---
title: "Barisan: Perkenalan Pertama"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 13
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama
---

# Bab 13 — Barisan: Perkenalan Pertama

Sebuah [barisan](#def-g11-seq-sequence) adalah daftar bilangan yang dihasilkan oleh sebuah aturan: saldo tabungan yang berturut-turut, ukuran sebuah populasi dari tahun ke tahun. Bab ini menelaah dua keluarga yang menguasai penerapannya — [barisan](#def-g11-seq-sequence) *[aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic)*, yang tumbuh dengan langkah yang sama, dan [barisan](#def-g11-seq-sequence) *[geometri](#def-g11-seq-geometric)*, yang tumbuh dengan [rasio](#def-g11-seq-geometric) yang sama. Teori limit yang cermat dikembangkan pada [Bab 20](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#ch-g12-seq).

## 13.1 Mendefinisikan sebuah barisan

**Definisi 13.1 (Barisan).**

Sebuah *barisan* $(u_n)$ memasangkan setiap [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $n \geq 0$ (atau $n \geq 1$) dengan sebuah [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $u_n$, yang disebut *suku ke-$n$*. Sebuah barisan dapat diberikan

- secara *eksplisit* , lewat rumus $u_n$ dalam $n$ : misalnya $u_n = n^2 + 1$ ;
- secara *rekursif* , lewat suku pertamanya dan aturan untuk beralih dari setiap suku ke suku berikutnya: misalnya $u_0 = 3$ dan $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

**Contoh 13.2.**

Untuk $u_n = n^2 + 1$: $u_0 = 1$, $u_1 = 2$, $u_2 = 5$, dan $u_{10} = 101$ secara langsung. Untuk $u_0 = 3$, $u_{n+1} = 2u_n - 1$: $u_1 = 5$, $u_2 = 9$, $u_3 = 17$ — setiap sukunya memerlukan suku sebelumnya; mencapai $u_{10}$ menuntut sepuluh langkah (atau sebuah rumus umum, lihat [Latihan 13.11](#exo-g11-seq-11)).

## 13.2 Barisan aritmetika

**Definisi 13.3 (Barisan aritmetika).**

Sebuah [barisan](#def-g11-seq-sequence) disebut *aritmetika* dengan *beda* $d$ bila setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambahkan $d$:

$$
u_{n+1} = u_n + d \quad \text{untuk semua } n.
$$

Setara dengan itu: selisih $u_{n+1} - u_n$ tetap, yaitu sama dengan $d$.

**Teorema 13.4 (Suku umum).**

Jika $(u_n)$ [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) dengan suku pertama $u_0$ dan [beda](#def-g11-seq-arithmetic) $d$, maka

$$
u_n = u_0 + n\,d \quad \text{untuk semua } n \geq 0,
\qquad\text{dan secara lebih umum } u_n = u_p + (n - p)\,d .
$$

**Bukti.** Untuk beralih dari $u_0$ ke $u_n$, aturan “tambahkan $d$” diterapkan $n$ kali: satu langkah memberi $u_1 = u_0 + d$, dua langkah memberi $u_2 = u_0 + 2d$, dan setelah $n$ langkah setiap penerapannya telah menyumbang satu $d$, sehingga $u_n = u_0 + nd$. (Kata “dan seterusnya” ini dipertegas lewat induksi pada [Bab 20](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#ch-g12-seq).) Rumus umumnya menyusul dengan membilang $n - p$ langkah dari $u_p$ ke $u_n$. ∎

**Teorema 13.5 (Jumlah bilangan bulat berurutan).**

Untuk setiap [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $n \geq 1$:

$$
1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.
$$

Secara lebih umum, jumlah suku berurutan sebuah [barisan aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) sama dengan

$$
(\text{banyaknya suku}) \times
\frac{\text{suku pertama} + \text{suku terakhir}}{2}.
$$

**Bukti.** Tulislah jumlahnya $S$ dua kali, yang kedua dalam urutan terbalik, lalu jumlahkan kolom demi kolom:

$$
\begin{array}{ccccccccc}
S & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n\\
S & = & n & + & (n-1) & + & \dots & + & 1\\
\hline
2S & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1)
\end{array}
$$

Ada $n$ kolom, masing-masing berjumlah $n + 1$, sehingga $2S = n(n+1)$. Untuk [barisan aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) umum, pemasangan yang sama juga berhasil: pertama $+$ terakhir $=$ kedua $+$ kedua dari belakang $= \dots$, sebab bergerak satu langkah maju di ujung kiri ($+d$) diimbangi oleh satu langkah mundur di ujung kanan ($-d$). ∎

**Contoh 13.6.**

$1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$. Jumlah bilangan ganjil $1 + 3 + \dots + 99$ ($50$ suku) adalah $50 \times \frac{1 + 99}{2} = 2500$.

## 13.3 Barisan geometri

**Definisi 13.7 (Barisan geometri).**

Sebuah [barisan](#def-g11-seq-sequence) disebut *geometri* dengan *rasio* $q \neq 0$ bila setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan $q$:

$$
u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{untuk semua } n.
$$

Setara dengan itu, bila tidak ada sukunya yang lenyap: rasio $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ tetap, yaitu sama dengan $q$.

**Teorema 13.8 (Suku umum).**

Jika $(u_n)$ [geometri](#def-g11-seq-geometric) dengan suku pertama $u_0$ dan [rasio](#def-g11-seq-geometric) $q$, maka

$$
u_n = u_0\, q^n \quad \text{untuk semua } n \geq 0,
\qquad\text{dan secara lebih umum } u_n = u_p\, q^{\,n-p} .
$$

**Bukti.** Pembilangan langkah yang sama seperti pada [Teorema 13.4](#thm-g11-seq-arithgeneral): dari $u_0$ ke $u_n$, aturan “kalikan dengan $q$” diterapkan $n$ kali, dan menyumbang faktor $q^n$. ∎

**Teorema 13.9 (Jumlah geometri).**

Untuk setiap [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $q \neq 1$ dan [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $n \geq 0$:

$$
1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.
$$

**Bukti.** Misalkan $S = 1 + q + \dots + q^n$. Kalikan dengan $q$: $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$. Lalu kurangkan:

$$
S - qS = \bigl(1 + q + \dots + q^n\bigr)
- \bigl(q + q^2 + \dots + q^{n+1}\bigr) = 1 - q^{\,n+1},
$$

sebab setiap suku antaranya muncul sekali pada masing-masing jumlah lalu saling menghapus. Jadi $(1 - q)S = 1 - q^{\,n+1}$, dan membaginya dengan $1 - q \neq 0$ memberi rumusnya. ∎

**Contoh 13.10.**

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 =
2047$: melipatduakan butir beras pada petak papan catur mengalahkan lumbung mana pun, jauh sebelum petak ke-$64$, yang di sana jumlahnya $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$.

![Langkah yang sama melawan rasio yang sama: barisan aritmetika (u_n+1 = u_n + 0.9, biru) mengikuti sebuah garis, barisan geometri (u_n+1 = 1.2\,u_n, merah) mengikuti kurva eksponen yang akhirnya melampauinya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-seq/fig-042564d92743.svg)

*Langkah yang sama melawan [rasio](#def-g11-seq-geometric) yang sama: [barisan aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) ($u_{n+1} = u_n + 0.9$, biru) mengikuti sebuah garis, [barisan geometri](#def-g11-seq-geometric) ($u_{n+1} = 1.2\,u_n$, merah) mengikuti kurva eksponen yang akhirnya melampauinya.*

**Metode 13.11 (Mengenali jenis sebuah barisan).**

Hitunglah $u_{n+1} - u_n$ lalu sederhanakan. Jika hasilnya sebuah konstanta $d$, [barisannya](#def-g11-seq-sequence) [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic). Bila bukan, hitunglah $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (sukunya taknol) lalu sederhanakan: sebuah konstanta $q$ berarti [geometri](#def-g11-seq-geometric). Jika keduanya tidak tetap, [barisannya](#def-g11-seq-sequence) bukan salah satu jenis itu — jangan pernah menyimpulkan hanya dari beberapa suku pertamanya.

**Contoh 13.12.**

Untuk $u_n = 3 \times 5^n$: $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 5^{n+1}}{3 \times 5^n} = 5$ untuk semua $n$: [geometri](#def-g11-seq-geometric) dengan [rasio](#def-g11-seq-geometric) $5$. Untuk $u_n = n^2$: $u_1 - u_0 = 1$ tetapi $u_2 - u_1 = 3$, dan $\frac{u_1}{u_0}$ bahkan tidak terdefinisi — jadi bukan [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) maupun [geometri](#def-g11-seq-geometric).

## 13.4 Kemonotonan

**Definisi 13.13 (Barisan monoton).**

Sebuah [barisan](#def-g11-seq-sequence) $(u_n)$ disebut *naik* bila $u_{n+1} \geq u_n$ untuk semua $n$, dan *turun* bila $u_{n+1} \leq u_n$ untuk semua $n$.

**Metode 13.14 (Menelaah kemonotonan).**

Telaahlah tanda $u_{n+1} - u_n$. Untuk [barisan](#def-g11-seq-sequence) yang sukunya positif, kita boleh membandingkan $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ dengan $1$ sebagai gantinya.

**Contoh 13.15.**

Sebuah [barisan aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) naik bila $d \geq 0$ ($u_{n+1} - u_n = d$), dan turun bila $d \leq 0$. Sebuah [barisan geometri](#def-g11-seq-geometric) dengan $u_0 > 0$ dan $q > 1$ bersifat naik: $u_{n+1} - u_n = u_0 q^n (q - 1) > 0$; dengan $u_0 > 0$ dan $0 < q < 1$ [barisan](#def-g11-seq-sequence) itu turun.

## 13.5 Perilaku jangka panjang, secara takresmi

Apa yang terjadi pada $u_n$ ketika $n$ menjadi sangat besar? Untuk [barisan aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) dengan $d > 0$, suku $u_0 + nd$ akhirnya melampaui bilangan tetap mana pun. Untuk [barisan geometri](#def-g11-seq-geometric) dengan $0 < q < 1$, suku $u_0 q^n$ mengerut menuju $0$: mengalikan berulang kali dengan $0.9$, misalnya, mengikis nilai awal berapa pun. Dan untuk $q > 1$ sukunya meledak, seperti pada [Contoh 13.10](#ex-g11-seq-chessboard).

**Catatan 13.16.**

Pernyataan ini dapat dibuat benar-benar tepat — “sukunya akhirnya tetap berada dalam jarak berapa pun dari $0$” — lalu dibuktikan. Itulah teori *limit*, tema pembuka [Bab 20](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#ch-g12-seq).

## 13.6 Latihan

**Latihan 13.1 ★.**

Untuk setiap [barisan](#def-g11-seq-sequence) berikut, hitunglah $u_1$, $u_2$, $u_3$:

$$
u_n = \frac{n}{n+1}; \qquad
u_0 = 5,\ u_{n+1} = 3u_n - 2; \qquad
u_n = (-1)^n\,n .
$$

**Solusi Latihan 13.1.**

$u_n = \frac{n}{n+1}$: $u_1 = \frac12$, $u_2 = \frac23$, $u_3 = \frac34$.

$u_0 = 5$, $u_{n+1} = 3u_n - 2$: $u_1 = 13$, $u_2 = 37$, $u_3 = 109$.

$u_n = (-1)^n n$: $u_1 = -1$, $u_2 = 2$, $u_3 = -3$.

**Latihan 13.2 ★.**

$(u_n)$ [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) dengan $u_0 = 7$ dan $d = -3$. Hitunglah $u_{10}$ dan $u_{25}$. $(v_n)$ [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) dengan $v_3 = 11$ dan $v_8 = 26$. Carilah [bedanya](#def-g11-seq-arithmetic) dan $v_0$.

**Solusi Latihan 13.2.**

$u_{10} = 7 + 10 \times (-3) = -23$ dan $u_{25} = 7 - 75 = -68$.

Untuk $(v_n)$: $v_8 = v_3 + 5d$ memberi $26 = 11 + 5d$, jadi $d = 3$; lalu $v_0 = v_3 - 3d = 11 - 9 = 2$.

**Latihan 13.3 ★.**

$(u_n)$ [geometri](#def-g11-seq-geometric) dengan $u_0 = 5$ dan $q = 2$. Hitunglah $u_8$. $(v_n)$ [geometri](#def-g11-seq-geometric) dengan suku positif, $v_2 = 12$ dan $v_4 = 48$. Carilah [rasionya](#def-g11-seq-geometric) dan $v_0$.

**Solusi Latihan 13.3.**

$u_8 = 5 \times 2^8 = 1280$.

Untuk $(v_n)$: $v_4 = v_2\, q^2$ memberi $48 = 12 q^2$, jadi $q^2 = 4$ dan $q = 2$ (sukunya positif). Lalu $v_0 = \frac{v_2}{q^2} = \frac{12}{4} = 3$.

**Latihan 13.4 ★.**

Hitunglah

$$
1 + 2 + 3 + \dots + 500, \qquad
4 + 7 + 10 + \dots + 61, \qquad
1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^{10}} .
$$

**Solusi Latihan 13.4.**

$1 + \dots + 500 = \frac{500 \times 501}{2} = 125\,250$.

$4 + 7 + \dots + 61$ bersifat [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) dengan $d = 3$ dan $\frac{61 - 4}{3} + 1 = 20$ suku: jumlahnya $20 \times \frac{4 + 61}{2} = 650$.

$1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^{10}}$ bersifat [geometri](#def-g11-seq-geometric) dengan $q = \frac12$ dan $11$ suku: $\frac{1 - (1/2)^{11}}{1 - 1/2} = 2\left(1 - \frac{1}{2048}\right)
= \frac{2047}{1024}$.

**Latihan 13.5 ★.**

Tentukan apakah setiap [barisan](#def-g11-seq-sequence) berikut [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic), [geometri](#def-g11-seq-geometric), atau bukan keduanya:

$$
u_n = 4n - 1; \qquad
v_n = \frac{2^n}{3^{n+1}}; \qquad
w_n = n^2 + n .
$$

**Solusi Latihan 13.5.**

$u_{n+1} - u_n = 4(n+1) - 1 - 4n + 1 = 4$: [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) dengan $d = 4$.

$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{2^n}
= \frac23$: [geometri](#def-g11-seq-geometric) dengan $q = \frac23$.

$w_0 = 0$, $w_1 = 2$, $w_2 = 6$: selisihnya $2$ dan $4$ berbeda, jadi bukan [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic); $\frac{w_1}{w_0}$ bahkan tidak terdefinisi, dan [rasionya](#def-g11-seq-geometric) $\frac{w_2}{w_1} = 3 \neq \frac{w_3}{w_2} = 2$: jadi bukan keduanya.

**Latihan 13.6 ★★.**

Sebuah gedung pertunjukan mempunyai $20$ baris: $16$ kursi pada baris pertama, dan setiap baris mempunyai $2$ kursi lebih banyak daripada baris sebelumnya. Berapa kursi pada baris terakhir? Berapa kursi di seluruh gedung?

**Solusi Latihan 13.6.**

Banyaknya kursi per baris bersifat [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic): suku pertama $16$, [bedanya](#def-g11-seq-arithmetic) $2$. Baris terakhir (baris ke-20) mempunyai $16 + 19 \times 2 = 54$ kursi. Seluruhnya $20 \times \frac{16 + 54}{2} = 700$ kursi.

**Latihan 13.7 ★★.**

Sebuah populasi bakteri berlipat dua setiap jam; pada tengah hari ada $500$ bakteri. Berapa banyak pada pukul 20.00? Setelah berapa jam penuh populasinya pertama kali melampaui satu juta? (Selesaikan dengan mencoba pangkat $2$ berturut-turut.)

**Solusi Latihan 13.7.**

Setelah $n$ jam, populasinya $500 \times 2^n$. Pada pukul 20.00, $n = 8$: $500 \times 256 = 128\,000$ bakteri. Kita perlu $500 \times 2^n >
10^6$, yaitu $2^n > 2000$: karena $2^{10} = 1024$ dan $2^{11} = 2048$, populasinya pertama kali melampaui satu juta setelah $11$ jam penuh, yaitu pada pukul 23.00.

**Latihan 13.8 ★★.**

Setiap bulan, seorang penabung menyetorkan $100$ euro ke sebuah rekening yang memberi bunga $0.2\%$ per bulan atas saldo yang ada (bunganya dibukukan tepat sebelum setoran). Misalkan $c_n$ saldo tepat sesudah setoran ke-$n$, sehingga $c_1 = 100$ dan $c_{n+1} = 1.002\,c_n + 100$. Hitunglah $c_2$ dan $c_3$, lalu jelaskan mengapa $(c_n)$ bukan [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) maupun [geometri](#def-g11-seq-geometric).

**Solusi Latihan 13.8.**

$c_2 = 1.002 \times 100 + 100 = 200.20$ dan $c_3 = 1.002 \times 200.20 + 100 \approx 300.60$. Selisihnya, $c_2 - c_1 = 100.20$ dan $c_3 - c_2 \approx 100.40$, tidak sama, sehingga $(c_n)$ bukan [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic); [rasionya](#def-g11-seq-geometric), $\frac{c_2}{c_1} = 2.002$ dan $\frac{c_3}{c_2} \approx 1.50$, juga tidak sama, sehingga [barisan](#def-g11-seq-sequence) itu bukan [geometri](#def-g11-seq-geometric). (Rekursi campuran “kalikan lalu tambahkan” seperti ini diselesaikan dengan kiat [barisan](#def-g11-seq-sequence) bantu pada [Latihan 13.11](#exo-g11-seq-11).)

**Latihan 13.9 ★★.**

Telaahlah kemonotonan [barisan](#def-g11-seq-sequence)

$$
u_n = n^2 - 8n \ (n \geq 0), \qquad
v_n = \frac{3^n}{n!}\ (n \geq 1),
$$

dengan $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$. (Untuk $(v_n)$, bandingkan $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ dengan $1$.)

**Solusi Latihan 13.9.**

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) - n^2 + 8n = 2n - 7$: negatif untuk $n \leq 3$, positif untuk $n \geq 4$. Jadi $(u_n)$ turun sampai $u_4 = 16 - 32 = -16$, lalu naik: [barisan](#def-g11-seq-sequence) itu tidak monoton.

$(v_n)$ mempunyai suku positif dan

$$
\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n}
= \frac{3}{n+1},
$$

yang bernilai $> 1$ untuk $n \leq 1$, $= 1$ untuk $n = 2$, dan $< 1$ untuk $n \geq 3$: jadi [barisannya](#def-g11-seq-sequence) naik sampai $v_2 = v_3 = \frac92$, lalu turun.

**Latihan 13.10 ★★.**

Jumlah $n$ suku pertama sebuah [barisan aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) dengan $u_0 = 3$ dan $d = 4$ sama dengan $903$. Carilah $n$. (Susunlah sebuah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) kuadrat dalam $n$ lalu pakai [Bab 10](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#ch-g11-quad).)

**Solusi Latihan 13.10.**

Sebanyak $n$ suku pertamanya adalah $u_0, \dots, u_{n-1}$, dengan $u_0 = 3$ dan $u_{n-1} = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$. Jumlahnya adalah

$$
n \times \frac{3 + (4n-1)}{2} = n(2n + 1) = 903,
$$

sehingga $2n^2 + n - 903 = 0$. Di sini $\Delta = 1 + 4 \times 2 \times 903 =
7225 = 85^2$, dan $n = \frac{-1 + 85}{4} = 21$ ([akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) negatifnya ditolak). Periksa: $21 \times 43 = 903$.

**Latihan 13.11 ★★★.**

Misalkan $u_0 = 3$ dan $u_{n+1} = 2u_n - 1$.

1. Hitunglah $u_1, u_2, u_3$ lalu dugalah sebuah rumus untuk $u_n$ .
2. Misalkan $v_n = u_n - 1$ . Tunjukkan bahwa $(v_n)$ [geometri](#def-g11-seq-geometric) , lalu berikan [rasionya](#def-g11-seq-geometric) dan suku pertamanya.
3. Simpulkan rumus eksplisit untuk $u_n$ lalu periksalah dugaanmu.

**Solusi Latihan 13.11.**

*1.* $u_1 = 5$, $u_2 = 9$, $u_3 = 17$: setiap sukunya satu lebih besar daripada $4, 8, 16$, yang mengisyaratkan $u_n = 2^{n+1} + 1$.

*2.* Dengan $v_n = u_n - 1$:

$$
v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2(u_n - 1) = 2v_n,
$$

sehingga $(v_n)$ [geometri](#def-g11-seq-geometric) dengan [rasio](#def-g11-seq-geometric) $2$ dan suku pertama $v_0 = u_0 - 1 = 2$.

*3.* Jadi $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ dan $u_n = v_n + 1 = 2^{n+1} + 1$, yang membenarkan dugaan tadi. (Bilangan $1$ yang dikurangkan pada $v_n$ adalah [titik tetap](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) $x \mapsto 2x - 1$; gagasan yang sama muncul kembali untuk $u_{n+1} = au_n + b$ pada [Bab 20](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#ch-g12-seq).)

## 13.7 Soal: Menara Brahma dan kelinci Fibonacci

**Soal 13.1.**

Soal akhir pekan — dua rekurensi legendaris: menara yang mengakhiri dunia, barisan yang tumbuh bak emas, dan kiat barisan bantu yang menjinakkan pinjaman

Dua [barisan](#def-g11-seq-sequence) menguasai cerita rakyat matematika. Yang satu membilang langkah pemindahan Menara Brahma — enam puluh empat cakram emas yang, menurut legenda, pemindahannya akan mengakhiri dunia. Yang lain membilang kelinci Fibonacci dan menyembunyikan [rasio](#def-g11-seq-geometric) emas. Tidak satu pun [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic), tidak satu pun [geometri](#def-g11-seq-geometric) — dan keduanya menyerah kepada senjata bab ini: rekurensi, jumlah [geometri](#def-g11-seq-geometric) ([Teorema 13.9](#thm-g11-seq-geomsum)), dan kiat [barisan](#def-g11-seq-sequence) bantu pada [Latihan 13.11](#exo-g11-seq-11), yang juga menghitung cicilan rumahmu.

**Bagian I — Menara Brahma.** Teka-tekinya: $n$ cakram yang ukurannya mengecil ditumpuk pada tiang A; pindahkan seluruh tumpukan ke tiang C, satu cakram setiap kali, tanpa pernah meletakkan cakram yang lebih besar di atas yang lebih kecil (tiang B boleh membantu). Misalkan $h_n$ banyaknya langkah minimal.

1. Mainkan (dengan uang logam) lalu catat $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ .
2. Jelaskan siasat di balik rekurensi $h_{n+1} = 2h_n + 1$ : apa yang harus terjadi sebelum dan sesudah cakram terbesar berpindah?
3. Selesaikan rekurensinya dengan kiat [Latihan 13.11](#exo-g11-seq-11) : ambil $v_n = h_n + 1$ , tunjukkan $(v_n)$ [geometri](#def-g11-seq-geometric) , lalu simpulkan $h_n = 2^n - 1$ .
4. Menara dalam legenda itu mempunyai $64$ cakram, dan para biarawannya memindahkan satu cakram per detik. Dengan memakai $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ , taksirlah waktu pemindahannya dalam tahun (setahun kira-kira $3 \times 10^7$ detik; bandingkan dengan [Contoh 13.10](#ex-g11-seq-chessboard) , raksasa yang sama dalam cerita yang lain). Perlukah kita cemas?
5. Mengapa tidak ada siasat yang dapat mengalahkan $2^n - 1$ langkah? Berargumenlah bahwa *setiap* penyelesaian menuruti $h_{n+1} \geq 2 h_n + 1$ : apa yang harus benar tentang $n$ cakram teratas tepat sebelum, dan tepat sesudah, cakram terbawah berpindah?

**Bagian II — Fibonacci.** Definisikan $F_1 = F_2 = 1$ dan $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ (setiap sukunya jumlah dua suku sebelumnya — aturan pencacahan irama di jilid sebelumnya, kini dengan nama Eropanya).

6. Daftarkan $F_1$ sampai $F_{12}$ .
7. Tunjukkan bahwa $(F_n)$ bukan [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) maupun [geometri](#def-g11-seq-geometric) , tetapi tegas naik mulai dari $n = 2$ ( [Metode 13.14](#met-g11-seq-monotonicity) dan rekurensinya).
8. Buktikan identitas jumlahnya $$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$$ secara teleskopik: tulislah setiap $F_k$ sebagai $F_{k+2} - F_{k+1}$ lalu amati jumlahnya runtuh. Periksalah untuk $n = 6$.
9. Buktikan identitas kuadratnya $F_1^2 + F_2^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ , secara teleskopik dengan $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k^2$ . Periksalah untuk $n = 4$ . (Gambarannya: persegi bersisi $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ memubin sebuah persegi panjang — kerangka spiral Fibonacci yang termasyhur.)
10. Identitas Cassini menyatakan $F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ . Periksalah untuk $n = 4, 5, 6$ — lalu kenali mesin di balik kiat persegi yang lenyap pada soal luas di jilid sebelumnya.
11. Tunjukkan dari rekurensinya bahwa $F_{n+2} \geq 2 F_n$ : Fibonacci paling sedikit berlipat dua setiap dua langkah — jadi tumbuh paling sedikit secepat [barisan geometri](#def-g11-seq-geometric) berasio $\sqrt2$ .
12. Hitunglah [rasio](#def-g11-seq-geometric) $r_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$ untuk $n = 3$ sampai $10$ (tiga angka desimal). Dengan menerima bahwa [rasio](#def-g11-seq-geometric) itu mengendap pada limit $L$ , terapkan hubungan $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ pada limitnya lalu selesaikan: bilangan mana pada [Soal 2.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#pb-g10-algebra-1) yang dipuja para kelinci itu?

**Bagian III — Kiat [barisan](#def-g11-seq-sequence) bantu, di bank.**

13. Perumumlah [Latihan 13.11](#exo-g11-seq-11) : untuk $u_{n+1} = a\,u_n + b$ dengan $a \neq 1$ , ambil $\ell = \frac{b}{1 - a}$ ( [titik tetapnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) ). Tunjukkan bahwa $v_n = u_n - \ell$ [geometri](#def-g11-seq-geometric) dengan [rasio](#def-g11-seq-geometric) $a$ , lalu simpulkan $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .
14. Sebuah pinjaman: $10\,000$ euro dengan bunga $1\,\%$ per bulan, diangsur $300$ euro per bulan, sehingga utangnya menuruti $d_{n+1} = 1.01\,d_n - 300$ . Terapkan pertanyaan 13 ( [titik tetapnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) dahulu!) untuk memperoleh rumus eksplisit $d_n$ .
15. Dengan kalkulator, carilah bulan pertama saat utangnya lunas, dan jumlah seluruh angsurannya. Berapa ongkos meminjam itu sendiri?
16. Sebuah kota berpenduduk $50\,000$ jiwa tumbuh $2\,\%$ setahun dan menerima $1\,000$ pendatang baru selain itu: $p_{n+1} = 1.02\,p_n + 1000$ . Berikan rumus eksplisitnya dan penduduknya setelah $10$ tahun.

**Bagian IV — Dua keluarga bangsawan.**

17. Hitunglah $1 + 2 + 3 + \dots + 1000$ ( [Teorema 13.5](#thm-g11-seq-intsum) — jumlah si kecil Gauss dari jilid sebelumnya, kini resmi), lalu $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{19}$ ( [Teorema 13.9](#thm-g11-seq-geomsum) ).
18. Hitunglah jumlah [barisan aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) $7, 12, 17, \dots, 502$ (berapa sukunya?).
19. Rencana tabungan: $100$ euro disetorkan setiap bulan, memperoleh $0.5\,\%$ per bulan; setelah setoran ke- $n$ saldonya adalah $100\left(1.005^{n-1} + \dots + 1.005 + 1\right)$ . Hitunglah saldonya setelah $5$ tahun ( $n = 60$ ).
20. Penutup — kotak perkakas penjinak [barisan](#def-g11-seq-sequence) : perian eksplisit melawan perian rekuren; dua keluarga bangsawan dan rumus jumlahnya; [barisan](#def-g11-seq-sequence) bantu yang mengubah rekurensi afin menjadi rekurensi [geometri](#def-g11-seq-geometric) ; serta Fibonacci, warga pertama di luar kedua keluarga itu, yang hari ini dijinakkan oleh identitas sambil menanti matriks (tahun berikutnya) dan limit untuk ditangkap sepenuhnya. Masing-masing satu kalimat.

**Solusi Soal 13.1.**

**1.** $h_1 = 1$, $h_2 = 3$, $h_3 = 7$.

**2.** Untuk memindahkan cakram terbesar, $n$ cakram di atasnya harus lebih dahulu berpindah ke tiang cadangan ($h_n$ langkah); cakram besarnya menyeberang ($1$ langkah); lalu $n$ cakram tadi harus mendaki kembali ke atasnya ($h_n$ langkah): jadi $h_{n+1} = 2h_n + 1$.

**3.** $v_{n+1} = h_{n+1} + 1 = 2h_n + 2 = 2v_n$: [geometri](#def-g11-seq-geometric) dengan [rasio](#def-g11-seq-geometric) $2$ dan $v_1 = 2$, sehingga $v_n = 2^n$ dan $h_n = 2^n - 1$.

**4.** $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ detik; dibagi $3 \times 10^7$ detik per tahun, hasilnya sekitar $6 \times 10^{11}$ tahun — enam ratus miliar tahun, empat puluh kali usia alam semesta. Para biarawan itu masih sempat beristirahat minum kopi.

**5.** Pada setiap penyelesaian yang sah, tinjaulah langkah pertama cakram terbawah: pada saat itu $n$ cakram lainnya harus semuanya berada di satu tiang yang tersisa (paling sedikit $h_n$ langkah untuk membawanya ke sana), dan setelah langkah terakhir cakram terbawah semuanya harus kembali ke atasnya (paling sedikit $h_n$ langkah lagi): jadi setiap penyelesaian menuntut paling sedikit $2h_n + 1$ langkah. Rekurensinya adalah lantai sekaligus langit-langit: $2^n - 1$ memang optimum.

**6.** $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144$.

**7.** Bukan [aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) ($2 - 1 = 1$ tetapi $3 - 2 = 1$, $5 - 3 = 2$: selisihnya berubah); bukan [geometri](#def-g11-seq-geometric) ($\frac21 = 2$ tetapi $\frac32 = 1.5$). Naik: untuk $n \geq 2$ berlaku $F_{n+1} - F_n = F_{n-1} > 0$.

**8.** $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$, sehingga

$$
\sum_{k=1}^{n} F_k = (F_3 - F_2) + (F_4 - F_3) + \dots +
(F_{n+2} - F_{n+1}) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .
$$

Untuk $n = 6$: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F_8 - 1 = 21 - 1$.

**9.** $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k (F_{k+1} -
F_{k-1}) = F_k \cdot F_k = F_k^2$; menjumlahkannya secara teleskopik memberi $F_n F_{n+1} - F_1 F_0$ (dengan $F_0 = 0$): jadi jumlah kuadratnya adalah $F_n F_{n+1}$. Untuk $n = 4$: $1 + 1 + 4 + 9 = 15 = F_4 F_5 =
3 \times 5$.

**10.** $F_5 F_3 - F_4^2 = 5 \times 2 - 9 = 1$; $F_6 F_4 - F_5^2 = 8 \times 3 - 25 = -1$; $F_7 F_5 - F_6^2 = 13 \times 5 - 64 = 1$: berganti-ganti $\pm 1$. Selisih satu antara $F_{n+1} F_{n-1}$ dan $F_n^2$ inilah satu satuan persegi yang diperoleh atau hilang milik sang pesulap: memotong persegi $F_n \times F_n$ menjadi potongan yang disusun ulang menjadi persegi panjang $F_{n+1} \times F_{n-1}$ pasti menciptakan atau menelan satu satuan — yaitu celah tipis itu.

**11.** $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \geq F_n + F_n = 2F_n$ ([barisannya](#def-g11-seq-sequence) naik): setiap dua indeks, paling sedikit terjadi pelipatduaan — yaitu pertumbuhan paling sedikit setara [geometri](#def-g11-seq-geometric) berasio $\sqrt2$ per indeks.

**12.** $1.5$; $1.667$; $1.6$; $1.625$; $1.615$; $1.619$; $1.618$; $1.618$. Jika $r_n \to L$: dari $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$, setelah dibagi $F_{n+1}$, diperoleh $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$, sehingga $L = 1 + \frac1L$, yaitu $L^2 = L + 1$: $L = \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$, yaitu [rasio](#def-g11-seq-geometric) emas pada [Soal 2.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#pb-g10-algebra-1). Kelinci itu berkembang biak dalam emas.

**13.** $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - \ell$; karena $\ell = a\ell + b$, bentuk itu sama dengan $a(u_n - \ell) = a v_n$: jadi [geometri](#def-g11-seq-geometric) dengan [rasio](#def-g11-seq-geometric) $a$. Karena itu $v_n = a^n v_0$ dan $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$.

**14.** [Titik tetapnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1): $\ell = 1.01\ell - 300$ memberi $\ell = 30\,000$. Jadi $d_n = 1.01^n (10\,000 - 30\,000) + 30\,000
= 30\,000 - 20\,000 \times 1.01^n$.

**15.** $d_n \leq 0$ menuntut $1.01^n \geq 1.5$: $1.01^{40} \approx 1.489$, $1.01^{41} \approx 1.504$: jadi angsuran ke-$41$ melunasi utangnya (dan sedikit lebih kecil daripada $300$). Total angsurannya: sedikit di bawah $41 \times 300 = 12\,300$ euro — jadi $10\,000$ yang dipinjam berongkos bunga sekitar $2\,300$ euro.

**16.** [Titik tetapnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) $\ell = \frac{1000}{1 - 1.02} =
-50\,000$, sehingga $p_n = 1.02^n \times 100\,000 - 50\,000$. Setelah $10$ tahun: $1.02^{10} \approx 1.219$, jadi $p_{10} \approx 71\,900$ jiwa.

**17.** $\frac{1000 \times 1001}{2} = 500\,500$; lalu $2^{20} - 1 = 1\,048\,575$.

**18.** Dari $7$ sampai $502$ dengan langkah $5$: $\frac{502 - 7}{5} + 1 = 100$ suku; jumlahnya $= 100 \times \frac{7 + 502}{2} = 25\,450$.

**19.** Saldonya $= 100 \times \frac{1.005^{60} - 1}
{1.005 - 1} \approx 100 \times \frac{0.3489}{0.005} \approx
6\,977$ euro — yang $6\,000$ berasal dari setoran dan sekitar $977$ dari bunga: jumlah [geometri](#def-g11-seq-geometric) memang bahasa ibu bank.

**20.** Rumus eksplisit menjawab “berapa $u_{1000}$” seketika; rekurensi memerikan bagaimana sistemnya benar-benar berkembang — seninya adalah mengubah yang kedua menjadi yang pertama. [Barisan aritmetika](#def-g11-seq-arithmetic) menambah, [barisan geometri](#def-g11-seq-geometric) mengalikan, dan setiap keluarga memiliki rumus jumlahnya sendiri (pemasangan Gauss; kiat pelipatduaan). Kiat [titik tetap](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) dan [barisan](#def-g11-seq-sequence) bantu mengubah setiap rekurensi afin menjadi rekurensi [geometri](#def-g11-seq-geometric) — pinjaman, populasi, dan menara tadi semuanya jatuh olehnya. Fibonacci tidak menuruti kedua keluarga itu, namun identitas teleskopik menangkap jumlah dan kuadratnya; potret lengkapnya (rumus eksak, limit emas) masih menanti perkakas yang lebih kuat.