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title: "समतल में सदिश और रेखाएँ"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 15
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane
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# अध्याय 15 — समतल में सदिश और रेखाएँ

[सदिश](#def-g11-vect-vector) विस्थापन समेटते हैं; रेखाएँ उनके पथ हैं। इस अध्याय का प्रमुख नया औज़ार *[सारणिक](#def-g11-vect-det)* है, एक अकेली संख्या जो तय कर देती है कि दो [सदिश](#def-g11-vect-vector) [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) हैं या नहीं — और वहीं से रेखाओं के [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) बनाती है तथा संरेखण और समांतरता के प्रश्न शुद्ध गणना से सुलझा देती है। वही विचार [अध्याय 31](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/31-vectors-lines-and-planes-in-space#ch-g12-space) में अंतरिक्ष तक बढ़ते हैं।

## 15.1 सदिश: एक पुनरावलोकन

**परिभाषा 15.1 (सदिश, निर्देशांक).**

*सदिश* $\vec u$ किसी विस्थापन को दर्शाता है: एक ही दिशा, ढंग और लंबाई वाले सभी तीर एक ही सदिश दर्शाते हैं। किसी [निर्देशांक-पद्धति](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) में $\vec u\,(x, y)$ विस्थापन दर्ज करता है (क्षैतिज दिशा में $x$, ऊर्ध्वाधर दिशा में $y$); और बिंदुओं $A(x_A, y_A)$ तथा $B(x_B, y_B)$ के लिए

$$
\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).
$$

सदिश निर्देशांक-दर-निर्देशांक जुड़ते हैं, और $\lambda\vec u$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $(\lambda x, \lambda y)$ हैं।

**प्रतिज्ञप्ति 15.2 (मध्यबिंदु).**

रेखाखंड $[AB]$ के [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $M$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ हैं।

**उपपत्ति.** $M$ का अभिलक्षण $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$ है: निर्देशांक-दर-निर्देशांक $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$, इसलिए $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, और $y_M$ के लिए भी वैसे ही। ∎

## 15.2 संरेखता और सारणिक

**परिभाषा 15.3 (संरेखी सदिश).**

दो [सदिश](#def-g11-vect-vector) *संरेखी* हैं यदि उनमें से एक दूसरे का अदिश गुणज हो: किसी $\lambda \in \R$ के लिए $\vec v = \lambda \vec u$ (या $\vec u = \vec 0$)। ज्यामितीय रूप से: उनकी दिशा एक ही है, या उनमें से एक शून्य है।

**परिभाषा 15.4 (सारणिक).**

$\vec u\,(x, y)$ और $\vec v\,(x', y')$ का *सारणिक* है

$$
\det(\vec u, \vec v) =
\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}
= x y' - x' y .
$$

**प्रमेय 15.5 (संरेखता की कसौटी).**

दो [सदिश](#def-g11-vect-vector) $\vec u$ और $\vec v$ [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) हैं यदि और केवल यदि $\det(\vec u, \vec v) = 0$ हो।

**उपपत्ति.** ($\Rightarrow$) यदि $\vec v = \lambda\vec u$ हो, तो $x' = \lambda x$ और $y' = \lambda y$, इसलिए $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y = 0$; और यदि $\vec u = \vec 0$ हो, तो [सारणिक](#def-g11-vect-det) स्पष्टतः $0$ है।

($\Leftarrow$) मान लीजिए $xy' - x'y = 0$ और $\vec u \neq \vec 0$ है, मान लीजिए $x \neq 0$ (स्थिति $y \neq 0$ सममित है)। $\lambda = \frac{x'}{x}$ रखिए। तब रचना से $x' = \lambda x$, और संबंध $xy' = x'y = \lambda x y$ से, $x \neq 0$ से भाग देने पर, $y' = \lambda y$ मिलता है। अतः $\vec v = \lambda \vec u$। ∎

**उदाहरण 15.6.**

$\vec u\,(3, -2)$ और $\vec v\,(-6, 4)$: $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$, [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) (सचमुच $\vec v = -2\vec u$)। $\vec u\,(3, -2)$ और $\vec w\,(2, 1)$: $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$, [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) नहीं।

**विधि 15.7 (तीन बिंदुओं का संरेखण).**

$A$, $B$, $C$ संरेख हैं यदि और केवल यदि $\vect{AB}$ और $\vect{AC}$ [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) हों: दोनों [सदिश](#def-g11-vect-vector) निकालिए और $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$ जाँचिए।

## 15.3 रेखाओं के कार्तीय समीकरण

**परिभाषा 15.8 (दिक् सदिश).**

रेखा $d$ का *दिक् सदिश* कोई भी शून्येतर [सदिश](#def-g11-vect-vector) $\vec u$ है जिसके लिए $d$ के सभी बिंदुओं $A, B$ हेतु $\vect{AB}$ $\vec u$ के [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) हो।

**प्रमेय 15.9 (कार्तीय समीकरण).**

[दिक् सदिश](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$ वाली रेखा का एक [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) इस रूप का होता है

$$
ax + by + c = 0
\qquad (a, b) \neq (0, 0).
$$

इसके उलट, ऐसा हर [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) [दिक् सदिश](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$ वाली एक रेखा बताता है।

**उपपत्ति.** मान लीजिए $d$ $A(x_A, y_A)$ से होकर दिशा $\vec u\,(-b, a)$ में जाती है। बिंदु $M(x, y)$ $d$ पर ठीक तब है जब $\vect{AM}$ $\vec u$ का [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) हो, अर्थात् ([प्रमेय 15.5](#thm-g11-vect-collinearity))

$$
0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr)
= (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A)
= ax + by - (a x_A + b y_A),
$$

जो घोषित रूप का [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) है, जहाँ $c = -(a x_A + b y_A)$ है। इसके उलट, मान लीजिए $b \neq 0$ के साथ $ax + by + c = 0$ के हल बिंदु $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$ हैं: उनमें से दो को घटाने पर पता चलता है कि हर जीवा $(-b, a)$ की [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) है, और कोई एक हल सदा मौजूद है — यह वही रेखा है जो उससे होकर जाती है और $(-b, a)$ द्वारा दिशित है। ∎

**विधि 15.10 (दो बिंदुओं से जाने वाली रेखा).**

रेखा $(AB)$ का [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ज्ञात करने के लिए: [दिक् सदिश](#def-g11-vect-direction) $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$ निकालिए; उसे $(-b, a)$ से मिलाइए, अर्थात् $a = y_B - y_A$ और $b = -(x_B - x_A)$ लीजिए; और $A$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) रखकर $c$ ज्ञात कीजिए।

**उदाहरण 15.11.**

$A(1, 2)$ और $B(4, 3)$ से होकर जाने वाली रेखा: $\vect{AB}\,(3, 1)$, इसलिए $a = 1$, $b = -3$, और [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $x - 3y + c = 0$ है। $A$ रखने पर: $1 - 6 + c = 0$, इसलिए $c = 5$। [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation): $x - 3y + 5 = 0$। $B$ से जाँच: $4 - 9 + 5 = 0$।

**टिप्पणी 15.12.**

जब $b \neq 0$ हो, तब [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) को $y$ के लिए हल किया जा सकता है: [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $m = -\frac ab$ वाला $y = mx + p$। कार्तीय रूप $ax + by + c = 0$ अधिक व्यापक है: वह ऊर्ध्वाधर रेखाओं ($b = 0$) को भी समेट लेता है, जिनकी कोई [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) नहीं होती।

![की रेखा x - 3y + 5 = 0, उसका दिक् सदिश u = AB (लाल, यहाँ 1/2 गुना बड़ा किया हुआ), और समीकरण बनाने में काम आए दोनों बिंदु।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-vect/fig-0c3d7a0cf8c8.svg)

*[उदाहरण 15.11](#ex-g11-vect-twopoints) की रेखा $x - 3y + 5 = 0$, उसका [दिक् सदिश](#def-g11-vect-direction) $\vec u = \vect{AB}$ (लाल, यहाँ $\frac12$ गुना बड़ा किया हुआ), और [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) बनाने में काम आए दोनों बिंदु।*

## 15.4 प्राचलिक निरूपण

**परिभाषा 15.13 (प्राचलिक निरूपण).**

$A(x_A, y_A)$ से होकर दिशा $\vec u\,(\alpha, \beta)$ में जाने वाली रेखा बिंदुओं का यह समुच्चय है

$$
M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .
$$

संख्या $t$ *प्राचल* है: $t$ का हर मान रेखा का एक बिंदु देता है, मानो उस पर अचर चाल $\vec u$ से चला जा रहा हो।

**उदाहरण 15.14.**

[उदाहरण 15.11](#ex-g11-vect-twopoints) की रेखा $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$ भी है: $t = 0$ से $A$ मिलता है, $t = 1$ से $B$। $t$ का विलोपन करने पर ($t = y - 2$, इसलिए $x = 1 + 3(y-2)$) $x - 3y + 5 = 0$ फिर मिल जाता है।

## 15.5 दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

**प्रतिज्ञप्ति 15.15 (समांतर या प्रतिच्छेदी).**

[दिक् सदिश](#def-g11-vect-direction) $\vec u$ और $\vec v$ वाली दो रेखाएँ [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) हैं यदि और केवल यदि $\det(\vec u, \vec v) = 0$ हो। [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) के रूप में: $d : ax + by + c =
0$ और $d' : a'x + b'y + c' = 0$ [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) हैं यदि और केवल यदि $ab' - a'b = 0$ हो। असमांतर रेखाएँ ठीक एक बिंदु पर मिलती हैं।

**उपपत्ति.** समांतरता का अर्थ है दिशाओं का [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) होना, अर्थात् [प्रमेय 15.5](#thm-g11-vect-collinearity); और $\vec u\,(-b, a)$ तथा $\vec v\,(-b', a')$ के साथ [सारणिक](#def-g11-vect-det) $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$ है। यदि रेखाएँ [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) न हों, तो दोनों [समीकरणों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) को एक साथ हल करने पर (प्रतिस्थापन या संयोजन से) अद्वितीय हल मिलता है: निकाय शून्येतर [सारणिक](#def-g11-vect-det) वाले $2 \times 2$ निकाय की तरह व्यवहार करता है। ∎

**विधि 15.16 (दो रेखाओं का प्रतिच्छेद).**

दोनों [समीकरणों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) का निकाय हल कीजिए: एक [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) में एक अज्ञात अलग कीजिए और दूसरे में रखिए, या [समीकरणों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) को मिलाकर एक अज्ञात का विलोप कीजिए। मिले हुए बिंदु की जाँच सदा *दोनों* [समीकरणों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) में कीजिए।

**उदाहरण 15.17.**

$d: x - 3y + 5 = 0$ और $d': 2x + y - 4 = 0$ का प्रतिच्छेद निकालिए। $d'$ से: $y = 4 - 2x$। $d$ में रखने पर:

$$
x - 3(4 - 2x) + 5 = 0
\iff x - 12 + 6x + 5 = 0
\iff 7x = 7
\iff x = 1,
$$

फिर $y = 2$। रेखाएँ $(1, 2)$ पर मिलती हैं। $d$ में जाँच: $1 - 6 + 5 = 0$।

## 15.6 अभ्यास

**अभ्यास 15.1 ★.**

$A(2, -1)$, $B(5, 3)$ और $C(-1, 1)$ दिए हों, तो $\vect{AB}$, $\vect{AC}$, $\vect{AB} + \vect{AC}$ और $2\vect{AB} -
3\vect{AC}$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) तथा $[BC]$ का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) निकालिए।

**हल — अभ्यास 15.1.**

$\vect{AB}\,(3, 4)$, $\vect{AC}\,(-3, 2)$, $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$, $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$। $[BC]$ का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ है।

**अभ्यास 15.2 ★.**

क्या [सदिश](#def-g11-vect-vector) [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) हैं?

$$
\vec u\,(4, -6) \text{ और } \vec v\,(-2, 3); \qquad
\vec u\,(2, 5) \text{ और } \vec v\,(3, 7); \qquad
\vec u\,(0, 3) \text{ और } \vec v\,(0, -8).
$$

**हल — अभ्यास 15.2.**

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$: [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) (सचमुच $\vec v = -\frac12 \vec u$)।

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$: [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) नहीं।

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$: [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) (दोनों ऊर्ध्वाधर)।

**अभ्यास 15.3 ★.**

$A(2, 1)$ से होकर [दिक् सदिश](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(3, -1)$ वाली रेखा का, और फिर $B(0, 4)$ तथा $C(2, 0)$ से होकर जाने वाली रेखा का कार्तीय [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ज्ञात कीजिए।

**हल — अभ्यास 15.3.**

$A(2,1)$ से होकर, दिशा $(3, -1)$: $(-b, a) = (3, -1)$ से मिलाने पर $a = -1$, $b = -3$ मिलते हैं, इसलिए $-x - 3y + c = 0$; $A$ रखने पर: $-2 - 3 + c =
0$, $c = 5$। $-1$ से गुणा करने पर: $x + 3y - 5 = 0$।

$B(0,4)$ और $C(2,0)$ से होकर: $\vect{BC}\,(2, -4)$, इसलिए $a = -4$, $b = -2$: $-4x - 2y + c = 0$; $B$ रखने पर: $-8 + c = 0$, $c = 8$। $-2$ से सरल करने पर: $2x + y - 4 = 0$। $C$ से जाँच: $4 + 0 - 4 = 0$।

**अभ्यास 15.4 ★.**

रेखा $d: 3x - 2y + 6 = 0$ के लिए एक [दिक् सदिश](#def-g11-vect-direction) और दोनों निर्देशांक-अक्षों के साथ प्रतिच्छेद बताइए, और तय कीजिए कि बिंदु $P(2, 6)$ तथा $Q(1, 4)$ $d$ के हैं या नहीं।

**हल — अभ्यास 15.4.**

एक [दिक् सदिश](#def-g11-vect-direction) $(-b, a) = (2, 3)$ है। प्रतिच्छेद: $x = 0$ से $y = 3$ मिलता है, बिंदु $(0, 3)$; $y = 0$ से $x = -2$, बिंदु $(-2, 0)$। $P(2,6)$ के लिए: $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$, इसलिए $P \in d$। $Q(1,4)$ के लिए: $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$, इसलिए $Q \notin d$।

**अभ्यास 15.5 ★★.**

क्या बिंदु $A(1, 2)$, $B(4, 8)$, $C(-2, -4)$ संरेख हैं? यही प्रश्न $D(0, 1)$, $E(2, 4)$, $F(5, 9)$ के लिए।

**हल — अभ्यास 15.5.**

$\vect{AB}\,(3, 6)$ और $\vect{AC}\,(-3, -6)$: $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$, इसलिए $A$, $B$, $C$ संरेख हैं।

$\vect{DE}\,(2, 3)$ और $\vect{DF}\,(5, 8)$: $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$: $D$, $E$, $F$ संरेख नहीं हैं।

**अभ्यास 15.6 ★★.**

प्रतिच्छेद बिंदु, यदि हो तो, ज्ञात कीजिए:

$$
d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ और }\ d': x - y + 1 = 0;
\qquad
e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ और }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .
$$

**हल — अभ्यास 15.6.**

पहला युग्म: दोनों [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) जोड़ने पर $(2x + y - 7) + (x - y + 1) =
3x - 6 = 0$, इसलिए $x = 2$, फिर $y = x + 1 = 3$: वे $(2, 3)$ पर मिलती हैं (जाँच: $4 + 3 - 7 = 0$)।

दूसरा युग्म: $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$, इसलिए रेखाएँ [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) हैं; $e$ को $-2$ से गुणा करने पर $-2x + 4y - 6 = 0$ मिलता है, जो $e'$ से भिन्न है ($-6 \neq 1$): कड़ाई से [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic), कोई प्रतिच्छेद नहीं।

**अभ्यास 15.7 ★★.**

रेखा $d: 2x - y + 3 = 0$ का प्राचलिक निरूपण, और रेखा $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$ का कार्तीय [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) बताइए।

**हल — अभ्यास 15.7.**

$d: 2x - y + 3 = 0$ के लिए: दिशा $(-b, a) = (1, 2)$, और बिंदु $(0, 3)$ $d$ पर है, इसलिए $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$।

$(1, -3)$ से होकर दिशा $(2, 1)$ वाली प्राचलिक रेखा के लिए: $a = 1$, $b = -2$, इसलिए $x - 2y + c = 0$; $(1, -3)$ रखने पर: $1 + 6 + c = 0$, $c = -7$। [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation): $x - 2y - 7 = 0$ ($t = 1$ से जाँच, बिंदु $(3, -2)$: $3 + 4 - 7 = 0$)।

**अभ्यास 15.8 ★★.**

$P(1, -2)$ से होकर $d: 4x - 3y + 2 = 0$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) जाने वाली रेखा का [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ज्ञात कीजिए, और $m$ का वह मान भी जिसके लिए रेखा $mx + 2y - 5 = 0$ $d$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) हो।

**हल — अभ्यास 15.8.**

[समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) रेखा का $(a, b)$ वही रहता है: $4x - 3y + c = 0$; $P(1, -2)$ से होकर: $4 + 6 + c = 0$, इसलिए $c = -10$, और रेखा $4x - 3y - 10 = 0$ है।

$mx + 2y - 5 = 0$ का $d$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) होना $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$ माँगता है, इसलिए $m = -\frac83$।

**अभ्यास 15.9 ★★.**

मान लीजिए $A(-1, 0)$, $B(3, 2)$ और $C(1, -4)$ हैं। त्रिभुज $ABC$ की $C$ से खींची गई *[माध्यिका](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-median)* का कार्तीय [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ज्ञात कीजिए (वह रेखा जो $C$ को $[AB]$ के [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) से जोड़ती है)।

**हल — अभ्यास 15.9.**

$[AB]$ का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right)
= (1, 1)$ है। [माध्यिका](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-median) $C(1, -4)$ वाली रेखा $(CM)$ है: दोनों बिंदुओं का [भुज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $1$ है, इसलिए [माध्यिका](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-median) ऊर्ध्वाधर रेखा है

$$
x - 1 = 0 .
$$

**अभ्यास 15.10 ★★.**

प्राचल $m$ के किन मानों के लिए [सदिश](#def-g11-vect-vector) $\vec u\,(m, 2)$ और $\vec v\,(3, m - 1)$ [संरेखी](#def-g11-vect-collinear) हैं?

**हल — अभ्यास 15.10.**

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$। वह $m^2 - m - 6 = 0$ होने पर लुप्त होता है: $\Delta = 1 + 24 = 25$, [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) $m = \frac{1 \pm 5}{2}$, अर्थात् $m = 3$ या $m = -2$।

**अभ्यास 15.11 ★★★.**

मान लीजिए $ABCD$ एक [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) चतुर्भुज है, $I$ $[AB]$ का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) है, और $J$ वह बिंदु है जो $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$ से परिभाषित होता है। उस [निर्देशांक-पद्धति](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) में काम कीजिए जिसमें $A(0,0)$, $B(1,0)$, $D(0,1)$ हों (जिससे $C(1,1)$):

1. $I$ और $J$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) निकालिए।
2. दिखाइए कि $A$ , $J$ और $C$ संरेख हैं। (एक सुंदर तथ्य: रेखा $(DI)$ विकर्ण $(AC)$ को नीचे से एक-तिहाई पर काटती है।)

**हल — अभ्यास 15.11.**

*1.* $I = \left(\frac12, 0\right)$। तब $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12, -1\right)$ और $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13, -\frac23\right)$, इसलिए

$$
J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).
$$

*2.* $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ और $\vect{AC}\,(1, 1)$: $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$, इसलिए $A$, $J$, $C$ संरेख हैं — वस्तुतः $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$: रेखा $(DI)$ विकर्ण $(AC)$ को $A$ से ठीक एक-तिहाई लंबाई पर काटती है।

## 15.7 समस्या: टक्कर के रास्ते और चतुर निर्देशांक

**समस्या 15.1.**

सप्ताहांत समस्या — रास्तों का कटना टकराना नहीं है: समुद्र में निकटतम पहुँच, और सही ढाँचा चुनकर सिद्ध की गई प्रमेय

दो जहाज़ों के सीधे रास्ते एक-दूसरे को काटते हैं — तो क्या जहाज़ों का टकराना अनिवार्य है? तब तक नहीं, जब तक वे कटान-बिंदु पर *एक ही समय* न पहुँचें: रास्ते बिंदुओं के समुच्चय हैं, गतियाँ प्राचलिक हैं, और इन दोनों को गड्डमड्ड कर देना सचमुच जहाज़ डुबो चुका है। यह समस्या प्राचलिक रेखाओं ([परिभाषा 15.13](#def-g11-vect-parametric)) पर एक छोटी-सी पोत-यातायात सेवा चलाती है, और फिर [निर्देशांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) की दूसरी महाशक्ति के साथ शुद्ध ज्यामिति की ओर मुड़ती है: उन्हें चतुराई से *चुनना*, जैसा [अभ्यास 15.11](#exo-g11-vect-11) में हुआ, ताकि चिरपरिचित प्रमेय स्वयं अपनी गणना कर लें।

**भाग I — रेखाएँ, तीन तरह से।**

1. $A(1, 2)$ से होकर [दिक् सदिश](#def-g11-vect-direction) $\vec u(3, -1)$ वाली रेखा का प्राचलिक निरूपण दीजिए, फिर प्राचल का विलोप करके कार्तीय [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) प्राप्त कीजिए।
2. रेखा $2x - 5y + 3 = 0$ के लिए: एक [दिक् सदिश](#def-g11-vect-direction) पढ़िए ( [प्रमेय 15.9](#thm-g11-vect-cartesian) ), एक बिंदु ज्ञात कीजिए, और प्राचलिक निरूपण लिखिए।
3. प्रश्न 1 और 2 की दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु निकालिए ( [विधि 15.16](#met-g11-vect-intersection) )।
4. [सारणिक](#def-g11-vect-det) ( [प्रमेय 15.5](#thm-g11-vect-collinearity) ) से पुष्टि कीजिए कि उन दोनों रेखाओं का मिलना अनिवार्य था; फिर दिखाइए कि $2x - 5y + 3 = 0$ और $-4x + 10y + 1 = 0$ कड़ाई से [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) हैं।
5. क्या $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(11, 7)$ संरेख हैं ( [विधि 15.7](#met-g11-vect-alignment) )?

**भाग II — पोत-यातायात सेवा।** समय $t$ (घंटों में) पर जहाज़ $P$ $(2t,\ 3 + t)$ पर है और जहाज़ $Q$ $(10 - t,\ 2t - 1)$ पर (दूरियाँ नाविक मील में)।

6. दोनों *रास्तों* के कार्तीय [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ज्ञात कीजिए, और निकालिए कि रास्ते कहाँ कटते हैं।
7. हर जहाज़ उस कटान-बिंदु से किस समय गुज़रता है? क्या जहाज़ टकराते हैं? एक वाक्य में सामान्य चेतावनी बताइए: रास्तों का कटना बनाम गतियों का मिलना।
8. समय $t$ पर दोनों जहाज़ों के बीच वर्ग-दूरी $D^2(t)$ निकालिए और उसे $t$ में द्विघात के रूप में लाइए। जहाज़ किस समय सबसे पास होते हैं, और कितने पास आते हैं ( [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#pb-g11-quad-1) की शीर्ष-तकनीक)?
9. नियम कम से कम $1$ मील की दूरी माँगते हैं। क्या उनका उल्लंघन होता है? यदि हाँ, तो $D^2(t) < 1$ हल कीजिए और उल्लंघन की अवधि बताइए।
10. समझाइए कि अचर चालों से सीधे रास्तों पर चलने वाले *किन्हीं भी* दो जहाज़ों के लिए $D^2(t)$ $t$ का [द्विघात फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-quadratic) ही क्यों होता है — इसलिए “निकटतम पहुँच बिंदु” सदा एक शीर्ष-गणना ही है।
11. अवरोधन: एक गश्ती नौका $t = 0$ पर मूल बिंदु से अचर वेग $(a, b)$ के साथ चलती है और उसे जहाज़ $P$ से ठीक $t = 3$ पर मिलना है। आवश्यक $(a, b)$ और गश्ती नौका की चाल निकालिए।

**भाग III — चतुर [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system)।** [अभ्यास 15.11](#exo-g11-vect-11) के ढाँचे में काम कीजिए: [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) चतुर्भुज $ABCD$ $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$ बन जाता है; मान लीजिए $I$ $[AB]$ का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) है और $K$ $[CD]$ का।

12. रेखा $(DI)$ का कार्तीय [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) निकालिए।
13. $(DI)$ को विकर्ण $(AC)$ से काटिए: [अभ्यास 15.11](#exo-g11-vect-11) वाला तथ्य फिर से मिल जाता है — कटान ठीक विकर्ण के नीचे से एक-तिहाई पर है।
14. अब रेखा $(BK)$ : उसका [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ज्ञात कीजिए, $(AC)$ से काटिए, और पूरी चिरपरिचित प्रमेय का निष्कर्ष निकालिए: *चेवियन $(DI)$ और $(BK)$ विकर्ण $(AC)$ को त्रिभाजित कर देते हैं* ।
15. इस एक विशेष ढाँचे में प्रमेय सिद्ध करना उचित क्यों था? ( [निर्देशांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) का चुनाव किसे बनाए रखता है, और कथन में क्या-क्या आता है?) दो-तीन वाक्यों में उत्तर दीजिए।
16. अभ्यास के लिए एक और त्रिभाजन: मान लीजिए $E$ $[BC]$ का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) है। रेखा $(AE)$ *दूसरे* विकर्ण $(DB)$ को कहाँ काटती है?

**भाग IV — स्थिति की पहेलियाँ।**

17. क्या तीनों रेखाएँ $x + y = 4$ , $2x - y = 2$ , $x - 2y = -2$ संगामी हैं? (दो को काटिए और तीसरी पर जाँचिए।)
18. हर वास्तविक $m$ के लिए मान लीजिए $d_m$ रेखा $mx - y + 2 - 3m = 0$ है। दिखाइए कि *हर* $d_m$ एक ही नियत बिंदु से होकर जाती है। ( $m$ में पद समूहित कीजिए।)
19. परिवार $(d_m)$ में: कौन-सी सदस्य रेखा $y = 2x + 7$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) है? कौन-सी मूल बिंदु से होकर जाती है?
20. समापन — रेखा के तीन वेश: कार्तीय (एक प्रतिस्थापन में सदस्यता की जाँच), संक्षिप्त ( [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) और [आलेख](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) एक नज़र में), प्राचलिक (गति, समय, अवरोधन); समांतरता के भविष्यवक्ता के रूप में [सारणिक](#def-g11-vect-det) ; और प्रमेय बनाने के कारख़ाने के रूप में सोच-समझकर चुना गया ढाँचा। हर एक पर एक वाक्य।

**हल — समस्या 15.1.**

**1.** $x = 1 + 3t$, $y = 2 - t$। दूसरे से $t = 2 - y$; प्रतिस्थापन करने पर: $x = 1 + 3(2 - y) = 7 - 3y$: कार्तीय [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $x + 3y - 7 = 0$।

**2.** $ax + by + c = 0$ के लिए एक [दिक् सदिश](#def-g11-vect-direction) $(-b, a)$ है: यहाँ $(5, 2)$। एक बिंदु: $y = 1$ से $x = 1$ मिलता है: $(1, 1)$। प्राचलिक: $x = 1 + 5t$, $y = 1 + 2t$।

**3.** $2x - 5y + 3 = 0$ में $x = 7 - 3y$ से: $14 - 6y - 5y + 3 = 0$, इसलिए $y = \frac{17}{11}$ और $x = 7 - \frac{51}{11} = \frac{26}{11}$: बिंदु $\left(\frac{26}{11}, \frac{17}{11}\right)$।

**4.** दिशाएँ $(5, 2)$ और $(3, -1)$: $\det = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -11 \neq 0$: प्रतिच्छेदी, जैसा मिला था। दूसरे युग्म के लिए: दिशाओं $(5, 2)$ और $(10, 4)$ का $\det = 0$ है ([समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic)), और $2x - 5y + 3 = 0$ को दुगुना करने पर $-4x + 10y - 6 = 0 \neq -4x + 10y + 1
= 0$ मिलता है: कड़ाई से [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic)।

**5.** $\vect{AB}(3, 2)$, $\vect{AC}(9, 6)$: $\det = 18 - 18 = 0$: संरेख।

**6.** $P$: $x = 2t$ से $y = 3 + t$: $y = 3 +
\frac x2$। $Q$: $x = 10 - t$ से: $t = 10 - x$, इसलिए $y = 2(10 - x) - 1 = 19 - 2x$। कटान: $3 + \frac x2 = 19 - 2x$ से $x = 6.4$, $y = 6.2$ मिलता है: रास्ते $(6.4,\ 6.2)$ पर कटते हैं।

**7.** $P$ वहाँ तब गुज़रता है जब $2t = 6.4$ हो: $t = 3.2$ घंटे। $Q$ तब जब $10 - t = 6.4$ हो: $t = 3.6$ घंटे। चौबीस मिनट का अंतर: कोई टक्कर नहीं। चेतावनी: नक्शा *रास्ते* दिखाता है; केवल प्राचलिक घड़ियाँ बताती हैं कि दो गतियाँ एक ही क्षण एक ही बिंदु पर हैं या नहीं।

**8.** $D^2(t) = (3t - 10)^2 + (4 - t)^2 =
10t^2 - 68t + 116$: शीर्ष $t = \frac{68}{20} = 3.4$ घंटे पर, जहाँ $D^2 = 0.4$: निकटतम पहुँच $t = 3.4$ पर $D = \sqrt{0.4} \approx 0.63$ मील।

**9.** उल्लंघन हुआ: $0.63 < 1$। $D^2(t) < 1$ का अर्थ है $10t^2 - 68t + 115 < 0$: $\Delta = 4624 - 4600 = 24$, [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) $\frac{68 \pm \sqrt{24}}{20} = 3.4 \pm 0.245$: जहाज़ $t \approx 3.16$ से $t \approx 3.64$ तक बहुत पास रहते हैं — लगभग $29$ मिनट का उल्लंघन। उनमें से एक को रास्ता बदलना पड़ेगा।

**10.** हर जहाज़ का हर [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $t$ का *एकघात* [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) है, इसलिए [निर्देशांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) का हर अंतर भी एकघात है, और $D^2$ — दो वर्ग किए गए [एकघात फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) का योग — एक द्विघात है (जिसका अग्र गुणांक अऋणात्मक है)। अतः निकटतम पहुँच सदा किसी शीर्ष से ही पढ़ी जाती है।

**11.** $t = 3$ पर, अर्थात् $(6, 6)$ पर, $P$ से मिलना: $(3a, 3b) = (6, 6)$ से $(a, b) = (2, 2)$ मिलता है, चाल $\sqrt{8} \approx 2.8$ नॉट।

**12.** $D(0, 1)$, $I\left(\frac12, 0\right)$: दिशा $\left(\frac12, -1\right)$, अर्थात् $(1, -2)$: [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 1$।

**13.** $(AC)$: $y = x$। फिर $2x + x = 1$: $x = \frac13$: बिंदु $\left(\frac13, \frac13\right)$, जो $A$ से $C$ तक एक-तिहाई दूरी पर है।

**14.** $B(1, 0)$, $K\left(\frac12, 1\right)$: दिशा $\left(-\frac12, 1\right)$, [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 2$। $y = x$ के साथ: $x = \frac23$: बिंदु $\left(\frac23, \frac23\right)$। दोनों चेवियन $(AC)$ को उसके दोनों त्रिभाजन बिंदुओं पर काटते हैं: प्रमेय सिद्ध, दो बार तीन-तीन पंक्तियों के अंकगणित से।

**15.** किसी भी [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) चतुर्भुज को इकाई वर्ग पर ले जाया जा सकता है — इसके लिए $A$ को मूल बिंदु और $\vect{AB}$, $\vect{AD}$ को दोनों अक्षों के मात्रक चुन लीजिए। वह चुनाव उन सब बातों को बनाए रखता है जिनकी प्रमेय बात करती है — [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint), संरेखण, और किसी दी हुई रेखा पर अनुपात (जो सब [सदिशों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/6-vectors#def-g10-vectors-vector) और अदिशों से व्यक्त होते हैं) — इसलिए वर्ग में कथन सिद्ध कर देना उसे हर [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) चतुर्भुज के लिए सिद्ध कर देता है। (वह लंबाइयाँ या कोण *नहीं* ढोता: उन्हें यह ढाँचा बिगाड़ देता है।)

**16.** $E\left(1, \frac12\right)$: रेखा $(AE)$: $y = \frac x2$। विकर्ण $(DB)$: $(0,1)$ से $(1,0)$ तक: $y = 1 - x$। प्रतिच्छेद: $\frac x2 = 1 - x$: $x = \frac23$: बिंदु $\left(\frac23, \frac13\right)$ — फिर एक त्रिभाजन बिंदु, अब दूसरे विकर्ण का। [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) वाले चेवियन तिहाइयों के प्रेमी हैं।

**17.** पहली दो: $x + y = 4$ और $2x - y = 2$ से $3x = 6$ मिलता है: $(2, 2)$। तीसरी: $2 - 4 = -2$: संतुष्ट। $(2, 2)$ पर संगामी।

**18.** $mx - y + 2 - 3m = m(x - 3) + (2 - y) = 0$: [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) *हर* $m$ के लिए सही रहे, इसके लिए $x = 3$, $y = 2$ लीजिए — और सचमुच हर $d_m$ में $(3, 2)$ आता है। एक ही बिंदु से गुज़रती रेखाओं का एक गुच्छा, हर [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $m$ के लिए एक रेखा।

**19.** $y = 2x + 7$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic): [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) $m = 2$, रेखा $2x - y - 4 = 0$। मूल बिंदु से होकर: $2 - 3m = 0$: $m = \frac23$।

**20.** कार्तीय: कोई बिंदु रखिए, सदस्यता का उत्तर मिल गया। संक्षिप्त: [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) और अंतःखंड दिखते हैं, [आलेख](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) तुरंत। प्राचलिक: घड़ी भीतर ही बनी हुई — टक्करें, निकटतम पहुँच, अवरोधन। [सारणिक](#def-g11-vect-det): एक तिर्यक गुणन, और समांतरता का फ़ैसला। और चुना हुआ ढाँचा: [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) चतुर्भुज इकाई वर्ग बन जाता है, और एक चिरपरिचित त्रिभाजन प्रमेय रेखाओं के तीन प्रतिच्छेदों में बदल जाती है।