---
title: "Fungsi dan Persamaan Kuadrat"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 10
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat
---

# Bab 10 — Fungsi dan Persamaan Kuadrat

[Fungsi kuadrat](#def-g11-quad-quadratic) adalah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) paling sederhana setelah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) linear, dan yang pertama yang [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) sungguh-sungguh melengkung. Bab ini menyusun kotak perkakas lengkapnya: [bentuk kanonik](#thm-g11-quad-canonical), [diskriminan](#def-g11-quad-discriminant), tanda sebuah bentuk kuadrat, dan geometri [parabola](#def-g11-quad-parabola).

## 10.1 Bentuk kanonik

**Definisi 10.1 (Fungsi kuadrat).**

Sebuah *fungsi kuadrat* adalah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) berbentuk

$$
f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,
$$

dengan $a$, $b$, $c$ [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets). Bentuk $ax^2 + bx + c$ disebut juga *trinomial kuadrat*.

**Teorema 10.2 (Bentuk kanonik).**

Setiap [fungsi kuadrat](#def-g11-quad-quadratic) dapat ditulis dengan tepat satu cara sebagai

$$
f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta,
\qquad\text{dengan } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ dan } \beta = f(\alpha).
$$

Inilah *bentuk kanonik* $f$.

**Bukti.** Kita *melengkapkan kuadratnya*. Karena $a \neq 0$, keluarkan faktor itu dari dua suku pertamanya:

$$
ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .
$$

Kini $x^2 + \frac{b}{a}x$ adalah awal kuadrat $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$, sehingga $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 -
\frac{b^2}{4a^2}$. Setelah disubstitusikan:

$$
f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c
= a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,
$$

dengan $\alpha = -\frac{b}{2a}$ dan $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$. Mengevaluasi di $x = \alpha$ mematikan suku kuadratnya, jadi $\beta = f(\alpha)$. Ketunggalannya: [menjabarkan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-expand) $a(x-\alpha)^2 + \beta$ lalu menyamakan koefisien $x$ memaksa $\alpha = -\frac{b}{2a}$, dan setelah itu $\beta$ pun tertentu. ∎

**Contoh 10.3.**

Misalkan $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$. Maka $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ dan $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$, sehingga

$$
f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .
$$

Periksa dengan [menjabarkannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-expand): $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 =
2x^2 - 8x + 3$.

**Proposisi 10.4 (Nilai ekstrem dan variasi).**

Misalkan $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$.

1. Jika $a > 0$ , maka $f$ turun pada $\intoc{-\infty}{\alpha}$ dan naik pada $\intco{\alpha}{+\infty}$ : jadi $f$ mempunyai *[minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema)* $\beta$ , yang dicapai di $x = \alpha$ .
2. Jika $a < 0$ , variasinya terbalik: $f$ mempunyai *[maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema)* $\beta$ di $x = \alpha$ .

**Bukti.** Andaikan $a > 0$ dan misalkan $\alpha \leq u < v$. Maka

$$
f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr)
= a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).
$$

Setiap faktornya positif: $a > 0$, $v - u > 0$, dan $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$ sebab $v > \alpha$ dan $u \geq \alpha$. Jadi $f(v) > f(u)$: $f$ naik pada $\intco{\alpha}{+\infty}$. Untuk $u < v \leq \alpha$ faktor terakhirnya negatif, sehingga $f(v) < f(u)$: $f$ turun di sana. Akhirnya $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ untuk semua $x$, jadi $\beta = f(\alpha)$ adalah [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema). Kasus $a < 0$ menyusul dengan menerapkan uraian di atas pada $-f$. ∎

**Contoh 10.5.**

Seorang petani mempunyai pagar sepanjang $100$ meter untuk mengelilingi ladang persegi panjang yang bersandar pada tembok lurus (tidak perlu pagar sepanjang tembok). Jika $x$ lebarnya, luas yang terkurung adalah $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$. Di sini $\alpha =
-\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ dan $A(25) = 25 \times 50 = 1250$: luasnya terbesar untuk lebar $25$ m, yaitu $1250$ m$^2$.

## 10.2 Akar dan pemfaktoran

**Definisi 10.6 (Akar, diskriminan).**

Sebuah *akar* trinomial $ax^2+bx+c$ adalah penyelesaian [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $ax^2 + bx + c = 0$. *Diskriminan* trinomial itu adalah bilangan

$$
\Delta = b^2 - 4ac .
$$

**Teorema 10.7 (Menyelesaikan ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0).**

1. Jika $\Delta > 0$, [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) mempunyai dua [akar](#def-g11-quad-discriminant) berbeda $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a},  \qquad  x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$$ dan $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
2. Jika $\Delta = 0$ , [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) mempunyai [akar](#def-g11-quad-discriminant) tunggal $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , dan $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
3. Jika $\Delta < 0$ , [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) tidak mempunyai penyelesaian real, dan trinomialnya tidak dapat difaktorkan dengan koefisien real.

**Bukti.** Mulailah dari [bentuk kanonik](#thm-g11-quad-canonical) yang dihitung pada [Teorema 10.2](#thm-g11-quad-canonical):

$$
ax^2+bx+c
= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}
= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],
$$

sebab $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} =
a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$.

*1.* Jika $\Delta > 0$, maka $\frac{\Delta}{4a^2} =
\left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ dan isi kurungnya adalah selisih dua kuadrat:

$$
ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)
\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)
= a(x - x_2)(x - x_1).
$$

Sebuah hasil kali bernilai nol tepat ketika salah satu faktornya nol, dan itu memberi kedua [akarnya](#def-g11-quad-discriminant), yang berbeda sebab $\sqrt\Delta \neq 0$.

*2.* Jika $\Delta = 0$, isi kurungnya adalah $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$, yang lenyap hanya di $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

*3.* Jika $\Delta < 0$, maka $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$, sehingga isi kurungnya adalah kuadrat ditambah bilangan positif: nilainya tidak pernah lenyap, dan [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) tidak mempunyai penyelesaian real. Pemfaktoran $a(x-x_1)(x-x_2)$ akan menghasilkan [akar](#def-g11-quad-discriminant), jadi pemfaktoran itu tidak ada. ∎

**Contoh 10.8.**

Selesaikan $2x^2 - 8x + 3 = 0$. Di sini $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 =
64 - 24 = 40 > 0$, jadi ada dua [akar](#def-g11-quad-discriminant):

$$
x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4}
= 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.
$$

Untuk $x^2 + x + 1 = 0$: $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, tanpa penyelesaian real.

**Proposisi 10.9 (Jumlah dan hasil kali akar).**

Jika $\Delta \geq 0$ dan $x_1, x_2$ [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) (sama ketika $\Delta = 0$), maka

$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},
\qquad
x_1 x_2 = \frac{c}{a} .
$$

Sebaliknya, dua bilangan yang berjumlah $s$ dan berhasil kali $p$ adalah penyelesaian $x^2 - sx + p = 0$.

**Bukti.** Jabarkan pemfaktoran pada [Teorema 10.7](#thm-g11-quad-roots):

$$
a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .
$$

Menyamakan koefisiennya dengan $ax^2 + bx + c$ memberi $-a(x_1+x_2) = b$ dan $a\,x_1x_2 = c$. Untuk kebalikannya, jika $u + v = s$ dan $uv = p$, maka $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$, jadi $u$ dan $v$ adalah [akarnya](#def-g11-quad-discriminant). ∎

**Contoh 10.10.**

Carilah dua bilangan yang berjumlah $10$ dan berhasil kali $21$. Keduanya memenuhi $x^2 - 10x + 21 = 0$; $\Delta = 100 - 84 = 16$, [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ dan $3$. *Menebak [akar](#def-g11-quad-discriminant) dengan cepat:* karena koefisien $x^2 - 5x + 4$ memenuhi $1 - 5 + 4 = 0$, bilangan $1$ adalah sebuah [akar](#def-g11-quad-discriminant), dan [akar](#def-g11-quad-discriminant) yang lain adalah $\frac{c}{a} = 4$ (hasil kali keduanya harus $\frac ca$).

## 10.3 Tanda sebuah bentuk kuadrat

**Teorema 10.11 (Tanda sebuah trinomial).**

Misalkan $f(x) = ax^2+bx+c$ dengan $a \neq 0$.

1. Jika $\Delta > 0$ , dengan [akar](#def-g11-quad-discriminant) $x_1 < x_2$ : maka $f(x)$ bertanda sama dengan $a$ di luar $\intcc{x_1}{x_2}$ , dan bertanda sama dengan $-a$ pada $\intoo{x_1}{x_2}$ .
2. Jika $\Delta = 0$ : $f(x)$ bertanda sama dengan $a$ untuk semua $x \neq x_0$ , dan lenyap di $x_0$ .
3. Jika $\Delta < 0$ : $f(x)$ bertanda sama dengan $a$ untuk semua $x$ .

Singkatnya: *sebuah trinomial bertanda sama dengan $a$, kecuali di antara [akarnya](#def-g11-quad-discriminant)*.

**Bukti.** *1.* Tulislah $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ lalu ikuti tanda kedua faktornya. Jika $x < x_1$: baik $x - x_1$ maupun $x - x_2$ negatif, hasil kalinya positif, sehingga $f(x)$ bertanda sama dengan $a$. Jika $x_1 < x < x_2$: kedua faktornya bertanda berlawanan, hasil kalinya negatif, dan $f(x)$ bertanda sama dengan $-a$. Jika $x > x_2$: kedua faktornya positif dan $f(x)$ bertanda sama dengan $a$ lagi.

*2.* $f(x) = a(x - x_0)^2$ dan $(x-x_0)^2 > 0$ untuk $x \neq x_0$.

*3.* Dari bukti [Teorema 10.7](#thm-g11-quad-roots), $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 +
\left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$, dan isi kurungnya selalu positif. ∎

**Metode 10.12 (Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat).**

Untuk menyelesaikan $ax^2 + bx + c \leq 0$ (atau $\geq$, $<$, $>$):

1. hitunglah $\Delta$ dan [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) , bila ada;
2. susunlah [tabel tandanya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-signtable) dengan [Teorema 10.11](#thm-g11-quad-sign) (tanda $a$ di luar [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) );
3. bacalah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) penyelesaiannya, sambil memperhatikan apakah [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) sendiri termasuk (pertidaksamaan takmurni) atau tidak (murni).

**Contoh 10.13.**

Selesaikan $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$. Di sini $\Delta = 9 + 16 = 25$, dan [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) adalah $\frac{-3 \pm 5}{-2}$, yaitu $x_1 = -1$ dan $x_2 = 4$. Karena $a = -1 < 0$, trinomialnya negatif di luar [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) dan positif di antara [akarnya](#def-g11-quad-discriminant). Dengan pertidaksamaan takmurni, himpunan penyelesaiannya adalah $\intcc{-1}{4}$.

## 10.4 Parabola

**Definisi 10.14 (Parabola).**

[Grafik](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) [fungsi kuadrat](#def-g11-quad-quadratic) $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ adalah sebuah *parabola* dengan *titik puncak* $S(\alpha, \beta)$. Parabola itu terbuka ke atas bila $a > 0$, ke bawah bila $a < 0$, dan simetris terhadap garis tegak $x = \alpha$.

**Catatan 10.15.**

Kesimetriannya mudah diperiksa: untuk sebarang $h$, $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$, sehingga dua titik yang berjarak mendatar sama dari garis $x = \alpha$ mempunyai tinggi yang sama.

![Tiga kedudukan parabola yang terbuka ke atas (a > 0) terhadap sumbu x: dua akar, satu akar kembar, tanpa akar. Titik puncak S berabsis = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-9863916135b2.svg)

![Tiga kedudukan parabola yang terbuka ke atas (a > 0) terhadap sumbu x: dua akar, satu akar kembar, tanpa akar. Titik puncak S berabsis = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-5eb7a968df56.svg)

![Tiga kedudukan parabola yang terbuka ke atas (a > 0) terhadap sumbu x: dua akar, satu akar kembar, tanpa akar. Titik puncak S berabsis = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-a1f1afe408b0.svg)

*Tiga kedudukan [parabola](#def-g11-quad-parabola) yang terbuka ke atas ($a > 0$) terhadap sumbu $x$: dua [akar](#def-g11-quad-discriminant), satu [akar](#def-g11-quad-discriminant) kembar, tanpa [akar](#def-g11-quad-discriminant). Titik puncak $S$ berabsis $\alpha = -\frac{b}{2a}$.*

![Tanda trinomial yang terbuka ke bawah (a < 0) dengan dua akar: tanda -a di antara akarnya (terarsir), tanda a di luarnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-159a96c2a7c7.svg)

*Tanda trinomial yang terbuka ke bawah ($a < 0$) dengan dua [akar](#def-g11-quad-discriminant): tanda $-a$ di antara [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) (terarsir), tanda $a$ di luarnya.*

**Metode 10.16 (Membaca parabola).**

Untuk mensketsa $f(x) = ax^2+bx+c$: carilah arah bukaannya (tanda $a$), titik puncaknya $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$, titik potong $(0, c)$ dengan sumbu $y$, dan [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) bila ada. Sumbu simetri $x = -\frac{b}{2a}$ lalu menempatkan setiap titik hitungan dua kali.

**Contoh 10.17.**

Untuk $f(x) = x^2 - 4x + 3$: terbuka ke atas, titik puncak $(2, -1)$, memotong sumbu $y$ di $(0,3)$, [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $1$ dan $3$ (tertebak: $1 - 4 + 3 = 0$). Menurut kesimetriannya, titik $(4, 3)$ juga terletak pada kurvanya, mencerminkan $(0, 3)$.

## 10.5 Latihan

**Latihan 10.1 ★.**

Selesaikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) berikut

$$
x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad
2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad
x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad
9x^2 - 6x + 1 = 0 .
$$

**Solusi Latihan 10.1.**

$x^2-5x+6$: $\Delta = 25 - 24 = 1$, [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{5 \pm 1}{2}$, yaitu $2$ dan $3$.

$2x^2+3x-2$: $\Delta = 9 + 16 = 25$, [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{-3 \pm 5}{4}$, yaitu $\frac12$ dan $-2$.

$x^2+2x+5$: $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$, tanpa penyelesaian real.

$9x^2-6x+1$: $\Delta = 36 - 36 = 0$, satu [akar](#def-g11-quad-discriminant) (kembar) $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$.

**Latihan 10.2 ★.**

Tulislah dalam [bentuk kanonik](#thm-g11-quad-canonical) lalu berikan titik puncak [parabolanya](#def-g11-quad-parabola):

$$
f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad
g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad
h(x) = 3x^2 + 6x .
$$

**Solusi Latihan 10.2.**

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$: titik puncak $(3, 2)$.

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1
= -2(x-1)^2 + 3$: titik puncak $(1, 3)$.

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr)
= 3(x+1)^2 - 3$: titik puncak $(-1, -3)$.

**Latihan 10.3 ★.**

Selesaikan pertidaksamaan berikut

$$
x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad
2x^2 + x + 3 > 0, \qquad
-x^2 + 6x - 9 \geq 0 .
$$

**Solusi Latihan 10.3.**

$x^2 - 3x - 10$: $\Delta = 9 + 40 = 49$, [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ dan $5$; koefisien utamanya positif, sehingga trinomialnya negatif tegas di antara kedua [akarnya](#def-g11-quad-discriminant): himpunan penyelesaiannya $\intoo{-2}{5}$.

$2x^2 + x + 3$: $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ dan $a = 2 > 0$: selalu positif, sehingga himpunan penyelesaiannya $\R$.

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$: nilainya $\geq 0$ hanya ketika $(x-3)^2 \leq 0$, yaitu di $x = 3$. Himpunan penyelesaiannya $\{3\}$.

**Latihan 10.4 ★.**

Tanpa menghitung $\Delta$, carilah satu [akar](#def-g11-quad-discriminant) yang kasatmata, lalu [akar](#def-g11-quad-discriminant) lainnya:

$$
x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad
2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad
x^2 + 4x - 5 = 0 .
$$

(Petunjuk: ujilah $x = 1$ dan $x = -1$, lalu pakai hasil kali [akarnya](#def-g11-quad-discriminant).)

**Solusi Latihan 10.4.**

$x^2 - 7x + 6$: $1 - 7 + 6 = 0$, jadi $1$ sebuah [akar](#def-g11-quad-discriminant); hasil kali kedua [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $6$, sehingga [akar](#def-g11-quad-discriminant) yang lain adalah $6$.

$2x^2 + 5x - 7$: $2 + 5 - 7 = 0$, jadi $1$ sebuah [akar](#def-g11-quad-discriminant); hasil kalinya $\frac{c}{a} = -\frac72$, sehingga [akar](#def-g11-quad-discriminant) yang lain adalah $-\frac72$.

$x^2 + 4x - 5$: $1 + 4 - 5 = 0$, jadi $1$ sebuah [akar](#def-g11-quad-discriminant); hasil kalinya $-5$, sehingga [akar](#def-g11-quad-discriminant) yang lain adalah $-5$.

**Latihan 10.5 ★★.**

Carilah dua bilangan yang berjumlah $14$ dan berhasil kali $45$. Lalu carilah ukuran sebuah persegi panjang berkeliling $34$ dan berluas $60$.

**Solusi Latihan 10.5.**

Kedua bilangan itu memenuhi $x^2 - 14x + 45 = 0$ ([Proposisi 10.9](#prop-g11-quad-vieta)); $\Delta = 196 - 180 = 16$, [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ dan $5$.

Untuk persegi panjangnya: setengah kelilingnya memberi panjang $+$ lebar $= 17$, dan luasnya memberi hasil kali keduanya $60$. Keduanya memenuhi $x^2 - 17x + 60 = 0$; $\Delta = 289 - 240 = 49$, [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ dan $5$. Jadi persegi panjangnya $12 \times 5$.

**Latihan 10.6 ★★.**

Misalkan $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$, dengan $m$ sebuah parameter real. Untuk nilai $m$ yang mana [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 0$ mempunyai tepat satu penyelesaian? Tidak mempunyai penyelesaian?

**Solusi Latihan 10.6.**

$\Delta = (m-2)^2 - 4$. Tepat satu penyelesaian ketika $\Delta = 0$: $(m-2)^2 = 4$, jadi $m - 2 = \pm 2$, yaitu $m = 0$ atau $m = 4$. Tanpa penyelesaian ketika $\Delta < 0$: $(m-2)^2 < 4$, yaitu $-2 < m - 2 < 2$, artinya $0 < m < 4$.

**Latihan 10.7 ★★.**

Sebuah bola dilempar ke atas; tingginya setelah $t$ detik adalah $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (dalam meter). Berapa tinggi [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) yang dicapai, dan pada waktu berapa? Pada selang waktu mana bola itu berada paling sedikit $16$ m di atas tanah?

**Solusi Latihan 10.7.**

Titik puncaknya berada di $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$, dan $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$: tinggi [maksimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $21$ m, dicapai setelah $2$ detik.

$h(t) \geq 16$ berarti $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$, yaitu (setelah dibagi $-5$, yang membalik arah pertidaksamaannya) $t^2 - 4t + 3 \leq 0$. [Akar](#def-g11-quad-discriminant) $t^2-4t+3$ adalah $1$ dan $3$ ($1 - 4 + 3 = 0$, hasil kalinya $3$), jadi $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ tepat pada $\intcc{1}{3}$: bola itu berada paling sedikit $16$ m di atas tanah antara waktu $t = 1$ s dan $t = 3$ s.

**Latihan 10.8 ★★.**

Selesaikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ dengan memisalkan $X = x^2$ (sebuah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) *bikuadrat*).

**Solusi Latihan 10.8.**

Dengan $X = x^2$: $X^2 - 13X + 36 = 0$, $\Delta = 169 - 144 = 25$, jadi $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ atau $4$. Kembali ke $x$: $x^2 = 9$ memberi $x = \pm 3$, dan $x^2 = 4$ memberi $x = \pm 2$. Himpunan penyelesaiannya $\{-3, -2, 2, 3\}$.

**Latihan 10.9 ★★.**

Untuk nilai $x$ yang mana titik $M(x, x^2)$ pada [parabola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ terletak tegas di bawah garis $y = x + 2$? Tafsirkan pada sebuah sketsa.

**Solusi Latihan 10.9.**

Syaratnya adalah $x^2 < x + 2$, yaitu $x^2 - x - 2 < 0$. Karena $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ ([akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $-1$ dan $2$), pertidaksamaannya berlaku tegas di antara kedua [akarnya](#def-g11-quad-discriminant): $x \in \intoo{-1}{2}$. Pada sketsanya, [parabola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ menukik di bawah garis $y = x+2$ tepat di antara kedua titik potongnya, yaitu $(-1, 1)$ dan $(2, 4)$.

**Latihan 10.10 ★★.**

Jumlah sebuah bilangan positif dan kebalikannya adalah $\frac{13}{6}$. Carilah bilangan itu. (Susutkan menjadi [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) kuadrat.)

**Solusi Latihan 10.10.**

Misalkan $x > 0$ memenuhi $x + \frac1x = \frac{13}{6}$. Setelah dikalikan $6x > 0$: $6x^2 + 6 = 13x$, yaitu $6x^2 - 13x + 6 = 0$. Lalu $\Delta = 169 - 144 = 25$ dan $x = \frac{13 \pm 5}{12}$, yang memberi $x = \frac32$ atau $x = \frac23$. Keduanya positif dan saling berkebalikan, seperti diharapkan: bilangannya adalah $\frac32$ (atau $\frac23$).

**Latihan 10.11 ★★★.**

Misalkan $\mathcal P$ [parabola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ dan misalkan $d_m$ garis $y = mx - 1$, dengan $m$ sebuah parameter real.

1. Untuk nilai $m$ yang mana $\mathcal P$ dan $d_m$ berpotongan di dua titik? Satu titik? Tanpa titik potong?
2. Ketika keduanya bersentuhan tepat di satu titik, hitunglah titik sentuhnya. (Pada [Bab 12](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/12-turunan-perkenalan-pertama#ch-g11-deriv) kamu akan mengenali $d_m$ sebagai garis singgung $\mathcal P$ di titik itu.)

**Solusi Latihan 10.11.**

*1.* Titik potongnya berpadanan dengan penyelesaian $x^2 = mx - 1$, yaitu $x^2 - mx + 1 = 0$, yang [diskriminannya](#def-g11-quad-discriminant) $\Delta = m^2 - 4$. Dua titik ketika $\abs{m} > 2$; tepat satu ketika $m = \pm 2$; tidak ada ketika $-2 < m < 2$.

*2.* Untuk $m = 2$: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$, jadi titik sentuh tunggalnya $(1, 1)$. Untuk $m = -2$: $(x+1)^2 = 0$, titik sentuhnya $(-1, 1)$. Pada kedua kasus itu garisnya bertemu [parabola](#def-g11-quad-parabola) di satu titik tanpa memotongnya — itulah garis singgung di sana, dan memang [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $m = \pm 2$ sama dengan nilai di $x = \pm 1$ dari turunan $2x$ [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) $x^2$ ([Bab 12](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/12-turunan-perkenalan-pertama#ch-g11-deriv)).

## 10.6 Soal: Titik rahasia parabola

**Soal 10.1.**

Soal akhir pekan — fokus dan direktriks: mengapa antena parabola, lampu sorot dan jembatan gantung sama-sama menggambar kurva yang itu-itu juga, yang pada dasarnya hanya ada satu

Setiap antena [parabola](#def-g11-quad-parabola) di setiap balkon mengarahkan penerimanya ke satu titik dalam yang tepat; setiap lampu sorot menyembunyikan bola lampunya di tempat istimewa yang sama. Titik itu — *fokusnya* — adalah rahasia yang disimpan [parabola](#def-g11-quad-parabola) sejak zaman geometri Yunani, dan rumus jarak sudah cukup untuk menariknya keluar. Di sepanjang jalan, soal ini melatih [diskriminan](#def-g11-quad-discriminant), melemparkan peluru melewati tembok, menggantungkan sebuah jembatan, lalu membuktikan satu fakta akhir yang mengejutkan: sampai pada perbesaran, *hanya ada satu [parabola](#def-g11-quad-parabola) di dunia*.

**Bagian I — Kefasihan dengan trinomial.**

1. Selesaikan $x^2 - 5x + 6 = 0$ , lalu $2x^2 + x - 6 = 0$ , lalu $x^2 + x + 1 = 0$ ( [Teorema 10.7](#thm-g11-quad-roots) ).
2. Tulislah $2x^2 - 4x - 6$ dalam bentuk terfaktorkan dan dalam [bentuk kanonik](#thm-g11-quad-canonical) ( [Teorema 10.2](#thm-g11-quad-canonical) ). Bersama bentuk terjabarkannya, kini kamu memegang tiga busana satu [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) : sebutkan ciri apa yang ditampilkan masing-masing sekilas ( [akar](#def-g11-quad-discriminant) , titik puncak, titik potong sumbu $y$ ).
3. Selesaikan $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ dengan aturan tanda ( [Teorema 10.11](#thm-g11-quad-sign) ).
4. Viète sebagai detektif ( [Proposisi 10.9](#prop-g11-quad-vieta) , melanjutkan Babilonia pada [Soal 2.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#pb-g10-algebra-1) ): carilah dua bilangan yang berjumlah $7$ dan berhasil kali $12$ dengan menuliskan [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) . Lalu: satu [akar](#def-g11-quad-discriminant) $x^2 - 5x + c = 0$ sama dengan $2$ ; carilah $c$ dan [akar](#def-g11-quad-discriminant) lainnya tanpa menyelesaikan apa pun.
5. Untuk nilai $m$ yang mana $x^2 + mx + 9 = 0$ mempunyai [akar](#def-g11-quad-discriminant) kembar? Tidak mempunyai [akar](#def-g11-quad-discriminant) ? Mempunyai dua [akar](#def-g11-quad-discriminant) ?

**Bagian II — [Fokus](#pb-g11-quad-1) yang tersingkap.** Bekerjalah pada [parabola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$, titik $F\left(0, \frac14\right)$ dan garis mendatar $\delta$ dengan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $y = -\frac14$.

6. Untuk sebuah titik $P(x, x^2)$ pada [parabola](#def-g11-quad-parabola) itu, jabarkan $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2$ lalu tunjukkan bahwa hasilnya adalah kuadrat sempurna $\left(x^2 + \frac14\right)^2$ . Simpulkan $PF$ .
7. Hitunglah jarak dari $P$ ke garis $\delta$ , lalu simpulkan: *setiap titik pada [parabola](#def-g11-quad-parabola) itu berjarak sama ke $F$ dan ke $\delta$* . ( $F$ disebut *fokus* , $\delta$ disebut *direktriks* .)
8. Buktikan kebalikannya: sebuah titik $P(x, y)$ dengan $PF = \operatorname{dist}(P, \delta)$ pasti memenuhi $y = x^2$ . (Kuadratkan kedua jaraknya lalu sederhanakan.) Jadi [parabola](#def-g11-quad-parabola) itu sebuah *tempat kedudukan* , persis seperti lingkaran pada [Soal 5.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#pb-g10-coordgeom-1) : kesamaan jarak ke sebuah titik dan ke sebuah garis, bukan ke satu titik saja.
9. Untuk [parabola](#def-g11-quad-parabola) yang lebih lebar $y = \frac{x^2}{4f}$ (dengan $f > 0$ ), sesuaikan pertanyaan 6 untuk menunjukkan bahwa fokusnya $(0, f)$ dan direktriksnya $y = -f$ . Penerapannya: sebuah antena [parabola](#def-g11-quad-parabola) selebar $60$ cm dan sedalam $9$ cm — tepinya melalui $(30, 9)$ . Carilah $f$ : seberapa tinggi di atas titik puncaknya penerima itu harus digantung?
10. Alasan antena [parabola](#def-g11-quad-parabola) bekerja: sinar yang datang sejajar dengan sumbunya semua memantul *melalui fokusnya* (dan bola lampu di fokusnya melemparkan berkas sejajar — lampu sorot adalah antena [parabola](#def-g11-quad-parabola) yang dijalankan mundur). Jelaskan mengapa kesamaan jarak pada pertanyaan 7 membuat hal ini masuk akal (bayangkan sinarnya sebagai muka gelombang yang berbaris), lalu sebutkan alat yang akan datang pada [Bab 12](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/12-turunan-perkenalan-pertama#ch-g11-deriv) (lihat [Latihan 10.11](#exo-g11-quad-11) ), yang mengubah kemasukakalan itu menjadi bukti.

**Bagian III — [Parabola](#def-g11-quad-parabola) sedang bekerja.**

11. Sebuah bola mengikuti lintasan $y = x - \frac{x^2}{20}$ ( $x$ dan $y$ dalam meter). Carilah tempat jatuhnya, kedudukan mendatar titik tertingginya, dan tinggi [maksimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) ( [Proposisi 10.4](#prop-g11-quad-variations) ).
12. Pada lintasan yang sama, sebuah tembok berdiri di $x = 4$ . Hitunglah tinggi bolanya di sana: apakah bola itu melewati tembok setinggi $3$ m? Tembok setinggi $4$ m?
13. Sebuah lengkung [parabola](#def-g11-quad-parabola) membentang $40$ m dengan tinggi [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $10$ m: dalam [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) yang berpusat, $y = 10 - \frac{x^2}{40}$ . Dapatkah truk setinggi $7$ m lewat pada jarak $10$ m dari pusatnya? Pada $15$ m?
14. Pendapatan sebuah gedung pertunjukan pada harga karcis $p$ euro adalah $R(p) = p\,(120 - 2p)$ (permintaan turun ketika harga naik). Carilah harga yang memaksimumkan pendapatannya, dan nilai [maksimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) .
15. Kabel utama Jembatan Golden Gate berbentuk [parabola](#def-g11-quad-parabola) dengan ketelitian yang sangat baik (beban lantai jembatan yang merata menghasilkan [parabola](#def-g11-quad-parabola) — rantai yang tergantung bebas *tidak* : kurvanya, yang disebut katenari, memerlukan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) eksponen tahun berikutnya). Dengan bentang $1\,280$ m dan lendutan $143$ m, kabelnya mengikuti $y = 143\left(\frac{x}{640}\right)^2$ dari pusatnya. Berapa tinggi kabel itu di atas titik terendahnya pada $x = 320$ m?

**Bagian IV — Garis, garis singgung, dan kejutan terakhir.**

16. Lengkapkan [Latihan 10.11](#exo-g11-quad-11) : garis $y = mx - 1$ yang melalui titik luar $(0, -1)$ bertemu $y = x^2$ menurut tanda sebuah [diskriminan](#def-g11-quad-discriminant) . Carilah kedua garis singgung dari $(0, -1)$ beserta titik sentuhnya.
17. Kini garis $y = mx + 1$ yang melalui titik *dalam* $(0, 1)$ : hitunglah [diskriminan](#def-g11-quad-discriminant) [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) perpotongannya lalu tunjukkan bahwa setiap garis semacam itu memotong [parabolanya](#def-g11-quad-parabola) dua kali. Moralnya: dari dalam, tidak ada garis singgung — persis seperti pada lingkaran.
18. Tali busur fokal: potongkan $y = x^2$ dengan garis mendatar yang melalui fokusnya, $y = \frac14$ . Berapa panjang tali busurnya? Periksalah aturan umumnya (layak diingat untuk antena [parabola](#def-g11-quad-parabola) ): untuk $y = \frac{x^2}{4f}$ , tali busur yang melalui [fokus](#pb-g11-quad-1) dan sejajar direktriksnya berpanjang $4f$ .
19. Kejutan terakhir: terapkan perbesaran $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ pada [parabola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ lalu tunjukkan bahwa [petanya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) tepat $y = \frac{x^2}{k}$ . Simpulkan: setiap [parabola](#def-g11-quad-parabola) $y = \frac{x^2}{4f}$ adalah perbesaran [parabola](#def-g11-quad-parabola) satuan — tidak seperti lingkaran dan elips yang perbandingannya berbeda-beda, *semua [parabola](#def-g11-quad-parabola) sebangun* .
20. Penutup: potret [parabola](#def-g11-quad-parabola) dalam lima baris — sebuah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) dengan tiga busana (pertanyaan 2), sebuah tempat kedudukan (pertanyaan 7–8), pemantul milik insinyur (pertanyaan 9, 10), lintasan peluru dan kabel jembatan (pertanyaan 11–15), serta satu kurva tunggal sampai pada perbesaran (pertanyaan 19). Masing-masing satu kalimat.

**Solusi Soal 10.1.**

**1.** $x^2 - 5x + 6$: $\Delta = 1$, [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $2$ dan $3$. $2x^2 + x - 6$: $\Delta = 1 + 48 = 49$, [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{-1 \pm 7}{4}$: yaitu $\frac32$ dan $-2$. $x^2 + x + 1$: $\Delta = -3 < 0$: tanpa penyelesaian real.

**2.** $\Delta = 16 + 48 = 64$: [akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $3$ dan $-1$, sehingga $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$; [bentuk kanoniknya](#thm-g11-quad-canonical) $2(x - 1)^2 - 8$. Bentuk terfaktorkan menampilkan [akarnya](#def-g11-quad-discriminant), [bentuk kanonik](#thm-g11-quad-canonical) menampilkan titik puncak $(1, -8)$, dan bentuk terjabarkan menampilkan titik potong sumbu $y$ di $-6$.

**3.** [Akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $1$ dan $3$, koefisien utamanya negatif: trinomialnya $\geq 0$ *di antara* kedua [akarnya](#def-g11-quad-discriminant), jadi $x \in \intcc{1}{3}$.

**4.** Kedua bilangan itu adalah [akar](#def-g11-quad-discriminant) $x^2 - 7x + 12 = 0$: yaitu $3$ dan $4$. Jika $2$ sebuah [akar](#def-g11-quad-discriminant) $x^2 - 5x + c$, [akar](#def-g11-quad-discriminant) yang lain, $r$, memenuhi $2 + r = 5$ (jumlahnya), jadi $r = 3$, dan $c = 2 \times 3 = 6$ (hasil kalinya): Viète membacanya langsung.

**5.** $\Delta = m^2 - 36$: [akar](#def-g11-quad-discriminant) kembar untuk $m = \pm 6$ ([akarnya](#def-g11-quad-discriminant) $\mp 3$); tanpa [akar](#def-g11-quad-discriminant) untuk $-6 < m < 6$; dua [akar](#def-g11-quad-discriminant) untuk $\abs m > 6$.

**6.** $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2
= x^2 + x^4 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16}
= x^4 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16}
= \left(x^2 + \frac14\right)^2$. Jadi $PF = x^2 + \frac14$ (kedua faktornya positif).

**7.** Jarak dari $P(x, x^2)$ ke garis mendatar $y = -\frac14$ adalah $x^2 + \frac14$ — tepat sama dengan $PF$. Jadi setiap titik pada [parabola](#def-g11-quad-parabola) itu berjarak sama dari [fokus](#pb-g11-quad-1) dan direktriksnya.

**8.** $PF^2 = x^2 + \left(y - \frac14\right)^2$ dan $\operatorname{dist}^2 = \left(y + \frac14\right)^2$. Kesamaannya memberi $x^2 + y^2 - \frac y2 + \frac{1}{16} = y^2 + \frac y2 +
\frac1{16}$, jadi $x^2 = y$: tempat kedudukannya tepat [parabola](#def-g11-quad-parabola) itu. Satu titik dan satu garis membangkitkan kurva ini, sebagaimana satu titik dan satu jarak membangkitkan lingkaran.

**9.** Untuk $y = \frac{x^2}{4f}$, penjabaran yang sama dengan $F(0, f)$ memberi $PF^2 = x^2 + \left(\frac{x^2}{4f} - f\right)^2
= \left(\frac{x^2}{4f} + f\right)^2$: jarak ke $F$ sama dengan jarak ke $y = -f$. Untuk antenanya: $9 = \frac{30^2}{4f}$ memberi $4f = 100$, $f = 25$ cm: penerimanya tergantung seperempat meter di atas titik puncaknya — di luar cekungan setinggi $9$ cm itu, seperti terlihat pada antena yang sesungguhnya.

**10.** Muka gelombang yang datang sejajar dengan sumbunya menempuh jarak yang sama untuk mencapai ketinggian direktriksnya; kesamaan jarak mengubah “jarak yang sama ke [direktriks](#pb-g11-quad-1)” menjadi “jarak yang sama ke $F$”: semua isyarat pantulannya tiba di $F$ *seirama*, saling menguatkan — di situlah tempat mendengarkan. Bukti yang jujur memerlukan [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) garis singgung di setiap titik — yaitu turunan pada [Bab 12](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/12-turunan-perkenalan-pertama#ch-g11-deriv), yang sudah terintip pada [Latihan 10.11](#exo-g11-quad-11).

**11.** $y = x\left(1 - \frac{x}{20}\right)$: jatuh di $x = 20$ m. Titik puncaknya di tengah jalan: $x = 10$, tingginya $y(10) = 10 - 5 = 5$ m.

**12.** $y(4) = 4 - \frac{16}{20} = 3.2$ m: melewati tembok $3$ m dengan sisa ruang, tetapi menghantam tembok $4$ m.

**13.** $y(10) = 10 - \frac{100}{40} = 7.5$ m $> 7$: truknya lewat pada $10$ m dari pusat. $y(15) = 10 - \frac{225}{40}
= 4.375$ m: tidak lewat pada $15$ m.

**14.** $R(p) = -2p^2 + 120p$: titik puncaknya di $p = \frac{120}{4} = 30$ euro, dengan pendapatan $R(30) = 30 \times 60 = 1\,800$ euro.

**15.** $y(320) = 143 \times \left(\frac{320}{640}\right)^2
= \frac{143}{4} \approx 36$ m di atas titik terendahnya.

**16.** $x^2 = mx - 1$ memberi $x^2 - mx + 1 = 0$, $\Delta = m^2 - 4$: dua titik untuk $\abs m > 2$, tidak ada untuk $\abs m < 2$, dan bersinggungan untuk $m = \pm 2$ dengan titik sentuh $x = \frac m2 = \pm 1$: garis singgungnya $y = 2x - 1$ di $(1, 1)$ dan $y = -2x - 1$ di $(-1, 1)$.

**17.** $x^2 = mx + 1$ memberi $\Delta = m^2 + 4 > 0$ untuk setiap $m$: selalu dua titik potong. Dari sebuah titik dalam, setiap garis memotong kurvanya dua kali — garis singgung hanya dapat ditarik dari luar, persis seperti pada lingkaran.

**18.** $y = \frac14$ bertemu $y = x^2$ di $x = \pm\frac12$: panjang tali busurnya $1$. Untuk $y = \frac{x^2}{4f}$: $y = f$ memberi $x^2 = 4f^2$, $x = \pm 2f$: panjangnya $4f$ — lebar fokalnya empat kali jarak fokusnya (perancang antena menyebutnya latus rectum).

**19.** Sebuah titik pada $y = x^2$ adalah $(a, a^2)$; [petanya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) $(X, Y) = (ka, ka^2)$, dan $\frac{X^2}{k} = \frac{k^2a^2}{k} =
ka^2 = Y$: jadi kurva [petanya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) tepat $y = \frac{x^2}{k}$. Memilih $k = 4f$ menjangkau setiap [parabola](#def-g11-quad-parabola): semuanya perbesaran satu kurva induk. (Lingkaran pun semuanya sebangun — tetapi elips tidak: kepipihannya berarti, perbesarannya tidak.)

**20.** Sebuah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) dengan tiga busana yang terbaca; tempat kedudukan titik yang berjarak sama dari sebuah titik dan sebuah garis; pemantul yang mengumpulkan sinar sejajar di fokusnya dan kabel yang memikul lantai jembatan yang merata; lintasan setiap bola yang dilempar; dan, sampai pada perbesaran, satu kurva tunggal — satu [parabola](#def-g11-quad-parabola), di mana-mana.