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title: "यादृच्छिक चरों के योग और बृहत् संख्याओं का नियम"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 34
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/34-sums-of-random-variables-and-the-law-of-large-numbers
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# अध्याय 34 — यादृच्छिक चरों के योग और बृहत् संख्याओं का नियम

जुआघर अंत में हमेशा क्यों जीतते हैं, और सर्वेक्षण काम क्यों करते हैं? क्योंकि अनेक [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) यादृच्छिक राशियों के औसत कम से कम उतार-चढ़ाव करते हैं। यह अध्याय इसे सिद्ध करता है: [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) की रैखिकता, [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) चरों के लिए [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) की योज्यता, ब्येनेमे–चेबिशेव असमिका, और बृहत् संख्याओं का नियम।

## 34.1 यादृच्छिक चरों के योग

एक ही परिमित [प्रतिदर्श समष्टि](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-model) $\Omega$ पर दो [यादृच्छिक चर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-rv) $X, Y$ दिए होने पर योग $X + Y$ वह [यादृच्छिक चर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-rv) $\omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$ है।

**प्रमेय 34.1 (प्रत्याशा की रैखिकता).**

$\Omega$ पर सभी [यादृच्छिक चरों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-rv) $X, Y$ और $a, b \in \R$ के लिए:

$$
\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y), \qquad \E(aX + b) = a\E(X) + b .
$$

*इसके लिए [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) की कोई मान्यता आवश्यक नहीं है।*

**उपपत्ति.** [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) को परिणामों पर योग के रूप में लिखिए: चूँकि $\P(X = x) = \sum_{\omega : X(\omega) = x} \P(\{\omega\})$, इसलिए पद समूहित करने पर $\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} \P(\{\omega\})\,X(\omega)$ मिलता है। तब

$$
\E(X + Y) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})\bigl(X(\omega) + Y(\omega)\bigr)
= \sum_{\omega} \P(\{\omega\})X(\omega)
+ \sum_{\omega} \P(\{\omega\})Y(\omega) = \E(X) + \E(Y). \qedhere
$$

∎

**परिभाषा 34.2 (स्वतंत्र यादृच्छिक चर).**

$X$ और $Y$ *स्वतंत्र* हैं यदि सभी मानों $x, y$ के लिए

$$
\P(X = x \text{ और } Y = y) = \P(X = x)\,\P(Y = y).
$$

हो। कई चर $X_1, \dots, X_n$ स्वतंत्र हैं यदि यह गुणन-नियम हर उपपरिवार के हर मान-चयन के लिए सही हो।

**प्रतिज्ञप्ति 34.3.**

यदि $X$ और $Y$ [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) हों, तो $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$।

**उपपत्ति.**

$$
\begin{aligned}
\E(XY) &= \sum_{x, y} xy\;\P(X = x \text{ और } Y = y)
= \sum_{x, y} xy\,\P(X=x)\P(Y=y) \\
&= \Bigl(\sum_x x\P(X=x)\Bigr)\Bigl(\sum_y y\P(Y=y)\Bigr). \qedhere
\end{aligned}
$$

∎

**प्रमेय 34.4 (योग का प्रसरण).**

यदि $X$ और $Y$ *[स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep)* हों, तो

$$
\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y).
$$

और अधिक सामान्य रूप से, [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) $X_1, \dots, X_n$ के लिए $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n)$।

**उपपत्ति.** कोनिग–होयगेंस ([प्रतिज्ञप्ति 33.3](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#prop-g12-randvar-konig)) और रैखिकता का उपयोग करने पर:

$$
\begin{align*}
\V(X + Y) &= \E\bigl((X+Y)^2\bigr) - \bigl(\E X + \E Y\bigr)^2\\
&= \E(X^2) + 2\E(XY) + \E(Y^2)
- \E(X)^2 - 2\E(X)\E(Y) - \E(Y)^2\\
&= \V(X) + \V(Y) + 2\bigl(\E(XY) - \E(X)\E(Y)\bigr),
\end{align*}
$$

और [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) चरों के लिए अंतिम कोष्ठक लुप्त हो जाता है ([प्रतिज्ञप्ति 34.3](#prop-g12-sums-prodexp))। सामान्य स्थिति आगमन से निकलती है। ∎

**उदाहरण 34.5 (द्विपद पर फिर एक नज़र).**

कोई द्विपद चर $X \sim \mathcal B(n, p)$ $n$ [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) बर्नूली चरों का योग $X = X_1 + \dots + X_n$ है। अतः संरचनात्मक रूप से:

$$
\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p),
$$

जिससे बिना किसी गणना के [प्रमेय 33.8](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#thm-g12-randvar-binomial) फिर मिल जाता है।

**प्रतिज्ञप्ति 34.6 (प्रतिदर्श माध्य).**

मान लीजिए $X_1, \dots, X_n$ [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) हैं और सबका [बंटन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-rv) $X$ जैसा है ([प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $\mu$, [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2$), और $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ उनका *प्रतिदर्श माध्य* है। तब

$$
\E(M_n) = \mu, \qquad \V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad
\sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.
$$

**उपपत्ति.** रैखिकता से $\E(M_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu$; [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) से $\V(X_1 + \dots + X_n) = n\sigma^2$, और $n$ से भाग देने पर [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $\frac{1}{n^2}$ गुना हो जाता है ([प्रतिज्ञप्ति 33.4](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#prop-g12-randvar-affine))। ∎

$\frac{\sigma}{\sqrt n}$ ही मूलभूत *वर्गमूल नियम* है: किसी औसत के उतार-चढ़ाव आधे करने के लिए प्रतिदर्श-आकार चौगुना कीजिए।

![वर्गमूल नियम: प्रतिदर्श-आकार हर बार चौगुना करने पर माध्य का मानक विचलन केवल आधा होता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-sums/fig-6dba91820ddb.svg)

*वर्गमूल नियम: प्रतिदर्श-आकार हर बार चौगुना करने पर [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) का [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) केवल आधा होता है।*

## 34.2 संकेंद्रण की असमिकाएँ

**प्रमेय 34.7 (मार्कोव असमिका).**

यदि $X \geq 0$ और $a > 0$ हों, तो

$$
\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a}.
$$

**उपपत्ति.** $\E(X) = \sum_i p_i x_i$ में (सभी पद अऋणात्मक हैं) केवल वे पद रखिए जिनके लिए $x_i \geq a$ हो: हर एक कम से कम $a\,p_i$ है, इसलिए $\E(X) \geq a \sum_{x_i \geq a} p_i = a\,\P(X \geq a)$। ∎

**प्रमेय 34.8 (ब्येनेमे–चेबिशेव असमिका).**

किसी भी [यादृच्छिक चर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-rv) $X$ और किसी भी $\varepsilon > 0$ के लिए:

$$
\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.
$$

**उपपत्ति.** अऋणात्मक चर $Y = (X - \E(X))^2$ पर $a = \varepsilon^2$ के साथ मार्कोव असमिका लगाइए:

$$
\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr)
= \P(Y \geq \varepsilon^2)
\leq \frac{\E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}. \qedhere
$$

∎

![संकेंद्रण: ब्येनेमे–चेबिशेव इस प्रायिकता को (X)/ 2 से परिबद्ध कर देती है कि X पूँछों (लाल) में, यानी अपनी प्रत्याशा से कम से कम दूरी पर, जा गिरे।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-sums/fig-f1c91d470ce9.svg)

*संकेंद्रण: ब्येनेमे–चेबिशेव इस [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) को $\V(X)/\varepsilon^2$ से [परिबद्ध](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-bounded) कर देती है कि $X$ पूँछों (लाल) में, यानी अपनी [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) से कम से कम $\varepsilon$ दूरी पर, जा गिरे।*

**प्रमेय 34.9 (बृहत् संख्याओं का नियम).**

मान लीजिए $X_1, \dots, X_n$ [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) हैं और सबका [बंटन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-rv) एक ही है ([प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $\mu$, [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2$), और $M_n$ उनका [प्रतिदर्श माध्य](#prop-g12-sums-mean) है। तब हर $\varepsilon > 0$ के लिए:

$$
\P\bigl(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2}
\xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 .
$$

[प्रतिदर्श माध्य](#prop-g12-sums-mean) [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) के चारों ओर सिमट जाता है।

**उपपत्ति.** $M_n$ पर ब्येनेमे–चेबिशेव लगाइए, जिसकी [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $\mu$ और [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $\frac{\sigma^2}{n}$ है ([प्रतिज्ञप्ति 34.6](#prop-g12-sums-mean))। ∎

**टिप्पणी 34.10.**

यह प्रमेय प्रायिकता-सिद्धांत और सांख्यिकी के बीच का पुल है: अनेक [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) पुनरावृत्तियों पर किसी [घटना](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-model) की *[आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series)* उसकी *[प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution)* के पास पहुँच जाती है ($X_i$ को [घटना](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-model) का सूचक लीजिए, जिससे $\mu = p$)। यही अनुकरण से [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) आँकने (*मोंते कार्लो विधि*) और सर्वेक्षण से किसी समष्टि का अनुपात आँकने को उचित ठहराती है — और मात्रात्मक रूप से भी: [अध्याय 35](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/35-continuous-random-variables#ch-g12-contdist) देखिए।

**विधि 34.11 (ब्येनेमे–चेबिशेव का उपयोग).**

$\P(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon) \leq \alpha$ की गारंटी के लिए इतना पर्याप्त है कि $n \geq \frac{\sigma^2}{\alpha\,\varepsilon^2}$ हो। यह परिबंध मोटा है (वास्तविक उतार-चढ़ाव प्रायः कहीं छोटे होते हैं) पर पूरी तरह सार्वभौमिक: वह [बंटन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-rv) के बारे में परिमित [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) के सिवा कुछ नहीं माँगता।

## 34.3 अभ्यास

**अभ्यास 34.1 ★.**

दो न्यायसंगत पासे फेंके जाते हैं; मान लीजिए $S$ उनका योग है। रैखिकता से ($S$ के [बंटन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-rv) से नहीं!) $\E(S)$ निकालिए; फिर [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) से $\V(S)$ निकालिए, यह दिया होने पर कि एक न्यायसंगत पासे का [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $\frac{35}{12}$ है।

**हल — अभ्यास 34.1.**

हर पासे की [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$ है, इसलिए रैखिकता से $\E(S) = \frac72 + \frac72 = 7$। पासे [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) हैं, अतः $\V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.83$।

**अभ्यास 34.2 ★.**

मान लीजिए $X \sim \mathcal B(100,\ 0.5)$ है। मार्कोव असमिका से $\P(X \geq 75)$ और ब्येनेमे–चेबिशेव से $\P(\abs{X - 50} \geq 25)$ [परिबद्ध](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-bounded) कीजिए। तुलना कीजिए।

**हल — अभ्यास 34.2.**

$\E(X) = 50$ और $\V(X) = 100 \times 0.25 = 25$।

मार्कोव ($X \geq 0$): $\P(X \geq 75) \leq \frac{50}{75} = \frac23$।

ब्येनेमे–चेबिशेव: $\P(\abs{X - 50} \geq 25) \leq \frac{25}{25^2} = 0.04$ — और यह तो *द्विपक्षीय* [घटना](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-model) को [परिबद्ध](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-bounded) करता है, जिसका आधा हिस्सा $X \geq 75$ है। यहाँ चेबिशेव कहीं पैना है क्योंकि वह केवल [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) नहीं, [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) का भी उपयोग करता है। ($\P(X \geq 75)$ का सच्चा मान $10^{-6}$ से छोटा है: दोनों परिबंध मोटे हैं।)

**अभ्यास 34.3 ★.**

कोई न्यायसंगत सिक्का $n$ बार उछाला जाता है और $F_n$ चितों की [आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) है। $n$ कितना बड़ा होना चाहिए कि ब्येनेमे–चेबिशेव परिबंध से $\P\bigl(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\bigr) \leq 0.05$ हो जाए?

**हल — अभ्यास 34.3.**

$F_n$ $\left(\frac12\right)$ वाले $n$ बर्नूली चरों का [प्रतिदर्श माध्य](#prop-g12-sums-mean) है, जिनका [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2 = \frac14$ है। परिबंध

$$
\P\left(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\right)
\leq \frac{1/4}{n \times 0.05^2} = \frac{100}{n}
$$

$n \geq 2000$ होते ही $\leq 0.05$ हो जाता है।

**अभ्यास 34.4 ★★.**

कोई निवेशक अपनी पूँजी $n$ [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) परिसंपत्तियों में बराबर बाँट देती है, और हर एक का प्रत्याशित प्रतिफल $\mu = 5\%$ तथा [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) $\sigma = 20\%$ है। निवेश-संचय के प्रतिफल $M_n$ की [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) और [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) निकालिए, और [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) को $4\%$ से नीचे लाने के लिए आवश्यक परिसंपत्तियों की संख्या भी। यह किस वित्तीय सिद्धांत को दर्शाता है?

**हल — अभ्यास 34.4.**

[प्रतिज्ञप्ति 34.6](#prop-g12-sums-mean) से $\E(M_n) = 5\%$ (विविधीकरण प्रत्याशित प्रतिफल नहीं बदलता) और $\sigma(M_n) = \frac{20\%}{\sqrt n}$। $\frac{20}{\sqrt n} < 4$ माँगने पर $\sqrt n > 5$, *अर्थात्* $n \geq 26$ मिलता है। यही *विविधीकरण* का सिद्धांत है: पूँजी को [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) जोखिमों पर फैला देने से जोखिम ([मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance)) $\sqrt n$ से बँट जाता है और प्रत्याशित प्रतिफल घटता नहीं।

**अभ्यास 34.5 ★★.**

मान लीजिए $X$ और $Y$ [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) हैं और दोनों $\{1, 2, 3\}$ पर एकसमान हैं।

1. $S = X + Y$ का [बंटन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-rv) बताइए और उसी से सीधे $\E(S)$ , $\V(S)$ निकालिए।
2. दोनों मान रैखिकता और [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) की योज्यता से फिर पाइए।

**हल — अभ्यास 34.5.**

*1.* $9$ समसंभावी युग्मों को गिनने पर: $S$ मान $2, 3, 4, 5, 6$ लेता है, जिनकी [प्रायिकताएँ](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac19, \frac29, \frac39, \frac29, \frac19$ हैं। अतः $\E(S) = \frac{2 + 6 + 12 + 10 + 6}{9} = 4$ और $\E(S^2) = \frac{4 + 18 + 48 + 50 + 36}{9} = \frac{156}{9} = \frac{52}{3}$, इसलिए $\V(S) = \frac{52}{3} - 16 = \frac43$।

*2.* एक चर के लिए: $\E(X) = 2$, $\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9}{3} = \frac{14}{3}$, $\V(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23$। तब $\E(S) = 2 + 2 = 4$ और, [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) से, $\V(S) = \frac23 + \frac23 = \frac43$। वही मान।

**अभ्यास 34.6 ★★.**

दिखाइए कि [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) के बिना [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) की योज्यता टूट सकती है: $Y = X$ के लिए $\V(X + Y)$ निकालिए और $\V(X) + \V(Y)$ से तुलना कीजिए। किन चरों $X$ के लिए $\V(2X) = 2\V(X)$ होता है?

**हल — अभ्यास 34.6.**

$Y = X$ के साथ: $\V(X + Y) = \V(2X) = 4\V(X)$, जबकि $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X)$। दोनों केवल तभी मेल खाते हैं जब $\V(X) = 0$ हो, *अर्थात्* जब $X$ अचर हो — इसलिए योज्यता सचमुच [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) माँगती है (यहाँ $X$ स्वयं पर [अधिकतम](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) रूप से निर्भर है)।

**अभ्यास 34.7 ★★.**

किसी पासे पर भारित होने का संदेह है। उसे $1200$ बार फेंका जाता है और वह $260$ बार छक्का दिखाता है ($\frac16 \approx 0.1667$ के बजाय $f = 0.2167$)। पासे के न्यायसंगत होने की परिकल्पना के अधीन ब्येनेमे–चेबिशेव से $\P\bigl(\abs{F_n - \frac16} \geq 0.05\bigr)$ [परिबद्ध](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-bounded) कीजिए, और चर्चा कीजिए कि न्यायसंगतता की परिकल्पना विश्वसनीय है या नहीं।

**हल — अभ्यास 34.7.**

न्यायसंगतता के अधीन $F_n$ $p = \frac16$, $\sigma^2 = \frac16\cdot\frac56 = \frac{5}{36}$ वाले $n = 1200$ बर्नूली चरों का [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) है:

$$
\P\left(\abs{F_n - \tfrac16} \geq 0.05\right)
\leq \frac{5/36}{1200 \times 0.0025} = \frac{5}{108} \approx 0.046 .
$$

प्रेक्षित विचलन ठीक $0.05$ है: ऐसी [घटना](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-model) जिसे न्यायसंगत पासा अधिक से अधिक $4.6\%$ [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) से देता है — और चूँकि चेबिशेव बहुत ही रूढ़िवादी है, सच्ची [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) कहीं छोटी है। न्यायसंगतता की परिकल्पना विश्वसनीय नहीं है; पासा बहुत संभवतः भारित है।

**अभ्यास 34.8 ★★★.**

*(सिक्के के लिए एक बेहतर असमिका.)* मान लीजिए $X \sim \mathcal B(n,\ p)$ और $F_n = \frac Xn$ हैं।

1. दिखाइए कि $p \in \intcc{0}{1}$ के लिए $p(1-p) \leq \frac14$ है।
2. बंटन-निरपेक्ष परिबंध $\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq  \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ निकालिए।
3. इस परिबंध का उपयोग करके बताइए कि कितने लोगों का सर्वेक्षण करना पड़ेगा ताकि प्रेक्षित [आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) कम से कम $95\%$ [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) से सच्चे अनुपात के $3$ अंक के भीतर रहे? (असली सर्वेक्षण अधिक पैने आकलन काम में लाते हैं, पर परिमाण की कोटि यही है।)

**हल — अभ्यास 34.8.**

*1.* $p(1-p) = \frac14 - \left(p - \frac12\right)^2 \leq \frac14$।

*2.* $F_n$ की [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $p$ और [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $\frac{p(1-p)}{n} \leq \frac{1}{4n}$ है; ब्येनेमे–चेबिशेव देता है

$$
\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2},
$$

जो अज्ञात $p$ चाहे जो हो, वैध रहता है।

*3.* $\varepsilon = 0.03$ और स्तर $0.05$ के साथ:

$$
\frac{1}{4n(0.03)^2} \leq 0.05
\iff n \geq \frac{1}{4 \times 0.0009 \times 0.05} \approx 5556 .
$$

इस मोटे परिबंध से लगभग $5600$ लोग पर्याप्त हैं (चिरपरिचित प्रसामान्य-सन्निकटन वाला उत्तर $1100$ के पास है, [अध्याय 35](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/35-continuous-random-variables#ch-g12-contdist) देखिए)।

## 34.4 समस्या: जुआघर हमेशा जीतता है

**समस्या 34.1.**

सप्ताहांत समस्या — बृहत् संख्याओं का नियम जुआघरों, सर्वेक्षणों और बीमे की व्याख्या कर देता है, और रास्ते में जुआरी की भ्रांति ध्वस्त कर देता है

$100$ चक्करों के बाद कोई रूले खिलाड़ी लगभग आधी बार *आगे* ही होता है। पर दस लाख चक्कर चलाने वाला जुआघर इतनी निश्चितता से आगे होता है कि कोई अदालत सवाल न उठाए। वही खेल, वही नन्ही बढ़त — अंतर $\sqrt n$ का है, और यही इस अध्याय का विषय है ([प्रतिज्ञप्ति 34.6](#prop-g12-sums-mean), [प्रमेय 34.8](#thm-g12-sums-chebyshev), [प्रमेय 34.9](#thm-g12-sums-lln))। यह समस्या जुआघर का बही-खाता चलाती है, किसी चुनाव-सर्वेक्षण का आकार तय करती है, विविधीकरण का दाम लगाती है — और जुए के इतिहास की सबसे महँगी भ्रांति को ढहा देती है।

**भाग I — प्रवाह।**

1. दो [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) पासे: $V(X + Y)$ निकालिए ( [प्रमेय 34.4](#thm-g12-sums-variance) )।
2. $100$ [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) पासे फेंकिए और परिणामों का औसत लीजिए: [प्रतिदर्श माध्य](#prop-g12-sums-mean) की [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) और [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) बताइए ( [प्रतिज्ञप्ति 34.6](#prop-g12-sums-mean) ; एक पासे के लिए $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1.71$ )।
3. किसी अऋणात्मक [यादृच्छिक चर](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-rv) की [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $2$ है। मार्कोव असमिका ( [प्रमेय 34.7](#thm-g12-sums-markov) ) $\P(X \geq 10)$ के बारे में क्या कहती है?
4. प्रश्न 2 के पासों वाले औसत के लिए ब्येनेमे–चेबिशेव से $\P\left(\abs{\bar X_{100} - 3.5} \geq  0.5\right)$ [परिबद्ध](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-bounded) कीजिए।
5. प्रत्याशाएँ सदा जुड़ती हैं, [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) केवल [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) के अधीन: ऐसे परावलंबी $X, Y$ दीजिए (संकेत: $Y = -X$ ) जिनके लिए $V(X + Y) \neq V(X) + V(Y)$ हो।

**भाग II — जुआघर का बही-खाता।** यूरोपीय रूले, लाल पर $1$ यूरो का दाँव: [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac{18}{37}$ से $+1$ की जीत और [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac{19}{37}$ से $-1$ की हार।

6. एक दाँव के लाभ की [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) और [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) निकालिए।
7. कोई जुआरी $100$ [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) दाँव लगाता है; मान लीजिए $G$ कुल लाभ है। $\E(G)$ और $\sigma(G)$ निकालिए, फिर अनुपात $\frac{\abs{\E(G)}}{\sigma(G)}$ । एक चौथाई [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) का बहाव आज रात जुआरी के आगे रहने की संभावनाओं के लिए क्या अर्थ रखता है?
8. जुआघर $1\,000\,000$ दाँव देखता है। उसकी कुल वसूली की [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) और [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) तथा वही अनुपात निकालिए। संख्या $27$ की व्याख्या कीजिए।
9. चेबिशेव से प्रमाणित कीजिए: दस लाख दाँवों पर जुआघर के पैसे *गँवाने* की [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) [परिबद्ध](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-bounded) कीजिए।
10. दाँव लगाने की पद्धतियाँ: हारने पर दुगुना करना, आगे होते ही उठ जाना … (संभवतः यादृच्छिक) दाँव-क्रम पर [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) की रैखिकता ( [प्रमेय 34.1](#thm-g12-sums-linearity) ) लगाकर समझाइए कि ऋणात्मक-बढ़त वाले खेल में *हर* रणनीति का प्रत्याशित लाभ ऋणात्मक क्यों होता है — कोई जिताऊ पद्धति किस बात का उल्लंघन करेगी?
11. बताइए कि बृहत् संख्याओं का नियम ( [प्रमेय 34.9](#thm-g12-sums-lln) ) लाल की [आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) के बारे में क्या वादा करता है — और लगातार दस लाल आने के बाद अगले चक्कर के बारे में वह क्या वादा *नहीं* करता। भ्रांति का नाम बताइए।
12. सबसे सूक्ष्म बात: नियम *तनुकरण* से काम करता है, भरपाई से नहीं। यदि किसी शाम के बाद लाल [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) से $100$ आगे चल रहे हों, तो वह अधिशेष कभी “लौटाया” नहीं जाता — इसके बदले $n = 10^6$ पर *अंश* $\frac{100}{n}$ का क्या होता है, यह निकालिए, और जुआरी की भ्रांति की भूल एक वाक्य में फिर से लिखिए।

**भाग III — सर्वेक्षण।**

13. [अभ्यास 34.8](#exo-g12-sums-8) से: बंटन-निरपेक्ष चेबिशेव परिबंध के अनुसार कितने लोगों का सर्वेक्षण करना पड़ेगा ताकि प्रेक्षित [आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) कम से कम $95\,\%$ [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) से सत्य के $3$ अंक के भीतर रहे?
14. असली सर्वेक्षण संस्थान $95\,\%$ पर $\pm 3$ -अंक की सीमा के लिए लगभग $1\,100$ लोग लेते हैं: उनका सूत्र $p(1-p) \leq \frac14$ के साथ $n \approx \frac{1.96^2 \times p(1-p)}  {\varepsilon^2}$ है। उसका मान निकालिए, और प्रश्न 13 से अंतर समझाइए (उतार-चढ़ाव की आकृति के बारे में चेबिशेव क्या नहीं जानता?)।
15. त्रुटि-सीमा आधी करने के लिए [प्रतिदर्श](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) कितना बढ़ाना पड़ेगा? $1\,100$ पर $\pm 3$ अंक से चलकर कौन-सा [प्रतिदर्श](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) $\pm 1.5$ अंक देता है?
16. चिरपरिचित उलटबाँसी: आवश्यक प्रतिदर्श-आकार ने कभी समष्टि का आकार काम में लिया ही नहीं — किसी नगर के लिए भी और किसी महाद्वीप के लिए भी $1\,100$ लोग पर्याप्त हैं। प्रतिरूप में वह जगह बताइए जहाँ समष्टि का आकार अनुपस्थित है, और सर्वेक्षक जो रसोई वाली उपमा देते हैं वह भी।

**भाग IV — विविधीकरण।**

17. [समस्या 33.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#pb-g12-randvar-1) का बीमाकर्ता $n$ बीमा-पत्रों पर [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) में $30n$ यूरो कमाता है, जबकि दावों का [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) लगभग $315\sqrt n$ है। किस $n$ के लिए प्रत्याशित लाभ अंततः दावों के एक [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) से आगे निकल जाता है? $\sqrt n$ बीमाकर्ता के लिए क्या कर रहा है?
18. किसी एक शेयर का वार्षिक प्रतिफल $\sigma = 20\,\%$ के साथ उतार-चढ़ाव करता है। पैसा $25$ ऐसे *[स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep)* शेयरों में बराबर बाँट दीजिए: निवेश-संचय का $\sigma$ निकालिए। वित्त विविधीकरण को इकलौती मुफ़्त की दावत कहता है — वह दावत ठीक-ठीक क्या है?
19. अब मान लीजिए $25$ शेयर पूरी तरह सहसंबंधित हैं (सब एक साथ चलते हैं): तब निवेश-संचय का $\sigma$ क्या है? दोनों छोरों की तुलना कीजिए और बताइए कि विविधीकरण का हर तर्क चुपके से कौन-सी मान्यता उधार लेता है — और 2008 में जब वह पूरे तंत्र में टूट गई तब क्या हुआ।
20. समापन — $\sqrt n$ की संगीत-रचना: योग $\sqrt n$ की तरह उतार-चढ़ाव करते हैं जबकि उनके [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) $\frac{1}{\sqrt n}$ की तरह जमते जाते हैं; इस मुख्य स्वर को इस समस्या के चारों उद्योगों (जुआघर, सर्वेक्षण, बीमा, निवेश-संचय) में बजाइए, दोनों स्थायी दुरुपयोगकर्ताओं के नाम बताइए (जुआरी की भ्रांति और नक़ली [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) ), और आगे का संकेत दीजिए: उतार-चढ़ाव की *आकृति* — घंटी — अगले अध्याय का [संतत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) सितारा है, और उसकी पूरी प्रमेय स्नातक खंडों का ताज है।

**हल — समस्या 34.1.**

**1.** $V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} +
\frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ ([स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep))।

**2.** $\E(\bar X) = 3.5$; $\sigma(\bar X) = \frac{1.71}{\sqrt{100}} \approx 0.17$: सौ पासों का औसत $3.5$ से पाँचवें हिस्से भर अंक के भीतर चिपका रहता है।

**3.** $\P(X \geq 10) \leq \frac{2}{10} = 0.2$।

**4.** $\P \leq \frac{V(\bar X)}{0.5^2} =
\frac{35/1200}{0.25} \approx 0.117$: अधिक से अधिक लगभग $12\,\%$।

**5.** $Y = -X$ के साथ: $V(X + Y) = V(0) = 0$, जबकि $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$: पूरी तरह विपरीत-सहसंबंधित चर एक-दूसरे को काट देते हैं — [प्रसरण](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) का जुड़ना [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) का विशेषाधिकार है।

**6.** $\E = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} =
-\frac{1}{37} \approx -0.027$; $\sigma = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{37}\right)^2} \approx
1.00$।

**7.** $\E(G) = -2.70$, $\sigma(G) = 10 \times 1.00 =
10$: बहाव केवल $0.27\sigma$ है। रात का शोर बढ़त को बौना कर देता है — जुआरियों का एक बड़ा अल्पमत (घंटी के अनुसार मोटे तौर पर $40\,\%$) जीतकर बाहर निकलता है, और ठीक यही उन्हें लौटाता रहता है।

**8.** जुआघर की वसूली: [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) $+27\,027$ यूरो, [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) $\approx 1\,000$: लाभ शून्य से $27$ [मानक विचलन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) ऊपर बैठा है। $27\sigma$ पर “जुआघर इस वर्ष हार भी सकता है” कोई जोखिम नहीं, केवल पूर्णांकन की त्रुटि है।

**9.** जुआरियों के लिए $\P(\text{हानि}) = \P(G \geq 27\,027$ $)$ $\leq \frac{10^6 \times 1}{27\,027^2} \approx
0.0014$: पुस्तक की सबसे भोंथरी असमिका भी जुआघर को $99.86\,\%$ पर गारंटी दे देती है — सच्चाई तो खगोलीय रूप से और भी मज़बूत है।

**10.** दाँव पर लगा हर यूरो, चाहे कभी और चाहे कैसे भी चुना गया हो, अपना $-\frac{1}{37}$ प्रत्याशित प्रतिफल देता है; और रैखिकता से कुल प्रत्याशित लाभ $-\frac{1}{37} \times
(\text{कुल दाँव})$ है, जो कुछ भी दाँव पर लगाने वाली हर रणनीति के लिए ऋणात्मक है। कोई जिताऊ पद्धति [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) की रैखिकता का उल्लंघन करेगी — बुरे दाँवों को चतुराई से क्रम में लगाने से वे अच्छे नहीं हो जाते। (दुगुना करने वाली पद्धतियाँ बस अनेक छोटी जीतें देकर विरली विनाशकारी हार ख़रीदती हैं।)

**11.** प्रमेय: $n$ चक्करों पर लाल की *[आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series)* ([प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) में) $\frac{18}{37}$ पर [अभिसरित](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/20-sequences#def-g12-seq-limit) होती है। वह चक्कर $n + 1$ के बारे में कुछ नहीं कहती: पहिये की कोई स्मृति नहीं है, और दस लाल के बाद भी लाल की संभावना $\frac{18}{37}$ ही रहती है। इसके उलट मानना ही *जुआरी की भ्रांति* है, और प्रश्न 12 दिखाता है कि शृंखलाओं के साथ असल में होता क्या है।

**12.** $100$ लालों का अधिशेष लौटाया नहीं जाता — आगे के चक्कर न्यायसंगत प्रतियाँ हैं और प्रत्याशित अधिशेष $100$ ही रहता है। पर $\frac{100}{10^6} = 0.0001$: एक अंक का सौवाँ हिस्सा। भ्रांति की भूल एक वाक्य में: *बृहत् संख्याओं का नियम बीते संयोगों को नए परीक्षणों के महासागर में घोल देता है; वह पहिये को क़र्ज़ वसूलने कभी नहीं भेजता।*

**13.** $n \geq \frac{1}{4 \times 0.05 \times 0.03^2}
\approx 5\,556$ लोग।

**14.** $\frac{1.96^2 \times 0.25}{0.03^2} \approx
1\,067$: पाँच गुना कम। चेबिशेव *हर* [बंटन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-rv) के लिए सही रहता है और अपनी सार्वभौमिकता की क़ीमत ढील देकर चुकाता है; सर्वेक्षकों का अचर $1.96$ उतार-चढ़ाव की असली घंटी-आकृति से आता है, जो कहीं कसकर सिमटती है।

**15.** सीमा $\propto \frac{1}{\sqrt n}$: उसे आधा करने पर [प्रतिदर्श](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) चौगुना हो जाता है — $\pm 1.5$ अंकों के लिए लगभग $4\,400$ लोग। यथार्थता वर्ग वाली क़ीमत पर ख़रीदी जाती है।

**16.** प्रतिरूप सफलता-प्रायिकता $p$ वाले $n$ [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) निकाले हैं — और समष्टि का आकार $N$ कहीं आता ही नहीं (किसी बड़ी, अच्छी तरह मिली हुई समष्टि के नन्हे अंश का प्रतिदर्शन ही तो [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) में समाया है)। सर्वेक्षकों की उपमा: सूप चखने के लिए एक अच्छी तरह हिलाया हुआ चम्मच पर्याप्त है — चाहे पतीला दस लोगों का हो या दस हज़ार का। पेंच हिलाने में है — अभिनत प्रतिदर्श-ढाँचा, जैसा माध्यमिक विद्यालय खंड के उस सर्वेक्षण में था जिसने पूरे देश को छका दिया — पतीले में नहीं।

**17.** $315\sqrt n < 30n \iff \sqrt n > 10.5 \iff
n > 110$: सौ बीमा-पत्रों से आगे बहाव शोर से आगे निकल जाता है, और हर अगला बीमा-पत्र $\sqrt n$ वाले नियम से अंतर और चौड़ा कर देता है — साझा करना *ही* यह धंधा है।

**18.** [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) बराबर हिस्से: $\sigma_{\text{pf}} =
\frac{20\,\%}{\sqrt{25}} = 4\,\%$: वही प्रत्याशित प्रतिफल, और उतार-चढ़ाव पाँचवाँ हिस्सा। दावत यही है: [प्रत्याशा](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution#def-g12-randvar-exp) में शून्य क़ीमत पर जोखिम-कमी — [स्वतंत्र](#def-g12-sums-indep) यादृच्छिकता का औसत ले लेना।

**19.** पूरी तरह सहसंबंधित: निवेश-संचय $25$ वेशों में एक ही शेयर है: $\sigma = 20\,\%$, कोई कमी नहीं। विविधीकरण *[स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep)* किराए पर लेता है; और जब कोई संकट सब कुछ सहसंबंधित कर देता है (2008: मकानों के सारे दाँव एक ही दाँव थे), तब $\sqrt n$ वाला कवच ठीक उसी समय उड़ जाता है जब उसकी सबसे अधिक ज़रूरत होती है।

**20.** योग $n$ की तरह बहते हैं और $\sqrt n$ की तरह उतार-चढ़ाव करते हैं, इसलिए [माध्य](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) $\frac{1}{\sqrt n}$ की तरह जम जाते हैं: जुआघर दस लाख चक्करों पर बहाव जमा कर लेता है; सर्वेक्षक फ़ोन के बजट में $\frac{1}{\sqrt{1100}}$ का शोर ख़रीद लेता है; बीमाकर्ता $n > 110$ पर अपने ही दावों से आगे निकल जाता है; और निवेशक जोखिम को $\sqrt{25}$ से बाँट लेता है। दुरुपयोगकर्ता: वह जुआरी जो क़र्ज़ में विश्वास करता है (वहाँ केवल तनुकरण है), और वह वित्तकर्मी जो [स्वतंत्रता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) में विश्वास करता है (वहाँ कभी-कभी केवल एक ही दाँव होता है)। उतार-चढ़ाव की सार्वभौमिक आकृति — घंटी — [संतत](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) अध्याय का सितारा है, और उसकी प्रमेय, केंद्रीय सीमा प्रमेय, स्नातक खंडों की [प्रायिकता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) का शिखर।