}
\approx 38\,400$ personnes — et à cette taille les erreurs *autres* que d’échantillonnage (plan de sondage, refus, mensonges) écrasent la marge : une course à un point d’écart est hors de portée d’un sondage honnête, ce pour quoi les instituts sérieux disent alors « trop serré pour se prononcer ».

**12.** [Absence de mémoire](#thm-g12-contdist-memoryless) : à partir de l’instant où vous arrivez, l’attente restante est exponentielle de [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) $10$ — les $10$ minutes pleines, et non $5$. L’« [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) moyen de $10$ » de l’horaire est trompeur : votre attente suit la même [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-rv) qu’un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) entier.

**13.** Les arrivées aléatoires tombent proportionnellement à la longueur des [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) : la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) de tomber dans un grand [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) vaut $\frac{15}{20} = \frac34$. Attente espérée : $\frac34 \times \frac{15}{2} + \frac14 \times
\frac52 = 5.625 + 0.625 = 6.25$ min — plus que les $5$ naïfs, bien que l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) moyen soit $10$. Coupable : l’*échantillonnage biaisé par la longueur* — les grands [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) attrapent plus de voyageurs.

**14.** Les attentes vers l’arrière et vers l’avant sont chacune exponentielles de [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) $10$ (l’[absence de mémoire](#thm-g12-contdist-memoryless) joue dans les deux sens à partir de votre arrivée) : l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) qui vous contient mesure en [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) $20$ minutes — le double de l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) typique. Le paradoxe de l’inspection en une phrase : *l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) que vous inspectez n’est pas un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) typique, parce que vous aviez plus de chances de tomber dans un grand.*

**15.** Taille [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) d’une classe : $\frac{9 \times 10 + 110}{10} = 20$ étudiants. Taille [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) vécue par les étudiants : $\frac{90 \times 10 + 110 \times 110}{200} = \frac{13\,000}{200} =
65$ étudiants. La brochure imprime $20$ ; trois étudiants sur cinq siègent dans la classe de $110$ et vivent le $65$.

**16.** Les personnes populaires figurent sur de nombreuses listes d’amis, si bien que tirer « un ami » est biaisé vers les sociables — vos amis sont tirés dans les grands [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de l’horaire social.

**17.** Pour $t \geq 0$ : $\P(T > t) = \P(-10\ln U > t) = \P\left(U <
\eu^{-t/10}\right) = \eu^{-t/10}$ : exactement la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de survie de l’exponentielle — un seul [logarithme](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#def-g12-exp-ln) convertit le bruit uniforme de l’ordinateur en n’importe quel temps d’attente.

**18.** Chaque uniforme a pour [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) $\frac12$ et pour [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $\frac{1}{12}$ : la somme de douze a pour [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) $6$ et pour [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $1$ — la recette produit donc une [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) $0$ et une [variance](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#def-g12-randvar-exp) $1$. Douze petites poussées [indépendantes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/34-sommes-de-variables-aleatoires-et-loi-des-grands-nombres#def-g12-sums-indep) additionnées : c’est le mécanisme de Galton, et par la grâce de De Moivre–Laplace l’histogramme a déjà l’allure d’une cloche à l’œil nu.

**19.** Sur le modèle : les marchés ne sont pas des sommes de nombreuses petites causes *[indépendantes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/34-sommes-de-variables-aleatoires-et-loi-des-grands-nombres#def-g12-sums-indep)* — les paniques corrèlent tout (la leçon de 2008 du problème précédent) et produisent des queues épaisses qu’aucune [densité](#def-g12-contdist-density) normale ne possède. Quand les données murmurent $10^{-137}$, le catéchisme du statisticien répond : *c’est le modèle qui est rejeté, pas la journée*.

**20.** Uniforme : toutes les positions se valent, l’honnête « je ne connais que les bornes ». Exponentielle : le risque qui ne vieillit jamais — désintégrations, arrivées, déclics. Normale : la cloche démocratique des nombreuses petites causes [indépendantes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/34-sommes-de-variables-aleatoires-et-loi-des-grands-nombres#def-g12-sums-indep) — tailles, erreurs, [moyennes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean). Piqûre : ce que vous échantillonnez est biaisé par la façon dont vous l’avez rencontré — bus, classes, amis. Et l’arc : l’enfant qui comptait des briques de jus de fruits dans le premier volume a, dix volumes de problèmes plus tard, mesuré la foule avec une courbe ; l’epsilon, l’[intégrale](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/25-integration#def-g12-integ-area) et le théorème central limite attendent dans les volumes universitaires pour expliquer *pourquoi* la cloche sonne pour tout.