--- title: "समाकलन" book: "उच्च माध्यमिक गणित" subject: math language: hi chapter: 25 exercises: 9 source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/25-integration --- # अध्याय 25 — समाकलन समाकलन एक साथ दो प्रश्नों का उत्तर देता है: किसी वक्र के नीचे का क्षेत्रफल क्या है, और किसी [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) को उसके परिवर्तन की दर से वापस कैसे पाया जाए? कलन की मूल प्रमेय कहती है कि ये दोनों एक ही प्रश्न हैं — सत्रहवीं सदी के गणित की सबसे गहरी और सबसे उपयोगी खोज। ## 25.1 संतत फलन का समाकल **परिभाषा 25.1 (धनात्मक फलन का समाकल).** मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) और धनात्मक है। *समाकल* $$ \int_a^b f(x)\,\dd x $$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल है (क्षेत्रफल के मात्रकों में) जो $f$ के वक्र, $x$-अक्ष, और ऊर्ध्वाधर रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ से घिरा है। ![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-be957e4dcae1.svg) किसी भी चिह्न वाले [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) के लिए $x$-अक्ष के नीचे के क्षेत्रफल ऋणात्मक गिने जाते हैं; और $\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x$ रखा जाता है। ![चिह्नित क्षेत्रफल: ∈t_02π x\, x = 0, जिसमें अक्ष के नीचे का क्षेत्र (लाल) ऊपर के क्षेत्र (नीला) को काट देता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-49f37058cc51.svg) *चिह्नित क्षेत्रफल: $\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0$, जिसमें अक्ष के नीचे का क्षेत्र (लाल) ऊपर के क्षेत्र (नीला) को काट देता है।* **प्रतिज्ञप्ति 25.2 (समाकल के गुण).** मान लीजिए $f, g$ $a, b, c$ को समेटने वाले किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर [संतत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) हैं, और $\lambda \in \R$ है। 1. *रैखिकता:* $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$ । 2. *शाल का संबंध:* $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ । 3. *धनात्मकता:* यदि $\intcc{a}{b}$ पर $a \leq b$ और $f \geq 0$ हो, तो $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; और यदि $f \leq g$ हो, तो $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ । **उपपत्ति.** शाल और धनात्मकता क्षेत्रफल वाली व्याख्या से तत्काल मिल जाते हैं (क्षेत्र साथ-साथ रखने पर क्षेत्रफल जुड़ जाते हैं; धनात्मक ऊँचाई वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल धनात्मक होता है)। तुलना धनात्मकता को $g - f$ पर लगाने से निकलती है। धनात्मक [फलनों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) के योग के लिए रैखिकता अंतर्ज्ञान से स्पष्ट है (क्षेत्रफल एक के ऊपर एक रख दीजिए) और उसकी कठोर उपपत्ति स्नातक स्तर पर होती है; *यहाँ उसे स्वीकार कर लिया जाता है*। ∎ ## 25.2 कलन की मूल प्रमेय **परिभाषा 25.3 (प्रतिअवकलज).** किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ पर $f$ का *प्रतिअवकलज* $I$ पर [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) ऐसा [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $F$ है जिसके लिए $F' = f$ हो। **प्रतिज्ञप्ति 25.4.** यदि $F$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ पर $f$ का [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive) हो, तो $I$ पर $f$ के [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive) ठीक [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $F + c$, $c \in \R$ हैं। $x_0 \in I$ और $y_0 \in \R$ दिए होने पर $F(x_0) = y_0$ वाला अद्वितीय [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive) होता है। **उपपत्ति.** यदि $G' = F' = f$ हो, तो [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ पर $(G - F)' = 0$, इसलिए $G - F$ अचर है।[1](#fn-1) इसके उलट हर $F + c$ [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive) है। शर्त $F(x_0) = y_0$ अचर को तय कर देती है। ∎ **प्रमेय 25.5 (कलन की मूल प्रमेय).** मान लीजिए $f$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) है और $a \in I$ है। [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $$ F \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t $$ $I$ पर $f$ का वह [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive) है जो $a$ पर लुप्त होता है। परिणामस्वरूप, $f$ के किसी भी [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive) $G$ और $a, b \in I$ के लिए: $$ \int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a). $$ ![उपपत्ति का विचार: वृद्धि F(x+h) - F(x) उस पतली पट्टी (नारंगी) का क्षेत्रफल है, जो लंबाई h के आधार पर ऊँचाइयों f(x) और f(x+h) वाले आयतों के बीच दबी हुई है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-fc94b388b117.svg) *उपपत्ति का विचार: वृद्धि $F(x+h) - F(x)$ उस पतली पट्टी (नारंगी) का क्षेत्रफल है, जो लंबाई $h$ के आधार पर ऊँचाइयों $f(x)$ और $f(x+h)$ वाले आयतों के बीच दबी हुई है।* **$f$ के वर्धमान होने पर उपपत्ति.** $x \in I$ और $h > 0$ स्थिर रखिए, जहाँ $x + h \in I$ है। शाल से $$ F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t . $$ चूँकि $f$ [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) है, इसलिए $t \in \intcc{x}{x+h}$ के लिए $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$, और [समाकलों](#def-g12-integ-area) की तुलना से (लंबाई $h$ के [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर अचर $c$ का [समाकल](#def-g12-integ-area) $ch$ होता है): $$ h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h), $$ इसलिए $$ f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h). $$ $h \to 0^+$ पर [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) से $f(x+h) \to f(x)$, और संपीडन प्रमेय से अंतर-भागफल $f(x)$ की ओर जाता है; स्थिति $h < 0$ सममित है। अतः $F' = f$, और $F(a) = 0$। सामान्य ([अ-एकदिष्ट](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic)) [संतत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) स्थिति स्नातक स्तर पर सिद्ध होती है। अंत में, यदि $G$ कोई भी [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive) हो, तो $G = F + c$ ([प्रतिज्ञप्ति 25.4](#prop-g12-integ-primunique)), इसलिए $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$। ∎ **उदाहरण 25.6.** $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$: [परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) के नीचे का क्षेत्रफल इकाई वर्ग का एक-तिहाई है, जैसा आर्किमिडीज़ जानते थे। [प्रतिअवकलजों](#def-g12-integ-primitive) की सारणी [अवकलजों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) की सारणी से पढ़ी जाती है ($u$ किसी [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) को और $c$ किसी मनमाने अचर को दर्शाता है): | $f(x)$ | [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive) | $f$ | [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive) | | --- | --- | --- | --- | | $x^n \ (n \neq -1)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$ | $u'u^n \ (n \neq -1)$ | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c$ | | $\dfrac1x \ (x > 0)$ | $\ln x + c$ | $\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)$ | $\ln u + c$ | | $\eu^x$ | $\eu^x + c$ | $u'\eu^u$ | $\eu^u + c$ | | $\cos x$ | $\sin x + c$ | $\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)$ | $2\sqrt u + c$ | | $\sin x$ | $-\cos x + c$ | | | **विधि 25.7 (u′×(u का कोई व्यंजक)u' \times (u \text{ का कोई व्यंजक})u′×(u का कोई व्यंजक) का रूप पहचानना).** किसी गुणनफल का समाकलन करने के लिए ऐसा गुणनखंड ढूँढ़िए जो किसी भीतरी [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $u$ का [अवकलज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) हो, किसी गुणक अचर तक। जैसे $\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ में गुणनखंड $x$ $\frac12 (x^2)'$ है: $$ \int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}. $$ **प्रमेय 25.8 (खंडशः समाकलन).** मान लीजिए $u, v$ $\intcc{a}{b}$ पर [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) हैं और उनके [अवकलज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) [संतत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) हैं। तब $$ \int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t . $$ **उपपत्ति.** गुणनफल के नियम से $(uv)' = u'v + uv'$; दोनों पक्षों का $\intcc{a}{b}$ पर समाकलन करके बाएँ पक्ष के लिए मूल प्रमेय का उपयोग करने पर $\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$ मिलता है। ∎ **उदाहरण 25.9.** $\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t$: $u' = \eu^t$, $v = t$ लीजिए, इसलिए $u = \eu^t$, $v' = 1$: $$ \int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 . $$ ## 25.3 अनुप्रयोग **परिभाषा 25.10 (माध्य मान).** $\intcc{a}{b}$ ($a 0$ से भाग दीजिए। ∎ **विधि 25.12 (दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल).** यदि $\intcc{a}{b}$ पर $f \geq g$ हो, तो दोनों वक्रों के बीच का क्षेत्रफल $\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x$ है। यदि वक्र एक-दूसरे को काटते हों, तो [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) को कटान-बिंदुओं पर बाँट दीजिए और $\abs{f - g}$ का टुकड़ा-दर-टुकड़ा समाकलन कीजिए। ![रेखा y = x + 1 (लाल) और परवलय y = x2 - 1 (नीला) के बीच का क्षेत्रफल ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2 है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-d9b9464c2389.svg) *रेखा $y = x + 1$ (लाल) और [परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) $y = x^2 - 1$ (नीला) के बीच का क्षेत्रफल $\int_{-1}^{2} \bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92$ है।* ## 25.4 अभ्यास **अभ्यास 25.1 ★.** निकालिए: $$ \int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} . $$ **हल — अभ्यास 25.1.** $$ \int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}. $$ $$ \int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 . $$ $u = 2t+1$, $\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u}$ के साथ: $$ \int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}. $$ **अभ्यास 25.2 ★.** $\R$ पर $f(x) = x\eu^{x^2}$ का वह [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive) $F$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $F(0) = 1$ हो। **हल — अभ्यास 25.2.** $x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2}$ के [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive) $\frac12\eu^{x^2} + c$ हैं। शर्त $F(0) = 1$ से $\frac12 + c = 1$ मिलता है, इसलिए $$ F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}. $$ **अभ्यास 25.3 ★.** $\intcc{0}{\pi}$ पर $f(t) = \sin t$ का [माध्य मान](#def-g12-integ-mean) निकालिए, और परिणाम की व्याख्या [आलेख](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) पर कीजिए। **हल — अभ्यास 25.3.** $$ \mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 . $$ [आलेख](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) की दृष्टि से: आधार $\intcc{0}{\pi}$ और ऊँचाई $\frac{2}{\pi}$ वाले आयत का क्षेत्रफल ज्या-वक्र के मेहराब जितना ही है। **अभ्यास 25.4 ★★.** [खंडशः समाकलन](#thm-g12-integ-ibp) से निकालिए: $$ \int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{और}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t . $$ **हल — अभ्यास 25.4.** $u' = 1$, $v = \ln t$ लीजिए, इसलिए $u = t$, $v' = \frac1t$: $$ \int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 . $$ $u' = \sin t$, $v = t$ लीजिए, इसलिए $u = -\cos t$, $v' = 1$: $$ \int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi . $$ **अभ्यास 25.5 ★★.** [परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ और रेखा $y = x + 2$ के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालिए। **हल — अभ्यास 25.5.** वक्र वहाँ मिलते हैं जहाँ $x^2 = x + 2$, *अर्थात्* $x \in \{-1, 2\}$, और $\intcc{-1}{2}$ पर रेखा [परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) के ऊपर है। क्षेत्रफल है $$ \int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}. $$ **अभ्यास 25.6 ★★.** मान लीजिए $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t}$ है। 1. $I$ निकालिए। 2. $n \in \N$ के लिए मान लीजिए $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ है। दिखाइए कि $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ , और यह भी कि $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ । 3. निष्कर्ष निकालिए कि $1 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2$ । **हल — अभ्यास 25.6.** *1.* $I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2$। *2.* $$ I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}. $$ $\intcc{0}{1}$ पर $0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n$, इसलिए तुलना से $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}$। *3.* पुनरावृत्ति से, क्रमिक निरसन वाले आगमन द्वारा, $$ I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right), $$ *अर्थात्* $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n$ ($I_0 = \ln 2$ याद कीजिए)। चूँकि $\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0$ है, इसलिए एकांतर हरात्मक योग $\ln 2$ की ओर जाता है। **अभ्यास 25.7 ★★.** प्रस्थान के बाद पहले $100$ सेकंड में किसी रेलगाड़ी की चाल (m/s में) $v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr)$ से प्रतिरूपित होती है। इन $100$ सेकंडों में तय की गई दूरी और इस [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर रेलगाड़ी की औसत चाल निकालिए। **हल — अभ्यास 25.7.** दूरी: $$ d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}. $$ संख्याओं में $d \approx 1500 + 203 = 1703$ m। औसत चाल: $\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0$ m/s। **अभ्यास 25.8 ★★★.** $n \geq 1$ के लिए मान लीजिए $S_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n}$ है। 1. $S_n$ की व्याख्या ऐसे आयतों के क्षेत्रफल के रूप में कीजिए जो $\intcc{0}{1}$ पर $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ के वक्र के नीचे के क्षेत्र का [सन्निकटन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-approx) करते हैं। 2. $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ की एकदिष्टता का उपयोग करके दिखाइए कि $$S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),$$ और $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2$ निकालिए। **हल — अभ्यास 25.8.** *1.* $S_n$ चौड़ाई $\frac1n$ और ऊँचाइयों $f\left(\frac kn\right)$, $k = 1, \dots, n$ वाले $n$ आयतों का कुल क्षेत्रफल है, जहाँ $f(t) = \frac{1}{1+t}$: यह $\intcc{0}{1}$ पर $f$ के नीचे के क्षेत्रफल का “दाएँ सिरे” वाला आयत-सन्निकटन है। *2.* $f$ [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) है, इसलिए हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn}$ पर $f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right)$; समाकलन करके $k$ पर जोड़ने पर: $$ S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}. $$ (अभ्यास के प्रदर्शन का बीच वाला पद, $f(0) - f(1) = 1 - \frac12$ के साथ, ठीक यही परिबंध है।) अतः $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0$, इसलिए $S_n \to \ln 2$। **अभ्यास 25.9 ★★★.** *(वालिस [समाकल](#def-g12-integ-area).)* $n \in \N$ के लिए मान लीजिए $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$ है। 1. $W_0$ और $W_1$ निकालिए। 2. $\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$ लिखकर और [खंडशः समाकलन](#thm-g12-integ-ibp) करके दिखाइए कि $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n$ । 3. $W_2$ , $W_3$ , $W_4$ निकालिए और दिखाइए कि $(W_n)$ [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) तथा धनात्मक है। **हल — अभ्यास 25.9.** *1.* $W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2}$ और $W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1$। *2.* $u' = \sin t$, $v = \sin^{n+1} t$ के साथ [खंडशः समाकलन](#thm-g12-integ-ibp) कीजिए, इसलिए $u = -\cos t$, $v' = (n+1)\sin^n t \cos t$: $$ W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t, $$ जहाँ कोष्ठक दोनों सिरों पर लुप्त हो जाता है। अतः $W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2})$, *अर्थात्* $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$। *3.* $W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}$, $W_3 = \frac23 W_1 = \frac23$, $W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}$। $\intoo{0}{\frac\pi2}$ पर $0 < \sin t < 1$, इसलिए $\sin^{n+1} t \leq \sin^n t$, और भीतर कड़ी असमिका के साथ; समाकलन करने पर $0 < W_{n+1} \leq W_n$ (वस्तुतः $<$): $(W_n)$ [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) और धनात्मक है। ## 25.5 समस्या: आर्किमिडीज़ बनाम मशीन **समस्या 25.1.** सप्ताहांत समस्या — परवलय के नीचे का क्षेत्रफल, बाईस सदियों में तीन तरीक़ों से निकाला गया, और लघुगणक की गुप्त पहचान एक क्षेत्रफल के रूप में लगभग 240 ईसा पूर्व आर्किमिडीज़ ने परवलयीय खंड का यथार्थ क्षेत्रफल निकाल लिया था — बिना [निर्देशांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) के, बिना सीमाओं के, बिना बीजगणित के। उन्नीस सदियों बाद रीमान के आयतों ने उसे शुद्ध शिकंजे से फिर निकाला; और अब कलन की मूल प्रमेय ([प्रमेय 25.5](#thm-g12-integ-ftc)) उसे एक ही पंक्ति में कर देती है। यह समस्या तीनों मुक़ाबले खेलती है, और फिर उसी मशीन से यह उजागर करती है कि [लघुगणक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/23-exponential-and-logarithm#def-g12-exp-ln) असल में है क्या: एक ऐसा क्षेत्रफल जिसमें मापन की सममिति है। **भाग I — प्रवाह।** 1. $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\,\dd x$ , $\displaystyle\int_1^{\eu} \frac{\dd x}{x}$ , और $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\dd x$ निकालिए। 2. $u'u$ -रूप पहचानिए ( [विधि 25.7](#met-g12-integ-uprime) ): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ और $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,\dd x$ । 3. खंडशः ( [प्रमेय 25.8](#thm-g12-integ-ibp) ): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^x \dd x$ और $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln x\,\dd x$ । 4. $\intcc{0}{\pi}$ पर $\sin$ का [माध्य मान](#def-g12-integ-mean) ( [परिभाषा 25.10](#def-g12-integ-mean) ) निकालिए — और ध्यान दीजिए कि वह $\frac12$ *नहीं* है। 5. $\intcc{0}{1}$ पर रेखा $y = x$ और [परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ के बीच का क्षेत्रफल निकालिए ( [विधि 25.12](#met-g12-integ-areabetween) )। **भाग II — [परवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-parabola), तीन तरीक़ों से।** 6. $\intcc{0}{1}$ पर $y = x^2$ के नीचे के क्षेत्रफल के लिए रीमान की व्यवस्था: $n$ बराबर आयतों पर अधोयोग $L_n$ और उपरियोग $U_n$ लिखिए (जैसा [अभ्यास 25.8](#exo-g12-integ-8) में था)। 7. आगमन ([समस्या 20.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#pb-g12-seq-1) की मशीन) से वर्गों के योग का सूत्र सिद्ध कीजिए: $$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .$$ 8. $U_n$ और $L_n$ के बंद रूप निकालिए, उनकी उभयनिष्ठ सीमा निकालिए, और निष्कर्ष निकालिए: क्षेत्रफल $\frac13$ है। 9. अब मशीन: मूल प्रमेय से $\int_0^1 x^2\,\dd x$ एक ही पंक्ति में निकालिए। दोनों मेहनतों की तुलना कीजिए। 10. आर्किमिडीज़ ने इसे अलग तरह से कहा था: *परवलयीय खंड अपने अंतर्लिखित त्रिभुज का $\frac43$ होता है* । $(-1, 1)$ को $(1, 1)$ से जोड़ने वाली जीवा द्वारा $y = x^2$ से काटे गए खंड के लिए: [समाकल](#def-g12-integ-area) से खंड का क्षेत्रफल, अंतर्लिखित त्रिभुज का क्षेत्रफल (शीर्ष $(0, 0)$ पर) निकालिए, और उस्ताद का अनुपात सत्यापित कीजिए। 11. आर्किमिडीज़ की अपनी विधि: खंड को पहले बड़े त्रिभुज $T$ से भरिए, फिर कुल $\frac T4$ वाले दो त्रिभुजों से, फिर कुल $\frac{T}{16}$ वाले चार से, और इसी तरह आगे। [गुणोत्तर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-arith-geom) श्रेणी जोड़िए और $\frac43 T$ फिर से पाइए — माध्यमिक विद्यालय खंड की अनंत बार कुतरी गई चॉकलेट, जिसे एक यूनानी ज्यामितिज्ञ खा गया। 12. एक-एक वाक्य में: निःशेषण (आर्किमिडीज़), शिकंजा (रीमान), प्रतिअवकलन (न्यूटन–लाइबनिज़) — हर एक को क्या चाहिए, और हर एक क्या देता है? **भाग III — [लघुगणक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/23-exponential-and-logarithm#def-g12-exp-ln) एक क्षेत्रफल है।** $x > 0$ के लिए $A(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{\dd t}{t}$ रखिए। 13. $A(1)$ और $A'(x)$ ( [प्रमेय 25.5](#thm-g12-integ-ftc) ) बताइए, और निष्कर्ष निकालिए कि $A$ ठीक [परिभाषा 23.5](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/23-exponential-and-logarithm#def-g12-exp-ln) का [प्राकृत लघुगणक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/23-exponential-and-logarithm#def-g12-exp-ln) है। 14. मापन का चमत्कार: $a > 0$ स्थिर रखिए और $g(x) = A(ax) - A(x)$ का अध्ययन कीजिए। $g'$ निकालिए (शृंखला नियम), निष्कर्ष निकालिए कि $g$ अचर है, अचर का मान निकालिए — और शुद्ध कलन से सिद्ध फलनीय [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $$\ln(ab) = \ln a + \ln b ,$$ प्राप्त कीजिए: $1$ से $ab$ तक का क्षेत्रफल मापित प्रतियों में बँट जाता है। 15. प्रश्न 14 से निकालिए: $\ln(a^n) = n\ln a$ और $\ln\frac1a = -\ln a$ । 16. [अभ्यास 25.8](#exo-g12-integ-8) $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ को $\frac{1}{1 + t}$ के नीचे के आयतों के रूप में पढ़ता है: $n = 10$ के लिए यह योग निकालिए (तीन दशमलव स्थान) और $\ln 2$ से तुलना कीजिए। कौन-से हरात्मक स्वाद वाले योग, जो पद-दर-पद अपसारी हैं, यहाँ किसी क्षेत्रफल पर [अभिसरित](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-limit) हो जाते हैं? **भाग IV — संचयन।** 17. कोई कार $t \in \intcc{0}{10}$ तक चाल $v(t) = 3t^2$ m/s से त्वरित होती है। तय की गई दूरी, [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) चाल, और वह क्षण निकालिए जिस पर तात्क्षणिक चाल [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) चाल के बराबर हो जाती है। 18. $4$ -मीटर की छड़ का रैखिक घनत्व $\rho(x) = 2 + x$ kg/m है। उसका कुल द्रव्यमान और उसका द्रव्यमान केंद्र $\dfrac{\int_0^4 x\,\rho(x)\,\dd x}{\int_0^4 \rho(x)\,\dd x}$ निकालिए — माध्यमिक विद्यालय खंड के गत्ते के त्रिभुज वाला संतुलन-बिंदु, अब बदलते भारों के साथ निकाला हुआ। 19. वालिस के [समाकल](#def-g12-integ-area) ( [अभ्यास 25.9](#exo-g12-integ-9) ): [समस्या 24.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/24-trigonometric-functions#pb-g12-trigo-1) के रैखिकीकरण का उपयोग करके $W_0$ , $W_1$ और $W_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^2 t\,\dd t$ निकालिए। (उनकी अनंत सीढ़ी स्नातक खंडों में चढ़कर $\pi$ के एक गुणनफल-सूत्र तक और घंटी-वक्र के प्रसामान्यीकरण तक जाती है।) 20. समापन — समाकलन के तीन चेहरे: परिभाषा से एक *क्षेत्रफल* , संसार में एक *संचयन* (दूरी, द्रव्यमान), और मूल प्रमेय से एक *[प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive)* ; और उसका इतिहास तीन नामों में। अध्याय के मोती के साथ समापन कीजिए: कैलकुलेटर का कौन-सा रोज़मर्रा का बटन चुपके से $\frac1t$ के नीचे का क्षेत्रफल है — और उस क्षेत्रफल ने कौन-सी सर्वसमिका सिद्ध कर दी? **हल — समस्या 25.1.** **1.** $\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1$; $\left[\ln x\right]_1^{\eu} = 1$; $\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1$। **2.** $\left[\frac12 \eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}$; $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2$। **3.** $\int_0^1 x\eu^x = \left[x\eu^x\right]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$। और $\int_1^{\eu} \ln x = \left[x\ln x\right]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1 = \eu - (\eu - 1) = 1$। **4.** $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,\dd x = \frac{2}{\pi} \approx 0.64$: ज्या-मेहराब की औसत ऊँचाई $\frac2\pi$ है, जो आधे से साफ़ अधिक है — मेहराब अपनी चोटी के पास मोटा है। **5.** $\int_0^1 (x - x^2)\,\dd x = \frac12 - \frac13 = \frac16$। **6.** $L_n = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac kn\right)^2$ और $U_n = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^2$: चौड़ाई $\frac1n$ वाले आयत, जिनकी ऊँचाइयाँ बाएँ सिरे (वक्र के नीचे) या दाएँ सिरे (ऊपर) पर पढ़ी गई हैं। **7.** $n = 1$ के लिए सत्य ($1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}$)। यदि वह $n$ के लिए सही हो, तो $(n+1)^2$ जोड़ने पर $$ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\left(2n^2 + n + 6n + 6\right)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}, $$ जो $n + 1$ पर वही सूत्र है: वंशानुगति, हो गया। **8.** $U_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(1 + \frac1n)(2 + \frac1n)}{6} \to \frac26 = \frac13$, और $L_n = U_n - \frac1n \to \frac13$: अपनी सीढ़ियों के बीच दबा हुआ क्षेत्रफल ठीक $\frac13$ है। **9.** $\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$: एक ही पंक्ति। मूल प्रमेय अनंत शिकंजे को एक ही [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive) के मान-निर्धारण में बदल देती है — इसीलिए उसे [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) कहा जाता है। **10.** खंड: $\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,\dd x = 2 - \frac23 = \frac43$। आधार जीवा (लंबाई $2$, ऊँचाई $1$ पर) और शीर्ष $(0,0)$ वाला त्रिभुज: क्षेत्रफल $\frac12 \times 2 \times 1 = 1$। अनुपात: $\frac43$ — ठीक आर्किमिडीज़ की प्रमेय, उसी मशीन से सत्यापित जो उनके पास नहीं थी। **11.** $T\left(1 + \frac14 + \frac{1}{16} + \dots\right) = T \cdot \frac{1}{1 - \frac14} = \frac43 T$ (अनुपात $\frac14$ वाली [गुणोत्तर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-arith-geom) श्रेणी): $T = 1$ के साथ खंड का क्षेत्रफल फिर $\frac43$। आर्किमिडीज़ ने यह श्रेणी शुद्ध ज्यामितीय तर्क से जोड़ी थी — चॉकलेट जैसी चौथाई-चौथाई कुतरन, सीमाओं के शब्द बनने से दो सहस्राब्दी पहले। **12.** निःशेषण को कोई चतुर ज्यामितीय स्व-समरूपता चाहिए और वह स्थिति-दर-स्थिति यथार्थ क्षेत्रफल देती है; रीमान को केवल एकदिष्टता चाहिए और वह योग निकालने की क़ीमत पर सार्वभौमिक परिभाषा देता है; और मूल प्रमेय को [अवकलजों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) का पूरा भवन चाहिए तथा वह उसकी भरपाई क्षेत्रफलों को एक-पंक्ति की गणना बनाकर कर देती है। **13.** $A(1) = 0$ और $A'(x) = \frac1x$ (मूल प्रमेय): $A$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर $\frac1x$ का वह [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive) है जो $1$ पर लुप्त होता है — और वही ठीक [प्राकृत लघुगणक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/23-exponential-and-logarithm#def-g12-exp-ln) है। **14.** $g'(x) = \frac{a}{ax} - \frac1x = 0$: $g$ अचर है; $x = 1$ पर: $g(1) = A(a) - A(1) = A(a)$। अतः सभी $x$ के लिए $A(ax) = A(a) + A(x)$, और $x = b$ के साथ: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$। [अतिपरवलय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-reference) का क्षेत्रफल क्षैतिज पैमाने की परवाह नहीं करता: $t$ को $a$ गुना खींचने पर $\frac1t$ $a$ गुना दब जाता है, और क्षेत्रफल बच जाता है — [लघुगणकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/23-exponential-and-logarithm#def-g12-exp-ln) का जुड़ना मापन की सममिति ही है। **15.** दोहराने पर: $\ln(a^n) = n\ln a$ ($n$ पर आगमन)। और $0 = \ln 1 = \ln\left(a \cdot \frac1a\right) = \ln a + \ln\frac1a$: $\ln\frac1a = -\ln a$। **16.** $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} \approx 0.669$, जबकि $\ln 2 \approx 0.693$: $\frac{1}{1+t}$ के नीचे दस आयत, और पहले ही बहुत पास। हरात्मक श्रेणी अपसरित होती है, पर $n$ से $2n$ तक उसके *टुकड़े* $\ln 2$ पर आ बैठते हैं: घिसटता हुआ अपसरण, जिसे एक क्षेत्रफल नाप लेता है। **17.** दूरी: $\int_0^{10} 3t^2\,\dd t = 1000$ m। [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) चाल: $100$ m/s। $v = 100$ वाला क्षण: $3t^2 = 100$: $t = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77$ s। **18.** द्रव्यमान: $\int_0^4 (2 + x)\,\dd x = 8 + 8 = 16$ kg। आघूर्ण: $\int_0^4 (2x + x^2)\,\dd x = 16 + \frac{64}{3} = \frac{112}{3}$। द्रव्यमान केंद्र: $\frac{112/3}{16} = \frac73 \approx 2.33$ m — भारी दाहिने सिरे ने उसे बीच से आगे धकेल दिया, जैसा अंतर्ज्ञान माँगता है। **19.** $W_0 = \frac\pi2$; $W_1 = \left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = 1$; और $W_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2}\,\dd t = \frac\pi4$। **20.** क्षेत्रफल: परिभाषा, जो सीढ़ियों के बीच दबी है। संचयन: चालों से दूरियाँ, घनत्वों से द्रव्यमान — [समाकल](#def-g12-integ-area) एक चलते जोड़ के रूप में। [प्रतिअवकलज](#def-g12-integ-primitive): मूल प्रमेय, जो आर्किमिडीज़ के धैर्य में से न्यूटन और लाइबनिज़ का छोटा रास्ता है। और मोती: $\ln$ का बटन $\frac1t$ के नीचे का क्षेत्रफल है, और उस क्षेत्रफल की मापन-सममिति ही सर्वसमिका $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ है। 1. किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर शून्य [अवकलज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) वाला [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) अचर होता है, यह [प्रमेय 22.7](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#thm-g12-deriv-variations) से निकलता है: वह [वर्धमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) और [ह्रासमान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) दोनों है। [↩](#fnref-1)