---
title: "अवकलन: पहला पाठ्यक्रम"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/12-differentiation-a-first-course
---

# अध्याय 12 — अवकलन: पहला पाठ्यक्रम

कोई [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) कितनी तेज़ी से बदलता है? किसी एक बिंदु पर इसका उत्तर *[अवकलज](#def-g11-deriv-derivative)* है, जो पूरे व्यावहारिक गणित की सबसे उपयोगी अकेली संख्या है। यह अध्याय उसे [औसत परिवर्तन दरों](#def-g11-deriv-rate) से खड़ा करता है, [आधार फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-reference) के लिए उसे निकालता है, और उसके चिह्न से किसी [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) के परिवर्तन पढ़ता है। यहाँ की हर बात [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#ch-g12-deriv) में और आगे बढ़ाई तथा गहरी की जाती है।

## 12.1 औसत परिवर्तन दर

**परिभाषा 12.1 (औसत परिवर्तन दर).**

मान लीजिए $f$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ पर परिभाषित है और $I$ में $a \neq b$ हैं। $a$ और $b$ के बीच $f$ की *औसत परिवर्तन दर* है

$$
\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
$$

यह वक्र के बिंदुओं $\bigl(a, f(a)\bigr)$ और $\bigl(b, f(b)\bigr)$ से होकर जाने वाली *छेदक रेखा* की [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) है।

**उदाहरण 12.2.**

एक कार दोपहर 2 बजे से 4 बजे के बीच $140$ km चलती है: उसकी औसत चाल $\frac{140}{2} = 70$ km/h है। पर गति-मापक हर क्षण एक *तात्क्षणिक* चाल दिखाता है — और [अवकलज](#def-g11-deriv-derivative) ठीक इसी धारणा को सुनिश्चित कर देता है।

## 12.2 किसी बिंदु पर अवकलज

**परिभाषा 12.3 (किसी बिंदु पर अवकलज).**

मान लीजिए $f$ ऐसे [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर परिभाषित है जिसमें $a$ है। $h \neq 0$ के लिए $a$ और $a + h$ के बीच [औसत परिवर्तन दर](#def-g11-deriv-rate) बनाइए:

$$
r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

यदि $h$ के $0$ के जितना चाहें उतना पास आने पर $r(h)$ किसी एक नियत संख्या के पास पहुँचता जाए, तो हम कहते हैं कि $f$ *$a$ पर अवकलनीय* है; यह संख्या *$a$ पर $f$ का अवकलज* है, जिसे $f'(a)$ लिखते हैं:

$$
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

**उदाहरण 12.4.**

मान लीजिए $f(x) = x^2$ और $a = 1$ हैं। $h \neq 0$ के लिए:

$$
\frac{f(1+h) - f(1)}{h}
= \frac{(1+h)^2 - 1}{h}
= \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h}
= \frac{h(2 + h)}{h}
= 2 + h .
$$

जैसे-जैसे $h$ $0$ के पास आता है, यह $2$ के पास पहुँचता है: [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $x^2$ $1$ पर [अवकलनीय](#def-g11-deriv-derivative) है और $f'(1) = 2$। रणनीति पर ध्यान दीजिए: *भागफल को तब तक सरल कीजिए जब तक $h$ किसी हर में न रह जाए*, और तभी $h \to 0$ कीजिए।

**उदाहरण 12.5 (एक अनवकलनीय बिंदु).**

मान लीजिए $f(x) = \abs{x}$ और $a = 0$ हैं। तब $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$, जो $h > 0$ के लिए $1$ और $h < 0$ के लिए $-1$ के बराबर है: कोई एक संख्या नहीं आती, और $\abs x$ $0$ पर [अवकलनीय](#def-g11-deriv-derivative) नहीं है। वहाँ उसके वक्र में एक *कोना* है।

## 12.3 स्पर्श रेखा

**परिभाषा 12.6 (स्पर्श रेखा).**

यदि $f$ $a$ पर [अवकलनीय](#def-g11-deriv-derivative) हो, तो बिंदु $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ पर वक्र की *स्पर्श रेखा* वह रेखा है जो $A$ से होकर जाती है और जिसकी [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $f'(a)$ है। उसका [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) है

$$
y = f(a) + f'(a)(x - a).
$$

[स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) $A$ से होकर जाने वाली छेदक रेखाओं की सीमांत स्थिति है: जैसे-जैसे $h \to 0$, दूसरा बिंदु $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ वक्र पर सरककर $A$ की ओर आता है, और छेदक की [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ $f'(a)$ के पास पहुँचती है।

![A और B = (a+h, f(a+h) ) से होकर जाने वाली छेदक रेखा की प्रवणता f(a+h)-f(a)/h है। जैसे-जैसे B सरककर A की ओर आता है, छेदक झुककर स्पर्श रेखा बन जाती है, जिसकी प्रवणता f'(a) है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-ea111e9e6902.svg)

*$A$ और $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ से होकर जाने वाली [छेदक रेखा](#def-g11-deriv-rate) की [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ है। जैसे-जैसे $B$ सरककर $A$ की ओर आता है, छेदक झुककर [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) बन जाती है, जिसकी [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $f'(a)$ है।*

**उदाहरण 12.7.**

$a = 1$ पर $f(x) = x^2$ के लिए: $f(1) = 1$ और $f'(1) = 2$ ([उदाहरण 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint)), इसलिए [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) है

$$
y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .
$$

यही वह रेखा $d_2$ है जो [अभ्यास 10.11](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#exo-g11-quad-11) में शुद्ध बीजगणित से मिली थी।

## 12.4 आधार फलनों के अवकलज

**प्रतिज्ञप्ति 12.8.**

अपने-अपने अवकलनीयता के [प्रांत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) पर:

$$
(c)' = 0, \quad
(x)' = 1, \quad
(x^2)' = 2x, \quad
(x^3)' = 3x^2, \quad
\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad
(\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).
$$

और अधिक सामान्य रूप से, हर [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n \geq 1$ के लिए $(x^n)' = n\,x^{n-1}$।

**उपपत्ति.** हर उपपत्ति [उदाहरण 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint) की रणनीति का अनुसरण करती है: दर को सरल कीजिए, फिर $h \to 0$ कीजिए। [प्रांत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) में $a$ स्थिर रखिए।

*अचर और तत्समक।* सभी $h$ के लिए $\frac{c - c}{h} = 0$ और $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$: सीमाएँ $0$ और $1$ हैं।

*वर्ग।* $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h
\to 2a$।

*घन।* $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$, इसलिए दर $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$ है।

*व्युत्क्रम।* $a \neq 0$ के लिए और इतने छोटे $h$ के लिए कि $a + h \neq 0$ हो:

$$
\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right)
= \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)}
= \frac{-1}{a(a+h)}
\xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.
$$

*वर्गमूल।* $a > 0$ के लिए संयुग्मी से गुणा कीजिए:

$$
\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h}
= \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)}
= \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a}
\xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.
$$

*सामान्य घात।* ढर्रा $2a$, $3a^2$ आगे भी चलता है: $(a+h)^n$ का प्रसार करने पर $a^n + n\,a^{n-1}h$ के बाद के सभी पद $h^2$ उठाए रहते हैं, इसलिए दर $n\,a^{n-1}$ की ओर जाती है। (पूरा आगमन [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#ch-g12-deriv) में दिया गया है।) ∎

## 12.5 अवकलन के नियम

**प्रमेय 12.9 (संक्रियाएँ).**

मान लीजिए $u$ और $v$ $I$ पर [अवकलनीय](#def-g11-deriv-derivative) हैं और $\lambda \in \R$ है। तब $u + v$, $\lambda u$, $uv$ $I$ पर [अवकलनीय](#def-g11-deriv-derivative) हैं, और जहाँ-जहाँ $v \neq 0$ है वहाँ $\frac{u}{v}$ भी, तथा

$$
(u+v)' = u' + v', \qquad
(\lambda u)' = \lambda u', \qquad
(uv)' = u'v + uv', \qquad
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
$$

**पहले तीन नियमों की उपपत्ति.** $a \in I$ स्थिर रखिए और संक्षेप में $\Delta u = u(a+h) - u(a)$, $\Delta v = v(a+h) - v(a)$ लिखिए।

*योग।* $u + v$ की दर $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h}
\to u'(a) + v'(a)$ है।

*गुणज।* $\lambda u$ की दर $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$ है।

*गुणनफल।* मिश्रित पद $u(a+h)\,v(a)$ जोड़िए और घटाइए:

$$
\begin{align*}
\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
&= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\
&= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}.
\end{align*}
$$

जैसे-जैसे $h \to 0$: $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$, $\frac{\Delta u}{h} \to
u'(a)$, और $u(a+h) \to u(a)$ (उसकी दर की सीमा है, इसलिए $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$)। अतः दर $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$ की ओर जाती है।

भागफल का नियम इन पंक्तियों पर सिद्ध होता है; उसे *इस स्तर पर स्वीकार कर लिया जाता है* और [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#ch-g12-deriv) में सिद्ध किया जाता है। ∎

**उदाहरण 12.10.**

*बहुपद।* $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$:

$$
f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .
$$

*भागफल।* $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$: $u = 2x + 1$, $v = x^2
+ 1$ के साथ

$$
g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.
$$

*गुणनफल।* $x > 0$ के लिए $k(x) = x\sqrt x$: $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x}
= \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$।

## 12.6 अवकलज का चिह्न और परिवर्तन

**प्रमेय 12.11 (अवकलज और परिवर्तन).**

मान लीजिए $f$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ पर [अवकलनीय](#def-g11-deriv-derivative) है।

1. यदि $I$ पर $f' \geq 0$ हो, तो $f$ $I$ पर [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) है।
2. यदि $I$ पर $f' \leq 0$ हो, तो $f$ $I$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है।
3. यदि $I$ पर $f' > 0$ हो (सिवाय अधिक से अधिक सीमित बिंदुओं के जहाँ वह लुप्त होता है), तो $f$ $I$ पर निरंतर [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) है।

**उपपत्ति.** अंतर्ज्ञान स्पष्ट है — जिस वक्र की सभी [स्पर्श रेखाएँ](#def-g11-deriv-tangent) ऊपर की ओर इशारा करती हों उसे चढ़ना ही होगा — पर कठोर उपपत्ति के लिए माध्यमान प्रमेय चाहिए। यह परिणाम *इस स्तर पर स्वीकार कर लिया जाता है*; [प्रमेय 22.7](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#thm-g12-deriv-variations) देखिए। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 12.12 (चरम मान).**

यदि $f'$ $a$ पर $+$ से $-$ में चिह्न बदले, तो $f$ का $a$ पर एक स्थानीय [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) है; और $-$ से $+$ में बदले तो स्थानीय [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema)। ऐसे बिंदु पर $f'(a) = 0$ होता है और [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) क्षैतिज होती है।

**उपपत्ति.** यदि $a$ पर समाप्त होने वाले किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर $f' \geq 0$ हो और $a$ से आरंभ होने वाले किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर $f' \leq 0$ हो, तो $f$ $f(a)$ तक बढ़ता है और उसके बाद घटता है ([प्रमेय 12.11](#thm-g11-deriv-variations)): आसपास $f(a)$ सबसे बड़ा है। चूँकि $f'$ $a$ पर चिह्न बदलता है और वहाँ परिभाषित है, इसलिए $f'(a) = 0$। ∎

**विधि 12.13 (किसी फलन का अध्ययन).**

1. $f'(x)$ निकालिए और उसे सरल कीजिए — सबसे अच्छा हो कि गुणनखंडित रूप में;
2. हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर $f'(x)$ का चिह्न तय कीजिए (द्विघात $f'$ के लिए [प्रमेय 10.11](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#thm-g11-quad-sign) का उपयोग कीजिए);
3. परिणामों को *[परिवर्तन-सारणी](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-table)* में दर्ज कीजिए: $f'$ के चिह्न की एक पंक्ति, $f$ के तीरों की एक पंक्ति, और मोड़ के बिंदुओं पर $f$ के मान;
4. निष्कर्ष निकालिए: चरम मान, $f(x) = k$ के हलों की संख्या, असमिकाएँ।

**उदाहरण 12.14.**

$\R$ पर $f(x) = x^3 - 3x + 1$ का अध्ययन कीजिए। पहले $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$: यह एक द्विघात है जिसके [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) $-1$ और $1$ हैं, और जो उनके बाहर धनात्मक है। इसलिए $f$ $\intoc{-\infty}{-1}$ पर [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone), $\intcc{-1}{1}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) और $\intco{1}{+\infty}$ पर [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) है, तथा उसका स्थानीय [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ और स्थानीय [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ है।

![f(x) = x3 - 3x + 1 का वक्र (): स्थानीय अधिकतम (-1, 3) और स्थानीय न्यूनतम (1, -1) पर क्षैतिज स्पर्श रेखाएँ (नारंगी), जहाँ f' चिह्न बदलता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-7cf7eb7be937.svg)

*$f(x) = x^3 - 3x + 1$ का वक्र ([उदाहरण 12.14](#ex-g11-deriv-study)): स्थानीय [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $(-1, 3)$ और स्थानीय [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $(1, -1)$ पर क्षैतिज [स्पर्श रेखाएँ](#def-g11-deriv-tangent) (नारंगी), जहाँ $f'$ चिह्न बदलता है।*

**उदाहरण 12.15 (इष्टतमीकरण).**

$12 \times 12$ cm की एक चादर के हर कोने से भुजा $x$ का वर्ग काटकर और मोड़कर खुला डिब्बा बनाया जाता है। $0 < x < 6$ के लिए उसका आयतन $V(x) = x(12 - 2x)^2$ है। प्रसार करने पर $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$, इसलिए

$$
V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).
$$

$\intoo{0}{6}$ पर गुणनखंड $x - 6$ ऋणात्मक है, इसलिए $V'(x)$ का चिह्न $-(x-2)$ जैसा है: $2$ से पहले धनात्मक, बाद में ऋणात्मक। आयतन $x = 2$ cm पर [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) होता है, और वह $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm$^3$ है।

## 12.7 अभ्यास

**अभ्यास 12.1 ★.**

परिभाषा का उपयोग करके (परिवर्तन दर, फिर $h \to 0$) $f(x) = x^2$ के लिए $f'(2)$ निकालिए, फिर $g(x) = x^2 + 3x$ के लिए $g'(1)$।

**हल — अभ्यास 12.1.**

$a = 2$ पर $f(x) = x^2$ के लिए:

$$
\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 4,
$$

इसलिए $f'(2) = 4$। $a = 1$ पर $g(x) = x^2 + 3x$ के लिए: $g(1) = 4$ और

$$
\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 5,
$$

इसलिए $g'(1) = 5$।

**अभ्यास 12.2 ★.**

अवकलन कीजिए:

$$
f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad
g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad
h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .
$$

**हल — अभ्यास 12.2.**

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$।

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ ($\intoo{0}{+\infty}$ पर)।

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x
= 6x^2 + 2x - 6$ (गुणनफल का नियम)।

**अभ्यास 12.3 ★.**

[भुज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $a$ वाले बिंदु पर $f$ के वक्र की [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) का [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) बताइए:

$$
f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad
f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad
f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .
$$

**हल — अभ्यास 12.3.**

$f(x) = x^2 - 3x$, $a = 2$: $f(2) = -2$, $f'(x) = 2x - 3$, इसलिए $f'(2) = 1$; [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) $y = -2 + (x - 2) = x - 4$।

$f(x) = \frac1x$, $a = 1$: $f(1) = 1$, $f'(1) = -1$; [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$।

$f(x) = \sqrt x$, $a = 4$: $f(4) = 2$, $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} =
\frac14$; [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$।

**अभ्यास 12.4 ★.**

भागफलों का अवकलन कीजिए:

$$
f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad
g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad
h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .
$$

**हल — अभ्यास 12.4.**

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$।

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{2x}{(x^2+1)^2}$।

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ ($u = 1$ के साथ भागफल का नियम)।

**अभ्यास 12.5 ★★.**

$\R$ पर $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ के परिवर्तन का अध्ययन कीजिए ([परिवर्तन-सारणी](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-table), स्थानीय चरम मान)।

**हल — अभ्यास 12.5.**

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$: $\intcc{1}{3}$ के बाहर धनात्मक, भीतर ऋणात्मक। इसलिए $f$ $\intoc{-\infty}{1}$ पर [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone), $\intcc{1}{3}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) और $\intco{3}{+\infty}$ पर [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) है, जिसमें स्थानीय [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ और स्थानीय [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$ है।

**अभ्यास 12.6 ★★.**

$\intoo{-1}{+\infty}$ पर $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ के परिवर्तन का अध्ययन कीजिए।

**हल — अभ्यास 12.6.**

$\intoo{-1}{+\infty}$ पर:

$$
f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2}
= \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}
= \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.
$$

$x > -1$ के लिए $x + 3$ और $(x+1)^2$ दोनों धनात्मक हैं, इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $x - 1$ जैसा है: $f$ $\intoc{-1}{1}$ पर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) और $\intco{1}{+\infty}$ पर [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) है, और उसका [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \frac{4}{2} = 2$ है।

**अभ्यास 12.7 ★★.**

मान लीजिए $f(x) = x^2 - 4x + 5$ है।

1. वक्र का वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) क्षैतिज है।
2. वे बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) रेखा $y = 2x + 1$ के समांतर है।

**हल — अभ्यास 12.7.**

$f'(x) = 2x - 4$।

*1.* क्षैतिज [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent): $x = 2$ पर $f'(x) = 0$; बिंदु $(2, f(2)) = (2, 1)$ है ([परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) का शीर्ष)।

*2.* $y = 2x + 1$ के समांतर होने का अर्थ है [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $2$: $2x - 4 = 2$, इसलिए $x = 3$, जिससे बिंदु $(3, f(3)) = (3, 2)$ मिलता है।

**अभ्यास 12.8 ★★.**

एक दीवार के सहारे $60$ m बाड़ से (तीन भुजाएँ) आयताकार बाड़ा बनाया जाता है। क्षेत्रफल को चौड़ाई $x$ के [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) के रूप में व्यक्त कीजिए, और [अवकलज](#def-g11-deriv-derivative) से [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) क्षेत्रफल वाली विमाएँ ज्ञात कीजिए। ([अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#ch-g11-quad) की शीर्ष वाली विधि से तुलना कीजिए।)

**हल — अभ्यास 12.8.**

चौड़ाई $x$ (बाड़ वाली दो भुजाएँ) और लंबाई $60 - 2x$ के साथ: $\intoo{0}{30}$ पर $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$। तब $A'(x) = 60 - 4x$, जो $x = 15$ से पहले धनात्मक और बाद में ऋणात्मक है: क्षेत्रफल $x = 15$ पर [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) होता है, और $15 \times 30$ m का बाड़ा $450$ m$^2$ क्षेत्रफल देता है। [अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#ch-g11-quad) का शीर्ष-सूत्र $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ वही उत्तर कलन के बिना दे देता है।

**अभ्यास 12.9 ★★.**

$\intoo{0}{+\infty}$ पर [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ का अध्ययन करके दिखाइए कि सभी $x > 0$ के लिए $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$ है।

**हल — अभ्यास 12.9.**

मान लीजिए $\intoo{0}{+\infty}$ पर $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ है। तब

$$
f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},
$$

जिसका चिह्न $\sqrt x - 1$ जैसा है: $\intoo{0}{1}$ पर ऋणात्मक, $\intoo{1}{+\infty}$ पर धनात्मक। इसलिए $f$ पहले घटता है फिर बढ़ता है, और उसका [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 1 - 1 = 0$ है। अतः सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \geq 0$, अर्थात् $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$, और समता केवल $x = 1$ पर।

**अभ्यास 12.10 ★★.**

एक बेलनाकार डिब्बे में $500$ cm$^3$ समाना चाहिए। उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (दो वृत्त और पार्श्व) $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ है, जहाँ $\pi r^2 h = 500$ है। $S$ को केवल $r$ के [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) के रूप में व्यक्त कीजिए और दिखाइए कि $S'(r) = 4\pi r -
\frac{1000}{r^2}$। इससे वह त्रिज्या निकालिए जो पृष्ठीय क्षेत्रफल को [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) करती है, यथार्थ व्यंजक के रूप में।

**हल — अभ्यास 12.10.**

$\pi r^2 h = 500$ से $h = \frac{500}{\pi r^2}$, इसलिए

$$
S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2}
= 2\pi r^2 + \frac{1000}{r},
\qquad
S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.
$$

$4\pi r^3 = 1000$ होने पर $S'(r) = 0$, अर्थात् $r^3 = \frac{250}{\pi}$, इसलिए $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ($\approx 4.3$ cm)। चूँकि $S'(r) =
\frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ इस मान से पहले ऋणात्मक और बाद में धनात्मक है, यह [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) है।

**अभ्यास 12.11 ★★★.**

बाहरी बिंदु $P(1, -3)$ से होकर [परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ की कितनी [स्पर्श रेखाएँ](#def-g11-deriv-tangent) जाती हैं? उनके [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ज्ञात कीजिए। ($a$ को स्पर्श बिंदु का [भुज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) मानिए और यह व्यक्त कीजिए कि $a$ पर की [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) $P$ से होकर जाती है।)

**हल — अभ्यास 12.11.**

[भुज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $a$ वाले बिंदु पर $y = x^2$ की [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ है। वह $P(1, -3)$ से तब होकर जाती है जब $-3 = 2a - a^2$ हो, अर्थात् $a^2 - 2a - 3 = 0$, जिसके [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) $a = 3$ और $a = -1$ हैं ($\Delta = 16$)। इसलिए $P$ से होकर *दो* [स्पर्श रेखाएँ](#def-g11-deriv-tangent) जाती हैं:

$$
y = 6x - 9 \quad (a = 3),
\qquad
y = -2x - 1 \quad (a = -1).
$$

**अभ्यास 12.12 ★★★.**

मान लीजिए $f(x) = x^3 - 3x + 1$ है ([उदाहरण 12.14](#ex-g11-deriv-study) देखिए)। [परिवर्तन-सारणी](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-table) का उपयोग करके [वास्तविक संख्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $k$ के मान के अनुसार [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

**हल — अभ्यास 12.12.**

[उदाहरण 12.14](#ex-g11-deriv-study) से $f$ स्थानीय [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(-1) = 3$ तक बढ़ता है, फिर स्थानीय [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(1) = -1$ तक घटता है, और फिर बढ़ता है; और बहुत बड़े धनात्मक (क्रमशः ऋणात्मक) $x$ के लिए $x^3$ हावी हो जाता है और $f$ मनमाने बड़े (क्रमशः छोटे) मान लेता है। [परिवर्तन-सारणी](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-table) पर क्षैतिज रेखाएँ $y = k$ आरपार पढ़ने पर:

- $k > 3$ या $k < -1$ : रेखा वक्र से एक बार मिलती है — $1$ हल;
- $k = 3$ या $k = -1$ : रेखा किसी मोड़-बिंदु को छूती है और एक दूसरी शाखा को पार करती है — $2$ हल;
- $-1 < k < 3$ : रेखा तीनों शाखाओं को पार करती है — $3$ हल।

## 12.8 समस्या: स्पर्श रेखा की तीन नौकरियाँ

**समस्या 12.1.**

सप्ताहांत समस्या — परवलयिक दर्पण की उपपत्ति, न्यूटन की मूल-खोजी मशीन, और लट्ठे में छिपा सबसे मज़बूत शहतीर

[अवकलज](#def-g11-deriv-derivative) [स्पर्श रेखाएँ](#def-g11-deriv-tangent) खींचता है; सुनने में यह मामूली प्रतिभा लगती है। यह समस्या दिखाती है कि [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) एक साथ तीन नौकरियाँ करती है: वह [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) में लटकी छोड़ दी गई हेडलाइट वाली प्रमेय सिद्ध करती है ([परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) के अक्ष के समांतर आने वाली हर किरण [नाभि](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) से होकर परावर्तित होती है), वह आम उपयोग के सबसे तेज़ समीकरण-हल कलनविधि को चलाती है — जो हर कैलकुलेटर और हर तंत्रिका जाल के भीतर है — और वह ज्ञात करती है कि किसी गोल लट्ठे से सबसे मज़बूत आयताकार शहतीर कौन-सा निकल सकता है।

**भाग I — [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) में प्रवाह।**

1. $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ और $g(x) = x^3 - 12x$ का अवकलन कीजिए ( [प्रमेय 12.9](#thm-g11-deriv-rules) ); और $x = 1$ पर $\left(x^2  \right)'$ को परिभाषा से (परिवर्तन दर, फिर $h \to 0$ ) फिर से निकालिए।
2. $a = 2$ पर $y = x^3 - 12x$ की [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) ज्ञात कीजिए। उसमें ख़ास क्या है, और वह किस बात का संकेत है ( [प्रतिज्ञप्ति 12.12](#prop-g11-deriv-extrema) )?
3. बिंदु $(a, a^2)$ पर [परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ की सामान्य [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) स्थापित कीजिए: $$y = 2ax - a^2 .$$
4. वह [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) $y$ -अक्ष को कहाँ काटती है? इससे रेखाचित्रकार का नुस्ख़ा निकालिए: [परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) पर ऊँचाई $h$ वाले बिंदु $P$ पर [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) खींचने के लिए $P$ को मूल बिंदु से इतनी गहराई … वाले अक्ष-बिंदु से जोड़िए। उसे लिखिए।
5. $g(x) = x^3 - 12x$ की पूरी [परिवर्तन-सारणी](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-table) बनाइए ( $g'$ का चिह्न, स्थानीय चरम मान और उनके मान, [विधि 12.13](#met-g11-deriv-study) )।

**भाग II — दर्पण प्रमेय।** मान लीजिए $P(a, a^2)$ [परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ का एक बिंदु है ($a \neq 0$ लीजिए), $F\left(0, \frac14\right)$ [नाभि](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) है, और $T$ वह बिंदु है जहाँ $P$ पर की [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) $y$-अक्ष को काटती है (प्रश्न 4)। [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) से याद कीजिए कि $PF = a^2 + \frac14$।

6. दूरी $FT$ निकालिए।
7. निष्कर्ष निकालिए कि त्रिभुज $FPT$ $F$ पर समद्विबाहु है। अतः कौन-से दो कोण बराबर हैं?
8. $P$ से होकर अक्ष के समांतर आने वाली किरण रेखा $(TF)$ के समांतर है (दोनों ऊर्ध्वाधर)। एकांतर कोणों का उपयोग करके दिखाइए कि $P$ पर की [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) आती हुई ऊर्ध्वाधर किरण और रेखाखंड $[PF]$ के साथ *बराबर कोण* बनाती है।
9. भौतिकी: प्रकाश किसी वक्र से वैसे ही परावर्तित होता है जैसे उसकी [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) से, और उसी कोण पर लौटता है जिस पर आया था (परावर्तन का नियम)। *दर्पण प्रमेय* का निष्कर्ष निकालिए: अक्ष के समांतर आने वाली हर किरण [नाभि](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) से होकर परावर्तित होती है — और समय उलट दें तो [नाभि](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) पर रखा बल्ब समांतर प्रकाश फेंकता है। [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) की तश्तरी और हेडलाइट अब प्रमेय हैं।
10. $a = 1$ पर समद्विबाहु त्रिभुज की संख्यात्मक जाँच कीजिए: $T$ , $FP$ और $FT$ निकालिए।

**भाग III — न्यूटन की मशीन।** $f(x) = 0$ हल करने के लिए न्यूटन ने यह सुझाया: किसी अनुमान $x_0$ से शुरू कीजिए, $x_0$ पर की [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) के साथ नीचे अक्ष तक जाइए, और उसका $x$-अंतःखंड अगला अनुमान मान लीजिए।

11. विधि का सूत्र निकालिए: $$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$$
12. इसे $x_0 = 1$ से $f(x) = x^2 - 2$ पर चलाइए: $x_1$, $x_2$, $x_3$ को यथार्थ भिन्नों के रूप में निकालिए। आपने अभी दो हज़ार साल पुराना कौन-सा अनुक्रम — और [समस्या 3.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) की कौन-सी मशीन — फिर से खड़ा कर दिया है? इस संयोग के पीछे की सर्वसमिका सिद्ध कीजिए: $$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x +  \frac2x\right).$$
13. $x^3 = 100$ हल कीजिए ( [समस्या 4.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#pb-g10-reffunc-1) का बचत-योजनाओं वाला पार-बिंदु): $x_0 = 5$ से $f(x) = x^3 - 100$ पर न्यूटन के दो क़दम लगाइए (चार दशमलव स्थान), और कैलकुलेटर के $\sqrt[3]{100}$ से तुलना कीजिए।
14. तोड़फोड़: विधि को $x_0 = 2$ पर $f(x) = x^3 - 12x$ से चलाने का प्रयास कीजिए। क्या गड़बड़ होती है, और क्यों (प्रश्न 2)? व्यावहारिक चेतावनी बताइए।
15. प्रश्न 12 में सही दशमलव स्थान मोटे तौर पर $1 \to 3 \to 6$ की तरह बढ़े। इसकी तुलना द्विभाजन से कीजिए (हर क़दम पर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) आधा करना) और एक वाक्य में बताइए कि कैलकुलेटर, GPS अभिग्राही और तंत्रिका जालों का प्रशिक्षण सभी न्यूटन के विचार पर क्यों चलते हैं।

**भाग IV — सबसे मज़बूत शहतीर।** चौड़ाई $w$ और गहराई $d$ वाला एक आयताकार शहतीर व्यास $30$ cm के गोल लट्ठे से चीरा जाता है, इसलिए $w^2 + d^2 = 900$। शहतीर की दृढ़ता $w d^2$ के समानुपाती है (गहराई दो बार गिनी जाती है: कड़ियाँ किनारे पर खड़ी रखी जाती हैं!)।

16. दृढ़ता को केवल $w$ के [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) के रूप में व्यक्त कीजिए: $S(w) = 900w - w^3$ , और किस [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर?
17. अवकलन कीजिए, [परिवर्तन-सारणी](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-table) बनाइए, और इष्टतम $w$ तथा $d$ ज्ञात कीजिए (यथार्थ मान, फिर मिलीमीटर तक)।
18. दिखाइए कि इष्टतम अनुपात $d = w\sqrt2$ को संतुष्ट करते हैं — वही पुराना बढ़इयों का अनुपात। (अतिरिक्त जानकारी: लट्ठे के व्यास को तीन बराबर भागों में बाँटकर वृत्त तक लंब खड़े करने से ठीक यही आयत बन जाता है।)
19. भोला चुनाव *वर्गाकार* शहतीर है ( $w = d$ )। उसकी और इष्टतम शहतीर की दृढ़ता निकालिए, और बढ़ई का लाभ प्रतिशत में बताइए।
20. समापन — [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) की तीन नौकरियाँ, एक-एक वाक्य में: ज्यामिति (दर्पण प्रमेय), संख्यात्मक गणना (न्यूटन की मशीन), इष्टतमीकरण (शहतीर) — और तीनों को एक ही वस्तु चलाती है। और आगे का संकेत: कक्षा 12 उत्तलता जोड़ती है — वक्र के सापेक्ष [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) किस ओर है — और तीनों को और पैना कर देती है।

**हल — समस्या 12.1.**

**1.** $f'(x) = 6x - 5$; $g'(x) = 3x^2 - 12$। परिभाषा से: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$: $1$ पर $x^2$ का [अवकलज](#def-g11-deriv-derivative) $2$ है।

**2.** $g(2) = 8 - 24 = -16$ और $g'(2) = 12 - 12 = 0$: [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) क्षैतिज रेखा $y = -16$ है। क्षैतिज [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) किसी क्रांतिक बिंदु का संकेत है — यहाँ एक स्थानीय [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema), जैसा प्रश्न 5 की [परिवर्तन-सारणी](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-table) पुष्ट करती है।

**3.** $(a, a^2)$ पर [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $2a$: $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$।

**4.** $x = 0$ पर: $y = -a^2$: [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) अक्ष को मूल बिंदु से $a^2$ गहराई पर काटती है — ठीक उतना ही *नीचे* जितना $P$ ऊपर बैठा है। नुस्ख़ा: ऊँचाई $h$ वाले बिंदु पर [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) खींचने के लिए उसे मूल बिंदु से $h$ गहराई वाले अक्ष-बिंदु से जोड़ दीजिए। (रेखाचित्र-पटल पर किसी [अवकलज](#def-g11-deriv-derivative) की आवश्यकता नहीं।)

**5.** $g'(x) = 3(x^2 - 4)$: $\intoo{-\infty}{-2}$ पर धनात्मक, $\intoo{-2}{2}$ पर ऋणात्मक, और उसके आगे धनात्मक। $g$ बढ़कर स्थानीय [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $g(-2) = 16$ तक जाता है, गिरकर स्थानीय [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $g(2) = -16$ तक, फिर बढ़ता है।

**6.** $F\left(0, \frac14\right)$ और $T(0, -a^2)$: $FT = \frac14 + a^2$।

**7.** $FP = a^2 + \frac14 = FT$: $F$ पर समद्विबाहु, इसलिए आधार के दोनों कोण बराबर हैं: $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$।

**8.** $P$ पर आती हुई किरण ऊर्ध्वाधर है, अतः रेखा $(TF)$ ($y$-अक्ष) के समांतर। [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) $(TP)$ दोनों समांतर रेखाओं को काटती है, इसलिए किरण और [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) के बीच का कोण $\widehat{FTP}$ के बराबर है (एकांतर कोण) — और वह $\widehat{FPT}$ के बराबर है, जो $[PF]$ और [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) के बीच का कोण है। $P$ पर [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) के दोनों ओर बराबर कोण।

**9.** परावर्तन के नियम से $P$ पर ऊर्ध्वाधर आती किरण दूसरी ओर उसी बराबर कोण वाली रेखा के अनुदिश लौटती है — और प्रश्न 8 से वह $[PF]$ के अनुदिश है: [नाभि](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) से होकर, चाहे $a$ कुछ भी हो। उलटी दिशा में, $F$ पर जन्मा प्रकाश दर्पण के हर बिंदु से अक्ष के समांतर निकलता है। तश्तरियाँ बटोरती हैं, हेडलाइट पुंज फेंकती हैं: सिद्ध।

**10.** $a = 1$: [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2x - 1$, $T(0, -1)$; $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} =
\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac54$; $FT = \frac14 + 1 = \frac54$: समद्विबाहु, जैसा वादा था।

**11.** $x_n$ पर [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ है; वह $y = 0$ को वहाँ काटती है जहाँ $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$।

**12.** $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$; $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$; $x_3 = \frac{577}{408}$: $\sqrt2$ के हीरोन-सन्निकटन, अर्थात् [समस्या 3.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) की स्थिर-बिंदु वाली मशीन। सर्वसमिका: $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x}
= \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$ — हीरोन का नुस्ख़ा वस्तुतः $x^2 - 2$ पर लगाई गई न्यूटन की विधि *ही* है, दो सहस्राब्दी पहले।

**13.** $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3}
\approx 4.6667$; $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33}
\approx 4.6417$। कैलकुलेटर: $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ — दो क़दमों में चार सही दशमलव स्थान।

**14.** $f'(2) = 0$: आरंभिक बिंदु पर [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) क्षैतिज है (प्रश्न 2) और वह अक्ष को कभी नहीं काटती — सूत्र शून्य से भाग दे देता है। चेतावनी: न्यूटन को क्रांतिक बिंदुओं से दूर (और, अधिक सामान्य रूप से, अभीष्ट [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) के पर्याप्त पास) से शुरू कीजिए।

**15.** द्विभाजन हर क़दम पर एक द्विआधारी अंक जोड़ता है; न्यूटन हर क़दम पर सही अंकों की संख्या मोटे तौर पर *दुगुनी* कर देता है (यहाँ $1 \to 3 \to 6$)। जब हर क़दम महँगा हो — लाखों प्राचल, वास्तविक-समय नौवहन — तब दुगुना करना घिसटने से बेहतर है, और इसीलिए इतने सारे सिलिकॉन के भीतर [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) दौड़ रही है।

**16.** $d^2 = 900 - w^2$, इसलिए $0 < w < 30$ के लिए $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$।

**17.** $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3 \approx 17.3$ cm पर $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ ($S' > 0$ पहले, $< 0$ बाद में: एक [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema))। फिर $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ cm।

**18.** $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$, इसलिए $d = w\sqrt2$: गहराई चौड़ाई का $\sqrt2$ गुना है — वही बढ़इयों का अनुपात (और व्यास को तीन भागों में बाँटने वाली रचना उसे परकार से ही दे देती है, मौक़े पर कोई बीजगणित नहीं)।

**19.** वर्गाकार शहतीर: $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ cm, दृढ़ता $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$। इष्टतम शहतीर: $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$। लाभ: उसी लट्ठे से लगभग $8.9\,\%$ अधिक दृढ़ता — [अवकलज](#def-g11-deriv-derivative) आरा-मिल का ख़र्च निकाल देता है।

**20.** ज्यामिति: [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) के बराबर कोणों ने एक परवलयज को प्रकाश-संग्राहक बना दिया। संख्यात्मक गणना: स्पर्श रेखाओं पर फिसलते जाना [समीकरणों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) को अंक-दुगुने करने की गति से हल कर देता है। इष्टतमीकरण: लुप्त होते [अवकलज](#def-g11-deriv-derivative) ने लट्ठे का सबसे मज़बूत आयत ढूँढ़ निकाला। एक ही वस्तु, तीन पेशे — और कक्षा 12 की उत्तलता इसके ऊपर यह भी बता देगी कि हर [स्पर्श रेखा](#def-g11-deriv-tangent) के किस ओर वक्र पड़ा है।