--- title: "Géométrie repérée" book: "Mathématiques du lycée" subject: math language: fr chapter: 5 exercises: 10 source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee --- # Chapitre 5 — Géométrie repérée La grande idée de Descartes fut de décrire les points par des paires de nombres, transformant les problèmes de géométrie en calculs. Avec seulement deux formules — le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) et la distance — on peut prouver qu’un triangle est isocèle, qu’un quadrilatère est un parallélogramme, ou que trois points sont alignés, sans tracer une seule ligne auxiliaire. ## 5.1 Coordonnées dans le plan **Définition 5.1 (Repère).** Un *repère* du plan est constitué d’une origine $O$ et de deux axes gradués passant par $O$ : l’axe horizontal des $x$ et l’axe vertical des $y$. Tout point $M$ a alors une unique paire de *coordonnées* $(x, y)$ : son *abscisse* $x$ et son *ordonnée* $y$. Le repère est *orthonormal* lorsque les axes sont perpendiculaires et portent la même unité de longueur. Tous les repères de ce chapitre sont orthonormaux. ![Tout point du plan est repéré par deux nombres : d’abord l’abscisse (horizontale), puis l’ordonnée (verticale).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-coordgeom/fig-9451968d4277.svg) *Tout point du plan est repéré par deux nombres : d’abord l’[abscisse](#def-g10-coordgeom-system) (horizontale), puis l’[ordonnée](#def-g10-coordgeom-system) (verticale).* ## 5.2 Milieu d’un segment **Proposition 5.2 (Formule du milieu).** Soient $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$. Le *milieu* $I$ du segment $[AB]$ a pour [coordonnées](#def-g10-coordgeom-system) $$ I\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right). $$ **Démonstration.** Considérons les [coordonnées](#def-g10-coordgeom-system) horizontales. En allant de $A$ à $B$, l’[abscisse](#def-g10-coordgeom-system) change de $x_B - x_A$ ; le point à mi-chemin a pour [abscisse](#def-g10-coordgeom-system) $$ x_A + \frac{x_B - x_A}{2} = \frac{2x_A + x_B - x_A}{2} = \frac{x_A + x_B}{2}, $$ la moyenne des deux [abscisses](#def-g10-coordgeom-system). Le même calcul s’applique aux [ordonnées](#def-g10-coordgeom-system). ∎ **Exemple 5.3.** Avec $A(-1, 4)$ et $B(5, -2)$, le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ est $$ I\left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = I(2, 1). $$ La formule fonctionne aussi à l’envers : si $A(-1, 4)$ et le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) est $I(2, 1)$, alors $B$ satisfait $\frac{-1 + x_B}{2} = 2$ et $\frac{4 + y_B}{2} = 1$, donc $x_B = 5$ et $y_B = -2$ : le point $B$ est le *symétrique* de $A$ par rapport à $I$. ## 5.3 Distance entre deux points **Théorème 5.4 (Formule de la distance).** Dans un [repère orthonormal](#def-g10-coordgeom-system), la distance entre $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ est $$ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. $$ **Démonstration.** Soit $C$ le point $(x_B, y_A)$ : il a la même hauteur que $A$ et la même [abscisse](#def-g10-coordgeom-system) que $B$, donc le triangle $ACB$ a un angle droit en $C$. Ses côtés adjacents à l’angle droit sont des segments horizontal et vertical, de longueurs $AC = \abs{x_B - x_A}$ et $CB = \abs{y_B - y_A}$. Par le théorème de Pythagore, $$ AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2, $$ et en prenant la racine carrée (les deux membres sont positifs ou nuls) on obtient la formule. ∎ ![La formule de la distance est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle ACB construit sur un côté horizontal et un côté vertical.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-coordgeom/fig-235b7a1fe84f.svg) *La formule de la distance est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $ACB$ construit sur un côté horizontal et un côté vertical.* **Exemple 5.5.** Avec $A(1, 1)$ et $B(5, 3)$ : $$ AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5 . $$ Les distances sont en général gardées sous forme exacte (racine carrée) ; n’arrondir qu’à la toute fin si une réponse décimale est nécessaire. **Remarque 5.6.** L’ordre des points n’importe pas : $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$. Mais ne pas oublier les carrés ! La distance n’est *pas* $\abs{x_B - x_A} + \abs{y_B - y_A}$. ## 5.4 Utiliser les formules en géométrie **Méthode 5.7 (Nature d’un triangle).** Étant donnés trois points $A$, $B$, $C$ par leurs [coordonnées](#def-g10-coordgeom-system) : 1. calculer les trois longueurs au carré $AB^2$ , $AC^2$ , $BC^2$ avec la formule de la distance (garder les carrés évite les racines) ; 2. deux longueurs au carré égales $\Rightarrow$ le triangle est *isocèle* ; 3. si la plus grande longueur au carré est la somme des deux autres, le triangle est *rectangle* au sommet opposé au plus long côté, par la réciproque du théorème de Pythagore. **Exemple 5.8.** Soient $A(0, 1)$, $B(4, 3)$ et $C(2, -3)$. Alors $$ \begin{align*} AB^2 &= (4-0)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20, \\ AC^2 &= (2-0)^2 + (-3-1)^2 = 4 + 16 = 20, \\ BC^2 &= (2-4)^2 + (-3-3)^2 = 4 + 36 = 40 . \end{align*} $$ D’abord, $AB^2 = AC^2$, donc $AB = AC$ : le triangle est isocèle en $A$. De plus $AB^2 + AC^2 = 40 = BC^2$, donc par la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est aussi rectangle en $A$. **Méthode 5.9 (Reconnaître un parallélogramme).** Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme exactement lorsque ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint). Donc : calculer les deux milieux avec la formule du [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) et les comparer. **Exemple 5.10.** Soient $A(-1, 0)$, $B(2, 2)$, $C(5, 1)$ et $D(2, -1)$. Le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AC]$ est $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (2, \frac12)$ ; le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BD]$ est $\left(\frac{2+2}{2}, \frac{2-1}{2}\right) = (2, \frac12)$. Ils coïncident, donc $ABCD$ est un parallélogramme. ![ABCD est un parallélogramme car ses deux diagonales partagent le même milieu I(2, 1/2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-coordgeom/fig-4496c905f6f2.svg) *$ABCD$ est un parallélogramme car ses deux diagonales partagent le même [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I(2, \frac12)$.* ## 5.5 Exercices **Exercice 5.1 ★.** Soient $A(2, 5)$ et $B(-4, 1)$. Calculer les [coordonnées](#def-g10-coordgeom-system) du [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ et la distance $AB$. **Solution de Exercice 5.1.** [Milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) : $\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (-1, 3)$. Distance : $$ AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}. $$ **Exercice 5.2 ★.** Soient $A(3, -2)$ et $I(1, 2)$. Trouver les [coordonnées](#def-g10-coordgeom-system) du point $B$ tel que $I$ soit le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$. **Solution de Exercice 5.2.** $I$ est le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ signifie $\frac{3 + x_B}{2} = 1$ et $\frac{-2 + y_B}{2} = 2$, donc $x_B = -1$ et $y_B = 6$ : $B(-1, 6)$. **Exercice 5.3 ★.** Lequel des points $P(4, 1)$, $Q(-3, 2)$ et $R(0, -5)$ est le plus proche de l’origine $O(0,0)$ ? Répondre avec des distances exactes. **Solution de Exercice 5.3.** $OP = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ ; $OQ = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ ; $OR = \sqrt{0 + 25} = 5 = \sqrt{25}$. Comme $13 < 17 < 25$, la racine carrée étant [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations), $Q$ est le plus proche de l’origine. **Exercice 5.4 ★.** Placer les points $A(1, 2)$, $B(5, 4)$, $C(7, 0)$ sur du papier millimétré, puis montrer par le calcul que le triangle $ABC$ est isocèle. Est-il rectangle ? **Solution de Exercice 5.4.** Longueurs au carré : $$ \begin{align*} AB^2 &= (5-1)^2 + (4-2)^2 = 16 + 4 = 20, \\ BC^2 &= (7-5)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20, \\ AC^2 &= (7-1)^2 + (0-2)^2 = 36 + 4 = 40 . \end{align*} $$ $AB = BC$ : le triangle est isocèle en $B$. De plus $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$ : par la réciproque du théorème de Pythagore il est aussi rectangle en $B$. **Exercice 5.5 ★★.** Soient $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$, $C(4, 1)$ et $D(1, -1)$. 1. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme. 2. Calculer $AB$ et $BC$ . $ABCD$ est-il un losange (tous les côtés égaux) ? 3. Calculer $AC$ et $BD$ . $ABCD$ est-il un rectangle (diagonales égales) ? **Solution de Exercice 5.5.** *1.* [Milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AC]$ : $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 1)$ ; [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BD]$ : $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (1, 1)$. Même [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) : $ABCD$ est un parallélogramme. *2.* $AB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$ et $BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25$ : $AB \neq BC$, ce n’est pas un losange. *3.* $AC^2 = 6^2 + 0^2 = 36$ et $BD^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$ : $AC \neq BD$, ce n’est pas un rectangle. $ABCD$ est un simple parallélogramme. **Exercice 5.6 ★★.** Le cercle de centre $\Omega(2, 1)$ et de rayon $5$ est l’ensemble de tous les points à distance $5$ de $\Omega$. Lesquels des points $A(5, 5)$, $B(-1, -3)$, $C(6, 2)$ sont sur ce cercle ? À l’intérieur ? À l’extérieur ? **Solution de Exercice 5.6.** Calculer les distances au carré à $\Omega(2,1)$ et comparer à $5^2 = 25$ : $$ \Omega A^2 = 3^2 + 4^2 = 25, \qquad \Omega B^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 25, \qquad \Omega C^2 = 4^2 + 1^2 = 17 . $$ $A$ et $B$ sont sur le cercle ; $C$ est à l’intérieur ($17 < 25$). **Exercice 5.7 ★★.** Soient $A(1, 1)$ et $B(7, 5)$. Trouver tous les points $M(x, 0)$ de l’axe des $x$ équidistants de $A$ et de $B$. (Écrire $MA^2 = MB^2$ et résoudre en $x$.) **Solution de Exercice 5.7.** $MA^2 = (x - 1)^2 + 1$ et $MB^2 = (x - 7)^2 + 25$. En posant $MA^2 = MB^2$ : $$ x^2 - 2x + 2 = x^2 - 14x + 74 \ \Longleftrightarrow\ 12x = 72 \ \Longleftrightarrow\ x = 6 . $$ L’unique tel point est $M(6, 0)$. **Exercice 5.8 ★★.** Soient $A(0, 3)$, $B(4, 1)$. 1. Calculer les [coordonnées](#def-g10-coordgeom-system) du [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ de $[AB]$ . 2. Montrer que $M(2, 2) = I$ , puis vérifier en calculant $MA$ , $MB$ que $M$ est équidistant de $A$ et de $B$ . 3. Trouver un second point, sur l’axe des $y$ , équidistant de $A$ et de $B$ . **Solution de Exercice 5.8.** *1.* $I = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$. *2.* $M(2,2)$ est bien $I$. Et $MA^2 = (0-2)^2 + (3-2)^2 = 5$, $MB^2 = (4-2)^2 + (1-2)^2 = 5$ : le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) est équidistant des deux extrémités, comme attendu. *3.* Chercher $N(0, y)$ avec $NA^2 = NB^2$ : $$ (3 - y)^2 = 16 + (1 - y)^2 \ \Longleftrightarrow\ 9 - 6y = 16 + 1 - 2y \ \Longleftrightarrow\ -4y = 8, $$ donc $y = -2$ : le point $N(0, -2)$. **Exercice 5.9 ★★.** Les points $A(-1, -1)$, $B(3, 1)$ et $C(11, 5)$ sont donnés. Calculer $AB$, $BC$ et $AC$, et en déduire que $A$, $B$, $C$ sont alignés. (Trois points sont alignés exactement lorsque la plus grande des trois distances est la somme des deux autres.) **Solution de Exercice 5.9.** $$ \begin{align*} AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5, \\ BC &= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5, \\ AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt5 . \end{align*} $$ Alors $AB + BC = 2\sqrt5 + 4\sqrt5 = 6\sqrt5 = AC$ : l’inégalité triangulaire est une égalité, donc $B$ est sur le segment $[AC]$ — les trois points sont alignés. **Exercice 5.10 ★★★.** Soient $A(a, 0)$ et $B(0, b)$ avec $a, b > 0$, et soit $I$ le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$. Montrer par le calcul que $OI = IA = IB$, où $O$ est l’origine. (Cela prouve un théorème classique : dans un triangle rectangle, le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de l’hypoténuse est équidistant des trois sommets.) **Solution de Exercice 5.10.** Le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ est $I\left(\frac a2, \frac b2\right)$. Alors $$ OI^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}, \qquad IA^2 = \left(a - \frac a2\right)^2 + \left(0 - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}, $$ et $IB^2 = \left(0 - \frac a2\right)^2 + \left(b - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$ aussi. Les trois distances au carré sont égales, donc $OI = IA = IB$ : le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de l’hypoténuse du triangle rectangle $OAB$ est équidistant des trois sommets (c’est le centre de son cercle circonscrit). ## 5.6 Problème : le pont de Descartes — équations de cercles et comment savoir où l’on est **Problème 5.1.** Devoir du week-end — le cercle devient une équation, de vieux théorèmes deviennent des calculs, et trois balises localisent un point : la trilatération par l’algèbre En 1637, René Descartes a jeté un pont entre deux continents : toute courbe de la géométrie devenait une *[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation)*, toute question géométrique un calcul. Ce problème emprunte le pont dans les deux sens — en tirant l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du cercle de la formule de distance ([Théorème 5.4](#thm-g10-coordgeom-distance)), en redémontrant des théorèmes classiques en trois lignes d’algèbre, et en finissant là où le pont supporte aujourd’hui le plus fort trafic : le calcul d’une position à partir de signaux de distance, le cœur — vu à plat — du GPS. **Partie I — Le cercle reçoit une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation).** 1. Un point $M(x, y)$ appartient au cercle de centre $\Omega(2, 1)$ et de rayon $5$ exactement lorsque $\Omega M = 5$. Élever cette condition au carré pour obtenir l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du cercle : $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 .$$ 2. Test d’appartenance : parmi $A(5, 5)$ , $B(6, 4)$ , $D(4, 4)$ , lesquels sont sur le cercle, à l’intérieur, à l’extérieur ? 3. Un cercle déguisé : compléter les carrés ([Problème 2.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#pb-g10-algebra-1)) dans $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$ et donner son centre et son rayon. 4. Faire de même avec $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 14 = 0$ . Que révèle la forme obtenue ? Énoncer le critère : quand $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ décrit-il un cercle, un point unique, ou rien du tout ? 5. Couper le cercle de la question 3 par la droite horizontale $y = 3$ : substituer et résoudre. Combien de points, et quel est le nom géométrique d’une telle droite ? **Partie II — De vieux théorèmes en trois lignes.** 6. Le théorème du cercle du volume précédent (un angle droit dans tout demi-cercle), redémontré par l’algèbre : soient $A(-r, 0)$ et $B(r, 0)$ les extrémités d’un diamètre et $M(x, y)$ un point quelconque du cercle $x^2 + y^2 = r^2$ . Calculer $MA^2 + MB^2$ et conclure, par la réciproque de Pythagore, que $\widehat{AMB}$ est droit. 7. Le théorème de la médiane : avec $A(-a, 0)$, $B(a, 0)$ (de sorte que le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ soit l’origine $I$), montrer que pour tout point $M(x, y)$ : $$MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \frac{AB^2}{2} .$$ 8. En déduire l’ensemble des points $M$ tels que $MA^2 + MB^2 = 26$ lorsque $AB = 6$ : quelle courbe, quel centre, quel rayon ? 9. Un autre lieu géométrique : $A(0,0)$ , $B(3,0)$ ; déterminer tous les points tels que $MA = 2\,MB$ . (Élever au carré, [développer](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) , compléter les carrés : un cercle célèbre apparaît — Apollonius le connaissait sans [coordonnées](#def-g10-coordgeom-system) .) 10. En une ou deux phrases : qu’est-ce que le pont de Descartes change à la *manière* dont on démontre les théorèmes ? Comparer la question 6 avec la démonstration par le rectangle du théorème du cercle du volume précédent. **Partie III — Trois balises vous retrouvent.** Votre position $M(x, y)$ est inconnue. La balise $P(0, 0)$ mesure votre distance à $5$ ; la balise $Q(6, 0)$ mesure elle aussi $5$. 11. Écrire les deux [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de cercles, les soustraire et regarder les carrés disparaître : quelle [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) simple subsiste ? La combiner avec l’un des cercles pour trouver les *deux* positions candidates. 12. Une troisième balise $R(0, 8)$ mesure votre distance à $5$ . Calculer sa distance à chaque candidate et décider où vous êtes. 13. Expliquer pourquoi soustraire deux [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de cercles donne *toujours* l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) d’une droite (quels termes s’éliminent ?), et ce qu’est géométriquement cette droite lorsque les cercles se coupent en deux points. 14. Le positionnement par satellite réel se fait dans l’espace et avec des horloges imparfaites : chaque satellite donne (par le temps de trajet du signal) une distance, donc une sphère. Combien d’inconnues un récepteur a-t-il (sa position *et* l’erreur de sa propre horloge), et pourquoi le GPS écoute-t-il donc au moins *quatre* satellites ? 15. Précision : supposons que la distance à la balise $P$ vaille en réalité $5.1$ au lieu de $5$ (tout le reste inchangé). Refaire la soustraction de la question 11 pour trouver le nouveau $x$ , et chiffrer de combien l’estimation s’est déplacée. (Comparer avec le calcul d’erreurs du [Problème 1.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#pb-g10-numbers-1) .) **Partie IV — La trousse à outils de l’arpenteur.** 16. Le plus court chemin pour aller boire : un campement en $A(1, 5)$ , une grange en $B(7, 3)$ , une rivière rectiligne le long de l’axe $y = 0$ . Pour aller de $A$ à la rivière puis à $B$ en marchant le moins possible : symétriser $B$ par rapport à la rivière en $B'$ , et chercher où le segment $[AB']$ traverse la rivière. Donner le point de traversée et la longueur totale minimale. (C’est l’idée de l’exercice du rebond de billard du volume précédent, désormais entièrement calculable.) 17. Confirmer la minimalité face à un concurrent : calculer le trajet total passant par $Q(3, 0)$ et vérifier qu’il perd contre votre réponse. 18. Classer complètement le quadrilatère $A(1,1)$ , $B(4,2)$ , $C(5,5)$ , $D(2,4)$ : parallélogramme ? losange ? rectangle ? carré ? ( [Méthode 5.9](#met-g10-coordgeom-parallelogram) , [Méthode 5.7](#met-g10-coordgeom-triangle) — comparer aussi les diagonales.) 19. Étant donné $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ , déterminer $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme (l’astuce du [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) commun des diagonales, vue dans le devoir du week-end sur les demi-tours du volume précédent, maintenant en formules). 20. Pour finir : trois outils — formule du [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) , formule de distance, soustraction d’ [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de cercles. Pour chacun, nommer le type de question qu’il a réglé dans ce problème, et dire ce que les deux chapitres suivants ajoutent à la trousse (directions et [coefficients directeurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) : vecteurs et [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de droites). **Solution de Problème 5.1.** **1.** $\Omega M = 5 \iff \Omega M^2 = 25 \iff (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ par la formule de distance ([Théorème 5.4](#thm-g10-coordgeom-distance)) — élever au carré est sans danger, les deux membres étant positifs. **2.** $A$ : $(5-2)^2 + (5-1)^2 = 9 + 16 = 25$ : sur le cercle. $B$ : $16 + 9 = 25$ : sur le cercle également. $D$ : $4 + 9 = 13 < 25$ : à l’intérieur. **3.** $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ et $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$, donc l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) s’écrit $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ : centre $(3, -2)$, rayon $5$. **4.** $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = -1$ : une somme de carrés n’est jamais négative — aucun point ne convient : l’ensemble vide. En général, $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ est un cercle de rayon $\sqrt c$ si $c > 0$, le point unique $(h, k)$ si $c = 0$, et l’ensemble vide si $c < 0$. **5.** Avec $y = 3$ : $(x - 3)^2 + 25 = 25$, donc $(x - 3)^2 = 0$ : le point unique $(3, 3)$. Un seul point de contact : la droite est *tangente* au cercle. **6.** $MA^2 + MB^2 = (x + r)^2 + y^2 + (x - r)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2r^2 = 2r^2 + 2r^2 = 4r^2$ (en utilisant $x^2 + y^2 = r^2$). Comme $AB^2 = (2r)^2 = 4r^2$, le triangle $AMB$ vérifie $MA^2 + MB^2 = AB^2$ : il est rectangle en $M$ (réciproque de Pythagore) — trois lignes, comme promis. **7.** $MA^2 + MB^2 = (x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2\,MI^2 + 2a^2$, et $\frac{AB^2}{2} = \frac{(2a)^2}{2} = 2a^2$. Identité démontrée. **8.** $2\,MI^2 + \frac{36}{2} = 26$ donne $MI^2 = 4$ : le cercle de centre le [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ et de rayon $2$. **9.** $MA^2 = 4\,MB^2$ : $x^2 + y^2 = 4\left((x - 3)^2 + y^2\right)$, c’est-à-dire $3x^2 + 3y^2 - 24x + 36 = 0$, ou encore $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$ ; en complétant les carrés, $(x - 4)^2 + y^2 = 4$ — le cercle de centre $(4, 0)$ et de rayon $2$ (le *cercle d’Apollonius* de rapport $2$). **10.** Le pont convertit les constructions en calculs : plus de rectangle auxiliaire, plus de discussion de cas — un développement et le théorème tombe. Le prix à payer : le calcul porte moins d’intuition géométrique ; la démonstration classique montre *pourquoi*, la démonstration algébrique montre *que* — un mathématicien de métier garde les deux. **11.** $x^2 + y^2 = 25$ et $(x - 6)^2 + y^2 = 25$. Par soustraction : $x^2 - (x - 6)^2 = 0$, c’est-à-dire $12x - 36 = 0$, donc $x = 3$. Puis $9 + y^2 = 25$ : $y = \pm 4$. Candidates $(3, 4)$ et $(3, -4)$. **12.** De $(3, 4)$ à $R(0, 8)$ : $\sqrt{9 + 16} = 5$ — cela concorde. De $(3, -4)$ : $\sqrt{9 + 144} \approx 12.4$ — faux. Vous êtes en $(3, 4)$. **13.** Les deux [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) portent le même $x^2 + y^2$ (ou avec des coefficients égaux après développement) : la soustraction élimine les carrés et laisse une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du premier degré — une droite. Lorsque les cercles se coupent en deux points, cette droite passe par les deux points d’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) : c’est la droite de la corde commune. **14.** Quatre inconnues : trois [coordonnées](#def-g10-coordgeom-system), plus l’erreur d’horloge du récepteur (une montre bon marché, corrigée par les mathématiques). Chaque satellite fournit une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation), donc quatre satellites donnent quatre [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) pour quatre inconnues — des satellites supplémentaires améliorant encore la précision. **15.** La soustraction donne maintenant $x = \frac{5.1^2 - 5^2 + 36}{12} = \frac{37.01}{12} \approx 3.084$ : une erreur de $10$ cm sur une distance a déplacé l’estimation d’environ $8$ cm ici. Les erreurs se propagent à travers chaque formule — la prudence de l’arithmétique des [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) du [Problème 1.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#pb-g10-numbers-1), maintenant avec des [coordonnées](#def-g10-coordgeom-system). **16.** $B' (7, -3)$. La droite $(AB')$ a pour [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $\frac{-3 - 5}{7 - 1} = -\frac43$ et coupe $y = 0$ en $x = 1 + \frac{5}{8} \times 6 = 4.75$ : on boit en $P(4.75,\ 0)$. Longueur minimale : $AP + PB = AP + PB' = AB' = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. **17.** En passant par $Q(3, 0)$ : $AQ + QB = \sqrt{4 + 25} + \sqrt{16 + 9} = \sqrt{29} + 5 \approx 10.39 > 10$. La ligne droite obtenue par symétrie l’emporte. **18.** Milieux des diagonales : $[AC]$ : $(3, 3)$ ; $[BD]$ : $(3, 3)$ — égaux, donc parallélogramme. Côtés : $AB = \sqrt{10} = AD$ : losange. Diagonales : $AC = \sqrt{32} \neq BD = \sqrt{8}$ : ce n’est pas un rectangle, donc pas un carré. Verdict : un losange, et rien de plus. **19.** $D = A + C - B = (-1 + 6 - 3,\ 2 + 0 - 4) = (2, -2)$ : $[AC]$ et $[BD]$ ont alors le même [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $\left(\frac52, 1\right)$. **20.** Formule du [milieu](#prop-g10-coordgeom-midpoint) : parallélogrammes et centres (questions 18 et 19). Formule de distance : cercles, lieux géométriques, natures de triangles, plus courts chemins (questions 1 à 9 et 16). Soustraction d’[équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de cercles : la droite qui localise une position (questions 11 à 15). Ce qui manque encore à la trousse : une algèbre propre des *directions* — les vecteurs — et des *[coefficients directeurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine)* — [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de droites et systèmes : les deux chapitres suivants fournissent exactement cela.