---
title: "Trigonometri: Lingkaran Satuan"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 14
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan
---

# Bab 14 — Trigonometri: Lingkaran Satuan

Trigonometri bermula pada segitiga siku-siku, tetapi rumah sejatinya adalah *lingkaran satuan*, tempat [kosinus](#def-g11-trigo-cossin) dan [sinus](#def-g11-trigo-cossin) menjadi [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) dari sebarang [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets). Bab ini memasang [radian](#def-g11-trigo-radian), pelilitan garis [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) pada lingkaran, nilai eksak yang harus dihafal, dan kesimetrian yang membangkitkan semua identitas klasiknya. Telaah $\cos$ dan $\sin$ sebagai [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) — variasi, [turunan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/12-turunan-perkenalan-pertama#def-g11-deriv-derivative) — dilakukan pada [Bab 24](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/24-fungsi-trigonometri#ch-g12-trigo).

## 14.1 Radian dan pelilitan

**Definisi 14.1 (Radian).**

Misalkan $\mathcal C$ lingkaran berjari-jari $1$ yang berpusat di titik asal $O$, dan $I(1, 0)$. Ukuran *radian* sebuah sudut pusat $\mathcal C$ adalah panjang busur yang dipotongnya pada $\mathcal C$. Karena keliling lingkaran penuhnya $2\pi$:

$$
360^\circ = 2\pi \text{ rad},
\qquad
180^\circ = \pi \text{ rad},
\qquad
1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .
$$

**Metode 14.2 (Mengonversi).**

Derajat dan [radian](#def-g11-trigo-radian) sebanding: kalikan dengan $\frac{\pi}{180}$ untuk beralih dari derajat ke [radian](#def-g11-trigo-radian), dan dengan $\frac{180}{\pi}$ untuk arah sebaliknya. Misalnya $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$, dan $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ$.

**Definisi 14.3 (Melilitkan garis pada lingkaran).**

Kepada setiap [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $t$, kaitkan titik $M(t)$ pada $\mathcal C$ yang diperoleh dengan berjalan sejauh $\abs t$ sepanjang lingkaran dari $I$, berlawanan arah jarum jam bila $t \geq 0$, dan searah jarum jam bila $t < 0$. Karena kelilingnya $2\pi$, bilangan $t$ dan $t + 2k\pi$ ($k \in \Z$) mencapai titik yang sama: $M(t + 2k\pi) = M(t)$.

**Contoh 14.4.**

$M(0) = I$; $M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$, yaitu puncak lingkarannya; $M(\pi) = (-1, 0)$; $M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = (0, -1)$; lalu $M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} +
2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

## 14.2 Kosinus dan sinus

**Definisi 14.5 (Kosinus dan sinus).**

Untuk setiap [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $t$, *kosinus* dan *sinus* dari $t$ adalah [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) titik $M(t)$ pada lingkaran satuan:

$$
M(t) = (\cos t,\ \sin t).
$$

![Lingkaran satuan: bilangan real t, yang dililitkan berlawanan arah jarum jam dari I, mendarat di titik M(t) yang koordinatnya mendefinisikan t dan t.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-ed4ec1d99063.svg)

*Lingkaran satuan: [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $t$, yang dililitkan berlawanan arah jarum jam dari $I$, mendarat di titik $M(t)$ yang [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) *mendefinisikan* $\cos t$ dan $\sin t$.*

**Proposisi 14.6 (Sifat pertama).**

Untuk semua $t \in \R$ dan $k \in \Z$:

$$
-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad
-1 \leq \sin t \leq 1, \qquad
\cos^2 t + \sin^2 t = 1,
$$

$$
\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .
$$

**Bukti.** $M(t)$ terletak pada lingkaran satuan, sehingga [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) berada antara $-1$ dan $1$, dan [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) itu memenuhi [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) lingkarannya $x^2 + y^2 = 1$, yaitu identitas $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$. Kaperiodikannya menyatakan ulang $M(t + 2k\pi) = M(t)$ ([Definisi 14.3](#def-g11-trigo-winding)). ∎

**Contoh 14.7.**

Jika $\sin t = \frac35$ dan $t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi}$ (kuadran kedua), maka $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, sehingga $\cos t = \pm\frac45$; pada kuadran kedua absisnya negatif, jadi $\cos t = -\frac45$.

Nilai yang harus dihafal:

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [6pt] $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| [6pt] $\sin t$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |

**Catatan 14.8.**

Kiat mengingatnya: sinusnya terbaca $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2},
\frac{\sqrt4}{2}$, dan kosinusnya adalah daftar yang sama dalam urutan terbalik.

## 14.3 Sudut berelasi

**Proposisi 14.9 (Sudut berelasi).**

Untuk semua $t \in \R$:

$$
\begin{aligned}
\cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\
\cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\
\cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\
\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, &
\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t .
\end{aligned}
$$

**Bukti.** Setiap barisnya menyatakan sebuah kesimetrian lingkaran.

$M(-t)$ adalah cerminan $M(t)$ terhadap sumbu $x$: absisnya tidak berubah, [ordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) berganti tanda.

$M(\pi - t)$ adalah cerminan $M(t)$ terhadap sumbu $y$: berjalan mundur dari $\pi$ sejauh $t$ mendarat berseberangan (secara mendatar) dengan berjalan maju dari $0$ sejauh $t$. Absisnya berganti tanda, [ordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) tidak berubah.

$M(\pi + t)$ terletak diametral berseberangan dengan $M(t)$ (setengah putaran): kedua [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) berganti tanda.

$M\!\left(\frac\pi2 - t\right)$ adalah cerminan $M(t)$ terhadap garis diagonal $y = x$, yang menukar kedua [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system). ∎

![Keempat titik berelasinya: M(-t) mencerminkan M(t) terhadap sumbu x, M(π - t) terhadap sumbu y, dan M(π + t) terletak diametral berseberangan. Setiap identitas pada terbaca dari gambar ini.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-da7bcec307c7.svg)

*Keempat titik berelasinya: $M(-t)$ mencerminkan $M(t)$ terhadap sumbu $x$, $M(\pi - t)$ terhadap sumbu $y$, dan $M(\pi + t)$ terletak diametral berseberangan. Setiap identitas pada [Proposisi 14.9](#prop-g11-trigo-associated) terbaca dari gambar ini.*

**Contoh 14.10.**

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right)
= -\cos\frac\pi3 = -\frac12$, dan $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right)
= -\sin\frac\pi6 = -\frac12$. Tabel berisi lima nilai itu, yang diperluas oleh kesimetriannya, meliputi seluruh lingkaran.

## 14.4 Menyelesaikan persamaan trigonometri

**Teorema 14.11 (Persamaan cos⁡t=cos⁡a\cos t = \cos acost=cosa dan sin⁡t=sin⁡a\sin t = \sin asint=sina).**

Untuk [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $t$ dan $a$:

$$
\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{atau}\ t = -a + 2k\pi
\quad (k \in \Z),
$$

$$
\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{atau}\ t = \pi - a + 2k\pi
\quad (k \in \Z).
$$

**Bukti.** Dua titik pada lingkaran satuan berabsis sama tepat ketika keduanya berimpit atau saling mencerminkan terhadap sumbu $x$; menurut [Proposisi 14.9](#prop-g11-trigo-associated), cerminan $M(a)$ adalah $M(-a)$. Jadi $\cos t = \cos a$ berarti $M(t) = M(a)$ atau $M(t) = M(-a)$, yaitu $t = \pm a$ sampai pada kelipatan $2\pi$. Serupa dengan itu, [ordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) yang sama berarti titiknya berimpit atau saling mencerminkan terhadap sumbu $y$, dan cerminan $M(a)$ adalah $M(\pi - a)$. ∎

**Metode 14.12 (Menyelesaikan cos⁡t=c\cos t = ccost=c pada sebuah interval).**

1. Carilah *satu* sudut $a$ dengan $\cos a = c$ , dari tabel nilai yang sudah dikenal.
2. Tulislah penyelesaian umumnya $t = \pm a + 2k\pi$ ( [Teorema 14.11](#thm-g11-trigo-equations) ).
3. Pilihlah [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $k$ yang mendarat di dalam [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) yang diminta, lalu daftarkan penyelesaiannya.

Lakukan hal serupa untuk $\sin t = c$ dengan $t = a + 2k\pi$ atau $t = \pi - a + 2k\pi$.

**Contoh 14.13.**

Selesaikan $\cos t = \frac12$ pada $\intoc{-\pi}{\pi}$. Satu penyelesaian $\cos a = \frac12$ adalah $a = \frac{\pi}{3}$. Penyelesaian umumnya adalah $t = \frac\pi3 + 2k\pi$ dan $t = -\frac\pi3 + 2k\pi$. Di dalam $\intoc{-\pi}{\pi}$, hanya $k = 0$ yang menyumbang: $t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}$.

Selesaikan $\sin t = -\frac{\sqrt2}{2}$ pada $\intco{0}{2\pi}$. Satu sudutnya adalah $a = -\frac\pi4$; penyelesaiannya $t = -\frac\pi4 + 2k\pi$ dan $t = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$. Di $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{7\pi}{4}$ (dari $k = 1$) dan $t = \frac{5\pi}{4}$.

![Menyelesaikan t = 1/2: garis tegak x = 1/2 (jingga) memotong lingkaran satuan di dua titik, yang setangkup terhadap sumbu x — karena itulah kedua keluarga penyelesaiannya t = ± π3 + 2kπ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-073ce0f8bd3d.svg)

*Menyelesaikan $\cos t = \frac12$: garis tegak $x = \frac12$ (jingga) memotong lingkaran satuan di dua titik, yang setangkup terhadap sumbu $x$ — karena itulah kedua keluarga penyelesaiannya $t = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$.*

## 14.5 Latihan

**Latihan 14.1 ★.**

Konversikan ke [radian](#def-g11-trigo-radian): $30^\circ$, $45^\circ$, $120^\circ$, $270^\circ$. Konversikan ke derajat: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$, $\frac{2\pi}{9}$.

**Solusi Latihan 14.1.**

Ke [radian](#def-g11-trigo-radian): $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$, $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$.

Ke derajat: $\frac{\pi}{5} = 36^\circ$, $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$, $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ$, $\frac{2\pi}{9} = 40^\circ$.

**Latihan 14.2 ★.**

Tempatkan pada lingkaran satuan titik $M(t)$ untuk

$$
t = \frac{2\pi}{3},\quad
t = -\frac{\pi}{4},\quad
t = \frac{17\pi}{6},\quad
t = -\frac{7\pi}{2},
$$

setelah masing-masing disusutkan ke sebuah nilai di $\intoc{-\pi}{\pi}$ modulo $2\pi$.

**Solusi Latihan 14.2.**

$\frac{2\pi}{3}$ dan $-\frac{\pi}{4}$ sudah berada di $\intoc{-\pi}{\pi}$: berturut-turut di kuadran kedua dan kuadran keempat.

$\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$: kuadran kedua, dekat dengan sumbu $x$ negatif.

$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$: puncak lingkarannya, yaitu $(0, 1)$.

**Latihan 14.3 ★.**

Dengan memakai tabel dan [sudut berelasi](#prop-g11-trigo-associated), berikan nilai eksak

$$
\cos\frac{3\pi}{4}, \quad
\sin\frac{5\pi}{6}, \quad
\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad
\sin\frac{4\pi}{3}, \quad
\cos\frac{11\pi}{6} .
$$

**Solusi Latihan 14.3.**

$\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right)
= -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right)
= \sin\frac\pi6 = \frac12$.

$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$.

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right)
= -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$.

$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right)
= \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}$.

**Latihan 14.4 ★.**

Diberikan $\cos t = \frac{5}{13}$ dengan $t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}$, hitunglah $\sin t$ secara eksak.

**Solusi Latihan 14.4.**

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$, sehingga $\sin t = \pm\frac{12}{13}$. Pada $\intoo{-\frac\pi2}{0}$ (kuadran keempat) [ordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) negatif: jadi $\sin t = -\frac{12}{13}$.

**Latihan 14.5 ★★.**

Sederhanakan, untuk sebarang [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $x$:

$$
A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x,
\qquad
B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .
$$

**Solusi Latihan 14.5.**

Dengan memakai [Proposisi 14.9](#prop-g11-trigo-associated):

$$
A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,
$$

$$
B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .
$$

**Latihan 14.6 ★★.**

Selesaikan pada $\intoc{-\pi}{\pi}$:

$$
\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad
\sin t = \frac12, \qquad
\cos t = -1 .
$$

**Solusi Latihan 14.6.**

$\cos t = \frac{\sqrt3}{2}$: satu penyelesaiannya $\frac\pi6$, sehingga $t = \pm\frac\pi6$ (pergeseran sebesar $2k\pi$ keluar dari [intervalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval)).

$\sin t = \frac12$: $t = \frac\pi6$ atau $t = \pi - \frac\pi6 =
\frac{5\pi}{6}$.

$\cos t = -1$: satu-satunya titik yang berabsis $-1$ adalah $M(\pi)$, jadi $t = \pi$.

**Latihan 14.7 ★★.**

Selesaikan pada $\intco{0}{2\pi}$:

$$
\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad
\cos t = 0, \qquad
2\sin t + 1 = 0 .
$$

**Solusi Latihan 14.7.**

$\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}$: dari $a = -\frac\pi3$, keluarganya adalah $-\frac\pi3 + 2k\pi$ dan $\pi + \frac\pi3 + 2k\pi$; di $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{4\pi}{3}$ dan $t = \frac{5\pi}{3}$.

$\cos t = 0$: $t = \frac\pi2$ dan $t = \frac{3\pi}{2}$.

$2\sin t + 1 = 0$ berarti $\sin t = -\frac12$: dari $a = -\frac\pi6$, di $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{7\pi}{6}$ dan $t = \frac{11\pi}{6}$.

**Latihan 14.8 ★★.**

Selesaikan pada $\R$ [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $\cos 2t = \cos t$. (Pakailah [Teorema 14.11](#thm-g11-trigo-equations) dengan $a = t$, lalu bahaslah kedua keluarga penyelesaiannya.)

**Solusi Latihan 14.8.**

Menurut [Teorema 14.11](#thm-g11-trigo-equations), $\cos 2t = \cos t$ berarti $2t = t + 2k\pi$ atau $2t = -t + 2k\pi$, yaitu $t = 2k\pi$ atau $t = \frac{2k\pi}{3}$ ($k \in \Z$). Keluarga pertamanya termuat dalam yang kedua (ambil $k$ kelipatan $3$), sehingga himpunan penyelesaiannya

$$
S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}
$$

— pada lingkarannya, yaitu ketiga titik $M(0)$, $M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)$, $M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

**Latihan 14.9 ★★.**

Tunjukkan bahwa untuk semua [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $x$ berlaku

$$
\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .
$$

**Solusi Latihan 14.9.**

[Menjabarkan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-expand) kedua kuadratnya lalu memakai $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:

$$
(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x)
+ (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x)
= 1 + 1 = 2 .
$$

**Latihan 14.10 ★★.**

Sebuah roda berjari-jari $30$ cm menggelinding tanpa tergelincir. Sudut berapa (dalam [radian](#def-g11-trigo-radian), lalu dalam derajat) yang ditempuhnya ketika sepedanya maju $1.5$ m? Sejauh apa sepeda itu maju selama satu putaran penuh rodanya?

**Solusi Latihan 14.10.**

Menggelinding tanpa tergelincir berarti panjang busurnya sama dengan jarak yang ditempuh: $r\theta = 150$ cm memberi $\theta = \frac{150}{30} = 5$ rad $= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx
286.5^\circ$. Satu putaran penuh memajukan sepedanya sejauh kelilingnya, $2\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5$ cm, sekitar $1.88$ m.

**Latihan 14.11 ★★★.**

Selesaikan pada $\intoc{-\pi}{\pi}$ pertidaksamaan $\cos t \leq \frac12$. (Sketsalah lingkaran satuannya, tandai daerah yang absisnya paling besar $\frac12$, lalu bacalah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) nilai $t$-nya.)

**Solusi Latihan 14.11.**

Pada lingkaran satuan, titik yang berabsis tepat $\frac12$ adalah $M\!\left(\pm\frac\pi3\right)$. Titik yang berabsis *paling besar* $\frac12$ membentuk busur di sebelah kiri garis tegak $x = \frac12$, yang dilalui ketika $t$ berjalan dari $\frac\pi3$ sampai $\pi$, atau dari $-\pi$ sampai $-\frac\pi3$. Jadi, pada $\intoc{-\pi}{\pi}$:

$$
S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.
$$

(Titik ujung $\pm\frac\pi3$ termasuk karena pertidaksamaannya takmurni.)

## 14.6 Soal: Kincir ria dan pasang surut

**Soal 14.1.**

Soal akhir pekan — radian sebagai jarak gelinding, dan lingkaran satuan sebagai jam induk setiap gejala berkala

Sebuah kincir ria membawamu mengelilingi lingkaran; pasang surut membawa air pelabuhan naik dan turun pada lingkaran matematis yang sama. Setiap gejala yang berkala — roda, pasang surut, bunyi, musim — membaca jadwalnya dari lingkaran satuan bab ini ([Definisi 14.5](#def-g11-trigo-cossin)), dan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) pada [Metode 14.12](#met-g11-trigo-solve) memberitahukan waktunya secara tepat. Soal ini mengonversi, melilit, memodelkan dan menyelesaikan — lalu di sepanjang jalan itu menuntaskan mengapa matematikawan mengukur sudut dalam [radian](#def-g11-trigo-radian).

**Bagian I — [Radian](#def-g11-trigo-radian), jarak yang tergelinding.**

1. Konversikan ke [radian](#def-g11-trigo-radian) : $30^\circ$ , $135^\circ$ , $300^\circ$ ; lalu ke derajat: $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{6}$ ( [Metode 14.2](#met-g11-trigo-convert) ).
2. Inti [radian](#def-g11-trigo-radian) : sebuah busur bersudut $t$ (dalam [radian](#def-g11-trigo-radian) ) pada lingkaran berjari-jari $r$ berpanjang tepat $r\,t$ . Busur berapa yang dipotong sudut $2$ [radian](#def-g11-trigo-radian) pada lingkaran berjari-jari $3$ m? (Tanpa $\pi$ di mana pun — itulah intinya.)
3. Sebuah roda berjari-jari $30$ cm menggelinding $1$ km tanpa tergelincir. Berapa *[radian](#def-g11-trigo-radian)* yang telah ditempuhnya, dan berapa putaran penuh?
4. Tempatkan pada lingkaran satuan lalu hitunglah secara eksak: $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ , dan $\cos\frac{19\pi}{6}$ (susutkan modulo $2\pi$ lebih dahulu; [Proposisi 14.9](#prop-g11-trigo-associated) ).
5. Sebuah sudut $t \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ memenuhi $\sin t = \frac35$ . Dengan memakai $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ dan kuadrannya, carilah $\cos t$ dan $\tan t$ .

**Bagian II — Kincir ria.** Sebuah kincir raksasa berjari-jari $60$ m, dengan porosnya $65$ m di atas tanah, dan berputar sekali setiap $30$ menit. Kamu naik di titik terendah pada waktu $t = 0$ (dalam menit), sehingga tinggimu menuruti

$$
h(t) = 65 - 60 \cos\!\left(\frac{\pi t}{15}\right).
$$

6. Berikan alasan rumusnya: periksalah sudut yang ditempuh setelah $t$ menit, tingginya di $t = 0$ , lalu jelaskan tanda minusnya.
7. Hitunglah tinggimu pada $t = 7.5$ , $t = 15$ dan $t = 20$ menit (nilai eksaknya).
8. Pada waktu berapa kamu *pertama kali* berada di $95$ m? (Selesaikan $h(t) = 95$ dengan [Metode 14.12](#met-g11-trigo-solve) .)
9. Pada selang waktu mana selama perjalanan itu kamu berada paling sedikit $95$ m di atas tanah — dan berapa lama seluruhnya? (Bandingkan [Latihan 14.11](#exo-g11-trigo-11) .)
10. Di mana tingginya berubah *paling cepat* ? Bandingkan kenaikan selama menit pertama ( $h(1) - h(0)$ ) dengan kenaikan antara menit $7$ dan $8$ , lalu rumuskan pengamatannya (perkakas yang membuatnya eksak — [turunan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/12-turunan-perkenalan-pertama#def-g11-deriv-derivative) sinusoida — tiba pada tahun berikutnya).
11. Giliran sang insinyur: rancanglah rumus tinggi sebuah kincir dengan tinggi [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $40$ m, tinggi [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $4$ m dan kala $12$ menit, dengan penumpang naik di bawah pada $t = 0$ .

**Bagian III — Pasang surut dan kesimetrian lingkaran.** Di sebuah pelabuhan, kedalaman airnya dalam meter, $t$ jam setelah tengah malam, adalah

$$
d(t) = 7 + 3 \sin\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).
$$

12. Berikan kedalaman [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) dan [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) , waktu keduanya pertama kali terjadi, dan kala pasang surutnya.
13. Sebuah kapal barang memerlukan $8.5$ m air. Selesaikan $d(t) \geq 8.5$ pada $\intco{0}{12}$ : pada jendela waktu mana kapal itu dapat masuk, dan berapa lama jendela itu? Kapan jendela berikutnya terbuka?
14. Turunkan ulang dua identitas [sudut berelasi](#prop-g11-trigo-associated) langsung dari kesimetrian lingkaran — $\sin(\pi - t) = \sin t$ (cerminan terhadap sumbu tegak) dan $\cos(\pi + t) = -\cos t$ (setengah putaran) — lalu nyatakan identitas pelengkapnya $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ .
15. Paritas (dengan kosakata [Soal 11.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#pb-g11-func-1) ): golongkan $\sin$ , $\cos$ , dan $t \mapsto \sin t + t^3$ sebagai genap atau ganjil, dengan bukti satu baris dari lingkarannya.
16. Selesaikan pada $\intco{0}{2\pi}$ : $2\sin^2 t - \sin t - 1 = 0$ . (Sebuah bentuk kuadrat dalam samaran: faktorkan seperti pada [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#pb-g11-quad-1) , lalu bacalah lingkarannya.)

**Bagian IV — Sudut milik matematikawan.**

17. Berapa derajat $1$ [radian](#def-g11-trigo-radian) ? Lalu sebuah jebakan kalkulator: mana yang lebih besar, $\sin(1)$ (mode [radian](#def-g11-trigo-radian) ) atau $\sin(1^\circ)$ — dan kira-kira berapa kali lipat? Apa moralnya bagi penyetelan kalkulator?
18. Selesaikan $\cos t = \sin t$ pada $\intco{0}{2\pi}$ , dengan memakai lingkarannya (di mana [absis](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) dan [ordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) sama?).
19. Untuk sudut kecil, busur dan sinusnya hampir berimpit: bandingkan $\sin(0.1)$ dengan $0.1$ (lima angka desimal), lalu berikan galat nisbinya. “ [Hampiran](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-approx) sudut kecil” ini mengemudikan kapal dan bandul; teorema di baliknya ( $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ) menjadi bintang bab limit tahun berikutnya.
20. Penutup — lingkaran satuan itu sebagai jam induk, satu kalimat untuk setiap butir: [radian](#def-g11-trigo-radian) mengubah sudut menjadi bilangan yang jujur (busur $=$ jari-jari $\times$ sudut); [kosinus](#def-g11-trigo-cossin) dan [sinus](#def-g11-trigo-cossin) adalah bayangan dan tinggi jarum jamnya; kesimetrian lingkarannya adalah identitasnya; menyelesaikan $\cos t = c$ membaca waktu dari jam itu; dan setiap gejala berkala — roda, pasang surut, bunyi — adalah jam ini yang mengenakan busana.

**Solusi Soal 14.1.**

**1.** $30^\circ = \frac{\pi}{6}$; $135^\circ =
\frac{3\pi}{4}$; $300^\circ = \frac{5\pi}{3}$. Lalu $\frac{3\pi}{4} = 135^\circ$; $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$.

**2.** Panjangnya $r\,t = 3 \times 2 = 6$ m. [Radian](#def-g11-trigo-radian) membuat panjang busur menjadi hasil kali yang polos — derajat akan menyeret $\frac{\pi}{180}$ ke dalam setiap rumus.

**3.** [Radian](#def-g11-trigo-radian) yang ditempuh $= \frac{\text{jarak}}
{\text{jari-jari}} = \frac{1000}{0.30} \approx 3\,333$ rad; dibagi $2\pi$: sekitar $530$ putaran penuh.

**4.** $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12$; $\sin\left(-\frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2}{2}$; $\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}$, sehingga $\cos\frac{19\pi}{6} = \cos\frac{7\pi}{6} =
-\frac{\sqrt3}{2}$.

**5.** $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$; pada kuadran kedua kosinusnya negatif: $\cos t = -\frac45$, dan $\tan t = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34$.

**6.** Dalam $t$ menit kincirnya berputar $\frac{t}{30} \times 2\pi = \frac{\pi t}{15}$. Di $t = 0$: $h = 65 - 60 = 5$ m — yaitu peron naik di bawah (tinggi poros dikurangi jari-jari). Tanda minusnya menempatkanmu *di bawah* poros ketika sudut yang ditempuh $0$.

**7.** $h(7.5) = 65 - 60\cos\frac{\pi}{2} = 65$ m (setinggi porosnya); $h(15) = 65 + 60 = 125$ m (puncaknya); $h(20) = 65 - 60\cos\frac{4\pi}{3} = 65 + 30 = 95$ m.

**8.** $65 - 60\cos\frac{\pi t}{15} = 95$ memberi $\cos\frac{\pi t}{15} = -\frac12$: penyelesaian pertamanya $\frac{\pi t}{15} = \frac{2\pi}{3}$, yaitu $t = 10$ menit.

**9.** $\cos\frac{\pi t}{15} \leq -\frac12$ untuk $\frac{\pi t}{15} \in \intcc{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{3}}$, yaitu $t \in \intcc{10}{20}$: sepuluh menit perjalanan di atas $95$ m, setangkup terhadap puncaknya di $t = 15$.

**10.** Menit pertama:

$$
h(1) - h(0) = 60\left(1 - \cos\frac{\pi}{15}\right)
\approx 1.3 \text{ m}.
$$

Antara menit $7$ dan $8$:

$$
60\left(\cos\frac{7\pi}{15} - \cos\frac{8\pi}{15}\right)
\approx 12.5 \text{ m}
$$

— hampir sepuluh kali lebih banyak. Tingginya berubah paling cepat ketika melewati ketinggian poros dan melambat di dekat dasar dan puncaknya: sinusoidanya curam di tengah, mendatar di ujung ekstremnya.

**11.** Jari-jarinya $= \frac{40 - 4}{2} = 18$ m, porosnya di $4 + 18 = 22$ m, kalanya $12$ menit: $h(t) = 22 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$.

**12.** [Maksimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $7 + 3 = 10$ m ketika $\sin\frac{\pi t}{6} = 1$: pertama kali di $t = 3$ (pukul 03.00); [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $4$ m pertama kali di $t = 9$; kalanya $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ jam.

**13.** $\sin\frac{\pi t}{6} \geq \frac12$ untuk $\frac{\pi t}{6} \in \intcc{\frac\pi6}{\frac{5\pi}{6}}$: $t \in \intcc{1}{5}$ — jendela empat jam dari pukul 01.00 sampai 05.00, yang terbuka lagi satu kala kemudian, $t \in \intcc{13}{17}$ (pukul 13.00 sampai 17.00).

**14.** Cermin terhadap sumbu tegak mengirim titik bersudut $t$ ke titik bersudut $\pi - t$, dan mempertahankan [ordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system): $\sin(\pi - t) = \sin t$. Setengah putaran terhadap pusatnya mengirim $t$ ke $\pi + t$, dan meniadakan kedua [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system): $\cos(\pi + t) = -\cos t$. Lalu cermin terhadap diagonalnya menukar [absis](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) dan [ordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system): $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ — yaitu “ko” pada sudut yang saling berpenyiku.

**15.** $\sin(-t) = -\sin t$: ganjil ([grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) setangkup setengah putaran); $\cos(-t) = \cos t$: genap (setangkup cermin). Lalu $\sin t + t^3$ adalah jumlah dua [fungsi ganjil](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-parity): jadi ganjil.

**16.** Faktorkan: $(2\sin t + 1)(\sin t - 1) = 0$: $\sin t = 1$ memberi $t = \frac\pi2$; $\sin t = -\frac12$ memberi $t = \frac{7\pi}{6}$ dan $t = \frac{11\pi}{6}$. Jadi tiga penyelesaian pada lingkarannya.

**17.** $1$ rad $= \frac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ$. Jadi $\sin(1) \approx 0.841$ sedangkan $\sin(1^\circ) \approx
0.0175$: hampir $50$ kali lipat. Moralnya: periksalah tanda modenya sebelum memercayai tampilan trigonometri mana pun.

**18.** [Absis](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) sama dengan [ordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) pada diagonalnya: $t = \frac\pi4$ dan $t = \frac{5\pi}{4}$.

**19.** $\sin(0.1) = 0.09983\ldots$ terhadap $0.1$: galat nisbinya sekitar $0.17\,\%$. Untuk sudut kecil, tali busurnya memeluk busurnya — dan limit $\frac{\sin t}{t} \to 1$ tahun berikutnya persis merupakan pengamatan ini yang dijadikan sebuah teorema.

**20.** [Radian](#def-g11-trigo-radian): sudut $=$ busur pada lingkaran satuan, sehingga sudut dihitung seperti panjang. [Kosinus](#def-g11-trigo-cossin) dan [sinus](#def-g11-trigo-cossin): [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) jarum jamnya — bayangan di tanah, tinggi di dinding. Kesimetrian lingkarannya: seluruh katalog identitas, yang terbaca dari cermin dan setengah putaran. [Persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $\cos t = c$: jadwal jam itu, dengan lingkarannya memperlihatkan semua penyelesaian sekaligus. Busananya: kincirnya mengenakan $65 - 60\cos$, pasang surutnya mengenakan $7 + 3\sin$ — jam yang sama, matematika yang sama.