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title: "Statistique descriptive"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 8
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive
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# Chapitre 8 — Statistique descriptive

La statistique résume une grande collection de nombres — notes, salaires, températures — par quelques indicateurs bien choisis. Ce chapitre introduit les deux familles d’indicateurs : ceux qui localisent le *centre* des données ([moyenne](#def-g10-stats-mean), [médiane](#def-g10-stats-median)) et ceux qui mesurent leur *dispersion* ([étendue](#def-g10-stats-quartiles), [quartiles](#def-g10-stats-quartiles)). Un traitement plus approfondi, incluant l’écart type, vient dans le [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#ch-g11-stat).

## 8.1 Données et fréquences

**Définition 8.1 (Série statistique).**

Une *série statistique* est une liste de valeurs $x_1, x_2, \dots, x_N$ observées sur une population de taille $N$. Lorsqu’une valeur $x$ apparaît $n$ fois, $n$ est son *effectif* et le quotient

$$
f = \frac{n}{N}
$$

est sa *fréquence* (souvent exprimée en pourcentage). Les fréquences de toutes les valeurs s’additionnent à $1$.

**Exemple 8.2.**

Les notes de $20$ élèves à un quiz sur $5$ points :

| note $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| effectif $n$ | $1$ | $2$ | $4$ | $6$ | $5$ | $2$ |
| [fréquence](#def-g10-stats-series) $f$ | $0.05$ | $0.10$ | $0.20$ | $0.30$ | $0.25$ | $0.10$ |

Vérification : $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ et les [fréquences](#def-g10-stats-series) somment à $1$.

![Le diagramme en bâtons des notes du quiz : un bâton par valeur, de hauteur égale à l’effectif.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-stats/fig-159f194d4f70.svg)

*Le diagramme en bâtons des notes du quiz : un bâton par valeur, de hauteur égale à l’effectif.*

## 8.2 Indicateurs de position

**Définition 8.3 (Moyenne).**

La *moyenne* de la série est

$$
\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.
$$

Si les valeurs $v_1, \dots, v_k$ apparaissent avec les effectifs $n_1, \dots, n_k$, le même nombre se calcule comme la *moyenne pondérée*

$$
\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.
$$

**Exemple 8.4.**

Pour le quiz de l’[Exemple 8.2](#ex-g10-stats-frequencies) :

$$
\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3
+ 5 \times 4 + 2 \times 5}{20}
= \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20}
= \frac{58}{20} = 2.9 .
$$

**Définition 8.5 (Médiane).**

La *médiane* est une valeur qui partage la série *triée* en deux moitiés : au moins la moitié des valeurs sont $\leq$ la médiane, et au moins la moitié sont $\geq$ à elle. En pratique, trier les $N$ valeurs ;

- si $N$ est impair, la médiane est la valeur du [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) , en position $\frac{N+1}{2}$ ;
- si $N$ est pair, prendre le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) des deux valeurs centrales, en positions $\frac N2$ et $\frac N2 + 1$ .

**Exemple 8.6.**

Série triée de $7$ prix de maisons (en milliers) : $120$, $150$, $160$, $180$, $210$, $240$, $900$. La [médiane](#def-g10-stats-median) est la $4$-ième valeur, $180$. La [moyenne](#def-g10-stats-mean) est $\frac{1960}{7} = 280$ — plus grande que $6$ des $7$ prix ! Une valeur extrême ($900$) tire la [moyenne](#def-g10-stats-mean) bien plus que la [médiane](#def-g10-stats-median) : la [médiane](#def-g10-stats-median) est *robuste*, la [moyenne](#def-g10-stats-mean) ne l’est pas.

## 8.3 Indicateurs de dispersion

**Définition 8.7 (Étendue, quartiles).**

Pour une série triée :

- l’ *étendue* est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur ;
- le *premier quartile* $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu’au moins un quart ( $25\,\%$ ) des valeurs sont $\leq Q_1$ ; le *troisième quartile* $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu’au moins les trois quarts ( $75\,\%$ ) des valeurs sont $\leq Q_3$ ;
- l’ *écart interquartile* $Q_3 - Q_1$ mesure la dispersion de la moitié centrale des données.

**Méthode 8.8 (Trouver les quartiles).**

Pour une série de $N$ valeurs triées :

1. calculer $\frac N4$ ; s’il n’est pas entier, l’arrondir *au-dessus* à l’entier suivant ; $Q_1$ est la valeur en cette position ;
2. calculer $\frac{3N}{4}$ ; arrondir au-dessus si besoin ; $Q_3$ est la valeur en cette position.

**Exemple 8.9.**

Prendre les $11$ valeurs triées

$$
2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .
$$

[Médiane](#def-g10-stats-median) : position $\frac{11+1}{2} = 6$, donc la [médiane](#def-g10-stats-median) est $7$. $Q_1$ : $\frac{11}{4} = 2.75$, arrondir à $3$ ; la $3$-ième valeur est $5$. $Q_3$ : $\frac{33}{4} = 8.25$, arrondir à $9$ ; la $9$-ième valeur est $9$. [Étendue](#def-g10-stats-quartiles) : $12 - 2 = 10$ ; [écart interquartile](#def-g10-stats-quartiles) : $9 - 5 = 4$.

![Le diagramme en boîte de l’ : la boîte s’étend sur l’intervalle interquartile (Q_1, Q_3) et contient la moitié centrale des données ; les moustaches atteignent les valeurs extrêmes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-stats/fig-085e004fc724.svg)

*Le diagramme en boîte de l’[Exemple 8.9](#ex-g10-stats-quartiles) : la boîte s’étend sur l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) interquartile $\intcc{Q_1}{Q_3}$ et contient la moitié centrale des données ; les moustaches atteignent les valeurs extrêmes.*

**Exemple 8.10 (Comparer deux groupes).**

Deux classes passent le même test (notes sur $20$) :

|  | [médiane](#def-g10-stats-median) | $Q_1$ | $Q_3$ |
| --- | --- | --- | --- |
| classe A | $12$ | $10$ | $14$ |
| classe B | $12$ | $6$ | $17$ |

Même [médiane](#def-g10-stats-median), dispersions très différentes : la classe A est homogène (la moitié de ses notes dans $\intcc{10}{14}$), la classe B est hétérogène (sa moitié centrale s’étend sur $\intcc{6}{17}$). Les indicateurs de position seuls ne disent jamais toute l’histoire.

**Remarque 8.11.**

Ni la [moyenne](#def-g10-stats-mean) ni la [médiane](#def-g10-stats-median) n’est « meilleure » : la [moyenne](#def-g10-stats-mean) utilise chaque valeur (et est nécessaire pour calculer des totaux), la [médiane](#def-g10-stats-median) résiste aux valeurs extrêmes. Un résumé sérieux d’une série donne au moins un indicateur de position *et* un de dispersion.

## 8.4 Exercices

**Exercice 8.1 ★.**

Voici le nombre de livres lus en un an par $15$ élèves :

$$
0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .
$$

Calculer la [moyenne](#def-g10-stats-mean), la [médiane](#def-g10-stats-median) et l’[étendue](#def-g10-stats-quartiles) de cette série.

**Solution de Exercice 8.1.**

Somme : $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$, donc la [moyenne](#def-g10-stats-mean) est $\frac{60}{15} = 4$. La série est déjà triée et $N = 15$ est impair : la [médiane](#def-g10-stats-median) est la $8$-ième valeur, $3$. [Étendue](#def-g10-stats-quartiles) : $12 - 0 = 12$.

**Exercice 8.2 ★.**

Un dé a été lancé $50$ fois :

| issue | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| effectif | $7$ | $9$ | $8$ | $10$ | $6$ | $10$ |

Calculer la [fréquence](#def-g10-stats-series) de chaque issue et la [moyenne](#def-g10-stats-mean) des issues.

**Solution de Exercice 8.2.**

[Fréquences](#def-g10-stats-series) : $\frac{7}{50} = 0.14$, $\frac{9}{50} = 0.18$, $\frac{8}{50} = 0.16$, $\frac{10}{50} = 0.20$, $\frac{6}{50} = 0.12$, $\frac{10}{50} = 0.20$ (somme $1$). Issue [moyenne](#def-g10-stats-mean) :

$$
\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4
+ 6 \times 5 + 10 \times 6}{50}
= \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50}
= \frac{179}{50} = 3.58 .
$$

**Exercice 8.3 ★.**

Trouver la [médiane](#def-g10-stats-median), $Q_1$ et $Q_3$ de la série triée

$$
1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),
$$

et dessiner le diagramme en boîte correspondant.

**Solution de Exercice 8.3.**

$N = 12$ (pair) : la [médiane](#def-g10-stats-median) est le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) des $6$-ième et $7$-ième valeurs, toutes deux égales à $6$ : [médiane](#def-g10-stats-median) $6$.

$Q_1$ : $\frac{12}{4} = 3$, donc $Q_1$ est la $3$-ième valeur : $4$.

$Q_3$ : $\frac{3 \times 12}{4} = 9$, donc $Q_3$ est la $9$-ième valeur : $8$.

Diagramme en boîte : boîte de $4$ à $8$ avec la barre de [médiane](#def-g10-stats-median) en $6$, moustaches de $1$ à $11$.

**Exercice 8.4 ★.**

La [moyenne](#def-g10-stats-mean) de $24$ notes de test est $11.5$. Un $25$-ième élève passe le test et obtient $19$. Quelle est la nouvelle [moyenne](#def-g10-stats-mean) de la classe ?

**Solution de Exercice 8.4.**

Les $24$ notes totalisent $24 \times 11.5 = 276$. Avec la nouvelle note le total est $276 + 19 = 295$ pour $25$ élèves : nouvelle [moyenne](#def-g10-stats-mean) $\frac{295}{25} = 11.8$.

**Exercice 8.5 ★★.**

Un élève a une [moyenne](#def-g10-stats-mean) de $12$ après $5$ tests, tous de même poids. Quelle note au $6$-ième test porterait la [moyenne](#def-g10-stats-mean) à $13$ ? Une [moyenne](#def-g10-stats-mean) de $14$ est-elle atteignable (notes sur $20$) ?

**Solution de Exercice 8.5.**

Total actuel : $5 \times 12 = 60$. Une [moyenne](#def-g10-stats-mean) de $13$ sur $6$ tests exige un total de $78$, donc la $6$-ième note doit être $78 - 60 = 18$. Une [moyenne](#def-g10-stats-mean) de $14$ exigerait $84 - 60 = 24 > 20$ : non atteignable.

**Exercice 8.6 ★★.**

Inventer une série de $7$ valeurs positives ou nulles dont la [médiane](#def-g10-stats-median) est $10$ et dont la [moyenne](#def-g10-stats-mean) est plus grande que $20$ ; puis une dont la [médiane](#def-g10-stats-median) est $10$ et dont la [moyenne](#def-g10-stats-mean) est plus petite que $6$. Pourquoi la [moyenne](#def-g10-stats-mean) d’une telle série ne peut-elle jamais être plus petite que $\frac{40}{7}$ ? Que montrent ces exemples ?

**Solution de Exercice 8.6.**

[Moyenne](#def-g10-stats-mean) plus grande que $20$ : par exemple $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ — [médiane](#def-g10-stats-median) $10$ (la $4$-ième valeur triée), [moyenne](#def-g10-stats-mean) $\frac{166}{7} \approx 23.7$.

[Moyenne](#def-g10-stats-mean) plus petite que $6$ : par exemple $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ — [médiane](#def-g10-stats-median) $10$, [moyenne](#def-g10-stats-mean) $\frac{40}{7} \approx 5.7$.

La [moyenne](#def-g10-stats-mean) ne peut pas descendre sous $\frac{40}{7}$ : pour que la [médiane](#def-g10-stats-median) (la $4$-ième valeur triée) soit $10$, les valeurs en positions $4$ à $7$ doivent toutes être $\geq 10$, donc le total est au moins $40$ et la [moyenne](#def-g10-stats-mean) au moins $\frac{40}{7}$ — le second exemple est extrémal.

Ces exemples montrent que la [moyenne](#def-g10-stats-mean) et la [médiane](#def-g10-stats-median) sont largement indépendantes : connaître l’une dit peu sur l’autre, d’où l’intérêt d’un bon résumé qui rapporte les deux.

**Exercice 8.7 ★★.**

Dans une entreprise, les $9$ employés gagnent $1800$ chacun par mois et le directeur gagne $12000$.

1. Calculer le salaire moyen et le salaire médian.
2. Quel indicateur décrit le mieux un salaire « typique » ici ? Pourquoi ?

**Solution de Exercice 8.7.**

*1.* [Moyenne](#def-g10-stats-mean) : $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$. [Médiane](#def-g10-stats-median) : triés, les $10$ salaires sont neuf valeurs $1800$ puis $12000$ ; la [médiane](#def-g10-stats-median) est le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) des $5$-ième et $6$-ième valeurs, toutes deux $1800$ : [médiane](#def-g10-stats-median) $1800$.

*2.* La [médiane](#def-g10-stats-median) ($1800$) décrit le salaire typique : c’est ce que gagnent réellement $9$ employés sur $10$. La [moyenne](#def-g10-stats-mean) ($2820$) est tirée vers le haut par l’unique haut salaire et ne correspond à la fiche de paie de personne.

**Exercice 8.8 ★★.**

Une classe de $12$ garçons a une taille [moyenne](#def-g10-stats-mean) de $168$ cm ; les $18$ filles de la même classe ont une taille [moyenne](#def-g10-stats-mean) de $163$ cm. Calculer la taille [moyenne](#def-g10-stats-mean) de toute la classe. (Attention : ce n’est *pas* le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $168$ et $163$ — pondérer les [moyennes](#def-g10-stats-mean) par les tailles des groupes.)

**Solution de Exercice 8.8.**

Taille totale : $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm pour $30$ élèves, donc la [moyenne](#def-g10-stats-mean) est $\frac{4950}{30} = 165$ cm. Elle est plus proche de la [moyenne](#def-g10-stats-mean) des filles car elles sont plus nombreuses ([moyenne](#def-g10-stats-mean) pondérée, poids $12$ et $18$).

**Exercice 8.9 ★★★.**

Une série de $N$ valeurs $x_1, \dots, x_N$ a pour [moyenne](#def-g10-stats-mean) $\bar x$. Chaque valeur est transformée en $y_i = a x_i + b$ pour des nombres fixes $a$ et $b$.

1. Montrer que la [moyenne](#def-g10-stats-mean) de la nouvelle série est $a \bar x + b$ .
2. Les températures d’une semaine, en degrés Celsius, ont pour [moyenne](#def-g10-stats-mean) $20$ . Quelle est leur [moyenne](#def-g10-stats-mean) en degrés Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ ) ?

**Solution de Exercice 8.9.**

*1.* La nouvelle [moyenne](#def-g10-stats-mean) est

$$
\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N}
= \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N}
= \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N}
= a \bar x + b .
$$

*2.* Avec $a = 1.8$ et $b = 32$ : [moyenne](#def-g10-stats-mean) $1.8 \times 20 + 32 = 68$ degrés Fahrenheit.

## 8.5 Problème : l’individu moyen n’existe pas

**Problème 8.1.**

Devoir du week-end — moyenne contre médiane : valeurs aberrantes, barèmes rehaussés, l’entrepôt sur la route, et le cockpit conçu pour personne

En 1950, l’armée de l’air américaine mesura $4\,000$ pilotes sur dix dimensions corporelles et construisit le cockpit de l’*homme moyen*. Il allait — comme un lieutenant s’en aperçut en comptant — à peu près à personne. La statistique résume des foules par des nombres uniques, et chaque résumé dit la vérité sur quelque chose et ment sur autre chose. Ce problème traduit la [moyenne](#def-g10-stats-mean) et la [médiane](#def-g10-stats-median) ([Définition 8.3](#def-g10-stats-mean), [Définition 8.5](#def-g10-stats-median)) devant le tribunal, laisse chacune montrer ce qu’elle sait faire de mieux, et referme le dossier du cockpit.

**Partie I — Deux résumés à la barre.**

1. Une rue vend sept maisons, en milliers d’euros : $200$ , $210$ , $220$ , $230$ , $240$ , $250$ — et un manoir à $1\,200$ . Calculer le prix moyen et le prix médian. Lequel des deux nombres décrit « une maison de cette rue » ?
2. Retirer le manoir et recalculer les deux. De combien chaque résumé s’est-il déplacé ? Énoncer la morale sur les valeurs aberrantes.
3. Un tableau de recensement : sur $100$ familles, $20$ n’ont pas d’enfant, $25$ en ont un, $30$ en ont deux, $15$ en ont trois, $10$ en ont quatre. Calculer le nombre moyen d’enfants. Aucune famille « n’a $1.7$ enfant » — quelle quantité réelle la [moyenne](#def-g10-stats-mean) code-t-elle donc ? (La multiplier par $100$ .)
4. Pour les quinze notes $4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 19$ : déterminer la [médiane](#def-g10-stats-median) et les [quartiles](#def-g10-stats-quartiles) $Q_1$ , $Q_3$ ( [Méthode 8.8](#met-g10-stats-quartiles) ).
5. Pour la même série, donner l’ [étendue](#def-g10-stats-quartiles) et l’ [écart interquartile](#def-g10-stats-quartiles) . Que mesure chacun ?

**Partie II — Barèmes rehaussés et classes regroupées.**

6. D’après l’ [Exercice 8.9](#exo-g10-stats-9) : translater toutes les valeurs de $+b$ translate [moyenne](#def-g10-stats-mean) , [médiane](#def-g10-stats-median) et [quartiles](#def-g10-stats-quartiles) de $+b$ ; les multiplier par $a$ les multiplie par $a$ . Qu’advient-il de l’ [étendue](#def-g10-stats-quartiles) et de l’ [écart interquartile](#def-g10-stats-quartiles) lors d’une translation ? Lors d’une multiplication ? Justifier.
7. Un contrôle a pour [moyenne](#def-g10-stats-mean) $9$ (sur $20$ ) et l’enseignant veut une [moyenne](#def-g10-stats-mean) de $12$ . Deux barèmes sont proposés : ajouter $3$ points à tout le monde, ou multiplier chaque note par $\frac43$ . Calculer le sort d’un élève à $6$ et d’un élève à $18$ sous chaque barème. Lequel favorise qui — et lequel se heurte à un problème de plafond ?
8. La classe A ( $20$ élèves) a pour [moyenne](#def-g10-stats-mean) $12$ ; la classe B ( $30$ élèves) a pour [moyenne](#def-g10-stats-mean) $10$ . Calculer la [moyenne](#def-g10-stats-mean) des $50$ élèves réunis, et expliquer pourquoi elle ne vaut pas $11$ (la leçon des [moyennes](#def-g10-stats-mean) pondérées du devoir du week-end sur la [moyenne](#def-g10-stats-mean) harmonique, du volume précédent, transposée en salle de classe).
9. Montrer que les [médianes](#def-g10-stats-median) refusent ce jeu : calculer les [médianes](#def-g10-stats-median) de $A = \{1, 2, 3\}$ et $B = \{0, 10\}$ , puis la [médiane](#def-g10-stats-median) de la liste réunie, et comparer avec la [moyenne](#def-g10-stats-mean) des deux [médianes](#def-g10-stats-median) pondérée par les effectifs.
10. Patinage artistique : cinq juges notent $5.2$ , $5.3$ , $5.4$ , $5.5$ , $9.9$ . Calculer la [moyenne](#def-g10-stats-mean) , la [médiane](#def-g10-stats-median) et la *[moyenne](#def-g10-stats-mean) élaguée* (retirer la note la plus basse et la plus haute, faire la [moyenne](#def-g10-stats-mean) du reste). Pourquoi la plupart des sports jugés élaguent-ils ?

**Partie III — Lire une distribution.**

11. Deux usines produisent des boulons de longueur [moyenne](#def-g10-stats-mean) $50$ mm. Usine A : $Q_1 = 49.9$ , $Q_3 = 50.1$ ; usine B : $Q_1 = 48$ , $Q_3 = 52$ . Il vous faut des boulons interchangeables : quelle usine, et quel indicateur a tranché ?
12. Dans un cabinet médical, l’attente [médiane](#def-g10-stats-median) est de $10$ minutes mais l’attente [moyenne](#def-g10-stats-mean) est de $25$ . Quelle forme de distribution ce couple trahit-il ? Construire une série de cinq valeurs ayant exactement cette [médiane](#def-g10-stats-median) et cette [moyenne](#def-g10-stats-mean) .
13. « Votre bébé est au 75 e centile pour la taille » — que signifie cette phrase ? Et tous les enfants d’une ville peuvent-ils être « au-dessus de la [moyenne](#def-g10-stats-mean) » ? Au-dessus de la [médiane](#def-g10-stats-median) ? Expliquer la différence.
14. Classe A : [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $4$ , $Q_1\,8$ , [médiane](#def-g10-stats-median) $11$ , $Q_3\,13$ , [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $17$ . Classe B : [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $2$ , $Q_1\,9$ , [médiane](#def-g10-stats-median) $11$ , $Q_3\,12$ , [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $19$ . Comparer : note typique, homogénéité de la moitié centrale, turbulence des extrêmes.
15. La liste de contrôle du journaliste : un titre annonce « salaire moyen chez TechCorp : $5\,000$ euros ». Énumérer les trois questions que ce problème vous a appris à poser avant de croire que ce titre dit quoi que ce soit d’un employé typique.

**Partie IV — Le dossier du cockpit.**

16. Fabriquer sa propre pièce à conviction : construire cinq prix de maisons de [moyenne](#def-g10-stats-mean) $300$ et de [médiane](#def-g10-stats-median) $200$ (en milliers d’euros).
17. La [moyenne](#def-g10-stats-mean) est le point d’équilibre : démontrer à partir de la définition que les écarts à la [moyenne](#def-g10-stats-mean) se compensent toujours, $\sum (x_i - \bar x) = 0$ , et le vérifier sur la série de la question 16.
18. La [médiane](#def-g10-stats-median) minimise les tournées : des boutiques se trouvent aux kilomètres $1$ , $3$ , $4$ , $9$ , $13$ d’une route, et un entrepôt doit minimiser la *distance totale* aux cinq boutiques. Calculer ce total pour un entrepôt placé à la [médiane](#def-g10-stats-median) ( $4$ ), à la [moyenne](#def-g10-stats-mean) ( $6$ ), puis en $5$ . Qui gagne ? (Le fait est général : la [médiane](#def-g10-stats-median) minimise la distance totale en [valeur absolue](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-abs) — essayer n’importe quel autre emplacement.)
19. Le cockpit, résolu : supposons qu’un pilote ait $30\,\%$ de chances d’être « proche de la [moyenne](#def-g10-stats-mean) » sur une dimension corporelle, indépendamment d’une dimension à l’autre sur les $10$ . Estimer la probabilité d’être proche de la [moyenne](#def-g10-stats-mean) sur *les dix à la fois* — et rapprocher le résultat de ce que le lieutenant a trouvé sur $4\,000$ pilotes. Qu’a construit l’armée de l’air à la place du cockpit moyen ?
20. Pour finir — le mode d’emploi, une ligne chacun : quand ce sont les totaux qui comptent (un budget, une récolte), employer la … ; quand c’est l’individu typique qui compte (salaires, temps d’attente), employer la … ; quand c’est l’équité de la dispersion qui compte, publier les … ; quand la contamination menace, employer la …. Refermer le dossier par le titre du problème.

**Solution de Problème 8.1.**

**1.** [Moyenne](#def-g10-stats-mean) : $\frac{2\,550}{7} \approx 364$ milliers d’euros ; [médiane](#def-g10-stats-median) : la quatrième des sept valeurs ordonnées, soit $230$. C’est la [médiane](#def-g10-stats-median) qui décrit la rue — six des sept maisons sont très loin de $364$.

**2.** Sans le manoir : [moyenne](#def-g10-stats-mean) $\frac{1\,350}{6} = 225$, [médiane](#def-g10-stats-median) $\frac{220 + 230}{2} = 225$. La [moyenne](#def-g10-stats-mean) a chuté d’environ $139$ ; la [médiane](#def-g10-stats-median) de $5$. Une seule valeur extrême peut emmener la [moyenne](#def-g10-stats-mean) n’importe où ; la [médiane](#def-g10-stats-median) s’en aperçoit à peine — elle est *robuste*.

**3.** [Moyenne](#def-g10-stats-mean) $= \frac{0 \times 20 + 1 \times 25 + 2 \times
30 + 3 \times 15 + 4 \times 10}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$. Aucune famille n’a $1.7$ enfant, mais $1.7 \times 100 = 170$ *est* le nombre total exact d’enfants : la [moyenne](#def-g10-stats-mean) code le total, redistribué également — c’est là son vrai talent.

**4.** $N = 15$ : [médiane](#def-g10-stats-median) $=$ 8e valeur $= 11$ ; $Q_1 =$ 4e valeur $= 8$ ; $Q_3 =$ 12e valeur $= 14$.

**5.** [Étendue](#def-g10-stats-quartiles) $19 - 4 = 15$ : la dispersion totale, extrêmes compris. [Écart interquartile](#def-g10-stats-quartiles) $14 - 8 = 6$ : la largeur de la moitié centrale — la dispersion débarrassée du bruit des extrêmes.

**6.** Une translation de $+b$ déplace *toutes* les valeurs ; les différences de valeurs — [étendue](#def-g10-stats-quartiles), [écart interquartile](#def-g10-stats-quartiles) — sont donc inchangées : $(x_i + b) - (x_j + b) = x_i - x_j$. Une multiplication par $a$ multiplie toutes les différences par $a$ : [étendue](#def-g10-stats-quartiles) et [écart interquartile](#def-g10-stats-quartiles) sont multipliés par $\abs a$.

**7.** Barème additif : $6 \to 9$ et $18 \to 21$ — l’élève faible gagne $50\,\%$, le fort $17\,\%$, et $21$ ne crève que très légèrement l’échelle sur $20$. Barème multiplicatif : $6 \to 8$ et $18 \to 24$ — les rapports sont préservés, mais $24$ est impossible sur une échelle de $20$ : c’est le problème du plafond. Les barèmes additifs flattent le bas ; les multiplicatifs font exploser le haut.

**8.** Total des notes : $20 \times 12 + 30 \times 10 = 540$, donc la [moyenne](#def-g10-stats-mean) globale vaut $\frac{540}{50} = 10.8$ : les trente élèves de la classe B pèsent plus que les vingt de la classe A — les [moyennes](#def-g10-stats-mean) se regroupent par [moyenne](#def-g10-stats-mean) *pondérée*, jamais par [moyenne](#def-g10-stats-mean) simple.

**9.** [Médiane](#def-g10-stats-median) de $A$ : $2$ ; de $B$ : $5$. Liste réunie $\{0, 1, 2, 3, 10\}$ : [médiane](#def-g10-stats-median) $2$. La [moyenne](#def-g10-stats-mean) des [médianes](#def-g10-stats-median) pondérée par les effectifs vaudrait $\frac{3 \times 2 + 2 \times 5}{5} = 3.2 \neq 2$ : les [médianes](#def-g10-stats-median) ne portent aucun total, aucune formule de regroupement n’existe donc — il faut retrier toute la liste.

**10.** [Moyenne](#def-g10-stats-mean) : $\frac{31.3}{5} = 6.26$. [Médiane](#def-g10-stats-median) : $5.4$. [Moyenne](#def-g10-stats-mean) élaguée : $\frac{5.3 + 5.4 + 5.5}{3} = 5.4$. Un juge enthousiaste (ou corrompu) a déplacé la [moyenne](#def-g10-stats-mean) de près d’un point ; la [médiane](#def-g10-stats-median) et la [moyenne](#def-g10-stats-mean) élaguée n’ont pas bronché — d’où les règles d’élagage des sports jugés.

**11.** Usine A : moitié centrale à $0.2$ mm près ; usine B : à $4$ mm près. Même [moyenne](#def-g10-stats-mean), fiabilité opposée : acheter chez A. C’est l’[écart interquartile](#def-g10-stats-quartiles) qui a tranché — les [moyennes](#def-g10-stats-mean) seules comparent des centres, jamais des régularités.

**12.** Une [médiane](#def-g10-stats-median) très inférieure à la [moyenne](#def-g10-stats-mean) trahit une *longue traîne à droite* : la plupart des attentes sont courtes, quelques-unes catastrophiques. Exemple : $\{5, 5, 10, 10, 95\}$ — [médiane](#def-g10-stats-median) $10$, [moyenne](#def-g10-stats-mean) $\frac{125}{5} = 25$.

**13.** Cela signifie que $75\,\%$ des bébés du même âge sont plus petits (et $25\,\%$ plus grands) : c’est un rang, pas une taille. « Tous les enfants au-dessus de la [moyenne](#def-g10-stats-mean) » est impossible : si toutes les valeurs dépassaient la [moyenne](#def-g10-stats-mean), leur [moyenne](#def-g10-stats-mean) dépasserait la [moyenne](#def-g10-stats-mean), c’est-à-dire elle-même : contradiction. Mais *presque* tous le peuvent : un seul enfant très petit suffit à maintenir la [moyenne](#def-g10-stats-mean) au-dessous de tous les autres. Au-dessus de la *[médiane](#def-g10-stats-median)* : jamais plus de la moitié, par définition. On ne flatte pas un rang ; on flatte une [moyenne](#def-g10-stats-mean).

**14.** Note typique : la même, [médiane](#def-g10-stats-median) $11$ pour les deux. Homogénéité du centre : B est plus resserrée ([écart interquartile](#def-g10-stats-quartiles) $3$ contre $5$). Extrêmes : B est plus turbulente ([étendue](#def-g10-stats-quartiles) $17$ contre $13$). B est une classe d’élèves semblables plus quelques valeurs aberrantes ; A est régulièrement étalée.

**15.** (1) $5\,000$ est-il la [moyenne](#def-g10-stats-mean) ou la [médiane](#def-g10-stats-median) — et puis-je avoir la [médiane](#def-g10-stats-median) ? (2) Quelle est la dispersion (les [quartiles](#def-g10-stats-quartiles)), pour savoir à quel point « typique » est typique ? (3) Qui a été compté — taille et sélection de l’échantillon (la leçon sur les sondages du devoir du week-end sur les mensonges des données, dans le volume précédent) ?

**16.** Par exemple $100, 150, 200, 250, 800$ : [médiane](#def-g10-stats-median) $200$, [moyenne](#def-g10-stats-mean) $\frac{1\,500}{5} = 300$.

**17.** $\sum (x_i - \bar x) = \sum x_i - N \bar x =
N\bar x - N\bar x = 0$. Vérification : $-200 - 150 - 100 - 50 + 500 = 0$. La [moyenne](#def-g10-stats-mean) est le point où les écarts s’équilibrent — le centre de gravité des données (le $G$ du devoir du week-end correspondant du volume précédent, à une dimension).

**18.** À la [médiane](#def-g10-stats-median) $4$ : $3 + 1 + 0 + 5 + 9 = 18$ km. À la [moyenne](#def-g10-stats-mean) $6$ : $5 + 3 + 2 + 3 + 7 = 20$ km. En $5$ : $4 + 2 + 1 + 4 + 8 = 19$ km. La [médiane](#def-g10-stats-median) gagne — s’en éloigner revient toujours à s’écarter de plus de boutiques qu’on ne s’en rapproche, si bien que le total ne peut que croître.

**19.** $0.3^{10} \approx 6 \times 10^{-6}$ : environ six pilotes *par million*. Sur $4\,000$ pilotes, l’effectif attendu est $0.02$ — c’est-à-dire zéro, comme l’a constaté le lieutenant Daniels. L’armée de l’air a cessé de concevoir pour l’homme moyen et a tout rendu réglable : sièges, pédales, sangles — concevoir pour la *dispersion*, non pour le centre.

**20.** Totaux : la *[moyenne](#def-g10-stats-mean)*. Individu typique : la *[médiane](#def-g10-stats-median)*. Équité de la dispersion : les *[quartiles](#def-g10-stats-quartiles)* (et l’[écart interquartile](#def-g10-stats-quartiles)). Contamination : la *[moyenne](#def-g10-stats-mean) élaguée*. Et le mot de la fin : l’individu moyen n’existe pas — mais l’individu médian, presque.