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title: "यादृच्छिक चर और द्विपद बंटन"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 33
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution
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# अध्याय 33 — यादृच्छिक चर और द्विपद बंटन

[यादृच्छिक चर](#def-g12-randvar-rv) किसी प्रयोग के हर परिणाम के साथ एक संख्या जोड़ देता है: कोई लाभ, कोई गिनती, कोई अवधि। उसकी [प्रत्याशा](#def-g12-randvar-exp) उन मानों का दीर्घकालिक औसत है और उसका [प्रसरण](#def-g12-randvar-exp) उनका प्रसार नापता है। इस अध्याय का सितारा [द्विपद बंटन](#def-g12-randvar-binomial) है, जो दोहराए गए [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) परीक्षणों में सफलताएँ गिनता है। [यादृच्छिक चर](#def-g12-randvar-rv) और [द्विपद बंटन](#def-g12-randvar-binomial) से पहली भेंट अध्याय [18](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#ch-g11-prob) और [19](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/19-the-binomial-distribution#ch-g11-binom) में हुई थी; यह अध्याय उन्हें दोहराता और गहरा करता है, और अब [अध्याय 27](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/27-combinatorics-and-counting#ch-g12-comb) के क्रमचय-संचय वाले औज़ार भी उपलब्ध हैं।

## 33.1 विविक्त यादृच्छिक चर

**परिभाषा 33.1 (यादृच्छिक चर, बंटन).**

किसी परिमित [प्रतिदर्श समष्टि](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-model) $\Omega$ पर *यादृच्छिक चर* एक [फलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $X \colon \Omega \to \R$ है। उसका *बंटन* (या नियम) उसके संभव मानों $x_1, \dots, x_k$ और [प्रायिकताओं](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution)

$$
p_i = \P(X = x_i), \qquad \sum_{i=1}^{k} p_i = 1 .
$$

का ब्योरा है।

**परिभाषा 33.2 (प्रत्याशा, प्रसरण, मानक विचलन).**

$X$ की *प्रत्याशा* है

$$
\E(X) = \sum_{i=1}^{k} p_i\, x_i ,
$$

और उसका *प्रसरण* तथा *[मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance)* हैं

$$
\V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \sum_{i=1}^k p_i\bigl(x_i - \E(X)\bigr)^2,
\qquad
\sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .
$$

**प्रतिज्ञप्ति 33.3 (कोनिग–होयगेंस सूत्र).**

$\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2$।

**उपपत्ति.** $m = \E(X)$ लिखिए और प्रसार कीजिए:

$$
\V(X) = \sum_i p_i (x_i^2 - 2m x_i + m^2)
= \E(X^2) - 2m\sum_i p_i x_i + m^2\sum_i p_i
= \E(X^2) - 2m^2 + m^2 . \qedhere
$$

∎

**प्रतिज्ञप्ति 33.4 (एकघात रूपांतरण).**

$a, b \in \R$ के लिए:

$$
\E(aX + b) = a\,\E(X) + b, \qquad
\V(aX + b) = a^2\,\V(X) .
$$

**उपपत्ति.** पहला परिभाषा वाले योग की ही पुनर्व्यवस्था है। दूसरे के लिए: $aX + b$ अपने [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) से $a(X - \E(X))$ जितना हटता है, और वर्ग करने पर वह $a^2$ गुना हो जाता है। ∎

**उदाहरण 33.5 (न्यायसंगत खेल).**

किसी खेल का शुल्क $2$ यूरो है; एक पासा फेंका जाता है, और यदि आया मान कम से कम $5$ हो तो खिलाड़ी वही मान पाता है, अन्यथा कुछ नहीं। लाभ $G$ मान $-2$ ([प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac46$), $3$ ($\frac16$), $4$ ($\frac16$) लेता है:

$$
\E(G) = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac{1}{6} < 0 .
$$

औसतन खिलाड़ी प्रति खेल $17$ सेंट गँवाता है: खेल प्रतिकूल है (जैसे अधिकांश असली खेल होते हैं)।

## 33.2 बर्नूली परीक्षण और द्विपद बंटन

**परिभाषा 33.6 (बर्नूली बंटन).**

*बर्नूली परीक्षण* दो परिणामों वाला प्रयोग है: *सफलता* ([प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $p$) और *विफलता* ($q = 1 - p$)। सफलता का सूचक $X$ (सफलता पर $X = 1$, विफलता पर $0$) *बर्नूली [बंटन](#def-g12-randvar-rv)* $\mathcal B(p)$ का पालन करता है:

$$
\E(X) = p, \qquad \V(X) = p(1-p) .
$$

(सचमुच $\E(X) = p$, $\E(X^2) = p$, और कोनिग–होयगेंस $\V(X) = p - p^2$ दे देता है।)

**परिभाषा 33.7 (द्विपद बंटन).**

किसी [बर्नूली परीक्षण](#def-g12-randvar-bernoulli) को $n$ बार [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) रूप से दोहराइए और मान लीजिए $X$ सफलताओं की कुल संख्या है। $X$ का [बंटन](#def-g12-randvar-rv) *द्विपद बंटन* $\mathcal B(n, p)$ है।

![तीन बर्नूली परीक्षण: 23 पथों में से ठीक 32 = 3 दो सफलताएँ देते हैं (लाल), और हर एक की प्रायिकता p2(1-p) है, इसलिए (X = 2) = 3p2(1-p)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-c70f3b626032.svg)

*तीन [बर्नूली परीक्षण](#def-g12-randvar-bernoulli): $2^3$ पथों में से ठीक $\binom{3}{2} = 3$ दो सफलताएँ देते हैं (लाल), और हर एक की [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $p^2(1-p)$ है, इसलिए $\P(X = 2) = 3p^2(1-p)$।*

**प्रमेय 33.8.**

यदि $X \sim \mathcal B(n, p)$ हो, तो $0 \leq k \leq n$ के लिए

$$
\P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},
$$

और

$$
\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p) .
$$

**उपपत्ति.** $k$ सफलताओं और $n-k$ विफलताओं वाले किसी नियत परिणाम-क्रम की [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) से $p^k(1-p)^{n-k}$ है; ऐसे क्रमों की संख्या $n$ परीक्षणों में $k$ सफलताएँ रखने के तरीक़ों की संख्या है, यानी $\binom nk$ ([अध्याय 27](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/27-combinatorics-and-counting#ch-g12-comb))। सभी क्रमों पर जोड़ने से सूत्र मिल जाता है — और द्विपद प्रमेय $\sum_k \P(X = k) = (p + q)^n = 1$ की पुष्टि कर देती है।

[प्रत्याशा](#def-g12-randvar-exp) के लिए $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ ([अभ्यास 27.7](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/27-combinatorics-and-counting#exo-g12-comb-7)) का उपयोग करने पर:

$$
\E(X) = \sum_{k=1}^{n} k\binom nk p^k q^{n-k}
= np\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)}
= np\,(p + q)^{n-1} = np .
$$

[प्रसरण](#def-g12-randvar-exp) का सूत्र इसी तरह सर्वसमिका $k(k-1)\binom nk = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$ से सिद्ध होता है, जो $\E(X(X-1)) = n(n-1)p^2$ देती है, जिससे $\V(X) = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p)$ निकलता है। (संरचनात्मक उपपत्ति — [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) चरों के योग का [प्रसरण](#def-g12-randvar-exp) — [प्रमेय 34.4](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/34-sums-of-random-variables-and-the-law-of-large-numbers#thm-g12-sums-variance) के साथ आती है।) ∎

![बंटन B(20, 0.3): माध्य np = 6, मानक विचलन √npq 2.05।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-a340174233d1.svg)

*[बंटन](#def-g12-randvar-rv) $\mathcal B(20, 0.3)$: [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) $np = 6$, [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) $\sqrt{npq} \approx 2.05$।*

**विधि 33.9 (द्विपद स्थिति पहचानना).**

$X \sim \mathcal B(n,p)$ लिखने से पहले तीनों सामग्रियाँ जाँचिए: परीक्षणों की *नियत संख्या* $n$; हर परीक्षण के *दो परिणाम* और *एक ही* सफलता-प्रायिकता $p$; और परीक्षणों की *[स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep)* (वापसी *सहित* प्रतिदर्शन, या किसी बड़ी समष्टि से)। फिर “कम से कम एक सफलता” के लिए

$$
\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n
$$

काम में लाइए, और सामान्य $\P(X \leq k)$ के लिए कैलकुलेटर या संचयी सारणियाँ।

**उदाहरण 33.10.**

छक्का आने की कम से कम $99\%$ संभावना पाने के लिए पासा कितनी बार फेंकना पड़ेगा? $X \sim \mathcal B\left(n, \frac16\right)$ के साथ: $\P(X \geq 1) = 1 - \left(\frac56\right)^n \geq 0.99$ का अर्थ है $\left(\frac56\right)^n \leq 0.01$, *अर्थात्* $n \geq \frac{\ln 0.01}{\ln(5/6)} \approx 25.3$: $n = 26$ फेंकों से आगे।

## 33.3 अभ्यास

**अभ्यास 33.1 ★.**

कोई [यादृच्छिक चर](#def-g12-randvar-rv) $X$ मान $-1, 0, 2, 5$ [प्रायिकताओं](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $0.3, 0.2, 0.4, 0.1$ के साथ लेता है। $\E(X)$, $\V(X)$ और $\sigma(X)$ निकालिए।

**हल — अभ्यास 33.1.**

$\E(X) = -0.3 + 0 + 0.8 + 0.5 = 1$। $\E(X^2) = 0.3 \times 1 + 0 + 0.4\times4 + 0.1\times25 = 4.4$, इसलिए कोनिग–होयगेंस से $\V(X) = 4.4 - 1 = 3.4$ और $\sigma(X) = \sqrt{3.4} \approx 1.84$।

**अभ्यास 33.2 ★.**

किसी बहुविकल्पीय परीक्षा में $10$ प्रश्न हैं, और हर प्रश्न में $4$ विकल्प हैं जिनमें एक सही है। कोई विद्यार्थी [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) रूप से एकसमान यादृच्छिक ढंग से उत्तर देता है। मान लीजिए $X$ सही उत्तरों की संख्या है।

1. $X$ , $\E(X)$ और $\sigma(X)$ का [बंटन](#def-g12-randvar-rv) बताइए।
2. $\P(X = 0)$ , $\P(X = 5)$ और $\P(X \geq 1)$ निकालिए।

**हल — अभ्यास 33.2.**

*1.* $10$ प्रश्न $p = \frac14$ वाले [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) [बर्नूली परीक्षण](#def-g12-randvar-bernoulli) हैं: $X \sim \mathcal B\left(10, \frac14\right)$, $\E(X) = 2.5$, $\sigma(X) = \sqrt{10 \times \frac14 \times \frac34} = \sqrt{1.875}
\approx 1.37$।

*2.* $\P(X = 0) = \left(\frac34\right)^{10} \approx 0.056$;

$$
\P(X = 5) = \binom{10}{5}\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^5
\approx 0.058;
\quad
\P(X \geq 1) = 1 - \left(\tfrac34\right)^{10} \approx 0.944 .
$$

**अभ्यास 33.3 ★.**

कोई बीमा कंपनी $n = 400$ ग्राहकों का बीमा करती है; हर एक वर्ष भर में [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) रूप से [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $p = 0.05$ से दावा दायर करता है। मान लीजिए $X$ दावों की संख्या है। $X$ का [बंटन](#def-g12-randvar-rv) पहचानिए और उसकी [प्रत्याशा](#def-g12-randvar-exp) तथा [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) निकालिए।

**हल — अभ्यास 33.3.**

[स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) और एक जैसे परीक्षण: $X \sim \mathcal B(400,\ 0.05)$, इसलिए $\E(X) = 20$ दावे और

$$
\sigma(X) = \sqrt{400 \times 0.05 \times 0.95} = \sqrt{19} \approx 4.4 .
$$

**अभ्यास 33.4 ★★.**

[उदाहरण 33.5](#ex-g12-randvar-game) के खेल में आयोजक प्रवेश-दाम $c$ बदलकर खेल को न्यायसंगत ($\E(G) = 0$) बनाना चाहता है। $c$ ज्ञात कीजिए। इस न्यायसंगत रूप में लाभ का [प्रसरण](#def-g12-randvar-exp) निकालिए; क्या “न्यायसंगत” का अर्थ “जोखिम-रहित” भी है?

**हल — अभ्यास 33.4.**

प्राप्त भुगतान $P$ $\E(P) = \frac{5 + 6}{6} = \frac{11}{6}$ को संतुष्ट करता है, इसलिए न्यायसंगत दाम $c = \frac{11}{6} \approx 1.83$ यूरो है। न्यायसंगत लाभ $G = P - \frac{11}6$ [प्रायिकताओं](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac46, \frac16, \frac16$ के साथ मान $-\frac{11}{6}, \frac{19}{6}, \frac{25}{6}$ लेता है:

$$
\V(G) = \E(G^2)
= \frac{4 \times 121 + 361 + 625}{6 \times 36} = \frac{1470}{216}
= \frac{245}{36} \approx 6.8,
\qquad \sigma(G) \approx 2.6 .
$$

न्यायसंगत खेल का *औसत* लाभ शून्य होता है, पर उसके परिणाम फिर भी उतार-चढ़ाव करते हैं: न्यायसंगत का अर्थ जोखिम-रहित नहीं है।

**अभ्यास 33.5 ★★.**

कोई बास्केटबॉल खिलाड़ी [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $0.7$ से मुक्त फेंक में अंक बनाती है। वह $8$ बार फेंकती है ([स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) फेंक)। ये [प्रायिकताएँ](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) निकालिए कि वह ठीक $6$ बार अंक बनाती है; कम से कम $6$ बार; कम से कम एक बार। अंकों की सबसे संभावित संख्या क्या है?

**हल — अभ्यास 33.5.**

$X \sim \mathcal B(8,\ 0.7)$।

$$
\P(X = 6) = \binom86 (0.7)^6(0.3)^2 \approx 0.296 ;
$$

$$
\P(X \geq 6) = \P(6) + \P(7) + \P(8)
\approx 0.296 + 8(0.7)^7(0.3) + (0.7)^8
\approx 0.296 + 0.198 + 0.058 = 0.552 ;
$$

$\P(X \geq 1) = 1 - (0.3)^8 \approx 0.99993$. बहुलक: $(n+1)p = 6.3$, इसलिए सबसे संभावित मान $k^* = 6$ है ([अभ्यास 33.7](#exo-g12-randvar-7))।

**अभ्यास 33.6 ★★.**

कोई विमान-कंपनी जानती है कि हर बुक किया हुआ यात्री [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) रूप से [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $0.9$ से पहुँचता है। किसी उड़ान में $100$ सीटें हैं और कंपनी $104$ टिकट बेचती है। [द्विपद बंटन](#def-g12-randvar-binomial) का उपयोग करके यह [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) व्यक्त कीजिए कि सीटों से अधिक यात्री पहुँच जाएँ, और कैलकुलेटर से उसका संख्यात्मक आकलन कीजिए (यथार्थ व्यंजक दीजिए)।

**हल — अभ्यास 33.6.**

पहुँचने वाले यात्रियों की संख्या $X \sim \mathcal B(104,\ 0.9)$ है; उड़ान तब अधिविक्रीत हो जाती है जब $X \geq 101$:

$$
\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{104}\binom{104}{k}(0.9)^k(0.1)^{104-k}
\approx 0.006 .
$$

सीटों से $4\%$ अधिक टिकट बेचने पर केवल लगभग $0.6\%$ उड़ानों में गड़बड़ होती है — यही अधिविक्रय के पीछे का अर्थशास्त्र है।

**अभ्यास 33.7 ★★.**

मान लीजिए $X \sim \mathcal B(n, p)$ है। दिखाइए कि

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

और निष्कर्ष निकालिए कि [बंटन](#def-g12-randvar-rv) $k^* = \floor{(n+1)p}$ तक बढ़ता है और उसके बाद घटता है (द्विपद का *बहुलक*)।

**हल — अभ्यास 33.7.**

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)}
= \frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk}\cdot\frac{p}{1-p}
= \frac{n - k}{k + 1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

जहाँ $\binom{n}{k+1} = \binom nk \frac{n-k}{k+1}$ का उपयोग हुआ है। यह अनुपात $\geq 1$ ठीक तब है जब $(n-k)p \geq (k+1)(1-p)$, यानी जब $np - k p \geq k - kp + 1 - p$, यानी जब $k \leq (n+1)p - 1$। इसलिए [प्रायिकताएँ](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) तब तक कड़ाई से बढ़ती हैं जब तक $k + 1 \leq (n+1)p$ हो और उसके बाद घटती हैं: [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $k^* = \floor{(n+1)p}$ पर प्राप्त होता है (और जब $(n+1)p$ [पूर्णांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) हो तब $k^* - 1$ के साथ साझा)।

**अभ्यास 33.8 ★★★.**

*(सेंट पीटर्सबर्ग, सधा हुआ.)* कोई न्यायसंगत सिक्का चित आने तक उछाला जाता है, पर अधिक से अधिक $10$ बार। मान लीजिए $N$ काम में आए उछालों की संख्या है, और चित आ जाने पर खिलाड़ी $2^N$ यूरो पाता है, अन्यथा $0$।

1. जीत वाले परिणामों तक सीमित $N$ का [बंटन](#def-g12-randvar-rv) बताइए: $1 \leq k \leq 10$ के लिए $\P(k \text{ पर पहली चित}) = 2^{-k}$ , और जीतने की कुल [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) जाँचिए।
2. प्रत्याशित भुगतान निकालिए। $10$ उछालों की सीमा हटा दें तो वह क्या हो जाता?

**हल — अभ्यास 33.8.**

*1.* पहली चित उछाल $k$ पर आने का अर्थ है $k-1$ पट फिर चित: [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\left(\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac12 = 2^{-k}$, $1 \leq k \leq 10$ के लिए। जीतने की कुल [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\sum_{k=1}^{10} 2^{-k} = 1 - 2^{-10} = \frac{1023}{1024}$ (खेल केवल लगातार दस पटों पर हारा जाता है)।

*2.* प्रत्याशित भुगतान:

$$
\sum_{k=1}^{10} 2^k \cdot 2^{-k} = \sum_{k=1}^{10} 1 = 10 \text{ यूरो}.
$$

सीमा हटा दें तो योग $\sum_{k\geq1} 1$ अपसरित हो जाता है: प्रत्याशित भुगतान अनंत हो जाता है, यद्यपि खेल लगभग हमेशा छोटी-सी राशि ही देता है — यही प्रसिद्ध *सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास* है, जो दिखाता है कि अकेली [प्रत्याशा](#def-g12-randvar-exp) किसी खेल का मूल्य नहीं नाप सकती।

## 33.4 समस्या: अधिविक्रय वाली उड़ान

**समस्या 33.1.**

सप्ताहांत समस्या — विमान-कंपनियाँ सीटों से अधिक टिकट बेचती हैं, कारख़ाने मुश्किल से जाँची गई खेप स्वीकार कर लेते हैं, और द्विपद बंटन दोनों की पंचायत करता है

$100$ सीटों वाली कोई विमान-कंपनी ख़ुशी-ख़ुशी $105$ टिकट बेच देती है: लगभग $10\,\%$ यात्री कभी पहुँचते ही नहीं, और ख़ाली सीटें कुछ नहीं कमातीं। कंपनी कितनी दूर तक जा सकती है, इससे पहले कि वंचित यात्री उसका लाभ चट कर जाएँ? [द्विपद बंटन](#def-g12-randvar-binomial) ([प्रमेय 33.8](#thm-g12-randvar-binomial)) दशमलव तक उत्तर दे देता है — और वही मशीनरी कारख़ाने की खेप जाँचती है, पुरस्कार-लॉटरी का दाम लगाती है, और बीमाकर्ताओं को टिकाए रखती है। दोहराव के अधीन निर्णय: यही द्विपद की रोज़ की नौकरी है।

**भाग I — प्रवाह।**

1. पासे के तीन फेंकों में छक्कों की संख्या $X$ की पूरी बंटन-सारणी दीजिए।
2. $\E(X)$ और $V(X)$ निकालिए ( [परिभाषा 33.2](#def-g12-randvar-exp) )।
3. कोई दुकान तीन फेंकों के $1$ यूरो लेती है और हर छक्के पर $2$ यूरो देती है। प्रत्याशित लाभ निकालिए: क्या खेल न्यायसंगत है?
4. जाँच-सूची का अभ्यास ( [विधि 33.9](#met-g12-randvar-recognize) ): *बिना* वापसी के निकाले गए $5$ पत्तों में पान की संख्या क्या द्विपद है? और वापसी सहित? पुष्ट कीजिए।
5. $X \sim \mathcal B(20,\ 0.3)$ के लिए: $\E(X)$ और $\sigma(X)$ बताइए, फिर अंक $S = 5X - 10$ के लिए $\E(S)$ तथा $\sigma(S)$ ( [प्रतिज्ञप्ति 33.4](#prop-g12-randvar-affine) )।

**भाग II — अधिविक्रय वाली उड़ान।** सीटें: $100$। बिके टिकट: $105$। हर टिकटधारी [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) रूप से [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $0.9$ से पहुँचता है; मान लीजिए $X$ पहुँचने वालों की संख्या है।

6. प्रतिरूप: जाँच-सूची से $X \sim \mathcal B(105,\ 0.9)$ को पुष्ट कीजिए — और प्रतिरूप की सबसे कमज़ोर कड़ी स्वीकार कीजिए (क्या न-पहुँचना सचमुच [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) है? समूहों और तूफ़ानों के बारे में सोचिए)।
7. $\E(X)$ और $\sigma(X)$ निकालिए।
8. वंचन तब होता है जब $X \geq 101$ हो: $\P(X \geq 101)$ को पाँच द्विपद पदों के स्पष्ट योग के रूप में लिखिए।
9. योग का मान निकालिए (कैलकुलेटर): कितने अंश उड़ानों में कम से कम एक यात्री वंचित रह जाता है?
10. पैसा: पाँच अतिरिक्त टिकट $5 \times 200 = 1\,000$ यूरो लाते हैं; और हर वंचित यात्री पर $800$ यूरो का मुआवज़ा लगता है। वंचित यात्रियों की प्रत्याशित संख्या $\sum_{k=101}^{105} (k - 100)\,\P(X = k)$ , प्रत्याशित मुआवज़ा, और इस नीति पर फ़ैसला निकालिए।
11. रचना: नियामक $\P(\text{वंचन}) < 5\,\%$ तक सहन करता है। $n = 105, 106, 107, \dots$ टिकटों को जाँचकर सबसे बड़ा अनुमत $n$ ज्ञात कीजिए।
12. घंटी वाला छोटा रास्ता: $n = 105$ के लिए वंचन-सीमा $z = \frac{100.5 - \E(X)}{\sigma(X)}$ का [z-मान](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#pb-g11-stat-1) निकालिए, और मोटे अनुमान “लगभग $2\sigma$ , इसलिए ऊपरी पूँछ में क़रीब $2$ – $3\,\%$ ” की तुलना अपने यथार्थ उत्तर से कीजिए। (इस छोटे रास्ते के पीछे का वक्र आगे के अध्यायों का सितारा है।)

**भाग III — कारख़ाने का फाटक।** पुर्ज़ों की कोई खेप तभी स्वीकार होती है जब $20$ के [प्रतिदर्श](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) में अधिक से अधिक एक दोषपूर्ण पुर्ज़ा हो।

13. यदि सच्ची दोष-दर $2\,\%$ हो (ईमानदार खेप), तो स्वीकृति की [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) निकालिए।
14. यदि दर $10\,\%$ हो (ख़राब खेप), तो उसे फिर निकालिए।
15. इस प्रक्रिया के दोनों जोखिमों के नाम बताइए (ईमानदार खेप का अस्वीकार होना; ख़राब खेप का स्वीकार हो जाना), उनके मान प्रश्न 13–14 से पढ़िए, और बताइए कि कौन-सा एक बदलाव दोनों को एक साथ सुधार देता है — और किस क़ीमत पर।
16. सुधार के पीछे: दिखाइए कि $n$ आकार के [प्रतिदर्श](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) में प्रेक्षित दोष- *[आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series)* $\frac Xn$ का [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ है, और निष्कर्ष निकालिए कि यथार्थता प्रतिदर्श-आकार के साथ कैसे बढ़ती है (एक पुराना मित्र: कक्षा 10 का $\frac{1}{\sqrt n}$ )।

**भाग IV — खेल, लॉटरी, कोष।**

17. [अभ्यास 33.8](#exo-g12-randvar-8) के सीमा-बद्ध सेंट पीटर्सबर्ग खेल का प्रत्याशित भुगतान $10$ यूरो है। [समस्या 18.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#pb-g11-prob-1) में मिले असीमित विरोधाभास से एक अनुच्छेद में तुलना कीजिए: सीमा ठीक-ठीक किसे साध लेती है, और अब कौन-सा दाम न्यायसंगत होगा?
18. कोई परोपकारी लॉटरी $2$ यूरो के $200$ टिकट बेचती है; पुरस्कार: एक $100$ -यूरो और दो $50$ -यूरो की टोकरियाँ। किसी टिकट का प्रत्याशित लाभ और लॉटरी का लाभांश निकालिए; और यूरोपीय रूले के $\frac{1}{37} \approx 2.7\,\%$ जुआघर-लाभांश से तुलना कीजिए। लॉटरी इससे बच कैसे निकलती है?
19. किसी बीमाकर्ता के पास $1\,000$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) बीमा-पत्र हैं: हर एक पर दावे की [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $0.01$ , दावे का आकार $10\,000$ यूरो, और प्रीमियम $130$ यूरो। प्रत्याशित वार्षिक लाभ *और* कुल दावों का [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) निकालिए। दोनों संख्याओं की तुलना कीजिए: यह तुलना असली बीमाकर्ताओं को क्या रखने पर मजबूर कर देती है?
20. समापन — निर्णय के पंच के रूप में द्विपद: पहचान की जाँच-सूची; दिशा-सूई $\E \pm \sigma$ ; जोखिम की क़ीमत के रूप में पूँछ की [प्रायिकताएँ](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) ; और दो स्थायी चेतावनियाँ ( [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) प्रतिरूपण का दावा है, और विनाश [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) से नहीं, विरली पूँछों से आता है)। हर एक पर एक वाक्य, और यह संकेत: बृहत् संख्याओं का नियम और घंटी-वक्र, जो अगले अध्यायों में हैं, इस पंच की नियम-पुस्तिका पूरी कर देते हैं।

**हल — समस्या 33.1.**

**1.** $X \sim \mathcal B\!\left(3, \frac16\right)$: $\P(X = 0) = \frac{125}{216}$, $\P(X = 1) = \frac{75}{216}$, $\P(X = 2) = \frac{15}{216}$, $\P(X = 3) = \frac{1}{216}$।

**2.** $\E(X) = 3 \times \frac16 = \frac12$; $V(X) = 3 \times \frac16 \times \frac56 = \frac{5}{12}$।

**3.** $1$-यूरो के दाँव के सामने प्रत्याशित भुगतान $2\,\E(X) = 1$ यूरो: लाभ $0$ — ठीक न्यायसंगत (जो विरला है)।

**4.** बिना वापसी के निकाले परावलंबी होते हैं (दूसरे पत्ते की संभावनाएँ पहले पर निर्भर करती हैं): द्विपद नहीं — जाँच-सूची का [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) वाला ख़ाना ख़ाली रह जाता है। वापसी सहित: नियत $n = 5$, अचर $p = \frac14$, [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) निकाले: द्विपद।

**5.** $\E(X) = 6$, $\sigma(X) = \sqrt{4.2} \approx
2.05$। $\E(S) = 5 \times 6 - 10 = 20$; $\sigma(S) = 5\sigma(X) \approx 10.25$।

**6.** नियत $n = 105$ परीक्षण (टिकट), हर एक में एक ही $p = 0.9$ के साथ पहुँचना/न-पहुँचना, और [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) मान ली गई: द्विपद। और स्वीकारोक्ति: परिवार *एक साथ* उड़ान चूकते हैं और तूफ़ान पूरे विमान ख़ाली कर देते हैं — [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) प्रतिरूप की आस्था की छलाँग है, और सहसंबंधित न-पहुँचना पूँछों को द्विपद के वादे से मोटा कर देता है।

**7.** $\E(X) = 94.5$; $\sigma(X) = \sqrt{105 \times 0.9 \times 0.1} =
\sqrt{9.45} \approx 3.07$।

**8.** $\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{105}
\binom{105}{k} 0.9^k\, 0.1^{105 - k}$।

**9.** $\approx 0.0167$: लगभग साठ में एक उड़ान पर किसी न किसी को वंचित होना पड़ता है।

**10.** प्रति उड़ान $\E(\text{वंचित}) \approx 0.023$ यात्री: प्रत्याशित मुआवज़ा $\approx 19$ यूरो — और सामने $1\,000$ यूरो की अतिरिक्त आय। पाँच का अधिविक्रय भारी लाभदायक है; इसीलिए हर विमान-कंपनी यह करती है।

**11.** पूँछ-प्रायिकताओं की सारणी से: $n = 105$: $1.7\,\%$; $n = 106$: $4.0\,\%$; $n = 107$: $8.1\,\%$। नियमों पर खरी उतरने वाली सबसे बड़ी बिक्री $n = 106$ टिकट है।

**12.** $z = \frac{100.5 - 94.5}{3.07} \approx 1.95$: सीमा [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) से दो [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) ऊपर बैठी है, और घंटी-वक्र का मोटा नियम (“ऊपरी $2\sigma$ पूँछ $\approx 2.5\,\%$”) यथार्थ $1.7\,\%$ के पास आ गिरता है — द्विपद के पीछे छाया की तरह चलता चिकना वक्र ही आने वाले अध्यायों का नायक है।

**13.** $0.98^{20} + 20 \times 0.02 \times 0.98^{19}
\approx 0.94$: ईमानदार खेप $94\,\%$ बार पास हो जाती है।

**14.** $0.9^{20} + 20 \times 0.1 \times 0.9^{19}
\approx 0.39$: ख़राब खेप फिर भी $39\,\%$ बार निकल जाती है।

**15.** उत्पादक का जोखिम: अच्छी खेप का अस्वीकार ($\approx 6\,\%$); उपभोक्ता का जोखिम: ख़राब खेप का स्वीकार ($\approx 39\,\%$)। बड़ा [प्रतिदर्श](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) (और उसके अनुपात में स्वीकृति-सीमा) दोनों को सिकोड़ देता है — और क़ीमत अधिक निरीक्षण की होती है: गुणवत्ता की भी एक बजट-रेखा है।

**16.** $V\!\left(\frac Xn\right) = \frac{V(X)}{n^2} =
\frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}$: [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$। [प्रतिदर्श](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) चौगुना कीजिए, शोर आधा हो जाएगा: कक्षा 10 के उतार-चढ़ाव [अंतरालों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) का वही $\frac{1}{\sqrt n}$ वाला नियम, अब निकाला हुआ।

**17.** सीमा भुगतान को $2^{10} = 1024$ यूरो पर बाँध देती है, इसलिए दसों दौरों में से हर एक [प्रत्याशा](#def-g12-randvar-exp) में ठीक $1$ यूरो जोड़ता है: $\E = 10$। बिना सीमा वाले खेल की अनंत [प्रत्याशा](#def-g12-randvar-exp) पूरी तरह खगोलीय रूप से विरले और खगोलीय रूप से बड़े भुगतानों से आती थी; और सीमा लगाना यह स्वीकार कर लेना है कि कोई बैंक $2^{50}$ यूरो नहीं देता। सीमा-बद्ध खेल के लिए न्यायसंगत टिकट-दाम: $10$ यूरो — और अचानक किसी को कोई विरोधाभास नहीं रहता।

**18.** प्रति टिकट प्रत्याशित पुरस्कार-राशि: $2$-यूरो के टिकट के सामने $\frac{100 + 2 \times 50}{200} = 1$ यूरो: लाभांश $50\,\%$ — यानी रूले के $2.7\,\%$ का अठारह गुना। लॉटरी इसलिए बची रहती है कि उसके खिलाड़ी जान-बूझकर दान कर रहे होते हैं: वह “हानि” ही तो मक़सद है।

**19.** प्रत्याशित दावे: $1\,000 \times 0.01 \times
10\,000 = 100\,000$; प्रीमियम $130\,000$: प्रत्याशित लाभ $30\,000$ यूरो। कुल दावों का [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance): $10\,000 \times \sqrt{1\,000 \times 0.01 \times 0.99}
\approx 31\,500$ यूरो — एक साधारण बुरा वर्ष ही पूरा प्रत्याशित लाभ चट कर जाता है। इसीलिए पूँजी-कोष, पुनर्बीमा, और एक हज़ार बीमा-पत्रों से कहीं बड़े संचय: बीमाकर्ता बृहत् संख्याओं के नियम पर जीते हैं और उसकी धीमी चाल के विरुद्ध कोष रखते हैं।

**20.** पहले जाँच-सूची — नियत $n$, वही $p$, और [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) का *दावा* — वरना द्विपद है ही नहीं। फिर $\E \pm \sigma$ से दिशा तय कीजिए: [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) जगह बताते हैं, विचलन चेतावनी देते हैं। फिर पूँछों का दाम लगाइए: वंचन, ख़राब खेप और विनाशकारी वर्ष, सब $2\sigma$ से आगे रहते हैं। चेतावनियाँ: [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) प्रतिरूपकार का वादा है, संसार का नहीं; और [प्रत्याशा](#def-g12-randvar-exp) ठीक उसी को अनदेखा कर देती है जो आपको मिटा देता है। नियम-पुस्तिका के छूटे हुए पन्ने — आपेक्षिक बारंबारताएँ कितनी तेज़ी से जमती हैं, और उतार-चढ़ाव की आकृति क्या है — अगले दो अध्याय हैं।