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title: "त्रिकोणमितीय फलन"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 24
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/24-trigonometric-functions
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# अध्याय 24 — त्रिकोणमितीय फलन

[फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $\cos$ और $\sin$ वृत्त की ज्यामिति को विश्लेषण में बदल देते हैं। वास्तविक रेखा को इकाई वृत्त पर लपेटकर परिभाषित ये [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) आवर्ती [फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) के आदिरूप हैं, और उनके [अवकलज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) उन्हें दोलन के [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $y'' = -y$ का हल बना देते हैं।

## 24.1 इकाई वृत्त

**परिभाषा 24.1 (कोज्या और ज्या).**

मान लीजिए $\mathcal{C}$ किसी [लंबकोणिक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) [निर्देशांक-पद्धति](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) के मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या 1 का वृत्त है। हर वास्तविक $t$ के साथ वह बिंदु $M(t)$ जोड़िए जो बिंदु $I(1,0)$ से $\mathcal{C}$ के अनुदिश लंबाई $\abs{t}$ लपेटने पर मिलता है — $t \geq 0$ होने पर वामावर्त और अन्यथा दक्षिणावर्त। तब *$\cos t$ और $\sin t$ $M(t)$ के निर्देशांक हैं*:

$$
M(t) = (\cos t, \sin t).
$$

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-600a6e9a7eb2.svg)

चूँकि वृत्त की परिधि $2\pi$ है, इसलिए $t$ के $2\pi$ बढ़ने पर बिंदु $M(t)$ वही रहता है; और चूँकि $M(t)$ इकाई वृत्त पर है:

**प्रतिज्ञप्ति 24.2 (मूलभूत सर्वसमिकाएँ).**

सभी $t \in \R$ और $k \in \Z$ के लिए:

$$
\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad
\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad
\sin(t + 2k\pi) = \sin t,
$$

$$
\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,
$$

$$
\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad
\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad
\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .
$$

**उपपत्ति.** पहली सर्वसमिका इकाई वृत्त का [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) है; शेष वृत्त की सममितियाँ व्यक्त करती हैं: $M(-t)$ $x$-अक्ष में $M(t)$ का परावर्तन है, $M(\pi - t)$ $y$-अक्ष में, और $M(\frac\pi2 - t)$ रेखा $y = x$ में। ∎

कंठस्थ रखने योग्य मान:

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [6pt] $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| [6pt] $\sin t$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |

**प्रतिज्ञप्ति 24.3 (योग सूत्र).**

सभी $a, b \in \R$ के लिए:

$$
\begin{align*}
\cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, &
\sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\
\cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, &
\sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b.
\end{align*}
$$

विशेष रूप से $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ और $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$।

**उपपत्ति.** [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) $\vect{u} = (\cos a, \sin a)$ और $\vect{v} = (\cos b, \sin b)$ इकाई [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) हैं जो $a - b$ का कोण बनाते हैं; उनका [अदिश गुणनफल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/16-the-scalar-product-in-the-plane#def-g11-scal-dot) $\cos a\cos b + \sin a \sin b$ ([निर्देशांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) से) और $\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b)$ (ज्यामिति से) दोनों के बराबर है, और यही तीसरा सूत्र है। $b$ के स्थान पर $-b$ रखने पर पहला मिलता है; [ज्या](#def-g12-trigo-cossin) वाले सूत्र $\sin x = \cos(\frac\pi2 - x)$ की सहायता से निकलते हैं। द्विकोण सूत्र $b = a$ वाली स्थिति को $\cos^2 + \sin^2 = 1$ के साथ मिलाने से मिलते हैं। ∎

## 24.2 विश्लेषणात्मक अध्ययन

**प्रमेयिका 24.4 (मूलभूत सीमा).**

$$
\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1
\qquad\text{और}\qquad
\lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .
$$

**उपपत्ति.** $0 < t < \frac{\pi}{2}$ के लिए इकाई वृत्त में तीन क्षेत्रफलों की तुलना कीजिए: त्रिभुज $OIM(t)$, त्रिज्यखंड $OIM(t)$, और आधार $OI$ तथा ऊँचाई $\tan t$ वाला समकोण त्रिभुज:

$$
\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.
$$

![तीन एक-दूसरे में समाए क्षेत्रफल: त्रिभुज OIM (नीला, क्षेत्रफल t/2), त्रिज्यखंड (लाल चाप से घिरा, क्षेत्रफल t/2), और ऊँचाई t वाला समकोण त्रिभुज (नारंगी, क्षेत्रफल t/2)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-58dd2424af55.svg)

*तीन एक-दूसरे में समाए क्षेत्रफल: त्रिभुज $OIM$ (नीला, क्षेत्रफल $\frac{\sin t}{2}$), त्रिज्यखंड (लाल चाप से घिरा, क्षेत्रफल $\frac{t}{2}$), और ऊँचाई $\tan t$ वाला समकोण त्रिभुज (नारंगी, क्षेत्रफल $\frac{\tan t}{2}$)।*

पहली असमिका से $\frac{\sin t}{t} \leq 1$ मिलता है; दूसरी से $\cos t \leq \frac{\sin t}{t}$। $t \to 0^+$ पर $\cos t \to 1$ ([सांतत्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) से), और संपीडन प्रमेय $\frac{\sin t}{t} \to 1$ दे देती है; सम-विषमता इसे $t \to 0$ तक बढ़ा देती है। दूसरी सीमा के लिए

$$
\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)}
= -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1}
\xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere
$$

∎

**प्रमेय 24.5 (ज्या और कोज्या के अवकलज).**

[फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $\sin$ और $\cos$ $\R$ पर [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) हैं, और

$$
(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .
$$

अधिक सामान्य रूप से, $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ और $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$।

**उपपत्ति.** योग सूत्रों से

$$
\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}
= \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h}
\xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,
$$

जहाँ [प्रमेयिका 24.4](#lem-g12-trigo-sinxx) का उपयोग हुआ है। $\cos$ के लिए गणना ठीक वैसी ही है, और सामान्य रूप शृंखला नियम से निकलता है। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 24.6 (परिवर्तन).**

$\intcc{0}{\pi}$ पर $\cos$ $1$ से $-1$ तक घटता है। $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ पर $\sin$ $-1$ से $1$ तक बढ़ता है। दोनों [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $2\pi$-आवर्ती हैं और उनका परिसर $\intcc{-1}{1}$ है; $\cos$ सम है और $\sin$ विषम।

**उपपत्ति.** $\intoo{0}{\pi}$ पर $(\cos)' = -\sin < 0$, क्योंकि वहाँ बिंदु $M(t)$ की कोटि धनात्मक है; इसी तरह $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ पर $(\sin)' = \cos > 0$। आवर्तिता और सम-विषमता [प्रतिज्ञप्ति 24.2](#prop-g12-trigo-identities) से आती हैं। ∎

![(नीला) और (लाल) के वक्र।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-0ab6284eb634.svg)

*$\cos$ (नीला) और $\sin$ (लाल) के वक्र।*

**विधि 24.7 (cos⁡x=a\cos x = acosx=a और sin⁡x=a\sin x = asinx=a हल करना).**

$a \in \intcc{-1}{1}$ के लिए कोई एक विशेष हल $\alpha$ ज्ञात कीजिए (मानों की सारणी या कैलकुलेटर से)। तब सभी हल ये हैं:

$$
\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ या } x = -\alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z;
$$

$$
\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ या } x = \pi - \alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z.
$$

असमिकाओं के लिए इकाई वृत्त पर हल वाले चाप ढूँढ़िए और एक आवर्तकाल के भीतर के [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पढ़ लीजिए।

**उदाहरण 24.8.**

$\intoc{-\pi}{\pi}$ में $\cos x = \frac12$ हल कीजिए: एक विशेष हल $\frac\pi3$ है, इसलिए हल $x = \frac\pi3$ और $x = -\frac\pi3$ हैं। पूरे $\R$ में: $x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$, $k \in \Z$।

## 24.3 अभ्यास

**अभ्यास 24.1 ★.**

[प्रतिज्ञप्ति 24.2](#prop-g12-trigo-identities) की सर्वसमिकाओं का उपयोग करके $\cos\frac{2\pi}{3}$, $\sin\frac{5\pi}{6}$, $\cos\frac{7\pi}{4}$ और $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ निकालिए।

**हल — अभ्यास 24.1.**

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3
= -\frac12$।

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6
= \frac12$।

$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right)
= \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$।

$\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$।

**अभ्यास 24.2 ★.**

$f(x) = \sin^2 x$, $g(x) = \cos(3x) + x\sin x$ और $h(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$ का अवकलन कीजिए।

**हल — अभ्यास 24.2.**

$f'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (शृंखला नियम)।

$g'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x$ (शृंखला और गुणनफल के नियम)।

भागफल का नियम:

$$
h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.
$$

**अभ्यास 24.3 ★.**

$\intoc{-\pi}{\pi}$ में, फिर $\R$ में हल कीजिए:

$$
\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2};
\qquad
\text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .
$$

**हल — अभ्यास 24.3.**

*(a)* $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ का एक विशेष हल $\frac\pi3$ है। व्यापक हल: $x = \frac\pi3 + 2k\pi$ या $x = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$। $\intoc{-\pi}{\pi}$ में: $x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}$।

*(b)* $\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4$ से $2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$ मिलता है, इसलिए $x = \pm\frac\pi8 + k\pi$। $\intoc{-\pi}{\pi}$ में: $x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}$।

**अभ्यास 24.4 ★★.**

योग सूत्रों का उपयोग करके $\cos\frac{\pi}{12}$ और $\sin\frac{\pi}{12}$ के यथार्थ मान निकालिए। (संकेत: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$।)

**हल — अभ्यास 24.4.**

$a = \frac\pi3$, $b = \frac\pi4$ के साथ:

$$
\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b
= \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},
$$

$$
\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b
= \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.
$$

**अभ्यास 24.5 ★★.**

$\intcc{0}{2\pi}$ में असमिका $2\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0$ हल कीजिए। (संकेत: $\sin x$ में द्विघात का [गुणनखंडन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) कीजिए।)

**हल — अभ्यास 24.5.**

$s = \sin x$ रखिए: $2s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0$ ठीक तब जब $s \leq -\frac12$ या $s = 1$ हो।

$\sin x = 1$ से $x = \frac\pi2$ मिलता है। $\sin x \leq -\frac12$: इकाई वृत्त पर क्षैतिज रेखा $y = -\frac12$ के नीचे का चाप, जो $\intcc{0}{2\pi}$ में $x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}$ है। अतः

$$
S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup
\intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .
$$

**अभ्यास 24.6 ★★.**

सीमाएँ निकालिए:

$$
\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad
\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.
$$

**हल — अभ्यास 24.6.**

$\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$ ($u = 3x \to 0$ के साथ संयोजन)।

$1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$ का उपयोग करने पर:

$$
\frac{1 - \cos x}{x^2}
= \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x}
\xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .
$$

$u = \frac1x \to 0^+$ प्रतिस्थापित करने पर: $x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1$।

**अभ्यास 24.7 ★★.**

$\intcc{0}{2\pi}$ पर [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f(x) = x + \cos x$ का अध्ययन कीजिए: परिवर्तन और [चरम मान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-extremum)। दिखाइए कि $f$ $\R$ पर [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) है, यद्यपि $f'$ अनंत बिंदुओं पर लुप्त होता है।

**हल — अभ्यास 24.7.**

सभी $x$ के लिए $f'(x) = 1 - \sin x \geq 0$, और समता ठीक तब जब $\sin x = 1$ हो, *अर्थात्* $x = \frac\pi2 + 2k\pi$। $\intcc{0}{2\pi}$ पर $f$ $f(0) = 1$ से $f(2\pi) = 2\pi + 1$ तक बढ़ता है ($\frac{\pi}{2}$ पर $f'$ का शून्य अलग-थलग है, इसलिए वृद्धि निरंतर भी है); [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $0$ पर $1$, [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $2\pi$ पर $2\pi + 1$। $\R$ पर हर जगह $f' \geq 0$ है और शून्य केवल अलग-थलग बिंदुओं पर, इसलिए [प्रमेय 22.7](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#thm-g12-deriv-variations) से $f$ (निरंतर) [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) है, यद्यपि $f'$ हर $\frac\pi2 + 2k\pi$ पर लुप्त हो जाता है।

**अभ्यास 24.8 ★★★.**

मान लीजिए $(A,B) \neq (0,0)$ के साथ $f(x) = A\cos x + B \sin x$ है।

1. दिखाइए कि $f$ को $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ और किसी उपयुक्त $\varphi$ के साथ $f(x) = R\cos(x - \varphi)$ लिखा जा सकता है।
2. $f$ के [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) और [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) निकालिए, और $\intoc{-\pi}{\pi}$ में $\cos x + \sin x = 1$ हल कीजिए।

**हल — अभ्यास 24.8.**

*1.* मान लीजिए $R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0$ है। बिंदु $\left(\frac AR, \frac BR\right)$ इकाई वृत्त पर है, इसलिए ऐसा $\varphi$ है कि $\cos\varphi = \frac AR$ और $\sin\varphi = \frac BR$ हों। तब

$$
R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr)
= A\cos x + B\sin x = f(x).
$$

*2.* चूँकि $\cos$ का परिसर $\intcc{-1}{1}$ है, इसलिए $f$ का [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $R$ और [न्यूनतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $-R$ है। $\cos x + \sin x$ के लिए: $A = B = 1$, $R = \sqrt2$, $\varphi = \frac\pi4$, इसलिए [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1$ बन जाता है, *अर्थात्* $\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$, जिससे $x - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$ मिलता है: $\intoc{-\pi}{\pi}$ में $x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}$।

**अभ्यास 24.9 ★★★.**

दिखाइए कि $\sin$ और $\cos$ दोनों अवकल [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $y'' = -y$ को संतुष्ट करते हैं। इसके उलट, मान लीजिए $y$ $y(0) = a$ और $y'(0) = b$ वाला $y'' = -y$ का कोई हल है; दिखाइए कि $y = a\cos + b\sin$। (संकेत: $g = (y - a\cos - b\sin)$ और “ऊर्जा” $E = g^2 + (g')^2$ पर विचार कीजिए।)

**हल — अभ्यास 24.9.**

$(\sin)'' = (\cos)' = -\sin$ और $(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos$: दोनों $y'' = -y$ को हल करते हैं।

मान लीजिए $g = y - a\cos - b\sin$ है। तब $g'' = -g$ (अवकलन की रैखिकता), $g(0) = y(0) - a = 0$ और $g'(0) = y'(0) - b = 0$। $E = g^2 + (g')^2$ रखिए। तब

$$
E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,
$$

इसलिए $E$ अचर है और $E(0) = 0$ के बराबर। दो वर्गों का योग सर्वत्र लुप्त होने से $g = 0$ अनिवार्य हो जाता है, अतः $y = a\cos + b\sin$।

## 24.4 समस्या: लोलक का रहस्य

**समस्या 24.1.**

सप्ताहांत समस्या — एक ज्यामितीय सीमा ज्या और कोज्या के अवकलज चलाती है, और उन्हीं से सारा दोलन: स्प्रिंग, लोलक, विस्पंद, और वह मीटर जो बनते-बनते रह गया

जितनी भी घड़ियाँ कभी टिक-टिक कर पाईं और जितने भी तार कभी बजे, सब एक ही गणित मानते हैं: विस्थापन के समानुपाती प्रत्यानयन बल, अतः [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $y'' = -\omega^2 y$, अतः कोज्याएँ। इस सबकी जड़ में एक भोली-सी दिखने वाली सीमा बैठी है, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ — जिसका वादा कक्षा 9 में हुआ था, जिसका उपयोग [प्रमेय 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) ने किया, और जिसकी उपपत्ति यहाँ एक चित्र से मिलती है। यह समस्या उसी सीमा से चढ़कर एक मीटर के लोलक के झूले तक जाती है, और बताती है कि मीटर बाल-बाल उससे परिभाषित होने से क्यों बच गया।

**भाग I — मूलभूत सीमा।**

1. संख्याओं से तैयारी: $x = 0.1$ और $x = 0.01$ के लिए $\frac{\sin x}{x}$ निकालिए ( [रेडियन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-radian) में!)।
2. $0 < x < \frac\pi2$ के साथ इकाई वृत्त पर सैंडविच: प्रारंभिक ज्यामिति से इन क्षेत्रफलों को व्यक्त कीजिए: (क) शीर्षों $O$ , $A(1,0)$ और वृत्त-बिंदु $M(\cos x, \sin x)$ वाला त्रिभुज; (ख) त्रिज्यखंड $OAM$ ; (ग) समकोण त्रिभुज $OAT$ , जहाँ $T(1, \tan x)$ ।
3. क्षेत्रफलों के सैंडविच से $\sin x < x < \tan x$ निकालिए, फिर $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ , और संपीडन प्रमेय से निष्कर्ष निकालिए कि $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (सम-विषमता $x < 0$ सँभाल लेती है)।
4. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$ निकालिए (संयुग्मी से गुणा कीजिए)।
5. समझाइए कि यही सीमा [प्रमेय 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) का इंजन क्यों है ( $\sin'(0)$ क्या है?), और यह भी कि वह एक पुराना क़र्ज़ कैसे चुका देती है: किस अर्थ में *[रेडियन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-radian)* ही कोण का वह अकेला मात्रक है जिसके लिए $\sin' = \cos$ बिना किसी अचर के सही रहता है?

**भाग II — सरल आवर्त गति।**

6. शृंखला नियम से जाँचिए कि $y(t) = R\cos(\omega t - \varphi)$ $y'' = -\omega^2 y$ को संतुष्ट करता है।
7. स्प्रिंग पर लटका द्रव्यमान $y'' = -4y$ मानता है, जहाँ $y(0) = 3$ और $y'(0) = 8$ हैं। यह स्वीकार करते हुए ( [अभ्यास 24.9](#exo-g12-trigo-9) से) कि सभी हल $A\cos 2t + B\sin 2t$ के रूप के हैं, $A$ और $B$ ज्ञात कीजिए।
8. हल को $R\cos(2t - \varphi)$ ( [अभ्यास 24.8](#exo-g12-trigo-8) ) के रूप में फिर से लिखिए: आयाम $R$ , आवर्तकाल, और कला $\varphi$ बताइए (तीन दशमलव स्थान)।
9. द्रव्यमान पहली बार साम्य स्थिति $y = 0$ से किस समय गुज़रता है?
10. लोलक: लंबाई $L$ की डोरी पर लटका गोलक *ठीक-ठीक* $\theta'' = -\frac gL \sin\theta$ मानता है — जो प्रारंभिक [फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) से हल नहीं होता। छोटे झूलों के लिए $\sin\theta$ के स्थान पर $\theta$ रखिए (भाग I उसे उचित ठहराता है!) और आवर्तकाल $T = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ निकालिए। $L = 1$ m ( $g = 9.81$ ) के लिए $T$ निकालिए: गैलीलियो की प्रसिद्ध खोज — यह सूत्र किस पर निर्भर *नहीं* करता?
11. सेकंड-लोलक: कौन-सी लंबाई ठीक $T = 2$ s देती है? 1791 की विज्ञान अकादमी *मीटर* को परिभाषित करने के लिए इस लंबाई और चतुर्थांश-याम्योत्तर के एक करोड़वें भाग के बीच झिझक रही थी — दोनों दावेदारों में कितने मिलीमीटर का अंतर है?

**भाग III — योग सूत्र काम पर।**

12. योग सूत्रों ( [प्रतिज्ञप्ति 24.3](#prop-g12-trigo-addition) ) से दिखाइए कि $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x$ और $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ : वृत्तीय अवकलन एक चौथाई चक्कर है — [प्रमेय 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) के साथ संगति जाँचिए।
13. गुणनफल-से-योग वाली सर्वसमिका $\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) +  \cos(a + b)\right)$ और रैखिकीकरण $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ निकालिए (समाकलन वाला अध्याय आपका आभारी होगा)।
14. विस्पंद: $\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2}  \cos\frac{p - q}{2}$ निकालिए, और उसे $440$ तथा $444$ Hz के दो स्वरित्र द्विभुजों पर लगाइए: कान कौन-सा स्वर सुनता है, और प्रति सेकंड कितनी धड़कनें? (वाद्यवृंद इसी तरह अपने साज़ मिलाते हैं।)
15. त्रिकोण-कोण सर्वसमिका $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ निकालिए ( $3x = 2x + x$ लिखिए)। $x = 20^\circ$ रखने पर $\cos 20^\circ$ को कौन-सा त्रिघात [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) संतुष्ट करना पड़ता है? (यह त्रिघात अकेले वर्गमूलों से हल नहीं होता, और ठीक इसीलिए कोण का त्रिभाजन दो सहस्राब्दी तक पटरी और परकार को हराता रहा — पूरी कहानी स्नातक खंडों में है।)
16. कोई प्रत्यावर्ती धारा $I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t)$ है। उसे $R\cos(100\pi t - \varphi)$ के रूप में फिर से लिखिए: शिखर धारा और कला क्या हैं?

**भाग IV — दोलन करता संसार।**

17. आवर्तकाल: $\sin^2 t$ का (सबसे छोटा) आवर्तकाल क्या है (प्रश्न 13 का उपयोग कीजिए)? और $\sin(2t) + \sin(3t)$ का?
18. असली लोलक अवमंदित होता है: $y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t)$ । गति का वर्णन कीजिए, $t = 10$ पर अन्वालोप का मान निकालिए (एक पुराना मित्र प्रकट होता है, [समस्या 23.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/23-exponential-and-logarithm#pb-g12-exp-1) ), और उस अध्याय का नाम बताइए जहाँ ऐसे हलों वाले [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) हल किए जाते हैं।
19. हर कंपन पर [ज्या](#def-g12-trigo-cossin) और [कोज्या](#def-g12-trigo-cossin) का राज क्यों है? भौतिकी-से-गणित का शब्दकोश दो वाक्यों में दीजिए (विस्थापन के समानुपाती प्रत्यानयन बल $\rightarrow$ कौन-सा [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\rightarrow$ कौन-से हल), और बताइए कि [अभ्यास 24.9](#exo-g12-trigo-9) इस दावे में क्या जोड़ता है।
20. समापन: अध्याय की चाप चार क़दमों में — एक ज्यामितीय सीमा, दो [अवकलज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) , एक अवकल [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) , और सारा दोलन। और ईमानदार तारांकन: बड़े झूलों के लिए लोलक का सच्चा आवर्तकाल एक दीर्घवृत्तीय समाकल माँगता है, जिसे बिजली की गति से निकालता है … गाउस का समांतर–गुणोत्तर [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) , यानी [समस्या 20.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#pb-g12-seq-1) की मिठाई। शृंखला के धागे आपस में बँध जाते हैं।

**हल — समस्या 24.1.**

**1.** $0.99833\ldots$ और $0.99998\ldots$: घिसटकर $1$ की ओर।

**2.** त्रिभुज $OAM$: आधार $1$, ऊँचाई $\sin x$: क्षेत्रफल $\frac{\sin x}{2}$। त्रिज्यखंड $OAM$: इकाई वृत्त-चक्रिका का $\frac{x}{2\pi}$ अंश: क्षेत्रफल $\frac x2$। त्रिभुज $OAT$: आधार $1$, ऊँचाई $\tan x$: क्षेत्रफल $\frac{\tan x}{2}$।

**3.** त्रिभुज त्रिज्यखंड के भीतर बैठा है और त्रिज्यखंड बड़े त्रिभुज के भीतर: $\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}$, अर्थात् $\sin x < x < \tan x$। $\sin x < x$ से $\frac{\sin x}{x} < 1$; और $x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ से, $\frac{\cos x}{x} > 0$ से गुणा करने पर, $\cos x < \frac{\sin x}{x}$। $x \to 0^+$ पर $\cos x \to 1$: शिकंजे में, $\frac{\sin x}{x} \to 1$; और $\frac{\sin x}{x}$ सम है, इसलिए द्विपक्षीय सीमा $1$ है।

**4.** $\frac{1 - \cos x}{x^2} =
\frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} =
\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x}
\to 1 \times \frac12$।

**5.** $\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} =
1$: [ज्या](#def-g12-trigo-cossin) और [कोज्या](#def-g12-trigo-cossin) का पूरा अवकलन इसी एक सीमा से बहता है। अंशों में नापने पर सीमा $\frac{\pi}{180}$ होती, और हर [अवकलज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) उसी अचर को घसीटता: [रेडियन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-radian) ठीक वही मात्रक है जो दोलन के कलन को स्वच्छ बना देता है।

**6.** $y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi)$, $y'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y$।

**7.** $\omega = 2$। $y(0) = A = 3$; $y'(0) = 2B = 8$: $B = 4$: $y = 3\cos 2t + 4\sin 2t$।

**8.** $R = \sqrt{9 + 16} = 5$; आवर्तकाल $\frac{2\pi}{2} = \pi$; कला $\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927$: $y = 5\cos(2t - 0.927)$।

**9.** $5\cos(2t - \varphi) = 0$ पहली बार तब जब $2t - \varphi = \frac\pi2$: $t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25$ s।

**10.** $\sin\theta \approx \theta$ के साथ: $\theta'' = -\frac gL \theta$: $\omega = \sqrt{\frac gL}$ वाली सरल आवर्त गति, आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$। $L = 1$ के लिए: $T \approx 2.006$ s। आवर्तकाल आयाम पर निर्भर नहीं करता (छोटे झूलों के लिए) — गैलीलियो की समकालिकता, वही तथ्य जो लोलक-घड़ियों को संभव बनाता है।

**11.** $L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 =
\frac{9.81}{\pi^2} \approx 0.994$ m: सेकंड-लोलक याम्योत्तर वाले मीटर से लगभग $6$ mm छोटा है। अकादमी ने याम्योत्तर चुना (गुरुत्व जगह-जगह बदलता है, जो लोलक को धोखा दे देता है); यदि $g$ बाल भर बड़ा होता, तो हमारा मीटर टिक-टिक करता।

**12.** $\cos\left(x + \frac\pi2\right) =
\cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x$; $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$। इसलिए [ज्या](#def-g12-trigo-cossin) का अवकलन [ज्या](#def-g12-trigo-cossin) को एक चौथाई चक्कर खिसका देता है ($\cos$), फिर दोबारा ($-\sin$), फिर दोबारा, और चार क़दमों में घर वापसी: अवकलन वृत्त को घुमा देता है।

**13.** $\cos(a \mp b)$ के दोनों प्रसार जोड़ने पर: $\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b$। $a = b = x$ के साथ: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$, अर्थात् $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$।

**14.** $p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}$ और उसके दर्पण $q$ को खोलकर जोड़ने पर: $\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$। $440$ और $444$ Hz के लिए: $442$ Hz का एक स्वर, जिसकी प्रबलता $\cos(2\pi \cdot 2t)$ से मॉडुलित होती है — और प्रबलता प्रति सेकंड $4$ बार चोटी छूती है (अन्वालोप का [निरपेक्ष मान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-abs)): यानी चार विस्पंद प्रति सेकंड, जो स्वरित्रों के मिल जाने पर लुप्त हो जाते हैं।

**15.** $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x =
(2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x -
3\cos x$। $x = 20^\circ$ पर: $\cos 60^\circ = \frac12$, इसलिए $c = \cos 20^\circ$ $8c^3 - 6c - 1 = 0$ को संतुष्ट करता है — एक ऐसा त्रिघात जिसका कोई वर्गमूल वाला हल नहीं: $20^\circ$ की रचना, अर्थात् $60^\circ$ का त्रिभाजन, पटरी और परकार की पहुँच से बाहर है।

**16.** $R = \sqrt{9 + 27} = 6$; $\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3$: $\varphi = \frac\pi3$: $I(t) = 6\cos\left(100\pi t -
\frac\pi3\right)$: शिखर $6$ ऐम्पियर, कला-विलंब $60^\circ$।

**17.** $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$: आवर्तकाल $\pi$। $\sin 2t$ का आवर्तकाल $\pi$ है और $\sin 3t$ का $\frac{2\pi}{3}$: योग सबसे छोटे उभयनिष्ठ गुणज $2\pi$ के बाद दोहराता है।

**18.** सिकुड़ते अन्वालोप $\pm\eu^{-t/10}$ के भीतर आवर्तकाल $1$ का दोलन: हर झूला लगभग $10\,\%$ नीचा। $t = 10$ पर अन्वालोप $\eu^{-1} \approx 0.368$ है — फिर वही [समस्या 23.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/23-exponential-and-logarithm#pb-g12-exp-1) वाला अचर। ऐसे अवमंदित हलों वाले [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ($y'' + a y' + b y = 0$) अवकल [समीकरणों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) वाले अध्याय में हल होते हैं।

**19.** विस्थापन के समानुपाती पीछे खींचने वाला बल $y'' = -\omega^2 y$ देता है; और [अभ्यास 24.9](#exo-g12-trigo-9) दिखाता है कि उस [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) के हल *ठीक* $\cos$ और $\sin$ के संयोजन ही हैं — अस्तित्व दिखाकर, अद्वितीयता अभ्यास से: कंपन के पास ज्यावक्रीय होने के सिवा कोई चारा नहीं।

**20.** एक सीमा ($\frac{\sin x}{x} \to 1$, दबे हुए क्षेत्रफलों से), दो [अवकलज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) ($\sin' = \cos$, $\cos' = -\sin$), एक [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ($y'' = -\omega^2 y$), और घड़ियों, तारों, धाराओं तथा ज्वारों का पूरा संसार। तारांकन: बड़े झूलों के लिए $T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot
\frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))}$ — [समस्या 20.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#pb-g12-seq-1) का समांतर–गुणोत्तर [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) दीर्घवृत्तीय समाकल को मुट्ठी भर पुनरावृत्तियों में निकाल देता है: गाउस की डायरी और गैलीलियो का लोलक, बस एक सूत्र की दूरी पर।