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title: "सीमाएँ और सांतत्य"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 21
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity
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# अध्याय 21 — सीमाएँ और सांतत्य

यह अध्याय सीमा की धारणा को [अनुक्रमों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-sequence) से बढ़ाकर वास्तविक चर के [फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) तक ले जाता है, और [सांतत्य](#def-g12-limcont-continuity) प्रस्तुत करता है। केंद्रीय परिणाम मध्यवर्ती मान प्रमेय है, जो गुणात्मक सूचना (“$f$ [संतत](#def-g12-limcont-continuity) है और चिह्न बदलता है”) को [समीकरणों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) के हलों के अस्तित्व में बदल देती है।

## 21.1 फलनों की सीमाएँ

पूरे अध्याय में $f$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) या [अंतरालों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) के [सम्मिलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) $D \subseteq \R$ पर परिभाषित [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) है।

**परिभाषा 21.1 (अनंत पर सीमा).**

मान लीजिए $f$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $\intco{a}{+\infty}$ पर परिभाषित है और $\ell \in \R$ है। हम कहते हैं कि $f$ *$+\infty$ पर $\ell$ की ओर जाता है*, और $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ लिखते हैं, यदि $\ell$ को समेटने वाले हर खुले [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) में पर्याप्त बड़े $x$ के लिए सभी मान $f(x)$ आ जाएँ: अर्थात् हर $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $A$ हो कि सभी $x \geq A$ के लिए $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ हो।

हम कहते हैं कि $f$ $+\infty$ पर $+\infty$ की ओर जाता है यदि हर $M \in \R$ के लिए ऐसा $A$ हो कि सभी $x \geq A$ के लिए $f(x) \geq M$ हो। $-\infty$ पर सीमाएँ और $-\infty$ के बराबर सीमाएँ इसी तरह परिभाषित होती हैं।

**परिभाषा 21.2 (किसी बिंदु पर सीमा).**

मान लीजिए $a \in \R$ है और $f$ $a$ के पास (संभवतः $a$ को छोड़कर) परिभाषित है। हम कहते हैं कि $f$ $a$ पर $\ell \in \R$ की ओर जाता है, और $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ लिखते हैं, यदि हर $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $\delta > 0$ हो कि $\abs{x - a} \leq \delta$ वाले सभी $x \in D$ के लिए $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ हो।

हम कहते हैं कि $f$ $a$ पर $+\infty$ की ओर जाता है यदि हर $M$ के लिए ऐसा $\delta > 0$ हो कि जब भी $x \in D$ और $\abs{x - a} \leq \delta$ हों तब $f(x) \geq M$ हो। एकपक्षीय सीमाएँ ($x \to a^+$, $x \to a^-$) $x$ को $x > a$ या $x < a$ तक सीमित कर देती हैं।

**उदाहरण 21.3.**

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$, $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$, $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$। [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $x \mapsto \frac1x$ की $0$ पर कोई (द्विपक्षीय) सीमा नहीं है।

**परिभाषा 21.4 (अनन्तस्पर्शी).**

रेखा $y = \ell$ $+\infty$ पर (क्रमशः $-\infty$ पर) $f$ के वक्र की *क्षैतिज अनन्तस्पर्शी* है यदि $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ हो (क्रमशः $-\infty$ पर)। रेखा $x = a$ *ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी* है यदि $a$ पर $f$ की कोई एकपक्षीय सीमा अनंत हो।

![f(x) = 2 + 1/x-1 का वक्र, उसकी क्षैतिज अनन्तस्पर्शी y = 2 (±∈fty पर) और ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी x = 1 के साथ।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-80a817492b00.svg)

*$f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ का वक्र, उसकी [क्षैतिज अनन्तस्पर्शी](#def-g12-limcont-asymptote) $y = 2$ ($\pm\infty$ पर) और [ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी](#def-g12-limcont-asymptote) $x = 1$ के साथ।*

**प्रतिज्ञप्ति 21.5 (सीमाओं पर संक्रियाएँ).**

[प्रतिज्ञप्ति 20.14](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#prop-g12-seq-operations) के नियम (योग, गुणनफल, भागफल) [फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) की सीमाओं के लिए भी ज्यों के त्यों लागू होते हैं, चाहे किसी बिंदु पर हों या अनंत पर, और वही चार अनिर्धार्य रूप $(+\infty)+(-\infty)$, $0\times\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$ रहते हैं।

**उपपत्ति.** उपपत्तियाँ [अनुक्रमों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-sequence) वाली स्थिति जैसी ही हैं, केवल “$n \geq N$ के लिए” के स्थान पर “$x \geq A$ के लिए” या “$\abs{x-a} \leq \delta$ के लिए” रख दीजिए। ∎

**प्रमेय 21.6 (संयोजन की सीमा).**

मान लीजिए $f, g$ [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) हैं और $a, b, c$ [वास्तविक संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) या $\pm\infty$ हैं। यदि $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ और $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$ हों, तो

$$
\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .
$$

यही कथन $f$ के स्थान पर किसी [अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) के साथ भी सही है: यदि $u_n \to b$ और $\lim_{y\to b} g(y) = c$ हों, तो $g(u_n) \to c$।

**उपपत्ति.** $b, c$ को परिमित लीजिए (शेष स्थितियाँ इसी जैसी हैं)। मान लीजिए $\varepsilon > 0$ है। ऐसा $\delta > 0$ है कि $\abs{y - b} \leq \delta$ से $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$ निकलता है; और ऐसा $\delta' > 0$ है कि $\abs{x - a} \leq \delta'$ से $\abs{f(x) - b} \leq \delta$ निकलता है। दोनों को जोड़ने पर $\abs{x - a} \leq \delta'$ के लिए $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ मिलता है। ∎

**प्रमेय 21.7 (तुलना और संपीडन).**

मान लीजिए $f, g, h$ [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) हैं और $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$ है।

1. यदि $a$ के पास $f \leq g$ हो और $x \to a$ पर $f(x) \to +\infty$ हो, तो $g(x) \to +\infty$ ।
2. यदि $a$ के पास $f \leq g \leq h$ हो और $f, h$ $a$ पर एक ही परिमित सीमा $\ell$ की ओर जाएँ, तो $x \to a$ पर $g(x) \to \ell$ ।

**उपपत्ति.** वही तर्क जो [अनुक्रमों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-sequence) के लिए था ([प्रमेय 20.16](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#thm-g12-seq-squeeze))। ∎

**विधि 21.8 (व्यवहार में सीमाएँ निकालना).**

- $\pm\infty$ पर बहुपद और परिमेय [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) : $x$ की सबसे बड़ी घात बाहर निकाल लीजिए; सीमा अग्र पदों के अनुपात की सीमा होती है।
- किसी बिंदु $a$ पर $\frac{0}{0}$ : अंश और हर दोनों से $(x-a)$ बाहर निकालिए, या किसी [अवकलज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/12-differentiation-a-first-course#def-g11-deriv-derivative) $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ को पहचानिए ( [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#ch-g12-deriv) )।
- वर्गमूल: संयुग्मी व्यंजक से गुणा कीजिए।
- दोलन करते गुणनखंड ( $\cos$ , $\sin$ ): संपीडन प्रमेय काम में लाइए।

## 21.2 सांतत्य

**परिभाषा 21.9 (सांतत्य).**

मान लीजिए $f$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ पर परिभाषित है और $a \in I$ है। [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$ *$a$ पर संतत* है यदि $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ हो। वह *$I$ पर संतत* है यदि वह $I$ के हर बिंदु पर संतत हो।

अंतर्ज्ञान से: किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) का [आलेख](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) क़लम उठाए बिना खींचा जा सकता है।

**प्रतिज्ञप्ति 21.10 (सामान्य फलनों का सांतत्य).**

बहुपद, परिमेय [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function), $x \mapsto \sqrt{x}$, $x \mapsto \abs{x}$, $\cos$, $\sin$, $\exp$ और $\ln$ अपने [प्रांत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) में समाए हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) हैं। [संतत](#def-g12-limcont-continuity) [फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) के योग, गुणनफल, भागफल (जहाँ परिभाषित हों) और संयोजन भी [संतत](#def-g12-limcont-continuity) होते हैं।

**आंशिक उपपत्ति.** योग, गुणनफल, भागफल और संयोजन के अंतर्गत बंदपन सीमाओं की संगत प्रमेयों से निकलता है। $x \mapsto x$ और अचर [फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) का [सांतत्य](#def-g12-limcont-continuity) परिभाषा से तत्काल मिल जाता है, इसलिए बहुपद और परिमेय [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) [संतत](#def-g12-limcont-continuity) हैं। शेष सामान्य [फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) का [सांतत्य](#def-g12-limcont-continuity) उन्हीं अध्यायों में सिद्ध होता है जहाँ उनकी रचना होती है, या स्वीकार कर लिया जाता है। ∎

**उदाहरण 21.11.**

*महत्तम [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function)* $x \mapsto \floor{x}$ ($\leq x$ वाला सबसे बड़ा [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets)) किसी भी [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n$ पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) नहीं है: वहाँ उसकी बाईं सीमा $n - 1$ है जबकि $\floor{n} = n$।

![महत्तम पूर्णांक फलन हर पूर्णांक पर उछल जाता है: मान (भरा बिंदु) बाईं सीमा (खोखला बिंदु) से भिन्न है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-436d9712d64c.svg)

*महत्तम [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) हर [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) पर उछल जाता है: मान (भरा बिंदु) बाईं सीमा (खोखला बिंदु) से भिन्न है।*

**प्रतिज्ञप्ति 21.12 (अनुक्रम और सांतत्य).**

यदि $u_n \to \ell$ हो और $f$ $\ell$ पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) हो, तो $f(u_n) \to f(\ell)$। विशेष रूप से, यदि $u_{n+1} = f(u_n)$ से परिभाषित कोई [अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) $\ell$ पर [अभिसरित](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-limit) हो और $f$ $\ell$ पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) हो, तो $f(\ell) = \ell$।

**उपपत्ति.** पहला दावा [प्रमेय 21.6](#thm-g12-limcont-composition) को [अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ के साथ लगाने पर मिलता है। दूसरे के लिए $u_{n+1} = f(u_n)$ के दोनों पक्षों में सीमा लीजिए: बायाँ पक्ष $\ell$ की ओर जाता है, दाहिना $f(\ell)$ की ओर, और सीमाएँ अद्वितीय होती हैं। ∎

## 21.3 मध्यवर्ती मान प्रमेय

**प्रमेय 21.13 (मध्यवर्ती मान प्रमेय).**

मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) है और $k$ $f(a)$ तथा $f(b)$ के बीच की कोई संख्या है। तब ऐसा $c \in \intcc{a}{b}$ है कि $f(c) = k$ हो।

![मध्यवर्ती मान प्रमेय: (a, f(a)) को (b, f(b)) से जोड़ने वाले किसी भी संतत वक्र को f(a) और f(b) के बीच पड़ी हर क्षैतिज रेखा y = k को पार करना ही पड़ता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-04c34a00da51.svg)

*मध्यवर्ती मान प्रमेय: $(a, f(a))$ को $(b, f(b))$ से जोड़ने वाले किसी भी [संतत](#def-g12-limcont-continuity) वक्र को $f(a)$ और $f(b)$ के बीच पड़ी हर क्षैतिज रेखा $y = k$ को पार करना ही पड़ता है।*

**उपपत्ति.** $f$ के स्थान पर $f - k$ रखकर (और आवश्यकता हो तो $k - f$ से बदलकर) हम मान सकते हैं कि $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ है और $f$ का शून्य ढूँढ़ रहे हैं। हम *द्विभाजन* से दो [अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) बनाते हैं: $a_0 = a$, $b_0 = b$ रखिए; $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ वाले $a_n \leq b_n$ दिए होने पर $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ लीजिए और परिभाषित कीजिए

$$
(a_{n+1}, b_{n+1}) =
\begin{cases}
(a_n, m) & \text{यदि } f(m) \geq 0,\\
(m, b_n) & \text{यदि } f(m) < 0.
\end{cases}
$$

दोनों स्थितियों में $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$ रहता है, [अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) $(a_n)$ [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) है, $(b_n)$ [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है, और $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$: [अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) संलग्न हैं ([अभ्यास 20.10](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#exo-g12-seq-10) देखिए) और एक उभयनिष्ठ सीमा $c \in \intcc{a}{b}$ पर [अभिसरित](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-limit) होते हैं। [सांतत्य](#def-g12-limcont-continuity) से $f(a_n) \to f(c)$ और $f(b_n) \to f(c)$; $f(a_n) \leq 0$ तथा $f(b_n) \geq 0$ में सीमा लेने पर $f(c) \leq 0 \leq f(c)$ मिलता है, इसलिए $f(c) = 0$। ∎

**टिप्पणी 21.14.**

[द्विभाजन](#thm-g12-limcont-ivt) वाली उपपत्ति एक कलनविधि है: वह किसी हल के मनचाहे यथार्थ [सन्निकटन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-approx) दे देती है और हर क़दम पर त्रुटि आधी कर देती है। संगणक केवल $f$ का मान निकालना जानते हुए भी $f(x) = 0$ इसी तरह हल कर लेता है।

**प्रमेय 21.15 (एकैकी आच्छादन प्रमेय).**

मान लीजिए $f$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) और *निरंतर [एकदिष्ट](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic)* है। तब $I$ के सिरों पर $f$ की सीमाओं के कड़ाई से बीच पड़ने वाले हर $k$ के लिए [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ का $I$ में *अद्वितीय* हल है।

**उपपत्ति.** अस्तित्व: ऐसे $a, b \in I$ चुनिए कि $k$ $f(a)$ और $f(b)$ के बीच हो (यह संभव है क्योंकि $f$ के मान उसकी सिरा-सीमाओं के पास पहुँचते हैं), और $\intcc{a}{b}$ पर मध्यवर्ती मान प्रमेय लगाइए। अद्वितीयता: यदि $x < y$ हो, तो निरंतर एकदिष्टता से $f(x) \neq f(y)$ मिलता है, इसलिए दो भिन्न बिंदु दोनों हल नहीं हो सकते। ∎

**विधि 21.16 (एकैकी आच्छादन प्रमेय से f(x)=kf(x) = kf(x)=k हल करना).**

यह सिद्ध करने के लिए कि किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) में $f(x) = k$ का ठीक एक हल है:

1. $f$ की [परिवर्तन-सारणी](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-table) बनाइए ( $f'$ का चिह्न, [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#ch-g12-deriv) देखिए);
2. हर उस [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर जहाँ $f$ [संतत](#def-g12-limcont-continuity) और निरंतर [एकदिष्ट](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) है, $k$ की तुलना सिरों के मानों या सीमाओं से कीजिए;
3. ऐसे हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर एकैकी आच्छादन प्रमेय लगाइए और हल गिन लीजिए।

इसके बाद कैलकुलेटर या [द्विभाजन](#thm-g12-limcont-ivt) हर हल को जितना चाहें उतना बारीकी से बता देता है।

**उदाहरण 21.17.**

[समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $x^3 + x = 1$ का ठीक एक वास्तविक हल है। सचमुच $f(x) = x^3 + x$ $\R$ पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) और निरंतर [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) है (निरंतर [वर्धमान फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-monotone) के योग के रूप में), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ और $\lim_{+\infty} f = +\infty$, इसलिए $k = 1$ के साथ एकैकी आच्छादन प्रमेय लागू होती है। चूँकि $f(0.6) = 0.816 < 1$ और $f(0.7) = 1.043 > 1$ हैं, इसलिए हल $\intoo{0.6}{0.7}$ में है।

## 21.4 अभ्यास

**अभ्यास 21.1 ★.**

निम्नलिखित सीमाएँ निकालिए:

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad
\lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad
\lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.
$$

**हल — अभ्यास 21.1.**

$x^3$ से भाग देने पर: $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x}
\to \dfrac{2}{5}$।

$x \to -\infty$ पर $x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$, क्योंकि $x^2 \to +\infty$ और कोष्ठक $1$ की ओर जाता है।

$x \to 2^+$ पर अंश $3 > 0$ की ओर और हर $0^+$ की ओर जाता है, इसलिए $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$।

$x > 0$ के लिए $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$, इसलिए संपीडन प्रमेय से सीमा $0$ है।

**अभ्यास 21.2 ★.**

मान लीजिए $x \neq 1$ के लिए परिभाषित $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ है।

1. दिखाइए कि सभी $x \neq 1$ के लिए $f(x) = 2x - 1$ है।
2. $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ निष्कर्ष निकालिए। क्या $f$ को $1$ पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) तक बढ़ाया जा सकता है?

**हल — अभ्यास 21.2.**

*1.* $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ ([मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) $x=1$ $2 - 3 + 1 = 0$ से स्पष्ट है)। $x \neq 1$ के लिए $x - 1$ काटिए: $f(x) = 2x - 1$।

*2.* अतः $\lim_{x\to1} f(x) = 1$। $f(1) = 1$ रखने पर $f$ $\R$ पर बहुपद [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $x \mapsto 2x-1$ तक बढ़ जाता है, जो $1$ पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) है।

**अभ्यास 21.3 ★.**

$f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ के वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिए और वक्र का रेखाचित्र बनाइए।

**हल — अभ्यास 21.3.**

$f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2}
= 3 - \dfrac{7}{x+2}$ लिखिए। $x \to \pm\infty$ पर $f(x) \to 3$: रेखा $y = 3$ दोनों अनंतों पर [क्षैतिज अनन्तस्पर्शी](#def-g12-limcont-asymptote) है। $x \to (-2)^\pm$ पर $f(x) \to \mp\infty$: रेखा $x = -2$ [ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी](#def-g12-limcont-asymptote) है। वक्र एक [अतिपरवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-reference) है, जो $x > -2$ के लिए $y=3$ से नीचे और $x < -2$ के लिए उससे ऊपर है।

**अभ्यास 21.4 ★★.**

निकालिए:

$$
\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr)
\qquad\text{और}\qquad
\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.
$$

**हल — अभ्यास 21.4.**

संयुग्मी से गुणा कीजिए:

$$
\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x}
= \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)}
= \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1}
\xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.
$$

इसी तरह

$$
\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)}
= \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.
$$

**अभ्यास 21.5 ★★.**

मान लीजिए $f(x) = x + \sin x$ है।

1. दिखाइए कि $x \to +\infty$ पर $f(x) \to +\infty$ है, यद्यपि $f$ किसी भी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $\intco{A}{+\infty}$ पर [एकदिष्ट](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) नहीं है।
2. दिखाइए कि $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ $+\infty$ पर $1$ की ओर जाता है।

**हल — अभ्यास 21.5.**

*1.* चूँकि $\sin x \geq -1$ है, इसलिए $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$, और तुलना से निष्कर्ष निकल आता है। फिर भी $f'(x) = 1 + \cos x$ $\pi$ के हर विषम गुणज पर लुप्त हो जाता है, और हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $\intco{A}{+\infty}$ पर [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) कड़ी वृद्धि वाले [अंतरालों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) के बीच बदलता रहता है; वह [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) है पर निरंतर नहीं, और इससे भी बड़ी बात यह कि उसकी वृद्धि की आवश्यकता ही नहीं: तुलना पर्याप्त है।

*2.* $x > 1$ के लिए $x$ से भाग दीजिए:

$$
g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},
$$

और संपीडन प्रमेय से $\frac{\sin x}{x} \to 0$ ($\abs{\sin x} \leq 1$)। अतः $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$।

**अभ्यास 21.6 ★★.**

दिखाइए कि [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $x^3 - 3x + 1 = 0$ के ठीक तीन वास्तविक हल हैं, और हर एक के लिए $1$ लंबाई का एक [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) बताइए जिसमें वह हो। (संकेत: $f(x) = x^3 - 3x + 1$ के परिवर्तन का अध्ययन कीजिए; उसका [अवकलज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/12-differentiation-a-first-course#def-g11-deriv-derivative) $3x^2 - 3$ है।)

**हल — अभ्यास 21.6.**

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ [संतत](#def-g12-limcont-continuity) है, और $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$: $f$ $\intoc{-\infty}{-1}$ पर बढ़ता है, $\intcc{-1}{1}$ पर घटता है, $\intco{1}{+\infty}$ पर बढ़ता है, तथा उसका स्थानीय [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(-1) = 3 > 0$ और स्थानीय [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(1) = -1 < 0$ है, $\lim_{-\infty} f = -\infty$, $\lim_{+\infty} f = +\infty$।

एकदिष्टता के तीनों [अंतरालों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) में से हर एक पर $f$ [संतत](#def-g12-limcont-continuity) और निरंतर [एकदिष्ट](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) है, और $0$ सिरों के मानों/सीमाओं के कड़ाई से बीच पड़ता है, इसलिए एकैकी आच्छादन प्रमेय हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) में ठीक एक शून्य देती है: कुल तीन शून्य। चिह्नों की जाँच: $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$, इसलिए $\intoo{-2}{-1}$ में एक शून्य; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$, $\intoo{0}{1}$ में एक शून्य; $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$, $\intoo{1}{2}$ में एक शून्य।

**अभ्यास 21.7 ★★.**

मान लीजिए $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [संतत](#def-g12-limcont-continuity) है। दिखाइए कि $f$ का कोई *[स्थिर बिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1)* है: अर्थात् ऐसा $c \in \intcc{0}{1}$ है जिसके लिए $f(c) = c$ हो। (संकेत: $g(x) = f(x) - x$ पर मध्यवर्ती मान प्रमेय लगाइए।)

**हल — अभ्यास 21.7.**

मान लीजिए $g(x) = f(x) - x$ है, जो $\intcc{0}{1}$ पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) है। चूँकि $f(0) \in \intcc{0}{1}$ है, इसलिए $g(0) = f(0) \geq 0$; और चूँकि $f(1) \in \intcc{0}{1}$ है, इसलिए $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$। मध्यवर्ती मान प्रमेय से $g$ किसी $c \in \intcc{0}{1}$ पर लुप्त हो जाता है, अर्थात् $f(c) = c$।

**अभ्यास 21.8 ★★★.**

एक पदयात्री पहाड़ी रास्ते पर 8:00 बजे चढ़ना शुरू करती है और 20:00 बजे पहुँच जाती है। अगले दिन वह उसी रास्ते से उतरती है, फिर 8:00 बजे शुरू करके 20:00 बजे पहुँचती है। दिखाइए कि दिन का कोई ऐसा समय है जब वह दोनों दिन रास्ते के ठीक एक ही बिंदु पर थी। (संकेत: दोनों स्थिति-फलनों का अंतर लीजिए।)

**हल — अभ्यास 21.8.**

मान लीजिए $u(t)$ और $d(t)$ समय $t \in \intcc{8}{20}$ पर चढ़ाई और उतराई के दिन की स्थितियाँ हैं (रास्ते के तल से दूरी के रूप में नापी गईं)। दोनों [संतत](#def-g12-limcont-continuity) हैं, $u(8) = 0$, $u(20) = L$ (रास्ते की लंबाई), $d(8) = L$, $d(20) = 0$। [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $g = u - d$ [संतत](#def-g12-limcont-continuity) है, जिसमें $g(8) = -L \leq 0$ और $g(20) = L \geq 0$ हैं, इसलिए मध्यवर्ती मान प्रमेय से किसी समय $c$ पर $g(c) = 0$: समय $c$ पर दोनों दिनों की स्थितियाँ मेल खा जाती हैं।

**अभ्यास 21.9 ★★★.**

मान लीजिए $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$ है।

1. दिखाइए कि $f$ का अद्वितीय वास्तविक शून्य $\alpha$ है, और $\alpha \in \intoo{0}{1}$ है।
2. $\alpha$ को $10^{-6}$ तक निकालने की [द्विभाजन](#thm-g12-limcont-ivt) प्रक्रिया का वर्णन कीजिए, और $\intcc{0}{1}$ से शुरू करने पर आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या बताइए।

**हल — अभ्यास 21.9.**

*1.* $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$, इसलिए $f$ $\R$ पर निरंतर [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) है; और $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ तथा [सांतत्य](#def-g12-limcont-continuity) के साथ एकैकी आच्छादन प्रमेय एक अद्वितीय वास्तविक शून्य $\alpha$ देती है। चूँकि $f(0) = -1 < 0$ और $f(1) = 2 > 0$ हैं, इसलिए $\alpha \in \intoo{0}{1}$।

*2.* $\intcc{0}{1}$ से शुरू करके ऐसा [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $\intcc{a_n}{b_n}$ बनाए रखिए जिसमें $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ हो; हर क़दम पर [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $m$ पर $f$ का मान निकालिए और वही अर्ध-अंतराल रखिए जिस पर चिह्न-परिवर्तन बना रहे। $n$ क़दमों के बाद [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) की लंबाई $2^{-n}$ हो जाती है, इसलिए [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $\alpha$ का $2^{-(n+1)}$ तक [सन्निकटन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-approx) देता है। हमें $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$ चाहिए, अर्थात् $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$: $n = 20$ पुनरावृत्तियाँ पर्याप्त हैं।

## 21.5 समस्या: नदी बिना भीगे पार नहीं होती

**समस्या 21.1.**

सप्ताहांत समस्या — मध्यवर्ती मान प्रमेय स्थिर बिंदु, समान-ताप वाले प्रतिध्रुवी बिंदु और स्थिर मेज़ें ज़बरदस्ती पैदा कर देती है: एक ही विचार से तीन असंभव लगने वाली प्रमेय

किसी देश का नक्शा मसलकर उसी देश की ज़मीन पर कहीं भी गिरा दीजिए: नक्शे का कोई बिंदु *ठीक* उसी जगह के ऊपर होगा जिसे वह दर्शाता है। हर क्षण भूमध्य रेखा के दो व्यास-विपरीत बिंदुओं का ताप *ठीक* एक ही होता है। और ऊबड़-खाबड़ ज़मीन पर डगमगाती चौकोर मेज़ को *घुमाकर* हमेशा स्थिर किया जा सकता है। तीन तमाशे, एक प्रमेय: कोई [संतत](#def-g12-limcont-continuity) राशि ऋणात्मक से धनात्मक तक बिना लुप्त हुए नहीं जा सकती ([प्रमेय 21.13](#thm-g12-limcont-ivt))। यह समस्या पहले सीमाओं का अभ्यास कराती है, फिर तीनों चमत्कार खड़े करती है — और यह भी ठीक-ठीक जानती है कि यह प्रमेय क्या वादा नहीं करती।

**भाग I — सीमाओं में प्रवाह।**

1. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ , $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ , और $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x^2)$ निकालिए ( [विधि 21.8](#met-g12-limcont-limits) )।
2. संगत सीमाएँ निकालकर $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ की अनन्तस्पर्शियाँ बताइए ( [परिभाषा 21.4](#def-g12-limcont-asymptote) )।
3. $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ ( [गुणनखंडन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) से) और $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ (संयुग्मी से) निकालिए।
4. संपीडन प्रमेय ( [प्रमेय 21.7](#thm-g12-limcont-squeeze) ) से: $\lim_{x \to 0} x \sin\frac1x$ और $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}$ निकालिए।
5. संयोजन और हावी पदों से: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$ ।

**भाग II — [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant), प्रमाणित।**

6. दिखाइए कि [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $x^3 + x = 5$ का $\intcc{1}{2}$ में कम से कम एक हल है।
7. दिखाइए कि $\R$ पर हल अद्वितीय है ( [प्रमेय 21.15](#thm-g12-limcont-bijection) )।
8. चिरपरिचित परिणाम सिद्ध कीजिए: *विषम घात के हर बहुपद का कम से कम एक वास्तविक [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) होता है* । ( $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ के लिए पूरा तर्क लिखिए: हावी पद से दोनों अनंत सीमाएँ निकालिए, फिर किसी बड़े [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर मध्यवर्ती मान प्रमेय लगाइए।)
9. प्रश्न 6 के [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) को [द्विभाजन](#thm-g12-limcont-ivt) से ढूँढ़ना: $10^{-6}$ से कम त्रुटि की गारंटी के लिए $\intcc{1}{2}$ को कितनी बार आधा करना पड़ेगा ( [अभ्यास 21.9](#exo-g12-limcont-9) )? [समस्या 12.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/12-differentiation-a-first-course#pb-g11-deriv-1) की न्यूटन विधि के अंक-दुगुनेपन से तुलना कीजिए: उसे मोटे तौर पर कितने क़दम चाहिए होते?
10. वह प्रतिउदाहरण जो प्रमेय की पहरेदारी करता है: $g(x) = \frac1x$ $g(-1) = -1 < 0$ और $g(1) = 1 > 0$ संतुष्ट करता है, फिर भी कभी लुप्त नहीं होता। मध्यवर्ती मान प्रमेय की कौन-सी परिकल्पना टूट जाती है — और परिकल्पनाएँ जाँचने के बारे में यह उदाहरण क्या सिखाता है?

**भाग III — तीन असंभव लगने वाली प्रमेय।**

11. रेखाखंड की स्थिर-बिंदु प्रमेय: यदि $f : \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [संतत](#def-g12-limcont-continuity) हो, तो सिद्ध कीजिए कि कोई $c$ $f(c) = c$ को संतुष्ट करता है। ( $g(x) = f(x) - x$ का दोनों सिरों पर अध्ययन कीजिए।)
12. प्रश्न 11 को मसले हुए नक्शे की भाषा में उतारिए: $f$ की भूमिका कौन निभाता है, वह $\intcc{0}{1}$ में (लाक्षणिक रूप से: देश के भीतर) क्यों गिरता है, और वह बिंदु कौन-सा है जो ठीक अपनी ही जगह के ऊपर है? (एक विमा चुपचाप स्वीकार कर ली गई है — ईमानदार द्विविमीय कथन ब्राउवर की प्रमेय है, जो स्नातक खंडों में है।)
13. भूमध्य रेखा: मान लीजिए $T$ किसी वृत्त पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) ताप है, जिसे $T(0) = T(2\pi)$ वाले $2\pi$ -आवर्ती [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) के रूप में देखा जाए। $g(t) = T(t) - T(t + \pi)$ रखिए। $g(0) + g(\pi)$ निकालिए, निष्कर्ष निकालिए कि $g$ $\intcc{0}{\pi}$ पर कहीं लुप्त होता है, और प्रतिध्रुवी बिंदुओं वाली प्रमेय बताइए।
14. डगमगाती मेज़: बिलकुल कड़ी चौकोर मेज़ [संतत](#def-g12-limcont-continuity) (कोई सीढ़ी नहीं!) ऊबड़-खाबड़ ज़मीन पर खड़ी है; तीन पाए हमेशा ज़मीन छूते हैं और एक $h(\theta)$ ऊँचाई पर लटका रहता है, जो मेज़ के घूर्णन-कोण $\theta$ पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) रूप से निर्भर करती है। समझाइए कि एक चौथाई चक्कर घुमाने पर लटकते [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) का चिह्न बदलना क्यों अनिवार्य है — और निष्कर्ष निकालिए कि कोई कोण $\theta^*$ चारों पाए ज़मीन पर टिका देता है। (यह तर्क 2005 में एक असली प्रमेय के रूप में छपा था; कैफ़े के मालिक यह तरकीब पहले से जानते थे।)
15. [अभ्यास 21.8](#exo-g12-limcont-8) की पदयात्री ने यही ढाँचा काम में लाया था। प्रश्न 11, 13, 14 और पदयात्री में साझा ढाँचा तीन पंक्तियों में बताइए — कौन-सा [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) बनाइए, सिरों पर क्या जाँचिए, और किसका हवाला दीजिए।
16. मध्यवर्ती मान प्रमेय जो *नहीं* देती: अस्तित्व मुफ़्त में मिला, पर वह कौन-से दो प्रश्न खुले छोड़ देती है, और इस समस्या के कौन-से औज़ार उनका उत्तर देते हैं (प्रश्न 7 और 9)?

**भाग IV — अनन्तस्पर्शियों सहित चित्र।**

17. $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ को $3 - \dfrac{7}{x + 2}$ के रूप में फिर से लिखिए और उससे वक्र का पूरा वर्णन कीजिए: अनन्तस्पर्शियाँ, हर ओर के परिवर्तन, रेखाचित्र। (एक खिसका हुआ [अतिपरवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-reference) — [समस्या 4.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#pb-g10-reffunc-1) का औसत-लागत वक्र भी वही था।)
18. [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ $1$ पर परिभाषित नहीं है। $f(1)$ को कौन-सा मान देने से वह वहाँ [संतत](#def-g12-limcont-continuity) हो जाता है — और विश्लेषक ऐसे बिंदु को *हटाने योग्य* असांतत्य क्यों कहते हैं?
19. महत्तम [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ ( $\leq x$ वाला सबसे बड़ा [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) ): वह कहाँ [संतत](#def-g12-limcont-continuity) है, कहाँ उछलता है, और उसके लिए मध्यवर्ती मान प्रमेय का निष्कर्ष क्यों टूट जाता है (ऐसा $a < b$ ढूँढ़िए जिसके लिए $\lfloor a \rfloor < \frac12 < \lfloor b \rfloor$ हो पर $\lfloor x \rfloor = \frac12$ का कोई हल न हो)?
20. समापन — [सांतत्य](#def-g12-limcont-continuity) के दो चेहरे: स्थानीय वादा (मान $=$ सीमा: कोई छलाँग नहीं) और वैश्विक शक्ति (मध्यवर्ती मान प्रमेय: हर मध्यवर्ती मान छू लिया जाता है)। भाग III के चारों चमत्कारों को सही चेहरे के नीचे रखिए, और नदी पार करने वाले नारे को उसका ठीक-ठीक गणितीय नाम दीजिए।

**हल — समस्या 21.1.**

**1.** हावी पद: $\frac{3x^2}{x^2} \to 3$; $\frac{2x}{x^2} = \frac2x \to 0$; $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \frac1x\right) \to +\infty$।

**2.** $\lim_{x \to \pm\infty} f = 3$: [क्षैतिज अनन्तस्पर्शी](#def-g12-limcont-asymptote) $y = 3$; $\lim_{x \to (-2)^\pm} f = \mp\infty$: [ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी](#def-g12-limcont-asymptote) $x = -2$।

**3.** $\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$। और $\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} =
\frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \to \frac12$।

**4.** $\abs{x \sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$, इसलिए सीमा $0$ है। और $\abs{\frac{\sin x}{x}} \leq \frac1x \to 0$: सीमा $0$।

**5.** $\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} =
\sqrt{4 + \frac1x} \to \sqrt4 = 2$ (वर्गमूल का [सांतत्य](#def-g12-limcont-continuity), संयोजन)।

**6.** $f(x) = x^3 + x$ [संतत](#def-g12-limcont-continuity) है और $f(1) = 2 < 5 < 10 = f(2)$: मध्यवर्ती मान प्रमेय से किसी $c \in \intoo{1}{2}$ के लिए $f(c) = 5$।

**7.** $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$: $\R$ पर निरंतर [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic), [संतत](#def-g12-limcont-continuity), और सीमाएँ $\mp\infty$: एकैकी आच्छादन प्रमेय से हर मान — विशेष रूप से $5$ — ठीक एक बार प्राप्त होता है।

**8.** $p(x) = x^3\left(1 + \frac ax + \frac{b}{x^2} +
\frac{c}{x^3}\right)$: $x \to +\infty$ पर $p \to +\infty$; और $x \to -\infty$ पर $p \to -\infty$। इसलिए किसी विशाल [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $\intcc{-M}{M}$ पर $p(-M) < 0 < p(M)$: मध्यवर्ती मान प्रमेय [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) दे देती है। वही हावी-पद वाला तर्क किसी भी विषम घात के लिए ज्यों का त्यों चलता है — विषम घातें दोनों अनंतों पर विपरीत चिह्न बनाए रखती हैं।

**9.** $n$ बार आधा करने पर लंबाई $2^{-n}$ का [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) बचता है; $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7} < 10^{-6}$: बीस क़दम। न्यूटन हर क़दम पर सही अंक दुगुने कर देता है: एक सही अंक से छह तक पहुँचने में लगभग $3$–$4$ क़दम — [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) ढूँढ़ने की दुनिया के कछुआ और शिकारी कुत्ता।

**10.** $g$ $\intcc{-1}{1}$ पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity) नहीं है: वह $0$ पर फट पड़ता है, जो उस [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) में है। मध्यवर्ती मान प्रमेय का निष्कर्ष उसकी परिकल्पना के साथ ही उड़ जाता है — [सांतत्य](#def-g12-limcont-continuity) सदा *पूरे [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर* जाँचिए, केवल सिरों पर नहीं।

**11.** $g(x) = f(x) - x$ [संतत](#def-g12-limcont-continuity) है; $g(0) = f(0) \geq 0$ (मान $\intcc{0}{1}$ में हैं) और $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$। मध्यवर्ती मान प्रमेय से किसी $c$ के लिए $g(c) = 0$: $f(c) = c$।

**12.** देश को रेखाखंड $\intcc{0}{1}$ मानकर आदर्शीकरण कीजिए: $f$ हर स्थान को उस स्थान पर भेजता है जो मसले हुए नक़्शे पर ठीक उसके नीचे दिखता है; मसलने से नक़्शा देश के ऊपर ही रहता है, इसलिए $f$ $\intcc{0}{1}$ में गिरता है, और वह [संतत](#def-g12-limcont-continuity) है (काग़ज़ फटता नहीं)। [स्थिर बिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) $c$ वही जगह है जो ठीक अपने ही [प्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) के ऊपर है — ईमानदार द्विविमीय नक़्शे को ब्राउवर की प्रमेय सँभालती है।

**13.** $g(0) + g(\pi) = \left(T(0) - T(\pi)\right) +
\left(T(\pi) - T(2\pi)\right) = T(0) - T(2\pi) = 0$। इसलिए $g(0)$ और $g(\pi)$ परस्पर विपरीत हैं (या दोनों शून्य): दोनों ही स्थितियों में [संतत](#def-g12-limcont-continuity) $g$ किसी $t^* \in \intcc{0}{\pi}$ पर लुप्त हो जाता है: $T(t^*) = T(t^* + \pi)$ — यानी भूमध्य रेखा पर कहीं न कहीं, हर एक क्षण, दो प्रतिध्रुवी बिंदुओं का ताप एक ही होता है।

**14.** मेज़ को एक चौथाई चक्कर घुमाने से दोनों विकर्णों की भूमिकाएँ बदल जाती हैं: जो पाए ज़मीन दबा रहे थे और जिनमें से एक लटका था, उनकी स्थितियाँ आपस में बदल जाती हैं, इसलिए लटकने की ऊँचाई — जिसे “चुने हुए विकर्ण के [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval)” के रूप में चिह्न सहित गिना जाए — $\theta$ और $\theta + \frac\pi2$ पर विपरीत चिह्न ले लेती है। [संतत](#def-g12-limcont-continuity) ज़मीन $h$ को [संतत](#def-g12-limcont-continuity) बना देती है, और मध्यवर्ती मान प्रमेय $h(\theta^*) = 0$ वाला कोई कोण $\theta^*$ सौंप देती है: चारों पाए ज़मीन पर। (आयताकार मेज़ या सीढ़ीदार ज़मीन के साथ ऐसा सौभाग्य नहीं।)

**15.** ढाँचा: जिन दो राशियों को मिलाना है उनका *अंतर* बनाइए ($f(x) - x$; $T(t) - T(t + \pi)$; पदयात्री के लिए चढ़ाई-स्थिति घटा उतराई-स्थिति; मेज़ के लिए चिह्नित [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval)); जाँचिए कि वह दोनों चिह्नों के मान लेता है (प्रायः सिरों की किसी सममिति से); और किसी [संतत](#def-g12-limcont-continuity) [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) पर मध्यवर्ती मान प्रमेय का हवाला दीजिए। मेल अनिवार्य।

**16.** खुले प्रश्न: हल *कितने* हैं (इसका उत्तर निरंतर एकदिष्टता और एकैकी आच्छादन प्रमेय ने दिया, प्रश्न 7) और वे *कहाँ* हैं (इसका उत्तर [द्विभाजन](#thm-g12-limcont-ivt) या न्यूटन ने दिया, प्रश्न 9)। मध्यवर्ती मान प्रमेय शुद्ध अस्तित्व का भविष्यवक्ता है।

**17.** $3 - \frac{7}{x + 2}$: [ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी](#def-g12-limcont-asymptote) $x = -2$, क्षैतिज $y = 3$; $-2$ के दोनों ओर [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) है (जहाँ परिभाषित है वहाँ $-\frac{7}{x+2}$ बढ़ता है); वक्र आधार [अतिपरवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-reference) $-\frac7x$ ही है, जो $2$ बाईं ओर और $3$ ऊपर खिसका हुआ है — दो शाखाएँ अनन्तस्पर्शियों की क्रॉस से चिपकी हुई।

**18.** $x \neq 1$ के लिए $f(x) = x + 1$, इसलिए $\lim_{x \to 1} f = 2$: $f(1) = 2$ रखने पर [सांतत्य](#def-g12-limcont-continuity) लौट आता है। असांतत्य कोई उछाल नहीं, केवल एक छेद था — अकेला छूटा हुआ बिंदु भर दीजिए और वक्र भर जाता है: *हटाने योग्य*।

**19.** क्रमागत [पूर्णांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) के बीच के हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर [संतत](#def-g12-limcont-continuity); और हर [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n$ पर वह $n - 1$ से $n$ तक उछल जाता है। $a = 0.9$ के साथ $b = 1.1$: $\lfloor a \rfloor = 0 < \frac12 <
1 = \lfloor b \rfloor$, फिर भी $\lfloor x \rfloor = \frac12$ का कोई हल नहीं — उछाल $\frac12$ के ऊपर से छलाँग लगा जाता है, और ठीक यही मध्यवर्ती मान प्रमेय [संतत](#def-g12-limcont-continuity) [फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) को करने से मना करती है।

**20.** स्थानीय चेहरा: हर बिंदु पर मान $=$ सीमा — हटाने योग्य छेद (प्रश्न 18) ने उसका उल्लंघन इलाज-योग्य ढंग से किया, और महत्तम [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) के उछालों (प्रश्न 19) ने लाइलाज ढंग से। वैश्विक चेहरा: किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर सभी मध्यवर्ती मान छू लिए जाते हैं — [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) के प्रमाणपत्र (6–8), [स्थिर बिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1), भूमध्य रेखा, मेज़ और पदयात्री, सब यहीं रहते हैं। नारे का औपचारिक नाम: *मध्यवर्ती मान प्रमेय*।