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title: "अनुक्रम"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 20
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences
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# अध्याय 20 — अनुक्रम

[अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) [प्राकृत संख्याओं](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) से सूचकित [वास्तविक संख्याओं](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) की सूची है। [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) विविक्त विकास का प्रतिरूप बनाते हैं — वर्ष-दर-वर्ष गिनी गई जनसंख्या, बैंक खाते के शेष, किसी संख्या के क्रमिक [सन्निकटन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-approx) — और उनकी सीमाएँ अनंत से पहली गंभीर भेंट हैं। यह अध्याय शब्दावली, आगमन का सिद्धांत, और अभिसरण की मूलभूत प्रमेय तैयार करता है।

## 20.1 आगमन द्वारा तर्क

**प्रमेय 20.1 (आगमन का सिद्धांत).**

मान लीजिए $P(n)$ किसी [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n$ पर निर्भर कथन है, और $n_0 \in \N$ है। यदि

1. *(आधार-स्थिति)* $P(n_0)$ सत्य हो, और
2. *(आगमन-चरण)* हर $n \geq n_0$ के लिए $P(n)$ से $P(n+1)$ निकलता हो,

तो $P(n)$ हर $n \geq n_0$ के लिए सत्य है।

**उपपत्ति.** विरोधाभास के लिए मान लीजिए उन [पूर्णांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n \geq n_0$ का समुच्चय $A$, जिनके लिए $P(n)$ असत्य है, रिक्त नहीं है। तब $A$ का एक सबसे छोटा अवयव $m$ है।[1](#fn-1) चूँकि $P(n_0)$ सत्य है, इसलिए $m > n_0$, अतः $m - 1 \geq n_0$ और $m-1 \notin A$, अर्थात् $P(m-1)$ सत्य है। तब $n = m-1$ पर आगमन-चरण लगाने से $P(m)$ सत्य निकलता है, जो $m \in A$ का खंडन करता है। ∎

**उदाहरण 20.2.**

आइए *बर्नूली असमिका* सिद्ध करें: हर वास्तविक $a > 0$ और हर $n \in \N$ के लिए

$$
(1+a)^n \geq 1 + na.
$$

*आधार-स्थिति:* $n = 0$ के लिए दोनों पक्ष $1$ के बराबर हैं। *आगमन-चरण:* मान लीजिए किसी $n \in \N$ के लिए $(1+a)^n \geq 1+na$ है। चूँकि $1 + a > 0$ है, इसलिए दोनों पक्षों को $1+a$ से गुणा करने पर असमिका बनी रहती है:

$$
(1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a .
$$

आगमन द्वारा असमिका सभी $n \in \N$ के लिए सही है।

**विधि 20.3 (आगमन की उपपत्ति लिखना).**

शुरू करने से पहले कथन $P(n)$ सदा स्पष्ट रूप से लिख लीजिए। पूरी उपपत्ति के तीन भाग दिखाई देने चाहिए: आधार-स्थिति, आगमन-चरण (“मान लीजिए $P(n)$; हम $P(n+1)$ सिद्ध करते हैं”), और आगमन के सिद्धांत का हवाला देते हुए निष्कर्ष। सबसे आम भूल आगमन-चरण को परिकल्पना $P(n)$ का उपयोग किए बिना सिद्ध कर देना है: ऐसा हो जाए तो या तो उपपत्ति ग़लत है या आगमन की ज़रूरत ही नहीं थी।

## 20.2 अनुक्रमों की शब्दावली

**परिभाषा 20.4 (अनुक्रम).**

*अनुक्रम* एक [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $u \colon \N \to \R$ है (या $\{n \in \N : n \geq n_0\}$ से $\R$ तक)। $n$ का [प्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) $u_n$ लिखा जाता है, और अनुक्रम स्वयं $(u_n)_{n\in\N}$ या केवल $(u_n)$।

[अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) *स्पष्ट रूप से*, किसी सूत्र $u_n = f(n)$ से, या *पुनरावृत्ति* से, अपने पहले पद और किसी संबंध $u_{n+1} = f(u_n)$ से परिभाषित किया जा सकता है।

**परिभाषा 20.5 (एकदिष्टता).**

[अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ *वर्धमान* है यदि सभी $n$ के लिए $u_{n+1} \geq u_n$ हो, *[ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)* है यदि सभी $n$ के लिए $u_{n+1} \leq u_n$ हो, और *एकदिष्ट* है यदि वह वर्धमान या [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) हो। असमिकाएँ कड़ी हों तो वह *निरंतर* वर्धमान (क्रमशः [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)) है।

**विधि 20.6 (किसी अनुक्रम की एकदिष्टता का अध्ययन).**

तीन मानक तकनीकें:

1. $u_{n+1} - u_n$ के चिह्न का अध्ययन कीजिए;
2. यदि सभी पद धनात्मक हों, तो $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ की $1$ से तुलना कीजिए;
3. यदि $\intco{0}{+\infty}$ पर परिभाषित $f$ के साथ $u_n = f(n)$ हो, तो $f$ के परिवर्तन काम में लाइए।

**परिभाषा 20.7 (परिबद्ध अनुक्रम).**

[अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ *ऊपर परिबद्ध* है यदि ऐसा $M \in \R$ हो जिसके लिए सभी $n$ के लिए $u_n \leq M$ हो; *नीचे परिबद्ध* है यदि ऐसा $m \in \R$ हो जिसके लिए सभी $n$ के लिए $u_n \geq m$ हो; और *परिबद्ध* है यदि दोनों बातें सही हों।

### 20.2.1 समांतर और गुणोत्तर अनुक्रम

**परिभाषा 20.8 (समांतर और गुणोत्तर अनुक्रम).**

[अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ [सार्व अंतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) $r$ वाला *समांतर* है यदि सभी $n$ के लिए $u_{n+1} = u_n + r$ हो, और [सार्व अनुपात](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric) $q$ वाला *गुणोत्तर* है यदि सभी $n$ के लिए $u_{n+1} = q\,u_n$ हो।

**प्रतिज्ञप्ति 20.9 (स्पष्ट रूप और योग).**

मान लीजिए $n \in \N$ है।

1. यदि $(u_n)$ [सार्व अंतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) $r$ वाला [समांतर](#def-g12-seq-arith-geom) हो, तो $u_n = u_0 + nr$ और $$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}.$$
2. यदि $(u_n)$ [सार्व अनुपात](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric) $q \neq 1$ वाला [गुणोत्तर](#def-g12-seq-arith-geom) हो, तो $u_n = u_0\, q^n$ और $$u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$$

**उपपत्ति.** स्पष्ट रूप तत्काल आगमन से निकल आते हैं। [समांतर](#def-g12-seq-arith-geom) योग के लिए $S = u_0 + \dots + u_n$ लिखिए और उसी योग को उल्टे क्रम में लिखकर जोड़िए: $n+1$ स्तंभ-योगों में से हर एक $u_0 + u_n$ के बराबर है, इसलिए $2S = (n+1)(u_0+u_n)$। [गुणोत्तर](#def-g12-seq-arith-geom) योग के लिए $S - qS$ निकालिए: पहले और अंतिम को छोड़कर सभी पद जोड़ों में कट जाते हैं, इसलिए $(1-q)S = u_0(1 - q^{n+1})$। ∎

## 20.3 अनुक्रम की सीमा

**परिभाषा 20.10 (अभिसारी अनुक्रम).**

[अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ [वास्तविक संख्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $\ell$ पर *अभिसरित* होता है यदि $\ell$ को समेटने वाले हर खुले [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) में किसी सूचक से आगे के सभी पद $u_n$ आ जाएँ। तब हम $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ लिखते हैं।

समतुल्य रूप से: हर $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $N \in \N$ है कि सभी $n \geq N$ के लिए $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ हो।

![u_n = 2 + (-1)n/n का = 2 पर अभिसरण: > 0 दिए होने पर सूचक N से आगे के सभी पद पट्टी ( - , + ) में पड़ते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-8991cce01fa0.svg)

*$u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ का $\ell = 2$ पर अभिसरण: $\varepsilon > 0$ दिए होने पर सूचक $N$ से आगे के सभी पद पट्टी $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$ में पड़ते हैं।*

**परिभाषा 20.11 (अनंत की ओर अपसरण).**

[अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ *$+\infty$ की ओर जाता है* यदि हर $A \in \R$ के लिए ऐसा $N \in \N$ हो कि सभी $n \geq N$ के लिए $u_n \geq A$ हो। हम $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ लिखते हैं; $\lim u_n = -\infty$ की परिभाषा इसी जैसी है। जो [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) नहीं होता वह *अपसारी* कहलाता है।

**टिप्पणी 20.12.**

कोई [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) $\pm\infty$ की ओर गए बिना भी अपसारी हो सकता है: [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) $u_n = (-1)^n$ केवल मान $1$ और $-1$ लेता है और उसकी कोई सीमा नहीं है।

**प्रतिज्ञप्ति 20.13 (सीमा की अद्वितीयता).**

यदि $(u_n)$ [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) हो, तो उसकी सीमा अद्वितीय है।

**उपपत्ति.** मान लीजिए $u_n \to \ell$ और $u_n \to \ell'$ हैं, जहाँ $\ell \neq \ell'$ है, मान लीजिए $\ell < \ell'$। $\varepsilon = \frac{\ell' - \ell}{3} > 0$ रखिए। किसी सूचक से आगे $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ और $\abs{u_n - \ell'} \leq \varepsilon$, अतः

$$
\ell' - \ell \leq \abs{\ell' - u_n} + \abs{u_n - \ell}
\leq 2\varepsilon = \tfrac{2}{3}(\ell' - \ell) < \ell' - \ell,
$$

जो विरोधाभास है। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 20.14 (सीमाओं पर संक्रियाएँ).**

मान लीजिए $(u_n)$ और $(v_n)$ ऐसे [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) हैं जिनकी सीमाएँ $\ell$ और $\ell'$ हैं (परिमित या अनंत)। तब, जब तक दाहिना पक्ष अनिर्धार्य रूप न हो,

$$
\lim (u_n + v_n) = \ell + \ell', \qquad
\lim (u_n v_n) = \ell\,\ell', \qquad
\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell'}.
$$

अनिर्धार्य रूप $(+\infty) + (-\infty)$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ और $\frac{0}{0}$ हैं।

**उपपत्ति.** हम परिमित सीमाओं के लिए योग का नियम सिद्ध करते हैं; शेष स्थितियाँ इसी जैसी हैं और अभ्यास के लिए छोड़ दी गई हैं। मान लीजिए $\varepsilon > 0$ है। ऐसे $N_1, N_2$ हैं कि $n \geq N_1$ के लिए $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon/2$ और $n \geq N_2$ के लिए $\abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon/2$ हो। $n \geq \max(N_1, N_2)$ के लिए त्रिभुज असमिका देती है

$$
\abs{(u_n + v_n) - (\ell + \ell')}
\leq \abs{u_n - \ell} + \abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon. \qedhere
$$

∎

**विधि 20.15 (अनिर्धार्य रूप हटाना).**

अनिर्धार्य रूप सामने आए तो हावी पद बाहर निकाल लीजिए। जैसे

$$
n^2 - n = n^2\left(1 - \tfrac{1}{n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty,
\qquad
\frac{2n^2+1}{n^2 - n} = \frac{2 + 1/n^2}{1 - 1/n}
\xrightarrow[n\to+\infty]{} 2 .
$$

## 20.4 अभिसरण की प्रमेय

**प्रमेय 20.16 (तुलना और संपीडन प्रमेय).**

मान लीजिए $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) हैं।

1. यदि किसी सूचक से आगे $u_n \leq v_n$ हो और $u_n \to +\infty$ हो, तो $v_n \to +\infty$ ।
2. *(संपीडन प्रमेय)* यदि किसी सूचक से आगे $u_n \leq v_n \leq w_n$ हो और $(u_n)$ तथा $(w_n)$ दोनों एक ही सीमा $\ell$ पर [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) हों, तो $(v_n)$ भी $\ell$ पर [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होता है।

**उपपत्ति.** *1.* मान लीजिए $A \in \R$ है। चूँकि $u_n \to +\infty$, इसलिए ऐसा $N$ है कि $n \geq N$ के लिए $u_n \geq A$ हो; आवश्यकता हो तो $N$ बड़ा करके $n \geq N$ के लिए $v_n \geq u_n \geq A$।

*2.* मान लीजिए $\varepsilon > 0$ है। किसी सूचक से आगे $\ell - \varepsilon \leq u_n$ और $w_n \leq \ell + \varepsilon$ दोनों सही हैं, अतः $\ell - \varepsilon \leq u_n \leq v_n \leq w_n \leq \ell + \varepsilon$, अर्थात् $\abs{v_n - \ell} \leq \varepsilon$। ∎

**उदाहरण 20.17.**

सभी $n \geq 1$ के लिए $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$, और दोनों सीमाएँ $0$ की ओर जाती हैं; अतः $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$।

**प्रमेय 20.18 (एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय).**

[ऊपर परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded) [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होता है। [नीचे परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded) [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होता है। जो [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) [ऊपर परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded) न हो वह $+\infty$ की ओर जाता है।

**आंशिक उपपत्ति.** हम तीसरा कथन सिद्ध करते हैं। मान लीजिए $(u_n)$ [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) है और [ऊपर परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded) नहीं, और $A \in \R$ है। चूँकि $A$ कोई ऊपरी परिबंध नहीं है, इसलिए ऐसा $N$ है कि $u_N \geq A$ हो; एकदिष्टता से सभी $n \geq N$ के लिए $u_n \geq u_N \geq A$। अतः $u_n \to +\infty$।

दोनों अभिसरण-कथन $\R$ के लघुतम ऊपरी परिबंध वाले गुण पर टिके हैं; उन्हें *इस स्तर पर स्वीकार कर लिया जाता है* (और स्नातक के पहले वर्ष में सिद्ध किया जाता है)। ∎

**टिप्पणी 20.19.**

यह प्रमेय सीमा के *अस्तित्व* की गारंटी देती है, पर उसका मान नहीं बताती। $M$ से [ऊपर परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded) कोई [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) किसी $\ell \leq M$ पर [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होता है, और आवश्यक नहीं कि वह $M$ ही हो।

**प्रमेय 20.20 (गुणोत्तर अनुक्रमों की सीमा).**

मान लीजिए $q \in \R$ है।

1. यदि $q > 1$ हो, तो $q^n \to +\infty$ ।
2. यदि $q = 1$ हो, तो $q^n \to 1$ ।
3. यदि $\abs{q} < 1$ हो, तो $q^n \to 0$ ।
4. यदि $q \leq -1$ हो, तो $(q^n)$ अपसारी है और उसकी कोई सीमा नहीं है।

**उपपत्ति.** *1.* $a > 0$ के साथ $q = 1 + a$ लिखिए। बर्नूली असमिका ([उदाहरण 20.2](#ex-g12-seq-bernoulli)) से $q^n \geq 1 + na \to +\infty$ मिलता है, और तुलना ([प्रमेय 20.16](#thm-g12-seq-squeeze)) से निष्कर्ष निकल आता है।

*2.* तत्काल।

*3.* यदि $q = 0$ हो तो दावा स्पष्ट है। अन्यथा $\abs{q} < 1$ से $1/\abs{q} > 1$ मिलता है, इसलिए बिंदु 1 से $(1/\abs{q})^n \to +\infty$, अतः $\abs{q}^n \to 0$, और $-\abs{q}^n \leq q^n \leq \abs{q}^n$ से संपीडन प्रमेय द्वारा निष्कर्ष निकाला जा सकता है।

*4.* $q \leq -1$ के लिए $(q^{2n})$ मान $\geq 1$ लेता है जबकि $(q^{2n+1})$ मान $\leq -1$ लेता है: कोई एक सीमा दोनों उपअनुक्रमों को नहीं खींच सकती। ∎

![(qn) के तीन व्यवहार: q > 1 के लिए +∈fty की ओर अपसरण (लाल), q < 1 के लिए 0 पर अभिसरण (नीला), और -1 < q < 0 के लिए मंद पड़ता दोलन — फिर भी 0 पर अभिसरण (नारंगी)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-d2621466e91a.svg)

*$(q^n)$ के तीन व्यवहार: $q > 1$ के लिए $+\infty$ की ओर अपसरण (लाल), $\abs q < 1$ के लिए $0$ पर अभिसरण (नीला), और $-1 < q < 0$ के लिए मंद पड़ता दोलन — फिर भी $0$ पर अभिसरण (नारंगी)।*

**विधि 20.21 (पुनरावर्ती अनुक्रम un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)).**

$u_{n+1} = f(u_n)$ से परिभाषित [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) का अध्ययन करने के लिए:

1. आगमन से सिद्ध कीजिए कि $(u_n)$ ऐसे [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ में बना रहता है जिस पर $f$ का व्यवहार अच्छा है (और प्रायः यह भी कि $(u_n)$ [एकदिष्ट](#def-g12-seq-monotonic) है);
2. [एकदिष्ट](#def-g12-seq-monotonic) अभिसरण प्रमेय से अभिसरण निकालिए;
3. संबंध $u_{n+1} = f(u_n)$ में सीमा लीजिए: यदि $f$ संतत हो और $u_n \to \ell \in I$ हो, तो $\ell$ $f(\ell) = \ell$ को संतुष्ट करता है ( [अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#ch-g12-limcont) देखिए); इस [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) को हल कीजिए और सही [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) चुनिए।

![u_n+1 = √u_n + 2, u_0 = 0 () के लिए सीढ़ी-रचना: हर ऊर्ध्वाधर क़दम वक्र पर f(u_n) पढ़ता है, और हर क्षैतिज क़दम उसे y = x से होकर वापस ले आता है। अनुक्रम चढ़कर स्थिर बिंदु = 2 तक जाता है, जहाँ वक्र रेखा से मिलता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-fce72bb54caf.svg)

*$u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$, $u_0 = 0$ ([अभ्यास 20.6](#exo-g12-seq-6)) के लिए सीढ़ी-रचना: हर ऊर्ध्वाधर क़दम वक्र पर $f(u_n)$ पढ़ता है, और हर क्षैतिज क़दम उसे $y = x$ से होकर वापस ले आता है। [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) चढ़कर [स्थिर बिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) $\ell = 2$ तक जाता है, जहाँ वक्र रेखा से मिलता है।*

**उदाहरण 20.22.**

मान लीजिए $u_0 = 2$ और $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ है। आगमन से जाँचा जा सकता है कि सभी $n$ के लिए $u_n \geq \sqrt{2}$ है ($x>0$ के लिए असमिका $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$ के तुल्य है), और फिर यह कि $(u_n)$ [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है, क्योंकि

$$
u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .
$$

[ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) और [नीचे परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded) होने के कारण $(u_n)$ किसी $\ell \geq \sqrt{2}$ पर [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होता है, जिसे $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$ को संतुष्ट करना ही चाहिए, अर्थात् $\ell^2 = 2$। अतः $u_n \to \sqrt{2}$। यही हीरोन की कलनविधि है, जिसे बेबीलोन वाले पहले से काम में ला रहे थे; उसका अभिसरण अत्यंत तेज़ है ($u_3$ ही $\sqrt 2$ को आठ दशमलव स्थानों तक दे देता है)।

## 20.5 अभ्यास

**अभ्यास 20.1 ★.**

आगमन से सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in \N$ के लिए

$$
1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
$$

**हल — अभ्यास 20.1.**

मान लीजिए $P(n)$ कथन $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है। *आधार-स्थिति:* $n = 0$ के लिए दोनों पक्ष $0$ हैं (रिक्त योग)। *आगमन-चरण:* मान लीजिए $P(n)$ है। तब

$$
\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2
= \frac{(n+1)\bigl(n(2n+1) + 6(n+1)\bigr)}{6}
= \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6}.
$$

चूँकि $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)$ है, यह $\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$ है, अर्थात् $P(n+1)$। आगमन द्वारा $P(n)$ सभी $n$ के लिए सही है।

**अभ्यास 20.2 ★.**

$n \geq 1$ के लिए परिभाषित इन [अनुक्रमों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-sequence) की एकदिष्टता का अध्ययन कीजिए:

$$
a_n = \frac{n+1}{n}, \qquad
b_n = \frac{2^n}{n}, \qquad
c_n = n^2 - 10n .
$$

**हल — अभ्यास 20.2.**

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n}
= \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0$: $(a_n)$ निरंतर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है।

$(b_n)$ के पद धनात्मक हैं और $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{2^n} =
\frac{2n}{n+1} \geq 1 \iff 2n \geq n+1 \iff n \geq 1$: $(b_n)$ [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) है ($n \geq 2$ के लिए निरंतर)।

$c_{n+1} - c_n = (n+1)^2 - 10(n+1) - n^2 + 10n = 2n - 9$, जो $n \leq 4$ के लिए ऋणात्मक और $n \geq 5$ के लिए धनात्मक है: $(c_n)$ $c_5 = -25$ तक घटता है, जो उसका [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) है, और फिर बढ़ता है। वह [एकदिष्ट](#def-g12-seq-monotonic) नहीं है।

**अभ्यास 20.3 ★.**

इन व्यापक पदों वाले [अनुक्रमों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-sequence) की सीमाएँ निकालिए:

$$
u_n = \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5}, \qquad
v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}, \qquad
w_n = \frac{2^n - 3^n}{3^n + 1}.
$$

**हल — अभ्यास 20.3.**

हावी पद बाहर निकालिए:

$$
u_n = \frac{n^2(3 - 1/n + 1/n^2)}{n^2(2 + 5/n^2)} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{2}.
$$

संयुग्मी से गुणा कीजिए:

$$
v_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
\xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.
$$

अंश और हर को $3^n$ से भाग दीजिए:

$$
w_n = \frac{(2/3)^n - 1}{1 + (1/3)^n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{0-1}{1+0} = -1,
$$

जहाँ $\abs{q} < 1$ के लिए $\lim q^n = 0$ का उपयोग हुआ है।

**अभ्यास 20.4 ★.**

मान लीजिए $(u_n)$ $u_0 = 5$ और [सार्व अंतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) $r = 3$ वाला [समांतर अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) है, तथा $(v_n)$ $v_0 = 8$ और [सार्व अनुपात](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric) $q = \frac{1}{2}$ वाला [गुणोत्तर अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric)। $u_n$, $v_n$, $\sum_{k=0}^{n} u_k$ और $\sum_{k=0}^{n} v_k$ निकालिए, और $n \to +\infty$ पर चारों व्यंजकों की सीमाएँ भी।

**हल — अभ्यास 20.4.**

$u_n = 5 + 3n \to +\infty$ और $v_n = 8 \cdot (1/2)^n = 2^{3-n} \to 0$। योग हैं

$$
\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\,\frac{5 + (5+3n)}{2} = \frac{(n+1)(10+3n)}{2}
\xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty,
$$

$$
\sum_{k=0}^{n} v_k = 8\,\frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2}
= 16\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)
\xrightarrow[n\to+\infty]{} 16 .
$$

**अभ्यास 20.5 ★★.**

संपीडन प्रमेय का उपयोग करके निकालिए:

$$
\lim_{n\to+\infty} \frac{n + \cos n}{n + 1}
\qquad\text{और}\qquad
\lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{n^n},
$$

जहाँ $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ है। दूसरी सीमा के लिए $\frac{n!}{n^n}$ को किसी [गुणोत्तर अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric) के पद से [परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded) कीजिए।

**हल — अभ्यास 20.5.**

चूँकि $-1 \leq \cos n \leq 1$ है,

$$
\frac{n-1}{n+1} \leq \frac{n + \cos n}{n+1} \leq 1,
$$

और $\frac{n-1}{n+1} \to 1$, इसलिए संपीडन प्रमेय से सीमा $1$ है।

दूसरी सीमा के लिए लिखिए

$$
0 \leq \frac{n!}{n^n}
= \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n}
\leq \frac{1}{n},
$$

क्योंकि $2 \leq k \leq n$ वाला हर गुणनखंड $\frac{k}{n}$ अधिक से अधिक $1$ है। चूँकि $\frac1n \to 0$ है, संपीडन प्रमेय $\frac{n!}{n^n} \to 0$ दे देती है। (सुझाया गया [गुणोत्तर](#def-g12-seq-arith-geom) परिबंध भी चलता है: $k \leq n/2$ वाला हर गुणनखंड अधिक से अधिक $\frac12$ है, जिससे और प्रबल परिबंध $(1/2)^{\floor{n/2}}$ मिलता है।)

**अभ्यास 20.6 ★★.**

मान लीजिए $u_0 = 0$ है और सभी $n \in \N$ के लिए $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ है।

1. आगमन से सिद्ध कीजिए कि सभी $n$ के लिए $0 \leq u_n \leq 2$ है।
2. दिखाइए कि $(u_n)$ [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) है।
3. निष्कर्ष निकालिए कि $(u_n)$ [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होता है और उसकी सीमा ज्ञात कीजिए।

**हल — अभ्यास 20.6.**

*1.* $u_0 = 0 \in \intcc{0}{2}$। यदि $0 \leq u_n \leq 2$ हो, तो $2 \leq u_n + 2 \leq 4$, इसलिए $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$; विशेष रूप से $0 \leq u_{n+1} \leq 2$। आगमन से यह गुण सभी $n$ के लिए सही है।

*2.* $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n$। $x \in \intcc{0}{2}$ के लिए $\sqrt{x+2} \geq x \iff x + 2 \geq x^2 \iff (2-x)(x+1) \geq 0$, जो सत्य है। अतः $(u_n)$ [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) है।

*3.* [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) और $2$ से [ऊपर परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded) होने के कारण $(u_n)$ किसी $\ell \in \intcc{0}{2}$ पर [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होता है। $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ में सीमा लेने पर (प्रतिचित्रण $x \mapsto \sqrt{x+2}$ संतत है) $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ मिलता है, इसलिए $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, अर्थात् $\ell \in \{-1, 2\}$। चूँकि $\ell \geq 0$ है, इसलिए $\lim u_n = 2$।

**अभ्यास 20.7 ★★.**

एक रोगी हर सुबह किसी दवा की $1$ मात्रक ख़ुराक लेता है। हर 24-घंटे की अवधि में शरीर मौजूद दवा का $40\%$ निकाल देता है। मान लीजिए $u_n$ दिन $n$ की ख़ुराक के ठीक बाद शरीर में दवा की मात्रा है, जिससे $u_0 = 1$।

1. पुष्ट कीजिए कि $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ ।
2. मान लीजिए $v_n = u_n - 2.5$ है। दिखाइए कि $(v_n)$ [गुणोत्तर](#def-g12-seq-arith-geom) है और $u_n$ का स्पष्ट सूत्र निकालिए।
3. दीर्घ काल में शरीर में दवा की मात्रा ज्ञात कीजिए।

**हल — अभ्यास 20.7.**

*1.* दो ख़ुराकों के बीच दवा का $40\%$ निकल जाता है, इसलिए मात्रा $u_n$ $0.6\,u_n$ बन जाती है; और अगली ख़ुराक $1$ मात्रक जोड़ देती है: $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$।

*2.* $v_{n+1} = u_{n+1} - 2.5 = 0.6\,u_n + 1 - 2.5 = 0.6(u_n - 2.5)
= 0.6\,v_n$: $(v_n)$ अनुपात $0.6$ और पहले पद $v_0 = 1 - 2.5 = -1.5$ वाला [गुणोत्तर अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric) है। अतः $v_n = -1.5 \times 0.6^n$ और

$$
u_n = 2.5 - 1.5 \times 0.6^n .
$$

*3.* चूँकि $0.6^n \to 0$ है, इसलिए $u_n \to 2.5$: दवा की मात्रा $2.5$ मात्रकों पर स्थिर हो जाती है।

**अभ्यास 20.8 ★★.**

मान लीजिए $(u_n)$ $u_0 = 3$ और $u_{n+1} = \frac{4u_n - 1}{u_n + 2}$ से परिभाषित है।

1. आगमन से दिखाइए कि सभी $n \in \N$ के लिए $u_n > 1$ है।
2. दिखाइए कि $v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}$ एक [समांतर अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) परिभाषित करता है।
3. $v_n$ और $u_n$ के स्पष्ट सूत्र तथा $(u_n)$ की सीमा निकालिए।

**हल — अभ्यास 20.8.**

*1.* $u_0 = 3 > 1$। यदि $u_n > 1$ हो, तो $u_n + 2 > 0$ और

$$
u_{n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1 - u_n - 2}{u_n + 2} = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2} > 0 .
$$

आगमन से सभी $n$ के लिए $u_n > 1$ (और विशेष रूप से $u_n + 2 \neq 0$, इसलिए [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) भली-भाँति परिभाषित है)।

*2.* ऊपर वाली सर्वसमिका का उपयोग करने पर

$$
v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)}
= \frac{(u_n - 1) + 3}{3(u_n - 1)} = \frac{1}{3} + v_n .
$$

इसलिए $(v_n)$ [सार्व अंतर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) $\frac13$ वाला [समांतर अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) है और $v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac12$।

*3.* $v_n = \frac12 + \frac{n}{3}$, अतः $u_n = 1 + \frac{1}{v_n} = 1 + \frac{6}{3 + 2n}$। चूँकि $v_n \to +\infty$ है, इसलिए $u_n \to 1$।

**अभ्यास 20.9 ★★★.**

$n \geq 1$ के लिए मान लीजिए $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ है।

1. दिखाइए कि सभी $n \geq 1$ के लिए $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$ है।
2. निष्कर्ष निकालिए कि सभी $k \in \N$ के लिए $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ है, और फिर यह कि $H_n \to +\infty$ ।

**हल — अभ्यास 20.9.**

*1.* $H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ $n$ पदों का योग है, और हर पद कम से कम $\frac{1}{2n}$ है; अतः $H_{2n} - H_n \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac12$।

*2.* $k$ पर आगमन से: $H_{2^0} = H_1 = 1 \geq 1$। यदि $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ हो, तो $n = 2^k$ के साथ बिंदु 1 लगाने पर

$$
H_{2^{k+1}} \geq H_{2^k} + \frac12 \geq 1 + \frac{k+1}{2}.
$$

[अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) $(H_n)$ [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) है (हर क़दम $\frac{1}{n+1} > 0$ जोड़ता है) और उपअनुक्रम $H_{2^k}$ अपरिबद्ध है, इसलिए $(H_n)$ [ऊपर परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded) नहीं है। [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) और अपरिबद्ध होने के कारण वह $+\infty$ की ओर जाता है ([प्रमेय 20.18](#thm-g12-seq-monotone))।

**अभ्यास 20.10 ★★★.**

*(संलग्न [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence).)* दो [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) $(a_n)$ और $(b_n)$ *संलग्न* हैं यदि $(a_n)$ [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) हो, $(b_n)$ [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) हो, और $b_n - a_n \to 0$ हो।

1. दिखाइए कि सभी $n$ के लिए $a_n \leq b_n$ है। (संकेत: $(b_n - a_n)$ की एकदिष्टता का अध्ययन कीजिए।)
2. दिखाइए कि संलग्न [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) दोनों [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होते हैं, और एक ही सीमा पर।
3. अनुप्रयोग: दिखाइए कि [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) $a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ और $b_n = a_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ ( $n \geq 1$ ) संलग्न हैं। (उनकी उभयनिष्ठ सीमा संख्या $\eu$ है, जिसका अध्ययन [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/23-exponential-and-logarithm#ch-g12-exp) में है।)

**हल — अभ्यास 20.10.**

*1.* [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) $d_n = b_n - a_n$ $d_{n+1} - d_n = (b_{n+1} - b_n) - (a_{n+1} - a_n) \leq 0$ को संतुष्ट करता है, इसलिए $(d_n)$ [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है; और चूँकि $d_n \to 0$ है, इसलिए सभी $n$ के लिए $d_n \geq 0$ मिलता है (किसी ऋणात्मक पद वाला [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) सदा उससे नीचे ही रहता, जिससे सीमा $0$ असंभव हो जाती)। अतः $a_n \leq b_n$।

*2.* $a_n \leq b_n \leq b_0$ से [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) $(a_n)$ [ऊपर परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded) है, इसलिए वह किसी $\ell$ पर [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होता है। इसी तरह $(b_n)$, जो [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है और $a_0$ से [नीचे परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded), किसी $\ell'$ पर [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होता है। तब $\ell' - \ell = \lim (b_n - a_n) = 0$, इसलिए $\ell = \ell'$।

*3.* $(a_n)$ (निरंतर) [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) है, क्योंकि $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$। $(b_n)$ के लिए

$$
b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n\,n!}
= \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!}
= \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0 ,
$$

इसलिए $(b_n)$ [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है। अंत में $b_n - a_n = \frac{1}{n\,n!} \to 0$। दोनों [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) संलग्न हैं, अतः एक ही सीमा पर [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होते हैं।

## 20.6 समस्या: हीरोन का अनुक्रम, अंततः कठघरे में

**समस्या 20.1.**

सप्ताहांत समस्या — आगमन प्रमाणित करता है, एकदिष्ट अभिसरण फ़ैसला सुनाता है, और $\sqrt2$ का दो हज़ार साल पुराना नुस्ख़ा आख़िरकार अपनी उपपत्ति पा लेता है (मिठाई में गाउस का अद्भुत माध्य)

इस शृंखला में तीन बार हीरोन का नुस्ख़ा मिल चुका है — अनुमान का $2/\text{अनुमान}$ के साथ औसत लीजिए — और तीनों बार वह केवल यह *देख* पाया कि नुस्ख़ा काम करता है। इस अध्याय के पास आख़िरकार न्याय के यंत्र हैं: आगमन ([प्रमेय 20.1](#thm-g12-seq-induction)), [एकदिष्ट](#def-g12-seq-monotonic) अभिसरण प्रमेय ([प्रमेय 20.18](#thm-g12-seq-monotone)), और पुनरावृत्तियों की सीमाएँ। फ़ैसला और प्रमाणित गति इस समस्या के हृदय में हैं; उनके चारों ओर आगमन के चिरपरिचित जाल, गणित का सबसे धीमा अपसरण, और गाउस को मिला सबसे तेज़ अभिसरण।

**भाग I — आगमन की तैयारी।**

1. आगमन से सिद्ध कीजिए: $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ (विषम संख्याओं की वही सीढ़ी, जो माध्यमिक विद्यालय खंड में खींची गई थी, अब प्रमाणित)।
2. आगमन से सिद्ध कीजिए कि हर $n \in \N$ के लिए $2^n > n$ है।
3. बर्नूली असमिका आगमन से सिद्ध कीजिए: $x \geq 0$ और $n \in \N$ के लिए $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ ।
4. चिरपरिचित जाल: “सारे कंचों का रंग एक ही होता है — एक कंचे के लिए सत्य; और यदि कोई भी $n$ कंचे सदा एक ही रंग के हों, तो $n + 1$ कंचों में पहले $n$ का रंग एक है और अंतिम $n$ का रंग एक है, इसलिए सभी $n + 1$ का एक ही है।” हर बच्चा जानता है कि निष्कर्ष बेतुका है: ठीक-ठीक वह चरण ढूँढ़िए जहाँ आगमन टूट जाता है।
5. आगमन से सिद्ध कीजिए कि हर $n \in \N$ के लिए $4^n - 1$ $3$ से विभाज्य है।

**भाग II — हीरोन का मुक़दमा।** मान लीजिए $x_0 = 2$ और $x_{n+1} = \dfrac12\left(x_n +
\dfrac{2}{x_n}\right)$ हैं।

6. $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ को यथार्थ भिन्नों के रूप में निकालिए (पुराने मित्र)।
7. मुख्य सर्वसमिका $$x_{n+1}^2 - 2 = \left(\frac{x_n^2 - 2}{2x_n}\right)^{\!2}  \geq 0,$$ सिद्ध कीजिए और आगमन से निकालिए कि हर $n$ के लिए $x_n > 0$ और $x_n^2 > 2$ है।
8. दिखाइए कि $(x_n)$ निरंतर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है ( $x_{n+1} - x_n$ निकालिए और प्रश्न 7 काम में लाइए)।
9. [एकदिष्ट](#def-g12-seq-monotonic) अभिसरण प्रमेय का हवाला दीजिए: $(x_n)$ किसी सीमा $L \geq 1$ पर [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) क्यों होता है?
10. सीमा पहचानिए: पुनरावृत्ति में सीमा लीजिए ( [प्रतिज्ञप्ति 20.14](#prop-g12-seq-operations) ) और $L = \sqrt2$ निष्कर्ष निकालिए। ऐतिहासिक फ़ैसला सुनाइए: दो हज़ार वर्षों की वफ़ादार सेवा के बाद हीरोन का नुस्ख़ा [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होता *सिद्ध* हो गया।
11. प्रमाणित गति: $e_n = x_n - \sqrt2$ के साथ सिद्ध कीजिए $$e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2 x_n} ,$$ और $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$ निष्कर्ष निकालिए: हर क़दम पर त्रुटि का वर्ग हो जाता है — माध्यमिक विद्यालय खंड से देखा जाता रहा अंकों का दुगुना होना, अब एक प्रमेय।
12. संख्याओं से पुष्टि कीजिए: $e_0, e_1, e_2, e_3$ निकालिए (प्रश्न 6 से) और जाँचिए कि हर $\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$ $\frac{1}{2x_n}$ के पास है।

**भाग III — सबसे धीमा अपसरण।**

13. [अभ्यास 20.9](#exo-g12-seq-9) ने हरात्मक योगों के लिए $H_{2^k} \geq 1 + \frac k2$ सिद्ध किया था। $H_n > 10$ की गारंटी के लिए कितने पद चाहिए? (2 की कोई घात काम आएगी; उसके आकार पर अचरज कीजिए।)
14. इसके विपरीत [गुणोत्तर](#def-g12-seq-arith-geom) योग $1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^n} =  2 - \frac{1}{2^n}$ $2$ पर [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होते हैं ( [प्रमेय 20.20](#thm-g12-seq-geometric) ): माध्यमिक विद्यालय खंड का चॉकलेट वाला अंतर्ज्ञान, अंततः सीमा का कथन। दो पंक्ति की उपपत्ति लिखिए।
15. इन दोनों के बीच: दिखाइए कि योग $S_n = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots +  \frac{1}{n^2}$ [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होते हैं — इसके लिए $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} =  \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ ( $k \geq 2$ के लिए) से [परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded) कीजिए, क्रमिक निरसन कीजिए, और [एकदिष्ट](#def-g12-seq-monotonic) अभिसरण लगाइए। (सीमा $\frac{\pi^2}{6}$ ऑयलर के चमत्कारों में से एक है, जो स्नातक खंडों में सिद्ध होती है।)
16. प्रश्न 13–15 की सीख दो वाक्यों में बताइए: “पद $0$ की ओर जाते हैं” से योगों के अभिसरण के बारे में क्या तय होता है — और क्या नहीं?

**भाग IV — गाउस का समांतर–गुणोत्तर [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean)।** मान लीजिए $a_0 = 1$, $b_0 = 2$, और

$$
a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n},
\qquad
b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} .
$$

17. $a_1, b_1, a_2, b_2$ निकालिए (पाँच दशमलव स्थान)। गति के बारे में आप क्या देखते हैं?
18. दिखाइए कि हर $n$ के लिए $a_n \leq b_n$ है (समांतर–गुणोत्तर असमिका, जो इस शृंखला में जगह-जगह मिली है), कि $(a_n)$ बढ़ता है और $(b_n)$ घटता है।
19. दिखाइए कि $b_{n+1} - a_{n+1} \leq \frac{b_n - a_n}{2}$ ( $b_{n+1} - a_{n+1} =  \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2}$ का [गुणनखंडन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) करके तुलना कीजिए), और [अभ्यास 20.10](#exo-g12-seq-10) के साथ निष्कर्ष निकालिए कि दोनों [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) संलग्न हैं: उनकी एक उभयनिष्ठ सीमा $M(1, 2)$ है, जो *समांतर–गुणोत्तर [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean)* कहलाती है।
20. $M(1, 2)$ को छह दशमलव स्थानों तक निकालिए (कितनी पुनरावृत्तियाँ लगीं?)। 30 मई 1799 को गाउस ने $M(1, \sqrt2)$ को ग्यारह दशमलव स्थानों तक निकाला, $\frac{\pi}{M(1,\sqrt2)}$ को एक ज्ञात समाकल के रूप में पहचाना, और लिखा कि “विश्लेषण का एक नया क्षेत्र” खुल गया है — और सचमुच खुल गया था: दीर्घवृत्तीय समाकल, जिनकी कहानी स्नातक खंडों में है। इस समस्या में देखी गई अभिसरण-गतियों को सबसे धीमी से सबसे तेज़ के क्रम में लिखकर समापन कीजिए।

**हल — समस्या 20.1.**

**1.** $n = 1$ के लिए सत्य ($1 = 1^2$)। यदि $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$ हो, तो अगली विषम संख्या जोड़ने पर: $n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2$: वंशानुगति। आगमन से सभी $n \geq 1$ के लिए सत्य।

**2.** $2^0 = 1 > 0$। यदि $2^n > n$ हो, तो $n \geq 1$ के लिए $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2n \geq n + 1$ (और $n = 0$ सीधे जाँच लिया जाता है): वंशानुगति, हो गया।

**3.** $n = 0$: $1 \geq 1$। यदि $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ हो, तो $1 + x \geq 1 > 0$ से गुणा कीजिए: $(1 + x)^{n+1} \geq (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^2
\geq 1 + (n + 1)x$।

**4.** $n = 1$ से $n = 2$ तक का चरण: दो कंचों में “पहले $n$” और “अंतिम $n$” दो *असंयुक्त* अकेले कंचे हैं — कोई उभयनिष्ठ कंचा दोनों समूहों को नहीं जोड़ता, इसलिए कुछ भी उनके रंगों को मिलाने पर मजबूर नहीं करता। वंशानुगति वाला तर्क चुपके से यह माँगता है कि दोनों समूह एक-दूसरे को ढकें, जो केवल $n \geq 2$ से आगे सही है; और आधार-स्थिति $n = 1$ के साथ शृंखला शुरू ही नहीं हो पाती।

**5.** $4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0$। यदि $4^n - 1 = 3k$ हो, तो $4^{n+1} - 1 = 4(4^n - 1) + 3 = 3(4k + 1)$: वंशानुगति।

**6.** $x_1 = \frac32$, $x_2 = \frac{17}{12}$, $x_3 = \frac{577}{408}$।

**7.** $x_{n+1}^2 - 2 = \frac{(x_n^2 + 2)^2 - 8x_n^2}
{4x_n^2} = \frac{(x_n^2 - 2)^2}{4 x_n^2}$: किसी धनात्मक पर एक वर्ग, अतः $\geq 0$, और जब भी $x_n^2 \neq 2$ हो तब $> 0$। आगमन: $x_0^2 = 4 > 2$ के साथ $x_0 = 2 > 0$; यदि $x_n > 0$ और $x_n^2 > 2$ हों, तो $x_{n+1}$ (धनात्मक संख्याओं का औसत) धनात्मक है और $x_{n+1}^2 - 2 > 0$।

**8.** प्रश्न 7 से $x_{n+1} - x_n = \frac{2 - x_n^2}{2x_n} < 0$: निरंतर [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)।

**9.** [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) और [नीचे परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded) होने के कारण ($1$ से, क्योंकि $x_n^2 > 2 > 1$ और $x_n > 0$): [एकदिष्ट](#def-g12-seq-monotonic) अभिसरण प्रमेय से $(x_n)$ किसी $L \geq 1$ पर [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) होता है।

**10.** सीमाएँ बीजगणित का आदर करती हैं: $x_{n+1} = \frac12\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$ और $x_n \to L \geq 1 > 0$ से $L = \frac12\left(L + \frac2L\right)$, इसलिए $L^2 = 2$, और $L$ के धनात्मक होने से $L = \sqrt2$। फ़ैसला: अभिसरण सिद्ध, सीमा पहचानी गई — हीरोन सम्मान सहित बरी।

**11.** $x_{n+1} - \sqrt2 = \frac{x_n^2 - 2\sqrt2\,x_n +
2}{2x_n} = \frac{(x_n - \sqrt2)^2}{2x_n}$: ठीक $e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2x_n}$, और $x_n > \sqrt2$ से $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$ मिलता है। वर्ग हो जाने वाली त्रुटि: हर क़दम सही दशमलव स्थानों की संख्या दुगुनी कर देता है, जैसा कक्षा 9 से देखा जा रहा है।

**12.** $e_0 \approx 0.5858$, $e_1 \approx 0.0858$, $e_2 \approx 0.00245$, $e_3 \approx 2.1 \times 10^{-6}$। अनुपात $\frac{e_1}{e_0^2} \approx 0.25 = \frac{1}{2x_0}$; $\frac{e_2}{e_1^2} \approx 0.333 = \frac{1}{2x_1}$; $\frac{e_3}{e_2^2} \approx 0.353 \approx \frac{1}{2x_2}$: प्रमेय काम पर।

**13.** $H_{2^{18}} \geq 1 + 9 = 10$: केवल $10$ पार करने के लिए ही लगभग $260\,000$ पद ($2^{18} = 262\,144$) — घिसट-घिसटकर अपसरण (और $H_n > 100$ के लिए किसी भी पुस्तकालय के परमाणुओं से अधिक पद चाहिए होते)।

**14.** $S_n = 2 - \frac{1}{2^n}$ ([गुणोत्तर](#def-g12-seq-arith-geom) योग), और $\frac{1}{2^n} \to 0$ ([प्रमेय 20.20](#thm-g12-seq-geometric)), इसलिए $S_n \to 2$: अनंत बार कुतरी गई चॉकलेट पूरी की ओर जाती है पर उस तक कभी पहुँचती नहीं — अब सीमाओं की औपचारिक भाषा में।

**15.** $k \geq 2$ के लिए: $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} -
\frac1k$, इसलिए $S_n \leq 1 + \left(1 - \frac1n\right) < 2$: [वर्धमान](#def-g12-seq-monotonic) और [ऊपर परिबद्ध](#def-g12-seq-bounded), अतः अभिसारी ([एकदिष्ट](#def-g12-seq-monotonic) अभिसरण)। बाद में ऑयलर ने सीमा को नाम दिया: $\frac{\pi^2}{6}$।

**16.** पदों का $0$ की ओर जाना योगों के जमने के लिए *आवश्यक* है पर कुछ तय नहीं करता: हरात्मक पद $\frac1n \to 0$ फिर भी योग फट पड़ते हैं; और पद $\frac{1}{n^2} \to 0$ तथा योग [अभिसरित](#def-g12-seq-limit) हो जाते हैं। पद *कितनी तेज़ी* से मरते हैं, यही पूरा प्रश्न है — श्रेणियों का सिद्धांत, जो स्नातक खंडों में बनता है।

**17.** $a_1 = \sqrt2 \approx 1.41421$, $b_1 = 1.5$; $a_2 \approx 1.45648$, $b_2 \approx 1.45711$: दो ही पुनरावृत्तियाँ तीन दशमलव स्थानों तक मेल खा जाती हैं — चकित कर देने वाली गति।

**18.** $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} -
\sqrt{a_n b_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2} \geq
0$: [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) क्रम में बने रहते हैं। $(a_n)$ बढ़ता है: $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \geq \sqrt{a_n \cdot a_n} = a_n$; और $(b_n)$ सममित रूप से घटता है।

**19.** $\frac{b_{n+1} - a_{n+1}}{b_n - a_n} =
\frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}
{2(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})}
= \frac{\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n}}{2(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})}
\leq \frac12$: अंतर कम से कम आधा हो जाता है, इसलिए $b_n - a_n \to 0$; और प्रश्न 18 के साथ दोनों [अनुक्रम](#def-g12-seq-sequence) संलग्न हैं तथा एक सीमा $M(1, 2)$ साझा करते हैं।

**20.** तीसरी पुनरावृत्ति $a_3 \approx b_3 \approx 1.456791$ देती है: तीन ही घुमावों में $M(1, 2) \approx
1.456791$ (अंतर मोटे तौर पर *वर्ग* हो जाता है, हीरोन की तरह)। इस समस्या के [अनुक्रमों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-sequence) की गति-क्रम में सूची, सबसे धीमे से सबसे तेज़ तक: हरात्मक योग (हिमनद-सा अपसरण), [गुणोत्तर](#def-g12-seq-arith-geom) योग (हर क़दम पर त्रुटि आधी), हीरोन और समांतर–गुणोत्तर [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) (हर क़दम पर त्रुटि का वर्ग) — और उसी [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) की अलौकिक गति ने गाउस को बता दिया था कि उन्होंने विश्लेषण की नई खान खोद ली है।

1. $\N$ के हर अरिक्त उपसमुच्चय का एक सबसे छोटा अवयव होता है; $\N$ के इस गुण को अभिगृहीत मान लिया जाता है। [↩](#fnref-1)