---
title: "Turunan: Perkenalan Pertama"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/12-turunan-perkenalan-pertama
---

# Bab 12 — Turunan: Perkenalan Pertama

Seberapa cepat sebuah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) berubah? Jawabannya di satu titik adalah *[turunan](#def-g11-deriv-derivative)*, bilangan tunggal yang paling berguna dalam seluruh matematika terapan. Bab ini membangunnya dari [laju perubahan rata-rata](#def-g11-deriv-rate), menghitungnya untuk [fungsi acuan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-reference), lalu memakai tandanya untuk membaca variasi sebuah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function). Semua yang ada di sini diperluas dan diperdalam pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#ch-g12-deriv).

## 12.1 Laju perubahan rata-rata

**Definisi 12.1 (Laju perubahan rata-rata).**

Misalkan $f$ terdefinisi pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $I$, serta $a \neq b$ di $I$. *Laju perubahan rata-rata* $f$ antara $a$ dan $b$ adalah

$$
\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
$$

Bilangan itu adalah [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) *garis sekan* yang melalui titik $\bigl(a, f(a)\bigr)$ dan $\bigl(b, f(b)\bigr)$ pada kurvanya.

**Contoh 12.2.**

Sebuah mobil menempuh $140$ km antara pukul 14.00 dan 16.00: laju rata-ratanya $\frac{140}{2} = 70$ km/jam. Namun spidometernya menampilkan laju *sesaat* pada setiap saat — dan justru itulah gagasan yang dipertepat oleh [turunan](#def-g11-deriv-derivative).

## 12.2 Turunan di sebuah titik

**Definisi 12.3 (Turunan di sebuah titik).**

Misalkan $f$ terdefinisi pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) yang memuat $a$. Untuk $h \neq 0$, bentuklah [laju perubahan rata-rata](#def-g11-deriv-rate) antara $a$ dan $a + h$:

$$
r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

Jika $r(h)$ mendekati satu bilangan tetap ketika $h$ menjadi sedekat mungkin ke $0$, kita katakan bahwa $f$ *dapat diturunkan di $a$*; bilangan itu disebut *turunan $f$ di $a$*, ditulis $f'(a)$:

$$
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

**Contoh 12.4.**

Misalkan $f(x) = x^2$ dan $a = 1$. Untuk $h \neq 0$:

$$
\frac{f(1+h) - f(1)}{h}
= \frac{(1+h)^2 - 1}{h}
= \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h}
= \frac{h(2 + h)}{h}
= 2 + h .
$$

Ketika $h$ mendekati $0$, nilai ini mendekati $2$: [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $x^2$ [dapat diturunkan](#def-g11-deriv-derivative) di $1$ dan $f'(1) = 2$. Perhatikan siasatnya: *sederhanakan hasil baginya sampai $h$ tidak lagi muncul pada penyebut*, lalu biarkan $h \to 0$.

**Contoh 12.5 (Sebuah titik yang tak dapat diturunkan).**

Misalkan $f(x) = \abs{x}$ dan $a = 0$. Maka $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$, yang bernilai $1$ untuk $h > 0$ dan $-1$ untuk $h < 0$: tidak ada satu bilangan pun yang didekati, jadi $\abs x$ tidak [dapat diturunkan](#def-g11-deriv-derivative) di $0$. Kurvanya mempunyai *patahan* di sana.

## 12.3 Garis singgung

**Definisi 12.6 (Garis singgung).**

Jika $f$ [dapat diturunkan](#def-g11-deriv-derivative) di $a$, *garis singgung* kurvanya di titik $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ adalah garis yang melalui $A$ dengan [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $f'(a)$. [Persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) adalah

$$
y = f(a) + f'(a)(x - a).
$$

[Garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) adalah kedudukan batas [garis sekan](#def-g11-deriv-rate) yang melalui $A$: ketika $h \to 0$, titik keduanya $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ meluncur sepanjang kurvanya menuju $A$, dan [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) sekannya $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ mendekati $f'(a)$.

![Garis sekan yang melalui A dan B = (a+h, f(a+h) ) bergradien f(a+h)-f(a)/h. Ketika B meluncur menuju A, sekannya memiring menjadi garis singgung, yang bergradien f'(a).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-c259b32bd097.svg)

*[Garis sekan](#def-g11-deriv-rate) yang melalui $A$ dan $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ bergradien $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Ketika $B$ meluncur menuju $A$, sekannya memiring menjadi [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent), yang bergradien $f'(a)$.*

**Contoh 12.7.**

Untuk $f(x) = x^2$ di $a = 1$: $f(1) = 1$ dan $f'(1) = 2$ ([Contoh 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint)), sehingga [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) adalah

$$
y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .
$$

Inilah garis $d_2$ yang ditemukan lewat aljabar murni pada [Latihan 10.11](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#exo-g11-quad-11).

## 12.4 Turunan fungsi acuan

**Proposisi 12.8.**

Pada [daerah asal](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) tempat [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu [dapat diturunkan](#def-g11-deriv-derivative):

$$
(c)' = 0, \quad
(x)' = 1, \quad
(x^2)' = 2x, \quad
(x^3)' = 3x^2, \quad
\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad
(\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).
$$

Secara lebih umum, $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ untuk setiap [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $n \geq 1$.

**Bukti.** Setiap buktinya mengikuti siasat [Contoh 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint): sederhanakan lajunya, lalu biarkan $h \to 0$. Tetapkan $a$ di [daerah asalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function).

*[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) tetap dan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) identitas.* $\frac{c - c}{h} = 0$ dan $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ untuk semua $h$: limitnya $0$ dan $1$.

*Pangkat dua.* $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h
\to 2a$.

*Pangkat tiga.* $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$, sehingga lajunya $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$.

*Kebalikan.* Untuk $a \neq 0$ dan $h$ yang cukup kecil sehingga $a + h \neq 0$:

$$
\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right)
= \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)}
= \frac{-1}{a(a+h)}
\xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.
$$

*[Akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) kuadrat.* Untuk $a > 0$, kalikan dengan bentuk sekawannya:

$$
\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h}
= \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)}
= \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a}
\xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.
$$

*Pangkat umum.* Polanya, $2a$, $3a^2$, berlanjut: setelah $(a+h)^n$ dijabarkan, suku-suku setelah $a^n + n\,a^{n-1}h$ semuanya membawa $h^2$, sehingga lajunya menuju $n\,a^{n-1}$. (Induksi lengkapnya diberikan pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#ch-g12-deriv).) ∎

## 12.5 Aturan penurunan

**Teorema 12.9 (Operasi).**

Misalkan $u$ dan $v$ [dapat diturunkan](#def-g11-deriv-derivative) pada $I$ dan $\lambda \in \R$. Maka $u + v$, $\lambda u$, $uv$ [dapat diturunkan](#def-g11-deriv-derivative) pada $I$, demikian pula $\frac{u}{v}$ di mana pun $v \neq 0$, dan

$$
(u+v)' = u' + v', \qquad
(\lambda u)' = \lambda u', \qquad
(uv)' = u'v + uv', \qquad
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
$$

**Bukti tiga aturan pertama.** Tetapkan $a \in I$ lalu singkat $\Delta u = u(a+h) - u(a)$, $\Delta v = v(a+h) - v(a)$.

*Jumlah.* Laju $u + v$ adalah $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h}
\to u'(a) + v'(a)$.

*Kelipatan.* Laju $\lambda u$ adalah $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$.

*Hasil kali.* Tambahkan lalu kurangkan suku campuran $u(a+h)\,v(a)$:

$$
\begin{align*}
\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
&= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\
&= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}.
\end{align*}
$$

Ketika $h \to 0$: $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$, $\frac{\Delta u}{h} \to
u'(a)$, dan $u(a+h) \to u(a)$ (lajunya mempunyai limit, sehingga $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$). Jadi lajunya menuju $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$.

Aturan hasil bagi dibuktikan menurut garis yang sama; aturan itu *diterima tanpa bukti pada tingkat ini* dan dibuktikan pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#ch-g12-deriv). ∎

**Contoh 12.10.**

*Polinomial.* $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$:

$$
f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .
$$

*Hasil bagi.* $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$: dengan $u = 2x + 1$, $v = x^2
+ 1$,

$$
g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.
$$

*Hasil kali.* $k(x) = x\sqrt x$ untuk $x > 0$: $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x}
= \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$.

## 12.6 Tanda turunan dan variasi

**Teorema 12.11 (Turunan dan variasi).**

Misalkan $f$ [dapat diturunkan](#def-g11-deriv-derivative) pada sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $I$.

1. Jika $f' \geq 0$ pada $I$ , maka $f$ naik pada $I$ .
2. Jika $f' \leq 0$ pada $I$ , maka $f$ turun pada $I$ .
3. Jika $f' > 0$ pada $I$ (kecuali mungkin di berhingga banyak titik tempat [turunannya](#def-g11-deriv-derivative) lenyap), maka $f$ tegas naik pada $I$ .

**Bukti.** Gagasannya jelas — kurva yang semua [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) menunjuk ke atas pasti mendaki — tetapi bukti yang cermat memerlukan teorema nilai rata-rata. Hasil ini *diterima tanpa bukti pada tingkat ini*; lihat [Teorema 22.7](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#thm-g12-deriv-variations). ∎

**Proposisi 12.12 (Nilai ekstrem).**

Jika $f'$ berganti tanda di $a$ dari $+$ ke $-$, maka $f$ mempunyai [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal di $a$; dari $-$ ke $+$, [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal. Di titik semacam itu $f'(a) = 0$ dan [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) mendatar.

**Bukti.** Jika $f' \geq 0$ pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) yang berakhir di $a$ dan $f' \leq 0$ pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) yang bermula di $a$, maka $f$ naik sampai $f(a)$ lalu turun sesudahnya ([Teorema 12.11](#thm-g11-deriv-variations)): jadi $f(a)$ terbesar di sekitarnya. Karena $f'$ berganti tanda di $a$ dan terdefinisi di sana, $f'(a) = 0$. ∎

**Metode 12.13 (Menelaah sebuah fungsi).**

1. Hitunglah $f'(x)$ lalu sederhanakan — sebaiknya menjadi bentuk terfaktorkan.
2. Tentukan tanda $f'(x)$ pada setiap [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) (untuk $f'$ yang berbentuk kuadrat, pakailah [Teorema 10.11](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#thm-g11-quad-sign) ).
3. Catat hasilnya dalam sebuah *[tabel variasi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table)* : satu baris untuk tanda $f'$ , satu baris panah untuk $f$ , beserta nilai $f$ di titik-titik baliknya.
4. Simpulkan: nilai ekstrem, banyaknya penyelesaian $f(x) = k$ , ketaksamaan.

**Contoh 12.14.**

Telaahlah $f(x) = x^3 - 3x + 1$ pada $\R$. Pertama, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$: sebuah bentuk kuadrat dengan [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) $-1$ dan $1$, yang positif di luar keduanya. Jadi $f$ naik pada $\intoc{-\infty}{-1}$, turun pada $\intcc{-1}{1}$, naik pada $\intco{1}{+\infty}$, dengan [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ dan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$.

![Kurva f(x) = x3 - 3x + 1 (): garis singgung mendatar (jingga) di maksimum lokal (-1, 3) dan minimum lokal (1, -1), tempat f' berganti tanda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-7cf7eb7be937.svg)

*Kurva $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ([Contoh 12.14](#ex-g11-deriv-study)): [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) mendatar (jingga) di [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal $(-1, 3)$ dan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal $(1, -1)$, tempat $f'$ berganti tanda.*

**Contoh 12.15 (Pengoptimuman).**

Sebuah kotak terbuka dibuat dari lembaran $12 \times 12$ cm dengan memotong persegi bersisi $x$ dari setiap pojoknya lalu melipatnya. Volumenya adalah $V(x) = x(12 - 2x)^2$ untuk $0 < x < 6$. Setelah dijabarkan, $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$, sehingga

$$
V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).
$$

Pada $\intoo{0}{6}$, faktor $x - 6$ bernilai negatif, sehingga $V'(x)$ bertanda sama dengan $-(x-2)$: positif sebelum $2$, negatif sesudahnya. Volumenya [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) untuk $x = 2$ cm, yaitu $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm$^3$.

## 12.7 Latihan

**Latihan 12.1 ★.**

Dengan memakai definisinya (laju perubahan, lalu $h \to 0$), hitunglah $f'(2)$ untuk $f(x) = x^2$, lalu $g'(1)$ untuk $g(x) = x^2 + 3x$.

**Solusi Latihan 12.1.**

Untuk $f(x) = x^2$ di $a = 2$:

$$
\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 4,
$$

jadi $f'(2) = 4$. Untuk $g(x) = x^2 + 3x$ di $a = 1$: $g(1) = 4$ dan

$$
\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 5,
$$

jadi $g'(1) = 5$.

**Latihan 12.2 ★.**

Turunkan:

$$
f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad
g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad
h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .
$$

**Solusi Latihan 12.2.**

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$.

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (pada $\intoo{0}{+\infty}$).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x
= 6x^2 + 2x - 6$ (aturan hasil kali).

**Latihan 12.3 ★.**

Berikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) kurva $f$ di titik yang berabsis $a$:

$$
f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad
f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad
f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .
$$

**Solusi Latihan 12.3.**

$f(x) = x^2 - 3x$, $a = 2$: $f(2) = -2$, $f'(x) = 2x - 3$ jadi $f'(2) = 1$; [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) $y = -2 + (x - 2) = x - 4$.

$f(x) = \frac1x$, $a = 1$: $f(1) = 1$, $f'(1) = -1$; [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$.

$f(x) = \sqrt x$, $a = 4$: $f(4) = 2$, $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} =
\frac14$; [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$.

**Latihan 12.4 ★.**

Turunkan hasil bagi berikut:

$$
f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad
g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad
h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .
$$

**Solusi Latihan 12.4.**

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{2x}{(x^2+1)^2}$.

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (aturan hasil bagi dengan $u = 1$).

**Latihan 12.5 ★★.**

Telaahlah variasi $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ pada $\R$ ([tabel variasi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table), nilai ekstrem lokal).

**Solusi Latihan 12.5.**

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$: positif di luar $\intcc{1}{3}$, negatif di dalamnya. Jadi $f$ naik pada $\intoc{-\infty}{1}$, turun pada $\intcc{1}{3}$, naik pada $\intco{3}{+\infty}$, dengan [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ dan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$.

**Latihan 12.6 ★★.**

Telaahlah variasi $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ pada $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Solusi Latihan 12.6.**

Pada $\intoo{-1}{+\infty}$:

$$
f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2}
= \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}
= \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.
$$

Untuk $x > -1$, baik $x + 3$ maupun $(x+1)^2$ bernilai positif, sehingga $f'(x)$ bertanda sama dengan $x - 1$: jadi $f$ turun pada $\intoc{-1}{1}$ dan naik pada $\intco{1}{+\infty}$, dengan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \frac{4}{2} = 2$.

**Latihan 12.7 ★★.**

Misalkan $f(x) = x^2 - 4x + 5$.

1. Carilah titik pada kurvanya tempat [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) mendatar.
2. Carilah titik tempat [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) sejajar dengan garis $y = 2x + 1$ .

**Solusi Latihan 12.7.**

$f'(x) = 2x - 4$.

*1.* [Garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) mendatar: $f'(x) = 0$ di $x = 2$; titiknya adalah $(2, f(2)) = (2, 1)$ (titik puncak [parabolanya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-parabola)).

*2.* Sejajar dengan $y = 2x + 1$ berarti bergradien $2$: $2x - 4 = 2$, jadi $x = 3$, yang memberi titik $(3, f(3)) = (3, 2)$.

**Latihan 12.8 ★★.**

Sebuah kandang berbentuk persegi panjang dibangun bersandar pada tembok dengan pagar sepanjang $60$ m (tiga sisi). Nyatakan luasnya sebagai [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) lebar $x$, lalu pakailah [turunan](#def-g11-deriv-derivative) untuk mencari ukuran yang berluas [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema). (Bandingkan dengan metode titik puncak pada [Bab 10](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#ch-g11-quad).)

**Solusi Latihan 12.8.**

Dengan lebar $x$ (dua sisi berpagar) dan panjang $60 - 2x$: $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ pada $\intoo{0}{30}$. Lalu $A'(x) = 60 - 4x$, positif sebelum $x = 15$ dan negatif sesudahnya: luasnya [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) untuk $x = 15$, yang memberi kandang $15 \times 30$ m berluas $450$ m$^2$. Rumus titik puncak $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ pada [Bab 10](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#ch-g11-quad) memberi jawaban yang sama tanpa kalkulus.

**Latihan 12.9 ★★.**

Tunjukkan bahwa untuk semua $x > 0$ berlaku $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$, dengan menelaah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ pada $\intoo{0}{+\infty}$.

**Solusi Latihan 12.9.**

Misalkan $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ pada $\intoo{0}{+\infty}$. Maka

$$
f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},
$$

yang bertanda sama dengan $\sqrt x - 1$: negatif pada $\intoo{0}{1}$, positif pada $\intoo{1}{+\infty}$. Jadi $f$ turun lalu naik, dengan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 1 - 1 = 0$. Karena itu $f(x) \geq 0$ untuk semua $x > 0$, artinya $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$, dengan kesamaan hanya di $x = 1$.

**Latihan 12.10 ★★.**

Sebuah kaleng berbentuk tabung harus memuat $500$ cm$^3$. Luas permukaannya (dua cakram ditambah selimutnya) adalah $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ dengan $\pi r^2 h = 500$. Nyatakan $S$ sebagai [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $r$ saja, lalu tunjukkan bahwa $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$. Simpulkan jari-jari yang meminimumkan luas permukaannya, sebagai bentuk eksak.

**Solusi Latihan 12.10.**

Dari $\pi r^2 h = 500$ diperoleh $h = \frac{500}{\pi r^2}$, sehingga

$$
S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2}
= 2\pi r^2 + \frac{1000}{r},
\qquad
S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.
$$

$S'(r) = 0$ ketika $4\pi r^3 = 1000$, yaitu $r^3 = \frac{250}{\pi}$, jadi $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ($\approx 4.3$ cm). Karena $S'(r) =
\frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ bernilai negatif sebelum nilai itu dan positif sesudahnya, nilai itu adalah [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema).

**Latihan 12.11 ★★★.**

Berapa banyak [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) [parabola](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ yang melalui titik luar $P(1, -3)$? Tentukan [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation). (Misalkan $a$ [absis](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) titik sentuhnya lalu nyatakan bahwa [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) di $a$ melalui $P$.)

**Solusi Latihan 12.11.**

[Garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) $y = x^2$ di titik yang berabsis $a$ adalah $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$. Garis itu melalui $P(1, -3)$ ketika $-3 = 2a - a^2$, yaitu $a^2 - 2a - 3 = 0$, yang [akarnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) $a = 3$ dan $a = -1$ ($\Delta = 16$). Jadi ada *dua* [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) yang melalui $P$:

$$
y = 6x - 9 \quad (a = 3),
\qquad
y = -2x - 1 \quad (a = -1).
$$

**Latihan 12.12 ★★★.**

Misalkan $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (lihat [Contoh 12.14](#ex-g11-deriv-study)). Dengan memakai [tabel variasinya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table), tentukan banyaknya penyelesaian [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ menurut nilai [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $k$.

**Solusi Latihan 12.12.**

Dari [Contoh 12.14](#ex-g11-deriv-study), $f$ naik sampai [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal $f(-1) = 3$, turun sampai [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal $f(1) = -1$, lalu naik lagi; untuk $x$ positif besar (masing-masing negatif besar), $x^3$ menguasai dan $f$ mengambil nilai yang sebesar-besarnya (masing-masing sekecil-kecilnya). Dengan membaca garis mendatar $y = k$ menyeberangi [tabel variasinya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table):

- $k > 3$ atau $k < -1$ : garisnya bertemu kurvanya sekali — $1$ penyelesaian;
- $k = 3$ atau $k = -1$ : garisnya menyentuh sebuah titik balik dan memotong satu cabang lain — $2$ penyelesaian;
- $-1 < k < 3$ : garisnya memotong ketiga cabangnya — $3$ penyelesaian.

## 12.8 Soal: Tiga pekerjaan garis singgung

**Soal 12.1.**

Soal akhir pekan — cermin parabola yang terbukti, mesin pencari akar milik Newton, dan balok terkuat dari sebatang gelondong

Sebuah [turunan](#def-g11-deriv-derivative) menggambar [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent); kedengarannya bakat yang sederhana. Soal ini memperlihatkan [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) memegang tiga pekerjaan sekaligus: membuktikan teorema lampu sorot yang tertunda pada [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#pb-g11-quad-1) (setiap sinar sejajar sumbu [parabola](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-parabola) memantul melalui fokusnya), menggerakkan algoritme penyelesai [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) tercepat yang lazim dipakai — di dalam setiap kalkulator dan jaringan saraf tiruan — serta menemukan balok persegi panjang terkuat yang dapat dihasilkan sebatang gelondong bundar.

**Bagian I — Kefasihan dengan [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent).**

1. Turunkan $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ dan $g(x) = x^3 - 12x$ ( [Teorema 12.9](#thm-g11-deriv-rules) ); lalu temukan kembali $\left(x^2  \right)'$ di $x = 1$ dari definisinya (laju perubahan, lalu $h \to 0$ ).
2. Carilah [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) $y = x^3 - 12x$ di $a = 2$ . Apa yang istimewa padanya, dan apa yang diisyaratkannya ( [Proposisi 12.12](#prop-g11-deriv-extrema) )?
3. Tetapkan rumus umum [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) [parabola](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ di titik $(a, a^2)$: $$y = 2ax - a^2 .$$
4. Di mana [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) itu memotong sumbu $y$ ? Simpulkan resep sang juru gambar: untuk menggambar [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) di titik $P$ yang tingginya $h$ pada [parabola](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-parabola) , hubungkan $P$ ke titik pada sumbunya sedalam … di bawah titik asal. Nyatakanlah.
5. Susunlah [tabel variasi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table) lengkap $g(x) = x^3 - 12x$ (tanda $g'$ , nilai ekstrem lokal beserta nilainya, [Metode 12.13](#met-g11-deriv-study) ).

**Bagian II — Teorema cermin.** Misalkan $P(a, a^2)$ sebuah titik pada [parabola](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ (ambil $a \neq 0$), $F\left(0, \frac14\right)$ fokusnya, dan $T$ titik tempat [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) di $P$ memotong sumbu $y$ (pertanyaan 4). Ingat kembali dari [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#pb-g11-quad-1) bahwa $PF = a^2 + \frac14$.

6. Hitunglah jarak $FT$ .
7. Simpulkan bahwa segitiga $FPT$ sama kaki di $F$ . Karena itu, dua sudut yang mana yang sama besar?
8. Sinar datang yang melalui $P$ , sejajar dengan sumbunya, sejajar pula dengan garis $(TF)$ (keduanya tegak). Dengan memakai sudut berseberangan, tunjukkan bahwa [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) di $P$ membentuk *sudut yang sama besar* dengan sinar datang yang tegak itu dan dengan ruas garis $[PF]$ .
9. Fisikanya: cahaya memantul pada sebuah kurva seperti pada [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) , dan pergi dengan sudut yang sama dengan sudut datangnya (hukum pemantulan). Simpulkan *teorema cermin* : setiap sinar yang sejajar sumbunya memantul melalui fokusnya — dan, dengan membalik waktunya, bola lampu di fokusnya memancarkan cahaya sejajar. Antena [parabola](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-parabola) dan lampu sorot pada [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#pb-g11-quad-1) kini menjadi teorema.
10. Periksalah segitiga sama kaki itu secara numeris di $a = 1$ : hitunglah $T$ , $FP$ dan $FT$ .

**Bagian III — Mesin Newton.** Untuk menyelesaikan $f(x) = 0$, Newton mengusulkan: berangkatlah dari terkaan $x_0$, ikuti [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) di $x_0$ turun sampai sumbunya, lalu jadikan titik potongnya dengan sumbu $x$ sebagai terkaan berikutnya.

11. Turunkan rumus metodenya: $$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$$
12. Jalankan pada $f(x) = x^2 - 2$ dari $x_0 = 1$: hitunglah $x_1$, $x_2$, $x_3$ sebagai pecahan eksak. Barisan berumur dua ribu tahun yang mana — dan mesin yang mana dari [Soal 3.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) — yang baru saja kamu bangun kembali? Buktikan identitas di balik kebetulan itu: $$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x +  \frac2x\right).$$
13. Selesaikan $x^3 = 100$ (titik penyalipan tabungan pada [Soal 4.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#pb-g10-reffunc-1) ): terapkan dua langkah Newton pada $f(x) = x^3 - 100$ dari $x_0 = 5$ (empat angka desimal), lalu bandingkan dengan $\sqrt[3]{100}$ dari kalkulator.
14. Sabotase: cobalah menjalankan metode itu pada $f(x) = x^3 - 12x$ di $x_0 = 2$ . Apa yang berjalan salah, dan mengapa (pertanyaan 2)? Nyatakan peringatan praktisnya.
15. Pada pertanyaan 12 banyaknya angka desimal yang benar berjalan kira-kira $1 \to 3 \to 6$ . Bandingkan dengan metode bagi dua (membelah dua sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) pada setiap langkah) lalu katakan dalam satu kalimat mengapa kalkulator, penerima sistem penentu posisi dan pelatihan jaringan saraf tiruan semuanya berjalan di atas gagasan Newton.

**Bagian IV — Balok terkuat.** Sebuah balok persegi panjang berlebar $w$ dan bertinggi $d$ digergaji dari sebatang gelondong bundar berdiameter $30$ cm, sehingga $w^2 + d^2 = 900$. Kekakuan sebuah balok sebanding dengan $w d^2$ (tingginya terhitung dua kali: gelagar dipasang berdiri!).

16. Nyatakan kekakuannya sebagai [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $w$ saja: $S(w) = 900w - w^3$ , pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) yang mana?
17. Turunkan, susun [tabel variasinya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table) , lalu carilah $w$ dan $d$ yang optimum (nilai eksaknya, lalu sampai satuan milimeter).
18. Tunjukkan bahwa perbandingan optimumnya memenuhi $d = w\sqrt2$ — rasio para tukang kayu zaman dahulu. (Cerita tambahan: membagi diameter gelondongnya menjadi tiga bagian sama panjang lalu menegakkan garis tegak lurus sampai lingkarannya melukis persis persegi panjang ini.)
19. Pilihan yang naif adalah balok *persegi* ( $w = d$ ). Hitunglah kekakuannya dan kekakuan balok optimumnya, lalu berikan keuntungan tukang kayunya dalam persen.
20. Penutup — ketiga pekerjaan [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) itu, masing-masing dalam satu kalimat: geometri (teorema cermin), numerik (mesin Newton), pengoptimuman (baloknya), semuanya digerakkan oleh objek yang sama. Lalu penunjuk ke depan: tahun berikutnya menambahkan kecembungan — sisi kurva tempat [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) berada — untuk mempertajam ketiganya.

**Solusi Soal 12.1.**

**1.** $f'(x) = 6x - 5$; $g'(x) = 3x^2 - 12$. Dari definisinya: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$: jadi [turunan](#def-g11-deriv-derivative) $x^2$ di $1$ adalah $2$.

**2.** $g(2) = 8 - 24 = -16$ dan $g'(2) = 12 - 12 = 0$: [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) adalah garis mendatar $y = -16$. [Garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) mendatar mengisyaratkan sebuah titik kritis — di sini sebuah [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal, seperti dibenarkan [tabel variasi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table) pada pertanyaan 5.

**3.** [Gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $2a$ di $(a, a^2)$: $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$.

**4.** Di $x = 0$: $y = -a^2$: [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) memotong sumbunya sedalam $a^2$ di bawah titik asal — persis sejauh *di bawah* nol seperti $P$ berada di atasnya. Resepnya: untuk menggambar [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) di titik yang tingginya $h$, hubungkan titik itu dengan titik pada sumbu sedalam $h$ di bawah titik asal. (Tanpa perlu [turunan](#def-g11-deriv-derivative) di meja gambar.)

**5.** $g'(x) = 3(x^2 - 4)$: positif pada $\intoo{-\infty}{-2}$, negatif pada $\intoo{-2}{2}$, dan positif sesudahnya. Jadi $g$ naik sampai [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal $g(-2) = 16$, jatuh sampai [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal $g(2) = -16$, lalu naik lagi.

**6.** $F\left(0, \frac14\right)$ dan $T(0, -a^2)$: $FT = \frac14 + a^2$.

**7.** $FP = a^2 + \frac14 = FT$: sama kaki di $F$, sehingga kedua sudut alasnya sama: $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$.

**8.** Sinar datang di $P$ tegak, jadi sejajar dengan garis $(TF)$ (yaitu sumbu $y$). [Garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) $(TP)$ memotong kedua sejajar itu, sehingga sudut antara sinar dan [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) sama dengan $\widehat{FTP}$ (sudut berseberangan) — yang sama dengan $\widehat{FPT}$, yaitu sudut antara $[PF]$ dan [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent). Jadi sudutnya sama besar pada kedua sisi [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) di $P$.

**9.** Menurut hukum pemantulan, sinar yang tiba secara tegak di $P$ pergi sepanjang garis yang membentuk sudut sama besar di sisi lainnya — menurut pertanyaan 8, sepanjang $[PF]$: yaitu melalui fokusnya, berapa pun $a$. Sebaliknya, cahaya yang lahir di $F$ meninggalkan setiap titik cerminnya sejajar dengan sumbunya. Antena mengumpulkan, lampu sorot memancarkan: terbukti.

**10.** $a = 1$: [garis singgungnya](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2x - 1$, $T(0, -1)$; $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} =
\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac54$; $FT = \frac14 + 1 = \frac54$: sama kaki, seperti dijanjikan.

**11.** [Garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) di $x_n$ adalah $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$; garis itu memotong $y = 0$ di $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

**12.** $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$; $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$; $x_3 = \frac{577}{408}$: yaitu [hampiran](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-approx) Heron bagi $\sqrt2$, alias mesin [titik tetap](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) pada [Soal 3.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1). Identitasnya: $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x}
= \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$ — resep Heron *adalah* metode Newton yang diterapkan pada $x^2 - 2$, dua ribu tahun lebih awal.

**13.** $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3}
\approx 4.6667$; $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33}
\approx 4.6417$. Kalkulator: $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ — empat angka desimal yang benar dalam dua langkah.

**14.** $f'(2) = 0$: [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) di titik awalnya mendatar (pertanyaan 2) dan tidak pernah memotong sumbunya — jadi rumusnya membagi dengan nol. Peringatannya: mulailah Newton jauh dari titik kritis (dan, lebih umum, cukup dekat ke [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) yang kamu inginkan).

**15.** Metode bagi dua memperoleh satu angka biner per langkah; Newton kira-kira *melipatduakan* banyaknya angka yang benar setiap langkah (di sini $1 \to 3 \to 6$). Ketika setiap langkahnya mahal — jutaan parameter, navigasi waktu nyata — melipatduakan mengalahkan merayap, dan itulah sebabnya [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) berjalan di dalam begitu banyak kepingan silikon.

**16.** $d^2 = 900 - w^2$, sehingga $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$, untuk $0 < w < 30$.

**17.** $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ di $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3 \approx 17.3$ cm ($S' > 0$ sebelumnya, $< 0$ sesudahnya: jadi sebuah [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema)). Lalu $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ cm.

**18.** $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$, jadi $d = w\sqrt2$: tingginya adalah lebar kali $\sqrt2$ — itulah rasio tukang kayu (dan lukisan membagi diameter menjadi tiga menghasilkannya dengan jangka, tanpa aljabar di lokasi).

**19.** Balok persegi: $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ cm, kekakuannya $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$. Balok optimum: $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$. Keuntungannya: sekitar $8.9\,\%$ lebih kaku dari gelondong yang sama — [turunan](#def-g11-deriv-derivative) itu membayar ongkos penggergajian.

**20.** Geometri: sudut sama besar pada [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) mengubah sebuah paraboloid menjadi pengumpul cahaya. Numerik: meluncur menuruni [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) menyelesaikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) dengan laju penggandaan angka. Pengoptimuman: [turunan](#def-g11-deriv-derivative) yang lenyap menemukan persegi panjang terkuat dari sebatang gelondong. Satu objek, tiga keahlian — dan kecembungan tahun berikutnya akan memberitahukan, sebagai tambahan, di sisi mana dari setiap [garis singgung](#def-g11-deriv-tangent) kurvanya berada.