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title: "फलन और उनके परिवर्तन"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 11
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations
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# अध्याय 11 — फलन और उनके परिवर्तन

यह अध्याय उन बातों को व्यवस्थित करता है जो कलन से पहले [फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) के बारे में जान लेनी चाहिए: *[आधार फलनों](#def-g11-func-reference)* का वह छोटा परिवार जिनके [आलेख](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) कंठस्थ होने चाहिए, *[वर्धमान](#def-g11-func-monotone)* और *[ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)* का ठीक-ठीक अर्थ, और यह कि [फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) को आपस में जोड़ने पर परिवर्तन कैसा व्यवहार करते हैं।

## 11.1 फलन और वक्र

**परिभाषा 11.1 (फलन, प्रांत, वक्र).**

*फलन* $f$ किसी समुच्चय $D \subseteq \R$ (उसका *प्रांत*) की हर संख्या $x$ के साथ ठीक एक संख्या $f(x)$ जोड़ देता है। उसका *वक्र* (या [आलेख](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph)) $x \in D$ के लिए बिंदुओं $\bigl(x, f(x)\bigr)$ का समुच्चय है।

**उदाहरण 11.2.**

सूत्र $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ के लिए $x + 2 \geq 0$ (वर्गमूल के लिए) और $x \neq 1$ (हर शून्येतर) आवश्यक हैं: [प्रांत](#def-g11-func-function) $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ है।

## 11.2 आधार फलन

नीचे दिए पाँच [फलन](#def-g11-func-function) और उनके वक्र सहज-स्वाभाविक हो जाने चाहिए।

**परिभाषा 11.3 (आधार फलन).**

$$
x \mapsto x^2 \text{ (वर्ग)}, \quad
x \mapsto x^3 \text{ (घन)}, \quad
x \mapsto \sqrt{x}, \quad
x \mapsto \frac{1}{x}, \quad
x \mapsto \abs{x}.
$$

उनके [प्रांत](#def-g11-func-function) क्रमशः $\R$, $\R$, $\intco{0}{+\infty}$, $\R \setminus \{0\}$ और $\R$ हैं। $x \mapsto \frac1x$ का वक्र एक *अतिपरवलय* है।

![पाँच आधार वक्र: परवलय x2 और घन x3 (बाएँ); √ x, x और अतिपरवलय 1x (दाएँ)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-d927af9605c1.svg)

![पाँच आधार वक्र: परवलय x2 और घन x3 (बाएँ); √ x, x और अतिपरवलय 1x (दाएँ)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-11cf0cdba8a1.svg)

*पाँच आधार वक्र: [परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) $x^2$ और घन $x^3$ (बाएँ); $\sqrt x$, $\abs x$ और [अतिपरवलय](#def-g11-func-reference) $\frac1x$ (दाएँ)।*

## 11.3 किसी अंतराल पर परिवर्तन

**परिभाषा 11.4 (वर्धमान, ह्रासमान).**

मान लीजिए $f$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ पर परिभाषित है। [फलन](#def-g11-func-function) $f$ $I$ पर *वर्धमान* है यदि वह क्रम बनाए रखता है:

$$
u, v \in I \text{ के लिए}: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),
$$

और *[ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)* है यदि वह क्रम उलट देता है ($u < v \implies f(u) \geq
f(v)$)। दाहिनी ओर कड़ी असमिकाएँ हों तो $f$ *निरंतर* वर्धमान (क्रमशः [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)) है। जो [फलन](#def-g11-func-function) $I$ पर वर्धमान या [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) हो वह $I$ पर *एकदिष्ट* कहलाता है।

**विधि 11.5 (परिभाषा से परिवर्तन सिद्ध करना).**

[अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) में कोई भी दो संख्याएँ $u < v$ लीजिए और अंतर $f(v) - f(u)$ का चिह्न तय कीजिए, प्रायः उसका *[गुणनखंडन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand)* करके। यदि [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर चिह्न अचर हो, तो निष्कर्ष निकाल लीजिए।

**प्रतिज्ञप्ति 11.6 (आधार फलनों के परिवर्तन).**

1. $x^2$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर निरंतर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) और $\intco{0}{+\infty}$ पर निरंतर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है।
2. $x^3$ $\R$ पर निरंतर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है।
3. $\sqrt x$ $\intco{0}{+\infty}$ पर निरंतर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है।
4. $\frac1x$ $\intoo{-\infty}{0}$ पर और $\intoo{0}{+\infty}$ पर निरंतर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है (पर उनके [सम्मिलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) पर *नहीं* )।
5. $\abs x$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर निरंतर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) और $\intco{0}{+\infty}$ पर निरंतर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है।

**उपपत्ति.** मान लीजिए $u < v$ है। हर स्थिति में हम $f(v) - f(u)$ का [गुणनखंडन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) करते हैं।

*1.* $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$। $\intco{0}{+\infty}$ पर: $v - u > 0$ और $v + u > 0$ (क्योंकि $v > u \geq 0$), इसलिए $v^2 > u^2$। $\intoc{-\infty}{0}$ पर: $v + u < 0$, इसलिए $v^2 < u^2$।

*2.* $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$, और दूसरा गुणनखंड $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ के बराबर है, जब तक $u = v = 0$ न हो। अतः जब भी $v > u$ हो, $v^3 > u^3$।

*3.* $0 \leq u < v$ के लिए: $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}
{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$।

*4.* $0 < u < v$ के लिए: $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$, क्योंकि $u - v < 0$ और $uv > 0$; $u < v < 0$ के लिए वही गणना। [सम्मिलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) पर यह दावा टूट जाता है: $-1 < 1$, पर $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$।

*5.* $\intco{0}{+\infty}$ पर $\abs x = x$ निरंतर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है; $\intoc{-\infty}{0}$ पर $\abs x = -x$ निरंतर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है। ∎

**टिप्पणी 11.7.**

बिंदु 4 एक चिरपरिचित जाल है: “$\intoo{-\infty}{0}$ पर और $\intoo{0}{+\infty}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)” का अर्थ “$\R \setminus \{0\}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)” *नहीं* है। परिवर्तन केवल [अंतरालों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर ही अर्थ रखते हैं।

**उदाहरण 11.8 (बिना गणना किए तुलना).**

चूँकि $\sqrt x$ निरंतर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है, $\sqrt{7} < \sqrt{8}$; और चूँकि $x^2$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर निरंतर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है, $(-3)^2 > (-2)^2$। एकदिष्टता [प्रतिबिंबों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) की तुलना को चरों की तुलना में बदल देती है।

## 11.4 पुराने फलनों से नए फलन

**प्रतिज्ञप्ति 11.9 (रूपांतरण).**

मान लीजिए $u$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ पर परिभाषित [फलन](#def-g11-func-function) है और $k \in \R$ है।

1. $u + k$ के परिवर्तन $I$ पर $u$ जैसे *ही* हैं; उसका वक्र $u$ का वक्र ही है, जो ऊर्ध्वाधर दिशा में $k$ खिसका हुआ है।
2. $\lambda > 0$ के लिए $\lambda u$ के परिवर्तन $u$ जैसे हैं; $\lambda < 0$ के लिए परिवर्तन उलट जाते हैं।
3. यदि $I$ पर $u \geq 0$ हो, तो $\sqrt u$ के परिवर्तन $u$ जैसे हैं।
4. यदि $u \neq 0$ हो और $I$ पर $u$ का चिह्न अचर हो, तो $\frac1u$ के परिवर्तन $u$ के *विपरीत* हैं।

**उपपत्ति.** मान लीजिए $I$ में $u < v$ है (संकेतन का थोड़ा दुरुपयोग करते हुए हम $x$ के मान $u < v$ की तुलना करते हैं; $x_1 < x_2$ के [प्रतिबिंबों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) को $s = u(x_1)$, $t = u(x_2)$ लिखिए)।

*1.* $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$: [प्रतिबिंबों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) का अंतर अपरिवर्तित रहता है, इसलिए उसका चिह्न भी।

*2.* $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$: $\lambda > 0$ होने पर चिह्न बना रहता है, $\lambda < 0$ होने पर पलट जाता है।

*3.* यदि $u$ [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) हो और $x_1 < x_2$ हो, तो $0 \leq s \leq t$, और $\sqrt{}$ के [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) होने से ([प्रतिज्ञप्ति 11.6](#prop-g11-func-refvariations)) $\sqrt s \leq \sqrt t$ मिलता है। [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) स्थिति में भी वही तर्क।

*4.* यदि $u$ [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) हो और $0 < s \leq t$ (या $s \leq t < 0$) हो, तो $\frac1s \geq \frac1t$, क्योंकि $x \mapsto \frac1x$ $0$ के दोनों ओर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है: क्रम उलट जाता है। ∎

**उदाहरण 11.10.**

$\R$ पर $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ का अध्ययन कीजिए। भीतरी [फलन](#def-g11-func-function) $u(x) = x^2 + 1$ धनात्मक है, $\intoc{-\infty}{0}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) और $\intco{0}{+\infty}$ पर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) (खिसका हुआ वर्ग)। बिंदु 3 से $f$ के भी वही परिवर्तन हैं: पहले [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) फिर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone), और [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(0) = 1$।

![रूपांतरण काम पर: x2 को 1 ऊपर खिसकाने से (लाल) उसके परिवर्तन बने रहते हैं; वर्गमूल लेने से (नारंगी) भी वे बने रहते हैं, जैसा कहता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-24fc77b45bdf.svg)

*रूपांतरण काम पर: $x^2$ को $1$ ऊपर खिसकाने से (लाल) उसके परिवर्तन बने रहते हैं; वर्गमूल लेने से (नारंगी) भी वे बने रहते हैं, जैसा [उदाहरण 11.10](#ex-g11-func-composite) कहता है।*

## 11.5 सम और विषम फलन

**परिभाषा 11.11 (सम-विषमता).**

मान लीजिए $f$ ऐसे [प्रांत](#def-g11-func-function) $D$ पर परिभाषित है जो $0$ के परितः सममित है (अर्थात् जब भी $x \in D$ हो तब $-x \in D$ भी)। [फलन](#def-g11-func-function) $f$ *सम* है यदि सभी $x \in D$ के लिए $f(-x) = f(x)$ हो, और *विषम* है यदि सभी $x \in D$ के लिए $f(-x) = -f(x)$ हो।

**प्रतिज्ञप्ति 11.12 (ज्यामितीय अर्थ).**

[सम फलन](#def-g11-func-parity) का वक्र $y$-अक्ष के परितः सममित होता है; [विषम फलन](#def-g11-func-parity) का वक्र मूल बिंदु के परितः सममित होता है।

**उपपत्ति.** यदि $f$ [सम](#def-g11-func-parity) हो और $(x, y)$ वक्र पर हो (अर्थात् $y = f(x)$), तो $f(-x) = f(x) = y$: दर्पण-बिंदु $(-x, y)$ भी वक्र पर है। यदि $f$ [विषम](#def-g11-func-parity) हो, तो $f(-x) = -y$: बिंदु $(-x, -y)$, जो मूल बिंदु के परितः $(x,y)$ का सममित है, वक्र पर है। ∎

**उदाहरण 11.13.**

$x^2$ और $\abs x$ [सम](#def-g11-func-parity) हैं; $x^3$ और $\frac1x$ [विषम](#def-g11-func-parity) हैं; $f(x) = x^2 + x$ इनमें से कोई नहीं: $f(-1) = 0$ जबकि $f(1) = 2$, इसलिए $f(-1) \neq \pm f(1)$। सम-विषमता आधा काम बचा देती है: [सम](#def-g11-func-parity) या [विषम फलन](#def-g11-func-parity) का अध्ययन केवल $\intco{0}{+\infty}$ पर करना पर्याप्त है।

## 11.6 अभ्यास

**अभ्यास 11.1 ★.**

हर [फलन](#def-g11-func-function) का [प्रांत](#def-g11-func-function) बताइए:

$$
f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad
g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad
h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .
$$

**हल — अभ्यास 11.1.**

$f$: $3 - x \geq 0$ चाहिए, [प्रांत](#def-g11-func-function) $\intoc{-\infty}{3}$।

$g$: $x^2 - 4 \neq 0$ चाहिए, अर्थात् $x \neq \pm 2$: [प्रांत](#def-g11-func-function) $\R \setminus \{-2, 2\}$।

$h$: $x \geq 0$ और $x \neq 5$ चाहिए: [प्रांत](#def-g11-func-function) $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$।

**अभ्यास 11.2 ★.**

[आधार फलनों](#def-g11-func-reference) के परिवर्तनों का उपयोग करके कैलकुलेटर के बिना तुलना कीजिए:

$$
\sqrt{11} \text{ और } \sqrt{13}; \qquad
(-2.1)^2 \text{ और } (-2.05)^2; \qquad
\frac{1}{0.9} \text{ और } \frac{1}{1.1}; \qquad
(-1.01)^3 \text{ और } (-0.99)^3 .
$$

**हल — अभ्यास 11.2.**

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$, क्योंकि $\sqrt{}$ [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है और $11 < 13$।

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$, क्योंकि $x^2$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है और $-2.1 < -2.05$।

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$, क्योंकि $\frac1x$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है और $0.9 < 1.1$।

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$, क्योंकि $x^3$ [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है और $-1.01 < -0.99$।

**अभ्यास 11.3 ★.**

बताइए कि हर [फलन](#def-g11-func-function) [सम](#def-g11-func-parity) है, [विषम](#def-g11-func-parity) है, या इनमें से कोई नहीं:

$$
f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad
g(x) = x^3 + x, \qquad
h(x) = x^2 + x^3, \qquad
k(x) = \frac{x}{x^2+1} .
$$

**हल — अभ्यास 11.3.**

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$: [सम](#def-g11-func-parity)।

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$: [विषम](#def-g11-func-parity)।

$h(1) = 2$ और $h(-1) = 1 - 1 = 0$, इसलिए $h(-1)$ न $h(1)$ है न $-h(1)$: न [सम](#def-g11-func-parity), न [विषम](#def-g11-func-parity)।

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$: [विषम](#def-g11-func-parity)।

**अभ्यास 11.4 ★.**

[फलन](#def-g11-func-function) $f$ का परिवर्तन-व्यवहार यह है: $\intcc{-3}{1}$ पर $f(-3) = -2$ से $f(1) = 4$ तक [वर्धमान](#def-g11-func-monotone), फिर $\intcc{1}{5}$ पर घटकर $f(5) = 0$ तक। [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ के $\intcc{-3}{5}$ पर कितने हल हैं? और $f(x) = 5$ के?

**हल — अभ्यास 11.4.**

[परिवर्तन-सारणी](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-table) पढ़िए। $\intcc{-3}{1}$ पर $f$ $-2$ से $4$ तक चढ़ता है और मान $1$ को ठीक एक बार पार करता है; $\intcc{1}{5}$ पर वह $4$ से $0$ तक उतरता है और $1$ को एक बार और पार करता है: [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ के $2$ हल हैं। $f$ का [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 4 < 5$ है, इसलिए $f(x) = 5$ का कोई हल नहीं।

**अभ्यास 11.5 ★★.**

[विधि 11.5](#met-g11-func-variation) ($f(v) - f(u)$ का चिह्न) का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $f(x) = x^2 - 4x$ $\intco{2}{+\infty}$ पर निरंतर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है।

**हल — अभ्यास 11.5.**

मान लीजिए $2 \leq u < v$ है। तब

$$
f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u)
= (v - u)(u + v - 4).
$$

दोनों गुणनखंड धनात्मक हैं: $v - u > 0$, और $u + v > 2 + 2 = 4$, क्योंकि $u \geq 2$ और $v > 2$। अतः $f(v) > f(u)$: $f$ $\intco{2}{+\infty}$ पर निरंतर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है।

**अभ्यास 11.6 ★★.**

कोई अवकलज निकाले बिना इनके परिवर्तन बताइए:

$$
f(x) = \sqrt{5 - x} \ \intoc{-\infty}{5} \text{ पर},
\quad
g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \intco{0}{+\infty} \text{ पर},
\quad
h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \intco{0}{+\infty} \text{ पर}.
$$

**हल — अभ्यास 11.6.**

$f = \sqrt{u}$, जहाँ $u(x) = 5 - x$ $\intoc{-\infty}{5}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) और अऋणात्मक है: वहाँ $f$ [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है ([प्रतिज्ञप्ति 11.9](#prop-g11-func-transforms))।

$g = \frac1u$, जहाँ $u(x) = x^2 + 1$ $\intco{0}{+\infty}$ पर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) और धनात्मक है: वहाँ $g$ [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है।

$h = 3 - 2\sqrt x$: $\sqrt x$ [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है, $-2 < 0$ से गुणा करने पर क्रम उलट जाता है, और $3$ जोड़ने से कुछ नहीं बदलता: $h$ $\intco{0}{+\infty}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है।

**अभ्यास 11.7 ★★.**

मान लीजिए $\R$ पर $f(x) = (x-2)^2 - 3$ है।

1. $f$ के परिवर्तन और उसका [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) बताइए।
2. $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ के परिवर्तन और उसका [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) निकालिए। (ध्यान दीजिए कि $g = \frac{1}{f + 4}$ ।)

**हल — अभ्यास 11.7.**

*1.* $f$ [मानक रूप](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#thm-g11-quad-canonical) में है: $\intoc{-\infty}{2}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations), $\intco{2}{+\infty}$ पर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone), [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(2) = -3$।

*2.* $g = \frac{1}{u}$, जहाँ $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$। $4$ का खिसकाव $f$ के परिवर्तन बनाए रखता है, और $u \geq 1 > 0$। व्युत्क्रम लेने पर वे उलट जाते हैं: $g$ $\intoc{-\infty}{2}$ पर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) और $\intco{2}{+\infty}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है, और उसका [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $g(2) = \frac{1}{1} = 1$ है।

**अभ्यास 11.8 ★★.**

[फलन](#def-g11-func-function) $f$ का वक्र बिंदुओं $(0, 1)$, $(2, 3)$ और $(4, 1)$ से होकर जाता है, और $f$ $\intcc{0}{2}$ पर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) तथा $\intcc{2}{4}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है। एक संभव वक्र का रेखाचित्र बनाइए, फिर $f + 2$, $-f$ और $2f$ के वक्रों के रेखाचित्र बनाइए।

**हल — अभ्यास 11.8.**

तीनों बिंदुओं से होकर जाने वाला कोई भी पहाड़ी-जैसा वक्र चलेगा। फिर: $f + 2$ $(0,3)$, $(2,5)$, $(4,3)$ से होकर जाता है और उसके परिवर्तन वही रहते हैं (ऊर्ध्वाधर खिसकाव); $-f$ $(0,-1)$, $(2,-3)$, $(4,-1)$ से होकर जाता है पर उसके परिवर्तन *उलट* जाते हैं (चोटी घाटी बन जाती है); $2f$ $(0,2)$, $(2,6)$, $(4,2)$ से होकर जाता है, परिवर्तन वही पर ऊर्ध्वाधर दिशा में बढ़े हुए।

**अभ्यास 11.9 ★★.**

दिखाइए कि [फलन](#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ को $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$ लिखा जा सकता है, और इससे $\intoo{-1}{+\infty}$ पर उसके परिवर्तन निकालिए।

**हल — अभ्यास 11.9.**

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$। $\intoo{-1}{+\infty}$ पर $u(x) = x + 1$ [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) और धनात्मक है, इसलिए $\frac1u$ [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है, $-\frac1u$ [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है, और $2$ जोड़ने से कुछ नहीं बदलता: $f$ $\intoo{-1}{+\infty}$ पर निरंतर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है।

**अभ्यास 11.10 ★★.**

सत्य या असत्य (पुष्ट कीजिए या प्रतिउदाहरण दीजिए):

1. $I$ पर दो [वर्धमान फलनों](#def-g11-func-monotone) का योग $I$ पर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) होता है।
2. $I$ पर दो [वर्धमान फलनों](#def-g11-func-monotone) का गुणनफल $I$ पर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) होता है।
3. यदि $f$ $I$ पर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) हो, तो $f^2$ ( $= f \times f$ ) $I$ पर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) होता है।

**हल — अभ्यास 11.10.**

*1. सत्य:* यदि $u < v$ हो, तो $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ दो अऋणात्मक संख्याओं का योग है।

*2. असत्य:* $f(x) = g(x) = x$ $\R$ पर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) हैं, पर उनका गुणनफल $x^2$ $\R$ पर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) नहीं है (वह $\intoc{-\infty}{0}$ पर घटता है)। (यदि दोनों [फलन](#def-g11-func-function) अऋणात्मक भी हों तो कथन सत्य हो जाता है।)

*3. असत्य:* वही प्रतिउदाहरण: $f(x) = x$ $\R$ पर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है पर $f^2(x) = x^2$ नहीं।

**अभ्यास 11.11 ★★★.**

मान लीजिए $x > 0$ के लिए $f(x) = x + \frac{1}{x}$ है।

1. दिखाइए कि $0 < u < v$ के लिए $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ ।
2. इससे निकालिए कि $f$ $\intoc{0}{1}$ पर निरंतर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) और $\intco{1}{+\infty}$ पर निरंतर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है।
3. निष्कर्ष निकालिए कि सभी $x > 0$ के लिए $x + \frac1x \geq 2$ है, और समता केवल $x = 1$ पर है।

**हल — अभ्यास 11.11.**

*1.* $0 < u < v$ के लिए:

$$
f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u
= (v - u) + \frac{u - v}{uv}
= (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right)
= (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.
$$

*2.* सदा $v - u > 0$ और $uv > 0$। यदि $0 < u < v \leq 1$ हो, तो $uv < 1$, इसलिए $uv - 1 < 0$ और $f(v) < f(u)$: $f$ $\intoc{0}{1}$ पर निरंतर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है। यदि $1 \leq u < v$ हो, तो $uv > 1$ और $f(v) > f(u)$: $f$ $\intco{1}{+\infty}$ पर निरंतर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है।

*3.* $f$ $1$ से पहले घटता है और उसके बाद बढ़ता है, इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \geq f(1) = 2$, और समता ठीक $x = 1$ पर। (यह असमिका अनेक वेशों में लौटती है; [उदाहरण 10.3](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#ex-g11-quad-canonical) और [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#ch-g12-deriv) की स्पर्श-रेखा वाली असमिकाओं से तुलना कीजिए।)

## 11.7 समस्या: सममिति का कारख़ाना

**समस्या 11.1.**

सप्ताहांत समस्या — हर फलन एक सम भाग और एक विषम भाग का योग है: सम-विषमता के नियम, रूपांतरण का खेल, और कलन के बिना जीते गए न्यूनतम

कुछ [फलन](#def-g11-func-function) दर्पण-सममित होते हैं, कुछ अर्ध-घूर्णन-सममित, और अधिकांश दोनों में से कोई नहीं — फिर भी बीजगणित का एक छोटा-सा चमत्कार कहता है कि *हर* [फलन](#def-g11-func-function), ठीक एक ही तरह से, एक दर्पण-सममित टुकड़े और एक अर्ध-घूर्णन-सममित टुकड़े का योग है। यह समस्या उस चमत्कार को सिद्ध करती है, आधार वक्रों ([प्रतिज्ञप्ति 11.9](#prop-g11-func-transforms)) पर रूपांतरण का खेल खेलती है, और [अभ्यास 11.11](#exo-g11-func-11) की अंतर-गुणनखंडन वाली तकनीक पर समाप्त होती है, जो अवकलज के आने से पूरा एक अध्याय पहले ही न्यूनतमकरण की समस्याएँ जीत लेती है।

**भाग I — सम-विषमता में प्रवाह।**

1. [सम](#def-g11-func-parity) , [विषम](#def-g11-func-parity) , या कोई नहीं ( [परिभाषा 11.11](#def-g11-func-parity) )? हर एक को पुष्ट कीजिए: $x^4 - 3x^2$ ; $x^3 - x$ ; $x^2 + x$ ; $\abs x$ ; $\frac1x$ ।
2. हर निर्णय का ज्यामितीय अर्थ बताइए ( [प्रतिज्ञप्ति 11.12](#prop-g11-func-paritysym) ): [सम फलन](#def-g11-func-parity) के वक्र में कौन-सी सममिति होती है? [विषम](#def-g11-func-parity) के वक्र में?
3. सम-विषमता चिह्नों की तरह गुणा होती है: सिद्ध कीजिए कि दो [विषम फलनों](#def-g11-func-parity) का गुणनफल [सम](#def-g11-func-parity) होता है, और पूरी गुणन-सारणी पूरी कीजिए ( [सम](#def-g11-func-parity) $\times$ [सम](#def-g11-func-parity) , [सम](#def-g11-func-parity) $\times$ [विषम](#def-g11-func-parity) , [विषम](#def-g11-func-parity) $\times$ [विषम](#def-g11-func-parity) )।
4. तुरंत निकलने वाले परिणाम: यदि $f$ [विषम](#def-g11-func-parity) हो और $0$ पर परिभाषित हो, तो $f(0)$ क्या है? यदि $f$ [सम](#def-g11-func-parity) हो और $f(3) = 7$ हो, तो $f(-3)$ क्या है? और दिखाइए कि [सम](#def-g11-func-parity) और [विषम](#def-g11-func-parity) दोनों होने वाला अकेला [फलन](#def-g11-func-function) शून्य [फलन](#def-g11-func-function) है।
5. [सम फलन](#def-g11-func-parity) के वक्र का कितना हिस्सा पूरे वक्र को तय कर देता है? ऐसा एक [फलन](#def-g11-func-function) दीजिए जो न [सम](#def-g11-func-parity) हो न [विषम](#def-g11-func-parity) , और समझाइए कि वहाँ क्या टूट जाता है।

**भाग II — विघटन प्रमेय।** $0$ के परितः सममित किसी [प्रांत](#def-g11-func-function) पर परिभाषित [फलन](#def-g11-func-function) $f$ के लिए रखिए

$$
E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2},
\qquad
O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .
$$

6. $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ के लिए $E$ और $O$ निकालिए, और जाँचिए: $E$ [सम](#def-g11-func-parity) , $O$ [विषम](#def-g11-func-parity) , $E + O = f$ ।
7. सामान्य कथन सिद्ध कीजिए: किसी भी $f$ के लिए [फलन](#def-g11-func-function) $E$ [सम](#def-g11-func-parity) है, $O$ [विषम](#def-g11-func-parity) है, और $f = E + O$ — *हर [फलन](#def-g11-func-function) एक [सम](#def-g11-func-parity) भाग और एक [विषम](#def-g11-func-parity) भाग में बँट जाता है* ।
8. सिद्ध कीजिए कि यह विभाजन अद्वितीय है: यदि $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ हो, जहाँ $E_i$ [सम](#def-g11-func-parity) और $O_i$ [विषम](#def-g11-func-parity) हैं, तो $E_1 - E_2$ पर प्रश्न 4 का उपयोग कीजिए।
9. $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ का विघटन कीजिए ( $x \neq \pm 1$ के लिए): $E$ और $O$ को उभयनिष्ठ हर $1 - x^2$ पर लाइए और सरल कीजिए।
10. आगे की एक झलक, एक-एक वाक्य में: चरघातांकी [फलन](#def-g11-func-function) के [सम](#def-g11-func-parity) और [विषम](#def-g11-func-parity) भाग कक्षा 12 के जुड़वाँ [फलन](#def-g11-func-function) होंगे (अतिपरवलयिक कोज्या और ज्या); और वही प्रवृत्ति — किसी वस्तु को सममित टुकड़ों में बाँटकर हर टुकड़े को उसकी अपनी सममिति से सँभालना — स्नातक खंडों में ध्वनि और संकेतों के विश्लेषण को चलाती है। सामान्यतः ऐसा विभाजन *उपयोगी* क्यों है?

**भाग III — रूपांतरण का खेल।**

11. $x \mapsto x^2$ के वक्र से शुरू करके $(x - 3)^2$ , $x^2 + 2$ , $(x - 3)^2 + 2$ , $-x^2$ , $2x^2$ के वक्रों का ठीक-ठीक वर्णन कीजिए ( [प्रतिज्ञप्ति 11.9](#prop-g11-func-transforms) )।
12. $f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ को $-2$ और $2$ से कटे तीनों [अंतरालों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर खंडशः सूत्र में बदलिए, और उसके वक्र का वर्णन कीजिए (उसका एक प्रसिद्ध चपटा तल है)।
13. कौन-से रूपांतरण समता का आदर करते हैं? उपपत्ति या प्रतिउदाहरण के साथ तय कीजिए: क्षैतिज खिसकाव $f(x - 3)$ ; ऊर्ध्वाधर खिसकाव $f(x) + 2$ ; ऊर्ध्वाधर खिंचाव $2 f(x)$ (सब किसी [सम](#def-g11-func-parity) $f$ पर लगाए गए)।
14. प्रश्न 12 के खंडशः सूत्र का उपयोग करके $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ हल कीजिए।
15. उलटी अभियांत्रिकी: किसी [परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) का शीर्ष $(2, -3)$ है और वह $(0, 1)$ से होकर जाता है। उसका [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) [मानक रूप](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#thm-g11-quad-canonical) में फिर से बनाइए।

**भाग IV — कलन के बिना [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema)।**

16. $\intoo{0}{+\infty}$ पर $g(x) = x + \dfrac4x$ के लिए दर्पण [अभ्यास 11.11](#exo-g11-func-11) : दिखाइए कि $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ , [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) का स्थान बताइए, और उसका मान दीजिए।
17. अनुप्रयोग: क्षेत्रफल $16$ वाले सभी आयतों में से किसका परिमाप सबसे कम है? ( $P = 2\left(x +  \frac{16}{x}\right)$ लिखिए और प्रश्न 16 की मशीन काम में लाइए।) एक पुराना मित्र निष्कर्ष निकाल देता है।
18. $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ के परिवर्तन पूरे $\R$ पर ज्ञात कीजिए, और इसके लिए $\intco{0}{+\infty}$ पर संयोजन वाले तर्क को शेष के लिए सम-विषमता वाले तर्क के साथ जोड़िए।
19. निकटतम बिंदु: वक्र $y = \sqrt x$ का वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो $(3, 0)$ के सबसे निकट है। (दूरी के *वर्ग* को [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) कीजिए — वह $x$ में द्विघात है — और समझाइए कि वर्ग को [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) करना उचित क्यों है।)
20. समापन, कारख़ाने का चक्कर: आधार वक्र कच्चा माल हैं; रूपांतरण मशीनें; सम-विषमता और विघटन गुणवत्ता-नियंत्रण; और अंतर-गुणनखंडन माप-मेज़। हर एक पर एक वाक्य — और उस बड़े औज़ार का नाम बताइए जो अगला अध्याय सौंपता है।

**हल — समस्या 11.1.**

**1.** $x^4 - 3x^2$: [सम](#def-g11-func-parity) ($(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 -
3x^2$)। $x^3 - x$: [विषम](#def-g11-func-parity)। $x^2 + x$: कोई नहीं ($f(-1) = 0 \neq
f(1) = 2$ और $\neq -f(1)$)। $\abs x$: [सम](#def-g11-func-parity)। $\frac1x$: [विषम](#def-g11-func-parity)।

**2.** [सम](#def-g11-func-parity): वक्र $y$-अक्ष के आरपार सममित है (दर्पण)। [विषम](#def-g11-func-parity): मूल बिंदु के परितः सममित (आधा चक्कर)।

**3.** यदि $f$ और $g$ [विषम](#def-g11-func-parity) हों: $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$: [सम](#def-g11-func-parity)। सारणी: [सम](#def-g11-func-parity) $\times$ [सम](#def-g11-func-parity) $=$ [सम](#def-g11-func-parity); [सम](#def-g11-func-parity) $\times$ [विषम](#def-g11-func-parity) $=$ [विषम](#def-g11-func-parity); [विषम](#def-g11-func-parity) $\times$ [विषम](#def-g11-func-parity) $=$ [सम](#def-g11-func-parity) — सम-विषमता के साथ वही चिह्नों वाला नियम।

**4.** $0$ पर [विषम](#def-g11-func-parity): $f(0) = -f(0)$, इसलिए $f(0) = 0$। [सम](#def-g11-func-parity): $f(-3) = f(3) = 7$। [सम](#def-g11-func-parity) और [विषम](#def-g11-func-parity) दोनों: सभी $x$ के लिए $f(x) = f(-x) = -f(x)$, इसलिए $2f(x) = 0$: $f$ शून्य [फलन](#def-g11-func-function) है।

**5.** दाहिना आधा भाग ($x \geq 0$) किसी [सम फलन](#def-g11-func-parity) को पूरी तरह तय कर देता है: बायाँ आधा उसका दर्पण है। न [सम](#def-g11-func-parity) न [विषम](#def-g11-func-parity): $x^2 + x$ (प्रश्न 1) — $x = 1$ पर उसकी दोनों सममितियाँ टूट जाती हैं।

**6.** $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 +
1)}{2} = x^2 + 1$ ([सम](#def-g11-func-parity)), $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) -
(-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^3$ ([विषम](#def-g11-func-parity)); उनका योग $f$ है।

**7.** $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$: [सम](#def-g11-func-parity)। $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$: [विषम](#def-g11-func-parity)। और सीधे जोड़ने पर $E(x) + O(x) = f(x)$: हर [फलन](#def-g11-func-function) बँट जाता है।

**8.** $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ से: $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$। बायाँ पक्ष [सम](#def-g11-func-parity) है, दाहिना [विषम](#def-g11-func-parity) — इसलिए यह [फलन](#def-g11-func-function) दोनों है, अतः शून्य (प्रश्न 4): $E_1 = E_2$ और $O_1 = O_2$। विभाजन एक ही है।

**9.** $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 +
x}\right) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2}
= \frac{1}{1 - x^2}$, और $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2}
= \frac{x}{1 - x^2}$। जाँच: $E$ [सम](#def-g11-func-parity) है, $O$ [विषम](#def-g11-func-parity) है, और उनका योग $\frac{1 + x}{1 - x^2} =
\frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} = f(x)$ है।

**10.** क्योंकि हर टुकड़ा किसी सममिति का पालन करता है, इसलिए हर एक के लिए आधा काम (और आधे आँकड़े) पर्याप्त हैं: एक ओर हल कीजिए और दूसरी ओर दर्पण लगा दीजिए — और अनेक संक्रियाएँ (समाकलन, श्रेणियाँ, संकेत-विश्लेषण) सममित टुकड़ों को कच्चे [फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) की तुलना में कहीं अधिक सरलता से सँभालती हैं।

**11.** $(x-3)^2$: $3$ दाईं ओर खिसका हुआ। $x^2 + 2$: $2$ ऊपर खिसका हुआ। $(x-3)^2 + 2$: दोनों। $-x^2$: उलटा पलटा हुआ। $2x^2$: ऊर्ध्वाधर दिशा में $2$ गुना खिंचा हुआ (सँकरा कटोरा)।

**12.** $x \geq 2$ के लिए: $(x - 2) + (x + 2) = 2x$। $-2 \leq x \leq 2$ के लिए: $(2 - x) + (x + 2) = 4$। $x \leq -2$ के लिए: $-2x$। वक्र [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $-2$ से उतरता है, $-2$ और $2$ के बीच ऊँचाई $4$ पर सपाट चलता है, फिर [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $2$ से चढ़ता है: सपाट तल वाली एक घाटी।

**13.** ऊर्ध्वाधर खिसकाव: $f(x) + 2$ [सम](#def-g11-func-parity) ही रहता है ($f(-x) + 2 = f(x) + 2$)। ऊर्ध्वाधर खिंचाव: $2f(x)$ [सम](#def-g11-func-parity) ही रहता है। क्षैतिज खिसकाव: $(x - 3)^2$ [सम](#def-g11-func-parity) नहीं है ($f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$): बग़ल में सरकाने से दर्पण टूट जाता है।

**14.** सपाट तल पर मान $4 \neq 6$ है। $x \geq 2$ के लिए: $2x = 6$, $x = 3$। $x \leq -2$ के लिए: $-2x = 6$, $x = -3$। हल: $\pm 3$।

**15.** $f(0) = 4a - 3 = 1$ के साथ $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$: $a = 1$, इसलिए $f(x) = (x - 2)^2 - 3$।

**16.** $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv}
= (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$: $uv < 4$ वाले $u < v$ के लिए ऋणात्मक, और $uv > 4$ के साथ धनात्मक: $\intoc{0}{2}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations), $\intco{2}{+\infty}$ पर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone); [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $x = 2$ पर, जिसका मान $g(2) = 4$ है।

**17.** भुजाएँ $x$ और $\frac{16}{x}$: $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$, जो (प्रश्न 16 की मशीन $4 \to 16$ के साथ, मोड़ का बिंदु $\sqrt{16} = 4$) $x = 4$ पर [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) होता है: $4 \times 4$ वाला *वर्ग*, परिमाप $16$ — डिडो का उत्तर, अब हर वास्तविक भुजा-लंबाई के लिए सिद्ध।

**18.** $\intco{0}{+\infty}$ पर: $x \mapsto x^2 + 1$ बढ़ता है, और $\sqrt{\phantom{x}}$ बढ़ता है, इसलिए संयुक्त [फलन](#def-g11-func-function) भी बढ़ता है। और $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$: $h$ [सम](#def-g11-func-parity) है, इसलिए दर्पण-सममिति से वह $\intoc{-\infty}{0}$ पर घटता है। [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $h(0) = 1$।

**19.** बिंदु $(x, \sqrt x)$ की $(3, 0)$ से वर्ग-दूरी: $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$, जो $x = \frac52$ पर [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) है: निकटतम बिंदु $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$, दूरी $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$। $d^2$ को [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) करना उचित है क्योंकि धनात्मक संख्याओं पर वर्ग लेना निरंतर [वर्धमान](#def-g11-func-monotone) है: $d$ और $d^2$ एक ही जगह तल छूते हैं।

**20.** कच्चा माल: कंठस्थ आधार वक्र। मशीनें: खिसकाव, पलटाव और खिंचाव, जो पुराने [आलेखों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) से नए बना देते हैं। गुणवत्ता-नियंत्रण: सम-विषमता और सम–विषम विभाजन, जो हर अध्ययन आधा कर देते हैं। माप-मेज़: $f(v) - f(u)$ का [गुणनखंडन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand), जो परिवर्तन और [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) सीधे पढ़ लेता है। और अगले अध्याय का बड़ा औज़ार: *अवकलज*, जो उन्हें एक नज़र में पढ़ लेता है।