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title: "वर्णनात्मक सांख्यिकी"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 17
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics
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# अध्याय 17 — वर्णनात्मक सांख्यिकी

सांख्यिकी संख्याओं की किसी सूची को चंद सार्थक सारांशों में दबा देती है: आँकड़े कहाँ बैठे हैं ([माध्य](#def-g11-stat-mean), [माध्यिका](#def-g11-stat-median)), और वे कितने फैले हुए हैं ([चतुर्थक](#def-g11-stat-quartiles), [प्रसरण](#def-g11-stat-variance), [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance))। यह अध्याय सब कुछ एक ही चलते उदाहरण पर करके दिखाता है। यही सारांश [अध्याय 18](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#ch-g11-prob) में यादृच्छिक चरों के लिए फिर आते हैं, और उनके प्रायिकता-नियम [अध्याय 34](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/34-sums-of-random-variables-and-the-law-of-large-numbers#ch-g12-sums) में।

पूरे अध्याय में हमारा चलता आँकड़ा-समुच्चय $12$ विद्यार्थियों की एक कक्षा के अंक हैं ($20$ में से):

$$
8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17 .
$$

## 17.1 माध्य और माध्यिका

**परिभाषा 17.1 (माध्य).**

मानों $x_1, x_2, \dots, x_n$ का *माध्य* है

$$
\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.
$$

यदि मान $x_i$ बारंबारता $n_i$ के साथ आता हो (जहाँ $n_1 + \dots + n_k = n$), तो $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$।

**परिभाषा 17.2 (माध्यिका).**

किसी क्रमबद्ध आँकड़ा-समुच्चय की *माध्यिका* वह मान है जो उसे दो बराबर हिस्सों में बाँट दे: कम से कम आधे मान उससे $\leq$ हों और कम से कम आधे $\geq$। व्यवहार में $n$ मानों को क्रम में लगाइए; यदि $n$ विषम हो तो माध्यिका बीच वाला मान है, और यदि $n$ सम हो तो बीच वाले दोनों मानों का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) लीजिए।

**उदाहरण 17.3.**

चलते आँकड़ा-समुच्चय के लिए योग $144$ है, इसलिए $\bar x = \frac{144}{12} =
12$। बीच वाले दोनों मान (क्रमबद्ध सूची के $6$-वाँ और $7$-वाँ) दोनों $12$ हैं, इसलिए [माध्यिका](#def-g11-stat-median) भी $12$ है। [माध्य](#def-g11-stat-mean) और [माध्यिका](#def-g11-stat-median) का बराबर होना आवश्यक नहीं: [माध्यिका](#def-g11-stat-median) इस बात की परवाह नहीं करती कि चरम मान *कितनी दूर* हैं, [माध्य](#def-g11-stat-mean) करता है। सबसे ऊपर के अंक $17$ के स्थान पर $20$ रख दीजिए तो [माध्य](#def-g11-stat-mean) $12.25$ हो जाता है, पर [माध्यिका](#def-g11-stat-median) $12$ ही रहती है।

## 17.2 चतुर्थक

**परिभाषा 17.4 (चतुर्थक, अंतर-चतुर्थक परास).**

*प्रथम चतुर्थक* $Q_1$ वह सबसे छोटा मान है जिसके लिए कम से कम एक चौथाई आँकड़े $\leq Q_1$ हों; *तृतीय चतुर्थक* $Q_3$ वह सबसे छोटा मान है जिसके लिए कम से कम तीन चौथाई आँकड़े $\leq Q_3$ हों। *अंतर-चतुर्थक परास* $Q_3 - Q_1$ है: आँकड़ों के मध्य आधे भाग की चौड़ाई।

**उदाहरण 17.5.**

$n = 12$: एक चौथाई $3$ है, इसलिए $Q_1$ $3$-वाँ क्रमबद्ध मान है: $Q_1 = 10$। तीन चौथाई $9$ है, इसलिए $Q_3$ $9$-वाँ मान है: $Q_3 = 13$। अंतर-चतुर्थक [परास](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) $3$ है: कक्षा का मध्य आधा भाग $3$ अंकों के भीतर बैठा है।

![चलता आँकड़ा-समुच्चय बिंदु आरेख के रूप में, उसका माध्य (लाल), और उसके ऊपर पाँच-संख्या सारांश (नारंगी): न्यूनतम, Q_1, माध्यिका, Q_3, अधिकतम। बक्से में आँकड़ों का मध्य आधा भाग है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-stat/fig-d430d3158d13.svg)

*चलता आँकड़ा-समुच्चय बिंदु आरेख के रूप में, उसका [माध्य](#def-g11-stat-mean) (लाल), और उसके ऊपर पाँच-संख्या सारांश (नारंगी): [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema), $Q_1$, [माध्यिका](#def-g11-stat-median), $Q_3$, [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema)। बक्से में आँकड़ों का मध्य आधा भाग है।*

## 17.3 प्रसरण और मानक विचलन

**परिभाषा 17.6 (प्रसरण, मानक विचलन).**

आँकड़ा-समुच्चय का *प्रसरण* [माध्य](#def-g11-stat-mean) से विचलनों के वर्गों का [माध्य](#def-g11-stat-mean) है:

$$
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2,
$$

और *मानक विचलन* $\sigma = \sqrt{V}$ है, जो आँकड़ों के उसी मात्रक में व्यक्त होता है।

**प्रतिज्ञप्ति 17.7 (संक्षिप्त सूत्र).**

[प्रसरण](#def-g11-stat-variance) वर्गों के [माध्य](#def-g11-stat-mean) में से [माध्य](#def-g11-stat-mean) का वर्ग घटाने पर मिलता है:

$$
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; \bar x^{\,2}.
$$

**उपपत्ति.** हर वर्ग-विचलन का प्रसार कीजिए: $(x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^2$। जोड़कर $n$ से भाग देने पर:

$$
V = \frac1n \sum x_i^2 - 2\bar x \cdot \underbrace{\frac1n \sum
x_i}_{=\ \bar x} + \frac1n \cdot n\bar x^2
= \frac1n\sum x_i^2 - 2\bar x^2 + \bar x^2
= \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2 .
$$

यही सर्वसमिका यादृच्छिक चरों के लिए [प्रतिज्ञप्ति 18.13](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#prop-g11-prob-konig) है। ∎

**उदाहरण 17.8.**

चलते आँकड़ा-समुच्चय के लिए $\bar x = 12$ से विचलन $-4$, $-3$, $-2$, $-2$, $-1$, $0$, $0$, $0$, $1$, $2$, $4$, $5$ हैं; उनके वर्गों का योग है

$$
16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .
$$

अतः

$$
V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67,
\qquad
\sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ अंक}.
$$

मोटे तौर पर कहें तो कोई प्रारूपिक अंक [माध्य](#def-g11-stat-mean) से लगभग $2.6$ अंक दूर बैठा है।

**प्रतिज्ञप्ति 17.9 (मात्रक बदलना).**

यदि हर मान को $y_i = a x_i + b$ से रूपांतरित किया जाए, तो

$$
\bar y = a \bar x + b,
\qquad
V_y = a^2\, V_x,
\qquad
\sigma_y = \abs{a}\,\sigma_x .
$$

**उपपत्ति.** $\bar y = \frac1n \sum (a x_i + b) = a\left(\frac1n\sum x_i\right) +
\frac1n \cdot nb = a\bar x + b$। तब $y_i - \bar y = a(x_i - \bar x)$: हर विचलन $a$ गुना हो जाता है (खिसकाव $b$ कट जाता है), इसलिए हर वर्ग-विचलन $a^2$ गुना, और उनका [माध्य](#def-g11-stat-mean) भी। वर्गमूल लेने पर $\sigma_y = \abs a\,\sigma_x$ मिलता है। ∎

**उदाहरण 17.10.**

सेल्सियस में दर्ज किए गए तापमान, जिनका [माध्य](#def-g11-stat-mean) $20$ और [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) $3$ है, $F = 1.8\,C + 32$ से फ़ारेनहाइट में बदल जाते हैं: [माध्य](#def-g11-stat-mean) $1.8 \times 20 + 32 = 68$ हो जाता है और [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) $1.8 \times 3 = 5.4$। आँकड़ों को खिसकाने से उनका प्रसार नहीं बदलता; उन्हें गुणा करने से प्रसार भी उतना ही गुना हो जाता है।

**विधि 17.11 (आँकड़ों का सारांश और तुलना).**

दो आँकड़ा-समुच्चयों की तुलना के लिए साथ-साथ रखिए: *स्थिति* के लिए [माध्य](#def-g11-stat-mean) (या [माध्यिका](#def-g11-stat-median)), और *प्रसार* के लिए [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) (या अंतर-चतुर्थक [परास](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles))। युग्म ([माध्यिका](#def-g11-stat-median), अंतर-चतुर्थक [परास](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles)) चरम मानों के आगे टिका रहता है; युग्म ([माध्य](#def-g11-stat-mean), [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance)) हर मान का उपयोग करता है और प्रायिकता-सिद्धांत को खुराक देता है।

**उदाहरण 17.12.**

हर धनुर्धर $10$ तीर चलाता है; दोनों के अंकों का औसत $8.5$ है, पर [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) $0.5$ और $2.1$ हैं। औसत स्तर एक ही — पर पहला धनुर्धर कहीं अधिक एकरूप है।

## 17.4 अभ्यास

**अभ्यास 17.1 ★.**

आँकड़ा-समुच्चय

$$
5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 14 .
$$

का [माध्य](#def-g11-stat-mean), [माध्यिका](#def-g11-stat-median), [चतुर्थक](#def-g11-stat-quartiles) और अंतर-चतुर्थक [परास](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) निकालिए।

**हल — अभ्यास 17.1.**

$n = 8$, योग $71$: [माध्य](#def-g11-stat-mean) $\bar x = \frac{71}{8} = 8.875$। [माध्यिका](#def-g11-stat-median): $4$-वें और $5$-वें मानों का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint), $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$। [चतुर्थक](#def-g11-stat-quartiles): $8$ का एक चौथाई $2$ है, इसलिए $Q_1$ $2$-वाँ मान है, $7$; तीन चौथाई $6$ है, इसलिए $Q_3$ $6$-वाँ मान है, $10$। अंतर-चतुर्थक [परास](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles): $10 - 7 = 3$।

**अभ्यास 17.2 ★.**

आँकड़ा-समुच्चय $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ का [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) और [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) निकालिए (पहले [माध्य](#def-g11-stat-mean), फिर [प्रतिज्ञप्ति 17.7](#prop-g11-stat-shortcut) का संक्षिप्त सूत्र)।

**हल — अभ्यास 17.2.**

योग $40$, इसलिए $\bar x = 5$। वर्गों का योग: $4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$। संक्षिप्त सूत्र से

$$
V = \frac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4,
\qquad
\sigma = 2 .
$$

**अभ्यास 17.3 ★.**

एक पासा $50$ बार फेंका जाता है; परिणामों का सारांश बारंबारताओं से है:

| परिणाम | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| बारंबारता | 6 | 9 | 8 | 10 | 9 | 8 |

[माध्य](#def-g11-stat-mean) परिणाम और [माध्यिका](#def-g11-stat-median) निकालिए।

**हल — अभ्यास 17.3.**

[माध्य](#def-g11-stat-mean):

$$
\bar x = \frac{1 \times 6 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 10
+ 5 \times 9 + 6 \times 8}{50}
= \frac{181}{50} = 3.62 .
$$

[माध्यिका](#def-g11-stat-median): संचयी बारंबारताएँ $6, 15, 23, 33, \dots$ हैं, इसलिए $25$-वाँ और $26$-वाँ क्रमबद्ध परिणाम दोनों $4$ हैं: [माध्यिका](#def-g11-stat-median) $4$ है।

**अभ्यास 17.4 ★★.**

$15$ विद्यार्थियों की कक्षा का [माध्य](#def-g11-stat-mean) अंक $11.2$ है। $16$-वाँ विद्यार्थी आकर $18$ अंक पाता है। कक्षा का नया [माध्य](#def-g11-stat-mean) क्या है?

**हल — अभ्यास 17.4.**

$15$ अंकों का कुल $15 \times 11.2 = 168$ है; नए विद्यार्थी के साथ $\frac{168 + 18}{16} = \frac{186}{16} = 11.625$।

**अभ्यास 17.5 ★★.**

आँकड़ा-समुच्चय $6, 8, x, 12, 14$ का [माध्य](#def-g11-stat-mean) $10$ है। $x$ ज्ञात कीजिए, फिर पूरे हुए आँकड़ा-समुच्चय का [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) निकालिए।

**हल — अभ्यास 17.5.**

$\frac{6 + 8 + x + 12 + 14}{5} = 10$ से $40 + x = 50$ मिलता है, इसलिए $x = 10$। [माध्य](#def-g11-stat-mean) $10$ से $6, 8, 10, 12, 14$ के विचलन $-4, -2, 0, 2, 4$ हैं, जिनके वर्गों का योग $40$ है: $V = \frac{40}{5} = 8$ और $\sigma = 2\sqrt2 \approx 2.83$।

**अभ्यास 17.6 ★.**

[माध्य](#def-g11-stat-mean) $12.4$ और [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) $2.5$ वाले अंकों को $y = \frac{x}{2} + 4$ से बदला जाता है। नया [माध्य](#def-g11-stat-mean) और नया [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) बताइए।

**हल — अभ्यास 17.6.**

$a = \frac12$, $b = 4$ के साथ [प्रतिज्ञप्ति 17.9](#prop-g11-stat-affine) से: नया [माध्य](#def-g11-stat-mean) $\frac{12.4}{2} + 4 = 10.2$; नया [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) $\frac{2.5}{2} = 1.25$।

**अभ्यास 17.7 ★★.**

समूह A ($20$ मान) का [माध्य](#def-g11-stat-mean) $10$ है; समूह B ($30$ मान) का [माध्य](#def-g11-stat-mean) $15$ है। दोनों को मिलाकर $50$ मानों का [माध्य](#def-g11-stat-mean) निकालिए। क्या वह [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $12.5$ है? क्यों नहीं?

**हल — अभ्यास 17.7.**

मिला हुआ [माध्य](#def-g11-stat-mean) *भारित* औसत है

$$
\frac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \frac{650}{50} = 13,
$$

न कि $12.5$: समूह B अधिक मान देता है, इसलिए वह मिले हुए [माध्य](#def-g11-stat-mean) को अपनी ओर खींच लेता है।

**अभ्यास 17.8 ★★.**

दो उत्पादन-पंक्तियाँ $1$-kg चीनी के थैले भरती हैं। [प्रतिदर्श](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) देते हैं: पंक्ति 1: [माध्य](#def-g11-stat-mean) $1.002$ kg, [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) $0.006$ kg; पंक्ति 2: [माध्य](#def-g11-stat-mean) $1.001$ kg, [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) $0.019$ kg। किस पंक्ति को पहले फिर से अंशांकित करना चाहिए, और क्यों?

**हल — अभ्यास 17.8.**

दोनों पंक्तियाँ औसतन लगभग लक्ष्य पर हैं ($1.002$ और $1.001$ kg), पर पंक्ति 2 का [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) तीन गुना बड़ा है: उसके थैले कहीं अधिक बदलते हैं और कहीं अधिक ध्यान खींचने वाले कम-भरे तथा अधिक-भरे थैले बनते हैं। पंक्ति 2 को पहले सँभालना चाहिए — सुधार की ज़रूरत केवल [माध्य](#def-g11-stat-mean) को नहीं, एकरूपता को है।

**अभ्यास 17.9 ★★.**

$n = 10$ मानों वाले किसी आँकड़ा-समुच्चय के लिए $\sum x_i = 70$ और $\sum x_i^2 = 540$ हैं। उसका [माध्य](#def-g11-stat-mean), [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) और [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) निकालिए।

**हल — अभ्यास 17.9.**

$\bar x = \frac{70}{10} = 7$; $V = \frac{540}{10} - 7^2 = 54 - 49 = 5$; $\sigma = \sqrt5 \approx 2.24$।

**अभ्यास 17.10 ★★★.**

आँकड़ा-समुच्चय $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 23$ में एक *बहिर्मान* है।

1. मान $23$ के साथ और उसके बिना [माध्य](#def-g11-stat-mean) तथा [माध्यिका](#def-g11-stat-median) निकालिए।
2. $23$ के साथ और उसके बिना अंतर-चतुर्थक [परास](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) निकालिए।
3. कौन-से सारांश बहिर्मान के आगे टिके रहते हैं? एक सुझाव के साथ निष्कर्ष निकालिए।

**हल — अभ्यास 17.10.**

*1.* $23$ के साथ: योग $50$, [माध्य](#def-g11-stat-mean) $5$; [माध्यिका](#def-g11-stat-median) = $5$-वें और $6$-वें मानों का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $= 3$। $23$ के बिना: योग $27$, [माध्य](#def-g11-stat-mean) $3$; [माध्यिका](#def-g11-stat-median) (9 मानों में पाँचवाँ) $= 3$।

*2.* $23$ के साथ ($n = 10$): $Q_1$ $3$-वाँ मान है ($2$), $Q_3$ $8$-वाँ ($4$): अंतर-चतुर्थक [परास](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) $2$। बिना ($n = 9$): $Q_1$ $3$-वाँ मान है ($2$), $Q_3$ $7$-वाँ ($4$): फिर भी $2$।

*3.* अकेला बहिर्मान [माध्य](#def-g11-stat-mean) को $3$ से $5$ तक घसीट ले जाता है पर [माध्यिका](#def-g11-stat-median) और अंतर-चतुर्थक [परास](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) ज्यों के त्यों रहते हैं: वे दोनों *सुदृढ़* हैं। जब किसी आँकड़ा-समुच्चय में विसंगत मान हो सकते हों, तब [माध्य](#def-g11-stat-mean) और [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) के बजाय [माध्यिका](#def-g11-stat-median) और अंतर-चतुर्थक [परास](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) बताइए।

## 17.5 समस्या: z-मान, एक सार्वभौमिक पैमाना

**समस्या 17.1.**

सप्ताहांत समस्या — मानक विचलन सेब की तुलना संतरे से करा देते हैं, चेबिशेव असमिका $\sigma$ को गारंटी में बदल देती है, और माध्य अपना अपना तमग़ा जीत लेता है

क्या किसी कठिन परीक्षा में $15/20$ किसी आसान परीक्षा के $13/20$ से बेहतर है? छोटी संख्याओं की सूची में $23$ कोई संयोग है या बहिर्मान? कच्ची संख्याएँ यह नहीं बता सकतीं — पर सही [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) से भाग दे दीजिए तो वे सब एक ही भाषा बोलने लगती हैं, *[z-मान](#pb-g11-stat-1)* की भाषा। यह समस्या [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) की मशीनरी ([परिभाषा 17.6](#def-g11-stat-variance), [प्रतिज्ञप्ति 17.7](#prop-g11-stat-shortcut)) पर पकड़ बनाती है, वह सार्वभौमिक पैमाना बनाती है, और वह उल्लेखनीय असमिका सिद्ध करती है जो $\sigma$ को केवल वर्णनात्मक संख्या से गारंटी में बदल देती है।

**भाग I — [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) की मशीनरी।**

1. आँकड़ा-समुच्चय $4, 8, 6, 5, 2$ के लिए: [माध्य](#def-g11-stat-mean) निकालिए, फिर सीधे परिभाषा से [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) , फिर $\sigma$ ।
2. संक्षिप्त सूत्र ( [प्रतिज्ञप्ति 17.7](#prop-g11-stat-shortcut) ) से [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) फिर निकालिए — वर्गों का [माध्य](#def-g11-stat-mean) घटा [माध्य](#def-g11-stat-mean) का वर्ग — और मेल जाँचिए।
3. बारंबारताओं के साथ: अंक $8$ , $10$ , $14$ क्रमशः $3$ , $5$ , $2$ विद्यार्थियों को मिले। [माध्य](#def-g11-stat-mean) , [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) और $\sigma$ निकालिए (दो दशमलव स्थान)।
4. तापमानों का [माध्य](#def-g11-stat-mean) $20$ और $\sigma = 3$ है (सेल्सियस)। फ़ारेनहाइट में [माध्य](#def-g11-stat-mean) और $\sigma$ बताइए ( $F = 1.8\,C + 32$ ; [प्रतिज्ञप्ति 17.9](#prop-g11-stat-affine) )।
5. अभी काम में लाए गए दोनों नियम सिद्ध कीजिए: हर मान में अचर $b$ जोड़ने से [माध्य](#def-g11-stat-mean) $b$ खिसक जाता है और $\sigma$ अपरिवर्तित रहता है; $a$ से गुणा करने पर [माध्य](#def-g11-stat-mean) $a$ गुना और $\sigma$ $\abs a$ गुना हो जाता है।

**भाग II — सार्वभौमिक पैमाना।** [माध्य](#def-g11-stat-mean) $\bar x$ और [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) $\sigma$ वाले किसी आँकड़ा-समुच्चय में मान $x$ का *z-मान* $z = \dfrac{x - \bar x}{\sigma}$ है: उतने [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) जितने $x$ को [माध्य](#def-g11-stat-mean) से अलग करते हैं।

6. परीक्षा A का [माध्य](#def-g11-stat-mean) $12$ और $\sigma = 2$ है; परीक्षा B का [माध्य](#def-g11-stat-mean) $8$ और $\sigma = 4$ । ऐलिस ने A में $15$ पाए, बॉब ने B में $13$ । दोनों के [z-मान](#pb-g11-stat-1) निकालिए: किसका प्रदर्शन भीड़ से अधिक ऊपर खड़ा है?
7. प्रश्न 1 के आँकड़ा-समुच्चय के पाँचों [z-मान](#pb-g11-stat-1) निकालिए, और जाँचिए कि उनका [माध्य](#def-g11-stat-mean) $0$ और [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) $1$ है। प्रश्न 5 से समझाइए कि मानकीकरण से *सदा* [माध्य](#def-g11-stat-mean) $0$ और $\sigma = 1$ क्यों मिलता है।
8. किसी अभिरुचि परीक्षा का [माध्य](#def-g11-stat-mean) $100$ और $\sigma = 15$ है। कौन-से कच्चे अंक का $z = 2$ है? $76$ का [z-मान](#pb-g11-stat-1) क्या है?
9. एक शिशु-चिकित्सक किसी शिशु का भार “ $z = -2.5$ ” दर्ज करता है। बताइए कि इसका अर्थ क्या है, और बच्चे की आयु बढ़ने पर वृद्धि किलोग्राम के बजाय [z-मानों](#pb-g11-stat-1) में क्यों आँकी जाती है।
10. [अभ्यास 17.10](#exo-g11-stat-10) का बहिर्मान (आँकड़ा-समुच्चय $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 23$ ): [माध्य](#def-g11-stat-mean) , $\sigma$ और $23$ का [z-मान](#pb-g11-stat-1) निकालिए। चिरपरिचित ख़तरे की सीमा $\abs z \geq 3$ है: क्या निर्णय है?
11. मान $23$ के *बिना* $\sigma$ फिर निकालिए, और वह [z-मान](#pb-g11-stat-1) भी जो $23$ को स्वच्छ आँकड़ों के [माध्य](#def-g11-stat-mean) तथा $\sigma$ के सामने मिलता। बहिर्मान ने उसी पैमाने के साथ क्या कर डाला जो उसे नापने के लिए था, और [अभ्यास 17.10](#exo-g11-stat-10) इसके प्रतिकार के रूप में क्या सुझाता है?

**भाग III — चेबिशेव की गारंटी।**

12. किसी आँकड़ा-समुच्चय के लिए ब्येनेमे–चेबिशेव असमिका सिद्ध कीजिए: यदि मानों का अनुपात $p$ $\abs{x - \bar x} \geq k\sigma$ को संतुष्ट करता हो, तो [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) के योग में केवल वही पद रखने पर $$\sigma^2 \geq p \cdot (k\sigma)^2,  \qquad\text{अतः}\qquad  p \leq \frac{1}{k^2} .$$
13. यह असमिका किसी भी आँकड़ा-समुच्चय के उस अनुपात के बारे में क्या गारंटी देती है जो [माध्य](#def-g11-stat-mean) से $2\sigma$ से आगे है? $3\sigma$ से आगे? प्रश्न 1 के आँकड़ा-समुच्चय पर $2\sigma$ वाला कथन जाँचिए।
14. एक कारख़ाना ऐसे बोल्ट बनाता है जिनका [माध्य](#def-g11-stat-mean) $50$ mm और $\sigma = 0.1$ mm है। $\intcc{49.7}{50.3}$ से बाहर पड़ने वाले बोल्टों के अनुपात के बारे में चेबिशेव क्या गारंटी देता है? (वास्तविक उत्पादन इससे कहीं अच्छा करता है — कक्षा 12 का घंटी-वक्र इस सतर्क $\frac19$ को प्रतिशत के अंश में बदल देता है।)
15. दो निधियाँ औसतन प्रति वर्ष $5\,\%$ देती हैं, जिनमें निधि A के लिए $\sigma = 2\,\%$ और निधि B के लिए $\sigma = 12\,\%$ है। हर निधि के लिए चेबिशेव उन वर्षों के प्रायिकता-जैसे अनुपात के बारे में क्या कहता है जिनमें प्रतिफल $-19\,\%$ से नीचे रहा? $\sigma$ का वित्तीय नाम क्या है?

**भाग IV — [माध्य](#def-g11-stat-mean) का तमग़ा, और एक चेतावनी।**

16. मान लीजिए $f(c)$ किसी मनमाने केंद्र $c$ से वर्ग-विचलनों $(x_i - c)^2$ का [माध्य](#def-g11-stat-mean) है। सर्वसमिका $$f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2 ,$$ सिद्ध कीजिए और निष्कर्ष निकालिए: [माध्य](#def-g11-stat-mean) ही वह अकेला बिंदु है जो [माध्य](#def-g11-stat-mean) वर्ग-विचलन को [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) करता है — यही उसका तमग़ा है, जो [समस्या 8.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#pb-g10-stats-1) में [माध्यिका](#def-g11-stat-median) द्वारा निरपेक्ष विचलनों के न्यूनतमकरण के समकक्ष है।
17. $c = 6$ के साथ प्रश्न 1 के आँकड़ा-समुच्चय पर उस सर्वसमिका की जाँच कीजिए: $f(6)$ सीधे और सूत्र से, दोनों तरह निकालिए।
18. वही सारांश, अलग आँकड़े: जाँचिए कि $P = \{3, 5, 7, 9, 11\}$ और $Q = \{1, 7, 7, 7, 13\}$ का [माध्य](#def-g11-stat-mean) एक ही है पर [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) नहीं; फिर $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ रूप का ऐसा आँकड़ा-समुच्चय बनाइए जिसका [माध्य](#def-g11-stat-mean) और [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) ठीक $P$ वाले हों — और फिर भी आकृति अपनी ही हो।
19. सिद्ध कीजिए कि $\sigma = 0$ होने पर सभी मान बराबर हो जाते हैं। (वर्गों के शून्य योग का हर पद क्या होना ही चाहिए?)
20. समापन — सांख्यिकीविद् की सीढ़ी, हर डंडे पर एक पंक्ति: केंद्र ( [माध्य](#def-g11-stat-mean) , [माध्यिका](#def-g11-stat-median) ), प्रसार ( $\sigma$ , अंतर-चतुर्थक [परास](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) ), सार्वभौमिक पैमाना ( $z$ ), गारंटी (चेबिशेव), और प्रश्न 18 की चेतावनी: सारांश दबाते हैं, और दबाव में कुछ खोता है — और कक्षा 12 का घंटी-वक्र [z-मानों](#pb-g11-stat-1) को यथार्थ [प्रायिकताओं](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) में बदलने के लिए प्रतीक्षा कर रहा है।

**हल — समस्या 17.1.**

**1.** [माध्य](#def-g11-stat-mean) $\bar x = \frac{25}{5} = 5$। वर्ग किए गए विचलन: $1, 9, 1, 0, 9$: [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) $\frac{20}{5} = 4$, इसलिए $\sigma = 2$।

**2.** वर्गों का [माध्य](#def-g11-stat-mean): $\frac{16 + 64 + 36 + 25 + 4}{5} = 29$; घटा $\bar x^2 = 25$: [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) $4$। वही उत्तर, आधे काम में।

**3.** [माध्य](#def-g11-stat-mean) $= \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 2 \times
14}{10} = 10.2$; [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) $= \frac{3 \times 64 + 5 \times 100 +
2 \times 196}{10} - 10.2^2 = 108.4 - 104.04 = 4.36$; $\sigma \approx 2.09$।

**4.** [माध्य](#def-g11-stat-mean): $1.8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ$F; $\sigma$: $1.8 \times 3 = 5.4\,^\circ$F — खिसकाव $+32$ कुछ भी नहीं फैलाता।

**5.** $b$ जोड़ने पर: हर विचलन $x_i + b - (\bar x + b)
= x_i - \bar x$ अपरिवर्तित रहता है, इसलिए [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) भी। $a$ से गुणा करने पर: विचलन $a$ गुने हो जाते हैं, उनके वर्ग $a^2$ गुने, [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) $a^2$ गुना, और $\sigma$ $\sqrt{a^2} = \abs a$ गुना।

**6.** $z_A = \frac{15 - 12}{2} = 1.5$; $z_B = \frac{13 - 8}{4} = 1.25$। ऐलिस अपनी भीड़ से अधिक ऊपर खड़ी है: कठिन परीक्षा का $15$ आसान परीक्षा के $13$ को हरा देता है।

**7.** $z$-मान: $-0.5,\ 1.5,\ 0.5,\ 0,\ -1.5$: [माध्य](#def-g11-stat-mean) $0$, [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) $1$। सामान्य रूप से मानकीकरण पहले $\bar x$ घटाता है (जिससे [माध्य](#def-g11-stat-mean) $0$ हो जाता है और $\sigma$ अछूता रहता है) और फिर $\sigma$ से भाग देता है (जिससे नया $\sigma$ $1$ हो जाता है): यानी प्रश्न 5, दो बार।

**8.** $z = 2$: $100 + 2 \times 15 = 130$। और $z(76) = \frac{76 - 100}{15} = -1.6$।

**9.** शिशु *अपनी आयु के शिशुओं* के [माध्य](#def-g11-stat-mean) भार से $2.5$ [मानक विचलन](#def-g11-stat-variance) नीचे है — अपने समूह के लिए चिंताजनक रूप से हल्का। कच्चे किलोग्राम अलग-अलग आयु के बीच तुलना नहीं करा सकते (हर शिशु भार बढ़ाता है); [z-मान](#pb-g11-stat-1) हर बच्चे को उसके अपने आयु-समूह के सामने नापते हैं, और सब आयु के लिए एक ही पैमाना देते हैं।

**10.** [माध्य](#def-g11-stat-mean) $5$; वर्गों का [माध्य](#def-g11-stat-mean) $\frac{622}{10} = 62.2$, [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) $37.2$, $\sigma \approx 6.10$; $z(23) = \frac{18}{6.10} \approx 2.95$: ख़तरे की सीमा से ज़रा नीचे — परीक्षण मुश्किल से पलक झपकता है।

**11.** $23$ के बिना: [माध्य](#def-g11-stat-mean) $3$, [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) $\frac{93}{9} - 9 \approx 1.33$, $\sigma \approx 1.15$; स्वच्छ पैमाने के सामने $23$ का मान $z \approx \frac{20}{1.15} \approx 17$ बनता है: एक दैत्य। बहिर्मान ने [माध्य](#def-g11-stat-mean) और $\sigma$ दोनों को फुला दिया और स्वयं को छिपा लिया — इसीलिए [अभ्यास 17.10](#exo-g11-stat-10) दूषण का ख़तरा होने पर सुदृढ़ सारांश ([माध्यिका](#def-g11-stat-median), अंतर-चतुर्थक [परास](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles)) की सलाह देता है।

**12.** [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) के योग $\sigma^2 = \frac1N \sum (x_i - \bar x)^2$ में केवल वे पद रखिए जिनके लिए $\abs{x_i - \bar x} \geq k\sigma$ हो: ऐसे $pN$ पद हैं, और हर एक कम से कम $(k\sigma)^2$ है, इसलिए $\sigma^2 \geq \frac{1}{N} \cdot pN \cdot k^2\sigma^2 =
p\,k^2\sigma^2$: $k^2 \sigma^2$ से भाग दीजिए (प्रसार शून्येतर): $p \leq \frac{1}{k^2}$।

**13.** $2\sigma$ से आगे: किसी भी आँकड़ा-समुच्चय का अधिक से अधिक $\frac14 = 25\,\%$; $3\sigma$ से आगे: अधिक से अधिक $\frac19 \approx 11\,\%$। प्रश्न 1 के आँकड़े: [माध्य](#def-g11-stat-mean) $5$ से $2\sigma = 4$ से आगे का अर्थ है $\leq 1$ या $\geq 9$: पाँचों में से कोई नहीं — $0\,\% \leq 25\,\%$, जैसा वादा था।

**14.** $\intcc{49.7}{50.3}$ के बाहर होने का अर्थ है $3\sigma$ से आगे: उत्पादन का अधिक से अधिक $\frac19$, और बंटन की आकृति *चाहे जो हो* — चेबिशेव [माध्य](#def-g11-stat-mean) और $\sigma$ के सिवा कुछ नहीं माँगता। घंटी-आकार वाला उत्पादन कहीं बेहतर सिमटता है ($3\sigma$ से आगे लगभग $0.3\,\%$): यही प्रसामान्य नियम है, कक्षा 12 में।

**15.** $-19\,\%$ [माध्य](#def-g11-stat-mean) $5$ से $24$ अंक नीचे है। निधि B: $24 = 2\sigma_B$: चेबिशेव इतने बुरे वर्षों को $\frac14$ तक की छूट देता है। निधि A: $24 = 12\sigma_A$: अधिक से अधिक $\frac{1}{144}$। एक ही औसत, पर ख़तरे की तुलना ही नहीं हो सकती — $\sigma$ को ही वित्त में *जोखिम* (या अस्थिरता) कहा जाता है।

**16.** $\bar x$ के परितः प्रसार कीजिए: $(x_i - c)^2 = \left((x_i - \bar x) + (\bar x - c)\right)^2
= (x_i - \bar x)^2 + 2(\bar x - c)(x_i - \bar x) +
(\bar x - c)^2$। औसत लेने पर बीच वाला पद मर जाता है ([माध्य](#def-g11-stat-mean) से विचलनों का योग शून्य है), और $f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2$ बचता है — जो ठीक $c = \bar x$ पर [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) है, और उसका [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) मान $\sigma^2$ है। [माध्य](#def-g11-stat-mean) न्यूनतम-वर्ग वाला केंद्र है, जैसे [माध्यिका](#def-g11-stat-median) न्यूनतम-निरपेक्ष वाला केंद्र है ([समस्या 8.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#pb-g10-stats-1))।

**17.** सीधे: $6$ से विचलन $-2, 2, 0, -1, -4$ हैं, वर्ग $4, 4, 0, 1, 16$: $f(6) = \frac{25}{5} = 5$। सूत्र से: $\sigma^2 + (5 - 6)^2 = 4 + 1 = 5$। मेल हो गया।

**18.** दोनों का [माध्य](#def-g11-stat-mean) $7$ है; [प्रसरण](#def-g11-stat-variance): $P$: $\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$; $Q$: $\frac{36 + 0 + 0 + 0 + 36}{5} = 14.4$: एक ही [माध्य](#def-g11-stat-mean) के पीछे अलग-अलग प्रसार। $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ के लिए: [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) $\frac{2a^2}{5} = 8$ से $a = \sqrt{20} \approx 4.47$ मिलता है: आँकड़ा-समुच्चय $\{2.53, 7, 7, 7, 11.47\}$ $P$ का ठीक वही [माध्य](#def-g11-stat-mean) और [प्रसरण](#def-g11-stat-variance) उठाए हुए है पर उसका रूप बिलकुल अलग है — सारांश दबाते हैं, और दबाव में कुछ खोता है।

**19.** $\sigma^2 = 0$ का अर्थ है कि वर्गों का योग $(x_i - \bar x)^2$ लुप्त हो जाता है; वर्ग $\geq 0$ होते हैं, इसलिए शून्य योग हर पद को शून्य होने पर मजबूर कर देता है: सभी $i$ के लिए $x_i = \bar x$ — यानी सारे मान बराबर।

**20.** केंद्र बताते हैं कि आँकड़े कहाँ रहते हैं; प्रसार बताते हैं कि कितने ढीले-ढाले; [z-मान](#pb-g11-stat-1) सभी आँकड़ा-समुच्चयों, परीक्षाओं, आयु-समूहों और मुद्राओं पर एक ही पैमाना रख देता है; चेबिशेव $\sigma$ को एक बेशर्त गारंटी में बदल देता है; और प्रश्न 18 हमें ईमानदार रखता है — चंद संख्याएँ कभी पूरी कहानी नहीं समेटतीं। अगले वर्ष घंटी-वक्र इस पैमाने को यथार्थ [प्रायिकताओं](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) में पैना कर देगा।