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title: "सदिश"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 6
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/6-vectors
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# अध्याय 6 — सदिश

[सदिश](#def-g10-vectors-vector) एक विस्थापन को समेटता है: एक दिशा और एक लंबाई, आरंभिक बिंदु चाहे जो हो। [सदिश](#def-g10-vectors-vector) ज्यामितीय तथ्यों की स्वच्छ उपपत्तियाँ देते हैं और, जैसे ही [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) चित्र में आते हैं, उन्हें छोटी-छोटी गणनाओं में बदल देते हैं। [अध्याय 7](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/7-equations-of-lines-and-linear-systems#ch-g10-lines) में और आगे चलकर [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/16-the-scalar-product-in-the-plane#ch-g11-scal) के अदिश गुणनफल के लिए वे एक प्रमुख औज़ार होंगे।

## 6.1 स्थानांतरण और सदिश

**परिभाषा 6.1 (सदिश).**

दो बिंदु $A$ और $B$ दिए होने पर *सदिश* $\vect{AB}$ $A$ से $B$ तक के विस्थापन को दर्शाता है: उसकी एक *दिशा* होती है (रेखा $(AB)$ की दिशा, और उस पर चलने का ढंग, $A$ से $B$ की ओर) और एक *लंबाई* (दूरी $AB$, जिसे $\norm{\vect{AB}}$ भी लिखते हैं)। दो सदिश *बराबर* तब होते हैं जब वे एक ही विस्थापन समेटते हों: $\vect{AB} = \vect{CD}$ का अर्थ है कि दोनों विस्थापनों को किसी भी बिंदु पर लगाने से एक ही परिणाम मिलता है।

**प्रतिज्ञप्ति 6.2 (बराबर सदिश और समांतर चतुर्भुज).**

$\vect{AB} = \vect{CD}$ ठीक तब है जब $ABDC$ (इसी क्रम में!) समांतर चतुर्भुज हो, चाहे वह चपटा ही क्यों न हो — अर्थात् तब जब $[AD]$ और $[BC]$ का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) एक ही हो।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![बराबर सदिश AB = CD: वही दिशा, वही ढंग, वही लंबाई। चतुर्भुज ABDC समांतर चतुर्भुज है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-999585eecc93.svg)

*बराबर [सदिश](#def-g10-vectors-vector) $\vect{AB} = \vect{CD}$: वही दिशा, वही ढंग, वही लंबाई। चतुर्भुज $ABDC$ समांतर चतुर्भुज है।*

**संकेतन 6.3.**

जब सिरों से कोई मतलब न हो तब [सदिश](#def-g10-vectors-vector) को प्रायः एक ही अक्षर से नाम दिया जाता है, $\vec u$ या $\vec v$। *शून्य [सदिश](#def-g10-vectors-vector)* $\vec 0 = \vect{AA}$ वह विस्थापन है जो किसी को हिलाता नहीं। $\vect{AB}$ का *विपरीत* $\vect{BA}$ है: वही लंबाई, उल्टा ढंग। हम $\vect{BA} = -\vect{AB}$ लिखते हैं।

## 6.2 सदिशों का योग

**परिभाषा 6.4 (दो सदिशों का योग).**

*योग* $\vec u + \vec v$ वह विस्थापन है जो पहले $\vec u$ और फिर $\vec v$ करने से मिलता है।

**प्रमेय 6.5 (शाल का संबंध).**

किन्हीं तीन बिंदुओं $A$, $B$, $C$ के लिए:

$$
\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.
$$

**उपपत्ति.** $A$ से $B$ तक और फिर $B$ से $C$ तक जाना ऐसा विस्थापन है जो $A$ को $C$ तक ले जाता है: यही विस्थापन $\vect{AC}$ समेटता है। ∎

**टिप्पणी 6.6 (समांतर चतुर्भुज नियम).**

एक ही बिंदु से खींचे गए दो [सदिशों](#def-g10-vectors-vector) $\vect{AB} + \vect{AC}$ को जोड़ने के लिए समांतर चतुर्भुज $ABDC$ पूरा कीजिए: [योग](#def-g10-vectors-sum) विकर्ण $\vect{AD}$ है। सचमुच $\vect{AC} = \vect{BD}$, इसलिए शाल के संबंध से $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$।

![योग के दो चित्र: सिरे-से-पुच्छ (शाल का संबंध, बाएँ) और समांतर चतुर्भुज नियम (दाएँ)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-3ca1613ca043.svg)

![योग के दो चित्र: सिरे-से-पुच्छ (शाल का संबंध, बाएँ) और समांतर चतुर्भुज नियम (दाएँ)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-3828ee349c85.svg)

*[योग](#def-g10-vectors-sum) के दो चित्र: सिरे-से-पुच्छ (शाल का संबंध, बाएँ) और समांतर चतुर्भुज नियम (दाएँ)।*

**उदाहरण 6.7 (शाल से सरल करना).**

$\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$ को सरल कीजिए: विस्थापनों को जोड़ते जाने पर $\vect{MQ}$ मिलता है। $\vect{AB} - \vect{AC}$ को सरल कीजिए: अंतर को विपरीत [सदिश](#def-g10-vectors-vector) के साथ [योग](#def-g10-vectors-sum) के रूप में फिर से लिखिए,

$$
\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA}
= \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.
$$

## 6.3 सदिश को संख्या से गुणा करना

**परिभाषा 6.8 (अदिश गुणज).**

मान लीजिए $\vec u$ एक शून्येतर [सदिश](#def-g10-vectors-vector) है और $k$ एक [वास्तविक संख्या](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets)। [सदिश](#def-g10-vectors-vector) $k\vec u$ की दिशा $\vec u$ जैसी है, लंबाई $\abs{k} \times \norm{\vec u}$ है, और उसका ढंग $\vec u$ जैसा है यदि $k > 0$ हो, और उल्टा यदि $k < 0$ हो। $k = 0$ के लिए $0\vec u = \vec 0$।

**परिभाषा 6.9 (संरेखता).**

दो [सदिश](#def-g10-vectors-vector) $\vec u$ और $\vec v$ *संरेखी* तब कहलाते हैं जब उनकी दिशा एक ही हो, अर्थात् जब किसी वास्तविक $k$ के लिए $\vec v = k \vec u$ हो (या उनमें से एक $\vec 0$ हो)।

**टिप्पणी 6.10.**

संरेखता समांतरता और संरेखण की सदिश-भाषा है:

- रेखाएँ $(AB)$ और $(CD)$ समांतर ठीक तब हैं जब $\vect{AB}$ और $\vect{CD}$ [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) हों;
- बिंदु $A$ , $B$ , $C$ संरेख ठीक तब हैं जब $\vect{AB}$ और $\vect{AC}$ [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) हों।

## 6.4 सदिशों के निर्देशांक

**परिभाषा 6.11 (सदिश के निर्देशांक).**

किसी [निर्देशांक-पद्धति](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) में [सदिश](#def-g10-vectors-vector) $\vect{AB}$ के *[निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system)* वे संख्याएँ हैं जो विस्थापन का वर्णन करती हैं:

$$
\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).
$$

[सदिश](#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(a, b)$ हर बिंदु को क्षैतिज दिशा में $a$ मात्रक और ऊर्ध्वाधर दिशा में $b$ मात्रक हटा देता है।

**प्रतिज्ञप्ति 6.12 (निर्देशांकों के साथ गणना).**

मान लीजिए $\vec u\,(a, b)$ और $\vec v\,(c, d)$ हैं, तथा $k \in \R$ है।

1. $\vec u = \vec v$ ठीक तब है जब $a = c$ और $b = d$ हों;
2. $\vec u + \vec v$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $(a + c,\ b + d)$ हैं;
3. $k\vec u$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $(ka,\ kb)$ हैं;
4. $\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ ( [लंबकोणिक पद्धति](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) )।

**उपपत्ति.** 1–3 केवल निर्देशांक-दर-निर्देशांक यह दोहराते हैं कि विस्थापन क्या करते हैं: जैसे पहले $\vec u$ और फिर $\vec v$ करने से कोई बिंदु क्षैतिज दिशा में पहले $a$ और फिर $c$ हटता है, अर्थात् कुल मिलाकर $a + c$। बिंदु 4 [प्रमेय 5.4](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#thm-g10-coordgeom-distance) का दूरी सूत्र है, जो $\vec u$ को दर्शाने वाले किसी रेखाखंड पर लगाया गया है। ∎

**प्रमेय 6.13 (संरेखता की कसौटी).**

दो [सदिश](#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(a, b)$ और $\vec v\,(c, d)$ [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) हैं यदि और केवल यदि

$$
ad - bc = 0 .
$$

**उपपत्ति.** यदि $\vec v = k\vec u$ हो, तो $c = ka$ और $d = kb$, इसलिए $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$। यदि $\vec u = k \vec v$ हो, या दोनों में से कोई [सदिश](#def-g10-vectors-vector) शून्य हो, तब भी यही बात लागू है।

इसके उलट, मान लीजिए $ad - bc = 0$ है, जहाँ $\vec u \neq \vec 0$ है, मान लीजिए $a \neq 0$ (स्थिति $b \neq 0$ इसी जैसी है)। $k = \frac{c}{a}$ रखिए; तब $c = ka$, और $ad = bc = b(ka)$ से, $a \neq 0$ से भाग देने पर, $d = kb$ मिलता है। इसलिए $\vec v = k\vec u$। ∎

**उदाहरण 6.14.**

क्या $\vec u\,(3, -2)$ और $\vec v\,(-6, 4)$ [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) हैं? $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$ निकालिए: हाँ, और सचमुच $\vec v = -2\vec u$। $\vec u\,(3, -2)$ और $\vec w\,(1, 5)$ के लिए: $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$: [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) नहीं।

**विधि 6.15 (संरेखण और समांतरता).**

यह सिद्ध करने के लिए कि तीन बिंदु $A$, $B$, $C$ संरेख हैं:

1. $\vect{AB}$ और $\vect{AC}$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) निकालिए;
2. [प्रमेय 6.13](#thm-g10-vectors-det) की कसौटी $ad - bc = 0$ जाँचिए;
3. निष्कर्ष निकालिए: दोनों [सदिश](#def-g10-vectors-vector) [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) हैं और उनमें बिंदु $A$ उभयनिष्ठ है, इसलिए तीनों बिंदु संरेख हैं।

वही गणना $\vect{AB}$ और $\vect{CD}$ के साथ यह सिद्ध करती है कि रेखाएँ $(AB)$ और $(CD)$ समांतर हैं।

**उदाहरण 6.16.**

मान लीजिए $A(1, 2)$, $B(3, 5)$ और $C(7, 11)$ हैं। तब $\vect{AB}\,(2, 3)$ और $\vect{AC}\,(6, 9)$, और $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$: बिंदु संरेख हैं (वस्तुतः $\vect{AC} = 3\vect{AB}$)।

![संरेख बिंदु: AC AB का एक अदिश गुणज है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-1e83277b8c55.svg)

*संरेख बिंदु: $\vect{AC}$ $\vect{AB}$ का एक अदिश गुणज है।*

## 6.5 अभ्यास

**अभ्यास 6.1 ★.**

शाल के संबंध से सरल कीजिए:

$$
\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad
\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad
\vect{AC} - \vect{BC}, \qquad
\vect{AB} + \vect{CA}.
$$

**हल — अभ्यास 6.1.**

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (शाल)।

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$।

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$।

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$।

**अभ्यास 6.2 ★.**

मान लीजिए $A(2, 1)$, $B(5, 3)$, $C(-1, 4)$ हैं। $\vect{AB}$, $\vect{BC}$, $\vect{AC}$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) निकालिए, और [निर्देशांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) पर जाँचिए कि $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$।

**हल — अभ्यास 6.2.**

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$। जाँच: निर्देशांक-दर-निर्देशांक $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$।

**अभ्यास 6.3 ★.**

मान लीजिए $\vec u\,(2, -3)$ और $\vec v\,(-1, 4)$ हैं। $\vec u + \vec v$, $3\vec u$, $2\vec u - \vec v$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) बताइए, और $\norm{\vec u}$ निकालिए।

**हल — अभ्यास 6.3.**

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$।

$3\vec u = (6, -9)$।

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$।

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$।

**अभ्यास 6.4 ★.**

हर स्थिति में बताइए कि $\vec u$ और $\vec v$ [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) हैं या नहीं:

$$
\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9);
\qquad
\text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10);
\qquad
\text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).
$$

**हल — अभ्यास 6.4.**

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$: [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = \frac32 \vec u$)।

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$: [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = -2\vec u$)।

(c) $3 \times 3 - 1 \times 1 = 8 \neq 0$: [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) नहीं।

**अभ्यास 6.5 ★.**

मान लीजिए $A(0, 2)$, $B(4, 0)$, $C(6, 3)$ हैं। वह बिंदु $D$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $ABCD$ समांतर चतुर्भुज हो, अर्थात् $\vect{AB} = \vect{DC}$ हो।

**हल — अभ्यास 6.5.**

$\vect{AB}\,(4, -2)$, और $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$। शर्त $\vect{AB} = \vect{DC}$ से $6 - x_D = 4$ और $3 - y_D = -2$ मिलते हैं, इसलिए $D(2, 5)$।

**अभ्यास 6.6 ★★.**

मान लीजिए $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$, $C(4, -1)$ हैं।

1. वह बिंदु $M$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ हो।
2. चतुर्भुज $ABMC$ कौन-सा है? पुष्ट कीजिए।

**हल — अभ्यास 6.6.**

*1.* $\vect{AB}\,(3, 2)$ और $\vect{AC}\,(6, -2)$, इसलिए $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ और $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$।

*2.* समांतर चतुर्भुज नियम से $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ का अर्थ है कि $ABMC$ समांतर चतुर्भुज है ($M$ $A$ के सामने वाला चौथा शीर्ष है)। जाँच लीजिए: $\vect{AB}\,(3,2)$ और $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) =
(3, 2)$ बराबर हैं।

**अभ्यास 6.7 ★★.**

मान लीजिए $A(1, -1)$, $B(4, 1)$, $C(10, 5)$ हैं। क्या बिंदु $A$, $B$, $C$ संरेख हैं? यही प्रश्न $A(0, 3)$, $B(2, 2)$, $C(8, -1)$ के लिए।

**हल — अभ्यास 6.7.**

पहला त्रिक: $\vect{AB}\,(3, 2)$, $\vect{AC}\,(9, 6)$; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$: संरेख ($\vect{AC} = 3\vect{AB}$)।

दूसरा त्रिक: $\vect{AB}\,(2, -1)$, $\vect{AC}\,(8, -4)$; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$: यह भी संरेख ($\vect{AC} = 4\vect{AB}$)।

**अभ्यास 6.8 ★★.**

मान लीजिए $A(1, 2)$, $B(5, 4)$, $C(6, 1)$, $D(2, -1)$ हैं। दिखाइए कि $(AB)$ और $(CD)$ समांतर हैं, फिर यह कि $ABCD$ समांतर चतुर्भुज है। कौन-सी जाँच दूसरी को अपने आप सिद्ध कर देती है?

**हल — अभ्यास 6.8.**

$\vect{AB}\,(4, 2)$ और $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$: दोनों [सदिश](#def-g10-vectors-vector) *बराबर* हैं, इसलिए $ABCD$ समांतर चतुर्भुज है, और विशेष रूप से $(AB) \parallel (CD)$। समांतर चतुर्भुज वाला गुण अधिक प्रबल है: उससे समांतरता ([सदिशों](#def-g10-vectors-vector) की संरेखता) निकल आती है, पर उल्टा नहीं।

**अभ्यास 6.9 ★★.**

मान लीजिए $ABC$ एक त्रिभुज है, और $I$ वह बिंदु है जो $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$ से परिभाषित होता है। $A(0,0)$, $B(6, 3)$, $C(2, 5)$ लेकर (ताकि गणनाएँ सरल रहें):

1. $I$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) निकालिए;
2. मान लीजिए $J$ ऐसा है कि $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; $J$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) निकालिए;
3. दिखाइए कि $(IJ)$ $(AC)$ के समांतर है।

**हल — अभ्यास 6.9.**

*1.* $\vect{AB}\,(6, 3)$, इसलिए $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ और $I(4, 2)$।

*2.* $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$, इसलिए $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ और $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3},
\frac{11}{3}\right)$।

*3.* $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) =
\left(\frac23, \frac53\right)$ और $\vect{AC}\,(2, 5)$। संरेखता की कसौटी:

$$
\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :
$$

[सदिश](#def-g10-vectors-vector) [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) हैं, इसलिए $(IJ)$ $(AC)$ के समांतर है। ($I$ और $J$ दोनों भुजा से $B$ की ओर एक-तिहाई दूरी पर बैठे हैं: छोटा त्रिभुज $IBJ$ $ABC$ का लघुरूप है।)

**अभ्यास 6.10 ★★★.**

मान लीजिए $ABCD$ कोई चतुर्भुज है, और $I$, $J$, $K$, $L$ क्रमशः $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$ के [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) हैं। [निर्देशांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $A(x_A, y_A)$ आदि का उपयोग करके दिखाइए कि $\vect{IJ} = \vect{LK}$, और निष्कर्ष निकालिए कि *किसी भी* चतुर्भुज की भुजाओं के [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं।

**हल — अभ्यास 6.10.**

[मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) ये हैं:

$$
I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad
J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad
K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad
L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).
$$

दोनों [सदिशों](#def-g10-vectors-vector) के पहले [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system):

$$
x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}
= \frac{x_C - x_A}{2},
\qquad
x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2}
= \frac{x_C - x_A}{2},
$$

और वही गणना दूसरे [निर्देशांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) पर भी चलती है। इसलिए $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (दोनों $\frac12\vect{AC}$ के बराबर), और $IJKL$ समांतर चतुर्भुज है, चाहे चतुर्भुज $ABCD$ कैसा भी दिखता हो।

## 6.6 समस्या: तीरों का बीजगणित

**समस्या 6.1.**

सप्ताहांत समस्या — शाल की कसरत, केन्द्रक की दो पंक्तियों में नई उपपत्ति, और साम्यावस्था में बल: सदिश असल में किस काम आते हैं

कक्षा 8 ने सिद्ध किया था कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ अपनी लंबाई के दो-तिहाई पर मिलती हैं — और उसके लिए त्रिभुज के भीतर एक चतुर समांतर चतुर्भुज छिपाया गया था (माध्यमिक विद्यालय खंड की केन्द्रक वाली सप्ताहांत समस्या)। [सदिश](#def-g10-vectors-vector) उसे दो पंक्तियों में फिर सिद्ध कर देते हैं, और संगामिता मुफ़्त में दे देते हैं। यही इस नए बीजगणित का काम है: प्रमेय तीरों के साथ की गई गणनाएँ बन जाती हैं। यह समस्या पहले वह गणना सधाती है (सबसे बढ़कर शाल की), फिर दो पंक्ति वाली उपपत्ति देती है, फिर वारिन्यों ([अभ्यास 6.10](#exo-g10-vectors-10)) को आगे बढ़ाती है, और वहाँ समाप्त होती है जहाँ [सदिशों](#def-g10-vectors-vector) का जन्म हुआ था: बल और वेग।

**भाग I — शाल की कसरत।**

1. शाल के संबंध ( [प्रमेय 6.5](#thm-g10-vectors-chasles) ) से सरल कीजिए: $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB}$ ; $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ ।
2. मूल बिंदु वाली तरकीब: दिखाइए कि *किसी भी* बिंदु $O$ के लिए $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ ।
3. $[AB]$ के [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ के दोनों अभिलक्षण सिद्ध कीजिए: $$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0  \qquad\text{और}\qquad  \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right)  \ \text{किसी भी } O \text{ के लिए} .$$
4. $\vect{AB} = \vect{DC}$ का उपयोग करके $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ वाले समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का चौथा शीर्ष $D$ फिर से ज्ञात कीजिए — और [समस्या 5.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#pb-g10-coordgeom-1) के [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) वाली तरकीब से मिले उत्तर से तुलना कीजिए।
5. समतल के हर बिंदु में एक नियत [सदिश](#def-g10-vectors-vector) $\vec u$ जोड़ने से कौन-सा रूपांतरण होता है — वही जो माध्यमिक विद्यालय खंड की दो-दर्पण वाली सप्ताहांत समस्या में दो दर्पणों से और अर्ध-घूर्णन वाली सप्ताहांत समस्या में दो अर्ध-घूर्णनों से खोजा गया था? $\vec u = (3, -1)$ के अधीन $(1, 2)$ का [प्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) निकालिए।

**भाग II — केन्द्रक, तीसरी उपपत्ति।** त्रिभुज $ABC$ के बिंदु $G$ को इस सुंदर शर्त से परिभाषित कीजिए:

$$
\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .
$$

6. मूल बिंदु वाली तरकीब से दिखाइए कि यह शर्त $G$ को अद्वितीय रूप से तय कर देती है: किसी भी $O$ के लिए $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} +  \vect{OC}\right)$ — अर्थात् $G$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) शीर्षों के [निर्देशांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) के *माध्य* हैं (माध्यमिक विद्यालय खंड की केन्द्रक वाली सप्ताहांत समस्या ने इसे संख्याओं में देखा था)।
7. $\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} +  \vect{AC}\right)$ सिद्ध कीजिए, और $[BC]$ के [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) को $K$ लिखकर $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} +  \vect{AC}\right)$ । निष्कर्ष निकालिए: $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ — दो-तिहाई वाली प्रमेय, फिर से सिद्ध।
8. $B$ से और $C$ से खींची गई माध्यिकाएँ बिना किसी और गणना के *उसी* $G$ से क्यों गुज़रती हैं? इस प्रमेय की तीनों उपलब्ध उपपत्तियों — कक्षा 8 का छिपा समांतर चतुर्भुज, [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) , और [सदिश](#def-g10-vectors-vector) — की तुलना एक-एक वाक्य में कीजिए।
9. संख्यात्मक जाँच: $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ , $C(3, 6)$ । $G$ निकालिए, फिर $K$ , फिर संरेखता की कसौटी ( [प्रमेय 6.13](#thm-g10-vectors-det) ) से $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ सत्यापित कीजिए।
10. भौतिकी $G$ को शीर्षों पर रखे तीन बराबर द्रव्यमानों के संतुलन-बिंदु के रूप में पढ़ती है। $A$ का द्रव्यमान दुगुना कर दीजिए (द्रव्यमान $2, 1, 1$ ): तब संतुलन-बिंदु $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} +  \vect{OC}}{4}$ हो जाता है। प्रश्न 9 वाले त्रिभुज के लिए $G'$ निकालिए और उसकी स्थिति की $G$ से तुलना कीजिए।

**भाग III — संरेखता काम पर।**

11. क्या $\vec u(3, -2)$ और $\vec v(-6, 4)$ [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) हैं? और $\vec w(2, 5)$ , $\vec z(4, 9)$ ? सारणिक कसौटी से तय कीजिए।
12. क्या बिंदु $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ , $C(7, 11)$ संरेख हैं?
13. वारिन्यों से आगे ( [अभ्यास 6.10](#exo-g10-vectors-10) ): किसी भी चतुर्भुज $ABCD$ में *द्वि-माध्यिकाएँ* सामने-सामने की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ती हैं ( $[IK]$ और $[JL]$ )। स्थिति [सदिशों](#def-g10-vectors-vector) ( $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} +  \vect{OB})$ आदि) का उपयोग करके दिखाइए कि दोनों द्वि-माध्यिकाओं का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) एक ही है, जिसका स्थिति [सदिश](#def-g10-vectors-vector) $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} +  \vect{OD}\right)$ है: यही चतुर्भुज का केन्द्रक है।
14. थेल्स एक पंक्ति में: $M$ और $N$ वे बिंदु हैं जो $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ और $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ से परिभाषित हैं। $\vect{MN}$ को $\vect{BC}$ के पदों में निकालिए और समांतरता तथा अनुपात का निष्कर्ष निकालिए।
15. प्रश्न 14 को किसी भी अनुपात $k$ तक सामान्य कीजिए, और एक वाक्य में बताइए कि सदिश-कलन [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) प्रमेय और थेल्स प्रमेय दोनों को एक साथ कैसे अपने भीतर समेट लेता है।

**भाग IV — बल और वेग।**

16. एक नाव को $3$ km/h की धारा ठीक पूर्व की ओर धकेल रही है, जबकि उसमें $4$ km/h से ठीक उत्तर की ओर चप्पू चलाया जा रहा है। परिणामी वेग [सदिश](#def-g10-vectors-vector) , उसका परिमाण और नाव का वास्तविक मार्ग बताइए। (एक बहुत पुराना त्रिक प्रकट होता है।)
17. एक छल्ले पर तीन बल लगते हैं: $\vec u(2, 1)$ , $\vec v(-3, 2)$ , $\vec w(1, -3)$ । परिणामी निकालिए। छल्ला क्या करता है? और किसी भी *बंद* बहुभुज के अनुदिश तीरों का [योग](#def-g10-vectors-sum) सदा $\vec 0$ क्यों होता है (शाल)?
18. एक हुक पर दो बल $\vec u(4, -1)$ और $\vec v(-1, 3)$ लगते हैं। कौन-सा तीसरा बल हुक को साम्यावस्था में रखेगा?
19. एक तैराक नदी को सीधे पार करने की दिशा में $2$ m/s से तैरता है; धारा $1.5$ m/s से बहती है। परिणामी वेग और उसका परिमाण बताइए। नदी $50$ m चौड़ी है: पार करने में कितना समय लगता है, और तैराक धारा की दिशा में कितनी दूर जा लगता है?
20. समापन: एक ही वस्तु, तीन वेश — विस्थापन का तीर, निर्देशांक-युग्म, और बल या वेग। इस समस्या ने सदिश-बीजगणित से जिन तीन चिरपरिचित प्रमेयों को फिर सिद्ध किया, उन्हें गिनाइए, और उस एक ज्यामितीय राशि का नाम बताइए जिसे इस अध्याय के [सदिश](#def-g10-vectors-vector) अब भी नाप नहीं सकते — उसे साधने वाला औज़ार कक्षा 11 में अदिश गुणनफल के साथ आता है।

**हल — समस्या 6.1.**

**1.** $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$; $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} =
\vect{BA}$; $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} +
\vect{DA} = \vect{AA} = \vec 0$ (तीसरे [योग](#def-g10-vectors-sum) के पदों का क्रम बदलकर)।

**2.** शाल से $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} =
\vect{AB}$।

**3.** $I$ $[AB]$ का [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) ठीक तब है जब $\vect{IA} = -\vect{IB}$ हो, अर्थात् $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$। तब किसी भी $O$ के लिए $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$, इसलिए $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$ — और इसके उलट भी।

**4.** $\vect{AB} = (4, 2)$, और $D$ $\vect{DC} = \vect{AB}$ को संतुष्ट करता है: $D = C - (4, 2) = (2, -2)$ — वही $D$ जो [समस्या 5.1](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#pb-g10-coordgeom-1) में था, पर एक पंक्ति जल्दी।

**5.** [सदिश](#def-g10-vectors-vector) $\vec u$ का स्थानांतरण — ठीक वही रूपांतरण जो दो समांतर दर्पणों या दो अर्ध-घूर्णनों से बनता है। $(1, 2)$ का [प्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/3-functions#def-g10-functions-function): $(4, 1)$।

**6.** हर $\vect{GX}$ को $\vect{GO} + \vect{OX}$ के रूप में खोलने पर: $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$, इसलिए $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$: ऐसा एक और केवल एक बिंदु, जिसके [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) तीनों शीर्षों के [निर्देशांकों](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) के माध्य हैं।

**7.** $\vect{AB} + \vect{AC} =
(\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC})
= 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC})
= 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$, जिससे $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$। [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) सूत्र (प्रश्न 3, $A$ की ओर से देखा गया) $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$ देता है। तुलना करने पर: $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ — $G$ माध्यिका $[AK]$ पर है, $A$ से दो-तिहाई दूरी पर।

**8.** परिभाषित करने वाली शर्त $A$, $B$, $C$ के साथ एक जैसा व्यवहार करती है, इसलिए $B$ से या $C$ से की गई वही गणना *उसी* $G$ को उन माध्यिकाओं के दो-तिहाई पर बिठा देती है: संगामिता मुफ़्त में। समांतर चतुर्भुज वाली उपपत्ति चतुर थी पर विशेष अवसर की; [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) गणना तो करते हैं पर बात धुँधली कर देते हैं; [सदिश](#def-g10-vectors-vector) सममिति को दिखा देते हैं और उपपत्ति दो पंक्तियों की कर देते हैं।

**9.** $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) =
(3, 3)$; $K(4, 4)$; $\vect{AG} = (2, 2)$ और $\vect{AK} = (3, 3)$: सारणिक $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$, [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear), और सचमुच $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$।

**10.** $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 +
6}{4}\right) = (2.5,\ 2.5)$: $G(3,3)$ से खिसककर दुगुने द्रव्यमान वाले शीर्ष $A(1,1)$ की ओर, जैसा किसी संतुलन-बिंदु को होना ही चाहिए।

**11.** $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$: [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = -2\vec u$)। $2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$: [संरेखी](#def-g10-vectors-collinear) नहीं।

**12.** $\vect{AB} = (2, 3)$, $\vect{AC} = (6, 9)$: सारणिक $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$: संरेख।

**13.** $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ और $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$, इसलिए $[IK]$ के [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) का स्थिति [सदिश](#def-g10-vectors-vector) $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} +
\vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD})$ है — और $[JL]$ के लिए की गई गणना ठीक वही [सदिश](#def-g10-vectors-vector) देती है। दोनों द्वि-माध्यिकाएँ (और वारिन्यों से, समांतर चतुर्भुज $IJKL$ के विकर्ण) इसी केंद्र को साझा करती हैं: वही चतुर्भुज का केन्द्रक है।

**14.** $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} =
\frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$: इसलिए $(MN) \parallel (BC)$ और $MN = \frac13 BC$।

**15.** $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ और $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$ के साथ: $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$ — एक ही पंक्ति जिसमें [मध्यबिंदु](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) प्रमेय ($k = \frac12$) और थेल्स (कोई भी $k$) दोनों समाए हैं: अनुपात घटाव में से ज्यों का त्यों निकल आता है।

**16.** परिणामी $(3, 4)$, परिमाण $\sqrt{9 + 16} = 5$ km/h: नाव वस्तुतः $3$–$4$–$5$ त्रिभुज के कर्ण के साथ-साथ उत्तर-पूर्व की ओर उत्तर झुकी दिशा में चलती है।

**17.** $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$: छल्ला जहाँ है वहीं रहता है — साम्यावस्था। किसी बंद बहुभुज $A_1 A_2 \dots A_n A_1$ के अनुदिश शाल [योग](#def-g10-vectors-sum) को समेटकर $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$ कर देता है: चक्कर लगाकर आप वहीं लौट आते हैं।

**18.** $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) =
(-3, -2)$।

**19.** परिणामी $(1.5,\ 2)$, परिमाण $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ m/s। पार करना: $2$ m/s की आरपार चाल से $50$ m: $25$ s; बहाव: धारा की दिशा में $1.5 \times 25 = 37.5$ m।

**20.** इस सप्ताहांत जो फिर सिद्ध हुआ: केन्द्रक की दो-तिहाई प्रमेय (प्रश्न 7), द्वि-माध्यिका/वारिन्यों केंद्र (प्रश्न 13), थेल्स–मध्यबिंदु (प्रश्न 14–15)। तीर अब भी जो नहीं कर सकते: *कोण* नापना (और इस तरह किसी भी दिशा में लंबाइयाँ) — कक्षा 11 का अदिश गुणनफल ठीक वही छूटा हुआ यंत्र है।