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title: "समतल में अदिश गुणनफल"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 16
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/16-the-scalar-product-in-the-plane
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# अध्याय 16 — समतल में अदिश गुणनफल

[अदिश गुणनफल](#def-g11-scal-dot) [सदिशों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/6-vectors#def-g10-vectors-vector) के किसी युग्म के साथ एक *संख्या* जोड़ देता है, और वह संख्या ज्यामिति देख लेती है: वह ठीक लंब दिशाओं के लिए लुप्त होती है, और कोण तथा लंबाइयाँ नाप लेती है। [कोज्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) नियम, वृत्तों के [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) और लंबता की गणनाओं के पीछे यही इंजन है। अंतरिक्ष में यही औज़ार [अध्याय 31](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/31-vectors-lines-and-planes-in-space#ch-g12-space) का विषय है।

## 16.1 परिभाषा और पहली गणनाएँ

**परिभाषा 16.1 (अदिश गुणनफल).**

दो [सदिशों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/6-vectors#def-g10-vectors-vector) $\vec u$ और $\vec v$ का *अदिश गुणनफल* यह संख्या है

$$
\vec u \cdot \vec v
= \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2
- \norm{\vec v}^2\right),
$$

जहाँ $\norm{\vec u}$ $\vec u$ की लंबाई (*परिमाण*) दर्शाता है।

**प्रमेय 16.2 (अदिश गुणनफल के चार चेहरे).**

मान लीजिए $\vec u\,(x, y)$ और $\vec v\,(x', y')$ शून्येतर [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) हैं और $\theta$ उनके बीच का कोण है। तब

1. *([निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system))* $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'$ ;
2. *([कोज्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin))* $\vec u \cdot \vec v =  \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$ ;
3. *(प्रक्षेप)* $\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v'$ , जहाँ $\vec v'$ $\vec u$ की दिशा पर $\vec v$ का [लांबिक](#def-g11-scal-orthogonal) प्रक्षेप है; और यदि $\vec u = \vect{OA}$ तथा $\vec v = \vect{OB}$ हों, तो $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}$ , जो चिह्नित लंबाइयों का गुणनफल है, जहाँ $H$ $B$ से रेखा $(OA)$ पर डाले गए लंब का पाद है;
4. *([परिमाण](#def-g11-scal-dot))* [परिभाषा 16.1](#def-g11-scal-dot) का परिभाषा-सूत्र।

**1 और 2 की उपपत्ति.** *1.* [निर्देशांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) में $\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2$ (पाइथागोरस) और $\vec u + \vec v$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $(x + x', y + y')$ हैं, इसलिए वर्गों का प्रसार करके काटने पर

$$
\begin{align*}
2\,\vec u \cdot \vec v
&= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\
&= 2xx' + 2yy',
\end{align*}
$$

*2.* [निर्देशांक-पद्धति](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) ऐसी चुनिए कि $\vec u$ धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में हो: $\vec u\,(\norm{\vec u}, 0)$ और $\vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta)$ ([अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#ch-g11-trigo))। तब सूत्र 1 से $\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0$ मिलता है। सूत्र 3 उसी गणना को पढ़ लेता है: $x$-अक्ष पर $\vec v$ के प्रक्षेप की चिह्नित लंबाई $\norm{\vec v}\cos\theta =
\overline{OH}$ है। ∎

![प्रक्षेप वाला दृश्य: u v = OA × OH, जहाँ H v के सिरे से डाले गए लंब का पाद है। नारंगी रेखाखंड OH की चिह्नित लंबाई v है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c5a833d29518.svg)

*प्रक्षेप वाला दृश्य: $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times
\overline{OH}$, जहाँ $H$ $\vec v$ के सिरे से डाले गए लंब का पाद है। नारंगी रेखाखंड $OH$ की चिह्नित लंबाई $\norm{\vec v}\cos\theta$ है।*

**उदाहरण 16.3.**

$\vec u\,(3, 1)$ और $\vec v\,(2, -4)$: $\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2$। [परिमाण](#def-g11-scal-dot) $\norm{\vec u} = \sqrt{10}$ और $\norm{\vec v} = \sqrt{20}$ हैं, इसलिए $\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{10}$: कोण $82^\circ$ से कुछ कम है।

**प्रतिज्ञप्ति 16.4 (बीजगणितीय नियम).**

सभी [सदिशों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/6-vectors#def-g10-vectors-vector) और सभी $\lambda \in \R$ के लिए:

$$
\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad
\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot
\vec w, \qquad
(\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
$$

$$
\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2,
\qquad
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2 .
$$

**उपपत्ति.** ये सब निर्देशांक-सूत्र से निकलते हैं: जैसे $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') =
(xx' + yy') + (xx'' + yy'')$। अंतिम सर्वसमिका पहले तीन नियमों का उपयोग करके $\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v)$ का प्रसार करती है — [अदिश गुणनफल](#def-g11-scal-dot) ठीक साधारण गुणनफल की तरह व्यवहार करता है, इसलिए सामान्य बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ [सदिशों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/6-vectors#def-g10-vectors-vector) पर भी लागू होती हैं। ∎

## 16.2 लंबता

**परिभाषा 16.5 (लांबिक सदिश).**

दो [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) *लांबिक* कहलाते हैं, और इसे $\vec u \perp \vec v$ लिखते हैं, यदि $\vec u \cdot \vec v = 0$ हो।

**टिप्पणी 16.6.**

शून्येतर [सदिशों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/6-vectors#def-g10-vectors-vector) के लिए [प्रमेय 16.2](#thm-g11-scal-faces) का सूत्र 2 दिखाता है कि $\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff$ का अर्थ है कि दिशाएँ परस्पर लंब हैं। शून्य [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) हर [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) के [लांबिक](#def-g11-scal-orthogonal) है।

**उदाहरण 16.7.**

$\vec u\,(3, 2)$ और $\vec v\,(-4, 6)$: $\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 =
0$: [लांबिक](#def-g11-scal-orthogonal)। सामान्य रूप से $\vec u\,(a, b)$ सदा $\vec v\,(-b, a)$ के [लांबिक](#def-g11-scal-orthogonal) होता है — यह एक चौथाई चक्कर का घूर्णन है।

## 16.3 कोज्या नियम

**प्रमेय 16.8 (कोज्या नियम).**

भुजाओं $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ वाले त्रिभुज $ABC$ में, जिसमें शीर्ष $A$ पर कोण $\widehat A$ है:

$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .
$$

**उपपत्ति.** $\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB}$ लिखिए और [प्रतिज्ञप्ति 16.4](#prop-g11-scal-rules) से प्रसार कीजिए:

$$
a^2 = \norm{\vect{BC}}^2
= \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2
= b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.
$$

कोज्या-सूत्र से $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A$। ∎

**टिप्पणी 16.9.**

जब $\widehat A$ समकोण हो, तब $\cos\widehat A = 0$ और [कोज्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) नियम पाइथागोरस प्रमेय $a^2 = b^2 + c^2$ बन जाता है: यह असमकोणों के लिए सुधार-पद के साथ पाइथागोरस ही है।

![कोज्या नियम: दो भुजाएँ b, c और उनके बीच का कोण जान लेने पर तीसरी भुजा a तय हो जाती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c3343d6ea45e.svg)

*[कोज्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) नियम: दो भुजाएँ $b$, $c$ और उनके बीच का कोण जान लेने पर तीसरी भुजा $a$ तय हो जाती है।*

**उदाहरण 16.10.**

किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ $b = 5$ और $c = 8$ हैं, और उनके बीच का कोण $\widehat A = \frac\pi3$ है। तब

$$
a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,
$$

इसलिए $a = 7$।

## 16.4 अनुप्रयोग: वृत्त और लंब रेखाएँ

**प्रतिज्ञप्ति 16.11 (दिए हुए व्यास वाला वृत्त).**

बिंदु $M$ व्यास $[AB]$ वाले वृत्त पर है यदि और केवल यदि

$$
\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .
$$

**उपपत्ति.** यदि $M \neq A, B$ हो, तो शर्त कहती है कि त्रिभुज $AMB$ में $M$ पर का कोण समकोण है, और किसी रेखाखंड को समकोण पर देखने वाले बिंदु ठीक उसी व्यास वाले वृत्त के बिंदु हैं। यहाँ सीधी उपपत्ति है: मान लीजिए $O$ $[AB]$ का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) है और $r = \frac{AB}{2}$ है। तब $\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA}$ और $\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}$, इसलिए

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,
$$

जो ठीक तब लुप्त होता है जब $MO = r$ हो, अर्थात् जब $M$ केंद्र $O$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त पर हो। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 16.12 (रेखा का अभिलंब सदिश).**

[सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) $\vec n\,(a, b)$ रेखा $d : ax + by + c = 0$ के हर [दिक् सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-direction) के [लांबिक](#def-g11-scal-orthogonal) है; कहा जाता है कि $\vec n$ $d$ का *अभिलंब सदिश* है। दो रेखाएँ ठीक तब परस्पर लंब हैं जब उनके अभिलंब (या दिक्) [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) [लांबिक](#def-g11-scal-orthogonal) हों।

**उपपत्ति.** $d$ का एक [दिक् सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$ है ([प्रमेय 15.9](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#thm-g11-vect-cartesian)), और $\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0$। ∎

**विधि 16.13 (अभिलंब सदिशों का उपयोग).**

- $A$ से होकर अभिलंब $\vec n\,(a,b)$ वाली रेखा: $\vect{AM} \cdot \vec n = 0$ लिखिए, जिसका प्रसार $ax + by + c = 0$ है, और $c$ $A$ से तय हो जाता है।
- $d: ax+by+c = 0$ और $d': a'x+b'y+c' = 0$ की लंबता: $aa' + bb' = 0$ जाँचिए।

**उदाहरण 16.14.**

$P(2, -1)$ से होकर $d : 3x - y + 4 = 0$ पर लंब रेखा: $d$ का एक [दिक् सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-direction) $(1, 3)$ है, जो लंब रेखा के *अभिलंब* [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) का काम करता है। [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation): $x + 3y + c = 0$, जहाँ $2 - 3 + c = 0$, इसलिए $c = 1$: रेखा $x + 3y + 1 = 0$ है।

**उदाहरण 16.15 (वृत्त का समीकरण).**

केंद्र $\Omega(1, 2)$ और त्रिज्या $3$ वाला वृत्त उन बिंदुओं $M(x,y)$ का समुच्चय है जिनके लिए $\Omega M^2 = 9$ हो:

$$
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .
$$

इसके उलट, वर्ग पूरे करने पर ([अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#ch-g11-quad)) $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ बन जाता है: वही वृत्त।

## 16.5 अभ्यास

**अभ्यास 16.1 ★.**

इनके लिए $\vec u \cdot \vec v$ निकालिए:

$$
\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad
\vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad
\norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
$$

**हल — अभ्यास 16.1.**

$(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1$।

$(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0$ ([लांबिक सदिश](#def-g11-scal-orthogonal))।

$\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12
= 6$।

**अभ्यास 16.2 ★.**

$ABC$ भुजा $6$ वाला समबाहु त्रिभुज है। $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$ और $\vect{AB} \cdot \vect{BC}$ निकालिए।

**हल — अभ्यास 16.2.**

$\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18$।

[सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) $\vect{AB}$ और $\vect{BC}$ $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ का कोण बनाते हैं (उन्हें $B$ पर पुच्छ-से-पुच्छ रखिए), इसलिए $\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18$।

**अभ्यास 16.3 ★.**

$t$ के किस मान के लिए $\vec u\,(3, t)$ और $\vec v\,(t - 8, 1)$ [लांबिक](#def-g11-scal-orthogonal) हैं? और $t$ के किन मानों के लिए $\vec u\,(t, 2)$ स्वयं में से $\vec v\,(4, 2)$ घटाने पर मिले [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) के [लांबिक](#def-g11-scal-orthogonal) है, अर्थात् $\vec u \perp (\vec u - \vec v)$?

**हल — अभ्यास 16.3.**

$\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0$ से $t = 6$ मिलता है।

$\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0)$, इसलिए $\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t$, जो $t = 0$ या $t = 4$ पर लुप्त होता है।

**अभ्यास 16.4 ★.**

$\vec u\,(1, 2)$ और $\vec v\,(3, 1)$ के बीच का कोण $\theta$ निकालिए ($\cos\theta$ यथार्थ रूप में, फिर $\theta$ निकटतम अंश तक)।

**हल — अभ्यास 16.4.**

$\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5$, $\norm{\vec u} = \sqrt5$, $\norm{\vec v} = \sqrt{10}$, इसलिए

$$
\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{2},
$$

अतः यथार्थ रूप से $\theta = 45^\circ$।

**अभ्यास 16.5 ★★.**

किसी त्रिभुज की भुजाएँ $b = 4$, $c = 6$ हैं और उनके बीच का कोण $\widehat A = \frac{2\pi}{3}$ है। तीसरी भुजा $a$ निकालिए। फिर भुजाओं $a = 7$, $b = 5$, $c = 4$ वाले त्रिभुज में $\cos\widehat A$ निकालिए और तय कीजिए कि $\widehat A$ न्यून कोण है या अधिक कोण।

**हल — अभ्यास 16.5.**

$a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3}
= 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76$, इसलिए $a = \sqrt{76} =
2\sqrt{19} \approx 8.7$।

दूसरे त्रिभुज के लिए [कोज्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) नियम को कोण के लिए हल करने पर

$$
\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
= \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,
$$

जो ऋणात्मक है: $\widehat A$ अधिक कोण है।

**अभ्यास 16.6 ★★.**

मान लीजिए $A(1, 1)$, $B(5, -1)$ और $C(3, 5)$ हैं। $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$ निकालिए; क्या कोण $\widehat A$ समकोण है? तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ निकालिए और अपने उत्तर की जाँच [कोज्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) नियम से कीजिए।

**हल — अभ्यास 16.6.**

$\vect{AB}\,(4, -2)$ और $\vect{AC}\,(2, 4)$: $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0$, इसलिए $A$ पर का कोण समकोण है। भुजाएँ: $AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$, $AC = \sqrt{4 + 16} =
\sqrt{20}$, और $\vect{BC}\,(-2, 6)$ से $BC = \sqrt{40}$ मिलता है। संगति: $BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2$, जो $\cos\widehat A = 0$ के साथ [कोज्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) नियम (पाइथागोरस) ही है।

**अभ्यास 16.7 ★★.**

केंद्र $\Omega(-2, 3)$ और त्रिज्या $5$ वाले वृत्त का [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) बताइए। फिर वृत्त

$$
x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
$$

का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

**हल — अभ्यास 16.7.**

केंद्र–त्रिज्या रूप: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$।

दूसरे वृत्त के लिए वर्ग पूरे कीजिए:

$$
x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6
\iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6
\iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :
$$

केंद्र $(3, -1)$, त्रिज्या $4$।

**अभ्यास 16.8 ★★.**

मान लीजिए $A(-3, 0)$ और $B(0, 2)$ हैं। [प्रतिज्ञप्ति 16.11](#prop-g11-scal-diameter) का उपयोग करके व्यास $[AB]$ वाले वृत्त का [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ज्ञात कीजिए, और जाँचिए कि मूल बिंदु $O(0,0)$ उस पर है।

**हल — अभ्यास 16.8.**

$M(x,y)$ वृत्त पर तब है जब $\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y)$ और $\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y)$ के साथ $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0$ हो:

$$
(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .
$$

मूल बिंदु के लिए: $0 + 0 + 0 - 0 = 0$, इसलिए $O$ वृत्त पर है — ज्यामितीय रूप से $\vect{OA}\,(-3,0)$ और $\vect{OB}\,(0,2)$ [लांबिक](#def-g11-scal-orthogonal) हैं, इसलिए $O$ $[AB]$ को समकोण पर देखता है। (वर्ग पूरे करने पर: केंद्र $\left(-\frac32, 1\right)$, त्रिज्या $\frac{\sqrt{13}}{2}$।)

**अभ्यास 16.9 ★★.**

$P(1, 3)$ से होकर $d : 2x + y - 7 = 0$ पर लंब रेखा का [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation), और लंब के पाद $H$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) (दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद) ज्ञात कीजिए। इससे $P$ की $d$ से दूरी निकालिए।

**हल — अभ्यास 16.9.**

$P$ से होकर जाने वाली लंब रेखा के लिए $d$ का [दिक् सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-direction), यानी $(-1, 2)$, अभिलंब [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) का काम करता है: [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $-x + 2y + c = 0$; $P(1,3)$ से होकर: $-1 + 6 + c = 0$, $c = -5$, इसलिए $x - 2y + 5 = 0$।

$d$ के साथ प्रतिच्छेद: $2x + y = 7$ से $y = 7 - 2x$; प्रतिस्थापन करने पर $x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0$, इसलिए $x = \frac95$, $y = \frac{17}5$: $H\left(\frac95, \frac{17}5\right)$। फिर $\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right)$ और

$$
PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5}
= \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .
$$

**अभ्यास 16.10 ★★.**

$\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2$ और $\vec u - \vec v$ के लिए उसके समरूप कथन का उपयोग करके *[समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) चतुर्भुज सर्वसमिका* सिद्ध कीजिए:

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2
= 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,
$$

और [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) चतुर्भुज में उसकी व्याख्या कीजिए (विकर्ण बनाम भुजाएँ)।

**हल — अभ्यास 16.10.**

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2
\quad\text{और}\quad
\norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2,
$$

जोड़ने पर मिश्रित पद कट जाते हैं और $\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 +
2\norm{\vec v}^2$। भुजाओं $\vec u$ और $\vec v$ वाले [समांतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) चतुर्भुज में विकर्ण $\vec u + \vec v$ और $\vec u - \vec v$ हैं: दोनों विकर्णों के वर्गों का योग चारों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है।

**अभ्यास 16.11 ★★★.**

मान लीजिए $A$ और $B$ ऐसे दो बिंदु हैं कि $AB = 4$, और $I$ $[AB]$ का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) है।

1. दिखाइए कि हर बिंदु $M$ के लिए $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4$ । ( $I$ डालिए: $\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}$ ।)
2. इससे उन बिंदुओं $M$ का समुच्चय निकालिए जिनके लिए $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ हो।

**हल — अभ्यास 16.11.**

*1.* चूँकि $I$ [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) है, इसलिए $\vect{IB} = -\vect{IA}$ और $IA = 2$। तब

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA})
= \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2
= MI^2 - 4 .
$$

*2.* शर्त $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ $MI^2 = 16$ बन जाती है, अर्थात् $MI = 4$: समुच्चय केंद्र $I$ और त्रिज्या $4$ वाला वृत्त है।

## 16.6 समस्या: अदिश गुणनफल के दो उपहार

**समस्या 16.1.**

सप्ताहांत समस्या — एक ही बिंदु-गुणनफल से योग सूत्र निकल आते हैं, दूसरे से रेखा तक की दूरी, और तीनों शीर्षलंबों का एक बिंदु पर मिलना मुफ़्त में

[अदिश गुणनफल](#def-g11-scal-dot) देखने में बही-खाता लगता है — गुणा कीजिए, जोड़िए — फिर भी वह लगभग मुफ़्त में दो ऐसे ख़ज़ाने सौंप देता है जिन्होंने सदियों तक कोण-दर-कोण पीछा करने वालों को टिकने नहीं दिया: त्रिकोणमिति के *योग सूत्र* ($\cos 15^\circ$ का यथार्थ मान निकालिए!) और एक स्वच्छ भिन्न में *बिंदु से रेखा तक की दूरी*। विदाई-उपहार के रूप में वह यह भी सिद्ध कर देता है कि हर त्रिभुज के तीनों शीर्षलंब एक ही बिंदु से गुज़रते हैं। [प्रमेय 16.2](#thm-g11-scal-faces) के चारों चेहरे ड्यूटी पर हाज़िर होंगे।

**भाग I — प्रवाह।**

1. $\vec u(3, 4)$ और $\vec v(-1, 2)$ के लिए: $\vec u \cdot \vec v$ , दोनों [परिमाण](#def-g11-scal-dot) , और [सदिशों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/6-vectors#def-g10-vectors-vector) के बीच का कोण निकालिए (अंश के दसवें भाग तक)।
2. ऐसा $k$ ज्ञात कीजिए कि $(2, k)$ और $(3, -4)$ [लांबिक](#def-g11-scal-orthogonal) हों ( [परिभाषा 16.5](#def-g11-scal-orthogonal) )।
3. भौतिकी वाला चेहरा: एक स्लेज को ज़मीन से $60^\circ$ के कोण पर लगे $50$ N बल से $10$ m खींचा जाता है। कार्य $W = \vec F \cdot \vec d$ निकालिए।
4. [कोज्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) नियम ( [प्रमेय 16.8](#thm-g11-scal-cosines) ): $5$ और $7$ की दो भुजाएँ $60^\circ$ का कोण घेरे हुए हैं; तीसरी भुजा यथार्थ रूप में ज्ञात कीजिए।
5. उलटा: किसी त्रिभुज की भुजाएँ $4$ , $6$ , $8$ हैं। भुजा $8$ के सामने वाले कोण की [कोज्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) निकालिए, कोण का वर्गीकरण कीजिए, और उसे अंश के दसवें भाग तक बताइए।

**भाग II — पहला उपहार: योग सूत्र।** मान लीजिए $\vec u = (\cos a, \sin a)$ और $\vec v = (\cos b, \sin b)$ हैं: कोणों $a$ और $b$ पर दो इकाई [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector)।

6. $\vec u \cdot \vec v$ दो बार निकालिए — एक बार [निर्देशांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) से, एक बार [परिमाणों](#def-g11-scal-dot) और [सदिशों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/6-vectors#def-g10-vectors-vector) के बीच के कोण से — और मूल सूत्र निष्कर्ष निकालिए: $$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b .$$
7. $b$ के स्थान पर $-b$ रखकर ( [ज्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) और [कोज्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) की सम-विषमता!) $\cos(a + b)$ प्राप्त कीजिए।
8. $x = a + b$ पर लगाई गई [पूरक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-operations) सर्वसमिका $\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right)$ से $\sin(a + b)$ प्राप्त कीजिए।
9. अंततः यथार्थ मान: $\cos 15^\circ$ ( $\cos(45^\circ - 30^\circ)$ के रूप में) और $\sin 75^\circ$ निकालिए। दोनों की संख्यात्मक जाँच कीजिए।
10. $b = a$ रखकर द्विकोण सूत्र निकालिए: $\cos 2a$ (उसके तीनों रूपों में) और $\sin 2a$ ।
11. $\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a$ से $\sin^2 15^\circ$ निकालिए, फिर $\sin 15^\circ$ को नीड़ित करणी के रूप में — और सत्यापित कीजिए कि उसका वर्ग उस मान $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ से मेल खाता है जो प्रश्न 9 की विधि देती है।

**भाग III — दूसरा उपहार: रेखा तक की दूरी।**

12. मान लीजिए $d$ रेखा $ax + by + c = 0$ है, जिसका अभिलंब [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) $\vec n(a, b)$ है ([प्रतिज्ञप्ति 16.12](#prop-g11-scal-normal)), और $P(x_0, y_0)$ कोई बिंदु है। $d$ पर कोई भी बिंदु $A$ लेकर समझाइए कि $P$ की $d$ से दूरी $\dfrac{\abs{\vect{AP} \cdot \vec n}}{\norm{\vec n}}$ क्यों है, और सूत्र निष्कर्ष निकालिए: $$\operatorname{dist}(P, d)  = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .$$ $P(5, 6)$ की $3x + 4y - 12 = 0$ से दूरी निकालिए।
13. $(5, 6)$ पर केंद्रित और उस रेखा को स्पर्श करने वाले वृत्त का [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) लिखिए।
14. सूत्र की जाँच: मूल बिंदु की $3x + 4y - 12 = 0$ से दूरी निकालिए, फिर मूल बिंदु से डाले गए लंब का पाद स्पष्ट रूप से निकालकर उसकी पुष्टि कीजिए।
15. त्रिभुज $A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(2,5)$ : आधार $[AB]$ लेकर उसका क्षेत्रफल निकालिए; फिर $B$ की रेखा $(AC)$ से दूरी निकालिए और जाँचिए कि उससे वही क्षेत्रफल मिलता है।
16. केंद्र $(2, 1)$ और त्रिज्या $2$ वाला वृत्त, रेखा $x + y - 6 = 0$ के सामने: केंद्र की रेखा से दूरी निकालिए और उनकी स्थिति का वर्गीकरण कीजिए (छेदी, स्पर्शी, असंयुक्त)।

**भाग IV — बोनस: शीर्षलंब संगामी हैं।**

17. [अभ्यास 16.11](#exo-g11-scal-11) को सामान्य कीजिए: [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ वाले किन्हीं दो बिंदुओं $A$, $B$ के लिए सिद्ध कीजिए $$\vect{MA} \cdot \vect{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}  \quad\text{प्रत्येक बिंदु } M \text{ के लिए} .$$
18. [प्रतिज्ञप्ति 16.11](#prop-g11-scal-diameter) एक पंक्ति में निकालिए: जिन बिंदुओं $M$ के लिए $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0$ हो उनका समुच्चय व्यास $[AB]$ वाला वृत्त है।
19. शीर्षलंब: मान लीजिए त्रिभुज $ABC$ में $A$ से और $B$ से खींचे गए शीर्षलंबों का प्रतिच्छेद $H$ है (इसलिए $\vect{HA} \cdot \vect{BC} = 0$ और $\vect{HB} \cdot \vect{CA} = 0$)। सर्वसमिका $$\vect{HA} \cdot \vect{BC} + \vect{HB} \cdot \vect{CA}  + \vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$$ सिद्ध कीजिए — शाल की सहायता से सब कुछ $H$ से खोलिए — और निष्कर्ष निकालिए कि $H$ $C$ से खींचे गए शीर्षलंब पर भी है: तीनों शीर्षलंब संगामी हैं (*लंबकेंद्र* पर)।
20. समापन: चार चेहरे, तीन ट्रॉफ़ियाँ। [प्रमेय 16.2](#thm-g11-scal-faces) का कौन-सा चेहरा योग सूत्र उठाए हुए था, कौन-सा दूरी-सूत्र, कौन-सा [लंबकेंद्र](#pb-g11-scal-1) — और “एक ही राशि दो बार निकालिए” पूरे अध्याय का आदर्श वाक्य क्यों है?

**हल — समस्या 16.1.**

**1.** $\vec u \cdot \vec v = -3 + 8 = 5$; $\norm{\vec u} = 5$, $\norm{\vec v} = \sqrt5$; $\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5}$: $\theta \approx 63.4^\circ$।

**2.** $6 - 4k = 0$: $k = \frac32$।

**3.** $W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250$ जूल: केवल गति के अनुदिश वाला घटक ही कार्य करता है।

**4.** $c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times \frac12 = 39$: $c = \sqrt{39}$।

**5.** $\cos\gamma = \frac{16 + 36 - 64}{2 \times 4
\times 6} = -\frac14$: ऋणात्मक, कोण अधिक है: $\gamma \approx 104.5^\circ$।

**6.** [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system): $\vec u \cdot \vec v = \cos a \cos b +
\sin a \sin b$। ज्यामिति: दो इकाई [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector), $\vec u \cdot \vec v = 1 \times 1 \times \cos(a - b)$। एक ही संख्या की दोनों गणनाओं को बराबर रखने पर: $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$।

**7.** $\cos(a + b) = \cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) +
\sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$।

**8.** $\sin(a + b) = \cos\left(\frac\pi2 - a - b\right)
= \cos\left(\left(\frac\pi2 - a\right) - b\right)
= \cos\left(\frac\pi2 - a\right)\cos b +
\sin\left(\frac\pi2 - a\right)\sin b
= \sin a \cos b + \cos a \sin b$।

**9.** $\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ +
\sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot
\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 =
\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966$। और $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$: वही मान।

**10.** प्रश्न 7 और 8 में $b = a$: $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ ($\cos^2 + \sin^2 = 1$ का उपयोग करके), और $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$।

**11.** $\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2}
= \frac{2 - \sqrt3}{4}$, इसलिए $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}$। $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ का वर्ग करने पर: $\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt3}{16} =
\frac{2 - \sqrt3}{4}$: एक ही संख्या दो वेशों में।

**12.** $\vect{AP}$ दो भागों में बँट जाता है: एक $d$ के अनुदिश (जो $\vec n$ को दिखाई नहीं देता) और एक $d$ पर लंब, जिसकी लंबाई ही अभीष्ट दूरी है; इकाई अभिलंब $\frac{\vec n}{\norm{\vec n}}$ से बिंदु-गुणनफल लेने पर पहला भाग मर जाता है और दूसरा नप जाता है। $d$ पर $A$ के साथ: $\vect{AP} \cdot \vec n = a x_0 + b y_0 - (a x_A + b y_A) =
a x_0 + b y_0 + c$, जिससे सूत्र मिल जाता है। उदाहरण: $\frac{\abs{15 + 24 - 12}}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$।

**13.** त्रिज्या $= 5.4$: $(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 29.16$।

**14.** दूरी $= \frac{\abs{-12}}{5} = 2.4$। पाद: मूल बिंदु से होकर जाने वाली लंब रेखा $(3t, 4t)$ है; रेखा पर: $9t + 16t = 12$, $t = \frac{12}{25}$: पाद $\left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right)$, जो $5t = \frac{60}{25} = 2.4$ दूरी पर है। सूत्र और ईमानदार गणना दोनों मेल खाते हैं।

**15.** आधार $AB = 6$, ऊँचाई $=$ $C$ की $(AB)$ (अक्ष $y = 0$) से दूरी: $5$; क्षेत्रफल $15$। रेखा $(AC)$: $5x - 2y = 0$, और $\operatorname{dist}(B, (AC)) = \frac{\abs{30}}{\sqrt{29}}$; फिर $\frac12 \times AC \times \frac{30}{\sqrt{29}} =
\frac12 \times \sqrt{29} \times \frac{30}{\sqrt{29}} = 15$: वही क्षेत्रफल, चाहे कोई भी शीर्षलंब लीजिए।

**16.** $\operatorname{dist} = \frac{\abs{2 + 1 - 6}}
{\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2.12 > 2$: रेखा वृत्त से हटकर निकल जाती है — असंयुक्त।

**17.** $I$ डालिए: $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA}) \cdot
(\vect{MI} + \vect{IB}) = MI^2 + \vect{MI} \cdot (\vect{IA} +
\vect{IB}) + \vect{IA} \cdot \vect{IB}$। बीच वाला पद मर जाता है ($\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$), और $\vect{IA} \cdot \vect{IB} = -IA^2 = -\frac{AB^2}{4}$ (लंबाई $\frac{AB}2$ वाले परस्पर विपरीत [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector))।

**18.** $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 \iff MI^2 =
\frac{AB^2}{4} \iff MI = \frac{AB}{2}$: केंद्र $I$ और त्रिज्या $\frac{AB}2$ वाला वृत्त — यानी व्यास $[AB]$ वाला वृत्त।

**19.** हर युग्म को $H$ से खोलने पर ($\vect{BC} =
\vect{HC} - \vect{HB}$ आदि):

$$
\vect{HA} \cdot \vect{HC} - \vect{HA} \cdot \vect{HB}
+ \vect{HB} \cdot \vect{HA} - \vect{HB} \cdot \vect{HC}
+ \vect{HC} \cdot \vect{HB} - \vect{HC} \cdot \vect{HA} = 0 :
$$

सब कुछ जोड़ों में कट जाता है — सर्वसमिका *किन्हीं भी* चार बिंदुओं के लिए सही है। हमारे $H$ के लिए पहले दो बिंदु-गुणनफल परिकल्पना से लुप्त हो जाते हैं, इसलिए $\vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$: $H$ $C$ से खींचे गए शीर्षलंब पर है। तीन शीर्षलंब, एक बिंदु।

**20.** योग सूत्र एक ही बिंदु-गुणनफल को *[निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system)* वाले चेहरे और *परिमाण-और-कोण* वाले चेहरे से निकालने पर मिले; दूरी-सूत्र *प्रक्षेप* वाले चेहरे से; और [लंबकेंद्र](#pb-g11-scal-1) *द्विरैखिकता* (शाल-और-प्रसार) वाले चेहरे से। एक ही राशि दो बार निकालिए, दोनों को बराबर रखिए, और एक प्रमेय हाथ में आ जाती है — यही [अदिश गुणनफल](#def-g11-scal-dot) का पूरा पेशा है।