---
title: "Bilangan dan Himpunan Bilangan"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 1
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan
---

# Bab 1 — Bilangan dan Himpunan Bilangan

Matematika bermula dari bilangan, dan tidak semua bilangan sejenis: bilangan untuk membilang, bilangan negatif, pecahan, serta bilangan seperti $\sqrt 2$ atau $\pi$ yang tidak dapat dinyatakan oleh pecahan mana pun. Bab ini menata semuanya menjadi keluarga yang saling bersarang, memperkenalkan [interval](#def-g10-numbers-interval) untuk menyatakan bagian dari garis bilangan, dan memakai [nilai mutlak](#def-g10-numbers-abs) untuk mengukur jarak antara dua bilangan.

## 1.1 Keluarga-keluarga bilangan

**Definisi 1.1 (Himpunan bilangan).**

- $\N$ adalah himpunan *bilangan cacah* : $0, 1, 2, 3, \dots$
- $\Z$ adalah himpunan *bilangan bulat* : $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
- $\Q$ adalah himpunan *bilangan rasional* : semua hasil bagi $\frac{p}{q}$ dengan $p \in \Z$ , $q \in \N$ dan $q \neq 0$ .
- $\R$ adalah himpunan *bilangan real* : semua bilangan yang dapat ditempatkan pada garis bilangan.

**Notasi 1.2.**

Lambang $\in$ dibaca “anggota dari”: $3 \in \N$, $-5 \in \Z$, $\frac23 \in \Q$. Lambang $\subset$ dibaca “termuat dalam”: setiap [bilangan cacah](#def-g10-numbers-sets) adalah [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets), setiap [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets) adalah [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) (misalnya $-5 = \frac{-5}{1}$), dan setiap [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) adalah [bilangan real](#def-g10-numbers-sets), sehingga

$$
\N \subset \Z \subset \Q \subset \R .
$$

Sebuah garis miring meniadakan lambang: $\frac12 \notin \Z$.

![Keluarga bilangan yang saling bersarang: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Setiap cincin memuat bilangan yang bukan anggota keluarga yang lebih kecil.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-numbers/fig-ec3c7dd471c4.svg)

*Keluarga bilangan yang saling bersarang: $\N \subset \Z \subset \Q \subset
\R$. Setiap cincin memuat bilangan yang bukan anggota keluarga yang lebih kecil.*

**Contoh 1.3.**

Mari kita tempatkan beberapa bilangan pada keluarga terkecil yang memuatnya.

- $\frac{28}{4} = 7$ , jadi $\frac{28}{4} \in \N$ meskipun ditulis sebagai pecahan: sederhanakan lebih dahulu.
- $-3.5 = -\frac{35}{10} = -\frac72$ bersifat rasional tetapi bukan [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets) .
- $0.333\dots$ (angka $3$ berulang tanpa henti) sama dengan $\frac13$ , yaitu sebuah [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) .
- $\sqrt 2$ dan $\pi$ bersifat real tetapi tidak rasional, seperti yang segera kita lihat untuk $\sqrt 2$ ; bilangan semacam itu disebut *irasional* .

**Teorema 1.4 (Sifat irasional 2\sqrt 22​).**

Bilangan $\sqrt 2$ tidak rasional: tidak ada pecahan [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets) yang kuadratnya $2$.

**Bukti.** Kita bernalar dengan kontradiksi, selangkah demi selangkah.

1. Andaikan $\sqrt 2 = \frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets) positif, dan pecahan itu sudah paling sederhana, sehingga $p$ dan $q$ tidak keduanya genap.
2. Mengkuadratkan kedua ruas memberi $2 = \frac{p^2}{q^2}$ , yaitu $p^2 = 2q^2$ . Jadi $p^2$ genap.
3. Jika $p$ ganjil, katakan $p = 2k+1$ , maka $p^2 = 4k^2 + 4k + 1$ akan ganjil. Karena $p^2$ genap, $p$ pasti genap: $p = 2k$ untuk suatu [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets) $k$ .
4. Substitusi: $(2k)^2 = 2q^2$ , jadi $4k^2 = 2q^2$ , jadi $q^2 = 2k^2$ . Dengan alasan yang sama seperti pada langkah 3, $q$ genap.
5. Kini $p$ dan $q$ keduanya genap, bertentangan dengan langkah 1. Pengandaian tadi mustahil: $\sqrt 2$ [irasional](#ex-g10-numbers-classify) .

∎

**Catatan 1.5.**

[Bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) tepat adalah bilangan yang bentuk desimalnya berhenti (seperti $\frac72 = 3.5$) atau akhirnya mengulang blok yang sama tanpa henti (seperti $\frac13 = 0.333\dots$ atau $\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\dots$). [Bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) seperti $\sqrt2 = 1.41421356\dots$ mempunyai angka desimal yang tidak pernah membentuk pola berulang. Ciri ini kita terima tanpa bukti pada tingkat ini.

## 1.2 Garis bilangan dan interval

[Bilangan real](#def-g10-numbers-sets) memenuhi sebuah garis: setelah dipilih titik asal $0$ dan satuan panjang, setiap [bilangan real](#def-g10-numbers-sets) berpadanan dengan tepat satu titik.

**Definisi 1.6 (Interval).**

Misalkan $a$ dan $b$ [bilangan real](#def-g10-numbers-sets) dengan $a < b$. Sebuah *interval* adalah himpunan semua [bilangan real](#def-g10-numbers-sets) di antara dua batas. Kurung siku berarti batas itu termasuk, kurung biasa berarti batas itu tidak termasuk:

| notasi | keterangan |
| --- | --- |
| $\intcc{a}{b}$ | $a \leq x \leq b$ (kedua ujung termasuk) |
| $\intoo{a}{b}$ | $a < x < b$ (kedua ujung tidak termasuk) |
| $\intco{a}{b}$ | $a \leq x < b$ |
| $\intoc{a}{b}$ | $a < x \leq b$ |
| $\intco{a}{+\infty}$ | $x \geq a$ |
| $\intoo{-\infty}{b}$ | $x < b$ |

Lambang $-\infty$ dan $+\infty$ (“takhingga”) bukan bilangan, melainkan sekadar cara mengatakan bahwa interval itu berlanjut tanpa henti; kurung di sebelahnya selalu kurung biasa. Seluruh garis $\R$ adalah interval $\intoo{-\infty}{+\infty}$.

![Interval pada garis bilangan: titik penuh untuk batas yang termasuk, titik kosong untuk batas yang tidak termasuk.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-numbers/fig-cfc1de785072.svg)

*[Interval](#def-g10-numbers-interval) pada garis bilangan: titik penuh untuk batas yang termasuk, titik kosong untuk batas yang tidak termasuk.*

**Definisi 1.7 (Irisan dan gabungan).**

Misalkan $I$ dan $J$ dua himpunan [bilangan real](#def-g10-numbers-sets). Himpunan bilangan yang termasuk dalam keduanya disebut *irisan* $I \cap J$ (dibaca “$I$ dan $J$”), sedangkan himpunan bilangan yang termasuk dalam paling sedikit salah satunya disebut *gabungan* $I \cup J$ (dibaca “$I$ atau $J$”).

**Contoh 1.8.**

Ambil $I = \intcc{-1}{3}$ dan $J = \intoo{1}{5}$. Gambarlah keduanya pada garis yang sama: keduanya bertumpang tindih antara $1$ dan $3$. Karena itu

$$
I \cap J = \intoc{1}{3},
\qquad
I \cup J = \intco{-1}{5}.
$$

Perhatikan kurungnya: $1 \notin J$ sehingga $1 \notin I \cap J$, tetapi $3 \in I$ dan $3 \in J$, sehingga $3 \in I \cap J$.

**Metode 1.9 (Bekerja dengan interval).**

Untuk mencari [irisan](#def-g10-numbers-interunion) atau [gabungan](#def-g10-numbers-interunion) dua [interval](#def-g10-numbers-interval):

1. gambarlah garis bilangan dan tandai keempat batasnya;
2. arsirlah [interval](#def-g10-numbers-interval) pertama di atas garis dan [interval](#def-g10-numbers-interval) kedua di bawahnya;
3. [irisannya](#def-g10-numbers-interunion) adalah tempat kedua arsiran bertumpang tindih, [gabungannya](#def-g10-numbers-interunion) adalah tempat paling sedikit satu arsiran hadir;
4. tentukan setiap kurung dengan menguji apakah batas itu sendiri termasuk dalam kedua himpunan ( [irisan](#def-g10-numbers-interunion) ) atau paling sedikit dalam satu himpunan ( [gabungan](#def-g10-numbers-interunion) ).

## 1.3 Nilai mutlak dan jarak

**Definisi 1.10 (Nilai mutlak).**

*Nilai mutlak* sebuah [bilangan real](#def-g10-numbers-sets) $x$ adalah

$$
\abs{x} =
\begin{cases}
x & \text{jika } x \geq 0, \\
-x & \text{jika } x < 0.
\end{cases}
$$

Sebagai contoh $\abs{7} = 7$ dan $\abs{-4} = 4$. Dalam setiap hal berlaku $\abs{x} \geq 0$.

**Proposisi 1.11 (Jarak pada garis).**

Untuk semua [bilangan real](#def-g10-numbers-sets) $a$ dan $b$, jarak antara titik $a$ dan titik $b$ pada garis bilangan adalah $\abs{b - a}$. Khususnya, $\abs{x}$ adalah jarak dari $x$ ke $0$.

**Bukti.** Jika $b \geq a$, jarak dari $a$ ke $b$ adalah $b - a \geq 0$, yang sama dengan $\abs{b-a}$. Jika $b < a$, jaraknya adalah $a - b = -(b - a) > 0$, yang lagi-lagi sama dengan $\abs{b - a}$ menurut definisi [nilai mutlak](#def-g10-numbers-abs). ∎

**Proposisi 1.12 (Nilai mutlak dan interval).**

Misalkan $a$ [bilangan real](#def-g10-numbers-sets) dan $r > 0$. Maka

$$
\abs{x - a} \leq r
\quad\text{tepat ketika}\quad
x \in \intcc{a - r}{a + r}.
$$

**Bukti.** $\abs{x-a} \leq r$ menyatakan bahwa jarak dari $x$ ke $a$ paling banyak $r$, yaitu bahwa $x$ terletak tidak lebih jauh daripada $r$ dari $a$ pada kedua sisi. Bilangan yang memenuhi syarat ini tepat adalah bilangan antara $a - r$ dan $a + r$, dengan kedua batas termasuk. ∎

![Pertidaksamaan |x - a| ≤ r menyatakan interval bilangan yang berjarak paling banyak r dari a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-numbers/fig-fd741c75d5ad.svg)

*Pertidaksamaan $\abs{x - a} \leq r$ menyatakan [interval](#def-g10-numbers-interval) bilangan yang berjarak paling banyak $r$ dari $a$.*

**Contoh 1.13.**

Selesaikan $\abs{x - 3} \leq 2$. Penyelesaiannya adalah bilangan yang berjarak paling banyak $2$ dari $3$: [interval](#def-g10-numbers-interval) $\intcc{1}{5}$. Sebaliknya, [interval](#def-g10-numbers-interval) $\intcc{-1}{7}$ berpusat di $\frac{-1+7}{2} = 3$ dan berjari-jari $\frac{7-(-1)}{2} = 4$, sehingga dapat dinyatakan oleh $\abs{x - 3} \leq 4$.

## 1.4 Hampiran

[Bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify), bahkan sebagian besar pecahan, tidak dapat ditulis secara tepat dengan angka desimal yang berhingga banyaknya, sehingga dalam praktik kita menghampirinya.

**Definisi 1.14 (Hampiran dengan ketelitian tertentu).**

Bilangan $d$ disebut *hampiran* bagi $x$ dengan ketelitian $10^{-n}$ apabila $\abs{x - d} \leq 10^{-n}$. Pemenggalan dan pembulatan bentuk desimal pada angka ke-$n$ sama-sama menghasilkan hampiran seperti itu.

**Contoh 1.15.**

Dari $\pi = 3.14159\,26\dots$: pemenggalan $3.141$ dan pembulatan $3.142$ sama-sama merupakan [hampiran](#def-g10-numbers-approx) bagi $\pi$ dengan ketelitian $10^{-3}$. Pembulatan berjarak kurang dari $\frac12 \times 10^{-3}$, sedangkan pemenggalan hanya menjamin $10^{-3}$. Menulis $3.141 \leq \pi \leq 3.142$ berarti *mengapit* $\pi$ di antara dua batas desimal.

## 1.5 Latihan

**Latihan 1.1 ★.**

Untuk setiap bilangan, sebutkan yang terkecil di antara himpunan $\N$, $\Z$, $\Q$, $\R$ yang memuatnya:

$$
\frac{15}{3}, \qquad -7, \qquad \frac{22}{7}, \qquad \sqrt{9}, \qquad
\sqrt{10}, \qquad -2.4, \qquad 0 .
$$

**Solusi Latihan 1.1.**

$\frac{15}{3} = 5 \in \N$. $-7 \in \Z$. $\frac{22}{7} \in \Q$ (bukan [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets): $22 = 7 \times 3 + 1$). $\sqrt 9 = 3 \in \N$. $\sqrt{10} \in \R$ ([irasional](#ex-g10-numbers-classify), sebab $10$ bukan kuadrat sebuah [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) — diterima di sini, sejalan dengan [Teorema 1.4](#thm-g10-numbers-sqrt2)). $-2.4 = -\frac{24}{10} \in \Q$. $0 \in \N$.

**Latihan 1.2 ★.**

Tulislah setiap pernyataan berikut dengan notasi [interval](#def-g10-numbers-interval), lalu gambarlah pada garis bilangan: (a) $-2 \leq x < 5$; (b) $x > 3$; (c) $x \leq -1$; (d) jarak dari $x$ ke $2$ paling banyak $3$.

**Solusi Latihan 1.2.**

(a) $\intco{-2}{5}$: titik penuh di $-2$, titik kosong di $5$. (b) $\intoo{3}{+\infty}$: titik kosong di $3$, arsiran ke kanan. (c) $\intoc{-\infty}{-1}$: arsiran dari kiri sampai titik penuh di $-1$. (d) “jarak dari $x$ ke $2$ paling banyak $3$” berarti $\abs{x - 2} \leq 3$, yaitu $x \in \intcc{-1}{5}$: titik penuh di $-1$ dan $5$.

**Latihan 1.3 ★.**

Hitunglah $I \cap J$ dan $I \cup J$ untuk

$$
\text{(a) } I = \intcc{-3}{2},\ J = \intco{0}{4};
\qquad
\text{(b) } I = \intoo{-\infty}{1},\ J = \intco{-2}{+\infty}.
$$

**Solusi Latihan 1.3.**

(a) Kedua [interval](#def-g10-numbers-interval) bertumpang tindih antara $0$ dan $2$: $I \cap J = \intcc{0}{2}$ ($0 \in J$ dan $2 \in I$, dan keduanya juga anggota himpunan yang lain), lalu $I \cup J = \intco{-3}{4}$.

(b) $I \cap J$ adalah himpunan $x$ dengan $-2 \leq x$ dan $x < 1$: $\intco{-2}{1}$. [Gabungannya](#def-g10-numbers-interunion) meliputi segalanya: $I \cup J = \R$.

**Latihan 1.4 ★.**

Hitunglah tanpa kalkulator:

$$
\abs{-6}, \qquad \abs{4 - 9}, \qquad \abs{-3 - 5}, \qquad
\abs{\sqrt 2 - 1}, \qquad \abs{1 - \sqrt 2}.
$$

**Solusi Latihan 1.4.**

$\abs{-6} = 6$; $\abs{4 - 9} = \abs{-5} = 5$; $\abs{-3 - 5} = \abs{-8} = 8$; $\sqrt 2 > 1$ sehingga $\abs{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 - 1$; $1 - \sqrt2 < 0$ sehingga $\abs{1 - \sqrt2} = \sqrt2 - 1$ juga (sebuah bilangan dan lawannya mempunyai [nilai mutlak](#def-g10-numbers-abs) yang sama).

**Latihan 1.5 ★.**

Selesaikan persamaan dan pertidaksamaan berikut, lalu berikan himpunan penyelesaiannya:

$$
\abs{x} = 5, \qquad \abs{x - 1} = 3, \qquad \abs{x - 4} \leq 1, \qquad
\abs{x + 2} < 3 .
$$

(Perhatikan bahwa $\abs{x+2} = \abs{x - (-2)}$ adalah jarak ke $-2$.)

**Solusi Latihan 1.5.**

$\abs{x} = 5$: jarak $5$ dari $0$, jadi $x = 5$ atau $x = -5$.

$\abs{x - 1} = 3$: jarak $3$ dari $1$, jadi $x = 4$ atau $x = -2$.

$\abs{x - 4} \leq 1$: jarak paling banyak $1$ dari $4$, jadi $x \in \intcc{3}{5}$.

$\abs{x + 2} < 3$: jarak tegas kurang dari $3$ dari $-2$, jadi $x \in \intoo{-5}{1}$.

**Latihan 1.6 ★★.**

Nyatakan setiap [interval](#def-g10-numbers-interval) berikut dengan pertidaksamaan berbentuk $\abs{x - a} \leq r$ atau $\abs{x - a} < r$:

$$
\intcc{2}{8}, \qquad \intoo{-5}{1}, \qquad \intcc{-7}{-3}.
$$

**Solusi Latihan 1.6.**

Setiap [interval](#def-g10-numbers-interval) dinyatakan oleh pusatnya $a$ (titik tengah kedua batas) dan jari-jarinya $r$ (setengah panjangnya).

$\intcc{2}{8}$: $a = 5$, $r = 3$, jadi $\abs{x - 5} \leq 3$.

$\intoo{-5}{1}$: $a = -2$, $r = 3$, batas terbuka, jadi $\abs{x + 2} < 3$.

$\intcc{-7}{-3}$: $a = -5$, $r = 2$, jadi $\abs{x + 5} \leq 2$.

**Latihan 1.7 ★★.**

Tunjukkan bahwa $0.272727\dots$ (blok $27$ berulang tanpa henti) bersifat rasional. (Petunjuk: namai bilangan itu $x$ lalu hitunglah $100x - x$.)

**Solusi Latihan 1.7.**

Misalkan $x = 0.272727\dots$ Maka $100x = 27.2727\dots$, lalu dikurangkan:

$$
100x - x = 27.2727\dots - 0.2727\dots = 27,
$$

sehingga $99x = 27$ dan $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$, yaitu hasil bagi dua [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets): $x$ bersifat rasional.

**Latihan 1.8 ★★.**

Benar atau salah? Berikan alasan berupa argumen atau contoh penyangkal.

1. Jumlah dua [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets) adalah [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets) .
2. Hasil bagi dua [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets) adalah [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets) .
3. Jumlah dua [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) bersifat rasional.
4. Jumlah sebuah [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) dan sebuah [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) bersifat [irasional](#ex-g10-numbers-classify) .

**Solusi Latihan 1.8.**

*1. Benar:* menjumlahkan [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets) (bilangan utuh positif atau negatif) selalu menghasilkan [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets).

*2. Salah:* $\frac{1}{2}$ adalah hasil bagi [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets) $1$ dan $2$ dan bukan [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets).

*3. Benar:* $\frac pq + \frac{p'}{q'} = \frac{pq' + p'q}{qq'}$ lagi-lagi merupakan hasil bagi dua [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets) (dengan penyebut taknol).

*4. Benar:* andaikan $r$ rasional, $t$ [irasional](#ex-g10-numbers-classify), dan $r + t = s$ juga rasional. Maka $t = s - r$ menjadi selisih dua [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets), sehingga rasional (menurut 3, dengan $-r$) — kontradiksi. Jadi $r + t$ bersifat [irasional](#ex-g10-numbers-classify).

**Latihan 1.9 ★★.**

Dengan memakai $1.414 \leq \sqrt 2 \leq 1.415$, apitlah bilangan $2\sqrt2$, $\sqrt2 + 3$ dan $-\sqrt2$ di antara dua batas desimal.

**Solusi Latihan 1.9.**

Mengalikan $1.414 \leq \sqrt2 \leq 1.415$ dengan $2 > 0$: $2.828 \leq 2\sqrt2 \leq 2.830$.

Menambahkan $3$: $4.414 \leq \sqrt2 + 3 \leq 4.415$.

Mengalikan dengan $-1 < 0$ membalik arah pertidaksamaan: $-1.415 \leq -\sqrt2 \leq -1.414$.

**Latihan 1.10 ★★★.**

Sesuaikan bukti [Teorema 1.4](#thm-g10-numbers-sqrt2) untuk menunjukkan bahwa $\sqrt 3$ [irasional](#ex-g10-numbers-classify). (Gantilah “genap” dengan “kelipatan $3$”: periksa lebih dahulu bahwa jika $p^2$ kelipatan $3$, maka $p$ pun demikian, dengan meninjau sisa $0$, $1$, $2$ dari $p$ pada pembagian oleh $3$.)

**Solusi Latihan 1.10.**

Pertama fakta bantunya. Bagilah $p$ oleh $3$: sisanya $0$, $1$ atau $2$, yaitu $p = 3k$, $p = 3k+1$ atau $p = 3k+2$. Dikuadratkan:

$$
(3k)^2 = 3(3k^2), \quad
(3k+1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1, \quad
(3k+2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 .
$$

Hanya yang pertama merupakan kelipatan $3$: jika $p^2$ kelipatan $3$, maka $p$ juga demikian.

Kini andaikan $\sqrt3 = \frac pq$ sudah paling sederhana. Mengkuadratkan memberi $p^2 = 3q^2$, sehingga $p^2$ kelipatan $3$, sehingga $p = 3k$. Lalu $9k^2 = 3q^2$, sehingga $q^2 = 3k^2$ dan $q$ pun kelipatan $3$ — padahal pecahan $\frac pq$ tadi sudah paling sederhana: kontradiksi. Jadi $\sqrt3$ bersifat [irasional](#ex-g10-numbers-classify).

## 1.6 Soal: Di antara dua bilangan mana pun

**Soal 1.1.**

Soal akhir pekan — bilangan rasional dan irasional saling berselang-seling: setiap interval, sekecil apa pun, memuat tak hingga banyak bilangan dari kedua jenis, dan tidak ada pengukuran yang mampu membedakannya

[Bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) tampak seperti kerumunan (semua pecahan!) dan [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) seperti perkecualian yang langka ($\sqrt2$, $\pi$). Soal ini menyingkap gambaran yang sebenarnya: kedua keluarga itu *berselang-seling* begitu rapat sehingga setiap [interval](#def-g10-numbers-interval) garis bilangan, sekecil apa pun, memuat tak hingga banyak bilangan dari kedua jenis — dengan akibat yang mengejutkan, misalnya: tidak ada pengukuran fisis, seberapa pun telitinya, yang dapat memutuskan apakah suatu panjang bersifat rasional.

**Bagian I — Empat kerajaan.**

1. Untuk setiap bilangan, sebutkan yang terkecil di antara himpunan $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ yang memuatnya ( [Definisi 1.1](#def-g10-numbers-sets) ): $-7$ ; $\frac{13}{4}$ ; $\sqrt{16}$ ; $0.121212\ldots$ (ingat kembali soal akhir pekan tentang desimal berulang pada jilid sebelumnya); $\sqrt8$ ; $\pi$ (terima saja sifat [irasionalnya](#ex-g10-numbers-classify) — baru dibuktikan pada jilid universitas).
2. Buktikan bahwa $\Q$ tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian: jika $x = \frac pq$ dan $y = \frac rs$ rasional, tulislah $x + y$ dan $xy$ masing-masing sebagai satu pecahan.
3. Simpulkan dengan kontradiksi: (a) jumlah sebuah [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) dan sebuah [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) bersifat [irasional](#ex-g10-numbers-classify) ; (b) hasil kali sebuah [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) *taknol* dan sebuah [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) bersifat [irasional](#ex-g10-numbers-classify) .
4. Tunjukkan bahwa himpunan [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) tidak tertutup terhadap *kedua* operasi itu: berikan dua [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) yang jumlahnya rasional, dan dua yang hasil kalinya rasional.
5. Letakkan $\sqrt2 + \sqrt8$ dan $\sqrt2 \times \sqrt8$ di antara keempat kerajaan tadi (sederhanakan $\sqrt8$ lebih dahulu, dengan metode jilid sebelumnya).

**Bagian II — [Bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) itu padat.**

6. Carilah sebuah [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) yang terletak tegas di antara $3.47$ dan $3.48$ ; lalu carilah yang kedua; kemudian jelaskan cara menghasilkan sebanyak yang diinginkan (perbesaran pada soal akhir pekan tentang tiadanya bilangan berikutnya di jilid sebelumnya, kini dengan bukti yang sudah terlihat).
7. Teorema umumnya. Misalkan $a < b$ dua [bilangan real](#def-g10-numbers-sets) sebarang, dengan selisih $g = b - a > 0$ . Pilih $n$ dengan $10^{-n} < g$ , lalu tinjau kelipatan $10^{-n}$ (kisi desimal berlangkah $10^{-n}$ ). Jelaskan mengapa paling sedikit satu titik kisi jatuh tegas di antara $a$ dan $b$ , lalu simpulkan: *setiap [interval](#def-g10-numbers-interval) yang panjangnya positif memuat sebuah [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets)* .
8. Tingkatkan kesimpulan itu: setiap [interval](#def-g10-numbers-interval) semacam itu memuat *tak hingga banyak* [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) . (Terapkan pertanyaan 7 sekali lagi, di dalam [interval](#def-g10-numbers-interval) yang lebih kecil.)
9. Kini [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) : diberikan $a < b$ , ambil [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) $r$ yang terletak tegas di dalamnya (pertanyaan 7) lalu tinjau bilangan $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ . Dengan pertanyaan 3, tunjukkan bahwa bilangan itu [irasional](#ex-g10-numbers-classify) , dan bahwa untuk $k$ cukup besar bilangan itu masih terletak di dalam [interval](#def-g10-numbers-interval) : *setiap [interval](#def-g10-numbers-interval) juga memuat tak hingga banyak [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify)* .
10. Dua teka-teki klasik terpecahkan: adakah [bilangan real](#def-g10-numbers-sets) positif terkecil? Adakah [bilangan real](#def-g10-numbers-sets) “tepat setelah $3$ ”? Jawablah keduanya dengan teorema pertanyaan 7, dan berilah hormat kepada versi masa kecilnya (soal akhir pekan tentang tiadanya bilangan berikutnya di jilid sebelumnya).

**Bagian III — [Nilai mutlak](#def-g10-numbers-abs), geometri dari $\R$.**

11. Selesaikan, lalu nyatakan penyelesaiannya sebagai [interval](#def-g10-numbers-interval) atau [gabungan](#def-g10-numbers-interunion) ( [Proposisi 1.12](#prop-g10-numbers-absinterval) ): $\abs{x - 5} = 2$ ; $\abs{x - 5} < 2$ ; $\abs{x + 1} \geq 3$ .
12. Sebuah piston harus dibuat pada ukuran $80$ mm dengan toleransi $0.05$ mm. Tulislah syarat itu dengan [nilai mutlak](#def-g10-numbers-abs) , lalu sebagai [interval](#def-g10-numbers-interval) . Dua piston terukur $79.97$ dan $80.06$ mm: bagaimana putusannya?
13. Ketaksamaan segitiga pada garis: $\abs{a + b} \leq \abs a + \abs b$ . Periksalah pada $(a, b) = (3, -5)$ dan $(-2, -7)$ , buktikan ketika $a$ dan $b$ bertanda sama dan ketika keduanya bertanda berlawanan, lalu nyatakan tepat kapan kesamaan berlaku.
14. Selesaikan $\abs{x - 2} = \abs{x + 4}$ dengan membacanya sebagai kesamaan jarak pada garis. Titik mana pada soal akhir pekan tentang dua cermin di jilid sebelumnya yang baru saja dihitung di sini, satu dimensi lebih rendah?
15. Sederhanakan $\sqrt{x^2}$ — dengan cermat. Ujilah rumus itu pada $x = 3$ dan $x = -3$ , lalu pakailah untuk menyelesaikan $x^2 < 9$ dengan [nilai mutlak](#def-g10-numbers-abs) .

**Bagian IV — Apa yang tak dapat diputuskan oleh pengukuran.**

16. Seorang fisikawan mengukur sebatang logam: $1.41421 \pm 0.00001$ m. Dapatkah pengukuran semacam itu — yang ini atau yang lebih teliti di kemudian hari — *membuktikan* bahwa panjang batang itu [irasional](#ex-g10-numbers-classify) ? Atau bahwa panjangnya rasional? Pakailah pertanyaan 7 dan 9 pada [interval](#def-g10-numbers-interval) toleransinya, lalu jelaskan mengapa hanya *bukti* (seperti untuk diagonal, pada soal akhir pekan tentang sifat [irasional](#ex-g10-numbers-classify) di jilid sebelumnya) yang dapat memutuskannya.
17. Pemenggalan $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ , $1.4142,\dots$ dari $\sqrt2$ semuanya rasional. Apa yang ditunjukkannya tentang seberapa rapat $\Q$ mendesak setiap [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) ? Rumuskan fakta umumnya.
18. Aritmetika [interval](#def-g10-numbers-interval) : nilai terukur $a = 2.5 \pm 0.1$ dan $b = 1.2 \pm 0.1$ . Apitlah $a + b$ dan $a \times b$ di antara batas yang pasti. Operasi mana yang lebih banyak menurunkan ketelitian?
19. Aturan seorang insinyur mengatakan bahwa galat pengukuran yang saling bebas “bertambah” pada penjumlahan: nyatakan dengan ketaksamaan segitiga (pertanyaan 13) mengapa galat $a + b$ paling banyak sama dengan jumlah kedua galat — ketaksamaan itulah aturan keinsinyuran tersebut.
20. Penutup, dalam satu paragraf singkat: rangkailah gambaran garis [bilangan real](#def-g10-numbers-sets) yang dibangun oleh soal ini dan para pendahulunya — tiadanya bilangan berikutnya (soal akhir pekan tentang tiadanya bilangan berikutnya di jilid sebelumnya), [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) $=$ desimal berulang (soal akhir pekan tentang desimal berulang di jilid sebelumnya), kedua keluarga padat (pertanyaan 8 dan 9), pengukuran yang selamanya tak menentukan (pertanyaan 16). Akhiri dengan pancingan yang belum dapat dibuktikan bab ini: dalam pengertian yang tepat, bilangan *[irasional](#ex-g10-numbers-classify) jauh lebih banyak* daripada [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) — jilid universitas menghitung ketakhinggaan itu.

**Solusi Soal 1.1.**

**1.** $-7 \in \Z$; $\frac{13}{4} \in \Q$; $\sqrt{16} = 4 \in \N$; $0.121212\ldots = \frac{12}{99} =
\frac{4}{33} \in \Q$ (soal akhir pekan tentang desimal berulang di jilid sebelumnya); $\sqrt8 = 2\sqrt2$ bersifat [irasional](#ex-g10-numbers-classify), jadi himpunan terkecilnya $\R$; $\pi$: $\R$.

**2.** $\frac pq + \frac rs = \frac{ps + qr}{qs}$ dan $\frac pq \times \frac rs = \frac{pr}{qs}$: keduanya hasil bagi [bilangan bulat](#def-g10-numbers-sets) dengan penyebut taknol — jadi rasional.

**3.** (a) Jika $r$ rasional, $x$ [irasional](#ex-g10-numbers-classify) dan $r + x = q$ juga rasional, maka $x = q - r$ menjadi selisih dua [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets), sehingga rasional (pertanyaan 2): kontradiksi. (b) Jika $r \neq 0$ dan $r x = q$ rasional, maka $x = \frac qr$ rasional: kontradiksi.

**4.** $\sqrt2$ dan $-\sqrt2$ [irasional](#ex-g10-numbers-classify) dengan jumlah $0$; $\sqrt2$ dan $\sqrt2$ berhasil kali $2$. Hasil rasional dari bahan [irasional](#ex-g10-numbers-classify): [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) tidak membentuk kerajaan yang tertutup.

**5.** $\sqrt8 = 2\sqrt2$, sehingga $\sqrt2 + \sqrt8 = 3\sqrt2$: [irasional](#ex-g10-numbers-classify) (pertanyaan 3b, dengan pengali $3$). Dan $\sqrt2 \times \sqrt8 = \sqrt{16} = 4 \in \N$: hasil kali dua [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) mendarat di kerajaan yang paling kecil.

**6.** $3.475$, lalu $3.471$ (atau $3.4701$, $3.47001$, …): menambahkan angka desimal menghasilkan [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) baru di antara keduanya tanpa henti.

**7.** Kelipatan $10^{-n}$ berbaris di sepanjang garis dengan langkah $10^{-n} < g$. Kelipatan pertama yang tegas lebih besar daripada $a$ — kelipatan itu ada, sebab kelipatan tersebut akhirnya melampaui $a$ — terletak paling jauh satu langkah setelah $a$, jadi sebelum $a + g = b$: tegas di antara $a$ dan $b$. Titik kisi adalah bilangan desimal, jadi rasional: setiap [interval](#def-g10-numbers-interval) yang panjangnya positif memuat satu titik semacam itu.

**8.** Di antara $a$ dan [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) $r_1$ pada pertanyaan 7 terdapat (pertanyaan 7 lagi) [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) $r_2$; di antara $a$ dan $r_2$ terdapat [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) $r_3$; dan seterusnya: tak hingga banyak, semuanya berbeda, semuanya di dalam [interval](#def-g10-numbers-interval) semula.

**9.** $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ adalah jumlah sebuah [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) dan sebuah [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) ($\frac{\sqrt2}{10^k}$ [irasional](#ex-g10-numbers-classify) menurut pertanyaan 3b), jadi [irasional](#ex-g10-numbers-classify). Karena $\frac{\sqrt2}{10^k} < \frac{2}{10^k}$ mengecil di bawah batas mana pun, untuk $k$ cukup besar $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ masih terletak sebelum $b$: sebuah [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) di dalam [interval](#def-g10-numbers-interval) — dan dengan mengubah $k$ diperoleh tak hingga banyak.

**10.** Tidak ada [bilangan real](#def-g10-numbers-sets) positif terkecil: jika $s > 0$ adalah bilangan itu, [interval](#def-g10-numbers-interval) $(0, s)$ masih memuat [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) (pertanyaan 7) yang positif dan lebih kecil daripada $s$. Tidak ada bilangan tepat setelah $3$: setiap calon $c > 3$ menyisakan [interval](#def-g10-numbers-interval) $(3, c)$ yang tidak kosong — permainan pada soal akhir pekan tentang tiadanya bilangan berikutnya di jilid sebelumnya, kini menjadi teorema tentang $\R$.

**11.** $\abs{x - 5} = 2$: $x = 3$ atau $x = 7$. $\abs{x - 5} < 2$: $x \in \intoo{3}{7}$. $\abs{x + 1} \geq 3$: jarak ke $-1$ paling sedikit $3$: $x \in \intoc{-\infty}{-4} \cup \intco{2}{+\infty}$.

**12.** $\abs{d - 80} \leq 0.05$, yaitu $d \in \intcc{79.95}{80.05}$. Piston berukuran $79.97$ lolos; yang berukuran $80.06$ gagal, meleset seperseratus milimeter.

**13.** $(3, -5)$: $\abs{-2} = 2 \leq 8$. $(-2, -7)$: $\abs{-9} = 9 = 2 + 7$: kesamaan. Bertanda sama: $\abs{a + b}$ adalah jumlah kedua jarak, sama dengan $\abs a + \abs b$. Bertanda berlawanan: langkahnya berbalik arah, $\abs{a + b}$ menjadi *selisih* kedua jarak, tegas lebih kecil daripada jumlahnya (kecuali salah satunya $0$). Kesamaan berlaku tepat ketika $a$ dan $b$ bertanda sama atau salah satunya nol.

**14.** Penyelesaiannya adalah titik yang berjarak sama dari $2$ dan $-4$: titik tengahnya, $x = -1$. Titik itu adalah garis sumbu pada soal akhir pekan tentang dua cermin di jilid sebelumnya, yang mengerut ke satu dimensi: sebuah titik tunggal.

**15.** $\sqrt{x^2} = \abs{x}$, bukan $x$: untuk $x = -3$, $\sqrt{9} = 3 = \abs{-3} \neq -3$. Lalu $x^2 < 9$ terbaca $\sqrt{x^2} < 3$, yaitu $\abs x < 3$: $x \in \intoo{-3}{3}$.

**16.** Pengukuran itu hanya menegaskan bahwa panjangnya terletak di dalam [interval](#def-g10-numbers-interval) $\intcc{1.41420}{1.41422}$ — dan menurut pertanyaan 7 dan 9 *[interval](#def-g10-numbers-interval) itu memuat tak hingga banyak [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) dan tak hingga banyak [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify)*. Hal yang sama berlaku bagi setiap toleransi di kemudian hari, sekecil apa pun. Tidak ada pengukuran yang mampu memisahkan kedua keluarga itu; hanya bukti tentang panjang yang eksak — seperti bukti untuk diagonal persegi satuan (soal akhir pekan tentang sifat [irasional](#ex-g10-numbers-classify) di jilid sebelumnya) — yang mampu.

**17.** [Hampiran](#def-g10-numbers-approx) itu mendekati $\sqrt2$ dengan galat di bawah $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, \dots$: [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) mendesak $\sqrt2$ pada setiap skala. Fakta umumnya: setiap [bilangan real](#def-g10-numbers-sets) dapat didekati sedekat yang diinginkan oleh [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) (pemenggalan desimalnya) — kepadatan sekali lagi, dilihat dari sisi sasarannya.

**18.** $a + b \in \intcc{2.4 + 1.1}{2.6 + 1.3} =
\intcc{3.5}{3.9}$: ketakpastian $\pm 0.2$ (galat bertambah). $a \times b \in \intcc{2.4 \times 1.1}{2.6 \times 1.3} =
\intcc{2.64}{3.38}$: ketakpastian sekitar $\pm 0.37$ di sekitar $3$ — pada perkalian yang bertambah adalah galat relatifnya, jadi ketelitian merosot lebih cepat.

**19.** Tulislah nilai sebenarnya sebagai $a = 2.5 + e_1$, $b = 1.2 + e_2$ dengan $\abs{e_1}, \abs{e_2} \leq 0.1$. Maka galat jumlahnya adalah $\abs{e_1 + e_2} \leq \abs{e_1} +
\abs{e_2} \leq 0.2$: aturan insinyur itu *adalah* ketaksamaan segitiga pada pertanyaan 13.

**20.** Garis [bilangan real](#def-g10-numbers-sets) tidak berlubang dan tidak bertetangga: setelah suatu bilangan, tidak ada bilangan “berikutnya” (pertanyaan 10). Titik-titiknya terbelah menjadi [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) — tepatnya desimal yang berhenti atau berulang (soal akhir pekan tentang desimal berulang di jilid sebelumnya) — dan [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify), dan kedua keluarga itu terjalin begitu rapat sehingga setiap [interval](#def-g10-numbers-interval) memuat tak hingga banyak dari masing-masing (pertanyaan 8 dan 9); itulah sebabnya tidak ada pengukuran, melainkan hanya bukti, yang dapat membedakannya (pertanyaan 16). Dan kejutan terakhir, yang ditinggalkan sebagai janji: [bilangan irasional](#ex-g10-numbers-classify) lebih banyak daripada [bilangan rasional](#def-g10-numbers-sets) — bukan dengan membilang satu per satu, melainkan dalam pengertian yang tepat tentang membandingkan ketakhinggaan, sebuah teori yang dibangun pada jilid universitas.