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title: "बीजगणित: समीकरण और असमिकाएँ"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 2
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities
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# अध्याय 2 — बीजगणित: समीकरण और असमिकाएँ

बीजगणित अक्षरों के साथ गणना करने की कला है। यह अध्याय दो बुनियादी चालों — [प्रसार](#def-g10-algebra-expand) और [गुणनखंडन](#def-g10-algebra-expand) — को दोहराता और पैना करता है, और उनका उपयोग [समीकरणों](#def-g10-algebra-equation) तथा असमिकाओं को व्यवस्थित ढंग से हल करने में करता है, जिसमें [चिह्न-सारणी](#def-g10-algebra-signtable) केंद्रीय औज़ार है।

## 2.1 प्रसार और गुणनखंडन

**परिभाषा 2.1 (प्रसार, गुणनखंडन).**

किसी व्यंजक का *प्रसार* करने का अर्थ है गुणनफलों को योगों में बदलना; *गुणनखंडन* इसका उल्टा है, अर्थात् योग को गुणनफल में बदलना। बुनियादी नियम वितरण का नियम है:

$$
k(a + b) = ka + kb,
\qquad
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
$$

**उदाहरण 2.2.**

$(2x + 3)(x - 5)$ का चरण-दर-चरण [प्रसार](#def-g10-algebra-expand) कीजिए:

$$
\begin{align*}
(2x + 3)(x - 5)
&= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\
&= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\
&= 2x^2 - 7x - 15 .
\end{align*}
$$

**प्रमेय 2.3 (उल्लेखनीय सर्वसमिकाएँ).**

सभी [वास्तविक संख्याओं](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $a$ और $b$ के लिए:

$$
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
\qquad
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,
\qquad
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .
$$

**उपपत्ति.** हर एक सीधे [प्रसार](#def-g10-algebra-expand) से मिलती है। पहली के लिए:

$$
(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 .
$$

दूसरी $b$ के स्थान पर $-b$ रखने से मिलती है: $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) +
(-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$। तीसरी के लिए: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$। ∎

![(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 क्यों: भुजा a + b वाला वर्ग भुजा a वाले एक वर्ग, भुजा b वाले एक वर्ग और दो a × b आयतों में बँट जाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-algebra/fig-578dad376d43.svg)

*$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ क्यों: भुजा $a + b$ वाला वर्ग भुजा $a$ वाले एक वर्ग, भुजा $b$ वाले एक वर्ग और दो $a \times b$ आयतों में बँट जाता है।*

**उदाहरण 2.4.**

आगे की ओर ([प्रसार](#def-g10-algebra-expand)) और पीछे की ओर ([गुणनखंडन](#def-g10-algebra-expand)), दोनों तरह से प्रयोग:

$$
\begin{align*}
(3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4,
& x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\
(x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16,
& 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 .
\end{align*}
$$

मौखिक गणना को भी लाभ होता है: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) =
10000 - 1 = 9999$।

**विधि 2.5 (किसी व्यंजक का गुणनखंडन).**

इसी क्रम में प्रयास कीजिए:

1. *उभयनिष्ठ गुणनखंड:* ऐसा गुणनखंड पहचानिए जो हर पद में मौजूद हो और उसे बाहर निकाल लीजिए, जैसे $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ । उभयनिष्ठ गुणनखंड एक पूरा कोष्ठक भी हो सकता है: $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ ।
2. *उल्लेखनीय सर्वसमिका:* $a^2 - b^2$ या $a^2 \pm 2ab + b^2$ को पहचानिए, जैसे $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 =  (3x+4)(3x-4)$ ।
3. दोनों को मिलाइए, और परिणाम का [प्रसार](#def-g10-algebra-expand) करके उसकी जाँच कीजिए।

**उदाहरण 2.6.**

$E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ का [गुणनखंडन](#def-g10-algebra-expand) कीजिए। यह दो वर्गों का अंतर $a^2 - b^2$ है, जिसमें $a = 2x+1$ और $b = x-3$ हैं:

$$
\begin{align*}
E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\
  &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\
  &= (3x - 2)(x + 4).
\end{align*}
$$

दूसरे कोष्ठक पर ध्यान दीजिए: $x - 3$ घटाने का अर्थ है $x$ घटाना *और* $3$ जोड़ना।

## 2.2 समीकरण

**परिभाषा 2.7 (समीकरण, हल).**

*समीकरण* ऐसी समता है जिसमें एक अज्ञात संख्या $x$ हो; *हल* $x$ का वह मान है जो समता को सत्य बना देता है। समीकरण हल करने का अर्थ है उसके *सभी* हल खोज निकालना।

दो [समीकरण](#def-g10-algebra-equation) *तुल्य* कहलाते हैं जब उनके हल ठीक एक जैसे हों। दोनों पक्षों में एक ही संख्या जोड़ने से, या दोनों पक्षों को एक ही *शून्येतर* संख्या से गुणा करने से, तुल्य [समीकरण](#def-g10-algebra-equation) मिलता है।

**उदाहरण 2.8 (प्रथम घात समीकरण).**

$5x - 7 = 2x + 8$ को एक-एक चाल करके हल कीजिए:

$$
\begin{align*}
5x - 7 &= 2x + 8 \\
5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(दोनों पक्षों में $7 - 2x$ जोड़ें)} \\
3x &= 15 \\
x &= 5 && \text{(दोनों पक्षों को $3$ से भाग दें)।}
\end{align*}
$$

अकेला हल $5$ है। जाँच: $5 \times 5 - 7 = 18$ और $2 \times 5 + 8 = 18$।

**प्रमेय 2.9 (शून्य-गुणनफल नियम).**

[वास्तविक संख्याओं](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) का गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि उसका कम से कम एक गुणनखंड शून्य हो:

$$
A \times B = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
A = 0 \ \text{ या } \ B = 0 .
$$

**उपपत्ति.** यदि $A = 0$ या $B = 0$ हो, तो गुणनफल स्पष्टतः $0$ है। इसके उलट, मान लीजिए $AB = 0$ और $A \neq 0$ है। दोनों पक्षों को $A$ से भाग देने पर $B = 0$ मिलता है। ∎

**विधि 2.10 (गुणनखंडन द्वारा हल करना).**

ऐसा [समीकरण](#def-g10-algebra-equation) हल करने के लिए जिसका दाहिना पक्ष $0$ हो और जिसके बाएँ पक्ष का [गुणनखंडन](#def-g10-algebra-expand) किया जा सके:

1. सब कुछ बाईं ओर ले आइए ताकि [समीकरण](#def-g10-algebra-equation) $E = 0$ के रूप में आ जाए;
2. $E$ का प्रथम घात गुणनखंडों के गुणनफल में [गुणनखंडन](#def-g10-algebra-expand) कीजिए;
3. शून्य-गुणनफल नियम लगाइए और हर छोटे [समीकरण](#def-g10-algebra-equation) को हल कीजिए;
4. मिले हुए सभी हलों को इकट्ठा कीजिए।

**उदाहरण 2.11.**

$(x - 2)(3x + 6) = 0$ हल कीजिए: या तो $x - 2 = 0$, जिससे $x = 2$ मिलता है, या $3x + 6 = 0$, जिससे $x = -2$ मिलता है। हल: $-2$ और $2$।

$x^2 = 9x$ हल कीजिए। $x$ से भाग *मत* दीजिए (वह शून्य हो सकता है!); सब कुछ एक ओर लाइए और [गुणनखंडन](#def-g10-algebra-expand) कीजिए:

$$
x^2 - 9x = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x(x - 9) = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x = 0 \ \text{ या } \ x = 9 .
$$

**उदाहरण 2.12 (भागफल वाला समीकरण).**

$\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$ हल कीजिए। भागफल ठीक तब शून्य होता है जब उसका अंश शून्य हो *और* हर शून्य न हो। यहाँ $x - 1 = 0$ से $x = 1$ मिलता है, और $1 + 2 = 3 \neq 0$ है: एकमात्र हल $1$ है। मान $x = -2$ *वर्जित* है (शून्य से भाग) और उसे हमेशा पहले ही हटा देना चाहिए।

## 2.3 असमिकाएँ और चिह्न-सारणियाँ

**प्रतिज्ञप्ति 2.13 (असमिकाओं के नियम).**

मान लीजिए $a \leq b$ है।

1. किसी भी $c$ के लिए: $a + c \leq b + c$ (जोड़ने से क्रम बना रहता है)।
2. यदि $c > 0$ हो: $ac \leq bc$ (धनात्मक संख्या से गुणा करने पर क्रम बना रहता है)।
3. यदि $c < 0$ हो: $ac \geq bc$ (ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर क्रम *पलट* जाता है)।

**उपपत्ति.** 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$। 2. $bc - ac = (b-a)c$ दो अऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल है, इसलिए $bc \geq ac$। 3. अब $(b-a)c \leq 0$ एक अऋणात्मक और एक ऋणात्मक संख्या का गुणनफल है, इसलिए $bc \leq ac$। ∎

**उदाहरण 2.14.**

$-2x + 3 > 9$ हल कीजिए:

$$
\begin{align*}
-2x + 3 &> 9 \\
-2x &> 6 && \text{($3$ घटाएँ)} \\
x &< -3 && \text{($-2 < 0$ से भाग दें: असमिका का चिह्न पलटें)।}
\end{align*}
$$

हल-समुच्चय $\intoo{-\infty}{-3}$ है।

**परिभाषा 2.15 (चिह्न-सारणी).**

*चिह्न-सारणी* में, हर गुणनखंड के लिए एक पंक्ति लेकर, यह दर्ज किया जाता है कि जब $x$, $\R$ पर चलता है तब व्यंजक के हर गुणनखंड का चिह्न ($+$ या $-$) क्या है; जिस मान पर गुणनखंड लुप्त होता है वहाँ $0$ लिखा जाता है। अंतिम पंक्ति गुणनफल का चिह्न देती है, जो स्तंभ-दर-स्तंभ चिह्नों के नियम से निकलता है।

**उदाहरण 2.16.**

$P(x) = (x - 2)(3 - x)$ का चिह्न। गुणनखंड $x - 2$ $2$ पर लुप्त होता है और उसके बाद धनात्मक रहता है; गुणनखंड $3 - x$ $3$ पर लुप्त होता है और उससे पहले धनात्मक रहता है:

| $x$ | $-\infty$ | $2$ |  | $3$ | $+\infty$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x - 2$ | $-$ | $0$ | $+$ |  | $+$ |
| $3 - x$ | $+$ |  | $+$ | $0$ | $-$ |
| $P(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |

अतः $P(x) > 0$ ठीक $\intoo{2}{3}$ पर, और $P(x) \leq 0$ $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$ पर।

![P(x) = (x-2)(3-x) का आलेख चिह्न-सारणी की पुष्टि करता है: मूलों 2 और 3 के बीच धनात्मक, बाहर ऋणात्मक।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-algebra/fig-5304e5f43271.svg)

*$P(x) = (x-2)(3-x)$ का आलेख [चिह्न-सारणी](#def-g10-algebra-signtable) की पुष्टि करता है: मूलों $2$ और $3$ के बीच धनात्मक, बाहर ऋणात्मक।*

**विधि 2.17 (चिह्न-सारणी से असमिका हल करना).**

$E(x) \geq 0$ या $E(x) < 0$ जैसी असमिका हल करने के लिए:

1. सब कुछ बाएँ पक्ष में ले आइए, ताकि दाहिना पक्ष $0$ हो जाए (दोनों पक्षों को ऐसे व्यंजक से कभी गुणा न कीजिए जिसका चिह्न अज्ञात हो);
2. बाएँ पक्ष का [गुणनखंडन](#def-g10-algebra-expand) कीजिए, या यदि वह भागफल है तो उसे उभयनिष्ठ हर पर लाइए;
3. हर गुणनखंड के लिए एक पंक्ति लेकर [चिह्न-सारणी](#def-g10-algebra-signtable) बनाइए (भागफल के लिए अंतिम पंक्ति में वर्जित मानों को दोहरी खड़ी रेखा से अंकित कीजिए);
4. वे [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पढ़ लीजिए जहाँ माँगा गया चिह्न मिलता है, और हर सीमा के लिए यह जाँचिए कि वह सम्मिलित है या नहीं।

**उदाहरण 2.18.**

$\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$ हल कीजिए। अंश $-1$ पर लुप्त होता है और हर $3$ पर (वर्जित मान)। भागफल तब ऋणात्मक होता है जब दोनों के चिह्न विपरीत हों, और यह $x$ के $-1$ और $3$ के बीच होने पर होता है। जिस सीमा पर *अंश* लुप्त होता है उसे सम्मिलित करके और वर्जित मान को हटाकर: हल-समुच्चय $\intco{-1}{3}$ है।

## 2.4 अभ्यास

**अभ्यास 2.1 ★.**

[प्रसार](#def-g10-algebra-expand) करके सरल कीजिए:

$$
3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad
(x + 4)(2x - 1), \qquad
(3x - 2)^2, \qquad
(5 - x)(5 + x).
$$

**हल — अभ्यास 2.1.**

$3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$।

$(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$।

$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$।

$(5-x)(5+x) = 25 - x^2$।

**अभ्यास 2.2 ★.**

[गुणनखंडन](#def-g10-algebra-expand) कीजिए:

$$
x^2 - 49, \qquad
x^2 + 10x + 25, \qquad
7x^2 - 14x, \qquad
16x^2 - 8x + 1 .
$$

**हल — अभ्यास 2.2.**

$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (वर्गों का अंतर)।

$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$।

$7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (उभयनिष्ठ गुणनखंड)।

$16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$।

**अभ्यास 2.3 ★.**

हल कीजिए:

$$
4x + 9 = x - 3, \qquad
\frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad
2(x - 3) = 2x + 1 .
$$

(इनमें से एक का कोई हल नहीं है — कारण बताइए।)

**हल — अभ्यास 2.3.**

$4x + 9 = x - 3$: $3x = -12$, इसलिए $x = -4$।

$\frac{2x-1}{3} = 5$: $2x - 1 = 15$, इसलिए $x = 8$।

$2(x-3) = 2x + 1$ का [प्रसार](#def-g10-algebra-expand) $2x - 6 = 2x + 1$ है, अर्थात् $-6 = 1$: हर $x$ के लिए असत्य। कोई हल नहीं — दोनों पक्ष ऐसी समांतर रेखाएँ बताते हैं जो कभी नहीं मिलतीं।

**अभ्यास 2.4 ★.**

शून्य-गुणनफल नियम का उपयोग करके हल कीजिए:

$$
(x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad
x^2 - 16 = 0, \qquad
x^2 + 6x + 9 = 0 .
$$

**हल — अभ्यास 2.4.**

$(x+5)(2x-8) = 0$: $x = -5$ या $x = 4$।

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$: $x = 4$ या $x = -4$।

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$: अकेला हल $x = -3$।

**अभ्यास 2.5 ★.**

असमिकाएँ हल कीजिए और हल-समुच्चयों को [अंतरालों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) के रूप में लिखिए:

$$
3x - 5 \leq 7, \qquad
-4x + 1 > 9, \qquad
2(x - 1) \geq 5x + 4 .
$$

**हल — अभ्यास 2.5.**

$3x - 5 \leq 7$: $3x \leq 12$, इसलिए $x \leq 4$: हल-समुच्चय $\intoc{-\infty}{4}$।

$-4x + 1 > 9$: $-4x > 8$, और $-4$ से भाग देने पर असमिका पलट जाती है: $x < -2$: हल-समुच्चय $\intoo{-\infty}{-2}$।

$2(x-1) \geq 5x + 4$: $2x - 2 \geq 5x + 4$, इसलिए $-3x \geq 6$, इसलिए $x \leq -2$: हल-समुच्चय $\intoc{-\infty}{-2}$।

**अभ्यास 2.6 ★★.**

$E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$ का [गुणनखंडन](#def-g10-algebra-expand) कीजिए, फिर $E = 0$ हल कीजिए।

**हल — अभ्यास 2.6.**

उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x-1)$ है:

$$
E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5)
= (x-1)(8 - x).
$$

तब $E = 0$ तब होता है जब $x = 1$ या $x = 8$ हो (शून्य-गुणनफल नियम)।

**अभ्यास 2.7 ★★.**

$x^2 = 5x$ हल कीजिए, फिर $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$। (दूसरे के लिए सब कुछ बाईं ओर लाइए और वर्गों के अंतर का [गुणनखंडन](#def-g10-algebra-expand) कीजिए।)

**हल — अभ्यास 2.7.**

$x^2 = 5x$: $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$, इसलिए $x = 0$ या $x = 5$ ($x$ से कभी भाग मत दीजिए: हल $0$ खो जाता)।

$(2x+1)^2 = (x-4)^2$: बाईं ओर लाइए और वर्गों के अंतर का [गुणनखंडन](#def-g10-algebra-expand) कीजिए:

$$
(2x+1)^2 - (x-4)^2
= \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr]
= (3x - 3)(x + 5).
$$

शून्य-गुणनफल नियम: $x = 1$ या $x = -5$।

**अभ्यास 2.8 ★★.**

[चिह्न-सारणी](#def-g10-algebra-signtable) का उपयोग करके हल कीजिए:

$$
(x + 2)(4 - x) > 0,
\qquad
\frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 .
$$

**हल — अभ्यास 2.8.**

$(x+2)(4-x) > 0$: गुणनखंड $x + 2$ $-2$ पर लुप्त होता है (उसके बाद धनात्मक), और $4 - x$ $4$ पर लुप्त होता है (उससे पहले धनात्मक)। गुणनफल ठीक तब धनात्मक है जब दोनों गुणनखंड धनात्मक हों, अर्थात् $\intoo{-2}{4}$ पर।

$\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$: अंश $3$ पर शून्य, हर $-1$ पर शून्य (वर्जित)। [चिह्न-सारणी](#def-g10-algebra-signtable): भागफल तब धनात्मक है जब दोनों भागों के चिह्न समान हों, अर्थात् $x < -1$ या $x > 3$ के लिए; वह $x = 3$ पर लुप्त होता है। हल-समुच्चय: $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$।

**अभ्यास 2.9 ★★.**

एक स्ट्रीमिंग सेवा का शुल्क $9$ प्रति माह है, और उसके साथ $15$ का एकमुश्त पंजीकरण शुल्क भी लगता है; एक प्रतिद्वंद्वी सेवा का शुल्क $12$ प्रति माह है और कोई पंजीकरण शुल्क नहीं। कितने महीनों के बाद पहली सेवा कुल मिलाकर सस्ती पड़ने लगती है? असमिका बनाइए और हल कीजिए।

**हल — अभ्यास 2.9.**

$x$ महीनों के बाद पहली सेवा का ख़र्च $9x + 15$ है और दूसरी का $12x$। पहली तब सस्ती है जब

$$
9x + 15 < 12x
\ \Longleftrightarrow\
15 < 3x
\ \Longleftrightarrow\
x > 5 .
$$

$6$-वें महीने से आगे कुल मिलाकर पहली सेवा ही सस्ता विकल्प है।

**अभ्यास 2.10 ★★.**

$\dfrac{x+3}{x-1} = 2$ हल कीजिए। (वर्जित मान हटाने के बाद दोनों पक्षों को $x - 1$ से गुणा कीजिए, या सब कुछ उभयनिष्ठ हर पर लेकर बाईं ओर ले आइए।)

**हल — अभ्यास 2.10.**

वर्जित मान: $x = 1$। $x \neq 1$ के लिए दोनों पक्षों को $x - 1$ से गुणा कीजिए:

$$
x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2
\ \Longleftrightarrow\
x = 5 .
$$

चूँकि $5 \neq 1$ है, हल $x = 5$ है। जाँच: $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$।

**अभ्यास 2.11 ★★★.**

मान लीजिए $n$ एक [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) है। दिखाइए कि $(n + 1)^2 - n^2$ सदा विषम होता है, और यह भी कि दो क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का अंतर सदा $8$ का गुणज होता है।

**हल — अभ्यास 2.11.**

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$, जो हर [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n$ के लिए विषम है।

दो क्रमागत विषम संख्याओं को $2n - 1$ और $2n + 1$ लिखा जा सकता है। तब

$$
(2n+1)^2 - (2n-1)^2
= \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr]
= 4n \times 2 = 8n,
$$

जो $8$ का गुणज है।

## 2.5 समस्या: बेबीलोन से स्वर्ण अनुपात तक

**समस्या 2.1.**

सप्ताहांत समस्या — योग-और-गुणनफल की समस्याएँ, अल-ख़्वारिज़्मी के खींचे चित्र के अनुसार वर्ग पूरा करना, और समीकरण $x^2 = x + 1$

चार हज़ार साल पहले बेबीलोन के लिपिक मिट्टी की पट्टियों पर यही हल करते थे: *दो संख्याओं का योग और गुणनफल जानते हुए उन्हें ढूँढ़ना*। उनकी तरकीब — संख्याओं को आधे योग के दोनों ओर सममित रूप से खोजना — आज भी हर द्विघात [समीकरण](#def-g10-algebra-equation) को तोड़ देती है, अपने आधुनिक नाम *वर्ग पूरा करना* के साथ। यह समस्या पहले वह तरकीब सीखती है, फिर अल-ख़्वारिज़्मी को सचमुच एक वर्ग पूरा करते देखती है, और अंत में उस विधि को सबसे प्रसिद्ध अनुपात पर काम में लगाती है।

**भाग I — बेबीलोनी समस्या।**

1. तैयारी ( [प्रमेय 2.3](#thm-g10-algebra-identities) ): $x^2 - 10x + 25$ का [गुणनखंडन](#def-g10-algebra-expand) कीजिए, फिर $9x^2 - 49$ का, और फिर — एक सर्वसमिका को वर्गों के अंतर के साथ मिलाकर — $x^2 + 6x + 9 - 4$ का।
2. $(x + 1)(x + 5) = 0$ और $(3x - 7)(3x + 7) = 0$ हल कीजिए ( [प्रमेय 2.9](#thm-g10-algebra-zeroproduct) )।
3. लिपिक की समस्या: दो संख्याओं का योग $10$ और गुणनफल $21$ है। बेबीलोन का अनुसरण करते हुए उन्हें $5 - t$ और $5 + t$ लिखिए (आधे योग के दोनों ओर सममित) और $t$ ज्ञात कीजिए, फिर दोनों संख्याएँ।
4. वही विधि: योग $14$ , गुणनफल $33$ ।
5. सामान्य नुस्ख़ा: योग $s$ और गुणनफल $p$ के लिए दिखाइए कि दोनों संख्याएँ $$\frac s2 - t  \quad\text{और}\quad  \frac s2 + t,  \qquad\text{जहाँ}\quad  t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p ,$$ हैं, और $s$ तथा $p$ पर वह शर्त बताइए जिससे समस्या का हल हो।

**भाग II — वर्ग पूरा करना।**

6. $(x - a)(x - b)$ का [प्रसार](#def-g10-algebra-expand) कीजिए और निष्कर्ष निकालिए: $x^2 - sx + p = 0$ के हल ठीक वही संख्या-युग्म हैं जिनका योग $s$ और गुणनफल $p$ है। (लिपिक बिना जाने द्विघात [समीकरण](#def-g10-algebra-equation) ही हल कर रहे थे।)
7. जाँचिए कि $x^2 - 10x + 21 = (x - 5)^2 - 4$ , और $x^2 - 10x + 21 = 0$ को दाहिने पक्ष का वर्गों के अंतर के रूप में [गुणनखंडन](#def-g10-algebra-expand) करके हल कीजिए। प्रश्न 3 से तुलना कीजिए।
8. $x^2 + 6x - 7 = 0$ को वर्ग पूरा करके हल कीजिए।
9. $x^2 + 4x + 5$ में वर्ग पूरा कीजिए, और समझाइए कि [समीकरण](#def-g10-algebra-equation) $x^2 + 4x + 5 = 0$ का कोई वास्तविक हल क्यों *नहीं* है। सामान्य कसौटी बताइए: $(x + h)^2 + k$ के रूप में लिख लेने पर कोई द्विघात व्यंजक कब लुप्त होता है?
10. नाम अक्षरशः सही है। नवीं सदी के बग़दाद में अल-ख़्वारिज़्मी ने $x^2 + 6x = 7$ को भुजा $x$ वाले एक वर्ग के रूप में खींचा जिसकी दो भुजाओं से दो $3 \times x$ आयत चिपके थे, और छूटे हुए $3 \times 3$ कोने को जोड़कर उन्होंने *वर्ग पूरा किया* । यह चित्र खींचिए और समझाइए कि यह [समीकरण](#def-g10-algebra-equation) को $(x + 3)^2 = 16$ में कैसे बदल देता है — फिर हल कीजिए।

**भाग III — चिह्न, सारणियाँ और दो पुराने वादे।**

11. $(x - 3)(x + 2)$ की [चिह्न-सारणी](#def-g10-algebra-signtable) बनाइए ( [परिभाषा 2.15](#def-g10-algebra-signtable) ) और $(x - 3)(x + 2) < 0$ हल कीजिए।
12. $x^2 \leq 10x - 21$ हल कीजिए (सब कुछ एक ओर लाइए और प्रश्न 7 फिर से काम में लाइए)।
13. $\dfrac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ को [चिह्न-सारणी](#def-g10-algebra-signtable) से हल कीजिए, वर्जित मान का ध्यान रखते हुए।
14. एक पुराना वादा निभा: माध्यमिक विद्यालय खंड की रानी डिडो की बाड़ वाली समस्या के किसान के पास $20$ m बाड़ है, और $x \times (10 - x)$ बाड़े का क्षेत्रफल $$A(x) = x(10 - x) = 25 - (x - 5)^2 .$$ को संतुष्ट करता है। सर्वसमिका की जाँच कीजिए, और उससे उस बात की *उपपत्ति* पढ़ लीजिए जिसका कक्षा 6 केवल अनुमान लगा सकी थी: अधिकतम क्षेत्रफल, और उसे प्राप्त करने वाला अकेला $x$।
15. एक और: सिद्ध कीजिए कि हर $x > 0$ के लिए $x + \dfrac1x \geq 2$ है, और समता केवल $x = 1$ पर होती है। ( $x$ से गुणा कीजिए, पद इकट्ठे कीजिए, एक वर्ग पहचानिए — माध्यमिक विद्यालय खंड की यूक्लिड-संबंधों वाली सप्ताहांत समस्या की समांतर–गुणोत्तर माध्य असमिका ही नए लिबास में।)

**भाग IV — स्वर्ण विभाजन।** लंबाई $1$ के एक रेखाखंड को एक बड़े भाग $x$ और एक छोटे भाग $1 - x$ में इस तरह काटिए कि *पूरा बड़े से उसी अनुपात में हो जिसमें बड़ा छोटे से है*: $\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$।

16. दिखाइए कि यह शर्त $x^2 + x - 1 = 0$ बन जाती है।
17. वर्ग पूरा करके हल कीजिए, और वह मूल रखिए जो लंबाई हो सकता है: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ ।
18. *स्वर्ण अनुपात* $\varphi = \frac1x = \frac{2}{\sqrt5 - 1}$ है। हर का परिमेयकरण कीजिए (ऊपर और नीचे दोनों को $\sqrt5 + 1$ से गुणा कीजिए — वही सर्वसमिका काम पर) और दिखाइए कि $\varphi = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ ।
19. $\varphi$ की दो जादुई सर्वसमिकाओं की *यथार्थ* जाँच कीजिए: $$\varphi^2 = \varphi + 1,  \qquad  \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 .$$
20. समापन: समझाइए कि $\varphi$ [अपरिमेय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#ex-g10-numbers-classify) क्यों है (माध्यमिक विद्यालय खंड की अपरिमेयता वाली सप्ताहांत समस्या $\sqrt5$ के बारे में मुख्य तथ्य देती है), फिर क्रमागत हेमचंद्र–फिबोनाच्ची संख्याओं (माध्यमिक विद्यालय खंड की लय-गणना वाली सप्ताहांत समस्या) के अनुपात $\frac53$ , $\frac85$ , $\frac{13}{8}$ , $\frac{21}{13}$ को तीन दशमलव स्थानों तक निकालिए। वे किसका पीछा करते जान पड़ते हैं? (वे उसे पकड़ भी लेते हैं, इसकी उपपत्ति अनुक्रमों वाले अध्यायों की है।)

**हल — समस्या 2.1.**

**1.** $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$; $9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)$; $x^2 + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 1)(x + 5)$।

**2.** $x = -1$ या $x = -5$; $x = \frac73$ या $x = -\frac73$।

**3.** $(5 - t)(5 + t) = 25 - t^2 = 21$ से $t^2 = 4$, $t = 2$ मिलता है: संख्याएँ $3$ और $7$ हैं (योग $10$, गुणनफल $21$: जाँच लीजिए)।

**4.** $(7 - t)(7 + t) = 49 - t^2 = 33$: $t = 4$, संख्याएँ $3$ और $11$।

**5.** $\left(\frac s2 - t\right)\left(\frac s2 + t\right)
= \left(\frac s2\right)^2 - t^2 = p$ से $t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$ निकलता है। हल ठीक तब है जब यह $\geq 0$ हो, अर्थात् जब $p \leq \left(\frac s2\right)^2$ हो — दिए गए योग वाली दो संख्याओं का गुणनफल आधे योग के वर्ग को कभी नहीं हरा सकता (माध्यमिक विद्यालय खंड की रानी डिडो की बाड़ वाली समस्या यह जानती थी)।

**6.** $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$: [समीकरण](#def-g10-algebra-equation) $x^2 - sx + p = 0$ ठीक यही कहता है कि “$x$ उन दो संख्याओं में से एक है जिनका योग $s$ और गुणनफल $p$ है”।

**7.** $(x-5)^2 - 4 = x^2 - 10x + 25 - 4 = x^2 - 10x +
21$। वर्गों का अंतर: $(x - 5 - 2)(x - 5 + 2) = (x - 7)(x - 3) = 0$: हल $3$ और $7$ — प्रश्न 3 के लिपिक वाली संख्याएँ।

**8.** $x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = 0$ से $(x + 3)^2 = 16$, $x + 3 = \pm 4$ मिलता है: $x = 1$ या $x = -7$।

**9.** हर $x$ के लिए $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$: कोई वास्तविक हल नहीं। $(x + h)^2 + k$ के रूप में: हल ठीक तब हैं जब $k \leq 0$ हो (तब $(x+h)^2 = -k$ के दो मूल $-h \pm \sqrt{-k}$ हैं); और जब $k > 0$ हो तब व्यंजक धनात्मक ही रहता है।

**10.** भुजा $x$ वाला वर्ग (क्षेत्रफल $x^2$) और दो $3 \times x$ आयत (कुल $6x$) मिलकर $x^2 + 6x = 7$ क्षेत्रफल का एक L बनाते हैं; छूटा हुआ $3 \times 3$ कोना (क्षेत्रफल $9$) उसे भुजा $x + 3$ वाला बड़ा वर्ग पूरा कर देता है। दोनों पक्षों में $9$ जोड़ने पर $(x + 3)^2 = 16$, इसलिए $x + 3 = 4$ (लंबाइयाँ धनात्मक हैं) और $x = 1$। बीजगणित और चित्र एक ही काम हैं।

**11.** $(x-3)(x+2)$: मूलों के बीच ऋणात्मक। $< 0$ का हल: $x \in \intoo{-2}{3}$।

**12.** $x^2 - 10x + 21 \leq 0$, अर्थात् $(x - 3)(x - 7) \leq 0$: मूलों के बीच, सिरे सम्मिलित: $x \in \intcc{3}{7}$।

**13.** $x = 1$ पर शून्य, $x = -2$ पर वर्जित; भागफल मूलों के बाहर धनात्मक है: $x \in \intoo{-\infty}{-2} \cup \intco{1}{+\infty}$।

**14.** $25 - (x - 5)^2 = 25 - x^2 + 10x - 25 =
x(10 - x)$: सर्वसमिका सत्यापित। चूँकि सदा $(x-5)^2 \geq 0$ है, इसलिए $A(x) \leq 25$, और समता ठीक तब जब $x = 5$ हो: $5 \times 5$ वाला वर्गाकार बाड़ा, अधिकतम $25$ m$^2$ — कक्षा 6 की सारणी, अब दो पंक्तियों की उपपत्ति।

**15.** $x > 0$ के लिए दावे को $x$ से गुणा कीजिए: $x^2 + 1 \geq 2x$, अर्थात् $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ — जो सत्य है, और समता केवल $x = 1$ पर। वापस $x > 0$ से भाग देने पर सब कुछ बना रहता है ([प्रतिज्ञप्ति 2.13](#prop-g10-algebra-ineqrules))।

**16.** $\frac1x = \frac{x}{1 - x}$ का तिर्यक गुणन करने पर (सभी लंबाइयाँ धनात्मक हैं): $x^2 = 1 - x$, अर्थात् $x^2 + x - 1 = 0$।

**17.** $x^2 + x - 1 = \left(x + \frac12\right)^2 -
\frac54 = 0$ से $x + \frac12 = \pm\frac{\sqrt5}{2}$ मिलता है। धनात्मक मूल: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$।

**18.** $\varphi = \frac{2}{\sqrt5 - 1} =
\frac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)}
= \frac{2(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt5 + 1}{2}
\approx 1.618$।

**19.** $\varphi^2 = \frac{(\sqrt5 + 1)^2}{4} =
\frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2}$, और $\varphi + 1 = \frac{\sqrt5 + 3}{2}$: बराबर। और $\varphi - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = x = \frac1\varphi$ (इसी तरह $\varphi$ परिभाषित किया गया था)। स्वर्ण अनुपात वह संख्या है जिसका वर्ग एक जोड़ देता है और जिसका व्युत्क्रम एक घटा देता है।

**20.** $\sqrt5$ [अपरिमेय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#ex-g10-numbers-classify) है (माध्यमिक विद्यालय खंड की अपरिमेयता वाली सप्ताहांत समस्या: $5$ कोई पूर्ण वर्ग नहीं है), और $1$ जोड़कर फिर आधा करने से अपरिमेयता बनी रहती है (परिमेय संक्रियाएँ, [समस्या 1.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#pb-g10-numbers-1))। अनुपात: $\frac53 \approx 1.667$, $\frac85 = 1.600$, $\frac{13}{8} = 1.625$, $\frac{21}{13} \approx 1.615$: बारी-बारी से ऊपर और नीचे, $\varphi = 1.618\ldots$ की ओर सिमटते हुए — माध्यमिक विद्यालय खंड की लय-गणना वाली सप्ताहांत समस्या की संख्याएँ चुपके से स्वर्ण विभाजन का पीछा करती हैं; अनुक्रमों वाले अध्याय उन्हें रँगे हाथों पकड़ेंगे।