---
title: "Fungsi dan Variasinya"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 11
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya
---

# Bab 11 — Fungsi dan Variasinya

Bab ini menata apa saja yang perlu diketahui tentang [fungsi](#def-g11-func-function) sebelum masuk ke kalkulus: keluarga kecil *[fungsi acuan](#def-g11-func-reference)* yang [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) wajib dihafal, makna tepat kata *[naik](#def-g11-func-monotone)* dan *turun*, serta bagaimana variasi berperilaku ketika [fungsi](#def-g11-func-function) dipadukan.

## 11.1 Fungsi dan kurva

**Definisi 11.1 (Fungsi, daerah asal, kurva).**

Sebuah *fungsi* $f$ memasangkan setiap bilangan $x$ dari himpunan $D \subseteq \R$ (*daerah asal*nya) dengan tepat satu bilangan $f(x)$. *Kurvanya* (atau [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph)) adalah himpunan titik $\bigl(x, f(x)\bigr)$ untuk $x \in D$.

**Contoh 11.2.**

Rumus $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ menuntut $x + 2 \geq 0$ (untuk akar kuadratnya) dan $x \neq 1$ (penyebutnya taknol): [daerah asalnya](#def-g11-func-function) $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$.

## 11.2 Fungsi acuan

Kelima [fungsi](#def-g11-func-function) berikut beserta kurvanya harus menjadi refleks.

**Definisi 11.3 (Fungsi acuan).**

$$
x \mapsto x^2 \text{ (pangkat dua)}, \quad
x \mapsto x^3 \text{ (pangkat tiga)}, \quad
x \mapsto \sqrt{x}, \quad
x \mapsto \frac{1}{x}, \quad
x \mapsto \abs{x}.
$$

[Daerah asalnya](#def-g11-func-function) berturut-turut $\R$, $\R$, $\intco{0}{+\infty}$, $\R \setminus \{0\}$ dan $\R$. Kurva $x \mapsto \frac1x$ adalah sebuah *hiperbola*.

![Kelima kurva acuan: parabola x2 dan pangkat tiga x3 (kiri); √ x, x dan hiperbola 1x (kanan).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-d927af9605c1.svg)

![Kelima kurva acuan: parabola x2 dan pangkat tiga x3 (kiri); √ x, x dan hiperbola 1x (kanan).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-11cf0cdba8a1.svg)

*Kelima kurva acuan: [parabola](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-parabola) $x^2$ dan pangkat tiga $x^3$ (kiri); $\sqrt x$, $\abs x$ dan [hiperbola](#def-g11-func-reference) $\frac1x$ (kanan).*

## 11.3 Variasi pada sebuah interval

**Definisi 11.4 (Naik, turun).**

Misalkan $f$ terdefinisi pada sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $I$. [Fungsi](#def-g11-func-function) $f$ disebut *naik* pada $I$ bila [fungsi](#def-g11-func-function) itu mempertahankan urutan:

$$
\text{untuk semua } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),
$$

dan disebut *turun* bila [fungsi](#def-g11-func-function) itu membalik urutan ($u < v \implies
f(u) \geq f(v)$). Dengan ketaksamaan tegas di ruas kanannya, $f$ disebut *tegas* naik (masing-masing turun). [Fungsi](#def-g11-func-function) yang naik atau turun pada $I$ disebut *monoton* pada $I$.

**Metode 11.5 (Membuktikan variasi dari definisinya).**

Ambil dua bilangan sebarang $u < v$ pada [intervalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval), lalu tentukan tanda selisih $f(v) - f(u)$, biasanya dengan *[memfaktorkannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-expand)*. Jika tandanya tetap pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) itu, simpulkan.

**Proposisi 11.6 (Variasi fungsi acuan).**

1. $x^2$ tegas turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ dan tegas [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intco{0}{+\infty}$ .
2. $x^3$ tegas [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\R$ .
3. $\sqrt x$ tegas [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intco{0}{+\infty}$ .
4. $\frac1x$ tegas turun pada $\intoo{-\infty}{0}$ dan pada $\intoo{0}{+\infty}$ (tetapi *tidak* pada gabungannya).
5. $\abs x$ tegas turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ dan tegas [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intco{0}{+\infty}$ .

**Bukti.** Misalkan $u < v$. Kita faktorkan $f(v) - f(u)$ pada setiap kasusnya.

*1.* $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$. Pada $\intco{0}{+\infty}$: $v - u > 0$ dan $v + u > 0$ (sebab $v > u \geq 0$), jadi $v^2 > u^2$. Pada $\intoc{-\infty}{0}$: $v + u < 0$, jadi $v^2 < u^2$.

*2.* $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$, dan faktor keduanya sama dengan $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ kecuali bila $u = v = 0$. Jadi $v^3 > u^3$ setiap kali $v > u$.

*3.* Untuk $0 \leq u < v$: $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}
{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$.

*4.* Untuk $0 < u < v$: $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$ sebab $u - v < 0$ dan $uv > 0$; perhitungan yang sama berlaku untuk $u < v < 0$. Pada gabungannya pernyataannya gagal: $-1 < 1$ tetapi $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$.

*5.* Pada $\intco{0}{+\infty}$, $\abs x = x$ tegas [naik](#def-g11-func-monotone); pada $\intoc{-\infty}{0}$, $\abs x = -x$ tegas turun. ∎

**Catatan 11.7.**

Butir 4 adalah jebakan klasik: “turun pada $\intoo{-\infty}{0}$ dan pada $\intoo{0}{+\infty}$” *tidak* sama dengan “turun pada $\R \setminus \{0\}$”. Variasi hanya bermakna pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval).

**Contoh 11.8 (Membandingkan tanpa menghitung).**

Karena $\sqrt x$ tegas [naik](#def-g11-func-monotone), $\sqrt{7} < \sqrt{8}$; karena $x^2$ tegas turun pada $\intoc{-\infty}{0}$, berlaku $(-3)^2 > (-2)^2$. Kemonotonan mengubah perbandingan antarpeta menjadi perbandingan antarmasukan.

## 11.4 Fungsi baru dari fungsi lama

**Proposisi 11.9 (Transformasi).**

Misalkan $u$ sebuah [fungsi](#def-g11-func-function) pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $I$ dan $k \in \R$.

1. $u + k$ mempunyai variasi yang *sama* dengan $u$ pada $I$ ; kurvanya adalah kurva $u$ yang tergeser tegak sebesar $k$ .
2. Untuk $\lambda > 0$ , $\lambda u$ mempunyai variasi yang sama dengan $u$ ; untuk $\lambda < 0$ , variasinya terbalik.
3. Jika $u \geq 0$ pada $I$ , maka $\sqrt u$ mempunyai variasi yang sama dengan $u$ .
4. Jika $u \neq 0$ dan $u$ bertanda tetap pada $I$ , maka $\frac1u$ mempunyai variasi yang *berlawanan* dengan variasi $u$ .

**Bukti.** Misalkan $u < v$ di $I$ (dengan menyalahgunakan notasi, kita membandingkan nilai $x$ dengan $u < v$; tulislah $s = u(x_1)$, $t = u(x_2)$ untuk [peta](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) $x_1 < x_2$).

*1.* $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$: selisih [petanya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) tidak berubah, sehingga tandanya pun tidak berubah.

*2.* $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$: tandanya tetap bila $\lambda > 0$, dan terbalik bila $\lambda < 0$.

*3.* Jika $u$ [naik](#def-g11-func-monotone) dan $x_1 < x_2$, maka $0 \leq s \leq t$, dan karena $\sqrt{}$ bersifat [naik](#def-g11-func-monotone) ([Proposisi 11.6](#prop-g11-func-refvariations)) diperoleh $\sqrt s \leq \sqrt t$. Alasan yang sama berlaku untuk kasus turun.

*4.* Jika $u$ [naik](#def-g11-func-monotone), $0 < s \leq t$ (atau $s \leq t < 0$), maka $\frac1s \geq \frac1t$ sebab $x \mapsto \frac1x$ turun pada masing-masing sisi $0$: jadi urutannya terbalik. ∎

**Contoh 11.10.**

Telaahlah $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ pada $\R$. [Fungsi](#def-g11-func-function) dalamnya $u(x) = x^2 + 1$ bernilai positif, turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ dan [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intco{0}{+\infty}$ (kuadrat yang tergeser). Menurut butir 3, $f$ mempunyai variasi yang sama: turun lalu [naik](#def-g11-func-monotone), dengan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $f(0) = 1$.

![Transformasi sedang bekerja: menggeser x2 ke atas sebesar 1 (merah) mempertahankan variasinya; menarik akar kuadratnya (jingga) mempertahankannya lagi, seperti pada .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-24fc77b45bdf.svg)

*Transformasi sedang bekerja: menggeser $x^2$ ke atas sebesar $1$ (merah) mempertahankan variasinya; menarik akar kuadratnya (jingga) mempertahankannya lagi, seperti pada [Contoh 11.10](#ex-g11-func-composite).*

## 11.5 Fungsi genap dan fungsi ganjil

**Definisi 11.11 (Paritas).**

Misalkan $f$ terdefinisi pada [daerah asal](#def-g11-func-function) $D$ yang setangkup terhadap $0$ (artinya $-x \in D$ setiap kali $x \in D$). [Fungsi](#def-g11-func-function) $f$ disebut *genap* bila $f(-x) = f(x)$ untuk semua $x \in D$, dan *ganjil* bila $f(-x) = -f(x)$ untuk semua $x \in D$.

**Proposisi 11.12 (Makna geometrisnya).**

Kurva [fungsi genap](#def-g11-func-parity) simetris terhadap sumbu $y$; kurva [fungsi ganjil](#def-g11-func-parity) simetris terhadap titik asal.

**Bukti.** Jika $f$ [genap](#def-g11-func-parity) dan $(x, y)$ terletak pada kurvanya (jadi $y = f(x)$), maka $f(-x) = f(x) = y$: titik cerminnya $(-x, y)$ pun terletak pada kurvanya. Jika $f$ [ganjil](#def-g11-func-parity), $f(-x) = -y$: titik $(-x, -y)$, cerminan $(x,y)$ terhadap titik asal, terletak pada kurvanya. ∎

**Contoh 11.13.**

$x^2$ dan $\abs x$ [genap](#def-g11-func-parity); $x^3$ dan $\frac1x$ [ganjil](#def-g11-func-parity); $f(x) = x^2 + x$ bukan keduanya: $f(-1) = 0$ padahal $f(1) = 2$, jadi $f(-1) \neq \pm f(1)$. Paritas memangkas separuh pekerjaan: [fungsi genap](#def-g11-func-parity) atau [ganjil](#def-g11-func-parity) hanya perlu ditelaah pada $\intco{0}{+\infty}$.

## 11.6 Latihan

**Latihan 11.1 ★.**

Berikan [daerah asal](#def-g11-func-function) setiap [fungsi](#def-g11-func-function) berikut:

$$
f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad
g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad
h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .
$$

**Solusi Latihan 11.1.**

$f$: menuntut $3 - x \geq 0$, [daerah asalnya](#def-g11-func-function) $\intoc{-\infty}{3}$.

$g$: menuntut $x^2 - 4 \neq 0$, yaitu $x \neq \pm 2$: [daerah asalnya](#def-g11-func-function) $\R \setminus \{-2, 2\}$.

$h$: menuntut $x \geq 0$ dan $x \neq 5$: [daerah asalnya](#def-g11-func-function) $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$.

**Latihan 11.2 ★.**

Dengan memakai variasi [fungsi acuan](#def-g11-func-reference), bandingkan tanpa kalkulator:

$$
\sqrt{11} \text{ dan } \sqrt{13}; \qquad
(-2.1)^2 \text{ dan } (-2.05)^2; \qquad
\frac{1}{0.9} \text{ dan } \frac{1}{1.1}; \qquad
(-1.01)^3 \text{ dan } (-0.99)^3 .
$$

**Solusi Latihan 11.2.**

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$ sebab $\sqrt{}$ bersifat [naik](#def-g11-func-monotone) dan $11 < 13$.

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$ sebab $x^2$ turun pada $\intoc{-\infty}{0}$ dan $-2.1 < -2.05$.

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$ sebab $\frac1x$ turun pada $\intoo{0}{+\infty}$ dan $0.9 < 1.1$.

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$ sebab $x^3$ [naik](#def-g11-func-monotone) dan $-1.01 < -0.99$.

**Latihan 11.3 ★.**

Tentukan apakah setiap [fungsi](#def-g11-func-function) berikut [genap](#def-g11-func-parity), [ganjil](#def-g11-func-parity), atau bukan keduanya:

$$
f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad
g(x) = x^3 + x, \qquad
h(x) = x^2 + x^3, \qquad
k(x) = \frac{x}{x^2+1} .
$$

**Solusi Latihan 11.3.**

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$: [genap](#def-g11-func-parity).

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$: [ganjil](#def-g11-func-parity).

$h(1) = 2$ dan $h(-1) = 1 - 1 = 0$, jadi $h(-1)$ bukan $h(1)$ dan bukan pula $-h(1)$: bukan [genap](#def-g11-func-parity) maupun [ganjil](#def-g11-func-parity).

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$: [ganjil](#def-g11-func-parity).

**Latihan 11.4 ★.**

Sebuah [fungsi](#def-g11-func-function) $f$ mempunyai perilaku variasi berikut: [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intcc{-3}{1}$ dari $f(-3) = -2$ ke $f(1) = 4$, lalu turun pada $\intcc{1}{5}$ sampai $f(5) = 0$. Berapa penyelesaian yang dipunyai [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ pada $\intcc{-3}{5}$? Lalu $f(x) = 5$?

**Solusi Latihan 11.4.**

Bacalah [tabel variasinya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table). Pada $\intcc{-3}{1}$, $f$ mendaki dari $-2$ ke $4$ dan melewati nilai $1$ tepat sekali; pada $\intcc{1}{5}$ [fungsi](#def-g11-func-function) itu menurun dari $4$ ke $0$ dan melewati $1$ sekali lagi: jadi [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ mempunyai $2$ penyelesaian. [Maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $f$ adalah $f(1) = 4 < 5$, sehingga $f(x) = 5$ tidak mempunyai penyelesaian.

**Latihan 11.5 ★★.**

Dengan [Metode 11.5](#met-g11-func-variation) (tanda $f(v) - f(u)$), buktikan bahwa $f(x) = x^2 - 4x$ tegas [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intco{2}{+\infty}$.

**Solusi Latihan 11.5.**

Misalkan $2 \leq u < v$. Maka

$$
f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u)
= (v - u)(u + v - 4).
$$

Kedua faktornya positif: $v - u > 0$, dan $u + v > 2 + 2 = 4$ sebab $u \geq 2$ dan $v > 2$. Jadi $f(v) > f(u)$: $f$ tegas [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intco{2}{+\infty}$.

**Latihan 11.6 ★★.**

Tanpa menghitung turunan apa pun, berikan variasi

$$
f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ di } \intoc{-\infty}{5},
\quad
g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ di } \intco{0}{+\infty},
\quad
h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ di } \intco{0}{+\infty}.
$$

**Solusi Latihan 11.6.**

$f = \sqrt{u}$ dengan $u(x) = 5 - x$ yang turun dan taknegatif pada $\intoc{-\infty}{5}$: jadi $f$ turun di sana ([Proposisi 11.9](#prop-g11-func-transforms)).

$g = \frac1u$ dengan $u(x) = x^2 + 1$ yang [naik](#def-g11-func-monotone) dan positif pada $\intco{0}{+\infty}$: jadi $g$ turun di sana.

$h = 3 - 2\sqrt x$: $\sqrt x$ [naik](#def-g11-func-monotone), mengalikannya dengan $-2 < 0$ membalik arahnya, dan menambahkan $3$ tidak mengubah apa pun: jadi $h$ turun pada $\intco{0}{+\infty}$.

**Latihan 11.7 ★★.**

Misalkan $f(x) = (x-2)^2 - 3$ pada $\R$.

1. Berikan variasi $f$ dan [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) .
2. Simpulkan variasi $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ dan [maksimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) . (Perhatikan $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

**Solusi Latihan 11.7.**

*1.* $f$ sudah dalam [bentuk kanonik](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#thm-g11-quad-canonical): turun pada $\intoc{-\infty}{2}$, [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intco{2}{+\infty}$, dengan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $f(2) = -3$.

*2.* $g = \frac{1}{u}$ dengan $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$. Pergeseran sebesar $4$ mempertahankan variasi $f$, dan $u \geq 1 > 0$. Mengambil kebalikannya membalik variasinya: $g$ [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intoc{-\infty}{2}$ dan turun pada $\intco{2}{+\infty}$, dengan [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $g(2) = \frac{1}{1} = 1$.

**Latihan 11.8 ★★.**

Kurva sebuah [fungsi](#def-g11-func-function) $f$ melalui titik $(0, 1)$, $(2, 3)$ dan $(4, 1)$, serta $f$ [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intcc{0}{2}$ dan turun pada $\intcc{2}{4}$. Sketsalah sebuah kurva yang mungkin, lalu sketsalah kurva $f + 2$, kurva $-f$, dan kurva $2f$.

**Solusi Latihan 11.8.**

Sebarang kurva berbentuk bukit yang melalui ketiga titik itu bisa dipakai. Lalu: $f + 2$ melalui $(0,3)$, $(2,5)$, $(4,3)$, dengan variasi yang sama (pergeseran tegak); $-f$ melalui $(0,-1)$, $(2,-3)$, $(4,-1)$ dengan variasi yang *terbalik* (puncaknya menjadi lembah); $2f$ melalui $(0,2)$, $(2,6)$, $(4,2)$, dengan variasi yang sama tetapi teregang secara tegak.

**Latihan 11.9 ★★.**

Tunjukkan bahwa [fungsi](#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ dapat ditulis $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$, lalu simpulkan variasinya pada $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Solusi Latihan 11.9.**

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$. Pada $\intoo{-1}{+\infty}$, $u(x) = x + 1$ [naik](#def-g11-func-monotone) dan positif, sehingga $\frac1u$ turun, $-\frac1u$ [naik](#def-g11-func-monotone), dan menambahkan $2$ tidak mengubah apa pun: jadi $f$ tegas [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Latihan 11.10 ★★.**

Benar atau salah (berikan alasan atau contoh penyangkal):

1. Jumlah dua [fungsi naik](#def-g11-func-monotone) pada $I$ bersifat [naik](#def-g11-func-monotone) pada $I$ .
2. Hasil kali dua [fungsi naik](#def-g11-func-monotone) pada $I$ bersifat [naik](#def-g11-func-monotone) pada $I$ .
3. Jika $f$ [naik](#def-g11-func-monotone) pada $I$ , maka $f^2$ ( $= f \times f$ ) [naik](#def-g11-func-monotone) pada $I$ .

**Solusi Latihan 11.10.**

*1. Benar.* Jika $u < v$, maka $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ merupakan jumlah dua bilangan taknegatif.

*2. Salah.* $f(x) = g(x) = x$ [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\R$, tetapi hasil kalinya $x^2$ tidak [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\R$ ([fungsi](#def-g11-func-function) itu turun pada $\intoc{-\infty}{0}$). (Pernyataannya menjadi benar bila kedua [fungsinya](#def-g11-func-function) juga taknegatif.)

*3. Salah.* Contoh penyangkal yang sama: $f(x) = x$ [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\R$ tetapi $f^2(x) = x^2$ tidak.

**Latihan 11.11 ★★★.**

Misalkan $f(x) = x + \frac{1}{x}$ untuk $x > 0$.

1. Tunjukkan bahwa untuk $0 < u < v$ berlaku $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
2. Simpulkan bahwa $f$ tegas turun pada $\intoc{0}{1}$ dan tegas [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intco{1}{+\infty}$ .
3. Simpulkan bahwa $x + \frac1x \geq 2$ untuk semua $x > 0$ , dengan kesamaan hanya di $x = 1$ .

**Solusi Latihan 11.11.**

*1.* Untuk $0 < u < v$:

$$
f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u
= (v - u) + \frac{u - v}{uv}
= (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right)
= (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.
$$

*2.* Selalu berlaku $v - u > 0$ dan $uv > 0$. Jika $0 < u < v \leq 1$, maka $uv < 1$, jadi $uv - 1 < 0$ dan $f(v) < f(u)$: $f$ tegas turun pada $\intoc{0}{1}$. Jika $1 \leq u < v$, maka $uv > 1$ dan $f(v) > f(u)$: $f$ tegas [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intco{1}{+\infty}$.

*3.* $f$ turun sebelum $1$ dan [naik](#def-g11-func-monotone) sesudahnya, sehingga $f(x) \geq f(1) = 2$ untuk semua $x > 0$, dengan kesamaan tepat di $x = 1$. (Ketaksamaan ini muncul kembali dalam banyak rupa; bandingkan [Contoh 10.3](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#ex-g11-quad-canonical) dan ketaksamaan garis singgung pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#ch-g12-deriv).)

## 11.7 Soal: Pabrik kesimetrian

**Soal 11.1.**

Soal akhir pekan — setiap fungsi adalah bagian genap ditambah bagian ganjil: aturan paritas, permainan transformasi, dan minimum yang direbut tanpa kalkulus

Ada [fungsi](#def-g11-func-function) yang setangkup cermin, ada yang setangkup setengah putaran, dan kebanyakan bukan keduanya — namun sebuah keajaiban aljabar kecil mengatakan bahwa *setiap* [fungsi](#def-g11-func-function), dengan tepat satu cara, adalah jumlah sepotong bagian setangkup cermin dan sepotong bagian setangkup setengah putaran. Soal ini membuktikan keajaiban itu, memainkan permainan transformasi pada kurva acuan ([Proposisi 11.9](#prop-g11-func-transforms)), lalu ditutup dengan teknik pemfaktoran selisih pada [Latihan 11.11](#exo-g11-func-11), yang memenangkan soal peminimuman satu bab penuh sebelum turunan tiba.

**Bagian I — Kefasihan dengan paritas.**

1. [Genap](#def-g11-func-parity) , [ganjil](#def-g11-func-parity) , atau bukan keduanya ( [Definisi 11.11](#def-g11-func-parity) )? Berikan alasan masing-masing: $x^4 - 3x^2$ ; $x^3 - x$ ; $x^2 + x$ ; $\abs x$ ; $\frac1x$ .
2. Nyatakan makna geometris setiap putusannya ( [Proposisi 11.12](#prop-g11-func-paritysym) ): kesimetrian apa yang dipunyai kurva [fungsi genap](#def-g11-func-parity) ? Kurva [fungsi ganjil](#def-g11-func-parity) ?
3. Paritas berkalian seperti tanda: buktikan bahwa hasil kali dua [fungsi ganjil](#def-g11-func-parity) bersifat [genap](#def-g11-func-parity) , lalu lengkapkan seluruh tabel perkaliannya ( [genap](#def-g11-func-parity) $\times$ [genap](#def-g11-func-parity) , [genap](#def-g11-func-parity) $\times$ [ganjil](#def-g11-func-parity) , [ganjil](#def-g11-func-parity) $\times$ [ganjil](#def-g11-func-parity) ).
4. Akibat singkatnya: jika $f$ [ganjil](#def-g11-func-parity) dan terdefinisi di $0$ , berapa $f(0)$ ? Jika $f$ [genap](#def-g11-func-parity) dengan $f(3) = 7$ , berapa $f(-3)$ ? Lalu tunjukkan bahwa satu-satunya [fungsi](#def-g11-func-function) yang sekaligus [genap](#def-g11-func-parity) dan [ganjil](#def-g11-func-parity) adalah [fungsi](#def-g11-func-function) nol.
5. Berapa bagian kurva [fungsi genap](#def-g11-func-parity) yang sudah menentukan seluruhnya? Berikan sebuah [fungsi](#def-g11-func-function) yang bukan [genap](#def-g11-func-parity) maupun [ganjil](#def-g11-func-parity) , lalu jelaskan apa yang gagal.

**Bagian II — Teorema penguraian.** Untuk sebuah [fungsi](#def-g11-func-function) $f$ pada [daerah asal](#def-g11-func-function) yang setangkup terhadap $0$, tulislah

$$
E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2},
\qquad
O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .
$$

6. Hitunglah $E$ dan $O$ untuk $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ , lalu periksa: $E$ [genap](#def-g11-func-parity) , $O$ [ganjil](#def-g11-func-parity) , $E + O = f$ .
7. Buktikan pernyataan umumnya: untuk sebarang $f$ , [fungsi](#def-g11-func-function) $E$ [genap](#def-g11-func-parity) , $O$ [ganjil](#def-g11-func-parity) , dan $f = E + O$ — *setiap [fungsi](#def-g11-func-function) terbelah menjadi bagian [genap](#def-g11-func-parity) dan bagian [ganjil](#def-g11-func-parity)* .
8. Buktikan bahwa pembelahan itu tunggal: jika $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ dengan $E_i$ [genap](#def-g11-func-parity) dan $O_i$ [ganjil](#def-g11-func-parity) , pakailah pertanyaan 4 pada $E_1 - E_2$ .
9. Uraikan $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ (untuk $x \neq \pm 1$ ): letakkan $E$ dan $O$ pada penyebut bersama $1 - x^2$ lalu sederhanakan.
10. Sekilas ke depan, masing-masing satu kalimat: bagian [genap](#def-g11-func-parity) dan [ganjil](#def-g11-func-parity) [fungsi](#def-g11-func-function) eksponen kelak menjadi sepasang [fungsi](#def-g11-func-function) kembar tahun berikutnya (kosinus dan sinus hiperbolik); dan naluri yang sama — membelah sebuah objek menjadi potongan yang setangkup lalu memperlakukan masing-masing dengan kesimetriannya sendiri — menggerakkan analisis bunyi dan isyarat pada jilid universitas. Mengapa pembelahan semacam itu *berguna* , secara umum?

**Bagian III — Permainan transformasi.**

11. Berangkat dari kurva $x \mapsto x^2$ , perikan secara tepat kurva $(x - 3)^2$ , $x^2 + 2$ , $(x - 3)^2 + 2$ , $-x^2$ , $2x^2$ ( [Proposisi 11.9](#prop-g11-func-transforms) ).
12. Susutkan $f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ menjadi rumus per selang pada ketiga [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) yang dipotong oleh $-2$ dan $2$ , lalu perikan kurvanya (kurva itu punya dasar rata yang termasyhur).
13. Transformasi mana yang menghormati kegenapan? Putuskan, dengan bukti atau contoh penyangkal: pergeseran mendatar $f(x - 3)$ ; pergeseran tegak $f(x) + 2$ ; peregangan tegak $2 f(x)$ (semuanya diterapkan pada $f$ yang [genap](#def-g11-func-parity) ).
14. Selesaikan $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ dengan rumus per selang pada pertanyaan 12.
15. Merancang balik: sebuah [parabola](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-parabola) bertitik puncak $(2, -3)$ dan melalui $(0, 1)$ . Susunlah kembali [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) dalam [bentuk kanonik](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#thm-g11-quad-canonical) .

**Bagian IV — [Minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) tanpa kalkulus.**

16. Cerminkan [Latihan 11.11](#exo-g11-func-11) untuk $g(x) = x + \dfrac4x$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ : tunjukkan $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ , tentukan letak [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) , lalu berikan nilainya.
17. Terapkan: di antara semua persegi panjang berluas $16$ , mana yang kelilingnya paling kecil? (Tulislah $P = 2\left(x +  \frac{16}{x}\right)$ lalu pakai mesin pertanyaan 16.) Seorang kawan lama menutup jawabannya.
18. Tentukan variasi $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ pada seluruh $\R$ , dengan memadukan alasan komposisi pada $\intco{0}{+\infty}$ dan alasan paritas untuk sisanya.
19. Titik terdekat: carilah titik pada kurva $y = \sqrt x$ yang terdekat ke $(3, 0)$ . (Minimumkan *kuadrat* jaraknya — sebuah bentuk kuadrat dalam $x$ — lalu jelaskan mengapa meminimumkan kuadratnya sah.)
20. Penutup, keliling pabriknya: kurva acuan adalah bahan mentahnya; transformasi adalah mesinnya; paritas dan penguraian adalah kendali mutunya; pemfaktoran selisih adalah bangku ukurnya. Satu kalimat untuk masing-masing — lalu sebutkan perkakas ampuh yang diantarkan bab berikutnya.

**Solusi Soal 11.1.**

**1.** $x^4 - 3x^2$: [genap](#def-g11-func-parity) ($(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 -
3x^2$). $x^3 - x$: [ganjil](#def-g11-func-parity). $x^2 + x$: bukan keduanya ($f(-1) = 0 \neq
f(1) = 2$ dan $\neq -f(1)$). $\abs x$: [genap](#def-g11-func-parity). $\frac1x$: [ganjil](#def-g11-func-parity).

**2.** [Genap](#def-g11-func-parity): kurvanya setangkup terhadap sumbu $y$ (cermin). [Ganjil](#def-g11-func-parity): setangkup terhadap titik asal (setengah putaran).

**3.** Jika $f$ dan $g$ [ganjil](#def-g11-func-parity): $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$: jadi [genap](#def-g11-func-parity). Tabelnya: [genap](#def-g11-func-parity) $\times$ [genap](#def-g11-func-parity) $=$ [genap](#def-g11-func-parity); [genap](#def-g11-func-parity) $\times$ [ganjil](#def-g11-func-parity) $=$ [ganjil](#def-g11-func-parity); [ganjil](#def-g11-func-parity) $\times$ [ganjil](#def-g11-func-parity) $=$ [genap](#def-g11-func-parity) — yaitu aturan tanda dengan paritas.

**4.** [Ganjil](#def-g11-func-parity) di $0$: $f(0) = -f(0)$, jadi $f(0) = 0$. [Genap](#def-g11-func-parity): $f(-3) = f(3) = 7$. Sekaligus [genap](#def-g11-func-parity) dan [ganjil](#def-g11-func-parity): $f(x) = f(-x) = -f(x)$ untuk semua $x$, jadi $2f(x) = 0$: $f$ adalah [fungsi](#def-g11-func-function) nol.

**5.** Paruh kanannya ($x \geq 0$) sudah menentukan sebuah [fungsi genap](#def-g11-func-parity) sepenuhnya: paruh kirinya adalah cerminannya. Bukan [genap](#def-g11-func-parity) maupun [ganjil](#def-g11-func-parity): $x^2 + x$ (pertanyaan 1) — kedua kesimetriannya gagal di $x = 1$.

**6.** $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 +
1)}{2} = x^2 + 1$ ([genap](#def-g11-func-parity)), $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) -
(-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^3$ ([ganjil](#def-g11-func-parity)); jumlahnya adalah $f$.

**7.** $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$: [genap](#def-g11-func-parity). $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$: [ganjil](#def-g11-func-parity). Lalu $E(x) + O(x) = f(x)$ lewat penjumlahan langsung: jadi setiap [fungsi](#def-g11-func-function) terbelah.

**8.** Dari $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$: $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$. Ruas kirinya [genap](#def-g11-func-parity), ruas kanannya [ganjil](#def-g11-func-parity) — jadi [fungsi](#def-g11-func-function) itu sekaligus keduanya, sehingga nol (pertanyaan 4): $E_1 = E_2$ dan $O_1 = O_2$. Hanya ada satu pembelahan.

**9.** $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 +
x}\right) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2}
= \frac{1}{1 - x^2}$, dan $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2}
= \frac{x}{1 - x^2}$. Periksa: $E$ [genap](#def-g11-func-parity), $O$ [ganjil](#def-g11-func-parity), dan jumlahnya $\frac{1 + x}{1 - x^2} =
\frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} = f(x)$.

**10.** Karena setiap potongnya menuruti sebuah kesimetrian, separuh pekerjaan (dan separuh datanya) sudah cukup untuk masing-masing: selesaikan di satu sisi, lalu cerminkan ke sisi lain — dan banyak operasi (pengintegralan, deret, analisis isyarat) memperlakukan potongan yang setangkup jauh lebih sederhana daripada [fungsi](#def-g11-func-function) mentah.

**11.** $(x-3)^2$: tergeser $3$ ke kanan. $x^2 + 2$: tergeser $2$ ke atas. $(x-3)^2 + 2$: keduanya. $-x^2$: terbalik ke bawah. $2x^2$: teregang tegak sebesar $2$ (cekungannya lebih sempit).

**12.** Untuk $x \geq 2$: $(x - 2) + (x + 2) = 2x$. Untuk $-2 \leq x \leq 2$: $(2 - x) + (x + 2) = 4$. Untuk $x \leq -2$: $-2x$. Kurvanya menurun dengan [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $-2$, mendatar pada tinggi $4$ antara $-2$ dan $2$, lalu mendaki dengan [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $2$: sebuah lembah berlantai rata.

**13.** Pergeseran tegak: $f(x) + 2$ tetap [genap](#def-g11-func-parity) ($f(-x) + 2 = f(x) + 2$). Peregangan tegak: $2f(x)$ tetap [genap](#def-g11-func-parity). Pergeseran mendatar: $(x - 3)^2$ tidak [genap](#def-g11-func-parity) ($f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$): bergeser ke samping merusak cerminnya.

**14.** Pada lantai ratanya nilainya $4 \neq 6$. Untuk $x \geq 2$: $2x = 6$, $x = 3$. Untuk $x \leq -2$: $-2x = 6$, $x = -3$. Penyelesaiannya: $\pm 3$.

**15.** $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ dengan $f(0) = 4a - 3 = 1$: jadi $a = 1$, sehingga $f(x) = (x - 2)^2 - 3$.

**16.** $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv}
= (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$: bernilai negatif untuk $u < v$ dengan $uv < 4$, dan positif dengan $uv > 4$: jadi turun pada $\intoc{0}{2}$, [naik](#def-g11-func-monotone) pada $\intco{2}{+\infty}$; [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) di $x = 2$, bernilai $g(2) = 4$.

**17.** Sisinya $x$ dan $\frac{16}{x}$: $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$, yang [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) (dengan mesin pertanyaan 16 dan $4 \to 16$, titik baliknya $\sqrt{16} = 4$) di $x = 4$: yaitu *persegi* $4 \times 4$, kelilingnya $16$ — jawaban Dido, kini terbukti untuk setiap panjang sisi real.

**18.** Pada $\intco{0}{+\infty}$: $x \mapsto x^2 + 1$ [naik](#def-g11-func-monotone), dan $\sqrt{\phantom{x}}$ [naik](#def-g11-func-monotone), sehingga komposisinya [naik](#def-g11-func-monotone). Lalu $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$: $h$ [genap](#def-g11-func-parity), sehingga menurut kesimetrian cerminnya [fungsi](#def-g11-func-function) itu turun pada $\intoc{-\infty}{0}$. [Minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $h(0) = 1$.

**19.** Kuadrat jarak ke $(3, 0)$ dari titik $(x, \sqrt x)$ adalah $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$, yang [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) di $x = \frac52$: jadi titik terdekatnya $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$, dengan jarak $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$. Meminimumkan $d^2$ sah karena pengkuadratan tegas [naik](#def-g11-func-monotone) pada bilangan positif: $d$ dan $d^2$ mencapai dasar di tempat yang sama.

**20.** Bahan mentahnya: kurva acuan, yang dihafal di luar kepala. Mesinnya: pergeseran, pembalikan dan peregangan yang merangkai [grafik](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) baru dari yang lama. Kendali mutunya: paritas dan pembelahan genap–ganjil, yang memangkas separuh setiap telaah. Bangku ukurnya: pemfaktoran $f(v) - f(u)$, yang membaca variasi dan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) secara langsung. Perkakas ampuh bab berikutnya: *turunan*, yang membaca semuanya sekilas.