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title: "Vecteurs"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 6
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/6-vecteurs
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# Chapitre 6 — Vecteurs

Un [vecteur](#def-g10-vectors-vector) encode un déplacement : une direction et une longueur, indépendamment du point de départ. Les [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) donnent des preuves propres de faits géométriques et, une fois les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) en jeu, les réduisent à de petits calculs. Ils seront un outil clé dans le [Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/7-equations-de-droites-et-systemes-lineaires#ch-g10-lines) et, plus tard, pour le produit scalaire dans le [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/16-le-produit-scalaire-dans-le-plan#ch-g11-scal).

## 6.1 Translations et vecteurs

**Définition 6.1 (Vecteur).**

Étant donnés deux points $A$ et $B$, le *vecteur* $\vect{AB}$ représente le déplacement de $A$ vers $B$ : il a une *direction* (la direction de la droite $(AB)$, avec le sens de parcours, de $A$ vers $B$) et une *longueur* (la distance $AB$, aussi notée $\norm{\vect{AB}}$). Deux vecteurs sont *égaux* lorsqu’ils encodent le même déplacement : $\vect{AB} = \vect{CD}$ signifie qu’appliquer les deux déplacements à un point quelconque donne le même résultat.

**Proposition 6.2 (Vecteurs égaux et parallélogrammes).**

$\vect{AB} = \vect{CD}$ exactement lorsque $ABDC$ (dans cet ordre !) est un parallélogramme, éventuellement aplati — de façon équivalente, lorsque $[AD]$ et $[BC]$ ont le même [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

![Vecteurs égaux AB = CD : même direction, même sens, même longueur. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-999585eecc93.svg)

*[Vecteurs](#def-g10-vectors-vector) égaux $\vect{AB} = \vect{CD}$ : même direction, même sens, même longueur. Le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.*

**Notation 6.3.**

Un [vecteur](#def-g10-vectors-vector) est souvent nommé par une seule lettre, $\vec u$ ou $\vec v$, lorsque les extrémités n’importent pas. Le *[vecteur](#def-g10-vectors-vector) nul* $\vec 0 = \vect{AA}$ est le déplacement qui ne déplace rien. L’*opposé* de $\vect{AB}$ est $\vect{BA}$ : même longueur, sens opposé. On écrit $\vect{BA} = -\vect{AB}$.

## 6.2 Addition de vecteurs

**Définition 6.4 (Somme de deux vecteurs).**

La *somme* $\vec u + \vec v$ est le déplacement obtenu en effectuant $\vec u$ puis $\vec v$.

**Théorème 6.5 (Relation de Chasles).**

Pour trois points $A$, $B$, $C$ quelconques :

$$
\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.
$$

**Démonstration.** Aller de $A$ à $B$, puis de $B$ à $C$, est un déplacement qui amène $A$ en $C$ : c’est le déplacement encodé par $\vect{AC}$. ∎

**Remarque 6.6 (Règle du parallélogramme).**

Pour additionner deux [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) issus du même point, $\vect{AB} +
\vect{AC}$, compléter le parallélogramme $ABDC$ : la [somme](#def-g10-vectors-sum) est la diagonale $\vect{AD}$. En effet $\vect{AC} = \vect{BD}$, donc $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ par la relation de Chasles.

![Deux images de la somme : bout à bout (relation de Chasles, à gauche) et règle du parallélogramme (à droite).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-3ca1613ca043.svg)

![Deux images de la somme : bout à bout (relation de Chasles, à gauche) et règle du parallélogramme (à droite).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-3828ee349c85.svg)

*Deux [images](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de la [somme](#def-g10-vectors-sum) : bout à bout (relation de Chasles, à gauche) et règle du parallélogramme (à droite).*

**Exemple 6.7 (Simplifier avec Chasles).**

Simplifier $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$ : enchaîner les déplacements donne $\vect{MQ}$. Simplifier $\vect{AB} - \vect{AC}$ : réécrire la différence comme une [somme](#def-g10-vectors-sum) avec le [vecteur](#def-g10-vectors-vector) opposé,

$$
\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA}
= \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.
$$

## 6.3 Multiplier un vecteur par un nombre

**Définition 6.8 (Produit par un scalaire).**

Soit $\vec u$ un [vecteur](#def-g10-vectors-vector) non nul et $k$ un [nombre réel](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets). Le [vecteur](#def-g10-vectors-vector) $k\vec u$ a la même direction que $\vec u$, la longueur $\abs{k} \times \norm{\vec u}$, et le même sens que $\vec u$ si $k > 0$, le sens opposé si $k < 0$. Pour $k = 0$, $0\vec u = \vec 0$.

**Définition 6.9 (Colinéarité).**

Deux [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) $\vec u$ et $\vec v$ sont *colinéaires* lorsqu’ils ont la même direction, c’est-à-dire lorsque $\vec v = k \vec u$ pour un certain réel $k$ (ou que l’un d’eux est $\vec 0$).

**Remarque 6.10.**

La colinéarité est le langage vectoriel du parallélisme et de l’alignement :

- les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles exactement lorsque $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear) ;
- les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés exactement lorsque $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear) .

## 6.4 Coordonnées de vecteurs

**Définition 6.11 (Coordonnées d’un vecteur).**

Dans un [repère](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system), les *[coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system)* du [vecteur](#def-g10-vectors-vector) $\vect{AB}$ sont les nombres décrivant le déplacement :

$$
\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).
$$

Un [vecteur](#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(a, b)$ déplace tout point de $a$ unités horizontalement et $b$ unités verticalement.

**Proposition 6.12 (Calculer avec les coordonnées).**

Soient $\vec u\,(a, b)$ et $\vec v\,(c, d)$, et $k \in \R$.

1. $\vec u = \vec v$ exactement lorsque $a = c$ et $b = d$ ;
2. $\vec u + \vec v$ a pour [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $(a + c,\ b + d)$ ;
3. $k\vec u$ a pour [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $(ka,\ kb)$ ;
4. $\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ ( [repère orthonormal](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) ).

**Démonstration.** 1–3 reformulent, coordonnée par coordonnée, ce que font les déplacements : par exemple effectuer $\vec u$ puis $\vec v$ déplace un point horizontalement de $a$ puis de $c$, donc de $a + c$ au total. Le point 4 est la formule de la distance du [Théorème 5.4](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#thm-g10-coordgeom-distance) appliquée à un segment représentant $\vec u$. ∎

**Théorème 6.13 (Critère de colinéarité).**

Deux [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(a, b)$ et $\vec v\,(c, d)$ sont [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear) si et seulement si

$$
ad - bc = 0 .
$$

**Démonstration.** Si $\vec v = k\vec u$, alors $c = ka$ et $d = kb$, donc $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$. De même si $\vec u = k \vec v$ ou si l’un des [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) est nul.

Réciproquement, supposons $ad - bc = 0$ avec $\vec u \neq \vec 0$, disons $a \neq 0$ (le cas $b \neq 0$ est analogue). Poser $k = \frac{c}{a}$ ; alors $c = ka$, et $ad = bc = b(ka)$ donne, après division par $a \neq 0$, $d = kb$. Donc $\vec v = k\vec u$. ∎

**Exemple 6.14.**

Les [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(3, -2)$ et $\vec v\,(-6, 4)$ sont-ils [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear) ? Calculer $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$ : oui, et en effet $\vec v = -2\vec u$. Pour $\vec u\,(3, -2)$ et $\vec w\,(1, 5)$ : $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$ : non [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear).

**Méthode 6.15 (Alignement et parallélisme).**

Pour prouver que trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés :

1. calculer les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ;
2. vérifier le critère $ad - bc = 0$ du [Théorème 6.13](#thm-g10-vectors-det) ;
3. conclure : les [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) sont [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear) et partagent le point $A$ , donc les trois points sont alignés.

Le même calcul avec $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ prouve que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

**Exemple 6.16.**

Soient $A(1, 2)$, $B(3, 5)$ et $C(7, 11)$. Alors $\vect{AB}\,(2, 3)$ et $\vect{AC}\,(6, 9)$, et $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : les points sont alignés (en fait $\vect{AC} = 3\vect{AB}$).

![Points alignés : AC est un multiple scalaire de AB.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-1e83277b8c55.svg)

*Points alignés : $\vect{AC}$ est un multiple scalaire de $\vect{AB}$.*

## 6.5 Exercices

**Exercice 6.1 ★.**

Simplifier en utilisant la relation de Chasles :

$$
\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad
\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad
\vect{AC} - \vect{BC}, \qquad
\vect{AB} + \vect{CA}.
$$

**Solution de Exercice 6.1.**

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (Chasles).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$.

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$.

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$.

**Exercice 6.2 ★.**

Soient $A(2, 1)$, $B(5, 3)$, $C(-1, 4)$. Calculer les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de $\vect{AB}$, $\vect{BC}$, $\vect{AC}$, et vérifier sur les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) que $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$.

**Solution de Exercice 6.2.**

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$ ; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$ ; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$. Vérification : $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$, coordonnée par coordonnée.

**Exercice 6.3 ★.**

Soient $\vec u\,(2, -3)$ et $\vec v\,(-1, 4)$. Donner les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de $\vec u + \vec v$, $3\vec u$, $2\vec u - \vec v$, et calculer $\norm{\vec u}$.

**Solution de Exercice 6.3.**

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$.

$3\vec u = (6, -9)$.

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$.

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$.

**Exercice 6.4 ★.**

Dans chaque cas, dire si $\vec u$ et $\vec v$ sont [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear) :

$$
\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9);
\qquad
\text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10);
\qquad
\text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).
$$

**Solution de Exercice 6.4.**

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$ : [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = \frac32 \vec u$).

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$ : [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = -2\vec u$).

(c) $3 \times 3 - 1 \times 1 = 8 \neq 0$ : non [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear).

**Exercice 6.5 ★.**

Soient $A(0, 2)$, $B(4, 0)$, $C(6, 3)$. Trouver les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, c’est-à-dire tel que $\vect{AB} = \vect{DC}$.

**Solution de Exercice 6.5.**

$\vect{AB}\,(4, -2)$, et $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$. La condition $\vect{AB} = \vect{DC}$ donne $6 - x_D = 4$ et $3 - y_D = -2$, donc $D(2, 5)$.

**Exercice 6.6 ★★.**

Soient $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$, $C(4, -1)$.

1. Calculer les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) du point $M$ tel que $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
2. Quel est le quadrilatère $ABMC$ ? Justifier.

**Solution de Exercice 6.6.**

*1.* $\vect{AB}\,(3, 2)$ et $\vect{AC}\,(6, -2)$, donc $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ et $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$.

*2.* Par la règle du parallélogramme, $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ signifie que $ABMC$ est un parallélogramme ($M$ est le quatrième sommet opposé à $A$). On peut vérifier : $\vect{AB}\,(3,2)$ et $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ sont égaux.

**Exercice 6.7 ★★.**

Soient $A(1, -1)$, $B(4, 1)$, $C(10, 5)$. Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ? Même question pour $A(0, 3)$, $B(2, 2)$, $C(8, -1)$.

**Solution de Exercice 6.7.**

Premier triplet : $\vect{AB}\,(3, 2)$, $\vect{AC}\,(9, 6)$ ; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$ : alignés ($\vect{AC} = 3\vect{AB}$).

Second triplet : $\vect{AB}\,(2, -1)$, $\vect{AC}\,(8, -4)$ ; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$ : alignés aussi ($\vect{AC} = 4\vect{AB}$).

**Exercice 6.8 ★★.**

Soient $A(1, 2)$, $B(5, 4)$, $C(6, 1)$, $D(2, -1)$. Montrer que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, puis que $ABCD$ est un parallélogramme. Laquelle des deux vérifications implique l’autre ?

**Solution de Exercice 6.8.**

$\vect{AB}\,(4, 2)$ et $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$ : les deux [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) sont *égaux*, donc $ABCD$ est un parallélogramme, et en particulier $(AB) \parallel (CD)$. La propriété de parallélogramme est la plus forte : elle implique le parallélisme (colinéarité des [vecteurs](#def-g10-vectors-vector)), pas l’inverse.

**Exercice 6.9 ★★.**

Soit $ABC$ un triangle, et soit $I$ le point défini par $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$. Avec $A(0,0)$, $B(6, 3)$, $C(2, 5)$ (pour que les calculs restent simples) :

1. calculer les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de $I$ ;
2. soit $J$ tel que $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; calculer les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de $J$ ;
3. montrer que $(IJ)$ est parallèle à $(AC)$ .

**Solution de Exercice 6.9.**

*1.* $\vect{AB}\,(6, 3)$, donc $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ et $I(4, 2)$.

*2.* $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$, donc $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ et $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3},
\frac{11}{3}\right)$.

*3.* $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) =
\left(\frac23, \frac53\right)$ et $\vect{AC}\,(2, 5)$. Critère de colinéarité :

$$
\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :
$$

les [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) sont [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear), donc $(IJ)$ est parallèle à $(AC)$. (Les deux points $I$ et $J$ sont situés aux deux tiers du côté vers $B$ : le petit triangle $IBJ$ est une réduction de $ABC$.)

**Exercice 6.10 ★★★.**

Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque, et soient $I$, $J$, $K$, $L$ les milieux de $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$. En utilisant les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $A(x_A, y_A)$, etc., montrer que $\vect{IJ} = \vect{LK}$, et conclure que les milieux des côtés de *n’importe quel* quadrilatère forment un parallélogramme.

**Solution de Exercice 6.10.**

Les milieux sont

$$
I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad
J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad
K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad
L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).
$$

Premières [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) des deux [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) :

$$
x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}
= \frac{x_C - x_A}{2},
\qquad
x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2}
= \frac{x_C - x_A}{2},
$$

et le même calcul fonctionne pour les secondes [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system). Donc $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (tous deux égaux à $\frac12\vect{AC}$), et $IJKL$ est un parallélogramme, quelle que soit l’allure du quadrilatère $ABCD$.

## 6.6 Problème : l’algèbre des flèches

**Problème 6.1.**

Devoir du week-end — gymnastique de Chasles, le centre de gravité redémontré en deux lignes, et des forces en équilibre : à quoi servent vraiment les vecteurs

Le volume précédent a démontré que les médianes d’un triangle se coupent aux deux tiers de leur longueur — au prix d’un ingénieux parallélogramme caché dans le triangle (devoir du week-end sur le centre de gravité). Les [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) le redémontrent en deux lignes, et donnent le concours des trois médianes par-dessus le marché. C’est à cela que sert cette nouvelle algèbre : les théorèmes deviennent des calculs sur des flèches. Ce problème entraîne le calcul (Chasles avant tout), livre la démonstration en deux lignes, prolonge Varignon ([Exercice 6.10](#exo-g10-vectors-10)) et s’achève là où les [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) sont nés : les forces et les vitesses.

**Partie I — Gymnastique de Chasles.**

1. Simplifier à l’aide de la relation de Chasles ( [Théorème 6.5](#thm-g10-vectors-chasles) ) : $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB}$ ; $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ .
2. L’astuce du point origine : montrer que pour *tout* point $O$ , $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ .
3. Démontrer les deux caractérisations du [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ de $[AB]$ : $$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0  \qquad\text{et}\qquad  \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right)  \ \text{pour tout } O .$$
4. À l’aide de $\vect{AB} = \vect{DC}$ , retrouver le quatrième sommet $D$ du parallélogramme $ABCD$ avec $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ — et comparer avec la réponse obtenue par l’astuce des milieux au [Problème 5.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#pb-g10-coordgeom-1) .
5. Ajouter un [vecteur](#def-g10-vectors-vector) fixe $\vec u$ à tout point du plan réalise quelle transformation — celle que l’on avait découverte avec deux miroirs dans le devoir du week-end sur les deux miroirs, et avec deux demi-tours dans celui sur les demi-tours, du volume précédent ? Calculer l’ [image](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de $(1, 2)$ par $\vec u = (3, -1)$ .

**Partie II — Le centre de gravité, troisième démonstration.** On définit le point $G$ d’un triangle $ABC$ par l’élégante condition

$$
\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .
$$

6. À l’aide de l’astuce du point origine, montrer que cette condition détermine $G$ de façon unique : $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} +  \vect{OC}\right)$ pour tout $O$ — les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de $G$ sont donc les *moyennes* de celles des sommets (le devoir du week-end sur le centre de gravité, dans le volume précédent, l’avait vu numériquement).
7. Démontrer $\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} +  \vect{AC}\right)$ puis, en notant $K$ le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$ , $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ . En déduire $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ — le théorème des deux tiers, redémontré.
8. Pourquoi les médianes issues de $B$ et de $C$ passent-elles par le *même* $G$ sans le moindre calcul supplémentaire ? Comparer en une phrase chacune des trois démonstrations disponibles de ce théorème — le parallélogramme caché du volume précédent, les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) , les [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) .
9. Vérification numérique : $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ , $C(3, 6)$ . Calculer $G$ , puis $K$ , puis vérifier $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ à l’aide du critère de colinéarité ( [Théorème 6.13](#thm-g10-vectors-det) ).
10. La physique lit $G$ comme le point d’équilibre de trois masses égales placées aux sommets. Doublons la masse en $A$ (masses $2, 1, 1$ ) : le point d’équilibre devient $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} +  \vect{OC}}{4}$ . Calculer $G'$ pour le triangle de la question 9 et comparer sa position à celle de $G$ .

**Partie III — La colinéarité au travail.**

11. Les [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) $\vec u(3, -2)$ et $\vec v(-6, 4)$ sont-ils [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear) ? Et $\vec w(2, 5)$ , $\vec z(4, 9)$ ? Trancher avec le critère du déterminant.
12. Les points $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ , $C(7, 11)$ sont-ils alignés ?
13. Au-delà de Varignon ( [Exercice 6.10](#exo-g10-vectors-10) ) : dans un quadrilatère $ABCD$ quelconque, les *bimédianes* joignent les milieux des côtés opposés ( $[IK]$ et $[JL]$ ). À l’aide des [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) position ( $\vect{OI} =  \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ , etc.), montrer que les deux bimédianes ont le même [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) , de [vecteur](#def-g10-vectors-vector) position $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} +  \vect{OD}\right)$ : le centre de gravité du quadrilatère.
14. Thalès en une ligne : $M$ et $N$ sont les points définis par $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ et $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ . Calculer $\vect{MN}$ en [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de $\vect{BC}$ et en déduire parallélisme et rapport.
15. Généraliser la question 14 à un rapport $k$ quelconque, et dire en une phrase comment le calcul vectoriel absorbe d’un coup le théorème des milieux et le théorème de Thalès.

**Partie IV — Forces et vitesses.**

16. Un bateau est poussé par un courant de $3$ km/h plein est tandis qu’il rame à $4$ km/h plein nord. Donner le [vecteur](#def-g10-vectors-vector) vitesse résultant, sa norme, et décrire la route effectivement suivie. (Un triplet très ancien apparaît.)
17. Trois forces agissent sur un anneau : $\vec u(2, 1)$ , $\vec v(-3, 2)$ , $\vec w(1, -3)$ . Calculer la résultante. Que fait l’anneau ? Et pourquoi la [somme](#def-g10-vectors-sum) des flèches le long d’un polygone *fermé* vaut-elle toujours $\vec 0$ (Chasles) ?
18. Deux forces $\vec u(4, -1)$ et $\vec v(-1, 3)$ agissent sur un crochet. Quelle troisième force maintient le crochet en équilibre ?
19. Un nageur traverse une rivière en visant droit vers l’autre rive à $2$ m/s ; le courant file à $1.5$ m/s. Donner la vitesse résultante et sa norme. La rivière est large de $50$ m : combien de temps dure la traversée, et à quelle distance en aval le nageur aborde-t-il ?
20. Pour finir : un seul objet, trois costumes — flèche de déplacement, couple de [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) , force ou vitesse. Énumérer les trois théorèmes classiques que ce problème a redémontrés par l’algèbre vectorielle, et nommer la seule grandeur géométrique que les [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) de ce chapitre ne savent pas encore mesurer — l’outil qui y remédie arrive avec le produit scalaire, l’an prochain.

**Solution de Problème 6.1.**

**1.** $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} = \vect{BA}$ ; $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} + \vect{DA} = \vect{AA} =
\vec 0$ (en réordonnant la troisième [somme](#def-g10-vectors-sum)).

**2.** $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} =
\vect{AB}$ par Chasles.

**3.** $I$ est le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ exactement lorsque $\vect{IA} = -\vect{IB}$, c’est-à-dire $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$. Alors, pour tout $O$ : $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$, donc $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$ — et réciproquement.

**4.** $\vect{AB} = (4, 2)$, et $D$ vérifie $\vect{DC} = \vect{AB}$ : $D = C - (4, 2) = (2, -2)$ — le même $D$ qu’au [Problème 5.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#pb-g10-coordgeom-1), obtenu une ligne plus vite.

**5.** La translation de [vecteur](#def-g10-vectors-vector) $\vec u$ — exactement la transformation produite par deux miroirs parallèles ou par deux demi-tours. [Image](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de $(1, 2)$ : $(4, 1)$.

**6.** En développant chaque $\vect{GX}$ en $\vect{GO} + \vect{OX}$ : $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$, donc $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$ : un tel point existe et est unique, et ses [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) sont les moyennes de celles des trois sommets.

**7.** $\vect{AB} + \vect{AC} =
(\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC})
= 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC})
= 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$, d’où $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$. La formule du [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) (question 3, vue depuis $A$) donne $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$. En comparant : $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ — $G$ est sur la médiane $[AK]$, aux deux tiers à partir de $A$.

**8.** La condition de définition traite $A$, $B$, $C$ de façon identique ; le même calcul mené depuis $B$ ou depuis $C$ place donc le *même* $G$ aux deux tiers de ces médianes : le concours ne coûte rien. La démonstration par le parallélogramme était ingénieuse mais taillée sur mesure ; les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) calculent mais masquent ; les [vecteurs](#def-g10-vectors-vector) rendent la symétrie visible et la démonstration tient en deux lignes.

**9.** $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) =
(3, 3)$ ; $K(4, 4)$ ; $\vect{AG} = (2, 2)$ et $\vect{AK} = (3, 3)$ : déterminant $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$, [vecteurs colinéaires](#def-g10-vectors-collinear), et en effet $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$.

**10.** $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 +
6}{4}\right) = (2.5,\ 2.5)$ : tiré de $G(3,3)$ vers le sommet alourdi $A(1,1)$, comme il sied à un point d’équilibre.

**11.** $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$ : [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = -2\vec u$). $2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$ : non [colinéaires](#def-g10-vectors-collinear).

**12.** $\vect{AB} = (2, 3)$, $\vect{AC} = (6, 9)$ : déterminant $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$ : les points sont alignés.

**13.** $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ et $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$, donc le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[IK]$ a pour [vecteur](#def-g10-vectors-vector) position $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} +
\vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD})$ — et le calcul pour $[JL]$ donne exactement le même [vecteur](#def-g10-vectors-vector). Les deux bimédianes (et, par Varignon, les diagonales du parallélogramme $IJKL$) partagent toutes ce centre : le centre de gravité du quadrilatère.

**14.** $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} =
\frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$ : donc $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = \frac13 BC$.

**15.** Avec $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ et $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$ : $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$ — une seule ligne contient le théorème des milieux ($k = \frac12$) et le théorème de Thalès ($k$ quelconque) : le rapport traverse la soustraction sans une égratignure.

**16.** Résultante $(3, 4)$, de norme $\sqrt{9 + 16} = 5$ km/h : le bateau file en réalité vers le nord-nord-est, le long de l’hypoténuse du triangle $3$–$4$–$5$.

**17.** $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$ : l’anneau ne bouge pas — équilibre. Le long d’un polygone fermé $A_1 A_2 \dots A_n A_1$, Chasles télescope la [somme](#def-g10-vectors-sum) en $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$ : faire le tour, c’est revenir.

**18.** $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) = (-3, -2)$.

**19.** Résultante $(1.5,\ 2)$, de norme $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ m/s. Traversée : $50$ m à $2$ m/s dans le sens de la largeur, soit $25$ s ; dérive : $1.5 \times 25 = 37.5$ m en aval.

**20.** Redémontrés ce week-end : le théorème des deux tiers pour le centre de gravité (question 7), le centre des bimédianes et de Varignon (question 13), Thalès et les milieux (questions 14 et 15). Ce que les flèches ne savent toujours pas faire : mesurer des *angles* (et donc des longueurs dans des directions quelconques) — le produit scalaire de l’an prochain est précisément l’instrument manquant.