---
title: "Vektor dan Garis pada Bidang"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 15
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang
---

# Bab 15 — Vektor dan Garis pada Bidang

[Vektor](#def-g11-vect-vector) menyandikan perpindahan; garis adalah lintasannya. Perkakas baru yang penting pada bab ini adalah *[determinan](#def-g11-vect-det)*, sebuah bilangan tunggal yang memutuskan apakah dua [vektor kolinear](#def-g11-vect-collinear) — lalu, dari sana, menghasilkan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) garis serta menuntaskan pertanyaan kesegarisan dan kesejajaran lewat perhitungan semata. Gagasan yang sama diperluas ke ruang pada [Bab 31](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/31-vektor-garis-dan-bidang-di-ruang#ch-g12-space).

## 15.1 Vektor: ringkasan

**Definisi 15.1 (Vektor, koordinat).**

Sebuah *vektor* $\vec u$ menyatakan perpindahan: semua anak panah dengan arah, jurusan dan panjang yang sama menyatakan vektor yang sama. Pada sebuah [sistem koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system), $\vec u\,(x, y)$ mencatat perpindahannya ($x$ mendatar, $y$ tegak); untuk titik $A(x_A, y_A)$ dan $B(x_B, y_B)$,

$$
\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).
$$

Vektor dijumlahkan [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) demi [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system), dan $\lambda\vec u$ berkoordinat $(\lambda x, \lambda y)$.

**Proposisi 15.2 (Titik tengah).**

[Titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $M$ ruas garis $[AB]$ berkoordinat $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.

**Bukti.** $M$ dicirikan oleh $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$: [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) demi [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system), $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$, jadi $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, dan serupa untuk $y_M$. ∎

## 15.2 Kekolinearan dan determinan

**Definisi 15.3 (Vektor kolinear).**

Dua [vektor](#def-g11-vect-vector) disebut *kolinear* bila yang satu merupakan kelipatan skalar yang lain: $\vec v = \lambda \vec u$ untuk suatu $\lambda \in \R$ (atau $\vec u = \vec 0$). Secara geometris: keduanya mempunyai arah yang sama, atau salah satunya nol.

**Definisi 15.4 (Determinan).**

*Determinan* $\vec u\,(x, y)$ dan $\vec v\,(x', y')$ adalah

$$
\det(\vec u, \vec v) =
\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}
= x y' - x' y .
$$

**Teorema 15.5 (Kriteria kekolinearan).**

Dua [vektor](#def-g11-vect-vector) $\vec u$ dan $\vec v$ [kolinear](#def-g11-vect-collinear) jika dan hanya jika $\det(\vec u, \vec v) = 0$.

**Bukti.** ($\Rightarrow$) Jika $\vec v = \lambda\vec u$, maka $x' = \lambda x$ dan $y' = \lambda y$, sehingga $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y = 0$; bila $\vec u = \vec 0$, [determinannya](#def-g11-vect-det) jelas $0$.

($\Leftarrow$) Andaikan $xy' - x'y = 0$ dan $\vec u \neq \vec 0$, katakan $x \neq 0$ (kasus $y \neq 0$ setangkup). Ambil $\lambda = \frac{x'}{x}$. Maka $x' = \lambda x$ menurut susunannya, dan hubungan $xy' = x'y = \lambda x y$ memberi, setelah dibagi $x \neq 0$, $y' = \lambda y$. Jadi $\vec v = \lambda \vec u$. ∎

**Contoh 15.6.**

$\vec u\,(3, -2)$ dan $\vec v\,(-6, 4)$: $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$, jadi [kolinear](#def-g11-vect-collinear) (memang $\vec v = -2\vec u$). Untuk $\vec u\,(3, -2)$ dan $\vec w\,(2, 1)$: $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$, jadi tidak [kolinear](#def-g11-vect-collinear).

**Metode 15.7 (Kesegarisan tiga titik).**

Titik $A$, $B$, $C$ segaris jika dan hanya jika $\vect{AB}$ dan $\vect{AC}$ [kolinear](#def-g11-vect-collinear): hitunglah kedua [vektornya](#def-g11-vect-vector) lalu periksalah $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$.

## 15.3 Persamaan Kartesius sebuah garis

**Definisi 15.8 (Vektor arah).**

Sebuah *vektor arah* garis $d$ adalah sebarang [vektor](#def-g11-vect-vector) taknol $\vec u$ yang membuat $\vect{AB}$ [kolinear](#def-g11-vect-collinear) dengan $\vec u$ untuk semua titik $A, B$ pada $d$.

**Teorema 15.9 (Persamaan Kartesius).**

Sebuah garis dengan [vektor arah](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$ mempunyai [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) berbentuk

$$
ax + by + c = 0
\qquad (a, b) \neq (0, 0).
$$

Sebaliknya, setiap [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) semacam itu memerikan garis dengan [vektor arah](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$.

**Bukti.** Misalkan $d$ melalui $A(x_A, y_A)$ dengan arah $\vec u\,(-b, a)$. Sebuah titik $M(x, y)$ terletak pada $d$ tepat ketika $\vect{AM}$ [kolinear](#def-g11-vect-collinear) dengan $\vec u$, yaitu ([Teorema 15.5](#thm-g11-vect-collinearity))

$$
0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr)
= (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A)
= ax + by - (a x_A + b y_A),
$$

sebuah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) berbentuk seperti yang disebutkan, dengan $c = -(a x_A + b y_A)$. Sebaliknya, penyelesaian $ax + by + c = 0$ dengan, katakanlah, $b \neq 0$ adalah titik $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$: mengurangkan dua di antaranya memperlihatkan bahwa setiap tali busurnya [kolinear](#def-g11-vect-collinear) dengan $(-b, a)$, dan selalu ada satu penyelesaian — jadi itulah garis melaluinya dengan arah $(-b, a)$. ∎

**Metode 15.10 (Garis melalui dua titik).**

Untuk mencari [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) garis $(AB)$: hitunglah [vektor arahnya](#def-g11-vect-direction) $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$; padankan dengan $(-b, a)$, yaitu ambil $a = y_B - y_A$ dan $b = -(x_B - x_A)$; lalu tentukan $c$ dengan memasukkan [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $A$.

**Contoh 15.11.**

Garis melalui $A(1, 2)$ dan $B(4, 3)$: $\vect{AB}\,(3, 1)$, sehingga $a = 1$, $b = -3$, dan [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $x - 3y + c = 0$. Memasukkan $A$: $1 - 6 + c = 0$, jadi $c = 5$. [Persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation): $x - 3y + 5 = 0$. Periksa dengan $B$: $4 - 9 + 5 = 0$.

**Catatan 15.12.**

Ketika $b \neq 0$, [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) dapat diselesaikan untuk $y$: $y = mx + p$ dengan [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $m = -\frac ab$. Bentuk Kartesius $ax + by + c = 0$ lebih umum: bentuk itu juga meliputi garis tegak ($b = 0$), yang tidak bergradien.

![Garis x - 3y + 5 = 0 pada , beserta vektor arahnya u = AB (merah, di sini terskalakan 1/2), dan kedua titik yang dipakai untuk menyusun persamaannya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-vect/fig-0c3d7a0cf8c8.svg)

*Garis $x - 3y + 5 = 0$ pada [Contoh 15.11](#ex-g11-vect-twopoints), beserta [vektor arahnya](#def-g11-vect-direction) $\vec u = \vect{AB}$ (merah, di sini terskalakan $\frac12$), dan kedua titik yang dipakai untuk menyusun [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation).*

## 15.4 Perian parametrik

**Definisi 15.13 (Perian parametrik).**

Garis melalui $A(x_A, y_A)$ dengan arah $\vec u\,(\alpha, \beta)$ adalah himpunan titik

$$
M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .
$$

Bilangan $t$ disebut *parameternya*: setiap nilai $t$ menghasilkan satu titik pada garis itu, seolah-olah menyusurinya dengan kecepatan tetap $\vec u$.

**Contoh 15.14.**

Garis pada [Contoh 15.11](#ex-g11-vect-twopoints) juga sama dengan $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$: $t = 0$ memberi $A$, $t = 1$ memberi $B$. Melenyapkan $t$ ($t = y - 2$, sehingga $x = 1 + 3(y-2)$) mengembalikan $x - 3y + 5 = 0$.

## 15.5 Kedudukan relatif dua garis

**Proposisi 15.15 (Sejajar atau berpotongan).**

Dua garis dengan [vektor arah](#def-g11-vect-direction) $\vec u$ dan $\vec v$ sejajar jika dan hanya jika $\det(\vec u, \vec v) = 0$. Dalam bentuk [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation): $d : ax + by + c = 0$ dan $d' : a'x + b'y + c' = 0$ sejajar jika dan hanya jika $ab' - a'b = 0$. Garis yang tidak sejajar bertemu di tepat satu titik.

**Bukti.** Kesejajaran berarti arahnya [kolinear](#def-g11-vect-collinear), dan itulah [Teorema 15.5](#thm-g11-vect-collinearity); dengan $\vec u\,(-b, a)$ dan $\vec v\,(-b', a')$, [determinannya](#def-g11-vect-det) adalah $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$. Jika kedua garisnya tidak sejajar, menyelesaikan kedua [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) serentak (lewat substitusi atau kombinasi) menghasilkan penyelesaian tunggal: sistemnya berperilaku seperti sistem $2 \times 2$ berdeterminan taknol. ∎

**Metode 15.16 (Perpotongan dua garis).**

Selesaikan sistem kedua [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation): pisahkan satu variabel pada salah satu [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) lalu substitusikan ke [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) lainnya, atau padukan kedua [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) untuk melenyapkan satu variabel. Selalu periksa titik hasilnya pada *kedua* [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation).

**Contoh 15.17.**

Potongkan $d: x - 3y + 5 = 0$ dan $d': 2x + y - 4 = 0$. Dari $d'$: $y = 4 - 2x$. Setelah disubstitusikan ke $d$:

$$
x - 3(4 - 2x) + 5 = 0
\iff x - 12 + 6x + 5 = 0
\iff 7x = 7
\iff x = 1,
$$

lalu $y = 2$. Kedua garisnya bertemu di $(1, 2)$. Periksa pada $d$: $1 - 6 + 5 = 0$.

## 15.6 Latihan

**Latihan 15.1 ★.**

Diberikan $A(2, -1)$, $B(5, 3)$ dan $C(-1, 1)$, hitunglah [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $\vect{AB}$, $\vect{AC}$, $\vect{AB} + \vect{AC}$ dan $2\vect{AB} -
3\vect{AC}$, serta [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[BC]$.

**Solusi Latihan 15.1.**

$\vect{AB}\,(3, 4)$, $\vect{AC}\,(-3, 2)$, $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$, $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$. [Titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[BC]$ adalah $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$.

**Latihan 15.2 ★.**

Apakah [vektor](#def-g11-vect-vector) berikut [kolinear](#def-g11-vect-collinear)?

$$
\vec u\,(4, -6) \text{ dan } \vec v\,(-2, 3); \qquad
\vec u\,(2, 5) \text{ dan } \vec v\,(3, 7); \qquad
\vec u\,(0, 3) \text{ dan } \vec v\,(0, -8).
$$

**Solusi Latihan 15.2.**

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$: [kolinear](#def-g11-vect-collinear) (memang $\vec v = -\frac12 \vec u$).

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$: tidak [kolinear](#def-g11-vect-collinear).

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$: [kolinear](#def-g11-vect-collinear) (keduanya tegak).

**Latihan 15.3 ★.**

Carilah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) Kartesius garis melalui $A(2, 1)$ dengan [vektor arah](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(3, -1)$, lalu garis melalui $B(0, 4)$ dan $C(2, 0)$.

**Solusi Latihan 15.3.**

Melalui $A(2,1)$, arahnya $(3, -1)$: memadankan $(-b, a) = (3, -1)$ memberi $a = -1$, $b = -3$, sehingga $-x - 3y + c = 0$; memasukkan $A$: $-2 - 3 + c =
0$, jadi $c = 5$. Setelah dikalikan $-1$: $x + 3y - 5 = 0$.

Melalui $B(0,4)$ dan $C(2,0)$: $\vect{BC}\,(2, -4)$, sehingga $a = -4$, $b = -2$: $-4x - 2y + c = 0$; memasukkan $B$: $-8 + c = 0$, jadi $c = 8$. Setelah disederhanakan dengan $-2$: $2x + y - 4 = 0$. Periksa dengan $C$: $4 + 0 - 4 = 0$.

**Latihan 15.4 ★.**

Untuk garis $d: 3x - 2y + 6 = 0$, berikan sebuah [vektor arah](#def-g11-vect-direction), titik potongnya dengan kedua sumbu [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system), lalu putuskan apakah titik $P(2, 6)$ dan $Q(1, 4)$ termasuk pada $d$.

**Solusi Latihan 15.4.**

Sebuah [vektor arahnya](#def-g11-vect-direction) adalah $(-b, a) = (2, 3)$. Titik potongnya: $x = 0$ memberi $y = 3$, yaitu titik $(0, 3)$; $y = 0$ memberi $x = -2$, yaitu titik $(-2, 0)$. Untuk $P(2,6)$: $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$, jadi $P \in d$. Untuk $Q(1,4)$: $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$, jadi $Q \notin d$.

**Latihan 15.5 ★★.**

Apakah titik $A(1, 2)$, $B(4, 8)$, $C(-2, -4)$ segaris? Pertanyaan yang sama untuk $D(0, 1)$, $E(2, 4)$, $F(5, 9)$.

**Solusi Latihan 15.5.**

$\vect{AB}\,(3, 6)$ dan $\vect{AC}\,(-3, -6)$: $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$, jadi $A$, $B$, $C$ segaris.

$\vect{DE}\,(2, 3)$ dan $\vect{DF}\,(5, 8)$: $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$: jadi $D$, $E$, $F$ tidak segaris.

**Latihan 15.6 ★★.**

Tentukan titik potongnya, bila ada:

$$
d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ dan }\ d': x - y + 1 = 0;
\qquad
e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ dan }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .
$$

**Solusi Latihan 15.6.**

Pasangan pertama: menjumlahkan kedua [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) memberi $(2x + y - 7) + (x - y + 1) =
3x - 6 = 0$, jadi $x = 2$, lalu $y = x + 1 = 3$: keduanya bertemu di $(2, 3)$ (periksa: $4 + 3 - 7 = 0$).

Pasangan kedua: $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$, sehingga kedua garisnya sejajar; mengalikan $e$ dengan $-2$ memberi $-2x + 4y - 6 = 0$, yang berbeda dari $e'$ ($-6 \neq 1$): jadi sejajar secara tegas, tanpa titik potong.

**Latihan 15.7 ★★.**

Berikan perian parametrik garis $d: 2x - y + 3 = 0$, lalu sebuah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) Kartesius garis $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$.

**Solusi Latihan 15.7.**

Untuk $d: 2x - y + 3 = 0$: arahnya $(-b, a) = (1, 2)$ dan titik $(0, 3)$ terletak pada $d$, sehingga $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$.

Untuk garis parametrik melalui $(1, -3)$ dengan arah $(2, 1)$: $a = 1$, $b = -2$, sehingga $x - 2y + c = 0$; memasukkan $(1, -3)$: $1 + 6 + c = 0$, jadi $c = -7$. [Persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation): $x - 2y - 7 = 0$ (periksa $t = 1$, titik $(3, -2)$: $3 + 4 - 7 = 0$).

**Latihan 15.8 ★★.**

Carilah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) garis melalui $P(1, -2)$ yang sejajar dengan $d: 4x - 3y + 2 = 0$, lalu nilai $m$ yang membuat garis $mx + 2y - 5 = 0$ sejajar dengan $d$.

**Solusi Latihan 15.8.**

Garis yang sejajar mempunyai $(a, b)$ yang sama: $4x - 3y + c = 0$; melalui $P(1, -2)$: $4 + 6 + c = 0$, jadi $c = -10$ dan garisnya adalah $4x - 3y - 10 = 0$.

Kesejajaran $mx + 2y - 5 = 0$ dengan $d$ menuntut $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$, jadi $m = -\frac83$.

**Latihan 15.9 ★★.**

Misalkan $A(-1, 0)$, $B(3, 2)$ dan $C(1, -4)$. Carilah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) Kartesius *garis berat* segitiga $ABC$ yang ditarik dari $C$ (yaitu garis yang menghubungkan $C$ dengan [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$).

**Solusi Latihan 15.9.**

[Titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ adalah $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right)
= (1, 1)$. Garis beratnya adalah garis $(CM)$ dengan $C(1, -4)$: kedua titiknya berabsis $1$, sehingga garis beratnya adalah garis tegak

$$
x - 1 = 0 .
$$

**Latihan 15.10 ★★.**

Untuk nilai parameter $m$ yang mana [vektor](#def-g11-vect-vector) $\vec u\,(m, 2)$ dan $\vec v\,(3, m - 1)$ [kolinear](#def-g11-vect-collinear)?

**Solusi Latihan 15.10.**

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$. Nilainya lenyap ketika $m^2 - m - 6 = 0$: $\Delta = 1 + 24 = 25$, [akarnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) $m = \frac{1 \pm 5}{2}$, yaitu $m = 3$ atau $m = -2$.

**Latihan 15.11 ★★★.**

Misalkan $ABCD$ sebuah jajargenjang, $I$ [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$, dan $J$ titik yang ditentukan oleh $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$. Bekerjalah pada [sistem koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) dengan $A(0,0)$, $B(1,0)$, $D(0,1)$ (sehingga $C(1,1)$):

1. Hitunglah [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $I$ dan $J$ .
2. Tunjukkan bahwa $A$ , $J$ dan $C$ segaris. (Sebuah fakta yang manis: garis $(DI)$ memotong diagonal $(AC)$ pada sepertiga jalannya.)

**Solusi Latihan 15.11.**

*1.* $I = \left(\frac12, 0\right)$. Lalu $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12, -1\right)$ dan $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13, -\frac23\right)$, sehingga

$$
J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).
$$

*2.* $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ dan $\vect{AC}\,(1, 1)$: $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$, jadi $A$, $J$, $C$ segaris — bahkan $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$: garis $(DI)$ memotong diagonal $(AC)$ tepat pada sepertiga panjangnya dari $A$.

## 15.7 Soal: Haluan bertabrakan dan koordinat yang cerdik

**Soal 15.1.**

Soal akhir pekan — lintasan yang berpotongan bukan berarti bertabrakan: jarak terdekat di laut, dan teorema yang dibuktikan dengan memilih kerangka yang tepat

Haluan lurus dua kapal berpotongan — haruskah kedua kapal itu bertabrakan? Tidak, kecuali keduanya mencapai titik potong itu *pada waktu yang sama*: lintasan adalah himpunan titik, gerak bersifat parametrik, dan mengacaukan keduanya sudah menenggelamkan kapal sungguhan. Soal ini menjalankan sebuah layanan lalu lintas kapal kecil pada garis parametrik ([Definisi 15.13](#def-g11-vect-parametric)), lalu beralih ke geometri murni dengan kekuatan super [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) yang lain: *memilih* [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) secara cerdik, seperti pada [Latihan 15.11](#exo-g11-vect-11), agar teorema klasik menghitung dirinya sendiri.

**Bagian I — Garis, dengan tiga cara.**

1. Berikan perian parametrik garis melalui $A(1, 2)$ dengan [vektor arah](#def-g11-vect-direction) $\vec u(3, -1)$ , lalu lenyapkan parameternya untuk memperoleh [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) Kartesius.
2. Untuk garis $2x - 5y + 3 = 0$ : bacalah sebuah [vektor arahnya](#def-g11-vect-direction) ( [Teorema 15.9](#thm-g11-vect-cartesian) ), carilah satu titik padanya, lalu tulislah perian parametriknya.
3. Hitunglah titik potong kedua garis pada pertanyaan 1 dan 2 ( [Metode 15.16](#met-g11-vect-intersection) ).
4. Benarkan dengan [determinannya](#def-g11-vect-det) ( [Teorema 15.5](#thm-g11-vect-collinearity) ) bahwa kedua garis itu memang harus berpotongan; lalu tunjukkan bahwa $2x - 5y + 3 = 0$ dan $-4x + 10y + 1 = 0$ sejajar secara tegas.
5. Apakah $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(11, 7)$ segaris ( [Metode 15.7](#met-g11-vect-alignment) )?

**Bagian II — Layanan lalu lintas kapal.** Pada waktu $t$ (jam), kapal $P$ berada di $(2t,\ 3 + t)$ dan kapal $Q$ di $(10 - t,\ 2t - 1)$ (jaraknya dalam mil laut).

6. Carilah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) Kartesius kedua *lintasannya* , lalu hitunglah tempat kedua lintasan itu berpotongan.
7. Pada waktu berapa masing-masing kapal melewati titik potongnya? Apakah kedua kapal itu bertabrakan? Nyatakan peringatan umumnya dalam satu kalimat: lintasan yang berpotongan melawan gerak yang berjumpa.
8. Hitunglah kuadrat jarak $D^2(t)$ antara kedua kapal pada waktu $t$ , lalu susutkan menjadi bentuk kuadrat dalam $t$ . Pada waktu berapa kedua kapal itu terdekat, dan seberapa dekat keduanya (dengan teknologi titik puncak [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#pb-g11-quad-1) )?
9. Peraturan menuntut pemisahan paling sedikit $1$ mil. Apakah aturan itu dilanggar? Jika ya, selesaikan $D^2(t) < 1$ lalu berikan lama pelanggarannya.
10. Jelaskan mengapa, bagi *sebarang* dua kapal pada haluan lurus dengan laju tetap, $D^2(t)$ selalu merupakan [fungsi kuadrat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-quadratic) dari $t$ — sehingga “titik pendekatan terdekat” selalu berupa perhitungan titik puncak.
11. Pencegatan: sebuah kapal patroli berangkat dari titik asal pada $t = 0$ dengan kecepatan tetap $(a, b)$ dan harus menemui kapal $P$ tepat pada $t = 3$ . Hitunglah $(a, b)$ yang diperlukan dan laju kapal patroli itu.

**Bagian III — [Koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) yang cerdik.** Bekerjalah pada kerangka [Latihan 15.11](#exo-g11-vect-11): jajargenjang $ABCD$ menjadi $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$; misalkan $I$ [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ dan $K$ [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[CD]$.

12. Hitunglah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) Kartesius garis $(DI)$ .
13. Potongkan $(DI)$ dengan diagonal $(AC)$ : temukan kembali fakta [Latihan 15.11](#exo-g11-vect-11) — potongannya terletak tepat pada sepertiga jalan menaiki diagonalnya.
14. Kini garis $(BK)$ : carilah [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) , potongkan dengan $(AC)$ , lalu simpulkan teorema klasik lengkapnya: *kedua ceva $(DI)$ dan $(BK)$ membagi tiga sama panjang diagonal $(AC)$* .
15. Mengapa membuktikan teorema itu pada satu kerangka khusus ini sah? (Apa yang dipertahankan oleh pemilihan [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) , dan apa saja yang dilibatkan pernyataannya?) Jawablah dalam dua atau tiga kalimat.
16. Satu pembagian tiga lagi sebagai latihan: misalkan $E$ [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[BC]$ . Di mana garis $(AE)$ memotong diagonal $(DB)$ yang *satunya* ?

**Bagian IV — Teka-teki kedudukan.**

17. Apakah ketiga garis $x + y = 4$ , $2x - y = 2$ , $x - 2y = -2$ berpotongan di satu titik? (Potongkan dua di antaranya, lalu ujilah yang ketiga.)
18. Untuk setiap [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $m$ , misalkan $d_m$ garis $mx - y + 2 - 3m = 0$ . Tunjukkan bahwa *setiap* $d_m$ melalui satu [titik tetap](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) yang sama. (Kelompokkan sukunya menurut $m$ .)
19. Pada keluarga $(d_m)$ : anggota yang mana yang sejajar dengan $y = 2x + 7$ ? Yang mana yang melalui titik asal?
20. Penutup — ketiga busana sebuah garis: Kartesius (uji keanggotaan dengan satu substitusi), tereduksi ( [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) dan [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) terbaca sekilas), parametrik (gerak, waktu, pencegatan); [determinan](#def-g11-vect-det) sebagai peramal kesejajaran; serta kerangka yang dipilih baik-baik sebagai pabrik teorema. Masing-masing satu kalimat.

**Solusi Soal 15.1.**

**1.** $x = 1 + 3t$, $y = 2 - t$. Dari yang kedua, $t = 2 - y$; setelah disubstitusikan: $x = 1 + 3(2 - y) = 7 - 3y$: jadi [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) Kartesiusnya $x + 3y - 7 = 0$.

**2.** Untuk $ax + by + c = 0$, sebuah [vektor arahnya](#def-g11-vect-direction) adalah $(-b, a)$: di sini $(5, 2)$. Sebuah titiknya: $y = 1$ memberi $x = 1$: yaitu $(1, 1)$. Parametriknya: $x = 1 + 5t$, $y = 1 + 2t$.

**3.** Dari $x = 7 - 3y$ pada $2x - 5y + 3 = 0$: $14 - 6y - 5y + 3 = 0$, sehingga $y = \frac{17}{11}$ dan $x = 7 - \frac{51}{11} = \frac{26}{11}$: yaitu titik $\left(\frac{26}{11}, \frac{17}{11}\right)$.

**4.** Arahnya $(5, 2)$ dan $(3, -1)$: $\det = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -11 \neq 0$: jadi berpotongan, seperti yang sudah ditemukan. Untuk pasangan kedua: arahnya $(5, 2)$ dan $(10, 4)$ mempunyai $\det = 0$ (sejajar), dan melipatduakan $2x - 5y + 3 = 0$ memberi $-4x + 10y - 6 = 0 \neq -4x + 10y + 1
= 0$: jadi sejajar secara tegas.

**5.** $\vect{AB}(3, 2)$, $\vect{AC}(9, 6)$: $\det = 18 - 18 = 0$: segaris.

**6.** $P$: dari $x = 2t$, $y = 3 + t$ diperoleh $y = 3 +
\frac x2$. $Q$: dari $x = 10 - t$ diperoleh $t = 10 - x$, sehingga $y = 2(10 - x) - 1 = 19 - 2x$. Perpotongannya: $3 + \frac x2 = 19 - 2x$ memberi $x = 6.4$, $y = 6.2$: jadi kedua lintasan itu berpotongan di $(6.4,\ 6.2)$.

**7.** $P$ melewatinya ketika $2t = 6.4$: yaitu $t = 3.2$ jam. $Q$ ketika $10 - t = 6.4$: yaitu $t = 3.6$ jam. Terpaut dua puluh empat menit: jadi tidak bertabrakan. Peringatannya: sebuah [peta](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) menunjukkan *lintasan*; hanya jam parametriknya yang mengatakan apakah dua gerak menempati titik yang sama pada saat yang sama.

**8.** $D^2(t) = (3t - 10)^2 + (4 - t)^2 =
10t^2 - 68t + 116$: titik puncaknya di $t = \frac{68}{20} = 3.4$ jam, tempat $D^2 = 0.4$: jadi pendekatan terdekatnya $D = \sqrt{0.4} \approx 0.63$ mil pada $t = 3.4$.

**9.** Dilanggar: $0.63 < 1$. Pertidaksamaan $D^2(t) < 1$ berbunyi $10t^2 - 68t + 115 < 0$: $\Delta = 4624 - 4600 = 24$, [akarnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) $\frac{68 \pm \sqrt{24}}{20} = 3.4 \pm 0.245$: jadi kedua kapal itu terlalu dekat sejak $t \approx 3.16$ sampai $t \approx 3.64$ — sekitar $29$ menit pelanggaran. Salah satunya harus mengubah haluan.

**10.** Setiap [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) setiap kapalnya merupakan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) *afin* dari $t$, sehingga setiap selisih [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) pun afin, dan $D^2$ — jumlah dua kuadrat [fungsi afin](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) — merupakan bentuk kuadrat (dengan koefisien utama taknegatif). Karena itu pendekatan terdekatnya selalu terbaca dari sebuah titik puncak.

**11.** Menemui $P$ pada $t = 3$, yaitu di $(6, 6)$: $(3a, 3b) = (6, 6)$ memberi $(a, b) = (2, 2)$, dengan laju $\sqrt{8} \approx 2.8$ knot.

**12.** $D(0, 1)$, $I\left(\frac12, 0\right)$: arahnya $\left(\frac12, -1\right)$, yaitu $(1, -2)$: [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 1$.

**13.** $(AC)$: $y = x$. Lalu $2x + x = 1$: $x = \frac13$: yaitu titik $\left(\frac13, \frac13\right)$, pada sepertiga jalan dari $A$ ke $C$.

**14.** $B(1, 0)$, $K\left(\frac12, 1\right)$: arahnya $\left(-\frac12, 1\right)$, [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 2$. Dengan $y = x$: $x = \frac23$: yaitu titik $\left(\frac23, \frac23\right)$. Kedua garis ceva itu memotong $(AC)$ di kedua titik pembagi tiganya: teoremanya terbukti, dengan dua kali tiga baris hitungan.

**15.** Setiap jajargenjang dapat dibawa ke persegi satuan dengan memilih $A$ sebagai titik asal serta $\vect{AB}$ dan $\vect{AD}$ sebagai satuan kedua sumbunya. Pilihan itu mempertahankan segala yang dibicarakan teoremanya — [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint), kesegarisan, dan perbandingan sepanjang sebuah garis (semuanya dapat dinyatakan dengan [vektor](#def-g11-vect-vector) dan skalar) — sehingga membuktikan pernyataannya pada persegi itu sudah membuktikannya untuk setiap jajargenjang. (Pilihan itu *tidak* membawa panjang atau sudut: keduanya diubah oleh kerangkanya.)

**16.** $E\left(1, \frac12\right)$: garis $(AE)$: $y = \frac x2$. Diagonal $(DB)$: dari $(0,1)$ ke $(1,0)$: $y = 1 - x$. Perpotongannya: $\frac x2 = 1 - x$: $x = \frac23$: yaitu titik $\left(\frac23, \frac13\right)$ — sekali lagi sebuah titik pembagi tiga, kini pada diagonal yang lain. Garis ceva lewat [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) memang gemar sepertiga.

**17.** Dua yang pertama: $x + y = 4$ dan $2x - y = 2$ memberi $3x = 6$: yaitu $(2, 2)$. Yang ketiga: $2 - 4 = -2$: terpenuhi. Jadi ketiganya berpotongan di satu titik, $(2, 2)$.

**18.** $mx - y + 2 - 3m = m(x - 3) + (2 - y) = 0$: agar [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) berlaku untuk *setiap* $m$, ambillah $x = 3$, $y = 2$ — dan memang setiap $d_m$ memuat $(3, 2)$. Jadi sebuah berkas garis melalui satu titik, satu garis untuk setiap [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $m$.

**19.** Sejajar dengan $y = 2x + 7$: [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $m = 2$, yaitu garis $2x - y - 4 = 0$. Melalui titik asal: $2 - 3m = 0$: $m = \frac23$.

**20.** Kartesius: masukkan sebuah titik, keanggotaannya terjawab. Tereduksi: [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) dan titik potong sumbunya terlihat, [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) seketika. Parametrik: jamnya sudah terpasang — tabrakan, pendekatan terdekat, pencegatan. [Determinan](#def-g11-vect-det): satu perkalian menyilang, dan kesejajarannya diputuskan. Kerangka yang dipilih: sebuah jajargenjang menjadi persegi satuan, dan sebuah teorema pembagian tiga yang klasik menjadi tiga perpotongan garis.