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title: "Équations de droites et systèmes linéaires"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 7
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/7-equations-de-droites-et-systemes-lineaires
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# Chapitre 7 — Équations de droites et systèmes linéaires

Une droite dans le plan repéré est décrite par une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation), et deux droites ensemble forment un système d’[équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) dont les solutions sont leurs points d’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion). Ce chapitre relie trois langages — géométrique (droites), algébrique ([équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation)) et fonctionnel ([fonctions affines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) du [Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#ch-g10-reffunc)) — et enseigne les deux méthodes standard de résolution d’un [système linéaire](#def-g10-lines-system).

## 7.1 L’équation d’une droite

**Théorème 7.1 (Équation réduite).**

Dans un [repère](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) :

1. toute droite non verticale a une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de la forme $$y = mx + p ,$$ avec $m$ (le *coefficient directeur*) et $p$ (l’*[ordonnée à l’origine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine)*) uniquement déterminés — c’est l’*équation réduite* de la droite ;
2. toute droite verticale a une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $x = c$ ;
3. un point appartient à la droite exactement lorsque ses [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) satisfont l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) .

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Proposition 7.2 (Coefficient directeur par deux points).**

Le [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) de la droite (non verticale) passant par $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, avec $x_A \neq x_B$, est

$$
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
\qquad
\text{(«~variation de $y$ sur variation de $x$~»).}
$$

**Démonstration.** Les deux points satisfont $y = mx + p$, donc $y_B - y_A = (mx_B + p) - (mx_A + p) = m(x_B - x_A)$ ; diviser par $x_B - x_A \neq 0$. ∎

![Trois types de droites : oblique (m ≠ 0), horizontale (m = 0), et verticale (pas d’équation réduite — l’équation est x = c).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-lines/fig-9dbde51774b7.svg)

*Trois types de droites : oblique ($m \neq 0$), horizontale ($m = 0$), et verticale (pas d’[équation réduite](#thm-g10-lines-reduced) — l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) est $x = c$).*

**Méthode 7.3 (Trouver l’équation d’une droite par deux points).**

Étant donnés $A$ et $B$ avec $x_A \neq x_B$ :

1. calculer le [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ;
2. écrire $y = mx + p$ et substituer les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de $A$ (ou $B$ ) pour trouver $p$ ;
3. vérifier l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) finale avec l’ *autre* point.

Si $x_A = x_B$, la droite est verticale : son [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) est $x = x_A$.

**Exemple 7.4.**

Droite passant par $A(1, 5)$ et $B(3, 1)$. [Coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) : $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$. Puis $y = -2x + p$ ; le point $A$ donne $5 = -2 \times 1 + p$, donc $p = 7$. [Équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) : $y = -2x + 7$. Vérification avec $B$ : $-2 \times 3 + 7 = 1$.

**Proposition 7.5 (Droites parallèles).**

Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine). Deux droites parallèles distinctes n’ont aucun point commun ; deux droites de [coefficients directeurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) différents en ont exactement un.

**Démonstration.** Soient $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ les deux droites. Un point commun résout $mx + p = m'x + p'$, c’est-à-dire $(m - m')x = p' - p$. Si $m \neq m'$, cela a exactement une solution $x = \frac{p' - p}{m - m'}$ : un point d’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion). Si $m = m'$, l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) s’écrit $0 = p' - p$ : aucune solution lorsque $p \neq p'$ (parallèles distinctes), tout $x$ lorsque $p = p'$ (même droite). Le parallélisme (n’avoir aucune [intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion), ou être confondues) est donc équivalent à $m = m'$. ∎

**Remarque 7.6 (Vecteur directeur).**

La droite $y = mx + p$ monte de $m$ unités pour chaque unité vers la droite, donc le [vecteur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/6-vecteurs#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(1, m)$ est un *vecteur directeur* de la droite : la droite est parallèle à $\vec u$. Deux droites sont parallèles exactement lorsque leurs [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/6-vecteurs#def-g10-vectors-vector) directeurs sont [colinéaires](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/6-vecteurs#def-g10-vectors-collinear) ([Théorème 6.13](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/6-vecteurs#thm-g10-vectors-det)).

## 7.2 Systèmes linéaires

**Définition 7.7 (Système linéaire).**

Un *système de deux équations linéaires* aux inconnues $x$ et $y$ est une paire d’[équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation)

$$
\begin{cases}
a x + b y = c \\
a' x + b' y = c'
\end{cases}
$$

à satisfaire *simultanément*. Une *solution* est un couple $(x, y)$ satisfaisant les deux. Chaque [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) décrit une droite, donc résoudre le système, c’est trouver l’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) de deux droites.

**Méthode 7.8 (Substitution).**

1. Résoudre une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) en une inconnue — choisir la plus simple, par exemple exprimer $y$ en [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de $x$ ;
2. substituer cette expression dans l’ *autre* [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) , qui ne contient plus que $x$ ;
3. résoudre en $x$ , puis calculer $y$ à partir de l’étape 1 ;
4. vérifier le couple dans les deux [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) d’origine.

**Exemple 7.9.**

Résoudre $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ par substitution. La seconde [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) donne $y = 3x - 3$. Substituer dans la première :

$$
x + 2(3x - 3) = 8
\ \Longleftrightarrow\
x + 6x - 6 = 8
\ \Longleftrightarrow\
7x = 14
\ \Longleftrightarrow\
x = 2 ,
$$

puis $y = 3 \times 2 - 3 = 3$. La solution est le couple $(2, 3)$. Vérification : $2 + 2 \times 3 = 8$ et $3 \times 2 - 3 = 3$.

**Méthode 7.10 (Combinaison).**

1. Multiplier chaque [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) par un nombre bien choisi pour qu’une inconnue ait des coefficients opposés dans les deux [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) ;
2. additionner les [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) : cette inconnue disparaît ;
3. résoudre l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) à une inconnue restante, puis substituer pour trouver l’autre inconnue ;
4. vérifier le couple dans les deux [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) d’origine.

**Exemple 7.11.**

Résoudre $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ par combinaison. Pour éliminer $y$, multiplier la première [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) par $2$ et la seconde par $3$ :

$$
\begin{cases}
4x + 6y = 14 \\
15x - 6y = 24
\end{cases}
$$

En les additionnant : $19x = 38$, donc $x = 2$. En substituant dans $2x + 3y = 7$ : $4 + 3y = 7$, donc $y = 1$. Solution : $(2, 1)$. Vérification dans la seconde [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) : $5 \times 2 - 2 \times 1 = 8$.

![Un système linéaire vu géométriquement : chaque équation est une droite, et la solution (2,1) de l’ est leur point d’intersection.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-lines/fig-f7a419123493.svg)

*Un [système linéaire](#def-g10-lines-system) vu géométriquement : chaque [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) est une droite, et la solution $(2,1)$ de l’[Exemple 7.11](#ex-g10-lines-elimination) est leur point d’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion).*

**Remarque 7.12 (Combien de solutions ?).**

Comme deux droites, un [système linéaire](#def-g10-lines-system) a en général exactement une solution (droites non parallèles), et exceptionnellement aucune (droites parallèles distinctes) ou une infinité (deux fois la même droite). Le critère du [Théorème 6.13](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/6-vecteurs#thm-g10-vectors-det) décide : le système a une unique solution exactement lorsque $ab' - a'b \neq 0$.

**Exemple 7.13 (Modéliser avec un système).**

Trois cahiers et deux stylos coûtent $8$ ; un cahier et quatre stylos coûtent $6$. Soit $x$ le prix d’un cahier et $y$ celui d’un stylo :

$$
\begin{cases}
3x + 2y = 8 \\
x + 4y = 6 .
\end{cases}
$$

De la seconde [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation), $x = 6 - 4y$ ; en substituant, $3(6 - 4y) + 2y = 8$, donc $18 - 10y = 8$, d’où $y = 1$ puis $x = 2$. Un cahier coûte $2$ et un stylo $1$.

## 7.3 Exercices

**Exercice 7.1 ★.**

Pour chaque droite, lire le [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) et l’[ordonnée à l’origine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine), et la croquer :

$$
y = 2x - 3, \qquad
y = -\tfrac13 x + 1, \qquad
y = 4, \qquad
x = -2 .
$$

**Solution de Exercice 7.1.**

$y = 2x - 3$ : coefficient $2$, [ordonnée à l’origine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $-3$. $y = -\frac13 x + 1$ : coefficient $-\frac13$, [ordonnée à l’origine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $1$. $y = 4$ : coefficient $0$, [ordonnée à l’origine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $4$ (droite horizontale). $x = -2$ : droite verticale, pas de [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) ni d’[équation réduite](#thm-g10-lines-reduced).

**Exercice 7.2 ★.**

Le point $A(2, 7)$ appartient-il à la droite $y = 3x + 1$ ? Et $B(-1, -1)$ ? Et le point $C(4, 13)$ ?

**Solution de Exercice 7.2.**

$3 \times 2 + 1 = 7$ : oui, $A$ est sur la droite. $3 \times (-1) + 1 = -2 \neq -1$ : $B$ n’y est pas. $3 \times 4 + 1 = 13$ : oui, $C$ est sur la droite.

**Exercice 7.3 ★.**

Trouver l’[équation réduite](#thm-g10-lines-reduced) de la droite passant par :

$$
\text{(a) } A(0, 2) \text{ et } B(3, 8);
\qquad
\text{(b) } A(-1, 5) \text{ et } B(2, -4);
\qquad
\text{(c) } A(4, 1) \text{ et } B(4, 6).
$$

**Solution de Exercice 7.3.**

(a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$ et $p = y_A = 2$ (le point $A$ est sur l’axe des $y$) : $y = 2x + 2$.

(b) $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$ ; puis $5 = -3 \times (-1) + p$ donne $p = 2$ : $y = -3x + 2$.

(c) $x_A = x_B = 4$ : droite verticale $x = 4$.

**Exercice 7.4 ★.**

Parmi les droites $y = 3x - 1$, $y = -3x + 2$, $y = 3x + 5$, $y = \frac{6x + 2}{2}$, lesquelles sont parallèles entre elles ? Lesquelles sont en fait confondues ?

**Solution de Exercice 7.4.**

$y = \frac{6x+2}{2} = 3x + 1$. Les droites de coefficient $3$ sont $y = 3x - 1$, $y = 3x + 5$ et $y = 3x + 1$ : ces trois-là sont parallèles entre elles ; aucune paire n’est confondue ([ordonnées à l’origine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) différentes), et aucune n’est parallèle à $y = -3x + 2$.

**Exercice 7.5 ★.**

Résoudre par substitution :

$$
\begin{cases}
y = 2x - 1 \\
3x + y = 9
\end{cases}
\qquad\text{puis}\qquad
\begin{cases}
x - y = 4 \\
2x + 3y = 3 .
\end{cases}
$$

**Solution de Exercice 7.5.**

Premier système : substituer $y = 2x - 1$ dans $3x + y = 9$ : $3x + 2x - 1 = 9$, donc $5x = 10$, $x = 2$, puis $y = 3$. Solution : $(2, 3)$.

Second système : de $x - y = 4$, $x = y + 4$. Puis $2(y + 4) + 3y = 3$, donc $5y = -5$, $y = -1$, puis $x = 3$. Solution : $(3, -1)$.

**Exercice 7.6 ★.**

Résoudre par combinaison :

$$
\begin{cases}
x + y = 10 \\
x - y = 4
\end{cases}
\qquad\text{puis}\qquad
\begin{cases}
3x + 2y = 12 \\
2x + 5y = 8 .
\end{cases}
$$

**Solution de Exercice 7.6.**

Premier système : additionner les [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) élimine $y$ : $2x = 14$, $x = 7$ ; puis $7 + y = 10$ donne $y = 3$. Solution : $(7, 3)$.

Second système : multiplier la première [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) par $5$ et la seconde par $-2$ :

$$
\begin{cases}
15x + 10y = 60 \\
-4x - 10y = -16
\end{cases}
$$

Addition : $11x = 44$, donc $x = 4$ ; puis $3 \times 4 + 2y = 12$ donne $y = 0$. Solution : $(4, 0)$.

**Exercice 7.7 ★★.**

Déterminer, sans les résoudre, combien de solutions chaque système a :

$$
\begin{cases}
2x - y = 3 \\
-4x + 2y = -6
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
2x - y = 3 \\
-4x + 2y = 1
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
2x - y = 3 \\
x + y = 0 .
\end{cases}
$$

**Solution de Exercice 7.7.**

Calculer $ab' - a'b$ dans chaque cas.

Premier : $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$, et la seconde [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) est $-2$ fois la première : deux fois la même droite, une infinité de solutions.

Second : $ab' - a'b = 0$ encore, mais les seconds membres ne sont pas dans le rapport $-2$ ($1 \neq -6$) : deux droites parallèles distinctes, aucune solution.

Troisième : $2 \times 1 - 1 \times (-1) = 3 \neq 0$ : exactement une solution.

**Exercice 7.8 ★★.**

Deux cents billets ont été vendus pour une pièce de théâtre scolaire, certains à $5$ (enfants) et d’autres à $9$ (adultes), pour un total de $1352$. Combien de billets de chaque type ont été vendus ?

**Solution de Exercice 7.8.**

Soit $x$ le nombre de billets enfants et $y$ le nombre de billets adultes :

$$
\begin{cases}
x + y = 200 \\
5x + 9y = 1352 .
\end{cases}
$$

De la première [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $x = 200 - y$ ; en substituant, $5(200 - y) + 9y = 1352$, donc $1000 + 4y = 1352$, $y = 88$, puis $x = 112$. Donc $112$ billets enfants et $88$ billets adultes. Vérification : $5 \times 112 + 9 \times 88 = 560 + 792 = 1352$.

**Exercice 7.9 ★★.**

Soit $d$ la droite $y = 2x - 3$ et $A(1, 4)$.

1. Donner l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de la droite $d'$ parallèle à $d$ passant par $A$ .
2. Calculer le point d’ [intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) de $d'$ avec l’axe des $x$ .

**Solution de Exercice 7.9.**

*1.* Parallèle signifie même coefficient $2$ : $y = 2x + p$ avec $4 = 2 \times 1 + p$, donc $p = 2$ : $d'\colon y = 2x + 2$.

*2.* Sur l’axe des $x$, $y = 0$ : $2x + 2 = 0$ donne $x = -1$. Le point d’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) est $(-1, 0)$.

**Exercice 7.10 ★★★.**

Soient $A(0, 0)$, $B(6, 2)$ et $C(2, 4)$.

1. Trouver les [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) des médianes du triangle $ABC$ issues de $A$ et de $B$ (une médiane joint un sommet au [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) du côté opposé).
2. Calculer leur point d’ [intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) $G$ , et vérifier que $G$ est aussi sur la troisième médiane. (On doit trouver que les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de $G$ sont les moyennes de celles de $A$ , $B$ , $C$ .)

**Solution de Exercice 7.10.**

*1.* [Milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$ : $A' = \left(\frac{6+2}{2},
\frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$. La médiane issue de $A(0,0)$ a pour coefficient $\frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac34$ : [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $y = \frac34 x$.

[Milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AC]$ : $B' = (1, 2)$. La médiane issue de $B(6, 2)$ a pour coefficient $\frac{2 - 2}{1 - 6} = 0$ : c’est la droite horizontale $y = 2$.

*2.* [Intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) : $\frac34 x = 2$ donne $x = \frac83$, donc $G\left(\frac83, 2\right)$. La troisième médiane joint $C(2,4)$ au [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$, $C' = (3, 1)$ ; son coefficient est $\frac{1 - 4}{3 - 2} = -3$, [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $y = -3x + 10$. En $x = \frac83$ : $y = -8 + 10 = 2$ : $G$ est dessus. Et en effet $G = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 2 + 4}{3}\right)$ : le centre de gravité moyenne les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) des sommets.

## 7.4 Problème : une solution, aucune, ou une infinité

**Problème 7.1.**

Devoir du week-end — deux droites ont trois destins possibles, un déterminant tranche entre eux, et le plus vieux manuel du monde le savait déjà

Deux [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du premier degré, deux inconnues : le couple de droites qu’elles dessinent peut se croiser une fois, jamais, ou bien n’être qu’une seule et même droite — et *tout* [système linéaire](#def-g10-lines-system) hérite de l’un de ces trois destins. Ce problème les classe, rencontre le nombre qui décide (une vieille connaissance du chapitre sur les [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/6-vecteurs#def-g10-vectors-vector)), résout les faisans et les lapins, vieux de deux mille ans, des *Neuf Chapitres* chinois, et s’achève sur des sommets de régions — le premier pas de l’optimisation qu’utilisent aujourd’hui toutes les compagnies aériennes et toutes les usines.

**Partie I — La droite, couramment.**

1. Déterminer l’ [équation réduite](#thm-g10-lines-reduced) de la droite passant par $(1, 2)$ et $(3, 8)$ ( [Méthode 7.3](#met-g10-lines-through) ).
2. Parmi $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 4$ et $y = -x + 7$ : quelles deux droites sont parallèles ( [Proposition 7.5](#prop-g10-lines-parallel) ), et où les couples non parallèles se coupent-ils ? (Calculer une [intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) .)
3. La droite passant par $(2, 1)$ et $(2, 5)$ : pourquoi n’a-t-elle pas d’ [équation réduite](#thm-g10-lines-reduced) $y = mx + p$ , et quelle est son [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) ?
4. Le point $(4, 11)$ est-il sur la droite $y = 3x - 1$ ? Et $(-1, -5)$ ?
5. La droite passant par $(0, 3)$ et de [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $-2$ : donner son [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) , ses deux points d’ [intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) avec les axes, et l’aire du triangle qu’elle découpe dans le premier quadrant.

**Partie II — Trois destins.**

6. Résoudre par substitution ( [Méthode 7.8](#met-g10-lines-substitution) ) : $\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$
7. Résoudre par combinaison linéaire ( [Méthode 7.10](#met-g10-lines-elimination) ) : $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = -1 \end{cases}$
8. Classer — et interpréter à l’aide de droites — les deux systèmes $$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases}  \qquad\text{et}\qquad  \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 1 . \end{cases}$$ Énoncer la trichotomie complète : droites sécantes, parallèles, confondues — une solution, aucune, une infinité.
9. Pour le système général $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ , le nombre qui décide est $ad - bc$ — le déterminant même du test de colinéarité du [Problème 6.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/6-vecteurs#pb-g10-vectors-1) . Expliquer cette coïncidence (quels deux [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/6-vecteurs#def-g10-vectors-vector) sont [colinéaires](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/6-vecteurs#def-g10-vectors-collinear) exactement lorsque les droites sont parallèles ou confondues ?), et évaluer $ad - bc$ pour les trois systèmes des questions 7 et 8.
10. Pour quelle valeur de $m$ le système $\begin{cases} x + my = 3 \\ 2x + 6y = 7 \end{cases}$ n’a-t-il aucune solution ? Résoudre le système pour toutes les autres valeurs de $m$ … ou du moins expliquer comment on s’y prendrait.

**Partie III — Les Neuf Chapitres.**

11. D’après les *Neuf Chapitres sur l’art mathématique* (Chine, il y a environ deux mille ans) : une cage contient des faisans et des lapins — $35$ têtes et $94$ pattes en tout. Combien de chaque ?
12. Un stand de jus mélange un sirop à $60\,\%$ de fruit avec une boisson à $20\,\%$ de fruit pour obtenir $30$ L à $35\,\%$ de fruit. Combien de litres de chaque ?
13. Un nombre à deux chiffres a pour somme des chiffres $12$ ; échanger ses chiffres le diminue de $18$ . Le trouver, en utilisant l’algèbre des chiffres du devoir du week-end correspondant du volume précédent pour poser le système.
14. À la boulangerie, $3$ cafés et $2$ croissants coûtent $9.10$ euros ; $2$ cafés et $3$ croissants coûtent $8.90$ euros. Résoudre élégamment : que livrent directement l’ *addition* des deux [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) , puis leur *soustraction* ?
15. Un étal de marché affirme : $2$ pommes $+ 1$ poire pour $5$ euros, et $4$ pommes $+ 2$ poires pour $9$ euros. Résoudre — ou plutôt, expliquer ce que le destin du système révèle sur l’arithmétique du marchand.

**Partie IV — Les sommets font la loi.**

16. La droite $y = 3x - 1$ partage le plan en deux. De quel côté est l’origine ? Décrire l’ensemble $y > 3x - 1$ et la façon dont on teste un point.
17. Dessiner la région définie par les quatre contraintes $$x \geq 0, \qquad y \geq 0, \qquad x + y \leq 4,  \qquad y \leq 2x + 1,$$ et calculer ses quatre sommets.
18. Le bénéfice d’un atelier vaut $P = 3x + 2y$ sur la région de la question 17. Évaluer $P$ aux quatre sommets. En admettant que le [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) d’une telle quantité linéaire sur une telle région est toujours atteint en un sommet (se représenter les droites $3x + 2y =$ constante balayant la région), donner le plan de production optimal.
19. Les deux taxis du devoir du week-end sur les deux thermomètres, dans le volume précédent, sous forme de système : écrire et résoudre $\begin{cases} y = 1.5x + 3 \\ y = 2x \end{cases}$ puis interpréter la solution.
20. Pour finir, le dictionnaire : une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $\leftrightarrow$ une droite ; un système $\leftrightarrow$ deux droites aux trois destins, tranchés par $ad - bc$ ; plusieurs inéquations $\leftrightarrow$ une région dont les sommets portent l’optimum. L’énoncer en trois phrases — vous venez de visiter le hall d’entrée de l’ *algèbre linéaire* et de la *programmation linéaire* , toutes deux construites en entier dans les volumes universitaires.

**Solution de Problème 7.1.**

**1.** [Coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ ; par $(1, 2)$ : $y = 3x - 1$.

**2.** $y = 3x - 1$ et $y = 3x + 4$ : même [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine), droites parallèles (et distinctes). En coupant $y = 3x - 1$ et $y = -x + 7$ : $3x - 1 = -x + 7$ donne $x = 2$, $y = 5$ : point $(2, 5)$.

**3.** Les deux points ont la même [abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $x = 2$ : la droite est verticale, d’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $x = 2$. Une forme réduite $y = mx + p$ répond « un seul $y$ par $x$ », ce que refuse une droite verticale : son [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) serait infini.

**4.** $3 \times 4 - 1 = 11$ : oui, $(4, 11)$ est sur la droite. $3 \times (-1) - 1 = -4 \neq -5$ : non.

**5.** $y = -2x + 3$ ; la droite coupe les axes en $(0, 3)$ et $\left(\frac32, 0\right)$. Aire du triangle : $\frac12 \times \frac32 \times 3 = \frac94 = 2.25$.

**6.** Par substitution : $3x + 2x - 3 = 7$, donc $x = 2$ et $y = 1$ : solution $(2, 1)$.

**7.** En additionnant : $7x = 7$, $x = 1$ ; puis $3y = 6$, $y = 2$ : solution $(1, 2)$.

**8.** Premier système : la seconde [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) est le double de la première — une droite comptée deux fois, donc une infinité de solutions (tous les points de $2x - y = 3$). Second système : mêmes premiers membres proportionnels, mais pas les seconds ($2 \times 3 = 6 \neq 1$) : deux droites parallèles — aucune solution. Trichotomie : [coefficients directeurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) distincts $\to$ une [intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) ; coefficients égaux et [ordonnées à l’origine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) différentes $\to$ parallèles, aucune solution ; tout égal $\to$ même droite, une infinité.

**9.** Les [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/6-vecteurs#def-g10-vectors-vector) directeurs des droites sont $(-b, a)$ et $(-d, c)$ (ou : [coefficients directeurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $-\frac ab$ et $-\frac cd$), [colinéaires](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/6-vecteurs#def-g10-vectors-collinear) exactement lorsque $ad - bc = 0$ — le déterminant du [Problème 6.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/6-vecteurs#pb-g10-vectors-1) dans un nouvel emploi. Valeurs : question 7, $2 \times (-3) - 3 \times 5 = -21 \neq 0$ : solution unique. Question 8 : $2 \times (-2) - (-1) \times 4 = 0$ dans les deux cas : parallèles ou confondues, et ce sont les constantes qui séparent les deux cas.

**10.** $ad - bc = 6 - 2m$ : nul pour $m = 3$. Là, $x + 3y = 3$ face à $2x + 6y = 7$ : en doublant la première on obtient $2x + 6y = 6 \neq 7$, donc des droites parallèles et *aucune solution*. Pour $m \neq 3$, la combinaison linéaire donne l’unique solution $y = \frac{1}{6 - 2m}$, puis $x = 3 - \frac{m}{6 - 2m}$.

**11.** $p + r = 35$, $2p + 4r = 94$ : en divisant par $2$, $p + 2r = 47$, donc $r = 12$ et $p = 23$ : vingt-trois faisans et douze lapins — la réponse même des *Neuf Chapitres*.

**12.** $x + y = 30$ et $0.6x + 0.2y = 0.35 \times 30 = 10.5$ : en retranchant $0.2 \times$ la première, $0.4x = 4.5$, donc $x = 11.25$ L de sirop et $y = 18.75$ L de boisson.

**13.** Chiffres $a$ et $b$ : $a + b = 12$ et $(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) = 18$, donc $a - b = 2$ : $a = 7$, $b = 5$, et le nombre est $75$.

**14.** En additionnant : $5c + 5r = 18$, donc $c + r = 3.60$ — un café plus un croissant. En soustrayant : $c - r = 0.20$. D’où $c = 1.90$ et $r = 1.70$ euros : le raccourci symétrique a résolu le système sans la moindre substitution.

**15.** Doubler la première annonce donne $4$ pommes $+ 2$ poires $= 10$ euros, alors que l’étal en demande $9$ : le système est incompatible — droites parallèles, ensemble de solutions vide. Verdict : les deux annonces de prix ne peuvent pas être exactes toutes les deux ; ou bien une remise se cache quelque part, ou bien c’est l’arithmétique.

**16.** À l’origine : $0 > 3 \times 0 - 1 = -1$, ce qui est vrai ; donc $(0,0)$ appartient à la région $y > 3x - 1$ (au-dessus de la droite). On teste n’importe quel point en le remplaçant dans l’inéquation : au-dessus ou au-dessous selon qu’elle est vraie ou fausse.

**17.** Sommets : $(0, 0)$ ; $(4, 0)$ (axes et $x + y = 4$) ; $(0, 1)$ (axe et $y = 2x + 1$) ; et $x + y = 4$ avec $y = 2x + 1$ : $x = 1$, $y = 3$, soit $(1, 3)$.

**18.** $P(0,0) = 0$ ; $P(4, 0) = 12$ ; $P(0, 1) = 2$ ; $P(1, 3) = 9$. [Maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) au sommet $(4, 0)$ : le plan $x = 4$, $y = 0$ rapporte $12$ — les sommets font la loi, comme le rendent visible les droites parallèles $3x + 2y = c$ qui balaient la région.

**19.** $1.5x + 3 = 2x$ donne $x = 6$ et $y = 12$ : à six kilomètres les deux taxis facturent douze euros — le croisement du devoir du week-end sur les deux thermomètres, du volume précédent, devenu l’unique solution d’un système.

**20.** Les solutions d’une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du premier degré dessinent une droite ; un système superpose deux droites, et $ad - bc$ dit d’un coup d’œil si elles se coupent une fois (déterminant non nul) ou si l’on tombe dans les cas parallèles-ou-confondues (déterminant nul). Empilez plutôt des inéquations et les solutions forment une région polygonale dont les sommets portent tout optimum linéaire. L’algèbre linéaire généralise le déterminant à un nombre quelconque d’inconnues ; la programmation linéaire industrialise les sommets.