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title: "Probabilités et échantillonnage"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 9
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage
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# Chapitre 9 — Probabilités et échantillonnage

La [probabilité](#def-g10-proba-distribution) attribue des nombres au hasard. En partant d’expériences à issues équiprobables — dés, pièces, cartes — ce chapitre construit les règles de base pour calculer des [probabilités](#def-g10-proba-distribution) d’[événements](#def-g10-proba-events), introduit les [arbres](#met-g10-proba-tree) pour les expériences à deux étapes, et se termine par le lien entre [probabilités](#def-g10-proba-distribution) et [fréquences](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observées. La théorie se poursuit dans le [Chapitre 18](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#ch-g11-prob).

## 9.1 Expériences aléatoires et événements

**Définition 9.1 (Issues et événements).**

Une *expérience aléatoire* est une expérience dont le résultat ne peut être prédit (lancer un dé). L’ensemble de tous les résultats possibles est l’*univers* $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ ; ses éléments sont les *issues*. Un *événement* est un ensemble d’issues ; un événement *se réalise* lorsque le résultat de l’expérience lui appartient.

**Définition 9.2 (Loi de probabilité).**

Attribuer à chaque issue $\omega_i$ un nombre $p_i \geq 0$, avec $p_1 + \dots + p_n = 1$, définit une *probabilité* : la probabilité $\P(A)$ d’un [événement](#def-g10-proba-events) $A$ est la somme des $p_i$ des issues dans $A$. En particulier $\P(\Omega) = 1$ et l’[événement](#def-g10-proba-events) impossible $\varnothing$ a pour probabilité $0$.

**Proposition 9.3 (Issues équiprobables).**

Si les $n$ issues sont équiprobables (chaque $p_i = \frac1n$), alors pour tout [événement](#def-g10-proba-events) $A$ :

$$
\P(A) = \frac{\text{nombre d'issues dans } A}{n}
= \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}} .
$$

**Démonstration.** $A$ contient un certain nombre $k$ d’issues, chacune de [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $\frac1n$, donc $\P(A) = \frac kn$. ∎

**Exemple 9.4.**

Lancer un dé équilibré : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, chaque issue ayant la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $\frac16$. L’[événement](#def-g10-proba-events) $A$ : « le résultat est pair » est $A = \{2, 4, 6\}$, donc $\P(A) = \frac36 = \frac12$. L’[événement](#def-g10-proba-events) $B$ : « le résultat est au moins $5$ » est $B = \{5, 6\}$, donc $\P(B) = \frac26 = \frac13$.

## 9.2 Combiner des événements

**Définition 9.5 (Intersection, réunion, complémentaire).**

Soient $A$ et $B$ des [événements](#def-g10-proba-events).

- $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») se réalise lorsque les deux se réalisent ;
- $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») se réalise lorsque l’un au moins se réalise ;
- le *complémentaire* $\bar A$ (« non $A$ ») se réalise exactement lorsque $A$ ne se réalise pas ;
- $A$ et $B$ sont *incompatibles* lorsqu’ils ne peuvent se réaliser ensemble : $A \cap B = \varnothing$ .

**Théorème 9.6 (Règles d’addition).**

Pour tous [événements](#def-g10-proba-events) $A$ et $B$ :

$$
\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),
\qquad
\P(\bar A) = 1 - \P(A) .
$$

Pour des [événements](#def-g10-proba-events) [incompatibles](#def-g10-proba-operations), la première règle se simplifie en $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$.

**Démonstration.** Sommer $\P(A) + \P(B)$ ajoute la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) de chaque issue de $A \cup B$ une fois, *sauf* celles de $A \cap B$, qui sont comptées deux fois — une fois dans $A$ et une fois dans $B$. Soustraire $\P(A \cap B)$ répare le double comptage. Pour le [complémentaire](#def-g10-proba-operations) : $A$ et $\bar A$ sont [incompatibles](#def-g10-proba-operations) et $A \cup \bar A = \Omega$, donc $\P(A) + \P(\bar A) = \P(\Omega) = 1$. ∎

![Deux événements qui se chevauchent : dans (A) + (B), l’intersection hachurée A ∩ B est comptée deux fois, ce qui explique la soustraction dans la règle d’addition.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-proba/fig-25bc6ba9d1f1.svg)

*Deux [événements](#def-g10-proba-events) qui se chevauchent : dans $\P(A) + \P(B)$, l’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) hachurée $A \cap B$ est comptée deux fois, ce qui explique la soustraction dans la règle d’addition.*

**Exemple 9.7.**

Tirer une carte d’un jeu standard de $52$ cartes. Soit $A$ : « la carte est un cœur » ($13$ cartes) et $B$ : « la carte est un roi » ($4$ cartes). Alors $A \cap B$ est « le roi de cœur » ($1$ carte), et

$$
\P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}
= \frac{4}{13}.
$$

La règle du [complémentaire](#def-g10-proba-operations) est souvent la voie la plus rapide : la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) que la carte ne soit *pas* un cœur est $1 - \frac{13}{52} = \frac34$.

## 9.3 Arbres de probabilités

**Méthode 9.8 (Expériences à deux étapes).**

Pour une expérience réalisée en deux étapes :

1. dessiner un *arbre* : une branche par résultat possible de la première étape, puis depuis chacune, une branche par résultat de la seconde étape, en inscrivant la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) sur chaque branche (les branches sortant d’un nœud doivent sommer à $1$ ) ;
2. la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) d’un *chemin* (une feuille de l’ [arbre](#met-g10-proba-tree) ) est le produit des [probabilités](#def-g10-proba-distribution) le long de ses branches ;
3. la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) d’un [événement](#def-g10-proba-events) est la somme des [probabilités](#def-g10-proba-distribution) des chemins qui le réalisent.

**Exemple 9.9.**

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. Tirer une boule, la remettre, tirer à nouveau. Chaque tirage donne rouge (R) avec [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $\frac35$ et bleu (B) avec [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $\frac25$.

![L’arbre de deux tirages avec remise. Les quatre probabilités de chemin somment à 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-proba/fig-7a3dd3ce478e.svg)

*L’[arbre](#met-g10-proba-tree) de deux tirages avec remise. Les quatre [probabilités](#def-g10-proba-distribution) de chemin somment à $1$.*

La [probabilité](#def-g10-proba-distribution) d’obtenir deux boules de la même couleur est $\P(\text{RR}) + \P(\text{BB}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} =
\frac{13}{25}$ ; la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) d’au moins une bleue est $1 - \P(\text{RR}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ (règle du [complémentaire](#def-g10-proba-operations)).

**Remarque 9.10.**

Sans remise, les [probabilités](#def-g10-proba-distribution) du second tirage dépendent du premier : avec l’urne ci-dessus, après avoir tiré une boule rouge, il reste $2$ rouges et $2$ bleues, donc la seconde branche porte $\frac24$ et $\frac24$. La méthode de l’[arbre](#met-g10-proba-tree) fonctionne sans changement ; seuls les nombres sur les branches du second niveau changent.

## 9.4 Fréquences et échantillonnage

Lorsqu’une [expérience aléatoire](#def-g10-proba-events) est répétée de nombreuses fois, la [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée d’un [événement](#def-g10-proba-events) se rapproche de sa [probabilité](#def-g10-proba-distribution) — c’est pourquoi la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) est utile pour décrire le monde réel.

**Définition 9.11 (Échantillon).**

Un *échantillon* de taille $n$ est le résultat de la répétition de la même expérience $n$ fois indépendamment. La *[fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée* d’un [événement](#def-g10-proba-events) dans l’échantillon est le nombre d’occurrences divisé par $n$.

**Exemple 9.12.**

Une pièce équilibrée donne pile avec [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $0.5$. La lancer $100$ fois donne rarement exactement $50$ piles : les [échantillons](#def-g10-proba-sample) *fluctuent*. Des séries typiques de $100$ lancers donnent des [fréquences](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) comme $0.46$, $0.53$, $0.49$ — proches de $0.5$, mais non égales. Les grands [échantillons](#def-g10-proba-sample) fluctuent moins : avec $10\,000$ lancers, les [fréquences](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observées sont habituellement à moins de $0.01$ de $0.5$.

**Remarque 9.13 (Intervalle de fluctuation).**

Une règle pratique utile, justifiée dans le [Chapitre 19](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/19-la-loi-binomiale#ch-g11-binom) : pour un [échantillon](#def-g10-proba-sample) de taille $n$ d’un [événement](#def-g10-proba-events) de [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $p$ (avec $n$ raisonnablement grand), la [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée se trouve dans l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval)

$$
\intcc{p - \frac{1}{\sqrt n}}{\,p + \frac{1}{\sqrt n}}
$$

dans environ $95\,\%$ des [échantillons](#def-g10-proba-sample). Si une [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée tombe loin en dehors de cet [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval), douter de la valeur de $p$ : c’est le point de départ des tests statistiques.

**Exemple 9.14.**

Une usine prétend que seulement $10\,\%$ de ses pièces sont défectueuses ($p = 0.1$). Dans un [échantillon](#def-g10-proba-sample) de $n = 400$ pièces, $64$ sont défectueuses : [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée $\frac{64}{400} = 0.16$. L’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de fluctuation est $\intcc{0.1 - \frac{1}{20}}{0.1 + \frac{1}{20}} = \intcc{0.05}{0.15}$, et $0.16$ tombe en dehors : l’[échantillon](#def-g10-proba-sample) jette un doute sérieux sur l’affirmation.

## 9.5 Exercices

**Exercice 9.1 ★.**

Un dé équilibré est lancé. Calculer la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) de chaque [événement](#def-g10-proba-events) : « obtenir un $6$ » ; « obtenir un nombre impair » ; « obtenir au plus $4$ » ; « obtenir un $7$ ».

**Solution de Exercice 9.1.**

Chacune des $6$ issues a pour [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $\frac16$. « Obtenir un $6$ » : $\frac16$. « Nombre impair » $= \{1, 3, 5\}$ : $\frac36 = \frac12$. « Au plus $4$ » $= \{1,2,3,4\}$ : $\frac46 = \frac23$. « Obtenir un $7$ » : [événement](#def-g10-proba-events) impossible, [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $0$.

**Exercice 9.2 ★.**

Un sac contient $5$ billes vertes, $3$ jaunes et $2$ noires ; une bille est tirée au hasard. Calculer la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) qu’elle soit verte ; qu’elle ne soit pas noire ; qu’elle soit verte ou jaune.

**Solution de Exercice 9.2.**

Il y a $10$ billes équiprobables. $\P(\text{verte}) = \frac{5}{10} = \frac12$. $\P(\text{non noire}) = 1 - \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac45$. Verte et jaune sont [incompatibles](#def-g10-proba-operations) : $\P(\text{verte ou jaune}) = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10}
= \frac45$.

**Exercice 9.3 ★.**

Dans une classe de $30$ élèves, $18$ étudient l’espagnol, $10$ l’allemand, et $4$ les deux. Un élève est choisi au hasard. En utilisant la règle d’addition, calculer la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) que cet élève étudie au moins l’une des deux langues, puis la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) qu’il n’étudie ni l’une ni l’autre.

**Solution de Exercice 9.3.**

Soit $S$ : « étudie l’espagnol », $G$ : « étudie l’allemand ». Alors $\P(S) = \frac{18}{30}$, $\P(G) = \frac{10}{30}$, $\P(S \cap G) = \frac{4}{30}$. Règle d’addition :

$$
\P(S \cup G) = \frac{18}{30} + \frac{10}{30} - \frac{4}{30}
= \frac{24}{30} = \frac45 .
$$

[Complémentaire](#def-g10-proba-operations) : $\P(\text{ni l'un ni l'autre}) = 1 - \frac45 =
\frac15$.

**Exercice 9.4 ★.**

Une pièce équilibrée est lancée deux fois. Dessiner l’[arbre](#met-g10-proba-tree) de l’expérience et calculer la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) d’obtenir deux faces ; exactement une face ; au moins une face.

**Solution de Exercice 9.4.**

L’[arbre](#met-g10-proba-tree) a quatre chemins FF, FP, PF, PP, chacun de [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $\frac12 \times \frac12 = \frac14$. Deux faces : $\frac14$. Exactement une face (FP ou PF) : $\frac24 = \frac12$. Au moins une face : $1 - \P(\text{PP}) = 1 - \frac14 = \frac34$.

**Exercice 9.5 ★★.**

Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ blanches. Deux boules sont tirées l’une après l’autre *sans* remise. Dessiner l’[arbre](#met-g10-proba-tree) avec les bonnes [probabilités](#def-g10-proba-distribution) au second niveau, et calculer la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) de tirer deux boules rouges, puis de tirer deux boules de couleurs différentes.

**Solution de Exercice 9.5.**

Premier tirage : rouge avec [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $\frac{4}{10}$, blanche $\frac{6}{10}$. Second tirage *sans* remise : après une rouge, $3$ rouges et $6$ blanches restent parmi $9$ ; après une blanche, $4$ rouges et $5$ blanches parmi $9$.

Deux rouges : $\frac{4}{10} \times \frac39 = \frac{12}{90} =
\frac{2}{15}$.

Couleurs différentes : chemins RB et BR :

$$
\frac{4}{10} \times \frac69 + \frac{6}{10} \times \frac49
= \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}.
$$

**Exercice 9.6 ★★.**

Deux dés équilibrés sont lancés et leur somme est enregistrée.

1. Expliquer pourquoi l’ [univers](#def-g10-proba-events) peut être pris comme les $36$ couples équiprobables $(1,1), (1,2), \dots, (6,6)$ .
2. Calculer la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) que la somme soit $7$ ; qu’elle soit $12$ ; qu’elle soit au plus $4$ .
3. Quelle somme est la plus probable ?

**Solution de Exercice 9.6.**

*1.* Chaque dé montre indépendamment chaque face avec [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $\frac16$, donc les $36$ couples ordonnés sont équiprobables ; la somme est déterminée par le couple.

*2.* Somme $7$ : les couples $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2),
(6,1)$, donc $\P = \frac{6}{36} = \frac16$. Somme $12$ : seulement $(6,6)$, $\P = \frac{1}{36}$. Somme au plus $4$ : couples sommant à $2$, $3$ ou $4$ : $(1,1)$ ; $(1,2), (2,1)$ ; $(1,3), (2,2), (3,1)$ — six couples, donc $\P = \frac{6}{36} = \frac16$.

*3.* Le nombre de couples réalisant chaque somme croît de $1$ (somme $2$) à $6$ (somme $7$) puis décroît : la somme la plus probable est $7$.

**Exercice 9.7 ★★.**

Une question à choix multiples propose $4$ réponses, une seule correcte. Un élève répond à $2$ telles questions indépendantes complètement au hasard. Calculer la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) de répondre correctement aux deux, à exactement une, à aucune. Vérifier que les trois [probabilités](#def-g10-proba-distribution) somment à $1$.

**Solution de Exercice 9.7.**

Chaque question est correctement répondue avec [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $\frac14$, indépendamment. [Arbre](#met-g10-proba-tree) à deux niveaux :

Les deux correctes : $\frac14 \times \frac14 = \frac{1}{16}$.

Exactement une correcte : chemins correct–faux et faux–correct : $\frac14 \times \frac34 + \frac34 \times \frac14 = \frac{6}{16}
= \frac38$.

Aucune correcte : $\frac34 \times \frac34 = \frac{9}{16}$.

Vérification : $\frac{1}{16} + \frac{6}{16} + \frac{9}{16} = 1$.

**Exercice 9.8 ★★.**

Un politicien prétend avoir $50\,\%$ d’approbation. Dans un sondage de $n = 900$ électeurs choisis au hasard, $396$ approuvent.

1. Calculer la [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée et l’ [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de fluctuation autour de $p = 0.5$ pour $n = 900$ .
2. Le sondage jette-t-il un doute sur l’affirmation ?

**Solution de Exercice 9.8.**

*1.* [Fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée : $\frac{396}{900} = 0.44$. Avec $n = 900$ : $\frac{1}{\sqrt{900}} = \frac{1}{30} \approx 0.033$, donc l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de fluctuation est environ $\intcc{0.467}{0.533}$.

*2.* La [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) observée $0.44$ est hors de l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) : des [échantillons](#def-g10-proba-sample) de $900$ électeurs d’une population à $50\,\%$ d’approbation s’écartent rarement autant. Le sondage jette un doute sérieux sur les $50\,\%$ affirmés.

**Exercice 9.9 ★★★.**

Un jeu coûte $2$ à jouer : on lance un dé équilibré et on gagne $6$ si l’on obtient un $6$, $3$ si l’on obtient un $5$, rien sinon.

1. Calculer la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) de chaque montant gagné ( $6$ , $3$ , $0$ ).
2. Sur $600$ parties, environ combien de chaque issue attend-on ? Calculer le gain et la perte totaux attendus : le jeu vaut-il la peine d’être joué ?

**Solution de Exercice 9.9.**

*1.* $\P(\text{gagner } 6) = \frac16$ (lancer un $6$), $\P(\text{gagner } 3) = \frac16$ (lancer un $5$), $\P(\text{gagner } 0) = \frac46 = \frac23$.

*2.* Sur $600$ parties, on attend environ $100$ six, $100$ cinq, $400$ autres lancers. Gains : environ $100 \times 6 + 100 \times 3 = 900$. Coût : $600 \times 2 = 1200$. Résultat net attendu : $900 - 1200 = -300$, c’est-à-dire une perte d’environ $0.5$ par partie en [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-mean) — le jeu ne vaut pas la peine d’être joué.

## 9.6 Problème : les trois portes qui ont trompé mille mathématiciens

**Problème 9.1.**

Devoir du week-end — le paradoxe de Monty Hall et ses cousins : comment l’information change la probabilité, et comment les échantillons séparent les affirmations des vœux pieux

En 1990, la chroniqueuse Marilyn vos Savant publia une énigme sur un animateur de jeu télévisé, trois portes, une voiture et deux chèvres — et y répondit correctement. Dix mille lecteurs, dont des centaines de docteurs en mathématiques, lui écrivirent pour soutenir qu’elle se trompait. Ce problème vous arme d’[arbres](#met-g10-proba-tree) ([Méthode 9.8](#met-g10-proba-tree)), d’[événements](#def-g10-proba-events) contraires et des règles d’addition ([Théorème 9.6](#thm-g10-proba-addition)), vous laisse trancher vous-même la querelle, et s’achève sur l’outil qui arbitre en pratique tous les différends de ce genre : l’[échantillon](#def-g10-proba-sample) fluctuant.

**Partie I — Les règles, à l’échauffement.**

1. Une carte tirée d’un jeu de $52$ cartes : calculer $P(\text{roi ou cœur})$ avec la règle d’addition — et dire pourquoi $\frac{4}{52} + \frac{13}{52}$ seul est faux.
2. Trois lancers d’une pièce équilibrée : calculer $P(\text{au moins un pile})$ en passant par l’ [événement](#def-g10-proba-events) contraire.
3. Un sac contient $3$ billes rouges et $2$ bleues ; on en tire deux sans remise. À l’aide d’un [arbre](#met-g10-proba-tree) , calculer $P(\text{deux rouges})$ et $P(\text{une de chaque  couleur})$ .
4. Compléter la loi de la question 3 par $P(\text{deux bleues})$ et vérifier que les trois [probabilités](#def-g10-proba-distribution) ont pour somme $1$ .
5. Quelqu’un annonce, pour deux [événements](#def-g10-proba-events) *[incompatibles](#def-g10-proba-operations)* , $P(A) = 0.6$ et $P(B) = 0.5$ . Le confondre en une ligne de calcul.

**Partie II — Les trois portes.** Le jeu : une voiture est cachée derrière l’une des trois portes, des chèvres derrière les deux autres. Vous choisissez une porte (disons la porte 1). L’animateur — qui *sait* où est la voiture — ouvre l’une des deux autres portes, en dévoilant toujours une chèvre, et vous propose de changer pour la dernière porte encore fermée.

6. Avant tout calcul : changer de porte aide-t-il, nuit-il, ou ne change-t-il rien ? Noter sa réponse spontanée — en toute honnêteté.
7. Passons à l’ [arbre](#met-g10-proba-tree) , en distinguant les cas selon la vraie position de la voiture (chacun de [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $\frac13$ ) : si la voiture est derrière votre porte, changer fait perdre ; si elle est derrière l’une des deux autres, que doit faire l’animateur, et que gagne alors le changement ? Calculer $P(\text{gagner en changeant})$ .
8. La version en une ligne : changer gagne exactement lorsque le premier choix était mauvais. Conclure de nouveau.
9. Voici maintenant la variante cruciale — l’« animateur ignorant » : il ne *sait* pas où est la voiture, ouvre au hasard l’une des autres portes, et découvre par chance une chèvre. Énumérer les six scénarios équiprobables (position de la voiture $\times$ porte ouverte), écarter ceux où la voiture est dévoilée, et calculer la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) que changer fasse gagner *parmi les scénarios survivants* . Qu’est-ce qui a changé, et pourquoi le savoir de l’animateur compte-t-il ?
10. La pompe à intuition : cent portes, vous en choisissez une, l’animateur qui sait ouvre $98$ portes à chèvres. Changez-vous ? Avec quelle [probabilité](#def-g10-proba-distribution) de gagner ?
11. Vous faites face à un sceptique qui, comme les mille épistoliers, s’obstine au « une chance sur deux ». Décrire une simulation avec des cartes (trois cartes, de nombreuses parties, un camarade dans le rôle de l’animateur) et dire quelle proportion de victoires en changeant on attend après $300$ parties — avec l’ [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de fluctuation du chapitre pour marge.

**Partie III — Les cousins du paradoxe.**

12. Une famille a deux enfants ; on apprend qu’ *au moins l’un des deux est un garçon* . Énumérer les configurations équiprobables compatibles avec cette information, et calculer $P(\text{deux garçons})$ .
13. Même famille, mais l’information est maintenant : *l’aîné est un garçon* . Recalculer. Pourquoi les deux réponses diffèrent-elles, et qu’ont-elles en commun avec les deux animateurs ?
14. Trois pièces équilibrées : calculer $P(\text{les trois identiques})$ . Le mathématicien d’Alembert soutenait en 1754 une autre réponse : « ou bien elles sont toutes identiques, ou bien elles ne le sont pas — un cas sur deux ». Nommer précisément l’erreur, la [Proposition 9.3](#prop-g10-proba-uniform) en main.
15. Un jeu coûte $2$ euros : on lance un dé, on gagne $6$ euros sur un six, $3$ euros sur un cinq, et rien sinon ( [Exercice 9.9](#exo-g10-proba-9) ). Sur $600$ parties, quel gain moyen par partie le dénombrement prévoit-il ? Un assureur pratique les mêmes mathématiques : une [probabilité](#def-g10-proba-distribution) annuelle de $1\,\%$ d’un sinistre de $10\,000$ euros — quelle est la prime *équitable* , et pourquoi la prime réelle la dépasse-t-elle ?

**Partie IV — Les [échantillons](#def-g10-proba-sample) comme arbitres.**

16. On lance une pièce $100$ fois. À l’aide de l’ [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de fluctuation $p \pm \frac{1}{\sqrt n}$ , décider lequel de ces résultats doit faire sourciller : $55$ piles ; $70$ piles.
17. Un sondage auprès de $1\,000$ électeurs donne $52\,\%$ à un candidat. Calculer l’ [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de fluctuation autour de $50\,\%$ et dire si le sondage *prouve* que le candidat est en tête.
18. Une usine annonce $4\,\%$ de pièces défectueuses. Un [échantillon](#def-g10-proba-sample) de $400$ en donne $28$ ( $7\,\%$ ) ; un [échantillon](#def-g10-proba-sample) ultérieur de $2\,500$ en donne $175$ ( $7\,\%$ encore). Confronter l’annonce à chaque [échantillon](#def-g10-proba-sample) . Pourquoi les verdicts diffèrent-ils ?
19. Deux sources d’erreur hantent toute enquête : le *biais* d’échantillonnage (devoir du week-end sur les mensonges des données, dans le volume précédent) et la *fluctuation* d’échantillonnage (ce chapitre). Laquelle se réduit quand $n$ grandit, et laquelle survit à toute taille d’ [échantillon](#def-g10-proba-sample) ? Une phrase pour chacune.
20. Pour finir — la liste de contrôle du probabiliste, une ligne par entrée : vérifier l’équiprobabilité des issues avant de dénombrer (question 15) ; [arbres](#met-g10-proba-tree) et [événements](#def-g10-proba-events) contraires pour les expériences à plusieurs étapes et les « au moins un » (questions 2 et 3) ; *l’information change les [probabilités](#def-g10-proba-distribution), et la façon dont on l’a obtenue compte* (questions 7 à 14) ; les [échantillons](#def-g10-proba-sample) fluctuent d’environ $\frac{1}{\sqrt n}$ , et la simulation arbitre (questions 11, 16 à 18).

**Solution de Problème 9.1.**

**1.** $P(\text{roi ou cœur}) = \frac{4}{52} +
\frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ : le roi de cœur appartient aux deux [événements](#def-g10-proba-events) et ne doit pas être compté deux fois — d’où la soustraction ([Théorème 9.6](#thm-g10-proba-addition)).

**2.** $P(\text{aucun pile}) = \left(\frac12\right)^3 =
\frac18$, donc $P(\text{au moins un}) = \frac78$.

**3.** $P(RR) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ ; $P(\text{une de chaque}) = \frac35 \times \frac24 + \frac25
\times \frac34 = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac35$.

**4.** $P(BB) = \frac25 \times \frac14 = \frac1{10}$ ; et $\frac{3}{10} + \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = 1$ : les feuilles d’un [arbre](#met-g10-proba-tree) totalisent toujours $1$.

**5.** Des [événements](#def-g10-proba-events) [incompatibles](#def-g10-proba-operations) vérifient $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 1.1 > 1$ : impossible — une [probabilité](#def-g10-proba-distribution) a été inventée quelque part.

**6.** (La plupart des gens, y compris les mille épistoliers, répondent « cela ne change rien, une chance sur deux ». Gardez votre réponse pour la question 8.)

**7.** Voiture derrière la porte 1 ([probabilité](#def-g10-proba-distribution) $\frac13$) : l’animateur ouvre l’une ou l’autre des portes à chèvre ; changer abandonne la voiture : *perdu*. Voiture derrière la porte 2 ($\frac13$) : l’animateur *doit* ouvrir la porte 3 ; changer aboutit sur la porte 2 : *gagné*. Voiture derrière la porte 3 : cas symétrique, *gagné*. Au total : $P(\text{gagner en changeant}) = \frac13 + \frac13 = \frac23$.

**8.** Votre premier choix est mauvais avec la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $\frac23$ — et c’est précisément alors que l’ouverture forcée de l’animateur laisse la voiture derrière la porte restante : changer convertit chaque erreur initiale en victoire. Donc $\frac23$, quoi qu’en ait dit l’intuition.

**9.** Six scénarios équiprobables : voiture derrière $1$, $2$ ou $3$, animateur ouvrant la porte $2$ ou $3$ (jamais la vôtre). L’ouverture dévoile la voiture dans deux d’entre eux (voiture en 2 / ouvre 2, voiture en 3 / ouvre 3) : on les écarte. Parmi les quatre survivants — voiture en 1 / ouvre 2, voiture en 1 / ouvre 3, voiture en 2 / ouvre 3, voiture en 3 / ouvre 2 — changer gagne dans les deux derniers : $\frac24 = \frac12$. Avec un animateur ignorant, « une chance sur deux » *est* la bonne réponse : le paradoxe tient tout entier au savoir de l’animateur, qui filtre les scénarios de façon inégale.

**10.** Votre porte cache la voiture avec la [probabilité](#def-g10-proba-distribution) $\frac{1}{100}$ ; les $98$ ouvertures de l’animateur qui sait canalisent les $\frac{99}{100}$ restants sur l’unique porte encore fermée. Changez, et gagnez $99$ fois sur $100$.

**11.** Trois cartes (un as, deux jokers), un camarade qui regarde et écarte toujours un joker parmi les deux cartes non choisies ; jouer $300$ parties en changeant systématiquement et noter les victoires. [Fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) attendue $\frac23 \approx 0.667$, avec une fluctuation $\pm\frac{1}{\sqrt{300}} \approx 0.058$ : on attend entre $61\,\%$ et $72\,\%$ environ de victoires en changeant — très loin de toute « chance sur deux ».

**12.** Configurations équiprobables (aîné–cadet) : GG, GF, FG, FF. « Au moins un garçon » conserve GG, GF, FG : $P(\text{GG}) = \frac13$.

**13.** « L’aîné est un garçon » conserve GG et GF : $P(\text{GG}) = \frac12$. Des informations différentes filtrent des ensembles de scénarios différents — exactement comme les deux animateurs : ce que l’on apprend compte, et *la façon* dont on l’a appris compte tout autant.

**14.** Toutes identiques : PPP et FFF, soit $\frac28 = \frac14$. L’erreur de d’Alembert : ses deux « cas » ne sont pas équiprobables — « pas toutes identiques » regroupe six des huit issues. La [Proposition 9.3](#prop-g10-proba-uniform) ne dénombre que sur des issues équiprobables.

**15.** Gain moyen par partie : $6 \times \frac16 + 3
\times \frac16 = 1.50$ euro, contre une mise de $2$ euros : une perte [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-mean) de $0.50$ par partie, soit environ $300$ euros sur $600$ parties. La prime équitable égalise le versement moyen : $1\,\% \times 10\,000 = 100$ euros ; les primes réelles ajoutent les frais et une marge de sécurité — l’assureur doit survivre aux mauvaises années, pas seulement aux années [moyennes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-mean).

**16.** [Intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) : $0.5 \pm \frac{1}{\sqrt{100}} =
\intcc{0.4}{0.6}$. $55$ piles ($0.55$) : à l’intérieur, rien à signaler. $70$ piles ($0.70$) : largement dehors — il faut douter de la pièce.

**17.** $\frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 0.032$ : un candidat réellement à $50\,\%$ obtiendrait typiquement un score dans $\intcc{0.468}{0.532}$ — et $0.52$ y tient confortablement. Le sondage *suggère* une avance mais ne prouve rien : la marge l’engloutit.

**18.** Premier [échantillon](#def-g10-proba-sample) : [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $0.04 \pm \frac{1}{20} = \intcc{0}{0.09}$ ; le $0.07$ observé est dedans : pas de verdict. Second : $0.04 \pm \frac{1}{50} = \intcc{0.02}{0.06}$ ; le $0.07$ observé tombe dehors : l’annonce devient sérieusement douteuse. Même [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series), instrument plus fin : la précision croît comme $\sqrt n$.

**19.** La fluctuation décroît comme $\frac{1}{\sqrt n}$ : quadrupler l’[échantillon](#def-g10-proba-sample) divise le bruit par deux. Le biais — interroger la mauvaise foule — survit à tout $n$ : deux millions de bulletins mal choisis restaient faux (devoir du week-end sur les mensonges des données, dans le volume précédent).

**20.** (i) Vérifier que les issues sont équiprobables avant de dénombrer — d’Alembert l’avait oublié. (ii) Les [arbres](#met-g10-proba-tree) multiplient le long des branches ; les « au moins un » capitulent devant l’[événement](#def-g10-proba-events) contraire. (iii) L’information filtre les scénarios, et sa *source* change le filtre — animateur savant contre animateur ignorant, aîné-garçon contre au-moins-un-garçon. (iv) Les [fréquences](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) s’approchent des [probabilités](#def-g10-proba-distribution) à la vitesse $\frac{1}{\sqrt n}$, si bien qu’une simulation patiente règle n’importe quelle querelle — y compris avec dix mille épistoliers en colère.