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title: "प्रायिकता और प्रतिदर्शन"
book: "उच्च माध्यमिक गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 9
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/9-probability-and-sampling
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# अध्याय 9 — प्रायिकता और प्रतिदर्शन

[प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) संयोग को संख्याएँ देती है। समान रूप से संभावित परिणामों वाले प्रयोगों — पासे, सिक्के, ताश — से शुरू करके यह अध्याय [घटनाओं](#def-g10-proba-events) की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) निकालने के बुनियादी नियम खड़े करता है, दो-चरणीय प्रयोगों के लिए [वृक्ष आरेख](#met-g10-proba-tree) प्रस्तुत करता है, और [प्रायिकताओं](#def-g10-proba-distribution) तथा प्रेक्षित आपेक्षिक बारंबारताओं के बीच के संबंध पर समाप्त होता है। सिद्धांत [अध्याय 18](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/18-probability-and-random-variables#ch-g11-prob) में आगे बढ़ता है।

## 9.1 यादृच्छिक प्रयोग और घटनाएँ

**परिभाषा 9.1 (परिणाम और घटनाएँ).**

*यादृच्छिक प्रयोग* वह प्रयोग है जिसके परिणाम की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती (जैसे पासा फेंकना)। सभी संभव परिणामों का समुच्चय *प्रतिदर्श समष्टि* $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ है; उसके अवयव *परिणाम* कहलाते हैं। *घटना* परिणामों का एक समुच्चय है; कोई घटना *घटित* तब होती है जब प्रयोग का परिणाम उसमें आता हो।

**परिभाषा 9.2 (प्रायिकता बंटन).**

हर परिणाम $\omega_i$ को एक संख्या $p_i \geq 0$ देना, जहाँ $p_1 + \dots + p_n = 1$ हो, *प्रायिकता* को परिभाषित करता है: [घटना](#def-g10-proba-events) $A$ की प्रायिकता $\P(A)$ $A$ के परिणामों की $p_i$ का योग है। विशेष रूप से $\P(\Omega) = 1$, और असंभव [घटना](#def-g10-proba-events) $\varnothing$ की प्रायिकता $0$ है।

**प्रतिज्ञप्ति 9.3 (समसंभावी परिणाम).**

यदि $n$ परिणाम समान रूप से संभावित हों (हर एक $p_i = \frac1n$), तो हर [घटना](#def-g10-proba-events) $A$ के लिए:

$$
\P(A) = \frac{A \text{ में परिणामों की संख्या}}{n}
= \frac{\text{अनुकूल स्थितियाँ}}{\text{संभव स्थितियाँ}} .
$$

**उपपत्ति.** $A$ में कुछ $k$ परिणाम हैं, जिनमें से हर एक की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $\frac1n$ है, इसलिए $\P(A) = \frac kn$। ∎

**उदाहरण 9.4.**

एक न्यायसंगत पासा फेंकिए: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, और हर परिणाम की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $\frac16$ है। [घटना](#def-g10-proba-events) $A$: “परिणाम सम है” $A = \{2, 4, 6\}$ है, इसलिए $\P(A) = \frac36 = \frac12$। [घटना](#def-g10-proba-events) $B$: “परिणाम कम से कम $5$ है” $B = \{5, 6\}$ है, इसलिए $\P(B) = \frac26 =
\frac13$।

## 9.2 घटनाओं को जोड़ना

**परिभाषा 9.5 (प्रतिच्छेदन, सम्मिलन, पूरक).**

मान लीजिए $A$ और $B$ [घटनाएँ](#def-g10-proba-events) हैं।

- $A \cap B$ (“ $A$ और $B$ ”) तब घटित होती है जब दोनों घटित हों;
- $A \cup B$ (“ $A$ या $B$ ”) तब घटित होती है जब कम से कम एक घटित हो;
- *पूरक* $\bar A$ (“ $A$ नहीं”) ठीक तब घटित होती है जब $A$ घटित न हो;
- $A$ और $B$ *असंगत* तब हैं जब वे एक साथ घटित नहीं हो सकतीं: $A \cap B = \varnothing$ ।

**प्रमेय 9.6 (योग के नियम).**

सभी [घटनाओं](#def-g10-proba-events) $A$ और $B$ के लिए:

$$
\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),
\qquad
\P(\bar A) = 1 - \P(A) .
$$

[असंगत](#def-g10-proba-operations) [घटनाओं](#def-g10-proba-events) के लिए पहला नियम $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ बन जाता है।

**उपपत्ति.** $\P(A) + \P(B)$ जोड़ने पर $A \cup B$ के हर परिणाम की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) एक बार जुड़ती है, *सिवाय* $A \cap B$ के परिणामों के, जो दो बार गिने जाते हैं — एक बार $A$ में और एक बार $B$ में। $\P(A \cap B)$ घटाने से यह दोहरी गिनती सुधर जाती है। [पूरक](#def-g10-proba-operations) के लिए: $A$ और $\bar A$ [असंगत](#def-g10-proba-operations) हैं और $A \cup \bar A = \Omega$, इसलिए $\P(A) + \P(\bar A) = \P(\Omega) = 1$। ∎

![दो अतिव्यापी घटनाएँ: (A) + (B) में छायांकित प्रतिच्छेदन A ∩ B दो बार गिना जाता है, और यही योग के नियम में घटाव की व्याख्या करता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-proba/fig-25bc6ba9d1f1.svg)

*दो अतिव्यापी [घटनाएँ](#def-g10-proba-events): $\P(A) + \P(B)$ में छायांकित [प्रतिच्छेदन](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) $A \cap B$ दो बार गिना जाता है, और यही योग के नियम में घटाव की व्याख्या करता है।*

**उदाहरण 9.7.**

$52$ पत्तों की एक मानक गड्डी से एक पत्ता निकालिए। मान लीजिए $A$: “पत्ता पान का है” ($13$ पत्ते) और $B$: “पत्ता बादशाह है” ($4$ पत्ते)। तब $A \cap B$ “पान का बादशाह” है ($1$ पत्ता), और

$$
\P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}
= \frac{4}{13}.
$$

[पूरक](#def-g10-proba-operations) का नियम प्रायः सबसे तेज़ रास्ता होता है: पत्ता पान का *न* होने की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $1 - \frac{13}{52} = \frac34$ है।

## 9.3 वृक्ष आरेख

**विधि 9.8 (दो-चरणीय प्रयोग).**

दो चरणों में किए जाने वाले प्रयोग के लिए:

1. एक *वृक्ष* खींचिए: पहले चरण के हर संभव परिणाम के लिए एक शाखा, और फिर उनमें से हर एक से दूसरे चरण के हर परिणाम के लिए एक शाखा, और हर शाखा पर उसकी [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) लिखिए (किसी भी गाँठ से निकलने वाली शाखाओं का योग $1$ होना चाहिए);
2. किसी *पथ* ( [वृक्ष](#met-g10-proba-tree) के पत्ते) की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) उसकी शाखाओं की [प्रायिकताओं](#def-g10-proba-distribution) का गुणनफल है;
3. किसी [घटना](#def-g10-proba-events) की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) उसे साकार करने वाले पथों की [प्रायिकताओं](#def-g10-proba-distribution) का योग है।

**उदाहरण 9.9.**

एक कलश में $3$ लाल और $2$ नीली गेंदें हैं। एक गेंद निकालिए, उसे वापस रखिए, और फिर निकालिए। हर बार लाल (R) [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $\frac35$ से और नीली (B) [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $\frac25$ से मिलती है।

![वापसी सहित दो बार निकालने का वृक्ष। चारों पथों की प्रायिकताओं का योग 1 है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-proba/fig-7a3dd3ce478e.svg)

*वापसी सहित दो बार निकालने का [वृक्ष](#met-g10-proba-tree)। चारों पथों की [प्रायिकताओं](#def-g10-proba-distribution) का योग $1$ है।*

एक ही रंग की दो गेंदें मिलने की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $\P(\text{RR}) + \P(\text{BB}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} =
\frac{13}{25}$ है; कम से कम एक नीली मिलने की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $1 - \P(\text{RR}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ है ([पूरक](#def-g10-proba-operations) का नियम)।

**टिप्पणी 9.10.**

वापसी के बिना दूसरी बार निकालने की [प्रायिकताएँ](#def-g10-proba-distribution) पहली बार पर निर्भर करती हैं: ऊपर वाले कलश में एक लाल गेंद निकल जाने के बाद केवल $2$ लाल और $2$ नीली बचती हैं, इसलिए दूसरी शाखा पर $\frac24$ और $\frac24$ आते हैं। [वृक्ष](#met-g10-proba-tree) की विधि ज्यों की त्यों काम करती है; केवल दूसरे स्तर की शाखाओं की संख्याएँ बदलती हैं।

## 9.4 आपेक्षिक बारंबारता और प्रतिदर्शन

जब कोई [यादृच्छिक प्रयोग](#def-g10-proba-events) बहुत बार दोहराया जाता है, तब किसी [घटना](#def-g10-proba-events) की प्रेक्षित [आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) उसकी [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) के पास पहुँच जाती है — और इसीलिए [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) वास्तविक संसार का वर्णन करने में काम आती है।

**परिभाषा 9.11 (प्रतिदर्श).**

$n$ आकार का *प्रतिदर्श* एक ही प्रयोग को $n$ बार स्वतंत्र रूप से दोहराने का परिणाम है। प्रतिदर्श में किसी [घटना](#def-g10-proba-events) की *प्रेक्षित [आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series)* उसके घटित होने की संख्या को $n$ से भाग देकर मिलती है।

**उदाहरण 9.12.**

एक न्यायसंगत सिक्के से चित [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $0.5$ से आता है। उसे $100$ बार उछालने पर ठीक $50$ चित विरले ही मिलते हैं: [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample) *उतार-चढ़ाव* करते हैं। $100$ उछालों की प्रारूपिक शृंखलाएँ $0.46$, $0.53$, $0.49$ जैसी आपेक्षिक बारंबारताएँ देती हैं — $0.5$ के पास, पर बराबर नहीं। बड़े [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample) कम उतार-चढ़ाव करते हैं: $10\,000$ उछालों पर प्रेक्षित आपेक्षिक बारंबारताएँ प्रायः $0.5$ के लगभग $0.01$ के भीतर रहती हैं।

**टिप्पणी 9.13 (उतार-चढ़ाव अंतराल).**

एक उपयोगी मोटा नियम, जिसका औचित्य [अध्याय 19](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/19-the-binomial-distribution#ch-g11-binom) में है: [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $p$ वाली [घटना](#def-g10-proba-events) के $n$ आकार के [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample) के लिए (जहाँ $n$ पर्याप्त बड़ा हो), प्रेक्षित [आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) लगभग $95\%$ [प्रतिदर्शों](#def-g10-proba-sample) में [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval)

$$
\intcc{p - \frac{1}{\sqrt n}}{\,p + \frac{1}{\sqrt n}}
$$

में रहती है। यदि कोई प्रेक्षित [आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) इस [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) से बहुत बाहर गिरे, तो $p$ के मान पर संदेह कीजिए: यही सांख्यिकीय परीक्षण का आरंभ-बिंदु है।

**उदाहरण 9.14.**

एक कारख़ाने का दावा है कि उसके केवल $10\%$ पुर्ज़े दोषपूर्ण हैं ($p = 0.1$)। $n = 400$ पुर्ज़ों के एक [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample) में $64$ दोषपूर्ण निकले: प्रेक्षित [आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) $\frac{64}{400} = 0.16$। उतार-चढ़ाव [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $\intcc{0.1 - \frac{1}{20}}{0.1 + \frac{1}{20}} = \intcc{0.05}{0.15}$ है, और $0.16$ उससे बाहर पड़ता है: [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample) उस दावे पर गंभीर संदेह खड़ा करता है।

## 9.5 अभ्यास

**अभ्यास 9.1 ★.**

एक न्यायसंगत पासा फेंका जाता है। हर [घटना](#def-g10-proba-events) की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) निकालिए: “$6$ आना”; “विषम संख्या आना”; “अधिक से अधिक $4$ आना”; “$7$ आना”।

**हल — अभ्यास 9.1.**

$6$ परिणामों में से हर एक की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $\frac16$ है। “$6$ आना”: $\frac16$। “विषम संख्या” $= \{1, 3, 5\}$: $\frac36 = \frac12$। “अधिक से अधिक $4$” $= \{1,2,3,4\}$: $\frac46 = \frac23$। “$7$ आना”: असंभव [घटना](#def-g10-proba-events), [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $0$।

**अभ्यास 9.2 ★.**

एक थैले में $5$ हरे, $3$ पीले और $2$ काले कंचे हैं; एक कंचा यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। निम्नलिखित [प्रायिकताएँ](#def-g10-proba-distribution) निकालिए: वह हरा है; वह काला नहीं है; वह हरा या पीला है।

**हल — अभ्यास 9.2.**

कुल $10$ समसंभावी कंचे हैं। $\P(\text{हरा}) = \frac{5}{10} = \frac12$। $\P(\text{काला नहीं}) = 1 - \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac45$। हरा और पीला [असंगत](#def-g10-proba-operations) हैं: $\P(\text{हरा या पीला}) = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10}
= \frac45$।

**अभ्यास 9.3 ★.**

$30$ विद्यार्थियों की कक्षा में $18$ स्पेनी पढ़ते हैं, $10$ जर्मन, और $4$ दोनों। एक विद्यार्थी यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। योग के नियम से यह [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) निकालिए कि वह दोनों भाषाओं में से कम से कम एक पढ़ता है, फिर यह कि वह इनमें से कोई नहीं पढ़ता।

**हल — अभ्यास 9.3.**

मान लीजिए $S$: “स्पेनी पढ़ता है”, $G$: “जर्मन पढ़ता है”। तब $\P(S) = \frac{18}{30}$, $\P(G) = \frac{10}{30}$, $\P(S \cap G) = \frac{4}{30}$। योग का नियम:

$$
\P(S \cup G) = \frac{18}{30} + \frac{10}{30} - \frac{4}{30}
= \frac{24}{30} = \frac45 .
$$

[पूरक](#def-g10-proba-operations): $\P(\text{कोई नहीं}) = 1 - \frac45 = \frac15$।

**अभ्यास 9.4 ★.**

एक न्यायसंगत सिक्का दो बार उछाला जाता है। प्रयोग का [वृक्ष](#met-g10-proba-tree) खींचिए और ये [प्रायिकताएँ](#def-g10-proba-distribution) निकालिए: दो चित आना; ठीक एक चित आना; कम से कम एक चित आना।

**हल — अभ्यास 9.4.**

[वृक्ष](#met-g10-proba-tree) के चार पथ HH, HT, TH, TT हैं, और हर एक की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $\frac12 \times \frac12 = \frac14$ है। दो चित: $\frac14$। ठीक एक चित (HT या TH): $\frac24 = \frac12$। कम से कम एक चित: $1 - \P(\text{TT}) = 1 - \frac14 = \frac34$।

**अभ्यास 9.5 ★★.**

एक कलश में $4$ लाल और $6$ सफ़ेद गेंदें हैं। दो गेंदें एक के बाद एक, *बिना* वापसी के, निकाली जाती हैं। दूसरे स्तर पर सही [प्रायिकताओं](#def-g10-proba-distribution) के साथ [वृक्ष](#met-g10-proba-tree) खींचिए, और दो लाल गेंदें निकलने की तथा फिर अलग-अलग रंगों की दो गेंदें निकलने की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) निकालिए।

**हल — अभ्यास 9.5.**

पहली बार: लाल [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $\frac{4}{10}$ से, सफ़ेद $\frac{6}{10}$ से। दूसरी बार *बिना* वापसी: लाल के बाद $9$ में से $3$ लाल और $6$ सफ़ेद बचती हैं; सफ़ेद के बाद $9$ में से $4$ लाल और $5$ सफ़ेद।

दो लाल: $\frac{4}{10} \times \frac39 = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$।

अलग-अलग रंग: पथ RW और WR:

$$
\frac{4}{10} \times \frac69 + \frac{6}{10} \times \frac49
= \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}.
$$

**अभ्यास 9.6 ★★.**

दो न्यायसंगत पासे फेंके जाते हैं और उनका योग दर्ज किया जाता है।

1. समझाइए कि [प्रतिदर्श समष्टि](#def-g10-proba-events) को $36$ समसंभावी युग्मों $(1,1), (1,2), \dots, (6,6)$ के रूप में क्यों लिया जा सकता है।
2. यह [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) निकालिए कि योग $7$ है; कि वह $12$ है; कि वह अधिक से अधिक $4$ है।
3. कौन-सा योग सबसे अधिक संभावित है?

**हल — अभ्यास 9.6.**

*1.* हर पासा स्वतंत्र रूप से हर फलक [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $\frac16$ से दिखाता है, इसलिए $36$ क्रमित युग्म समसंभावी हैं; और योग युग्म से तय हो जाता है।

*2.* योग $7$: युग्म $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$, इसलिए $\P = \frac{6}{36} = \frac16$। योग $12$: केवल $(6,6)$, $\P = \frac{1}{36}$। योग अधिक से अधिक $4$: वे युग्म जिनका योग $2$, $3$ या $4$ है: $(1,1)$; $(1,2), (2,1)$; $(1,3), (2,2), (3,1)$ — छह युग्म, इसलिए $\P = \frac{6}{36} = \frac16$।

*3.* हर योग को देने वाले युग्मों की संख्या $1$ (योग $2$) से बढ़कर $6$ (योग $7$) तक जाती है और फिर घटती है: सबसे संभावित योग $7$ है।

**अभ्यास 9.7 ★★.**

एक बहुविकल्पीय प्रश्न में $4$ उत्तर दिए जाते हैं, जिनमें एक सही है। एक विद्यार्थी ऐसे $2$ स्वतंत्र प्रश्नों के उत्तर पूरी तरह यादृच्छिक रूप से देता है। दोनों सही होने की, ठीक एक सही होने की और एक भी सही न होने की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) निकालिए। जाँचिए कि तीनों [प्रायिकताओं](#def-g10-proba-distribution) का योग $1$ है।

**हल — अभ्यास 9.7.**

हर प्रश्न का उत्तर स्वतंत्र रूप से [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $\frac14$ से सही होता है। दो स्तरों वाला [वृक्ष](#met-g10-proba-tree):

दोनों सही: $\frac14 \times \frac14 = \frac{1}{16}$।

ठीक एक सही: पथ सही–ग़लत और ग़लत–सही: $\frac14 \times \frac34 + \frac34 \times \frac14 = \frac{6}{16}
= \frac38$।

एक भी सही नहीं: $\frac34 \times \frac34 = \frac{9}{16}$।

जाँच: $\frac{1}{16} + \frac{6}{16} + \frac{9}{16} = 1$।

**अभ्यास 9.8 ★★.**

एक नेता $50\%$ समर्थन का दावा करता है। यादृच्छिक रूप से चुने गए $n = 900$ मतदाताओं के सर्वेक्षण में $396$ समर्थन करते हैं।

1. प्रेक्षित [आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) और $n = 900$ के लिए $p = 0.5$ के आसपास का उतार-चढ़ाव [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) निकालिए।
2. क्या सर्वेक्षण उस दावे पर संदेह खड़ा करता है?

**हल — अभ्यास 9.8.**

*1.* प्रेक्षित [आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series): $\frac{396}{900} = 0.44$। $n = 900$ के साथ: $\frac{1}{\sqrt{900}} = \frac{1}{30} \approx 0.033$, इसलिए उतार-चढ़ाव [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) लगभग $\intcc{0.467}{0.533}$ है।

*2.* प्रेक्षित $0.44$ उस [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) से बाहर है: $50\%$ समर्थन वाली समष्टि से लिए गए $900$ मतदाताओं के [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample) इतनी दूर विरले ही भटकते हैं। सर्वेक्षण दावे किए गए $50\%$ पर गंभीर संदेह खड़ा करता है।

**अभ्यास 9.9 ★★★.**

एक खेल खेलने का शुल्क $2$ है: आप एक न्यायसंगत पासा फेंकते हैं और $6$ आने पर $6$ जीतते हैं, $5$ आने पर $3$, और अन्यथा कुछ नहीं।

1. जीती जाने वाली हर राशि ( $6$ , $3$ , $0$ ) की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) निकालिए।
2. $600$ खेलों में आप हर परिणाम के लगभग कितनी बार आने की अपेक्षा करते हैं? कुल अपेक्षित लाभ और हानि निकालिए: क्या यह खेल खेलने लायक़ है?

**हल — अभ्यास 9.9.**

*1.* $\P(\text{जीत } 6) = \frac16$ ($6$ आने पर), $\P(\text{जीत } 3) = \frac16$ ($5$ आने पर), $\P(\text{जीत } 0) = \frac46 = \frac23$।

*2.* $600$ खेलों में लगभग $100$ छक्के, $100$ पंजे और $400$ अन्य परिणाम अपेक्षित हैं। जीत: लगभग $100 \times 6 + 100 \times 3 = 900$। लागत: $600 \times 2 = 1200$। अपेक्षित शुद्ध परिणाम: $900 - 1200 = -300$, अर्थात् औसतन प्रति खेल लगभग $0.5$ की हानि — यह खेल खेलने लायक़ नहीं है।

## 9.6 समस्या: वे तीन दरवाज़े जिन्होंने हज़ार गणितज्ञों को छका दिया

**समस्या 9.1.**

सप्ताहांत समस्या — मॉन्टी हॉल विरोधाभास और उसके भाई-बंधु: सूचना प्रायिकता को कैसे बदल देती है, और प्रतिदर्श दावों को मनचाही सोच से कैसे अलग करते हैं

1990 में स्तंभकार मैरिलिन वॉस सैवंट ने एक खेल-कार्यक्रम के संचालक, तीन दरवाज़ों, एक कार और दो बकरियों वाली पहेली छापी — और उसका सही उत्तर दिया। दस हज़ार पाठकों ने, जिनमें सैकड़ों गणित के शोध-उपाधिधारी थे, लिखकर ज़ोर दिया कि वे ग़लत हैं। यह समस्या आपको [वृक्ष](#met-g10-proba-tree) ([विधि 9.8](#met-g10-proba-tree)), [पूरक](#def-g10-proba-operations) और योग के नियमों ([प्रमेय 9.6](#thm-g10-proba-addition)) से लैस करती है, विवाद स्वयं सुलझाने देती है, और उस औज़ार पर समाप्त होती है जो व्यवहार में ऐसे हर झगड़े का पंच है: उतार-चढ़ाव करता [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample)।

**भाग I — नियम, गरमाहट के साथ।**

1. $52$ पत्तों की मानक गड्डी से एक पत्ता: योग के नियम से $P(\text{बादशाह या पान})$ निकालिए — और बताइए कि अकेला $\frac{4}{52} + \frac{13}{52}$ ग़लत क्यों है।
2. एक न्यायसंगत सिक्के के तीन उछाल: [पूरक](#def-g10-proba-operations) से $P(\text{कम से कम एक  चित})$ निकालिए।
3. एक थैले में $3$ लाल और $2$ नीले कंचे हैं; दो बिना वापसी के निकाले जाते हैं। [वृक्ष](#met-g10-proba-tree) से $P(\text{दो लाल})$ और $P(\text{प्रत्येक रंग का एक})$ निकालिए।
4. प्रश्न 3 के बंटन को $P(\text{दो नीली})$ से पूरा कीजिए और जाँचिए कि तीनों [प्रायिकताओं](#def-g10-proba-distribution) का योग $1$ है।
5. कोई व्यक्ति दो *[असंगत](#def-g10-proba-operations)* [घटनाओं](#def-g10-proba-events) के लिए $P(A) = 0.6$ और $P(B) = 0.5$ बताता है। अंकगणित की एक पंक्ति से उसे दोषी सिद्ध कीजिए।

**भाग II — तीन दरवाज़े।** खेल यह है: तीन दरवाज़ों में से एक के पीछे कार छिपी है और बाक़ी दो के पीछे बकरियाँ। आप एक दरवाज़ा चुनते हैं (मान लीजिए दरवाज़ा 1)। संचालक — जो *जानता* है कि कार कहाँ है — बाक़ी दो में से एक दरवाज़ा खोलता है और हमेशा बकरी दिखाता है, और फिर आपको बचे हुए बंद दरवाज़े पर बदल जाने का अवसर देता है।

6. कुछ भी निकालने से पहले: बदलने से लाभ होता है, हानि होती है, या कोई अंतर नहीं पड़ता? अपना पहला अनुमान लिख लीजिए — ईमानदारी से।
7. अब कार की सच्ची स्थिति पर स्थितियाँ बाँटकर [वृक्ष](#met-g10-proba-tree) बनाइए (हर एक $\frac13$ ): यदि कार आपके ही दरवाज़े के पीछे हो, तो बदलने पर हार; यदि वह बाक़ी दोनों में से किसी के पीछे हो, तो संचालक को क्या करना ही पड़ेगा, और तब बदलने पर क्या जीत होती है? $P(\text{बदलकर जीत})$ निकालिए।
8. एक-पंक्ति वाला रूप: बदलने पर जीत ठीक तब होती है जब आपका पहला चुनाव ग़लत था। फिर से निष्कर्ष निकालिए।
9. अब निर्णायक रूपांतर — “मॉन्टी गिर पड़ा”: संचालक *नहीं* जानता कि कार कहाँ है, बाक़ी दरवाज़ों में से एक यादृच्छिक रूप से खोलता है, और संयोग से बकरी निकल आती है। छह समसंभावी परिदृश्य (कार की स्थिति $\times$ खोला गया दरवाज़ा) गिनाइए, उन्हें हटाइए जिनमें कार दिख जाती है, और *बचे हुए परिदृश्यों में* बदलने पर जीतने की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) निकालिए। क्या बदला, और संचालक का जानना क्यों मायने रखता है?
10. अंतर्ज्ञान का पंप: सौ दरवाज़े, आप एक चुनते हैं, जानकार संचालक $98$ बकरी-दरवाज़े खोल देता है। बदलेंगे? जीतने की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) कितनी?
11. आपके सामने एक संशयवादी है जो, उन हज़ार पत्र-लेखकों की तरह, “50–50” पर अड़ा है। ताश पर आधारित एक अनुकरण का वर्णन कीजिए (तीन पत्ते, अनेक दौर, और एक मित्र संचालक के रूप में) और बताइए कि $300$ दौरों के बाद बदलने पर जीत का कितना अनुपात आप अपेक्षित करते हैं — और अपने अंतर के लिए इस अध्याय का उतार-चढ़ाव [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) लीजिए।

**भाग III — विरोधाभास के भाई-बंधु।**

12. किसी परिवार में दो संतानें हैं; आपको पता चलता है कि *कम से कम एक लड़का है* । इस सूचना के अनुकूल दो-संतान वाली समसंभावी रचनाएँ गिनाइए और $P(\text{दो लड़के})$ निकालिए।
13. वही परिवार, पर अब सूचना यह है: *बड़ी संतान लड़का है* । फिर से निकालिए। दोनों उत्तर अलग क्यों हैं, और उनमें दोनों मॉन्टी वाली बात क्या साझी है?
14. तीन न्यायसंगत सिक्के: $P(\text{तीनों एक जैसे})$ निकालिए। गणितज्ञ दालम्बेर ने 1754 में एक और उत्तर के पक्ष में तर्क दिया था: “या तो तीनों एक जैसे होंगे या नहीं — दो में से एक स्थिति।” [प्रतिज्ञप्ति 9.3](#prop-g10-proba-uniform) हाथ में लेकर ठीक-ठीक बताइए कि त्रुटि क्या है।
15. एक खेल का शुल्क $2$ यूरो है: पासा फेंकिए, छक्के पर $6$ यूरो जीतिए, पंजे पर $3$ यूरो, अन्यथा कुछ नहीं ( [अभ्यास 9.9](#exo-g10-proba-9) )। $600$ खेलों में गिनती के अनुसार प्रति खेल कितना औसत लाभ निकलता है? बीमाकर्ता भी यही गणित खेलता है: $10\,000$ यूरो के दावे की $1\,\%$ वार्षिक संभावना — *न्यायसंगत* प्रीमियम क्या है, और वास्तविक प्रीमियम उससे अधिक क्यों होता है?

**भाग IV — [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample) पंच के रूप में।**

16. एक सिक्का $100$ बार उछाला जाता है। उतार-चढ़ाव [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $p \pm \frac{1}{\sqrt n}$ का उपयोग करके तय कीजिए कि इनमें से कौन-से परिणाम भौंहें चढ़ानी चाहिए: $55$ चित; $70$ चित।
17. $1\,000$ मतदाताओं के एक सर्वेक्षण में किसी उम्मीदवार को $52\,\%$ मिलता है। $50\,\%$ के आसपास उतार-चढ़ाव [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) निकालिए और बताइए कि क्या यह सर्वेक्षण *सिद्ध* करता है कि उम्मीदवार आगे है।
18. एक कारख़ाना $4\,\%$ दोषपूर्ण पुर्ज़ों का दावा करता है। $400$ का एक [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample) $28$ दोषपूर्ण दिखाता है ( $7\,\%$ ); बाद में $2\,500$ का एक [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample) $175$ दिखाता है (फिर $7\,\%$ )। हर [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample) के विरुद्ध उस दावे की जाँच कीजिए। दोनों निर्णय अलग क्यों हैं?
19. हर सर्वेक्षण पर दो त्रुटि-स्रोत मँडराते हैं: प्रतिदर्शन की *अभिनति* (माध्यमिक विद्यालय खंड की “आँकड़े कैसे झूठ बोलते हैं” वाली सप्ताहांत समस्या) और प्रतिदर्शन का *उतार-चढ़ाव* (यह अध्याय)। $n$ बढ़ने पर कौन-सा सिकुड़ता है, और कौन-सा किसी भी प्रतिदर्श-आकार पर बचा रहता है? एक-एक वाक्य में।
20. समापन — प्रायिकतावादी की जाँच-सूची, हर मद पर एक पंक्ति: गिनने से पहले परिणाम समसंभावी हों (प्रश्न 15); बहु-चरणीय और “कम से कम” वाली स्थितियों के लिए [वृक्ष](#met-g10-proba-tree) और [पूरक](#def-g10-proba-operations) (प्रश्न 2–3); *सूचना [प्रायिकताएँ](#def-g10-proba-distribution) बदल देती है, और वह किस तरह मिली यह भी मायने रखता है* (प्रश्न 7–14); [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample) लगभग $\frac{1}{\sqrt n}$ उतार-चढ़ाव करते हैं, और अनुकरण पंच का काम करता है (प्रश्न 11, 16–18)।

**हल — समस्या 9.1.**

**1.** $P(\text{बादशाह या पान}) = \frac{4}{52} +
\frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$: पान का बादशाह दोनों [घटनाओं](#def-g10-proba-events) में बैठा है और उसे दो बार नहीं गिनना चाहिए — इसीलिए घटाव ([प्रमेय 9.6](#thm-g10-proba-addition))।

**2.** $P(\text{कोई चित नहीं}) = \left(\frac12\right)^3 =
\frac18$, इसलिए $P(\text{कम से कम एक}) = \frac78$।

**3.** $P(RR) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$; $P(\text{प्रत्येक का एक}) = \frac35 \times \frac24 + \frac25
\times \frac34 = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac35$।

**4.** $P(BB) = \frac25 \times \frac14 = \frac1{10}$; और $\frac{3}{10} + \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = 1$: [वृक्ष](#met-g10-proba-tree) के पत्तों का योग सदा $1$ होता है।

**5.** [असंगत](#def-g10-proba-operations) [घटनाएँ](#def-g10-proba-events) $P(A \cup B) = P(A) +
P(B) = 1.1 > 1$ मानती हैं: असंभव — कहीं से [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) गढ़ ली गई है।

**6.** (अधिकांश लोग, उन हज़ार पत्र-लेखकों सहित, कहते हैं “कोई अंतर नहीं पड़ता, 50–50”। अपना उत्तर प्रश्न 8 के लिए सँभालकर रखिए।)

**7.** कार दरवाज़े 1 के पीछे ([प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $\frac13$): संचालक दोनों में से कोई भी बकरी-दरवाज़ा खोल देता है; बदलने पर कार हाथ से निकल जाती है: *हार*। कार दरवाज़े 2 के पीछे ($\frac13$): संचालक को दरवाज़ा 3 खोलना *ही* पड़ता है; बदलने पर आप दरवाज़े 2 पर आ जाते हैं: *जीत*। कार दरवाज़े 3 के पीछे: सममित: *जीत*। कुल: $P(\text{बदलने पर जीत}) = \frac13 + \frac13 = \frac23$।

**8.** आपका पहला चुनाव [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $\frac23$ से ग़लत होता है — और ठीक तभी संचालक की मजबूरी में खोली गई बकरी बची हुई दरवाज़े के पीछे कार छोड़ देती है: बदलना हर आरंभिक भूल को जीत में बदल देता है। $\frac23$, चाहे पहला अनुमान कुछ भी कहता रहा हो।

**9.** छह समसंभावी परिदृश्य: कार $1$, $2$ या $3$ के पीछे, और संचालक दरवाज़ा $2$ या $3$ खोलता है (आपका कभी नहीं)। उनमें से दो में कार दिख जाती है (कार 2 पर/खोला 2, कार 3 पर/खोला 3): वे हटा दिए जाते हैं। बचे हुए चार में — कार 1/खोला 2, कार 1/खोला 3, कार 2/खोला 3, कार 3/खोला 2 — बदलने पर अंतिम दो में जीत होती है: $\frac24 = \frac12$। अनजान संचालक के साथ 50–50 *सही ही* है: विरोधाभास पूरा का पूरा संचालक के ज्ञान में बसता है, जो परिदृश्यों को असमान रूप से छानता है।

**10.** आपके चुनाव में कार होने की [प्रायिकता](#def-g10-proba-distribution) $\frac{1}{100}$ है; जानकार संचालक की $98$ खुलाइयाँ बची हुई $\frac{99}{100}$ को उस एक बंद दरवाज़े पर कीप की तरह उड़ेल देती हैं। बदलिए, और $100$ में $99$ बार जीतिए।

**11.** तीन पत्ते (एक इक्का, दो जोकर), एक मित्र जो झाँककर देख लेता है और आपके न चुने हुए दो में से हमेशा एक जोकर हटा देता है; $300$ दौर खेलिए, हमेशा बदलिए, और जीत दर्ज कीजिए। अपेक्षित [आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) $\frac23 \approx 0.667$, और उतार-चढ़ाव $\pm\frac{1}{\sqrt{300}} \approx 0.058$: लगभग $61\,\%$ और $72\,\%$ के बीच बदलने पर जीत की अपेक्षा कीजिए — किसी भी “50–50” से कोसों दूर।

**12.** समसंभावी रचनाएँ (बड़ा–छोटा): BB, BG, GB, GG। “कम से कम एक लड़का” BB, BG, GB रहने देता है: $P(\text{BB}) = \frac13$।

**13.** “बड़ी संतान लड़का है” BB, BG रहने देता है: $P(\text{BB}) = \frac12$। भिन्न सूचना भिन्न परिदृश्य-समुच्चय छानती है — ठीक वैसे ही जैसे दोनों मॉन्टी ने किया: आप क्या जानते हैं यह मायने रखता है, और *कैसे* जाना यह भी उतना ही।

**14.** तीनों एक जैसे: HHH, TTT: $\frac28 = \frac14$। दालम्बेर की त्रुटि: उनकी दोनों “स्थितियाँ” समसंभावी नहीं हैं — “तीनों एक जैसे नहीं” आठ में से छह परिणामों को एक गठरी में बाँध देती है। [प्रतिज्ञप्ति 9.3](#prop-g10-proba-uniform) केवल समसंभावी परिणामों पर गिनती करता है।

**15.** प्रति खेल औसत जीत: $6 \times \frac16 + 3
\times \frac16 = 1.50$ यूरो, जबकि दाँव $2$ यूरो का है: प्रति खेल औसतन $0.50$ की हानि, और $600$ खेलों में लगभग $300$ यूरो। न्यायसंगत प्रीमियम औसत भुगतान के बराबर होता है: $1\,\% \times 10\,000 = 100$ यूरो; वास्तविक प्रीमियम में ख़र्च और सुरक्षा का अंतर जुड़ जाता है — बीमाकर्ता को बुरे वर्षों में भी जीवित रहना है, केवल औसत वर्षों में नहीं।

**16.** [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval): $0.5 \pm \frac{1}{\sqrt{100}} =
\intcc{0.4}{0.6}$। $55$ चित ($0.55$): भीतर, कुछ ख़ास नहीं। $70$ चित ($0.70$): बहुत बाहर — सिक्के पर संदेह कीजिए।

**17.** $\frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 0.032$: सचमुच $50\,\%$ वाला उम्मीदवार प्रायः $\intcc{0.468}{0.532}$ में सर्वेक्षित होता — और $0.52$ उसके भीतर आराम से बैठा है। सर्वेक्षण बढ़त का *संकेत* देता है पर सिद्ध कुछ नहीं करता: अंतर उसे निगल जाता है।

**18.** पहला [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample): [अंतराल](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $0.04 \pm \frac{1}{20} =
\intcc{0}{0.09}$; प्रेक्षित $0.07$ भीतर है: कोई निर्णय नहीं। दूसरा: $0.04 \pm \frac{1}{50} = \intcc{0.02}{0.06}$; प्रेक्षित $0.07$ बाहर पड़ता है: अब दावा गंभीर संदेह में है। वही [आपेक्षिक बारंबारता](https://one-course.com/books/math/2/hi/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series), पर पैना यंत्र: यथार्थता $\sqrt n$ की तरह बढ़ती है।

**19.** उतार-चढ़ाव $\frac{1}{\sqrt n}$ की तरह सिकुड़ता है: [प्रतिदर्श](#def-g10-proba-sample) चौगुना कीजिए, शोर आधा हो जाएगा। अभिनति — ग़लत भीड़ से पूछना — किसी भी $n$ पर बची रहती है: बीस लाख ग़लत चुने गए मतपत्र ग़लत ही रहे (माध्यमिक विद्यालय खंड की “आँकड़े कैसे झूठ बोलते हैं” वाली सप्ताहांत समस्या)।

**20.** (क) गिनने से पहले जाँचिए कि परिणाम समसंभावी हैं — दालम्बेर यही भूल गए। (ख) [वृक्ष](#met-g10-proba-tree) शाखाओं के अनुदिश गुणा करते हैं; “कम से कम एक” [पूरक](#def-g10-proba-operations) के आगे हथियार डाल देता है। (ग) सूचना परिदृश्य छानती है, और उसका *स्रोत* छन्नी बदल देता है — जानकार मॉन्टी बनाम गिरा हुआ मॉन्टी, बड़ा-लड़का बनाम कोई-एक-लड़का। (घ) आपेक्षिक बारंबारताएँ $\frac{1}{\sqrt n}$ की चाल से [प्रायिकताओं](#def-g10-proba-distribution) के पास पहुँचती हैं, इसलिए धैर्य से किया गया अनुकरण हर बहस सुलझा देता है — उस बहस को भी जिसमें दस हज़ार नाराज़ पत्र-लेखक हों।