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title: "फलन"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 3
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions
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# अध्याय 3 — फलन

[फलन](#def-g10-functions-function) एक मशीन है जिसमें एक संख्या जाती है और एक संख्या बाहर आती है, और एक ही निवेश पर हमेशा वही निर्गम मिलता है। आने वाले वर्षों में ([अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#ch-g11-quad) से आगे) आप जो विश्लेषण खड़ा करेंगे, उसकी केंद्रीय वस्तुएँ [फलन](#def-g10-functions-function) ही हैं; यह अध्याय शब्दावली — [प्रांत](#def-g10-functions-function), [प्रतिबिंब](#def-g10-functions-function), [आलेख](#def-g10-functions-graph), परिवर्तन — तैयार करता है और [आलेख](#def-g10-functions-graph) से सूचना पढ़ने का वह कौशल सधाता है जो आगे अनिवार्य है।

## 3.1 शब्दावली: प्रतिबिंब और पूर्वप्रतिबिंब

**परिभाषा 3.1 (फलन).**

मान लीजिए $D$ [वास्तविक संख्याओं](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) का एक समुच्चय है। $D$ पर परिभाषित *फलन* $f$ हर संख्या $x \in D$ के साथ ठीक एक [वास्तविक संख्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) जोड़ता है, जिसे $f(x)$ लिखते हैं और $x$ का *प्रतिबिंब* कहते हैं। समुच्चय $D$ $f$ का *प्रांत* है। हम लिखते हैं

$$
f : x \longmapsto f(x).
$$

यदि $f(x) = y$ हो, तो $x$ $y$ का *पूर्वप्रतिबिंब* है।

**टिप्पणी 3.2.**

[प्रांत](#def-g10-functions-function) के हर $x$ का ठीक एक [प्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) होता है, पर किसी संख्या $y$ के कई [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) हो सकते हैं, या एक भी नहीं। $f(x) = x^2$ के लिए: $3$ का [प्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) $9$ है, और $9$ के दो [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) $3$ और $-3$ हैं; संख्या $-4$ का कोई [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) नहीं है।

**उदाहरण 3.3 (प्रांत ज्ञात करना).**

जब [फलन](#def-g10-functions-function) किसी सूत्र से दिया जाता है, तब उसका [प्रांत](#def-g10-functions-function) उन $x$ का समुच्चय होता है जिनके लिए सूत्र का अर्थ बनता है।

- $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ का अर्थ हर $x$ के लिए बनता है: [प्रांत](#def-g10-functions-function) $\R$ है।
- $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ के लिए $x - 2 \neq 0$ आवश्यक है: [प्रांत](#def-g10-functions-function) $2$ को छोड़कर सभी [वास्तविक संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) हैं।
- $h(x) = \sqrt{x - 3}$ के लिए $x - 3 \geq 0$ आवश्यक है: [प्रांत](#def-g10-functions-function) $\intco{3}{+\infty}$ है।

**उदाहरण 3.4 (प्रतिबिंब और पूर्वप्रतिबिंब निकालना).**

मान लीजिए $\R$ पर परिभाषित $f(x) = x^2 - 4x + 3$ है।

*$5$ का [प्रतिबिंब](#def-g10-functions-function):* $x = 5$ प्रतिस्थापित कीजिए: $f(5) = 25 - 20 + 3 = 8$।

*$3$ के [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function):* $f(x) = 3$ हल कीजिए:

$$
x^2 - 4x + 3 = 3
\quad\Longleftrightarrow\quad
x^2 - 4x = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x(x - 4) = 0,
$$

इसलिए $3$ के [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) $0$ और $4$ हैं।

## 3.2 फलन का आलेख

**परिभाषा 3.5 (आलेख).**

किसी निर्देशांक-पद्धति में $f$ का *आलेख* (या *वक्र*) [प्रांत](#def-g10-functions-function) के सभी $x$ के लिए बिंदुओं $(x, f(x))$ का समुच्चय है। दूसरे शब्दों में, बिंदु $(x, y)$ आलेख पर ठीक तब होता है जब $y = f(x)$ हो।

![आलेख पर प्रतिबिंब पढ़ना: क्षैतिज अक्ष पर x = 3 से चलिए, ऊर्ध्वाधर दिशा में वक्र तक जाइए, फिर क्षैतिज दिशा में ऊर्ध्वाधर अक्ष तक जाकर f(3) = 1.25 पढ़िए।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-3f0b88dc9f29.svg)

*[आलेख](#def-g10-functions-graph) पर [प्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) पढ़ना: क्षैतिज अक्ष पर $x = 3$ से चलिए, ऊर्ध्वाधर दिशा में वक्र तक जाइए, फिर क्षैतिज दिशा में ऊर्ध्वाधर अक्ष तक जाकर $f(3) = 1.25$ पढ़िए।*

**विधि 3.6 (आलेख पढ़ना).**

$f$ के [आलेख](#def-g10-functions-graph) पर:

1. *$a$ का [प्रतिबिंब](#def-g10-functions-function)* : क्षैतिज अक्ष पर $x = a$ से ऊर्ध्वाधर दिशा में वक्र तक जाइए, फिर क्षैतिज दिशा में ऊर्ध्वाधर अक्ष तक; वहाँ पढ़ा गया मान $f(a)$ है;
2. *$b$ के [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function)* : क्षैतिज रेखा $y = b$ खींचिए; [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) वक्र के साथ उसके सभी प्रतिच्छेद बिंदुओं के $x$ -निर्देशांक हैं;
3. *$f(x) = k$ के हल* : वही जो $k$ के [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) हैं;
4. *$f(x) \leq k$ के हल* : वे $x$ जिनके लिए वक्र रेखा $y = k$ पर या उसके नीचे है।

![f(x) = k को आलेख से हल करना: हल x_1 और x_2 वक्र के क्षैतिज रेखा y = k के साथ प्रतिच्छेद बिंदुओं के भुज हैं। यहाँ f(x) ≤ k (x_1, x_2) पर सही है, जहाँ वक्र रेखा के नीचे है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-d26495113fd4.svg)

*$f(x) = k$ को [आलेख](#def-g10-functions-graph) से हल करना: हल $x_1$ और $x_2$ वक्र के क्षैतिज रेखा $y = k$ के साथ प्रतिच्छेद बिंदुओं के भुज हैं। यहाँ $f(x) \leq k$ $\intcc{x_1}{x_2}$ पर सही है, जहाँ वक्र रेखा के नीचे है।*

**उदाहरण 3.7.**

क्या बिंदु $A(2, 5)$ $f(x) = x^2 + 1$ के [आलेख](#def-g10-functions-graph) पर है? $f(2) = 4 + 1 = 5$ निकालिए: हाँ, क्योंकि $f(2)$ $A$ के $y$-निर्देशांक के बराबर है। बिंदु $B(3, 8)$ [आलेख](#def-g10-functions-graph) पर नहीं है, क्योंकि $f(3) = 10 \neq 8$।

## 3.3 फलन के परिवर्तन

**परिभाषा 3.8 (वर्धमान, ह्रासमान).**

मान लीजिए $f$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ पर परिभाषित है।

- $f$ $I$ पर *वर्धमान* है जब सभी $u, v \in I$ के लिए, $u < v$ होने पर $f(u) \leq f(v)$ हो: निर्गम निवेश के साथ बढ़ते हैं, और [आलेख](#def-g10-functions-graph) बाएँ से दाएँ चढ़ता है।
- $f$ $I$ पर *ह्रासमान* है जब $u < v$ से $f(u) \geq f(v)$ निकलता हो: [आलेख](#def-g10-functions-graph) बाएँ से दाएँ उतरता है।

कड़ी असमिकाओं $f(u) < f(v)$ (क्रमशः $>$) के साथ हम *निरंतर* वर्धमान (क्रमशः ह्रासमान) कहते हैं।

**परिभाषा 3.9 (परिवर्तन-सारणी).**

*परिवर्तन-सारणी* यह संक्षेप में बताती है कि $f$ किन [अंतरालों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर बढ़ता और किन पर घटता है — इसके लिए तीर $\nearrow$ और $\searrow$ का उपयोग होता है — और मोड़ के बिंदुओं पर $f$ के मान दर्ज करती है।

**उदाहरण 3.10.**

नीचे $\intcc{-2}{4}$ पर आलेखित [फलन](#def-g10-functions-function) पर विचार कीजिए।

![(-2, 4) पर परिभाषित एक फलन, जो पहले बढ़ता है और फिर घटता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-0353dee9a0b8.svg)

*$\intcc{-2}{4}$ पर परिभाषित एक [फलन](#def-g10-functions-function), जो पहले बढ़ता है और फिर घटता है।*

[आलेख](#def-g10-functions-graph) पढ़ने पर: $f$ $f(-2) = -1.5$ से बढ़कर अपने [अधिकतम](#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 3$ तक जाता है, फिर घटकर $f(4) = -1.5$ तक आता है। इसकी [परिवर्तन-सारणी](#def-g10-functions-table) है

| $x$ | $-2$ |  | $1$ |  | $4$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $f$ | $-1.5$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-1.5$ |

**उदाहरण 3.11 (परिवर्तन सिद्ध करना).**

दिखाइए कि $f(x) = 3x + 1$ $\R$ पर निरंतर [वर्धमान](#def-g10-functions-variations) है। कोई भी $u < v$ लीजिए और [प्रतिबिंबों](#def-g10-functions-function) की तुलना कीजिए:

$$
f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,
$$

क्योंकि $v - u > 0$ है। तो $f(u) < f(v)$: [फलन](#def-g10-functions-function) निरंतर [वर्धमान](#def-g10-functions-variations) है। ऋणात्मक प्रवणता के साथ वही गणना, जैसे $g(x) = -2x + 5$, $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$ देती है: निरंतर [ह्रासमान](#def-g10-functions-variations)।

## 3.4 चरम मान

**परिभाषा 3.12 (अधिकतम, न्यूनतम).**

मान लीजिए $f$ $D$ पर परिभाषित है और $a \in D$ है। मान $f(a)$ $D$ पर $f$ का *अधिकतम* है जब सभी $x \in D$ के लिए $f(x) \leq f(a)$ हो; और वह *न्यूनतम* है जब सभी $x \in D$ के लिए $f(x) \geq f(a)$ हो। [आलेख](#def-g10-functions-graph) पर ये वक्र के सबसे ऊँचे और सबसे नीचे बिंदु हैं।

**उदाहरण 3.13.**

दिखाइए कि $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ का $\R$ पर [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema) $2$ है, जो $x = 1$ पर प्राप्त होता है। हर $x$ के लिए वर्ग $(x-1)^2$ $\geq 0$ है, इसलिए $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$; और $f(1) = 0 + 2 = 2$, इसलिए मान $2$ सचमुच प्राप्त होता है। ये दोनों तथ्य मिलकर सिद्ध करते हैं कि [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema) $2$ है।

![f(x) = (x-1)2 + 2 का वक्र बिंदुदार रेखा y = 2 से कभी नीचे नहीं जाता, और x = 1 पर उसे छूता है: f का न्यूनतम 2 है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-87e2c2026d31.svg)

*$f(x) = (x-1)^2 + 2$ का वक्र बिंदुदार रेखा $y = 2$ से कभी नीचे नहीं जाता, और $x = 1$ पर उसे छूता है: $f$ का [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema) $2$ है।*

## 3.5 अभ्यास

**अभ्यास 3.1 ★.**

मान लीजिए $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ है। $0$, $2$, $-1$ और $\frac12$ के [प्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) निकालिए।

**हल — अभ्यास 3.1.**

$f(0) = 1$; $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$; $f(-1) = 2 + 3 + 1 = 6$; $f\!\left(\tfrac12\right) = 2 \times \tfrac14 - \tfrac32 + 1 = \tfrac12 -
\tfrac32 + 1 = 0$।

**अभ्यास 3.2 ★.**

हर [फलन](#def-g10-functions-function) का [प्रांत](#def-g10-functions-function) बताइए:

$$
f(x) = 5x - 2, \qquad
g(x) = \frac{3}{x + 4}, \qquad
h(x) = \sqrt{2x - 6}, \qquad
k(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.
$$

**हल — अभ्यास 3.2.**

$f$: कोई प्रतिबंध नहीं, [प्रांत](#def-g10-functions-function) $\R$।

$g$: $x + 4 \neq 0$ आवश्यक है, [प्रांत](#def-g10-functions-function) $-4$ को छोड़कर सभी [वास्तविक संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets)।

$h$: $2x - 6 \geq 0$ आवश्यक है, अर्थात् $x \geq 3$: [प्रांत](#def-g10-functions-function) $\intco{3}{+\infty}$।

$k$: $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ कभी लुप्त नहीं होता, [प्रांत](#def-g10-functions-function) $\R$।

**अभ्यास 3.3 ★.**

मान लीजिए $f(x) = x^2 - 2x$ है। $0$, $3$ और $-1$ के सभी [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) ज्ञात कीजिए।

**हल — अभ्यास 3.3.**

*$0$ के [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function):* $x^2 - 2x = x(x-2) = 0$, इसलिए $0$ और $2$।

*$3$ के [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function):* $x^2 - 2x = 3$, अर्थात् $x^2 - 2x - 3 = 0$, अर्थात् $(x-3)(x+1) = 0$ (प्रसार करके जाँच लीजिए), इसलिए $3$ और $-1$।

*$-1$ के [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function):* $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0$, इसलिए अकेला [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) $1$।

**अभ्यास 3.4 ★.**

क्या बिंदु $A(-1, 4)$ $f(x) = x^2 - 2x + 1$ के [आलेख](#def-g10-functions-graph) का है? और बिंदु $B(2, 1)$? गणना से पुष्ट कीजिए।

**हल — अभ्यास 3.4.**

$f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$: हाँ, $A(-1, 4)$ [आलेख](#def-g10-functions-graph) पर है। $f(2) = 4 - 4 + 1 = 1$: हाँ, $B(2, 1)$ भी [आलेख](#def-g10-functions-graph) पर है।

**अभ्यास 3.5 ★.**

$\intcc{-3}{5}$ पर परिभाषित [फलन](#def-g10-functions-function) $g$ की [परिवर्तन-सारणी](#def-g10-functions-table) यह है

| $x$ | $-3$ |  | $0$ |  | $3$ |  | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $g$ | $1$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $4$ | $\searrow$ | $0$ |

1. $\intcc{-3}{5}$ पर $g$ के [अधिकतम](#def-g10-functions-extrema) और [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema) क्या हैं?
2. $g(-1)$ और $g(-0.5)$ के मान जाने बिना उनकी तुलना कीजिए।
3. सारणी के हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $g(x) = 0$ के अधिक से अधिक कितने हल हो सकते हैं?

**हल — अभ्यास 3.5.**

*1.* सारणी का सबसे बड़ा मान $4 = g(3)$ है ([अधिकतम](#def-g10-functions-extrema)), और सबसे छोटा $-2 = g(0)$ ([न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema))।

*2.* $\intcc{-3}{0}$ पर [फलन](#def-g10-functions-function) घटता है, और $-1 < -0.5$, इसलिए $g(-1) \geq g(-0.5)$।

*3.* एकदिष्टता के हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) पर $g$ हर मान अधिक से अधिक एक बार लेता है, इसलिए $g(x) = 0$ के हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) में अधिक से अधिक एक हल है: कुल मिलाकर अधिक से अधिक $3$ हल। (यहाँ $0$ $-2$ और $1$ के बीच, $-2$ और $4$ के बीच, तथा $0$ और $4$ के बीच पड़ता है, इसलिए ठीक तीन हैं।)

**अभ्यास 3.6 ★★.**

मान लीजिए $f(x) = -2x + 7$ है। $u < v$ के लिए $f(u)$ और $f(v)$ की तुलना करके दिखाइए कि $f$ $\R$ पर निरंतर [ह्रासमान](#def-g10-functions-variations) है।

**हल — अभ्यास 3.6.**

मान लीजिए $u < v$ है। तब

$$
f(v) - f(u) = (-2v + 7) - (-2u + 7) = -2(v - u) < 0,
$$

क्योंकि $v - u > 0$ है। इसलिए $f(v) < f(u)$: $f$ $\R$ पर निरंतर [ह्रासमान](#def-g10-functions-variations) है।

**अभ्यास 3.7 ★★.**

दिखाइए कि [फलन](#def-g10-functions-function) $f(x) = x^2 + 6x + 11$ का $\R$ पर [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema) है, और उसका मान तथा वह स्थान बताइए जहाँ वह प्राप्त होता है। (संकेत: उपयुक्त अचर $c$ लेकर $f(x) = (x + 3)^2 + c$ लिखिए।)

**हल — अभ्यास 3.7.**

वर्ग पूरा कीजिए: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, इसलिए

$$
f(x) = x^2 + 6x + 11 = (x + 3)^2 + 2 .
$$

हर $x$ के लिए $(x+3)^2 \geq 0$, इसलिए $f(x) \geq 2$; और $f(-3) = 0 + 2 = 2$। $f$ का [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema) $2$ है, जो $x = -3$ पर प्राप्त होता है।

**अभ्यास 3.8 ★★.**

एक आयताकार बग़ीचे का परिमाप $40$ m है। मान लीजिए $x$ मीटर में उसकी चौड़ाई है।

1. लंबाई को, और फिर क्षेत्रफल $A(x)$ को, $x$ के [फलन](#def-g10-functions-function) के रूप में व्यक्त कीजिए। किन $x$ के लिए इसका अर्थ बनता है?
2. $A(4)$ , $A(8)$ , $A(10)$ , $A(12)$ और $A(16)$ निकालिए। सबसे बड़े क्षेत्रफल वाली आकृति के बारे में आपका अनुमान क्या है?

**हल — अभ्यास 3.8.**

*1.* लंबाई $+$ चौड़ाई $= 20$, इसलिए लंबाई $20 - x$ है और

$$
A(x) = x(20 - x).
$$

दोनों विमाएँ धनात्मक होनी चाहिए: $0 < x < 20$।

*2.* $A(4) = 64$, $A(8) = 96$, $A(10) = 100$, $A(12) = 96$, $A(16) = 64$। मान $x = 10$ तक चढ़ते हैं और फिर सममित रूप से गिरते हैं: क्षेत्रफल $x = 10$ पर सबसे बड़ा जान पड़ता है, अर्थात् *वर्गाकार* बग़ीचे के लिए। ([अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#ch-g11-quad) इस अनुमान को सिद्ध कर देता है।)

**अभ्यास 3.9 ★★.**

मान लीजिए $\R$ पर परिभाषित $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ है।

1. दिखाइए कि हर वास्तविक $x$ के लिए $0 < f(x) \leq 1$ है।
2. क्या $\R$ पर $f$ का कोई [अधिकतम](#def-g10-functions-extrema) है? कोई [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema) ? पुष्ट कीजिए।

**हल — अभ्यास 3.9.**

*1.* हर $x$ के लिए: $x^2 + 1 \geq 1 > 0$, इसलिए $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ धनात्मक है, और चूँकि $x^2 + 1 \geq 1$ है, इसलिए व्युत्क्रम लेने पर (दोनों पक्ष धनात्मक हैं) $f(x) \leq 1$ मिलता है।

*2.* [अधिकतम](#def-g10-functions-extrema): $f(0) = 1$ और सभी $x$ के लिए $f(x) \leq 1$, इसलिए $1$ [अधिकतम](#def-g10-functions-extrema) है, जो $0$ पर प्राप्त होता है। [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema): सदा $f(x) > 0$, पर $x$ का कोई मान $0$ नहीं देता (शून्येतर संख्याओं का भागफल शून्येतर होता है), और बड़े $x$ के लिए $f$ $0$ के जितना चाहें उतना पास मान लेता है; इसलिए $f$ का कोई [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema) नहीं है।

**अभ्यास 3.10 ★★★.**

मान लीजिए $\R$ पर $f(x) = x^2$ है।

1. मान लीजिए $0 \leq u < v$ है। $f(v) - f(u)$ का [गुणनखंडन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) कीजिए और निष्कर्ष निकालिए कि $f$ $\intco{0}{+\infty}$ पर निरंतर [वर्धमान](#def-g10-functions-variations) है।
2. यही तर्क ढालकर दिखाइए कि $f$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर निरंतर [ह्रासमान](#def-g10-functions-variations) है।

**हल — अभ्यास 3.10.**

*1.* $f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$। यदि $0 \leq u < v$ हो, तो $v - u > 0$ और $v + u > 0$ (एक अऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या का योग), इसलिए $f(v) - f(u) > 0$: $f$ $\intco{0}{+\infty}$ पर निरंतर [वर्धमान](#def-g10-functions-variations) है।

*2.* यदि $u < v \leq 0$ हो, तो $v - u > 0$ तब भी, पर अब $v + u < 0$ (एक अधनात्मक और एक ऋणात्मक संख्या का योग), इसलिए $f(v) - f(u) < 0$: $f$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर निरंतर [ह्रासमान](#def-g10-functions-variations) है।

## 3.6 समस्या: अपना ही निर्गम खाने वाली मशीनें

**समस्या 3.1.**

सप्ताहांत समस्या — स्थिर बिंदु, पुनरावृत्ति, और तीन प्रसिद्ध मशीनें: हीरोन की सुधारक, वर्गकारी, और अनसुलझी ओला-मशीन

[फलन](#def-g10-functions-function) एक मशीन है: एक संख्या भीतर जाती है, एक संख्या बाहर आती है। सबसे रोचक प्रयोग वे हैं जिनमें मशीन को *उसी का निर्गम* बार-बार खिलाया जाता है — और तब दो प्रश्न सब पर हावी हो जाते हैं: क्या प्रक्रिया कहीं जाकर ठहरती है (कोई *[स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1)*), और मशीन का परिवर्तन उसे वहाँ तक कैसे ले जाता है? इस समस्या की एक मशीन दो हज़ार साल से वर्गमूलों को माँज रही है; दूसरी प्रारंभिक गणित की सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी समस्या की पहरेदार है।

**भाग I — हीरोन की मशीन।** इस [फलन](#def-g10-functions-function) पर विचार कीजिए:

$$
f(x) = \frac12\left(x + \frac2x\right).
$$

1. $f$ का [प्रांत](#def-g10-functions-function) बताइए, और $f(1)$ , $f(2)$ तथा $f\!\left(\frac32\right)$ को यथार्थ भिन्नों के रूप में निकालिए।
2. $\frac32$ के सभी [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) ज्ञात कीजिए: $f(x) = \frac32$ हल कीजिए (हर हटाइए और [समस्या 2.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#pb-g10-algebra-1) की विधियाँ काम में लाइए)।
3. $f$ का *स्थिर बिंदु* वह संख्या है जिसे मशीन बदलती नहीं: $f(x) = x$ । $f$ के दोनों [स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1) ज्ञात कीजिए। धनात्मक वाले की पहरेदारी कौन-सा पुराना परिचित करता है?
4. $x = 1$ से शुरू करके मशीन को उसका अपना निर्गम तीन बार खिलाइए और यथार्थ परिणाम दर्ज कीजिए। माध्यमिक विद्यालय खंड की अपरिमेयता वाली सप्ताहांत समस्या का कौन-सा अनुक्रम आपने फिर से खड़ा कर दिया है — और [फलनों](#def-g10-functions-function) की भाषा में “हीरोन का नुस्ख़ा” क्या था?
5. एक ही चित्र में $f$ का [आलेख](#def-g10-functions-graph) ( $x > 0$ के लिए) और विकर्ण रेखा $y = x$ खींचिए। इस चित्र में [स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1) कहाँ हैं? (माध्यमिक विद्यालय खंड की दो-थर्मामीटर वाली सप्ताहांत समस्या से तुलना कीजिए: दोनों मापक्रमों पर एक ही ताप पढ़ना यही विचार था।)

**भाग II — मशीन चूक क्यों नहीं सकती।**

6. $0 < u < v$ के लिए उभयनिष्ठ हर पर लाकर दिखाइए कि $$f(v) - f(u) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv} ,$$ और $\intoo{0}{+\infty}$ पर $f$ के परिवर्तन निकालिए: एक बिंदु तक घटता, फिर बढ़ता — कौन-सा बिंदु? ([अभ्यास 3.10](#exo-g10-functions-10) वाली वही तकनीक।)
7. निष्कर्ष निकालिए कि $\intoo{0}{+\infty}$ पर [फलन](#def-g10-functions-function) $f$ का एक [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema) है, जिसका मान ठीक $\sqrt2$ है और जो $\sqrt2$ पर प्राप्त होता है। मशीन के *हर* निर्गम (धनात्मक निवेशों के लिए) के बारे में यह क्या कहता है?
8. दिखाइए कि यदि $x > \sqrt2$ हो तो $\sqrt2 < f(x) < x$ होता है: बहुत बड़ा अनुमान हमेशा सुधरता है, कभी उससे नीचे नहीं गिरता। ( $f(x) < x$ के लिए $\frac2x$ की $x$ से तुलना कीजिए।)
9. प्रश्न 6–8 को जोड़कर $\intoo{0}{+\infty}$ पर $f$ की [परिवर्तन-सारणी](#def-g10-functions-table) बनाइए ( [परिभाषा 3.9](#def-g10-functions-table) ), [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema) सहित।
10. दूसरी मशीन: $g(x) = x^2$ । इसके [स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1) $0$ और $1$ हैं (जाँचिए)। $g$ को $x = 0.9$ से चार बार दोहराइए, फिर $x = 1.1$ से चार बार (कैलकुलेटर, तीन दशमलव स्थान)। एक [स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1) खींचता है, दूसरा धकेलता है: कौन-सा कौन है?

**भाग III — ओला-मशीन।** पूर्ण संख्याओं पर परिभाषित कीजिए: यदि $n$ सम हो तो $h(n) = \frac n2$, और यदि $n$ विषम हो तो $h(n) = 3n + 1$। $h$ के अधीन संख्याएँ तूफ़ानी बादल में ओलों की तरह उछलती हैं।

11. $h$ के अधीन $7$ की पूरी उड़ान $1$ तक निकालिए। इसमें कितने चरण लगते हैं, और वह कितनी ऊँची उड़ती है?
12. $27$ की उड़ान शुरू कीजिए और दस चरण निकालिए। (इसकी पूरी उड़ान $111$ चरणों तक चलती है और $9\,232$ पर चोटी छूती है — और शुरुआत $27$ से होती है।) सरल नियमों के बारे में $7$ और $27$ क्या सिखाते हैं?
13. समझाइए कि $2$ की किसी घात तक पहुँचने वाली कोई भी उड़ान सीधे $1$ तक क्यों गिर जाती है, और $1$ पर क्या होता है ( $h(1)$ , $h(4)$ , $h(2)$ निकालिए)। क्या धनात्मक पूर्ण संख्याओं में $h$ का कोई [स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1) है? इसके बदले हर देखी गई उड़ान का अंत क्या बनाता है?
14. *कोलात्ज़ अनुमान* कहता है कि हर आरंभिक संख्या अंततः $1$ तक पहुँच जाती है। संगणकों ने इसे $10^{20}$ से बहुत आगे तक जाँच लिया है; किसी मनुष्य ने इसे सिद्ध नहीं किया। किन दो प्रकार की खोजों से यह *ग़लत* सिद्ध होगा? और भारी-भरकम जाँच के बाद भी मामला बंद क्यों नहीं होता (माध्यमिक विद्यालय खंड की माचिस-भविष्यवक्ता वाली सप्ताहांत समस्या ने यही घंटी बजाई थी)?
15. “गणित अभी ऐसे प्रश्नों के लिए पका नहीं है,” पॉल एर्दॉश ने इस अनुमान के बारे में कहा था। एक वाक्य में: ओला-मशीन को हीरोन की मशीन से क्या अलग करता है, जहाँ प्रश्न 6–8 ने सब कुछ तय कर दिया था?

**भाग IV — मशीन चलाने की निर्देश-पुस्तिका।**

16. [अंतरालों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) के रूप में [प्रांत](#def-g10-functions-function) ( [समस्या 1.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#pb-g10-numbers-1) की भाषा): $x \mapsto \sqrt{x - 3}$ , $x \mapsto \frac{1}{x^2 - 9}$ , $x \mapsto \sqrt{9 - x^2}$ के [प्रांत](#def-g10-functions-function) बताइए।
17. हीरोन के $f$ पर लौटिए: $3$ के यथार्थ [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) ज्ञात कीजिए ( $f(x) = 3$ को वर्ग पूरा करके हल कीजिए)।
18. एक पत्थर ऊपर की ओर फेंका जाता है: $t$ सेकंड बाद उसकी ऊँचाई $H(t) = 20t - 5t^2$ मीटर होती है। किस समय-अंतराल पर इस सूत्र का भौतिक अर्थ बनता है? वर्ग पूरा करके [अधिकतम](#def-g10-functions-extrema) ऊँचाई और उसका समय ज्ञात कीजिए ( [परिभाषा 3.12](#def-g10-functions-extrema) ), और [परिवर्तन-सारणी](#def-g10-functions-table) दीजिए।
19. पत्थर कितनी देर तक कम से कम $15$ m ऊँचाई पर रहता है? ( $H(t) \geq 15$ को [चिह्न-सारणी](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-signtable) से हल कीजिए, [विधि 2.17](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#met-g10-algebra-signtable) ।)
20. समापन: इस समस्या ने चार मशीनें चलाईं — हीरोन की सुधारक, वर्गकारी, ओला-मशीन, और पत्थर की ऊँचाई। दो-तीन वाक्यों में बताइए कि हर [फलन](#def-g10-functions-function) के पास क्या-क्या होता है ( [प्रांत](#def-g10-functions-function) , नियम, [आलेख](#def-g10-functions-graph) ) और इस समस्या ने हर मशीन से कौन-से दो बड़े प्रश्न पूछे (पुनरावृत्ति कहाँ जाकर ठहरती है? [फलन](#def-g10-functions-function) कैसे बदलता है?) — वही प्रश्न आगे के अध्याय एक-एक करके उठाते हैं।

**हल — समस्या 3.1.**

**1.** [प्रांत](#def-g10-functions-function): $x \neq 0$ ($x$ से भाग)। $f(1) =
\frac12(1 + 2) = \frac32$; $f(2) = \frac12(2 + 1) = \frac32$; $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 +
\frac43\right) = \frac{17}{12}$।

**2.** $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ से $x^2 + 2 = 3x$ मिलता है, अर्थात् $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$: $\frac32$ के [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function) $1$ और $2$ हैं — जैसा प्रश्न 1 ने बताया था।

**3.** $f(x) = x$ से $x + \frac2x = 2x$ मिलता है, इसलिए $\frac2x = x$, $x^2 = 2$: [स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1) $\sqrt2$ और $-\sqrt2$। धनात्मक वाला इकाई वर्ग का विकर्ण है, जो माध्यमिक विद्यालय खंड की अपरिमेयता वाली सप्ताहांत समस्या से [अपरिमेय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#ex-g10-numbers-classify) है।

**4.** $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to
\frac{577}{408}$: $\sqrt2$ के हीरोन-सन्निकटन। उनका नुस्ख़ा “अनुमान का $2/$अनुमान के साथ औसत लीजिए” ठीक *[फलन](#def-g10-functions-function) $f$ की पुनरावृत्ति* है — और यह प्रक्रिया जिस संख्या का पीछा करती है वह $f$ का [स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1) है।

**5.** [स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1) [आलेख](#def-g10-functions-graph) के विकर्ण $y = x$ के साथ प्रतिच्छेद हैं: निर्गम को वापस भीतर डालते जाना बिंदु को [आलेख](#def-g10-functions-graph) के साथ-साथ उसी प्रतिच्छेद की ओर चलाता है। माध्यमिक विद्यालय खंड की दो-थर्मामीटर वाली सप्ताहांत समस्या में पठन $-40^\circ$ रूपांतरण-फलन के लिए वही विकर्ण-काटने वाला विचार था।

**6.** $f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u
= \frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv}
= (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right)
= \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$। $0 < u < v \leq \sqrt2$ के लिए: $uv < 2$, कोष्ठक ऋणात्मक है, $f(v) < f(u)$: [ह्रासमान](#def-g10-functions-variations)। $\sqrt2 \leq u < v$ के लिए: $uv > 2$: [वर्धमान](#def-g10-functions-variations)। मोड़ का बिंदु: $\sqrt2$।

**7.** $\sqrt2$ से पहले [ह्रासमान](#def-g10-functions-variations), उसके बाद [वर्धमान](#def-g10-functions-variations): $f$ अपना [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema) $\sqrt2$ पर पाता है, जिसका मान $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right)
= \sqrt2$ है। परिणाम: मशीन का हर निर्गम (धनात्मक निवेश पर) कम से कम $\sqrt2$ है — हैंडल एक बार घुमाते ही अनुमान $\intco{\sqrt2}{+\infty}$ में आ बसते हैं।

**8.** यदि $x > \sqrt2$ हो, तो $x^2 > 2$, इसलिए $\frac2x < x$, और $x$ तथा $\frac2x$ का औसत $f(x)$ $x$ से कम है; और प्रश्न 7 से $f(x) \geq \sqrt2$, जिसमें समता केवल $x = \sqrt2$ पर है। इसलिए $\sqrt2 < f(x) < x$: हर पुनरावृत्ति कड़ाई से सुधार करती है और नीचे नहीं गिरती — प्रश्न 4 का अनुक्रम फिसलकर $\sqrt2$ पर आ बैठता है।

**9.** $\intoo{0}{+\infty}$ पर: $+\infty$ से (जो $0$ के पास है) घटकर $x = \sqrt2$ पर [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema) $\sqrt2$ तक, फिर बिना किसी सीमा के बढ़ता हुआ।

**10.** $g(x) = x$ से $x^2 = x$, $x(x - 1) = 0$ मिलता है: [स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1) $0$ और $1$। $0.9$ से: $0.81$, $0.656$, $0.430$, $0.185$ — $0$ की ओर फिसलते हुए। $1.1$ से: $1.21$, $1.464$, $2.144$, $4.595$ — अनंत की ओर भागते हुए। [स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1) $0$ खींचता है, $1$ धकेलता है: आरंभ में बाल भर का अंतर, और नियति उलटी।

**11.** $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to
13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$: सोलह चरण, चोटी $52$ पर।

**12.** $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to
47 \to 142 \to 71 \to 214 \to \dots$ — दस चरणों के बाद भी चढ़ता ही जा रहा है, $9\,232$ की चोटी और $111$-चरणों की उड़ान की ओर। सीख: दो पंक्तियों का नियम ऐसा व्यवहार पैदा कर सकता है जिसकी भविष्यवाणी एक नज़र में कोई नहीं कर सकता — पड़ोसी संख्याओं ($26$, $27$, $28$) की उड़ानें बेतहाशा अलग हैं।

**13.** $2$ की कोई घात अपनी पूरी सीढ़ी आधी-आधी करके उतर आती है: $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to 1$। तल पर $h(1) = 4$, $h(4) = 2$, $h(2) = 1$: उड़ान चक्र $4 \to 2 \to 1 \to 4$ में प्रवेश कर जाती है। [स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1) के लिए $\frac n2 = n$ चाहिए (केवल $n = 0$) या $3n + 1 = n$ (ऋणात्मक): धनात्मक [पूर्णांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) में कोई नहीं — देखी गई उड़ानें किसी [स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1) पर नहीं, उसी छोटे *चक्र* में समाप्त होती हैं।

**14.** प्रतिउदाहरण या तो ऐसी उड़ान होगी जो सदा बढ़ती जाए ($1$ पर कभी न लौटे) या $4 \to 2 \to 1$ से असंयुक्त कोई दूसरा चक्र। $10^{20}$ तक की जाँच अनगिनत संख्याएँ बिना जाँचे छोड़ देती है — ठीक माध्यमिक विद्यालय खंड की माचिस-भविष्यवक्ता वाली सप्ताहांत समस्या का वृत्त-क्षेत्रों वाला पाठ: सीमित स्थितियों में मेल खा जाना सबके बारे में कुछ भी सिद्ध नहीं करता।

**15.** हीरोन की मशीन में हमारे पास *संरचना* थी — एक गुणनखंडित अंतर (प्रश्न 6) जो परिवर्तन उजागर करता है, एक [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema), एक शिकंजा — जबकि ओला-मशीन का सम-विषम बदलता नियम ऐसा कोई हत्था नहीं देता: उसे साधने वाली संरचना अब तक किसी को नहीं मिली।

**16.** $\sqrt{x - 3}$: $x - 3 \geq 0$ चाहिए: $\intco{3}{+\infty}$। $\frac{1}{x^2 - 9}$: $x \neq \pm 3$ चाहिए: $\R$ में से $-3$ और $3$ हटाकर। $\sqrt{9 - x^2}$: $x^2 \leq 9$ चाहिए: $\intcc{-3}{3}$।

**17.** $f(x) = 3$ से $x + \frac2x = 6$ मिलता है, इसलिए $x^2 - 6x + 2 = 0$, अर्थात् $(x - 3)^2 = 7$: $x = 3 - \sqrt7$ या $x = 3 + \sqrt7$ (दोनों धनात्मक: दो यथार्थ [पूर्वप्रतिबिंब](#def-g10-functions-function))।

**18.** जब तक पत्थर हवा में है तभी तक भौतिक अर्थ बनता है: $t \in \intcc{0}{4}$ के लिए $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$। पूरा करने पर: $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$: [अधिकतम](#def-g10-functions-extrema) $20$ m, $t = 2$ s पर। परिवर्तन: $\intcc{0}{2}$ पर $0$ से $20$ तक [वर्धमान](#def-g10-functions-variations), $\intcc{2}{4}$ पर घटकर वापस $0$ तक।

**19.** $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff
(t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$: पूरे दो सेकंड $15$ m से ऊपर।

**20.** हर मशीन के पास एक [प्रांत](#def-g10-functions-function) होता है (जहाँ नियम लागू होता है), एक नियम (सूत्र या सम-विषम स्विच), और एक [आलेख](#def-g10-functions-graph) या सारणी जो उसे पूरा दिखा देती है। हमने हर एक से वही दो बड़े प्रश्न पूछे: *दोहराव कहाँ ले जाता है* ([स्थिर बिंदु](#pb-g10-functions-1), चक्र, आकर्षण — हीरोन के लिए सुलझा, ओला-मशीन के लिए खुला) और *निवेश के साथ निर्गम कैसे चलता है* (परिवर्तन, चरम मान — पत्थर की चोटी, हीरोन का [न्यूनतम](#def-g10-functions-extrema))। आगे के अध्याय दोनों को और पैना करते हैं: पहले आधार [फलन](#def-g10-functions-function), और फिर आगे के वर्षों में परिवर्तन नापने के लिए अवकलज तथा यह प्रमाणित करने के लिए सीमाएँ कि पुनरावृत्तियाँ कहाँ जा बैठती हैं।