---
title: "Hasil Kali Skalar pada Bidang"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 16
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/16-hasil-kali-skalar-pada-bidang
---

# Bab 16 — Hasil Kali Skalar pada Bidang

[Hasil kali skalar](#def-g11-scal-dot) melekatkan sebuah *bilangan* pada sepasang [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector), dan bilangan itu melihat geometri: nilainya lenyap tepat untuk arah yang saling tegak lurus, dan bilangan itu mengukur sudut serta panjang. Inilah mesin di balik aturan [kosinus](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-cossin), [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) lingkaran, dan perhitungan ketegaklurusan. Perkakas yang sama, di ruang, menjadi pokok [Bab 31](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/31-vektor-garis-dan-bidang-di-ruang#ch-g12-space).

## 16.1 Definisi dan perhitungan pertama

**Definisi 16.1 (Hasil kali skalar).**

*Hasil kali skalar* dua [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) $\vec u$ dan $\vec v$ adalah bilangan

$$
\vec u \cdot \vec v
= \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2
- \norm{\vec v}^2\right),
$$

dengan $\norm{\vec u}$ menyatakan panjang (*norma*) $\vec u$.

**Teorema 16.2 (Empat wajah hasil kali skalar).**

Misalkan $\vec u\,(x, y)$ dan $\vec v\,(x', y')$ [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) taknol, serta $\theta$ sudut di antara keduanya. Maka

1. *([koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system))* $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'$ ;
2. *([kosinus](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-cossin))* $\vec u \cdot \vec v =  \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$ ;
3. *(proyeksi)* $\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v'$ , dengan $\vec v'$ proyeksi [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal) $\vec v$ pada arah $\vec u$ ; jika $\vec u = \vect{OA}$ dan $\vec v = \vect{OB}$ , maka $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}$ , yaitu hasil kali panjang bertanda, dengan $H$ kaki garis tegak lurus dari $B$ ke garis $(OA)$ ;
4. *([norma](#def-g11-scal-dot))* rumus pendefinisi pada [Definisi 16.1](#def-g11-scal-dot) .

**Bukti butir 1 dan 2.** *1.* Dalam [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system), $\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2$ (Pythagoras) dan $\vec u + \vec v$ berkoordinat $(x + x', y + y')$, sehingga

$$
\begin{align*}
2\,\vec u \cdot \vec v
&= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\
&= 2xx' + 2yy',
\end{align*}
$$

setelah kuadratnya dijabarkan lalu saling dihapuskan.

*2.* Pilihlah [sistem koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) sehingga $\vec u$ menunjuk sepanjang sumbu $x$ positif: $\vec u\,(\norm{\vec u}, 0)$ dan $\vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta)$ ([Bab 14](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#ch-g11-trigo)). Rumus 1 lalu memberi $\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0$. Rumus 3 terbaca dari perhitungan yang sama: proyeksi $\vec v$ pada sumbu $x$ berpanjang bertanda $\norm{\vec v}\cos\theta =
\overline{OH}$. ∎

![Tampilan proyeksinya: u v = OA × OH, dengan H kaki garis tegak lurus dari ujung v. Ruas jingga OH berpanjang bertanda v.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c5a833d29518.svg)

*Tampilan proyeksinya: $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times
\overline{OH}$, dengan $H$ kaki garis tegak lurus dari ujung $\vec v$. Ruas jingga $OH$ berpanjang bertanda $\norm{\vec v}\cos\theta$.*

**Contoh 16.3.**

$\vec u\,(3, 1)$ dan $\vec v\,(2, -4)$: $\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2$. [Normanya](#def-g11-scal-dot) $\norm{\vec u} = \sqrt{10}$ dan $\norm{\vec v} = \sqrt{20}$, sehingga $\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{10}$: sudutnya sedikit kurang dari $82^\circ$.

**Proposisi 16.4 (Aturan aljabar).**

Untuk semua [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) dan semua $\lambda \in \R$:

$$
\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad
\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot
\vec w, \qquad
(\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
$$

$$
\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2,
\qquad
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2 .
$$

**Bukti.** Semuanya menyusul dari rumus [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system): misalnya $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') =
(xx' + yy') + (xx'' + yy'')$. Identitas terakhirnya [menjabarkan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-expand) $\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v)$ dengan ketiga aturan pertamanya — [hasil kali skalar](#def-g11-scal-dot) berperilaku persis seperti hasil kali biasa, sehingga identitas aljabar yang lazim berlaku pula untuk [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector). ∎

## 16.2 Ketegaklurusan

**Definisi 16.5 (Vektor ortogonal).**

Dua [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) disebut *ortogonal*, ditulis $\vec u \perp \vec v$, bila $\vec u \cdot \vec v = 0$.

**Catatan 16.6.**

Untuk [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) taknol, rumus 2 pada [Teorema 16.2](#thm-g11-scal-faces) memperlihatkan $\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff$ arahnya saling tegak lurus. [Vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) nol [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal) terhadap apa saja.

**Contoh 16.7.**

$\vec u\,(3, 2)$ dan $\vec v\,(-4, 6)$: $\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 =
0$: jadi [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal). Secara umum, $\vec u\,(a, b)$ selalu [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal) terhadap $\vec v\,(-b, a)$ — yaitu rotasi seperempat putaran.

## 16.3 Aturan kosinus

**Teorema 16.8 (Aturan kosinus).**

Pada segitiga $ABC$ dengan sisi $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ dan sudut $\widehat A$ di titik sudut $A$:

$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .
$$

**Bukti.** Tulislah $\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB}$ lalu jabarkan dengan [Proposisi 16.4](#prop-g11-scal-rules):

$$
a^2 = \norm{\vect{BC}}^2
= \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2
= b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.
$$

Menurut rumus kosinusnya, $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A$. ∎

**Catatan 16.9.**

Ketika $\widehat A$ siku-siku, $\cos\widehat A = 0$ dan aturan kosinusnya menyusut menjadi teorema Pythagoras $a^2 = b^2 + c^2$: jadi aturan itu adalah Pythagoras dengan suku koreksi untuk sudut yang tidak siku-siku.

![Aturan kosinus: mengetahui dua sisi b, c dan sudut di antaranya sudah menentukan sisi ketiganya, a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c3343d6ea45e.svg)

*Aturan [kosinus](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-cossin): mengetahui dua sisi $b$, $c$ dan sudut di antaranya sudah menentukan sisi ketiganya, $a$.*

**Contoh 16.10.**

Dua sisi sebuah segitiga berukuran $b = 5$ dan $c = 8$, dan mengapit sudut $\widehat A = \frac\pi3$. Maka

$$
a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,
$$

sehingga $a = 7$.

## 16.4 Penerapan: lingkaran dan garis tegak lurus

**Proposisi 16.11 (Lingkaran dengan diameter tertentu).**

Sebuah titik $M$ terletak pada lingkaran berdiameter $[AB]$ jika dan hanya jika

$$
\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .
$$

**Bukti.** Jika $M \neq A, B$, syarat itu mengatakan bahwa sudut di $M$ pada segitiga $AMB$ siku-siku, dan titik yang memandang sebuah ruas garis dengan sudut siku-siku tepat adalah titik pada lingkaran yang berdiameter ruas itu. Berikut bukti langsungnya: misalkan $O$ [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ dan $r = \frac{AB}{2}$. Maka $\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA}$ dan $\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}$, sehingga

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,
$$

yang lenyap tepat ketika $MO = r$, yaitu ketika $M$ berada pada lingkaran berpusat $O$ dan berjari-jari $r$. ∎

**Proposisi 16.12 (Vektor normal sebuah garis).**

[Vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) $\vec n\,(a, b)$ [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal) terhadap setiap [vektor arah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-direction) garis $d : ax + by + c = 0$; kita katakan $\vec n$ adalah *vektor normal* $d$. Dua garis saling tegak lurus tepat ketika [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) normalnya (atau [vektor arahnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-direction)) [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal).

**Bukti.** Sebuah [vektor arah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-direction) $d$ adalah $\vec u\,(-b, a)$ ([Teorema 15.9](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#thm-g11-vect-cartesian)), dan $\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0$. ∎

**Metode 16.13 (Memakai vektor normal).**

- Garis melalui $A$ dengan normal $\vec n\,(a,b)$ : tulislah $\vect{AM} \cdot \vec n = 0$ , yang menjabar menjadi $ax + by + c = 0$ dengan $c$ ditentukan oleh $A$ .
- Ketegaklurusan $d: ax+by+c = 0$ dan $d': a'x+b'y+c' = 0$ : periksalah $aa' + bb' = 0$ .

**Contoh 16.14.**

Garis melalui $P(2, -1)$ yang tegak lurus $d : 3x - y + 4 = 0$: sebuah [vektor arah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-direction) $d$ adalah $(1, 3)$, yang berperan sebagai [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) *normal* garis tegak lurusnya. [Persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation): $x + 3y + c = 0$ dengan $2 - 3 + c = 0$, jadi $c = 1$: garisnya adalah $x + 3y + 1 = 0$.

**Contoh 16.15 (Persamaan sebuah lingkaran).**

Lingkaran berpusat $\Omega(1, 2)$ dan berjari-jari $3$ adalah himpunan titik $M(x,y)$ dengan $\Omega M^2 = 9$:

$$
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .
$$

Sebaliknya, $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ ditulis ulang, dengan melengkapkan kuadratnya ([Bab 10](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#ch-g11-quad)), menjadi $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$: yaitu lingkaran yang sama.

## 16.5 Latihan

**Latihan 16.1 ★.**

Hitunglah $\vec u \cdot \vec v$ untuk

$$
\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad
\vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad
\norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
$$

**Solusi Latihan 16.1.**

$(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1$.

$(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0$ ([vektornya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal)).

$\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12
= 6$.

**Latihan 16.2 ★.**

$ABC$ adalah segitiga sama sisi bersisi $6$. Hitunglah $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$ dan $\vect{AB} \cdot \vect{BC}$.

**Solusi Latihan 16.2.**

$\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18$.

[Vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) $\vect{AB}$ dan $\vect{BC}$ membentuk sudut $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (letakkan pangkal keduanya di $B$), sehingga $\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18$.

**Latihan 16.3 ★.**

Untuk nilai $t$ yang mana $\vec u\,(3, t)$ dan $\vec v\,(t - 8, 1)$ [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal)? Lalu untuk nilai $t$ yang mana $\vec u\,(t, 2)$ [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal) terhadap dirinya dikurangi $\vec v\,(4, 2)$, yaitu $\vec u \perp (\vec u - \vec v)$?

**Solusi Latihan 16.3.**

$\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0$ memberi $t = 6$.

$\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0)$, sehingga $\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t$, yang lenyap untuk $t = 0$ atau $t = 4$.

**Latihan 16.4 ★.**

Hitunglah sudut $\theta$ antara $\vec u\,(1, 2)$ dan $\vec v\,(3, 1)$ (berikan $\cos\theta$ secara eksak, lalu $\theta$ sampai derajat terdekat).

**Solusi Latihan 16.4.**

$\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5$, $\norm{\vec u} = \sqrt5$, $\norm{\vec v} = \sqrt{10}$, sehingga

$$
\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{2},
$$

jadi $\theta = 45^\circ$ tepat.

**Latihan 16.5 ★★.**

Sebuah segitiga mempunyai sisi $b = 4$, $c = 6$ dan sudut $\widehat A = \frac{2\pi}{3}$ di antaranya. Hitunglah sisi ketiganya, $a$. Lalu, pada segitiga bersisi $a = 7$, $b = 5$, $c = 4$, hitunglah $\cos\widehat A$ dan putuskan apakah $\widehat A$ lancip atau tumpul.

**Solusi Latihan 16.5.**

$a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3}
= 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76$, jadi $a = \sqrt{76} =
2\sqrt{19} \approx 8.7$.

Untuk segitiga kedua, aturan [kosinus](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-cossin) yang diselesaikan untuk sudutnya memberi

$$
\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
= \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,
$$

yang negatif: jadi $\widehat A$ tumpul.

**Latihan 16.6 ★★.**

Misalkan $A(1, 1)$, $B(5, -1)$ dan $C(3, 5)$. Hitunglah $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$; apakah sudut $\widehat A$ siku-siku? Hitunglah ketiga panjang sisinya lalu periksa jawabanmu dengan aturan [kosinus](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-cossin).

**Solusi Latihan 16.6.**

$\vect{AB}\,(4, -2)$ dan $\vect{AC}\,(2, 4)$: $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0$, sehingga sudut di $A$ siku-siku. Sisinya: $AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$, $AC = \sqrt{4 + 16} =
\sqrt{20}$, dan $\vect{BC}\,(-2, 6)$ memberi $BC = \sqrt{40}$. Ketaatasasannya: $BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2$, yaitu aturan [kosinus](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-cossin) dengan $\cos\widehat A = 0$ (Pythagoras).

**Latihan 16.7 ★★.**

Berikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) lingkaran berpusat $\Omega(-2, 3)$ dan berjari-jari $5$. Lalu tentukan pusat dan jari-jari lingkaran

$$
x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
$$

**Solusi Latihan 16.7.**

Bentuk pusat–jari-jarinya: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

Untuk lingkaran kedua, lengkapkan kuadratnya:

$$
x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6
\iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6
\iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :
$$

yaitu berpusat $(3, -1)$ dan berjari-jari $4$.

**Latihan 16.8 ★★.**

Misalkan $A(-3, 0)$ dan $B(0, 2)$. Dengan [Proposisi 16.11](#prop-g11-scal-diameter), carilah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) lingkaran berdiameter $[AB]$, lalu periksalah bahwa titik asal $O(0,0)$ terletak padanya.

**Solusi Latihan 16.8.**

$M(x,y)$ berada pada lingkarannya ketika $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0$ dengan $\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y)$ dan $\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y)$:

$$
(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .
$$

Untuk titik asalnya: $0 + 0 + 0 - 0 = 0$, sehingga $O$ terletak pada lingkaran itu — secara geometris, $\vect{OA}\,(-3,0)$ dan $\vect{OB}\,(0,2)$ [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal), sehingga $O$ memandang $[AB]$ dengan sudut siku-siku. (Setelah kuadratnya dilengkapkan: pusatnya $\left(-\frac32, 1\right)$, jari-jarinya $\frac{\sqrt{13}}{2}$.)

**Latihan 16.9 ★★.**

Carilah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) garis melalui $P(1, 3)$ yang tegak lurus terhadap $d : 2x + y - 7 = 0$, dan [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) kaki $H$ garis tegak lurusnya (yaitu perpotongan kedua garis itu). Simpulkan jarak dari $P$ ke $d$.

**Solusi Latihan 16.9.**

Garis tegak lurus melalui $P$ mempunyai [vektor arah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-direction) $d$, yaitu $(-1, 2)$, sebagai [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) normalnya: [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $-x + 2y + c = 0$; melalui $P(1,3)$: $-1 + 6 + c = 0$, jadi $c = -5$, sehingga $x - 2y + 5 = 0$.

Perpotongannya dengan $d$: dari $2x + y = 7$ diperoleh $y = 7 - 2x$; setelah disubstitusikan, $x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0$, jadi $x = \frac95$, $y = \frac{17}5$: yaitu $H\left(\frac95, \frac{17}5\right)$. Lalu $\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right)$ dan

$$
PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5}
= \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .
$$

**Latihan 16.10 ★★.**

Dengan memakai $\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2$ dan padanannya untuk $\vec u - \vec v$, buktikan *identitas jajargenjang*:

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2
= 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,
$$

lalu tafsirkan pada sebuah jajargenjang (diagonal terhadap sisinya).

**Solusi Latihan 16.10.**

Menjumlahkan

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2
\quad\text{dan}\quad
\norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2,
$$

suku silangnya saling menghapus dan $\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 +
2\norm{\vec v}^2$. Pada jajargenjang bersisi $\vec u$ dan $\vec v$, diagonalnya adalah $\vec u + \vec v$ dan $\vec u - \vec v$: jadi jumlah kuadrat kedua diagonalnya sama dengan jumlah kuadrat keempat sisinya.

**Latihan 16.11 ★★★.**

Misalkan $A$ dan $B$ dua titik dengan $AB = 4$, dan $I$ [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$.

1. Tunjukkan bahwa untuk setiap titik $M$ berlaku $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4$ . (Sisipkan $I$ : $\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}$ .)
2. Simpulkan himpunan titik $M$ yang memenuhi $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ .

**Solusi Latihan 16.11.**

*1.* Karena $I$ [titik tengahnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint), $\vect{IB} = -\vect{IA}$ dan $IA = 2$. Maka

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA})
= \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2
= MI^2 - 4 .
$$

*2.* Syarat $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ menjadi $MI^2 = 16$, yaitu $MI = 4$: jadi himpunannya adalah lingkaran berpusat $I$ dan berjari-jari $4$.

## 16.6 Soal: Dua hadiah hasil kali skalar

**Soal 16.1.**

Soal akhir pekan — rumus penjumlahan sudut jatuh dari satu hasil kali titik, jarak ke sebuah garis dari yang lain, dan ketiga garis tinggi bertemu sebagai bonus

[Hasil kali skalar](#def-g11-scal-dot) tampak seperti pembukuan — kalikan, jumlahkan — namun ia menyerahkan, hampir tanpa ongkos, dua harta yang bertahan melawan berabad-abad perburuan sudut: *rumus penjumlahan sudut* dalam trigonometri (hitunglah $\cos 15^\circ$ secara eksak!) dan *jarak dari sebuah titik ke sebuah garis* dalam satu pecahan yang rapi. Sebagai hadiah perpisahan, ia membuktikan bahwa ketiga garis tinggi setiap segitiga melalui satu titik. Keempat wajah pada [Teorema 16.2](#thm-g11-scal-faces) akan bertugas semuanya.

**Bagian I — Kefasihan.**

1. Untuk $\vec u(3, 4)$ dan $\vec v(-1, 2)$ : hitunglah $\vec u \cdot \vec v$ , kedua [normanya](#def-g11-scal-dot) , dan sudut di antara kedua [vektornya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) (sampai sepersepuluh derajat).
2. Carilah $k$ agar $(2, k)$ dan $(3, -4)$ [ortogonal](#def-g11-scal-orthogonal) ( [Definisi 16.5](#def-g11-scal-orthogonal) ).
3. Wajah fisikanya: sebuah kereta luncur ditarik $10$ m oleh gaya $50$ N pada $60^\circ$ terhadap tanah. Hitunglah usahanya, $W = \vec F \cdot \vec d$ .
4. Aturan [kosinus](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-cossin) ( [Teorema 16.8](#thm-g11-scal-cosines) ): dua sisi sepanjang $5$ dan $7$ mengapit sudut $60^\circ$ ; carilah sisi ketiganya secara eksak.
5. Kebalikannya: sebuah segitiga bersisi $4$ , $6$ , $8$ . Hitunglah [kosinus](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-cossin) sudut yang berhadapan dengan sisi $8$ , golongkan sudutnya, lalu berikan besarnya sampai sepersepuluh derajat.

**Bagian II — Hadiah pertama: rumus penjumlahan sudut.** Misalkan $\vec u = (\cos a, \sin a)$ dan $\vec v = (\cos b, \sin b)$: dua [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) satuan dengan sudut $a$ dan $b$.

6. Hitunglah $\vec u \cdot \vec v$ dua kali — sekali dengan [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system), sekali dengan [norma](#def-g11-scal-dot) dan sudut di antara kedua [vektornya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) — lalu simpulkan rumus induknya: $$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b .$$
7. Substitusikan $-b$ menggantikan $b$ (ingat paritas [sinus](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-cossin) dan [kosinus](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-cossin) !) untuk memperoleh $\cos(a + b)$ .
8. Perolehlah $\sin(a + b)$ dari identitas pelengkapnya, $\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right)$ , yang diterapkan pada $x = a + b$ .
9. Nilai eksak akhirnya: hitunglah $\cos 15^\circ$ (sebagai $\cos(45^\circ - 30^\circ)$ ) dan $\sin 75^\circ$ . Periksalah keduanya secara numeris.
10. Ambil $b = a$ untuk menurunkan rumus sudut ganda: $\cos 2a$ (dalam ketiga bentuknya) dan $\sin 2a$ .
11. Dari $\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a$ , hitunglah $\sin^2 15^\circ$ , lalu $\sin 15^\circ$ sebagai [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) bersarang — lalu periksalah bahwa kuadratnya cocok dengan nilai $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ yang diberikan metode pertanyaan 9.

**Bagian III — Hadiah kedua: jarak ke sebuah garis.**

12. Misalkan $d$ garis $ax + by + c = 0$, dengan [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) normal $\vec n(a, b)$ ([Proposisi 16.12](#prop-g11-scal-normal)), dan $P(x_0, y_0)$ sebuah titik. Dengan mengambil sebarang titik $A$ pada $d$, jelaskan mengapa jarak dari $P$ ke $d$ adalah $\dfrac{\abs{\vect{AP} \cdot \vec n}}{\norm{\vec n}}$, lalu simpulkan rumus $$\operatorname{dist}(P, d)  = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .$$ Hitunglah jarak dari $P(5, 6)$ ke $3x + 4y - 12 = 0$.
13. Tulislah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) lingkaran berpusat $(5, 6)$ yang menyinggung garis itu.
14. Periksa silang rumusnya: hitunglah jarak dari titik asal ke $3x + 4y - 12 = 0$ , lalu benarkan dengan menghitung kaki garis tegak lurus dari titik asalnya secara eksplisit.
15. Segitiga $A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(2,5)$ : hitunglah luasnya dengan alas $[AB]$ ; lalu hitunglah jarak dari $B$ ke garis $(AC)$ dan periksalah bahwa jarak itu menghasilkan luas yang sama.
16. Lingkaran berpusat $(2, 1)$ dan berjari-jari $2$ , terhadap garis $x + y - 6 = 0$ : hitunglah jarak pusatnya ke garis itu lalu golongkan kedudukannya (memotong, menyinggung, atau terpisah).

**Bagian IV — Bonusnya: garis tinggi bertemu di satu titik.**

17. Perumumlah [Latihan 16.11](#exo-g11-scal-11): untuk sebarang dua titik $A$, $B$ dengan [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$, buktikan $$\vect{MA} \cdot \vect{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}  \quad\text{untuk setiap titik } M .$$
18. Simpulkan [Proposisi 16.11](#prop-g11-scal-diameter) dalam satu baris: himpunan titik $M$ dengan $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0$ adalah lingkaran berdiameter $[AB]$ .
19. Garis tingginya: misalkan $H$ perpotongan garis tinggi dari $A$ dan dari $B$ pada segitiga $ABC$ (sehingga $\vect{HA} \cdot \vect{BC} = 0$ dan $\vect{HB} \cdot \vect{CA} = 0$). Buktikan identitas $$\vect{HA} \cdot \vect{BC} + \vect{HB} \cdot \vect{CA}  + \vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$$ — jabarkan semuanya dari $H$ dengan Chasles — lalu simpulkan bahwa $H$ juga terletak pada garis tinggi dari $C$: jadi ketiga garis tingginya berpotongan di satu titik (yaitu *titik tinggi*).
20. Penutup: empat wajah, tiga piala. Wajah yang mana pada [Teorema 16.2](#thm-g11-scal-faces) yang mengusung rumus penjumlahan sudut, yang mana rumus jaraknya, yang mana [titik tingginya](#pb-g11-scal-1) — dan mengapa “hitunglah besaran yang sama dua kali” menjadi semboyan seluruh bab ini?

**Solusi Soal 16.1.**

**1.** $\vec u \cdot \vec v = -3 + 8 = 5$; $\norm{\vec u} = 5$, $\norm{\vec v} = \sqrt5$; $\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5}$: jadi $\theta \approx 63.4^\circ$.

**2.** $6 - 4k = 0$: $k = \frac32$.

**3.** $W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250$ joule: hanya komponen sepanjang geraknya yang melakukan usaha.

**4.** $c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times \frac12 = 39$: $c = \sqrt{39}$.

**5.** $\cos\gamma = \frac{16 + 36 - 64}{2 \times 4
\times 6} = -\frac14$: negatif, jadi sudutnya tumpul: $\gamma \approx 104.5^\circ$.

**6.** Lewat [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system): $\vec u \cdot \vec v = \cos a \cos b +
\sin a \sin b$. Lewat geometri: keduanya [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) satuan, sehingga $\vec u \cdot \vec v = 1 \times 1 \times \cos(a - b)$. Menyamakan kedua perhitungan bilangan yang sama itu: $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.

**7.** $\cos(a + b) = \cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) +
\sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.

**8.** $\sin(a + b) = \cos\left(\frac\pi2 - a - b\right)
= \cos\left(\left(\frac\pi2 - a\right) - b\right)
= \cos\left(\frac\pi2 - a\right)\cos b +
\sin\left(\frac\pi2 - a\right)\sin b
= \sin a \cos b + \cos a \sin b$.

**9.** $\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ +
\sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot
\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 =
\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966$. Lalu $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$: nilai yang sama.

**10.** Dengan $b = a$ pada pertanyaan 7 dan 8: $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ (dengan memakai $\cos^2 + \sin^2 = 1$), dan $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$.

**11.** $\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2}
= \frac{2 - \sqrt3}{4}$, sehingga $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}$. Mengkuadratkan $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$: $\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt3}{16} =
\frac{2 - \sqrt3}{4}$: bilangan yang sama dalam dua busana.

**12.** $\vect{AP}$ terurai menjadi bagian sepanjang $d$ (yang tak terlihat oleh $\vec n$) dan bagian yang tegak lurus $d$, yang panjangnya adalah jarak yang dicari; mengalikannya secara titik dengan normal satuan $\frac{\vec n}{\norm{\vec n}}$ mematikan bagian pertamanya dan mengukur bagian keduanya. Dengan $A$ pada $d$: $\vect{AP} \cdot \vec n = a x_0 + b y_0 - (a x_A + b y_A) =
a x_0 + b y_0 + c$, dan dari sanalah rumusnya. Contohnya: $\frac{\abs{15 + 24 - 12}}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$.

**13.** Jari-jarinya $= 5.4$: $(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 29.16$.

**14.** Jaraknya $= \frac{\abs{-12}}{5} = 2.4$. Kakinya: garis tegak lurus melalui titik asal adalah $(3t, 4t)$; pada garisnya: $9t + 16t = 12$, jadi $t = \frac{12}{25}$: kakinya $\left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right)$, pada jarak $5t = \frac{60}{25} = 2.4$. Rumusnya dan perhitungan yang jujur memberi hasil yang sama.

**15.** Alasnya $AB = 6$, tingginya $=$ jarak dari $C$ ke $(AB)$ (yaitu sumbu $y = 0$): $5$; luasnya $15$. Garis $(AC)$: $5x - 2y = 0$, dan $\operatorname{dist}(B, (AC)) = \frac{\abs{30}}{\sqrt{29}}$; lalu $\frac12 \times AC \times \frac{30}{\sqrt{29}} =
\frac12 \times \sqrt{29} \times \frac{30}{\sqrt{29}} = 15$: luas yang sama, lewat garis tinggi yang mana pun.

**16.** $\operatorname{dist} = \frac{\abs{2 + 1 - 6}}
{\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2.12 > 2$: jadi garisnya lewat tanpa menyentuh lingkarannya — terpisah.

**17.** Sisipkan $I$: $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA}) \cdot
(\vect{MI} + \vect{IB}) = MI^2 + \vect{MI} \cdot (\vect{IA} +
\vect{IB}) + \vect{IA} \cdot \vect{IB}$. Suku tengahnya mati ($\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$), dan $\vect{IA} \cdot \vect{IB} = -IA^2 = -\frac{AB^2}{4}$ (dua [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) berlawanan yang panjangnya $\frac{AB}2$).

**18.** $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 \iff MI^2 =
\frac{AB^2}{4} \iff MI = \frac{AB}{2}$: yaitu lingkaran berpusat $I$ dan berjari-jari $\frac{AB}2$ — lingkaran berdiameter $[AB]$.

**19.** [Menjabarkan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-expand) setiap pasangannya dari $H$ ($\vect{BC} =
\vect{HC} - \vect{HB}$, dan seterusnya):

$$
\vect{HA} \cdot \vect{HC} - \vect{HA} \cdot \vect{HB}
+ \vect{HB} \cdot \vect{HA} - \vect{HB} \cdot \vect{HC}
+ \vect{HC} \cdot \vect{HB} - \vect{HC} \cdot \vect{HA} = 0 :
$$

semuanya saling menghapus berpasangan — jadi identitasnya berlaku untuk *sebarang* empat titik. Untuk $H$ kita, dua hasil kali titik yang pertama lenyap menurut hipotesisnya, sehingga $\vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$: jadi $H$ terletak pada garis tinggi dari $C$. Tiga garis tinggi, satu titik.

**20.** Rumus penjumlahan sudut datang dari menghitung satu hasil kali titik dengan wajah *[koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system)* dan wajah *norma-dan-sudut*; rumus jaraknya dari wajah *proyeksi*; [titik tingginya](#pb-g11-scal-1) dari wajah *kelinearan ganda* (jabarkan dari satu titik dengan Chasles). Hitunglah besaran yang sama dua kali, samakan, dan sebuah teorema jatuh sendiri — itulah seluruh keahlian [hasil kali skalar](#def-g11-scal-dot).