---
title: "Fonctions de référence"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 4
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference
---

# Chapitre 4 — Fonctions de référence

Une poignée de [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) simples — affines, carré, inverse, racine carrée, cube — apparaissent partout, seules ou combinées. Connaître leurs [graphiques](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) et leurs variations par cœur transforme de nombreux problèmes en un croquis rapide. Ce chapitre les étudie chacune à son tour et démontre leurs variations avec la technique de comparaison du [Chapitre 3](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#ch-g10-functions).

## 4.1 Fonctions affines

**Définition 4.1 (Fonction affine).**

Une *fonction affine* est une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de la forme

$$
f(x) = mx + p,
$$

où $m$ et $p$ sont des [nombres réels](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets) fixes. Son [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) est une droite : $m$ est le *coefficient directeur* et $p$ l’*ordonnée à l’origine* (la droite coupe l’axe vertical en $(0, p)$). Lorsque $p = 0$ la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) est *linéaire* : $f(x) = mx$ exprime la proportionnalité.

**Proposition 4.2 (Coefficient directeur et variations).**

Soit $f(x) = mx + p$.

1. Pour deux entrées distinctes $u \neq v$ : $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ (le [coefficient directeur](#def-g10-reffunc-affine) est la variation de la sortie par unité de variation de l’entrée).
2. Si $m > 0$ , $f$ est strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\R$ ; si $m < 0$ , strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) ; si $m = 0$ , constante.

**Démonstration.** 1. Calculer $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$, puis diviser par $v - u \neq 0$.

2. Si $u < v$, alors $f(v) - f(u) = m(v-u)$ a le signe de $m$, car $v - u > 0$ : $m$ positif donne $f(u) < f(v)$ ([croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations)), $m$ négatif donne $f(u) > f(v)$ ([décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations)). ∎

![Deux fonctions affines : croissante pour m = 1/2 > 0, décroissante pour m = -1 < 0. Avancer d’une unité vers la droite change y de m.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-9e20879f061b.svg)

*Deux [fonctions affines](#def-g10-reffunc-affine) : [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) pour $m = \frac12 > 0$, [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) pour $m = -1 < 0$. Avancer d’une unité vers la droite change $y$ de $m$.*

**Exemple 4.3.**

Trouver la [fonction affine](#def-g10-reffunc-affine) dont le [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) passe par $A(1, 3)$ et $B(4, 9)$. Le [coefficient directeur](#def-g10-reffunc-affine) est

$$
m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .
$$

Puis $f(x) = 2x + p$, et $f(1) = 3$ donne $2 + p = 3$, donc $p = 1$ : $f(x) = 2x + 1$. Vérification avec $B$ : $f(4) = 9$.

## 4.2 La fonction carré

**Proposition 4.4 (Fonction carré).**

La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) $f(x) = x^2$, définie sur $\R$ :

1. est strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{-\infty}{0}$ et strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intco{0}{+\infty}$ , avec [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $0$ en $x = 0$ ;
2. satisfait $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ : son [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) , une *parabole* , est symétrique par rapport à l’axe vertical.

**Démonstration.** 1. Soit $0 \leq u < v$. Alors

$$
f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,
$$

car $v - u > 0$ et $v + u > 0$ : $f$ est strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intco{0}{+\infty}$. Si $u < v \leq 0$, alors $v - u > 0$ mais $v + u < 0$, donc $f(v) - f(u) < 0$ : strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations). Enfin $x^2 \geq 0 = f(0)$ pour tout $x$.

2. $(-x)^2 = x^2$ ; donc les points $(x, x^2)$ et $(-x, x^2)$, [images](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) l’un de l’autre par symétrie par rapport à l’axe vertical, sont tous deux sur le [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph). ∎

**Remarque 4.5 (Carrés et ordre).**

Parce que la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) carré décroît du côté négatif, élever au carré *inverse* l’ordre des nombres négatifs : $-3 < -2$ mais $9 > 4$. Ne jamais élever au carré les deux membres d’une inégalité sans vérifier les signes.

## 4.3 La fonction inverse

**Proposition 4.6 (Fonction inverse).**

La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) $f(x) = \dfrac1x$, définie pour $x \neq 0$ :

1. est strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoo{-\infty}{0}$ et strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoo{0}{+\infty}$ ;
2. satisfait $f(-x) = -f(x)$ : son [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) , une *hyperbole* , est symétrique par rapport à l’origine.

**Démonstration.** 1. Soit $0 < u < v$. Alors

$$
f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,
$$

car $u - v < 0$ et $uv > 0$ : strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoo{0}{+\infty}$. Sur $\intoo{-\infty}{0}$ le même quotient a $u - v < 0$ et $uv > 0$ encore (produit de deux négatifs), donc $f$ décroît aussi là.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$. ∎

**Remarque 4.7.**

Attention : $\frac1x$ n’est *pas* [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur tout son [ensemble de définition](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function). De $u = -1$ à $v = 1$ la valeur saute de $-1$ à $1$. Les deux branches doivent être étudiées séparément.

![La parabole y = x2 (symétrique par rapport à l’axe vertical) et l’hyperbole y = 1x (deux branches, symétrique par rapport à l’origine).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-c9fe377b98a0.svg)

![La parabole y = x2 (symétrique par rapport à l’axe vertical) et l’hyperbole y = 1x (deux branches, symétrique par rapport à l’origine).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-7be6853a2a0e.svg)

*La parabole $y = x^2$ (symétrique par rapport à l’axe vertical) et l’hyperbole $y = \frac1x$ (deux branches, symétrique par rapport à l’origine).*

## 4.4 Racine carrée et cube

**Proposition 4.8 (Fonction racine carrée).**

La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) $f(x) = \sqrt{x}$, définie sur $\intco{0}{+\infty}$, est strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations).

**Démonstration.** Soit $0 \leq u < v$. Multiplier et diviser par le *conjugué* :

$$
\sqrt v - \sqrt u
= \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u}
= \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,
$$

car $v - u > 0$ et $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (noter $v > 0$, donc $\sqrt v > 0$). ∎

**Proposition 4.9 (Fonction cube).**

La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) $f(x) = x^3$, définie sur $\R$, est strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations), et son [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) est symétrique par rapport à l’origine.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

![La racine carrée (définie pour x ≥ 0 seulement) et le cube, toutes deux croissantes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-ec6a3c7fb7bc.svg)

![La racine carrée (définie pour x ≥ 0 seulement) et le cube, toutes deux croissantes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-5d553e336fa1.svg)

*La racine carrée (définie pour $x \geq 0$ seulement) et le cube, toutes deux [croissantes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations).*

**Proposition 4.10 (Comparer xxx, x2x^2x2 et x\sqrt xx​).**

Pour $0 < x < 1$ : $x^2 < x < \sqrt x$. Pour $x > 1$ : $\sqrt x < x < x^2$. En $x = 0$ et $x = 1$ les trois valeurs sont égales.

**Démonstration.** Supposons $0 < x < 1$. Multiplier $x < 1$ par $x > 0$ donne $x^2 < x$. Ensuite, $x < \sqrt x$ : les deux membres étant positifs et le carré croissant sur les positifs, cette inégalité équivaut à $x^2 < x$, que l’on vient de prouver. Pour $x > 1$, multiplier $x > 1$ par $x$ donne $x^2 > x$, et $\sqrt x < x$ suit par le même argument d’élévation au carré. ∎

![Les trois courbes se croisent en (0,0) et (1,1) et échangent l’ordre là : entre 0 et 1, x2 est le plus petit et √ x le plus grand ; au-delà de 1 l’ordre est inversé.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-2f2ec319808a.svg)

*Les trois courbes se croisent en $(0,0)$ et $(1,1)$ et échangent l’ordre là : entre $0$ et $1$, $x^2$ est le plus petit et $\sqrt x$ le plus grand ; au-delà de $1$ l’ordre est inversé.*

**Méthode 4.11 (Comparer des images).**

Pour comparer $f(a)$ et $f(b)$ pour une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de référence $f$ :

1. placer $a$ et $b$ sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) où les variations de $f$ sont connues ;
2. si $f$ croît là, les [images](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) sont dans le même ordre que les entrées ; si $f$ décroît, l’ordre est inversé ;
3. si $a$ et $b$ ne sont pas dans le même [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de monotonie, traiter d’abord les signes (par exemple pour le carré : une entrée négative et une positive).

**Exemple 4.12.**

Comparer $\dfrac{1}{2.3}$ et $\dfrac{1}{2.4}$ : les deux entrées sont dans $\intoo{0}{+\infty}$, où la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) inverse décroît, et $2.3 < 2.4$, donc $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$. Comparer $(-1.2)^2$ et $(-1.5)^2$ : sur $\intoc{-\infty}{0}$ le carré décroît, et $-1.5 < -1.2$, donc $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ — en effet $2.25 > 1.44$.

## 4.5 Exercices

**Exercice 4.1 ★.**

Pour chaque [fonction affine](#def-g10-reffunc-affine), donner son [coefficient directeur](#def-g10-reffunc-affine), son [ordonnée à l’origine](#def-g10-reffunc-affine), et dire si elle est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) ou [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) :

$$
f(x) = 3x - 2, \qquad
g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad
h(x) = 7, \qquad
k(x) = -x .
$$

**Solution de Exercice 4.1.**

$f$ : coefficient $3$, [ordonnée à l’origine](#def-g10-reffunc-affine) $-2$, [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations). $g$ : coefficient $-\frac12$, [ordonnée à l’origine](#def-g10-reffunc-affine) $4$, [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations). $h$ : coefficient $0$, [ordonnée à l’origine](#def-g10-reffunc-affine) $7$, constante. $k$ : coefficient $-1$, [ordonnée à l’origine](#def-g10-reffunc-affine) $0$, [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) (et linéaire).

**Exercice 4.2 ★.**

Trouver la [fonction affine](#def-g10-reffunc-affine) dont le [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) passe par $(2, 1)$ et $(5, 10)$ ; puis celle qui passe par $(-1, 4)$ et $(3, -4)$.

**Solution de Exercice 4.2.**

Par $(2,1)$ et $(5,10)$ : coefficient $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$ ; puis $1 = 3 \times 2 + p$ donne $p = -5$ : $f(x) = 3x - 5$.

Par $(-1,4)$ et $(3,-4)$ : coefficient $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$ ; puis $4 = -2 \times (-1) + p$ donne $p = 2$ : $f(x) = -2x + 2$.

**Exercice 4.3 ★.**

Sans calculatrice, comparer :

$$
(3.1)^2 \text{ et } (3.2)^2; \qquad
(-2.7)^2 \text{ et } (-2.8)^2; \qquad
\frac{1}{5.1} \text{ et } \frac{1}{5.2}; \qquad
\sqrt{17} \text{ et } \sqrt{15}.
$$

**Solution de Exercice 4.3.**

$(3.1)^2 < (3.2)^2$ : le carré croît sur les positifs.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$ : le carré décroît sur les négatifs et $-2.8 < -2.7$.

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$ : l’inverse décroît sur les positifs.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$ : la racine carrée croît.

**Exercice 4.4 ★.**

En utilisant le [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) de la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) carré, résoudre $x^2 = 16$, puis $x^2 \leq 16$, puis $x^2 > 9$.

**Solution de Exercice 4.4.**

$x^2 = 16$ : deux solutions, $x = 4$ et $x = -4$ (la droite horizontale $y = 16$ coupe la parabole deux fois).

$x^2 \leq 16$ : la parabole est sous la droite entre les deux points d’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) : $x \in \intcc{-4}{4}$.

$x^2 > 9$ : la parabole est strictement au-dessus de $y = 9$ à l’extérieur de $\intcc{-3}{3}$ : $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$.

**Exercice 4.5 ★.**

Soit $x \in \intoo{0}{1}$. Ordonner les nombres $x$, $x^2$, $x^3$ et $\sqrt x$ du plus petit au plus grand, et vérifier avec $x = 0.25$.

**Solution de Exercice 4.5.**

Pour $0 < x < 1$ : multiplier $x < 1$ plusieurs fois par $x$ donne $x^3 < x^2 < x$, et le [Proposition 4.10](#prop-g10-reffunc-compare) donne $x < \sqrt x$, donc

$$
x^3 < x^2 < x < \sqrt x .
$$

Vérification avec $x = 0.25$ : $x^3 = 0.015625$, $x^2 = 0.0625$, $x = 0.25$, $\sqrt x = 0.5$.

**Exercice 4.6 ★★.**

Résoudre graphiquement, puis algébriquement : $\dfrac1x = 2$, et $\dfrac1x < 2$ pour $x > 0$. Que change-t-on si l’on autorise aussi $x < 0$ ?

**Solution de Exercice 4.6.**

$\frac1x = 2$ a l’unique solution $x = \frac12$ (l’hyperbole rencontre la droite horizontale $y = 2$ une fois, sur la branche positive).

Pour $x > 0$ : $\frac1x < 2$. Multiplier par $x > 0$ : $1 < 2x$, donc $x > \frac12$ : ensemble des solutions $\intoo{\frac12}{+\infty}$.

Si $x < 0$ est autorisé : tout $x$ négatif satisfait $\frac1x < 0 < 2$, donc l’ensemble complet des solutions est $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$.

**Exercice 4.7 ★★.**

Sachant que la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) carré décroît sur $\intoc{-\infty}{0}$ et croît sur $\intco{0}{+\infty}$, encadrer $x^2$ lorsque :

$$
\text{(a) } x \in \intcc{2}{5};
\qquad
\text{(b) } x \in \intcc{-3}{-1};
\qquad
\text{(c) } x \in \intcc{-2}{3}.
$$

(Dans le cas (c), attention : le [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) de $x^2$ n’est pas en une extrémité.)

**Solution de Exercice 4.7.**

(a) Sur $\intcc{2}{5}$, toutes les entrées sont positives et le carré croît : $4 \leq x^2 \leq 25$.

(b) Sur $\intcc{-3}{-1}$, le carré décroît : le plus grand carré vient de $-3$ : $1 \leq x^2 \leq 9$.

(c) Sur $\intcc{-2}{3}$, l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) contient $0$, où le carré atteint son [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $0$ ; le [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) est le plus grand de $(-2)^2 = 4$ et $3^2 = 9$. Donc $0 \leq x^2 \leq 9$.

**Exercice 4.8 ★★.**

Une compagnie de taxis facture un forfait fixe de $4$ plus $1.5$ par kilomètre ; une autre ne facture pas de forfait et $2$ par kilomètre. Modéliser chaque prix par une [fonction affine](#def-g10-reffunc-affine) de la distance $x$, tracer les deux droites, et trouver à partir de quelle distance la première compagnie est moins chère.

**Solution de Exercice 4.8.**

Première compagnie : $f(x) = 1.5x + 4$ ; seconde : $g(x) = 2x$. La première est moins chère lorsque

$$
1.5x + 4 < 2x
\ \Longleftrightarrow\
4 < 0.5x
\ \Longleftrightarrow\
x > 8 .
$$

Au-delà de $8$ km, la première compagnie est moins chère ; à exactement $8$ km les deux facturent $16$.

**Exercice 4.9 ★★.**

Montrer que pour tous $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$. (Indication : les deux membres sont positifs ou nuls, donc comparer leurs carrés.) Quand y a-t-il égalité ?

**Solution de Exercice 4.9.**

Les deux membres sont positifs ou nuls, donc l’inégalité équivaut à celle entre leurs carrés :

$$
\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b
\qquad\text{et}\qquad
\left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .
$$

Comme $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$, le second carré est au moins égal au premier, ce qui prouve $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$. L’égalité a lieu exactement lorsque $\sqrt a \sqrt b = 0$, c’est-à-dire lorsque $a = 0$ ou $b = 0$.

**Exercice 4.10 ★★★.**

Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, définie pour $x \neq 1$.

1. Montrer que $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ pour tout $x \neq 1$ .
2. En déduire les variations de $f$ sur $\intoo{1}{+\infty}$ à partir de celles de la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) inverse.

**Solution de Exercice 4.10.**

*1.* Mettre le second membre sur un dénominateur commun :

$$
2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1}
= f(x).
$$

*2.* Sur $\intoo{1}{+\infty}$, lorsque $x$ croît, $x - 1$ croît et reste positif, donc $\frac{3}{x-1}$ décroît ([fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) inverse, multipliée par la constante positive $3$), donc $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ décroît : $f$ est strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoo{1}{+\infty}$.

## 4.6 Problème : les lois de la nature parlent en fonctions de référence

**Problème 4.1.**

Devoir du week-end — les distances de freinage croissent en $v^2$, les leviers obéissent à $1/d$, les planètes suivent $a^{3/2}$ : lire la physique avec les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de référence

Ouvrez un livre de physique : les mêmes quelques courbes reviennent à chaque page — la parabole, l’hyperbole, la courbe racine. La nature écrit ses lois avec les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de référence de ce chapitre, et connaître leurs allures ([Proposition 4.4](#prop-g10-reffunc-square), [Proposition 4.6](#prop-g10-reffunc-inverse), [Proposition 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt), [Proposition 4.9](#prop-g10-reffunc-cube)) suffit à freiner une voiture, à équilibrer un levier et à chronométrer les planètes. Le bouquet final est la troisième loi de Kepler, lue directement sur les données du système solaire.

**Partie I — La loi carrée du freinage.** Une règle empirique pour la distance de freinage d’une voiture sur route sèche : $d = \left(\frac{v}{10}\right)^{2}$ mètres, à la vitesse $v$ km/h.

1. Calculer les distances de freinage à $30$ , $50$ , $90$ et $130$ km/h.
2. Doubler la vitesse multiplie la distance de freinage par combien ? Expliquer à partir de l’effet d’échelle de la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) carré, et vérifier sur $50 \to 100$ km/h.
3. Expertise judiciaire : les traces de freinage mesurent $50$ m. De quelle vitesse la formule accuse-t-elle le conducteur (au km/h près) ? Quelle [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de référence a répondu — et sur quel ensemble la lecture est-elle sans ambiguïté ( [Proposition 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt) ) ?
4. Comparer le supplément de distance causé par *un* km/h de plus, à basse et à haute vitesse : calculer $d(31) - d(30)$ et $d(91) - d(90)$ . Quelle propriété de la parabole ( [Proposition 4.4](#prop-g10-reffunc-square) ) les deux réponses illustrent-elles ?
5. Un arrêt réel ajoute le temps de réaction — environ une seconde, pendant laquelle la voiture parcourt $0.28v$ mètres : $D(v) = 0.28v + \left(\frac{v}{10}\right)^2$ . Calculer $D(50)$ et $D(130)$ . Lequel des deux termes — affine ou carré — domine en ville, et lequel sur autoroute ?

**Partie II — Les hyperboles du quotidien.**

6. Un levier est en équilibre lorsque le produit force $\times$ distance est le même des deux côtés. Un enfant de $60$ kg s’assied à $2$ m du pivot ; la force d’équilibre à la distance $d$ de l’autre côté vaut $F(d) = \frac{120}{d}$ (en équivalents-kg). Calculer $F(0.5)$ , $F(1)$ , $F(3)$ .
7. Que disent les variations de la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) inverse ( [Proposition 4.6](#prop-g10-reffunc-inverse) ) à propos des leviers — et pourquoi la fanfaronnade d’Archimède (« donnez-moi un point d’appui et je soulèverai la Terre ») se cache-t-elle dans la queue de l’hyperbole ? Qu’est-ce qui interdit $d = 0$ ?
8. Le son et la lumière s’affaiblissent comme le *carré* de la distance : à $1$ m d’une lampe l’intensité vaut $100$ unités ; la donner à $2$ , $3$ et $10$ m. Expliquer l’exposant $2$ à l’aide d’une sphère : sur quelle aire la lumière s’est-elle répandue à la distance $d$ (problème de la pierre tombale d’Archimède, dans le volume précédent) ?
9. Un car pour la sortie scolaire coûte $600$ euros, partagés également entre $n$ participants. Dresser un tableau du coût par tête pour $n = 10, 20, 30$ , chercher combien de participants le ramènent à $25$ euros ou moins, et dire ce que l’allure de l’hyperbole promet — et refuse — quand $n$ grandit.
10. Produire $x$ affiches coûte $2x + 3$ euros ( $3$ euros de mise en route). Montrer que le coût *moyen* par affiche vaut $a(x) = 2 + \frac3x$ , décrire ses variations et interpréter économiquement son asymptote horizontale. (Comparer avec l’algèbre de l’ [Exercice 4.10](#exo-g10-reffunc-10) .)

**Partie III — L’harmonie de Kepler.** Pour chaque planète, on note $a$ sa distance moyenne au Soleil (en unités astronomiques, Terre $= 1$) et $T$ sa période (en années). Données : Mars $a = 1.52$, $T = 1.88$ ; Jupiter $a = 5.20$, $T = 11.86$ ; Saturne $a = 9.54$, $T = 29.4$.

11. Calculer $a^3$ et $T^2$ pour la Terre, Mars et Jupiter. Qu’a remarqué Kepler en 1618 ?
12. Énoncer la loi comme une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) : $T = \sqrt{a^3} =  a\sqrt a$ . La tester sur Saturne.
13. Deux prédictions : un astéroïde orbite à $a = 4$ UA — trouver sa période (les nombres tombent juste) ; une comète revient tous les $27$ ans — trouver sa distance moyenne (chercher un cube parfait).
14. Quelles trois [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de référence la loi tresse-t-elle ensemble ? Et sa règle d’échelle : quand $a$ est multipliée par $4$ , qu’advient-il de $T$ ? (Vérifier avec l’astéroïde face à la Terre.)
15. Kepler a lu cette loi dans les données de Tycho Brahe soixante-dix ans avant que la gravitation de Newton ne l’explique. En une phrase : que dit cet épisode sur la puissance de reconnaître une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de référence dans un tableau de nombres ?

**Partie IV — Le lièvre et la tortue.**

16. Ranger $\sqrt x$ , $x$ et $x^2$ sur $\intoo{0}{1}$ puis sur $\intoo{1}{+\infty}$ ( [Proposition 4.10](#prop-g10-reffunc-compare) ), et vérifier les deux classements en $x = 0.25$ et $x = 4$ .
17. Résoudre complètement $\sqrt x > x$ (pour $x \geq 0$ , élever au carré en justifiant, puis conclure par un [tableau de signes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-signtable) ).
18. Faire entrer le cube : ranger $x$ , $x^2$ , $x^3$ en $x = 0.5$ puis en $x = 2$ , et déterminer tous les points où les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) carré et cube se croisent.
19. Deux plans d’épargne rapportent, après $t$ années, $100\sqrt t$ euros (plan A) ou $10 t^2$ euros (plan B). Montrer que B dépasse A lorsque $t^3 = 100$ , et donner l’instant de croisement au mois près. Morale sur les racines face aux puissances à long terme ?
20. Pour finir : pour chacune des lois de ce problème — freinage ( $v^2$ ), levier ( $1/d$ ), lampe ( $1/d^2$ ), Kepler ( $a^{3/2}$ ), plan A ( $\sqrt t$ ) — dire en une proposition quelle particularité de sa courbe de référence porte le sens physique (montée qui se redresse, asymptote verticale, sphère qui s’étale, exposant d’échelle, croissance qui s’aplatit). Conclusion : les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de référence sont l’alphabet ; la nature écrit avec.

**Solution de Problème 4.1.**

**1.** $d(30) = 3^2 = 9$ m ; $d(50) = 25$ m ; $d(90) = 81$ m ; $d(130) = 169$ m.

**2.** Doubler $v$ double $\frac v{10}$ et multiplie son carré par $4$ : $d(100) = 100$ m $= 4 \times d(50)$. Deux fois la vitesse, quatre fois la distance — l’effet d’échelle de la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) carré.

**3.** $\left(\frac{v}{10}\right)^2 = 50$ donne $\frac{v}{10} = \sqrt{50}$, donc $v = 10\sqrt{50} \approx 71$ km/h. C’est la racine carrée qui a répondu ; la lecture est sans ambiguïté parce que les vitesses sont positives et que, sur $\intco{0}{+\infty}$, la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) carré est strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) ([Proposition 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt) : un seul [antécédent](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) positif).

**4.** $d(31) - d(30) = 9.61 - 9 = 0.61$ m, tandis que $d(91) - d(90) = 82.81 - 81 = 1.81$ m : le même $+1$ km/h coûte trois fois plus de distance à haute vitesse. La parabole ne fait pas que monter, elle *se redresse* — sa vitesse de montée croît avec $x$.

**5.** $D(50) = 14 + 25 = 39$ m ; $D(130) = 36.4 + 169 =
205.4$ m. En ville, le terme affine (la réaction) pèse le plus ; sur autoroute, le terme carré l’écrase — l’affine croît régulièrement, les carrés s’emballent.

**6.** $F(0.5) = 240$, $F(1) = 120$, $F(3) = 40$.

**7.** La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) inverse est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) : plus on s’éloigne du pivot, plus la force nécessaire est faible — avec un bras de levier assez long ($d$ énorme), n’importe quelle force, si petite soit-elle, équilibre n’importe quelle charge : la fanfaronnade d’Archimède vit dans la queue de l’hyperbole, qui s’approche de $0$ sans jamais l’atteindre. Et $d = 0$ est la valeur interdite : pas de bras, pas de levier — c’est l’asymptote verticale.

**8.** $\frac{100}{4} = 25$ à $2$ m, $\frac{100}{9} \approx 11$ à $3$ m, $1$ à $10$ m. À la distance $d$, la lumière s’est répandue sur une sphère d’aire $4\pi d^2$ (problème de la pierre tombale d’Archimède, dans le volume précédent) : la même énergie divisée par une aire qui croît comme $d^2$ — d’où l’inverse du *carré*.

**9.** $60$, $30$, $20$ euros par tête pour $n = 10, 20, 30$. Pour $\frac{600}{n} \leq 25$ : il faut $n \geq 24$ participants. L’hyperbole promet des parts toujours moins chères quand $n$ grandit — et refuse d’atteindre $0$ : le car n’est jamais gratuit.

**10.** $a(x) = \frac{2x + 3}{x} = 2 + \frac3x$ : [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoo{0}{+\infty}$ (la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) inverse translatée), et s’approchant de l’asymptote $y = 2$. Économiquement : répartir les $3$ euros fixes sur davantage d’affiches pousse le coût unitaire vers les $2$ euros incompressibles de matière — des économies d’échelle, avec un plancher infranchissable.

**11.** Terre : $a^3 = 1$, $T^2 = 1$. Mars : $1.52^3 \approx 3.51$ et $1.88^2 \approx 3.53$. Jupiter : $5.20^3 \approx 140.6$ et $11.86^2 \approx 140.7$. La remarque de Kepler : $T^2 = a^3$ pour toutes les planètes — une seule loi pour tout le ciel.

**12.** $T = \sqrt{a^3}$ : pour Saturne, $\sqrt{9.54^3} = \sqrt{868} \approx 29.5$ ans, contre $29.4$ observés : la loi tient au dixième près.

**13.** Astéroïde : $T = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ ans. Comète : $a^3 = 27^2 = 729 = 9^3$, donc $a = 9$ UA.

**14.** Le carré ($T^2$), le cube ($a^3$) et la racine carrée (pour extraire $T$). Échelle : multiplier $a$ par $4$ multiplie $T$ par $4\sqrt4 = 8$ — ce que l’astéroïde confirme ($a$ quatre fois celle de la Terre, $T$ huit fois).

**15.** Un tableau de nombres, confronté aux allures de quelques [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de référence, a livré une loi de l’univers soixante-dix ans avant que quiconque sache *pourquoi* elle tenait — reconnaître la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function), c’est déjà la moitié de la science.

**16.** Sur $\intoo{0}{1}$ : $x^2 < x < \sqrt x$ ; sur $\intoo{1}{+\infty}$ : $\sqrt x < x < x^2$. Vérifications : en $x = 0.25$, $0.0625 < 0.25 < 0.5$ ; en $x = 4$, $2 < 4 < 16$.

**17.** Pour $x \geq 0$, les deux membres sont $\geq 0$, donc $\sqrt x > x \iff x > x^2 \iff x(1 - x) > 0 \iff
x \in \intoo{0}{1}$.

**18.** En $x = 0.5$ : $x^3 = 0.125 < x^2 = 0.25 < x = 0.5$. En $x = 2$ : $2 < 4 < 8$ : l’ordre s’inverse. Croisements de $x^2$ et $x^3$ : $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$, en $x = 0$ et $x = 1$.

**19.** $10t^2 = 100\sqrt t$ donne $t^2 = 10\sqrt t$ ; en élevant au carré, $t^4 = 100t$, donc $t^3 = 100$ et $t = \sqrt[3]{100} \approx 4.64$ ans — environ $4$ ans et $8$ mois. (Les deux plans rapportent alors à peu près $215$ euros.) Morale : les racines partent vite, les puissances gagnent tous les marathons.

**20.** Freinage : le *redressement* de la parabole, c’est le danger de la vitesse. Levier : l’*asymptote verticale* en $0$ et la longue queue font l’avantage du mécanicien. Lampe : le $d^2$ de la *sphère qui s’étale* règle l’affaiblissement. Kepler : l’*exposant* $\frac32$ est le tempo du système solaire. Plan d’épargne A : l’*aplatissement* de la racine est le sort du petit épargnant. Cinq courbes, cinq lois : l’alphabet de la nature, en effet.