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title: "अवकल समीकरण"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 26
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/26-differential-equations
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# अध्याय 26 — अवकल समीकरण

[अवकल समीकरण](#def-g12-diffeq-ode) किसी [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) को उसके [अवकलजों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) से जोड़ता है। भौतिकी, रसायन, जीवविज्ञान और अर्थशास्त्र अपने नियम इसी रूप में व्यक्त करते हैं: किसी वस्तु के ठंडा होने की दर, किसी रेडियोधर्मी नाभिक का क्षय, किसी समष्टि की वृद्धि — ये सब $y'$ के बारे में कथन हैं। यह अध्याय अचर गुणांकों वाले प्रथम कोटि के रैखिक [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) पूरी तरह हल कर देता है।

## 26.1 समीकरण $y' = ay$

**परिभाषा 26.1 (अवकल समीकरण).**

*अवकल समीकरण* वह [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) है जिसका अज्ञात कोई [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $y$ हो और जिसमें $y$ तथा उसके [अवकलज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) आते हों। किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ पर *हल* वह [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) है जो $I$ के हर बिंदु पर [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) को संतुष्ट करे।

**प्रमेय 26.2 (y′=ayy' = ayy′=ay के हल).**

मान लीजिए $a \in \R$ है। [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $y' = ay$ के $\R$ पर हल ठीक ये [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) हैं

$$
y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .
$$

हर युग्म $(x_0, y_0)$ के लिए $y(x_0) = y_0$ वाला अद्वितीय हल होता है।

**उपपत्ति.** हर $y = C\eu^{ax}$ $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$ को संतुष्ट करता है। इसके उलट, मान लीजिए $y$ कोई हल है और $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$ रखिए। तब

$$
z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax}
= \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,
$$

इसलिए $z$ अचर है, मान लीजिए $C$, और $y(x) = C\eu^{ax}$। आरंभिक शर्त $y(x_0) = y_0$ $C = y_0 \eu^{-a x_0}$ को अद्वितीय रूप से तय कर देती है। ∎

**टिप्पणी 26.3.**

इस तरह [चरघातांकी फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/23-exponential-and-logarithm#thm-g12-exp-existence) का *अभिलक्षण* सभी [अवकल समीकरणों](#def-g12-diffeq-ode) में सबसे सरल [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) से मिलता है: आकार के समानुपाती वृद्धि। इसीलिए वह प्रकृति में हर जगह प्रकट होता है।

![समीकरण y' = y समतल के हर बिंदु पर एक प्रवणता निर्धारित कर देता है (धूसर रेखाखंड)। हल C x — यहाँ C = 1 (नीला), C = 0.3 (लाल), C = -0.5 (नारंगी) — ठीक वही वक्र हैं जो प्रवणताओं के इस क्षेत्र का अनुसरण करते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-4ca95fee37c9.svg)

*[समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $y' = y$ समतल के हर बिंदु पर एक [प्रवणता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) निर्धारित कर देता है (धूसर रेखाखंड)। हल $C\eu^{x}$ — यहाँ $C = 1$ (नीला), $C = 0.3$ (लाल), $C = -0.5$ (नारंगी) — ठीक वही वक्र हैं जो प्रवणताओं के इस क्षेत्र का अनुसरण करते हैं।*

**उदाहरण 26.4 (रेडियोधर्मी क्षय).**

कोई रेडियोधर्मी राशि $\lambda > 0$ के साथ $N' = -\lambda N$ को संतुष्ट करती है, इसलिए $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$; अर्धायु के लिए [उदाहरण 23.9](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/23-exponential-and-logarithm#ex-g12-exp-halflife) देखिए।

## 26.2 समीकरण $y' = ay + b$

**प्रमेय 26.5 (y′=ay+by' = ay + by′=ay+b के हल).**

मान लीजिए $a \neq 0$ और $b \in \R$ हैं। $y' = ay + b$ के $\R$ पर हल ठीक ये [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) हैं

$$
y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .
$$

अचर [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $y_p = -\frac ba$ *साम्य हल* है। हर $(x_0, y_0)$ के लिए $y(x_0) = y_0$ वाला अद्वितीय हल है; और यदि $a < 0$ हो, तो $x \to +\infty$ पर हर हल साम्य $-\frac ba$ की ओर जाता है।

**उपपत्ति.** अचर $y_p = -\frac{b}{a}$ $y_p' = 0 = a y_p + b$ को संतुष्ट करता है। अब $y$ हल है यदि और केवल यदि

$$
(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0}
= a (y - y_p),
$$

अर्थात् यदि और केवल यदि $z = y - y_p$ $z' = az$ को हल करे। [प्रमेय 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous) से $z = C\eu^{ax}$ मिलता है, जिससे सूत्र, अस्तित्व और अद्वितीयता निकल आते हैं। यदि $a < 0$ हो, तो $x \to +\infty$ पर $\eu^{ax} \to 0$, इसलिए $y(x) \to -\frac ba$। ∎

**विधि 26.6 (आरंभिक शर्त के साथ y′=ay+by' = ay + by′=ay+b हल करना).**

1. साम्य हल $y_p = -\frac{b}{a}$ ज्ञात कीजिए ( $y' = 0$ हल कीजिए)।
2. व्यापक हल $y = C\eu^{ax} + y_p$ लिखिए।
3. आरंभिक शर्त से $C$ ज्ञात कीजिए।
4. दीर्घ काल के व्यवहार की जाँच भौतिक अंतर्ज्ञान के सामने कीजिए (क्या हल साम्य पर [अभिसरित](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-limit) होता है?)।

यही रणनीति — *विशेष हल + समघात [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) का व्यापक हल* — $y' = ay + f(x)$ तक भी बढ़ती है: [प्रतिज्ञप्ति 26.8](#prop-g12-diffeq-general) देखिए।

**उदाहरण 26.7 (न्यूटन का शीतलन नियम).**

$80\,^\circ$C की कॉफ़ी का प्याला $20\,^\circ$C के कमरे में रखा है। न्यूटन का नियम कहता है कि ताप $T$ किसी $k > 0$ के लिए $T' = -k(T - 20)$ को संतुष्ट करता है, *अर्थात्* $T' = -kT + 20k$। साम्य $20$ है, और $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$: कॉफ़ी चरघातांकी तेज़ी से कमरे के ताप तक ठंडी हो जाती है।

![आरंभिक ताप चाहे जो हो, T' = -k(T - 20) के सभी हल चरघातांकी रूप से साम्य T = 20 पर अभिसरित होते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-04cee619fc5c.svg)

*आरंभिक ताप चाहे जो हो, $T' = -k(T - 20)$ के सभी हल चरघातांकी रूप से साम्य $T = 20$ पर [अभिसरित](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-limit) होते हैं।*

## 26.3 समीकरण $y' = ay + f(x)$

**प्रतिज्ञप्ति 26.8 (हल-समुच्चय की संरचना).**

मान लीजिए $f$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) है और $y_p$ $I$ पर

$$
y' = ay + f(x)
$$

का कोई एक विशेष हल है। तब $I$ पर हल ठीक [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $y = C\eu^{ax} + y_p$, $C \in \R$ हैं।

**उपपत्ति.** [प्रमेय 26.5](#thm-g12-diffeq-affine) की तरह: $y$ हल है यदि और केवल यदि $z = y - y_p$ $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$ को संतुष्ट करे, अर्थात् यदि और केवल यदि $z = C\eu^{ax}$ हो। ∎

**विधि 26.9 (विशेष हल का अनुमान लगाना).**

ऐसा विशेष हल ढूँढ़िए जिसका *रूप $f$ जैसा* हो:

- $f$ घात $n$ का बहुपद: घात $n$ का बहुपद आज़माइए;
- $k \neq a$ के साथ $f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ : $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ आज़माइए;
- $f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (अनुनाद वाली स्थिति): $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ आज़माइए।

[समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) में रखिए और गुणांक मिलाइए।

**उदाहरण 26.10.**

$y' = 2y + 4x$ हल कीजिए। $y_p = \alpha x + \beta$ आज़माइए: सभी $x$ के लिए $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ होने से $2\alpha + 4 = 0$ और $\alpha = 2\beta$ आवश्यक हो जाते हैं, इसलिए $\alpha = -2$, $\beta = -1$। व्यापक हल: $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$।

## 26.4 अभ्यास

**अभ्यास 26.1 ★.**

$\R$ पर हल कीजिए: (a) $y(0) = 2$ के साथ $y' = 3y$; (b) $y(0) = -1$ के साथ $2y' + y = 0$; (c) $y(0) = 0$ के साथ $y' = -y + 5$।

**हल — अभ्यास 26.1.**

*(a)* $y = C\eu^{3x}$; $y(0) = 2$ से $y = 2\eu^{3x}$ मिलता है।

*(b)* $y' = -\frac12 y$, इसलिए $y = C\eu^{-x/2}$; $y(0) = -1$ से $y = -\eu^{-x/2}$ मिलता है।

*(c)* साम्य $y_p = 5$; $y = C\eu^{-x} + 5$; $y(0) = 0$ से $C = -5$ मिलता है: $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$।

**अभ्यास 26.2 ★.**

कोई जीवाणु-समष्टि अपने आकार के समानुपाती दर से बढ़ती है और हर $3$ घंटे में दुगुनी हो जाती है। समष्टि $N(t)$ द्वारा संतुष्ट [अवकल समीकरण](#def-g12-diffeq-ode) लिखिए और समानुपात-अचर ज्ञात कीजिए।

**हल — अभ्यास 26.2.**

$N' = kN$, इसलिए $N(t) = N_0 \eu^{kt}$। $3$ घंटों में दुगुना होने का अर्थ है $\eu^{3k} = 2$, *अर्थात्*

$$
k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{h}^{-1}.
$$

**अभ्यास 26.3 ★.**

जाँचिए कि $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ $y' = y + \eu^x$ का एक हल है, और $\R$ पर उसके सभी हल बताइए।

**हल — अभ्यास 26.3.**

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$: $y_p$ एक विशेष हल है (यह [विधि 26.9](#met-g12-diffeq-particular) की अनुनाद वाली स्थिति है)। [प्रतिज्ञप्ति 26.8](#prop-g12-diffeq-general) से हल $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$, $C \in \R$ हैं।

**अभ्यास 26.4 ★★.**

$y(0) = 1$ के साथ $y' = -2y + \eu^{x}$ हल कीजिए। (संकेत: $\beta\,\eu^{x}$ रूप का विशेष हल ढूँढ़िए।)

**हल — अभ्यास 26.4.**

$y_p = \beta\eu^x$ आज़माइए: $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ से $3\beta = 1$ मिलता है, इसलिए $y_p = \frac13\eu^x$। व्यापक हल $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$; और शर्त $y(0) = 1$ से $C = \frac23$ मिलता है:

$$
y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.
$$

**अभ्यास 26.5 ★★.**

कार्बन-14 $5730$ वर्ष की अर्धायु के साथ क्षय होता है। किसी पुरातात्त्विक [प्रतिदर्श](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) में किसी जीवित जीव के कार्बन-14 का $60\%$ है। उसकी आयु आँकिए।

**हल — अभ्यास 26.5.**

$\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ के साथ $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ ([उदाहरण 23.9](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/23-exponential-and-logarithm#ex-g12-exp-halflife))। हम $\eu^{-\lambda t} = 0.6$ हल करते हैं:

$$
t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2}
\approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ वर्ष}.
$$

**अभ्यास 26.6 ★★.**

किसी टंकी में $100$ L शुद्ध जल है। प्रति लीटर $0.2$ kg नमक वाला लवण-जल $5$ L/min से भीतर आता है, और (एकसमान बना रहने वाला) मिश्रण उसी दर से बाहर जाता है। मान लीजिए $m(t)$ समय $t$ (मिनट में) पर टंकी में नमक का द्रव्यमान है।

1. पुष्ट कीजिए कि $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ ।
2. हल कीजिए, और $t \to +\infty$ पर $m(t)$ की सीमा ज्ञात कीजिए। उसकी व्याख्या कीजिए।

**हल — अभ्यास 26.6.**

*1.* नमक $0.2 \times 5 = 1$ kg/min की दर से भीतर आता है। बाहर जाने वाला प्रवाह $5$ L/min पर $\frac{m}{100}$ kg/L की सांद्रता ले जाता है, *अर्थात्* $\frac{m}{20}$ kg/min। अतः $m' = 1 - \frac{m}{20}$।

*2.* साम्य $m_p = 20$; $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$, और $m(0) = 0$ से $C = -20$ मिलता है:

$$
m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.
$$

दीर्घ काल में टंकी की सांद्रता भीतर आते लवण-जल जितनी हो जाती है: $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg।

**अभ्यास 26.7 ★★.**

$80$ kg द्रव्यमान की एक आकाश-गोताखोर गुरुत्व ($g = 9.8\ \text{m/s}^2$) और चाल के समानुपाती वायु-प्रतिरोध के अधीन गिरती है, जिससे उसकी चाल $k = 16$ kg/s के साथ $v' = g - \frac{k}{m}v$ को संतुष्ट करती है।

1. $v(0) = 0$ के साथ [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) हल कीजिए।
2. *सीमांत वेग* $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ निकालिए, और उसका $95\%$ तक पहुँचने में लगने वाला समय भी।

**हल — अभ्यास 26.7.**

*1.* $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$ के साथ $v' = g - \frac{k}{m} v$। साम्य $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s; $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$, और $v(0) = 0$ से मिलता है

$$
v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).
$$

*2.* सीमांत वेग $49$ m/s ($\approx 176$ km/h)। हमें $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$ चाहिए, *अर्थात्* $\eu^{-0.2t} = 0.05$:

$$
t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.
$$

**अभ्यास 26.8 ★★★.**

*(लॉजिस्टिक [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation).)* कोई समष्टि $y(t) \in \intoo{0}{1}$ ([अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) समष्टि के अंश के रूप में)

$$
y' = y(1 - y).
$$

को संतुष्ट करती है।

1. मान लीजिए $z = \dfrac{1}{y}$ है। दिखाइए कि $z$ रैखिक [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $z' = -z + 1$ को संतुष्ट करता है।
2. $y(0) = \frac{1}{10}$ के साथ $z$ के लिए, फिर $y$ के लिए हल कीजिए।
3. दिखाइए कि $t \to +\infty$ पर $y(t) \to 1$ , और हल-वक्र की आकृति का रेखाचित्र बनाइए।

**हल — अभ्यास 26.8.**

*1.* $z = \frac1y$ से $z' = -\frac{y'}{y^2}
= -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1$ मिलता है।

*2.* साम्य $z_p = 1$, इसलिए $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$। $y(0) = \frac{1}{10}$ से $z(0) = 10$, अतः $C = 9$ और

$$
y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .
$$

*3.* $t \to +\infty$ पर $9\eu^{-t} \to 0$ और $y(t) \to 1$। वक्र चिरपरिचित S-आकार वाला (*सिग्मॉइड*) लॉजिस्टिक वक्र है: पहले धीमी वृद्धि ($y$ छोटा, $y' \approx y$), फिर $y = \frac12$ पर सबसे तेज़ वृद्धि (जहाँ $y' = y(1-y)$ [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) है), और फिर वहन-क्षमता $1$ की ओर संतृप्ति।

**अभ्यास 26.9 ★★★.**

मान लीजिए $y$ $y' = ay + b$ का कोई हल है और $n \in \N$ के लिए $u_n = y(n)$ है। दिखाइए कि $(u_n)$ समांतर-गुणोत्तर पुनरावृत्ति $u_{n+1} = q u_n + r$ को संतुष्ट करता है, और $q$ तथा $r$ को $a$ और $b$ के पदों में व्यक्त कीजिए। [अवकल समीकरण](#def-g12-diffeq-ode) के लिए शर्त $\abs{q} < 1$ किसके संगत है?

**हल — अभ्यास 26.9.**

[प्रमेय 26.5](#thm-g12-diffeq-affine) से $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$। अतः

$$
u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba
= \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right)
= q\,u_n + r
$$

जहाँ $q = \eu^{a}$ और $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$ हैं। शर्त $\abs q < 1$ का अर्थ है $\eu^a < 1$, *अर्थात्* $a < 0$: ठीक वही शर्त जिसके अधीन [अवकल समीकरण](#def-g12-diffeq-ode) के हल साम्य $-\frac ba$ पर [अभिसरित](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-limit) होते हैं — और सचमुच पुनरावृत्ति का [स्थिर बिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$ है।

## 26.5 समस्या: वस्तुओं के भीतर की घड़ी

**समस्या 26.1.**

सप्ताहांत समस्या — कार्बन-14 गुफ़ाओं की तारीख़ बताता है, न्यूटन का शीतलन नियम अपराध का समय तय करता है, और एक छोटा-सा समीकरण चार वेश धारण करता है

[अवकल समीकरण](#def-g12-diffeq-ode) परिवर्तन का नियम है; उसे हल कर देना उस नियम को एक *घड़ी* में बदल देता है। वही नन्हा [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $y' = ay + b$ ([प्रमेय 26.5](#thm-g12-diffeq-affine)) प्रागैतिहासिक कोयले, ठंडी होती कॉफ़ी, गिरती बूँदों और अस्पताल की ड्रिप के भीतर टिक-टिक करता है — और उन घड़ियों को पढ़ना ही इस समस्या का काम है: वह लास्को की चित्रकारी की तारीख़ बताती है, मृत्यु का समय तय करती है, और एक अच्छे वैज्ञानिक की तरह अपनी ही मान्यताओं की जाँच करती है।

**भाग I — प्रवाह।**

1. $y' = 3y$ , $y(0) = 2$ हल कीजिए; फिर $y' = -2y + 6$ , $y(0) = 0$ ( [विधि 26.6](#met-g12-diffeq-solve) )।
2. [प्रमेय 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous) के पीछे की अद्वितीयता वाली तरकीब फिर से निकालिए: यदि $y' = ay$ हो, तो $y(t)\,\eu^{-at}$ का [अवकलज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) निकालिए और निष्कर्ष निकालिए कि *हर* हल $C\eu^{at}$ है।
3. $y' = -2y + 6$ के लिए: साम्य हल ज्ञात कीजिए, और $t \to +\infty$ पर हर दूसरे हल की नियति बताइए। ( [समस्या 13.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#pb-g11-seq-1) की पुनरावृत्तियों के [स्थिर बिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) , अब [संतत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) रूप में।)
4. क्षय के नियम $y' = -\frac{y}{\tau}$ के लिए: दिखाइए कि अर्धायु $t_{1/2} = \tau \ln 2$ है।
5. $y' = -2y + 6$ के हलों के परिवार का रेखाचित्र बनाइए (या वर्णन कीजिए): $3$ से ऊपर से शुरू होने वाले हल क्या करते हैं? $3$ से नीचे वाले? और ठीक $3$ पर वाले?

**भाग II — कार्बन-14।** जीवित ऊतक रेडियोधर्मी कार्बन-14 का अनुपात अचर बनाए रखता है; मृत्यु पर उसका आना रुक जाता है और भंडार क्षय होने लगता है: $N' = -\lambda N$, जिसकी अर्धायु $5\,730$ वर्ष है।

6. $\lambda$ निकालिए (प्रति वर्ष)।
7. किसी हड्डी में जीवित अनुपात का $20\,\%$ बचा है: वह कितनी पुरानी है?
8. लास्को की चित्रित गुफ़ाओं के कोयले में लगभग $15\,\%$ बचा है: चित्रकारी की तारीख़ बताइए।
9. आल्प्स के हिमनद में मिला हिम-मानव ओत्ज़ी लगभग $53\,\%$ दिखाता है: उसकी तारीख़ बताइए (पुरातत्त्वविद् लगभग $5\,300$ वर्ष कहते हैं — आपका उत्तर कैसा रहा?)।
10. कार्बन-14 डायनासोर की तारीख़ क्यों नहीं बता सकता? दस अर्धायुओं के बाद बचा हुआ अंश निकालिए, $65$ करोड़ वर्ष बाद का अंश $2$ की घात के रूप में बताइए, और निष्कर्ष निकालिए।
11. त्रुटि-सीमाएँ: यदि ओत्ज़ी का $53\,\%$ केवल $\pm 1\,\%$ तक ज्ञात हो, तो आयु का परिसर निकालिए। प्रयोगशाला की कितनी यथार्थता तिथि-निर्धारण की कितनी यथार्थता ख़रीदती है?

**भाग III — न्यूटन का शीतलन, और एक अपराध।** अचर $T_a$ वाले परिवेश में ताप $T$ वाली कोई वस्तु $T' = -k\,(T - T_a)$ के अनुसार ठंडी होती है।

12. [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) हल कीजिए ($z = T - T_a$ प्रतिस्थापित कीजिए): $$T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .$$
13. $20\,^\circ$ C के कमरे में $90\,^\circ$ C पर उड़ेली गई कॉफ़ी $5$ मिनट बाद $70\,^\circ$ C दिखाती है। $k$ ज्ञात कीजिए, फिर पीने योग्य $55\,^\circ$ C तक की प्रतीक्षा का समय।
14. दूध वाला प्रश्न: दस मिनट में सबसे गर्म कॉफ़ी पीने के लिए ठंडा दूध अभी डालना चाहिए या अंतिम क्षण में? उत्तर [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) से दीजिए (दूध डालने से अंतर $T - T_a$ का क्या होता है, और वह अंतर हानि को कैसे चलाता है?)।
15. न्यायालयिक विज्ञान: आधी रात को $20\,^\circ$ C के कमरे में $30\,^\circ$ C पर एक शव मिलता है; एक घंटे बाद वह $28\,^\circ$ C दिखाता है। मृत्यु के समय $37\,^\circ$ C मानते हुए दोनों मापों से $k$ निकालिए, फिर मृत्यु का समय।
16. मृत्यु-परीक्षक की घड़ी की जाँच कीजिए: प्रतिरूप की मान्यताओं के तीन वास्तविक उल्लंघन बताइए और यह भी कि हर एक अनुमानित मृत्यु-समय को किस दिशा में झुका देगा।

**भाग IV — चार वेश और एक S-वक्र।**

17. [अभ्यास 26.8](#exo-g12-diffeq-8) का लॉजिस्टिक [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) , $y(0) = 0.1$ के साथ $y' = y(1 - y)$ : उसी अभ्यास वाले प्रतिस्थापन से $y(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ निकालिए, और [नति-परिवर्तन बिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-inflection) का समय $y = \frac12$ ज्ञात कीजिए — महामारी-विज्ञानी की [समस्या 22.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/22-differentiation-and-convexity#pb-g12-deriv-1) वाली तारीख़, अब गणनीय।
18. कोई वर्षा-बूँद $v' = 10 - \frac v2$ (गुरुत्व घटा कर्षण) मानती है, $v(0) = 0$ के साथ। सीमांत वेग ज्ञात कीजिए, $v(t)$ के लिए हल कीजिए, और निकालिए कि बूँद सीमांत चाल का $95\,\%$ कब पा लेती है।
19. अस्पताल की ड्रिप अचर दर से दवा देती है जबकि शरीर उसे समानुपाती रूप से निकालता जाता है: $c' = 4 - 0.5c$ , $c(0) = 0$ । स्थायी-अवस्था की सांद्रता और उसका आधा पाने का समय ज्ञात कीजिए। [अभ्यास 26.9](#exo-g12-diffeq-9) की ऋण-पुनरावृत्तियों से समांतरता एक वाक्य में बताइए।
20. समापन — एक [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) , चार वेश: क्षय, शीतलन, गिरना, ख़ुराक — सब अलग-अलग चिह्नों और नामों वाले $y' = ay + b$ । इस समस्या ने जो प्रतिरूपण-चक्र चार बार चलाया उसे दोहराइए (नियम $\to$ [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\to$ हल $\to$ अंशांकन $\to$ भविष्यवाणी $\to$ जाँच), और उस परिघटना का नाम बताइए जिसे $y''$ चाहिए — और वह भी कि कौन-सी समस्या उससे पहले ही मिल चुकी है।

**हल — समस्या 26.1.**

**1.** $y = 2\eu^{3t}$। दूसरे के लिए: साम्य $3$, इसलिए $y(0) = 0$ के साथ $y = 3 + C\eu^{-2t}$: $C = -3$: $y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right)$।

**2.** $\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} -
ay\eu^{-at} = (y' - ay)\eu^{-at} = 0$: गुणनफल अचर $C$ है, इसलिए $y = C\eu^{at}$ — कोई हल बच नहीं निकलता।

**3.** साम्य: $y \equiv 3$। हर दूसरा हल $C \neq 0$ के साथ $3 + C\eu^{-2t}$ है: चरघातांकी पद मर जाता है और हल सरककर $3$ पर आ जाता है — एक स्थायी [स्थिर बिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1), जो [समस्या 13.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#pb-g11-seq-1) की पुनरावृत्तियों के स्थिर बिंदुओं का [संतत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) जुड़वाँ है।

**4.** $y = y_0\eu^{-t/\tau}$ तब आधा होता है जब $\eu^{-t/\tau} = \frac12$: $t = \tau\ln 2$।

**5.** सभी हल $3$ की ओर होने वाले क्षय के ऊर्ध्वाधर स्थानांतर हैं: जो ऊपर से शुरू होते हैं वे $3$ तक गिरते हैं, जो नीचे से वे $3$ तक चढ़ते हैं, और अचर हल $3$ वहीं बैठा रहता है — साम्य के चारों ओर एक क़ीप।

**6.** प्रति वर्ष $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times
10^{-4}$।

**7.** $\eu^{-\lambda t} = 0.2$: $t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx 13\,300$ वर्ष।

**8.** $t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700$ वर्ष: लास्को के साँड़ हिमयुग के अंतिम दौर के हैं।

**9.** $t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250$ वर्ष: पुरातत्त्वविदों के मान से एक जीवनकाल के भीतर — घड़ी काम करती है।

**10.** दस अर्धायुओं के बाद $2^{-10} \approx 0.1\,\%$ बचता है: मापन की सीमा पर। $65$ करोड़ वर्ष बाद अंश $2^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344}$ है: किसी भी जीवाश्म में [मूल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) भंडार का एक परमाणु भी नहीं बचता — डायनासोर की तारीख़ धीमी घड़ियों से बताई जाती है (पोटैशियम–आर्गन और उसके साथी)।

**11.** $52\,\%$ से $\approx 5\,405$ वर्ष मिलते हैं और $54\,\%$ से $\approx 5\,095$: रसायन का $\pm 1\,\%$ इतिहास के मोटे तौर पर $\pm 155$ वर्ष बन जाता है — प्रयोगशाला की यथार्थता ही संग्रहालय की पट्टिका की यथार्थता है।

**12.** $z = T - T_a$ $z' = -kz$ को संतुष्ट करता है: $z = (T_0 - T_a)\eu^{-kt}$, और $T = T_a + z$।

**13.** आरंभिक अंतर $T_0 - T_a = 70$ है; पाँच मिनट बाद अंतर $70 - 20 = 50$ है, इसलिए $50 = 70\eu^{-5k}$: प्रति मिनट $k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067$। पीने योग्य: $55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}$: $t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3$ मिनट।

**14.** हानि की दर अंतर $T - T_a$ के समानुपाती है: खौलती कॉफ़ी सबसे तेज़ी से ऊष्मा बहाती है। दूध *अभी* डालने से अंतर तुरंत घट जाता है, इसलिए दस मिनट में कम ऊष्मा जाती है; अंत में डालने से कॉफ़ी पहले पूरी गति से ठंडी होती रहती है। सबसे गर्म प्याले के लिए: दूध पहले। (अधीर मेज़बानों की ऊष्मागतिकी उल्टी है।)

**15.** परिवेश से अंतर: आधी रात को $10$, एक घंटे बाद $8$: $\eu^{-k} = 0.8$: प्रति घंटा $k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223$। मृत्यु के समय अंतर $17$ था; वह आधी रात तक घटकर $10$ हो गया: $s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4$ घंटे। मृत्यु का समय: लगभग $21{:}40$।

**16.** गरम या हवादार कमरा ($T_a$ अचर नहीं) घड़ी को किसी भी दिशा में मोड़ देता है; कपड़े या शरीर का द्रव्यमान $k$ बदल देते हैं (मृत्यु-परीक्षक की सारणियाँ इसका समायोजन करती हैं) — और ग़लत $k$ पूरे [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) को खींच देता है; और कहीं और से लाया गया शव क्षय के बीच में $T_a$ को फिर से शून्य कर देता है, जिससे मृत्यु पहले या बाद की लगने लगती है। [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ईमानदार है; जोखिम मान्यताएँ उठाती हैं।

**17.** $z = \frac1y$ $z' = 1 - z$ मानता है: $z = 1 + 9\eu^{-t}$ ($z(0) = 10$ से), इसलिए $y = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$। नति-परिवर्तन $y = \frac12$ पर: $9\eu^{-t} = 1$: $t = \ln 9 \approx 2.2$ — महामारी के मुड़ने की तारीख़, सीधे सूत्र से।

**18.** सीमांत वेग: $v = 20$ m/s पर $v' = 0$। हल: $v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$। तब $0.95$: $\eu^{-t/2} = 0.05$: $t = 2\ln 20 \approx 6$ s — वर्षा की बूँदें सेकंडों में अपनी क्रूज़-चाल पा लेती हैं, और इसीलिए वर्षा जान नहीं लेती।

**19.** स्थायी अवस्था: $c = 8$। उसका आधा: $4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$: $\eu^{-t/2} = \frac12$: $t = 2\ln 2 \approx 1.4$ घंटे। ड्रिप ऋण का [संतत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) जुड़वाँ है: अचर आवक, समानुपाती जावक — और [अभ्यास 26.9](#exo-g12-diffeq-9) शब्दकोश को ठीक-ठीक बना देता है।

**20.** क्षय ($a < 0$, $b = 0$), शीतलन ($y = T - T_a$), गिरना ($a < 0$, $b > 0$: नीचे से साम्य की ओर पहुँच), ख़ुराक (वही, पर शिरा में): एक [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation), चार संसार। प्रक्रिया-चक्र: परिवर्तन का नियम बताइए; [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) लिखिए; हल कीजिए ([विधि 26.6](#met-g12-diffeq-solve)); मापों पर अचर अंशांकित कीजिए; भविष्यवाणी कीजिए; और फिर मान्यताओं की जाँच कीजिए (प्रश्न 16)। दोलन के लिए $y'' = -\omega^2 y$ चाहिए — जिससे भेंट, जिसका हल और जिसका झूला [समस्या 24.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/24-trigonometric-functions#pb-g12-trigo-1) में है।