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title: "आव्यूह और ग्राफ़"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 30
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/30-matrices-and-graphs
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# अध्याय 30 — आव्यूह और ग्राफ़

[आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) संख्याओं की आयताकार सारणी है, जिसे जोड़ने और गुणा करने के नियम इस तरह गढ़े गए हैं कि आव्यूह-बीजगणित रैखिक रूपांतरणों के संयोजन को दर्शा सके। [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) [रैखिक निकाय](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/7-equations-of-lines-and-linear-systems#def-g10-lines-system) हल करते हैं, युग्मित पुनरावर्ती [अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) चलाते हैं, और जालों में चालें गिनते हैं — यही गणित खोज-इंजनों और सबसे छोटे रास्ते की कलनविधियों के पीछे है।

## 30.1 आव्यूह-बीजगणित

**परिभाषा 30.1 (आव्यूह).**

*$m \times n$ आव्यूह* [वास्तविक संख्याओं](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) की ऐसी सारणी है जिसमें $m$ पंक्तियाँ और $n$ स्तंभ हों: $A = (a_{ij})$, जहाँ $a_{ij}$ पंक्ति $i$, स्तंभ $j$ की प्रविष्टि है। एक ही आकार के दो आव्यूह प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि जोड़े जाते हैं, और $\lambda A = (\lambda a_{ij})$।

**परिभाषा 30.2 (आव्यूह गुणनफल).**

मान लीजिए $A$ $m \times n$ का है और $B$ $n \times p$ का। गुणनफल $AB$ वह $m \times p$ [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) है जिसकी $(i,j)$ प्रविष्टि

$$
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
$$

है (“$A$ की पंक्ति $i$ गुणा $B$ का स्तंभ $j$” वाला नियम)।

**उदाहरण 30.3.**

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}$, जबकि $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 6\end{pmatrix}$: *[आव्यूहों](#def-g12-matrix-matrix) का गुणन क्रमविनिमेय नहीं है*।

**प्रतिज्ञप्ति 30.4 (आव्यूह-बीजगणित के नियम).**

जब भी आकार गुणनफलों को अर्थपूर्ण बनाते हों:

$$
(AB)C = A(BC), \qquad A(B + C) = AB + AC, \qquad (A+B)C = AC + BC,
$$

और *तत्समक [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix)* $I_n$ (विकर्ण पर एक, अन्यत्र शून्य) $m \times n$ आकार वाले $A$ के लिए $I_m A = A I_n = A$ संतुष्ट करता है।

**उपपत्ति.** सभी [परिभाषा 30.2](#def-g12-matrix-product) से प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि सत्यापन हैं; साहचर्य, जो अकेला अ-तुच्छ है, वस्तुतः दो परिमित योगों की अदला-बदली ही है: $\bigl((AB)C\bigr)_{ij} = \sum_l \left(\sum_k a_{ik}b_{kl}\right) c_{lj}
= \sum_k a_{ik} \left(\sum_l b_{kl} c_{lj}\right)
= \bigl(A(BC)\bigr)_{ij}$। ∎

**परिभाषा 30.5 (प्रतिलोम).**

$n$ आकार का कोई वर्ग [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) $A$ *प्रतिलोमनीय* है यदि ऐसा [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) $B$ हो कि $AB = BA = I_n$ हो; तब $B$ अद्वितीय होता है और उसे $A^{-1}$ लिखते हैं।

**प्रतिज्ञप्ति 30.6 (2×22\times22×2 आव्यूह का प्रतिलोम).**

मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ और $\det A = ad - bc$ (*सारणिक*) हैं। तब $A$ [प्रतिलोमनीय](#def-g12-matrix-inverse) है यदि और केवल यदि $\det A \neq 0$ हो, और उस स्थिति में

$$
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}.
$$

**उपपत्ति.** एक गणना $A \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} A = (ad - bc) I_2$ देती है; यदि $ad - bc \neq 0$ हो तो भाग दे दीजिए। इसके उलट, यदि $ad - bc = 0$ हो तो $A$ के स्तंभ समानुपाती होते हैं, और किसी भी $B$ के लिए $AB$ के स्तंभ भी; पर $I_2$ के स्तंभ समानुपाती नहीं हैं, इसलिए कोई $B$ $AB = I_2$ को संतुष्ट नहीं कर सकता। ∎

**विधि 30.7 (रैखिक निकाय).**

निकाय $\begin{cases} ax + by = e\\ cx + dy = f \end{cases}$ $X = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$, $Y = \begin{pmatrix} e \\ f\end{pmatrix}$ के साथ [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $AX = Y$ है। यदि $\det A \neq 0$ हो, तो उसका अद्वितीय हल $X = A^{-1}Y$ है। यही औपचारिकता $n$ अज्ञातों में $n$ [समीकरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) भी सँभाल लेती है।

## 30.2 आव्यूह की घातें और पुनरावर्ती अनुक्रम

**परिभाषा 30.8.**

किसी वर्ग [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) $A$ और $k \in \N$ के लिए $A^k = A \times \dots \times A$ ($k$ गुणनखंड), और $A^0 = I$।

**विधि 30.9 (विकर्ण-जमा-शून्यघाती और विकर्णीयकरणीय स्थितियाँ).**

$A^k$ निकालने के दो मानक तरीक़े:

- यदि $A = \lambda I + N$ हो, जहाँ $N^2 = 0$ , तो द्विपद प्रमेय (यहाँ वैध, क्योंकि $I$ और $N$ क्रमविनिमेय हैं) सिमटकर दो पदों में आ जाती है: $A^k = \lambda^k I + k \lambda^{k-1} N$ ।
- यदि ऐसा [प्रतिलोमनीय](#def-g12-matrix-inverse) $P$ मिल जाए कि $A = PDP^{-1}$ हो और $D$ विकर्ण हो, तो $A^k = P D^k P^{-1}$ , और $D^k$ प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि निकल आता है। (ऐसा $P$ व्यवस्थित ढंग से ढूँढ़ना *विकर्णीकरण* का सिद्धांत है, जो स्नातक स्तर पर विकसित होता है; इस स्तर पर $P$ दे दिया जाता है।)

**उदाहरण 30.10 (युग्मित अनुक्रम).**

मान लीजिए $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ और $v_{n+1} = u_n + 3v_n$ हैं। $X_n = \begin{pmatrix} u_n\\ v_n \end{pmatrix}$ और $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}$ रखने पर $X_{n+1} = AX_n$ मिलता है, इसलिए $X_n = A^n X_0$। सहायक [अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) $s_n = u_n + v_n$ और $d_n = u_n - v_n$ $s_{n+1} = 4s_n$ तथा $d_{n+1} = 2d_n$ को संतुष्ट करते हैं, इसलिए $s_n = 4^n s_0$, $d_n = 2^n d_0$ और

$$
u_n = \frac{4^n(u_0+v_0) + 2^n(u_0-v_0)}{2}, \qquad
v_n = \frac{4^n(u_0+v_0) - 2^n(u_0-v_0)}{2}.
$$

(पर्दे के पीछे: $(1,1)$ और $(1,-1)$ $A$ की अभिलक्षणिक सदिश-दिशाएँ हैं।)

## 30.3 ग्राफ़ और चालें

**परिभाषा 30.11 (ग्राफ़, आसन्नता आव्यूह).**

*ग्राफ़* में शीर्ष $1, 2, \dots, n$ और शीर्षों के कुछ युग्मों को जोड़ने वाली कोरें होती हैं (*दिष्ट* ग्राफ़ के लिए क्रमित युग्म)। उसका *आसन्नता आव्यूह* वह $n \times n$ [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) $M$ है जिसमें $i$ से $j$ तक कोई कोर होने पर $m_{ij} = 1$ और अन्यथा $0$ होता है। $i$ से $j$ तक लंबाई $k$ की *चाल* $k$ क्रमागत कोरों का ऐसा क्रम है जो $i$ से $j$ तक ले जाए।

![M = pmatrix 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 pmatrix एक दिष्ट ग्राफ़ और उसका आसन्नता आव्यूह (): m_ij = 1 ठीक तब जब i से j तक कोई कोर हो।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-matrix/fig-783722c7530e.svg)

*$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ एक दिष्ट [ग्राफ़](#def-g12-matrix-graph) और उसका [आसन्नता आव्यूह](#def-g12-matrix-graph) ([अभ्यास 30.6](#exo-g12-matrix-6)): $m_{ij} = 1$ ठीक तब जब $i$ से $j$ तक कोई कोर हो।*

**प्रमेय 30.12 (चालें गिनना).**

शीर्ष $i$ से शीर्ष $j$ तक लंबाई $k$ की चालों की संख्या $M^k$ की $(i,j)$ प्रविष्टि है।

**उपपत्ति.** $k$ पर आगमन। $k = 1$ के लिए यह $M$ की परिभाषा ही है। मान लीजिए दावा $k$ के लिए सही है। $i$ से $j$ तक लंबाई $k+1$ की चाल $i$ से किसी शीर्ष $l$ तक लंबाई $k$ की चाल है, और उसके बाद $l$ से $j$ तक एक कोर; योग और गुणन के सिद्धांतों से उनकी संख्या है

$$
\sum_{l=1}^{n} \bigl(M^k\bigr)_{il}\, m_{lj} = \bigl(M^{k+1}\bigr)_{ij}.
\qedhere
$$

∎

**उदाहरण 30.13.**

त्रिभुज [ग्राफ़](#def-g12-matrix-graph) ($3$ शीर्ष, सभी युग्म जुड़े हुए) के लिए $M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0\end{pmatrix}$ और $M^2 = \begin{pmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}$: हर शीर्ष से अपने ही पास लौटने वाली लंबाई $2$ की $2$ चालें हैं (किसी भी पड़ोसी से होकर) और हर दूसरे शीर्ष तक $1$।

## 30.4 अभ्यास

**अभ्यास 30.1 ★.**

मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ और $B = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ हैं। $A + B$, $AB$, $BA$ और $A^2$ निकालिए।

**हल — अभ्यास 30.1.**

$$
A + B = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad
AB = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad
BA = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad
A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
$$

ध्यान दीजिए कि $AB \neq BA$।

**अभ्यास 30.2 ★.**

बताइए कि निम्नलिखित [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) [प्रतिलोमनीय](#def-g12-matrix-inverse) हैं या नहीं, और जहाँ प्रतिलोम हों वहाँ उन्हें निकालिए:

$$
A = \begin{pmatrix} 2 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \qquad
B = \begin{pmatrix} 3 & 6\\ 2 & 4\end{pmatrix}.
$$

**हल — अभ्यास 30.2.**

$\det A = 6 - 5 = 1 \neq 0$: $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$। $\det B = 12 - 12 = 0$: $B$ [प्रतिलोमनीय](#def-g12-matrix-inverse) नहीं है।

**अभ्यास 30.3 ★.**

आव्यूह-प्रतिलोमन से निकाय $\begin{cases} 2x + 5y = 1\\ x + 3y = 2 . \end{cases}$ हल कीजिए।

**हल — अभ्यास 30.3.**

निकाय $AX = Y$ है, जहाँ $A$ [अभ्यास 30.2](#exo-g12-matrix-2) जैसा है और $Y = \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}$:

$$
X = A^{-1}Y = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -7\\ 3\end{pmatrix}:
\qquad x = -7,\ y = 3 .
$$

**अभ्यास 30.4 ★★.**

मान लीजिए $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ के साथ $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I + N$ है।

1. जाँचिए कि $N^2 = 0$ , और यह भी कि $I$ तथा $N$ क्रमविनिमेय हैं।
2. सभी $k \in \N$ के लिए $A^k$ निकालिए और $k=2$ का सूत्र सीधी गणना से सत्यापित कीजिए।

**हल — अभ्यास 30.4.**

*1.* $N^2 = \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix} = 0$, और $I$ हर [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) के साथ क्रमविनिमेय है।

*2.* चूँकि दोनों पद क्रमविनिमेय हैं, इसलिए द्विपद प्रमेय लागू होती है और $N^2$ वाले सभी पद लुप्त हो जाते हैं:

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N
= \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k \end{pmatrix}.
$$

$k = 2$ के लिए जाँच: $A^2 = \begin{pmatrix} 2&1\\0&2\end{pmatrix}^2
= \begin{pmatrix} 4&4\\0&4\end{pmatrix}$, और सूत्र $2^2 = 4$, $2 \times 2 = 4$ देता है। ✓

**अभ्यास 30.5 ★★.**

मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ है और $F_n$ फिबोनाच्ची [अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) ($F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$)। आगमन से दिखाइए कि $n \geq 1$ के लिए

$$
A^n = \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix},
$$

और सर्वसमिका $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ निकालिए। (संकेत: [सारणिक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-det) गुणा होते हैं: $\det(MN) = \det M \det N$, जिसे आप $2\times2$ [आव्यूहों](#def-g12-matrix-matrix) के लिए जाँच सकते हैं।)

**हल — अभ्यास 30.5.**

*आगमन:* $n = 1$ के लिए: $A^1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_0 & F_1\\ F_1 & F_2\end{pmatrix}$। मान लीजिए सूत्र $n$ के लिए सही है; तब

$$
A^{n+1} = A^n A
= \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_n & F_{n-1} + F_n\\ F_{n+1} & F_n + F_{n+1}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_n & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_{n+2}\end{pmatrix}.
$$

*सर्वसमिका:* $2\times2$ [आव्यूहों](#def-g12-matrix-matrix) के लिए प्रसार करने पर $\det(MN) = \det M \det N$ दिखता है; अतः $\det(A^n) = (\det A)^n = (-1)^n$, और $\det A^n = F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2$। (यही *कासीनी सर्वसमिका* है।)

**अभ्यास 30.6 ★★.**

शीर्षों $\{1, 2, 3\}$ वाले किसी दिष्ट [ग्राफ़](#def-g12-matrix-graph) में कोरें $1\to2$, $2\to3$, $3\to1$ और $1\to3$ हैं।

1. [आसन्नता आव्यूह](#def-g12-matrix-graph) $M$ लिखिए और $M^2$ तथा $M^3$ निकालिए।
2. $1$ से $1$ तक लंबाई $3$ की कितनी चालें हैं? उन्हें गिनाइए।

**हल — अभ्यास 30.6.**

*1.* शीर्षों को $1, 2, 3$ क्रम में रखने पर:

$$
M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&0&1\\ 1&0&0\end{pmatrix}, \quad
M^2 = \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}, \quad
M^3 = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&0&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix}.
$$

*2.* $\bigl(M^3\bigr)_{11} = 1$: शीर्ष $1$ पर लंबाई $3$ की ठीक एक बंद चाल है, अर्थात् $1 \to 2 \to 3 \to 1$। (चाल $1 \to 3 \to 1$ केवल लंबाई $2$ की है, और $1 \to 3$ फिर $3\to1$ फिर $1\to3$ $3$ पर समाप्त होती है।)

**अभ्यास 30.7 ★★.**

कोई कार-साझा कंपनी दो नगरों $A$ और $B$ के बीच वाहन घुमाती है। हर सप्ताह $A$ की $80\%$ कारें $A$ में ही रहती हैं और $20\%$ $B$ चली जाती हैं; $B$ की $30\%$ कारें $A$ चली जाती हैं और $70\%$ वहीं रहती हैं। मान लीजिए $a_n, b_n$ हर नगर में बेड़े के अनुपात हैं।

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-matrix/fig-8ee5ea63de42.svg)

1. $X_n = \begin{pmatrix} a_n\\ b_n\end{pmatrix}$ के साथ $X_{n+1} = MX_n$ लिखिए और $M$ पहचानिए।
2. साम्य अनुपात ज्ञात कीजिए ( $a + b = 1$ के साथ $MX = X$ हल कीजिए)।
3. दिखाइए कि $c_n = a_n - 0.6$ $c_{n+1} = 0.5\,c_n$ को संतुष्ट करता है, और निष्कर्ष निकालिए कि बेड़े का बँटवारा साम्य पर [अभिसरित](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-limit) होता है।

**हल — अभ्यास 30.7.**

*1.* $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3b_n$, $b_{n+1} = 0.2a_n + 0.7b_n$: $M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3\\ 0.2 & 0.7\end{pmatrix}$।

*2.* $MX = X$ से $0.8a + 0.3b = a$ मिलता है, *अर्थात्* $0.3b = 0.2a$, इसलिए $b = \frac23 a$; और $a + b = 1$ के साथ: $a = 0.6$, $b = 0.4$।

*3.* $b_n = 1 - a_n$ का उपयोग करने पर: $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3(1 - a_n) = 0.5a_n + 0.3$, इसलिए

$$
c_{n+1} = a_{n+1} - 0.6 = 0.5a_n + 0.3 - 0.6 = 0.5(a_n - 0.6) = 0.5\,c_n .
$$

अतः $c_n = 0.5^n c_0 \to 0$: आरंभिक बँटवारा चाहे जो हो, $a_n \to 0.6$ और $b_n \to 0.4$।

**अभ्यास 30.8 ★★★.**

मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ हैं।

1. $P^{-1}$ निकालिए, फिर $D = P^{-1}AP$ , और जाँचिए कि $D$ विकर्ण है।
2. $A^n$ का बंद सूत्र निकालिए और [उदाहरण 30.10](#ex-g12-matrix-coupled) से तुलना कीजिए।

**हल — अभ्यास 30.8.**

*1.* $\det P = -2$, इसलिए $P^{-1} = -\frac12\begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}
= \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$। तब

$$
AP = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 4 & -2 \end{pmatrix}, \qquad
D = P^{-1}AP = \frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 4&2\\4&-2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
$$

*2.* $A = PDP^{-1}$ से तत्काल आगमन $D^n = \begin{pmatrix} 4^n & 0\\ 0 & 2^n\end{pmatrix}$ वाला $A^n = PD^nP^{-1}$ देता है, इसलिए

$$
A^n = P D^n P^{-1}
= \begin{pmatrix} 4^n & 2^n\\ 4^n & -2^n\end{pmatrix}\cdot
\frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}
= \frac12\begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n\\
4^n - 2^n & 4^n + 2^n\end{pmatrix}.
$$

$X_0 = \begin{pmatrix} u_0\\v_0\end{pmatrix}$ पर $A^n$ लगाने से ठीक [उदाहरण 30.10](#ex-g12-matrix-coupled) के सूत्र फिर मिल जाते हैं।

## 30.5 समस्या: वह आव्यूह जो फिबोनाच्ची (और मौसम) जानता है

**समस्या 30.1.**

सप्ताहांत समस्या — एक $2 \times 2$ आव्यूह पूरा फिबोनाच्ची उठाए रहता है, एक मार्कोव आव्यूह दीर्घ काल का मौसम बता देता है, और एक अभिलक्षणिक सदिश अरबों का मोल रखता है

[आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) एक ऐसी मशीन है जो कोई अवस्था खाती है और अगली लौटा देती है — और इसलिए उसकी *घातें* पूरे-पूरे भविष्य समेटे रहती हैं। यह समस्या उस चकित कर देने वाले [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) से शुरू होती है जिसकी घातें फिबोनाच्ची संख्याएँ गिना देती हैं (और उनकी सर्वसमिकाएँ एक-एक पंक्ति में सिद्ध कर देती हैं), फिर मौसम को मार्कोव शृंखला के रूप में उसकी स्थायी अवस्था तक चलाती है, और उस अभिलक्षणिक [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) पर समाप्त होती है जिस पर एक खोज-इंजन खड़ा किया गया था ([प्रमेय 30.12](#thm-g12-matrix-walks), [विधि 30.9](#met-g12-matrix-powers))।

**भाग I — प्रवाह।**

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ और $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ के साथ: $AB$ और $BA$ निकालिए। क्रमविनिमेयता पर क्या फ़ैसला है?
2. $\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix}$ का प्रतिलोम ( [प्रतिज्ञप्ति 30.6](#prop-g12-matrix-inverse2x2) ) निकालिए और उससे $2x + y = 4$ , $5x + 3y = 7$ हल कीजिए।
3. मान लीजिए $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ है: $N^2$ निकालिए, और हर $n$ के लिए $(I + N)^n = I + nN$ निकालिए।
4. त्रिभुज [ग्राफ़](#def-g12-matrix-graph) (तीन शीर्ष, सभी युग्म जुड़े): उसका [आसन्नता आव्यूह](#def-g12-matrix-graph) $A$ लिखिए, $A^3$ निकालिए, और विकर्ण की प्रविष्टियों की व्याख्या कीजिए ( [प्रमेय 30.12](#thm-g12-matrix-walks) )।
5. $D = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & \frac12  \end{pmatrix}$ के लिए: $D^n$ और $n \to \infty$ पर उसका व्यवहार बताइए।

**भाग II — फिबोनाच्ची [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix)।** मान लीजिए $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ है और $F_1 = F_2 = 1, F_3 = 2, \dots$ [समस्या 13.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#pb-g11-seq-1) की फिबोनाच्ची संख्याएँ हैं।

6. $F^2$ , $F^3$ , $F^4$ निकालिए और फिबोनाच्ची संख्याओं के पदों में $F^n$ के व्यापक रूप का अनुमान लगाइए।
7. अनुमान $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}  \end{pmatrix}$ आगमन से सिद्ध कीजिए।
8. दोनों पक्षों के [सारणिक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-det) लीजिए (गुणनफल का [सारणिक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-det) [सारणिकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-det) का गुणनफल है — यदि आपने यह पहले न देखा हो तो $2 \times 2$ [आव्यूहों](#def-g12-matrix-matrix) पर जाँच लीजिए): और *कासीनी सर्वसमिका* $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ निकालिए — वही “ग़ायब वर्ग” का इंजन, अब एक पंक्ति में सिद्ध।
9. $F^{m+n} = F^m F^n$ से ऊपर-दाईं प्रविष्टियाँ पढ़िए और *योग सूत्र* $$F_{m+n} = F_{m+1} F_n + F_m F_{n-1} .$$ निकालिए। $m = n = 3$ के लिए उसकी जाँच कीजिए।
10. योग सूत्र से ( $k$ पर आगमन द्वारा) निकालिए कि $F_n$ $F_{kn}$ को [विभाजित](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/29-arithmetic#def-g12-arith-divides) करता है, और $F_3 \mid F_6$ तथा $F_3 \mid F_9$ पर उसकी पुष्टि कीजिए।
11. $F_{100}$ निकालने के लिए $100$ [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) गुणा करने की आवश्यकता नहीं: बार-बार वर्ग कीजिए ( $F^2, F^4, F^8, \dots$ ) और जोड़ते जाइए। कितने आव्यूह-गुणन पर्याप्त हैं, और माध्यमिक विद्यालय खंड की कौन-सी प्राचीन गुणन-तरकीब यही है, अब [आव्यूहों](#def-g12-matrix-matrix) तक पदोन्नत?

**भाग III — मौसम की मशीन।** किसी नगर में: धूप वाले दिन के बाद अगला दिन [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $0.8$ से धूप वाला होता है; वर्षा वाले दिन के बाद [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $0.4$ से धूप वाला। दिन के [बंटन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-rv) को स्तंभ $\binom{p_{\text{धूप}}}{p_{\text{वर्षा}}}$ के रूप में और विकास को

$$
M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.4\\ 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}.
$$

से लिखिए।

12. जाँचिए कि $M$ के हर स्तंभ का योग $1$ है, और बताइए कि किसी भी मौसम-मशीन में यह गुण क्यों होना ही चाहिए।
13. आज धूप है। कल और परसों का पूर्वानुमान निकालिए।
14. *स्थायी अवस्था* ज्ञात कीजिए: वह [बंटन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-rv) $v$ जिसके लिए $Mv = v$ हो (और जिसकी प्रविष्टियों का योग $1$ हो)। दीर्घ काल में कितने अंश दिन धूप वाले होते हैं?
15. वर्षा वाले दिन $\binom01$ से शुरू कीजिए और $M$ चार बार लगाइए, और हर क़दम पर स्थायी अवस्था से दूरी दर्ज कीजिए। प्रति क़दम अंतर कितने गुना सिकुड़ता है — और यह किस प्रकार का अभिसरण है?
16. लघुरूप में पेजरैंक: तीन पृष्ठ, जिनकी कड़ियाँ $A \to B$ , $A \to C$ , $B \to C$ , $C \to A$ हैं। कोई यादृच्छिक पाठक बाहर जाने वाली किसी कड़ी को एकसमान यादृच्छिक ढंग से पकड़ता है। संक्रमण [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) लिखिए, स्थायी अवस्था ज्ञात कीजिए, और पृष्ठों की श्रेणी बनाइए।
17. श्रेणी की व्याख्या कीजिए: कम पृष्ठों से कड़ियाँ पाने के बावजूद $C$ $A$ जितना ऊँचा अंक क्यों पाता है — स्थायी अवस्था असल में क्या नापती है? (असली पेजरैंक बंद गलियों और छलाँगों के लिए एक अवमंदन गुणक जोड़ता है; अभिलक्षणिक [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) वाला विचार ठीक यही है।)

**भाग IV — विकर्ण का लाभांश।**

18. दो युग्मित राशियाँ $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ , $v_{n+1} = u_n + 3v_n$ मानती हैं, अर्थात् [अभ्यास 30.8](#exo-g12-matrix-8) का [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) $A$ । उसी अभ्यास के विकर्णीकरण ( $D = \operatorname{diag}(4, 2)$ ) का उपयोग करके $u_0 = 1$ , $v_0 = 0$ होने पर $u_n$ का बंद सूत्र दीजिए, और $n = 1, 2, 3$ के लिए उसे सीधी गणना से जाँचिए।
19. एक-दो वाक्यों में: विकर्णीकरण किसी युग्मित तंत्र के साथ *करता* क्या है — और प्रश्न 14 की मार्कोव स्थायी अवस्था भी किस अर्थ में अभिलक्षणिक [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) की ही कहानी है?
20. समापन — इस सप्ताहांत [आव्यूह](#def-g12-matrix-matrix) के तीन चेहरे: बही-खाता (निकाय और प्रतिलोम), क्रमचय-संचय (घातों से गिनी गई चालें और कड़ियाँ), और विकास (फिबोनाच्ची, मौसम, जाल — अभिलक्षणिक दिशाओं से पढ़े गए भविष्य)। हर एक पर एक वाक्य, और आगे का संकेत: स्नातक खंडों का रैखिक बीजगणित इनमें से हर चेहरे को एक पूरा सिद्धांत बना देता है।

**हल — समस्या 30.1.**

**1.** $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ और $BA = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2\end{pmatrix}$: [आव्यूहों](#def-g12-matrix-matrix) का गुणन क्रमविनिमेय नहीं है — $B$ दाईं ओर से स्तंभ बदलता है और बाईं ओर से पंक्तियाँ।

**2.** [सारणिक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-det) $6 - 5 = 1$: प्रतिलोम $\begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2\end{pmatrix}$। उसे $\binom{4}{7}$ पर लगाने पर: $x = 12 - 7 = 5$, $y = -20 + 14 = -6$।

**3.** $N^2 = 0$। फिर आगमन से $(I + N)^n = I + nN$: $(I + nN)(I + N) = I + (n+1)N + nN^2 = I + (n+1)N$।

**4.** $A = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0
\end{pmatrix}$, और $A^3$ की विकर्ण प्रविष्टियाँ $2$ हैं: हर शीर्ष से लंबाई $3$ की ठीक दो बंद चालें (त्रिभुज दक्षिणावर्त या वामावर्त चला हुआ) — गिनती वाली प्रमेय काम पर।

**5.** $D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0\\ 0 & 2^{-n}
\end{pmatrix}$: एक दिशा फट पड़ती है, दूसरी मर जाती है — विकर्ण की नियतियाँ स्वतंत्र [गुणोत्तर अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric) हैं।

**6.** $F^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $F^3 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, $F^4 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}$: हर जगह फिबोनाच्ची; अनुमान वैसा ही जैसा बताया गया।

**7.** यदि $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n &
F_{n-1}\end{pmatrix}$ हो, तो

$$
F^{n+1} = F^n F =
\begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\
F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n
\end{pmatrix} :
$$

वंशानुगति; और आधार-स्थिति $n = 1$ स्वयं $F$ है, जिसमें परिपाटी $F_0 = 0$ का उपयोग होता है (जो पुनरावृत्ति को पीछे की ओर भी बढ़ा देती है)।

**8.** $\det F = -1$, इसलिए $\det(F^n) = (\det F)^n = (-1)^n$; और सीधे $\det(F^n) = F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2$: कासीनी, एक पंक्ति में। ($2 \times 2$ [सारणिकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-det) के लिए गुणनफल का नियम पाँच मिनट का सुखद प्रसार है।)

**9.** $F^m F^n$ की ऊपर-दाईं प्रविष्टि: $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$; $F^{m+n}$ की ऊपर-दाईं: $F_{m+n}$। $m = n = 3$ के लिए: $F_4 F_3 + F_3 F_2 = 3 \times 2 + 2 \times 1 = 8 = F_6$।

**10.** $k = 1$ के लिए: तुच्छ। यदि $F_n \mid F_{kn}$ हो, तो $m = kn$ के साथ योग सूत्र: $F_{(k+1)n} = F_{kn+1}F_n + F_{kn}F_{n-1}$: दोनों पद $F_n$ के [गुणज](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/29-arithmetic#def-g12-arith-divides) हैं। इसलिए सभी $k$ के लिए $F_n \mid F_{kn}$: जाँचिए कि $F_3 = 2$ $F_6 = 8$ और $F_9 = 34$ को [विभाजित](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/29-arithmetic#def-g12-arith-divides) करता है।

**11.** $F^{100} = F^{64} F^{32} F^4$: सात बार वर्ग ($F^2, F^4, \dots, F^{64}$) और दो बार जोड़-मिलान — यानी निन्यानबे के बदले नौ गुणन। यह मिस्र के लिपिकों की दुगुना करने वाली सारणी की तरकीब ही है, जो संख्याओं से उठकर [आव्यूहों](#def-g12-matrix-matrix) पर आ गई: $100$ को द्विआधारी में लिखिए और जिन दुगुनों की ज़रूरत हो उन्हीं को गुणा कीजिए।

**12.** $0.8 + 0.2 = 1$ और $0.4 + 0.6 = 1$: कल कोई न कोई मौसम होगा *ही* — हर स्तंभ एक पूरा [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) [बंटन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-rv) है, इसलिए [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) संरक्षित रहती है।

**13.** कल: $\binom{0.8}{0.2}$। परसों: $M\binom{0.8}{0.2} = \binom{0.72}{0.28}$।

**14.** $v = \binom{s}{r}$, $s + r = 1$ के साथ $Mv = v$: $0.8s + 0.4r = s$ से $0.4r = 0.2s$, $s = 2r$ मिलते हैं: $v = \binom{2/3}{1/3}$। दीर्घ काल में तीन में से दो दिन धूप वाले होते हैं — आज चाहे जैसा दिखे।

**15.** $\binom01$ से: धूप वाले घटक $0.4$, $0.56$, $0.624$, $0.6496$; और $\frac23$ से अंतर: $0.267$, $0.107$, $0.043$, $0.017$ — हर क़दम अंतर को ठीक $0.4$ गुना कर देता है (मशीन का दूसरा अभिलक्षणिक मान): स्थायी अवस्था पर [गुणोत्तर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-arith-geom) अभिसरण।

**16.** स्तंभ ($A$, $B$, $C$ से): $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ \frac12 & 0 & 0\\
\frac12 & 1 & 0\end{pmatrix}$। स्थायी अवस्था: $v_A = v_C$, $v_B = \frac{v_A}{2}$, $v_C = \frac{v_A}{2} + v_B$; और योग $1$ होने पर: $v = \left(\frac25, \frac15, \frac25\right)$। श्रेणी: $A$ तथा $C$ पहले स्थान पर बराबरी में, और $B$ अंत में।

**17.** $C$ $B$ का *सारा* आवागमन और $A$ का आधा पाता है, और वह सब कुछ $A$ को लौटा देता है: स्थायी अवस्था यह नापती है कि पाठक *समय कहाँ बिताता है*, न कि उसकी ओर कितनी कड़ियाँ आती हैं — किसी लोकप्रिय पृष्ठ से आई एक कड़ी उजाड़ पृष्ठों की कई कड़ियों पर भारी पड़ती है। यही पुनरावर्ती भारण उस खोज-इंजन का संस्थापक विचार है; और अवमंदन मकड़-जालों तथा बंद गलियों को सँभालता है।

**18.** $A^n = P D^n P^{-1}$ से $u_n = \frac{4^n + 2^n}{2}$ मिलता है (और $v_n = \frac{4^n - 2^n}{2}$)। जाँच: $u_1 = 3$, $u_2 = 10$, $u_3 = 36$; सीधे: $(1,0) \to (3,1) \to (10,6) \to
(36, 28)$: मेल।

**19.** विकर्णीकरण ऐसे [निर्देशांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) पर ले जाता है जिनमें युग्मित तंत्र टूटकर स्वतंत्र [गुणोत्तर अनुक्रमों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric) में बिखर जाता है — हर अभिलक्षणिक मान अपनी दौड़ अलग दौड़ता है। मार्कोव की स्थायी अवस्था अभिलक्षणिक मान $1$ का अभिलक्षणिक [सदिश](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) है, और प्रश्न 15 की अभिसरण-दर अगला अभिलक्षणिक मान: मौसम की मशीन शुरू से ही अभिलक्षणिक कहानी थी।

**20.** बही-खाता: कोई निकाय एक ही आव्यूह-समीकरण है, जो एक ही प्रतिलोम से हल हो जाता है। क्रमचय-संचय: [आसन्नता आव्यूह](#def-g12-matrix-graph) की घातें चालें, कड़ियाँ और संबंध गिन देती हैं। विकास: मशीन की घातें अवस्थाओं को उनकी नियतियों तक ले जाती हैं, और अभिलक्षणिक दिशाएँ (फिबोनाच्ची की स्वर्ण दिशा, मौसम की स्थायी अवस्था, जाल का श्रेणी-सदिश) ही वे नियतियाँ हैं। स्नातक खंडों का रैखिक बीजगणित ठीक इसी का विज्ञान है।