---
title: "Statistika Deskriptif"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 17
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif
---

# Bab 17 — Statistika Deskriptif

Statistika memampatkan sebuah daftar bilangan menjadi beberapa ringkasan yang bermakna: di mana datanya berada ([rata-rata](#def-g11-stat-mean), [median](#def-g11-stat-median)), dan seberapa lebar sebarannya ([kuartil](#def-g11-stat-quartiles), [ragam](#def-g11-stat-variance), [simpangan baku](#def-g11-stat-variance)). Bab ini mengerjakan semuanya pada satu contoh yang dipakai terus. Ringkasan yang sama muncul kembali untuk peubah acak pada [Bab 18](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#ch-g11-prob), dan hukum peluangnya pada [Bab 34](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/34-jumlah-peubah-acak-dan-hukum-bilangan-besar#ch-g12-sums).

Di sepanjang bab ini, data yang kita pakai adalah nilai (dari $20$) sebuah kelas berisi $12$ siswa:

$$
8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17 .
$$

## 17.1 Rata-rata dan median

**Definisi 17.1 (Rata-rata).**

*Rata-rata* nilai $x_1, x_2, \dots, x_n$ adalah

$$
\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.
$$

Jika nilai $x_i$ muncul dengan frekuensi $n_i$ (dengan $n_1 + \dots + n_k = n$), maka $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$.

**Definisi 17.2 (Median).**

Sebuah *median* kumpulan data terurut adalah nilai yang membelahnya menjadi dua: paling sedikit separuh nilainya $\leq$ median, dan paling sedikit separuhnya $\geq$ median. Dalam praktiknya, urutkan $n$ nilai itu; jika $n$ ganjil, mediannya adalah nilai di tengah; jika $n$ genap, ambil [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) dua nilai di tengah.

**Contoh 17.3.**

Untuk data yang kita pakai, jumlahnya $144$, sehingga $\bar x = \frac{144}{12} =
12$. Kedua nilai di tengahnya (yang ke-$6$ dan ke-$7$ pada daftar terurut) sama-sama $12$, sehingga [mediannya](#def-g11-stat-median) juga $12$. [Rata-rata](#def-g11-stat-mean) dan [median](#def-g11-stat-median) tidak harus berimpit: [median](#def-g11-stat-median) mengabaikan *seberapa jauh* nilai ekstremnya, [rata-rata](#def-g11-stat-mean) tidak. Mengganti nilai tertinggi $17$ dengan $20$ menggeser [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) menjadi $12.25$ tetapi meninggalkan [mediannya](#def-g11-stat-median) di $12$.

## 17.2 Kuartil

**Definisi 17.4 (Kuartil, jangkauan antarkuartil).**

*Kuartil pertama* $Q_1$ adalah nilai terkecil yang membuat paling sedikit seperempat datanya $\leq Q_1$; *kuartil ketiga* $Q_3$ adalah nilai terkecil yang membuat paling sedikit tiga perempat datanya $\leq Q_3$. *Jangkauan antarkuartil* adalah $Q_3 - Q_1$: yaitu lebar paruh tengah datanya.

**Contoh 17.5.**

$n = 12$: seperempatnya $3$, sehingga $Q_1$ adalah nilai terurut ke-$3$: $Q_1 = 10$. Tiga perempatnya $9$, sehingga $Q_3$ adalah nilai ke-$9$: $Q_3 = 13$. [Jangkauan antarkuartilnya](#def-g11-stat-quartiles) $3$: jadi paruh tengah kelas itu berada dalam rentang $3$ angka.

![Data yang kita pakai sebagai diagram titik, rata-ratanya (merah), dan ringkasan lima angka di atasnya (jingga): minimum, Q_1, median, Q_3, maksimum. Kotaknya memuat paruh tengah datanya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-stat/fig-a5af87c5ca4d.svg)

*Data yang kita pakai sebagai diagram titik, [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) (merah), dan ringkasan lima angka di atasnya (jingga): [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema), $Q_1$, [median](#def-g11-stat-median), $Q_3$, [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema). Kotaknya memuat paruh tengah datanya.*

## 17.3 Ragam dan simpangan baku

**Definisi 17.6 (Ragam, simpangan baku).**

*Ragam* sebuah kumpulan data adalah [rata-rata](#def-g11-stat-mean) kuadrat simpangan terhadap [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean):

$$
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2,
$$

dan *simpangan baku* adalah $\sigma = \sqrt{V}$, yang dinyatakan dalam satuan yang sama dengan datanya.

**Proposisi 17.7 (Rumus jalan pintas).**

[Ragamnya](#def-g11-stat-variance) adalah [rata-rata](#def-g11-stat-mean) kuadrat dikurangi kuadrat [rata-rata](#def-g11-stat-mean):

$$
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; \bar x^{\,2}.
$$

**Bukti.** Jabarkan setiap kuadrat simpangannya: $(x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^2$. Setelah dijumlahkan lalu dibagi $n$:

$$
V = \frac1n \sum x_i^2 - 2\bar x \cdot \underbrace{\frac1n \sum
x_i}_{=\ \bar x} + \frac1n \cdot n\bar x^2
= \frac1n\sum x_i^2 - 2\bar x^2 + \bar x^2
= \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2 .
$$

Identitas yang sama, untuk peubah acak, adalah [Proposisi 18.13](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#prop-g11-prob-konig). ∎

**Contoh 17.8.**

Untuk data yang kita pakai, simpangan terhadap $\bar x = 12$ adalah $-4$, $-3$, $-2$, $-2$, $-1$, $0$, $0$, $0$, $1$, $2$, $4$, $5$; kuadratnya berjumlah

$$
16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .
$$

Karena itu

$$
V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67,
\qquad
\sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ angka}.
$$

Secara kasar, sebuah nilai yang khas berjarak sekitar $2.6$ angka dari [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean).

**Proposisi 17.9 (Pergantian satuan).**

Jika setiap nilainya diubah menjadi $y_i = a x_i + b$, maka

$$
\bar y = a \bar x + b,
\qquad
V_y = a^2\, V_x,
\qquad
\sigma_y = \abs{a}\,\sigma_x .
$$

**Bukti.** $\bar y = \frac1n \sum (a x_i + b) = a\left(\frac1n\sum x_i\right) +
\frac1n \cdot nb = a\bar x + b$. Lalu $y_i - \bar y = a(x_i - \bar x)$: setiap simpangannya terskalakan dengan $a$ (pergeseran $b$ saling menghapus), sehingga setiap kuadrat simpangannya terskalakan dengan $a^2$, dan begitu pula [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean). Menarik [akarnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) memberi $\sigma_y = \abs a\,\sigma_x$. ∎

**Contoh 17.10.**

Suhu yang tercatat dalam derajat Celsius dengan [rata-rata](#def-g11-stat-mean) $20$ dan [simpangan baku](#def-g11-stat-variance) $3$ dikonversikan ke Fahrenheit lewat $F = 1.8\,C + 32$: [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) menjadi $1.8 \times 20 + 32 = 68$, [simpangan bakunya](#def-g11-stat-variance) $1.8 \times 3 = 5.4$. Menggeser sebuah kumpulan data tidak mengubah sebarannya; menskalakannya ikut menskalakan sebarannya.

**Metode 17.11 (Meringkas dan membandingkan kumpulan data).**

Untuk membandingkan dua kumpulan data, sandingkan: [rata-rata](#def-g11-stat-mean) (atau [median](#def-g11-stat-median)) untuk *kedudukannya*, [simpangan baku](#def-g11-stat-variance) (atau [jangkauan antarkuartil](#def-g11-stat-quartiles)) untuk *sebarannya*. Pasangan ([median](#def-g11-stat-median), [jangkauan antarkuartil](#def-g11-stat-quartiles)) bersifat kekar terhadap nilai ekstrem; pasangan ([rata-rata](#def-g11-stat-mean), [simpangan baku](#def-g11-stat-variance)) memakai setiap nilainya dan memasok teori peluang.

**Contoh 17.12.**

Dua pemanah masing-masing melepas $10$ anak panah; nilainya [rata-rata](#def-g11-stat-mean) $8.5$ untuk keduanya, tetapi [simpangan bakunya](#def-g11-stat-variance) $0.5$ dan $2.1$. Tingkatnya sama secara [rata-rata](#def-g11-stat-mean) — tetapi pemanah pertama jauh lebih ajek.

## 17.4 Latihan

**Latihan 17.1 ★.**

Hitunglah [rata-rata](#def-g11-stat-mean), [median](#def-g11-stat-median), [kuartil](#def-g11-stat-quartiles) dan [jangkauan antarkuartil](#def-g11-stat-quartiles) kumpulan data

$$
5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 14 .
$$

**Solusi Latihan 17.1.**

$n = 8$, jumlahnya $71$: [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) $\bar x = \frac{71}{8} = 8.875$. [Median](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-median): [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) nilai ke-$4$ dan ke-$5$, yaitu $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$. [Kuartil](#def-g11-stat-quartiles): seperempat dari $8$ adalah $2$, sehingga $Q_1$ adalah nilai ke-$2$, yaitu $7$; tiga perempatnya $6$, sehingga $Q_3$ adalah nilai ke-$6$, yaitu $10$. [Jangkauan antarkuartilnya](#def-g11-stat-quartiles): $10 - 7 = 3$.

**Latihan 17.2 ★.**

Hitunglah [ragam](#def-g11-stat-variance) dan [simpangan baku](#def-g11-stat-variance) kumpulan data $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ ([rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) dahulu, lalu rumus jalan pintas [Proposisi 17.7](#prop-g11-stat-shortcut)).

**Solusi Latihan 17.2.**

Jumlahnya $40$, sehingga $\bar x = 5$. Jumlah kuadratnya: $4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$. Menurut rumus jalan pintasnya,

$$
V = \frac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4,
\qquad
\sigma = 2 .
$$

**Latihan 17.3 ★.**

Sebuah dadu dilempar $50$ kali; hasilnya diringkas lewat frekuensi:

| hasil | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| frekuensi | 6 | 9 | 8 | 10 | 9 | 8 |

Hitunglah [rata-rata](#def-g11-stat-mean) hasilnya dan [mediannya](#def-g11-stat-median).

**Solusi Latihan 17.3.**

[Rata-ratanya](#def-g11-stat-mean):

$$
\bar x = \frac{1 \times 6 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 10
+ 5 \times 9 + 6 \times 8}{50}
= \frac{181}{50} = 3.62 .
$$

[Median](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-median): frekuensi kumulatifnya adalah $6, 15, 23, 33, \dots$, sehingga hasil terurut ke-$25$ dan ke-$26$ sama-sama $4$: jadi [mediannya](#def-g11-stat-median) $4$.

**Latihan 17.4 ★★.**

Sebuah kelas berisi $15$ siswa mempunyai [rata-rata](#def-g11-stat-mean) nilai $11.2$. Siswa ke-$16$ bergabung dan memperoleh $18$. Berapa [rata-rata](#def-g11-stat-mean) kelas yang baru?

**Solusi Latihan 17.4.**

Jumlah $15$ nilai itu adalah $15 \times 11.2 = 168$; dengan siswa barunya, $\frac{168 + 18}{16} = \frac{186}{16} = 11.625$.

**Latihan 17.5 ★★.**

[Rata-rata](#def-g11-stat-mean) kumpulan data $6, 8, x, 12, 14$ adalah $10$. Carilah $x$, lalu hitunglah [simpangan baku](#def-g11-stat-variance) data lengkapnya.

**Solusi Latihan 17.5.**

$\frac{6 + 8 + x + 12 + 14}{5} = 10$ memberi $40 + x = 50$, jadi $x = 10$. Simpangan $6, 8, 10, 12, 14$ terhadap [rata-rata](#def-g11-stat-mean) $10$ adalah $-4, -2, 0, 2, 4$, dengan jumlah kuadrat $40$: $V = \frac{40}{5} = 8$ dan $\sigma = 2\sqrt2 \approx 2.83$.

**Latihan 17.6 ★.**

Nilai dengan [rata-rata](#def-g11-stat-mean) $12.4$ dan [simpangan baku](#def-g11-stat-variance) $2.5$ diskalakan ulang lewat $y = \frac{x}{2} + 4$. Berikan [rata-rata](#def-g11-stat-mean) dan [simpangan baku](#def-g11-stat-variance) yang baru.

**Solusi Latihan 17.6.**

Menurut [Proposisi 17.9](#prop-g11-stat-affine) dengan $a = \frac12$, $b = 4$: [rata-rata](#def-g11-stat-mean) barunya $\frac{12.4}{2} + 4 = 10.2$; [simpangan baku](#def-g11-stat-variance) barunya $\frac{2.5}{2} = 1.25$.

**Latihan 17.7 ★★.**

Kelompok A ($20$ nilai) berrata-rata $10$; kelompok B ($30$ nilai) berrata-rata $15$. Hitunglah [rata-rata](#def-g11-stat-mean) $50$ nilai itu setelah digabungkan. Apakah nilainya [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $12.5$? Mengapa bukan?

**Solusi Latihan 17.7.**

[Rata-rata](#def-g11-stat-mean) gabungannya adalah [rata-rata](#def-g11-stat-mean) *berbobot*

$$
\frac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \frac{650}{50} = 13,
$$

dan bukan $12.5$: kelompok B menyumbang lebih banyak nilai, sehingga menarik [rata-rata](#def-g11-stat-mean) gabungannya ke arah [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) sendiri.

**Latihan 17.8 ★★.**

Dua jalur produksi mengisi kantong gula $1$ kg. [Sampelnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/9-peluang-dan-penyampelan#def-g10-proba-sample) memberi: jalur 1: [rata-rata](#def-g11-stat-mean) $1.002$ kg, [simpangan baku](#def-g11-stat-variance) $0.006$ kg; jalur 2: [rata-rata](#def-g11-stat-mean) $1.001$ kg, [simpangan baku](#def-g11-stat-variance) $0.019$ kg. Jalur mana yang harus ditera ulang lebih dahulu, dan mengapa?

**Solusi Latihan 17.8.**

Kedua jalurnya hampir tepat sasaran secara [rata-rata](#def-g11-stat-mean) ($1.002$ dan $1.001$ kg), tetapi [simpangan baku](#def-g11-stat-variance) jalur 2 tiga kali lebih besar: kantongnya jauh lebih beragam, sehingga jauh lebih sering menghasilkan kantong yang kurang atau berlebih isinya. Jalur 2 harus ditangani lebih dahulu — yang perlu dibetulkan adalah keajekannya, bukan hanya [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean).

**Latihan 17.9 ★★.**

Sebuah kumpulan data berisi $n = 10$ nilai mempunyai $\sum x_i = 70$ dan $\sum x_i^2 = 540$. Hitunglah [rata-rata](#def-g11-stat-mean), [ragam](#def-g11-stat-variance) dan [simpangan bakunya](#def-g11-stat-variance).

**Solusi Latihan 17.9.**

$\bar x = \frac{70}{10} = 7$; $V = \frac{540}{10} - 7^2 = 54 - 49 = 5$; $\sigma = \sqrt5 \approx 2.24$.

**Latihan 17.10 ★★★.**

Kumpulan data $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 23$ memuat sebuah *pencilan*.

1. Hitunglah [rata-rata](#def-g11-stat-mean) dan [mediannya](#def-g11-stat-median) dengan dan tanpa nilai $23$ .
2. Hitunglah [jangkauan antarkuartilnya](#def-g11-stat-quartiles) dengan dan tanpa $23$ .
3. Ringkasan mana yang kekar terhadap pencilannya? Tutup dengan sebuah anjuran.

**Solusi Latihan 17.10.**

*1.* Dengan $23$: jumlahnya $50$, [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) $5$; [mediannya](#def-g11-stat-median) adalah [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) nilai ke-$5$ dan ke-$6$ $= 3$. Tanpa $23$: jumlahnya $27$, [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) $3$; [mediannya](#def-g11-stat-median) (nilai ke-5 dari 9 nilai) $= 3$.

*2.* Dengan $23$ ($n = 10$): $Q_1$ adalah nilai ke-$3$ ($2$), $Q_3$ nilai ke-$8$ ($4$): [jangkauan antarkuartilnya](#def-g11-stat-quartiles) $2$. Tanpa nilai itu ($n = 9$): $Q_1$ adalah nilai ke-$3$ ($2$), $Q_3$ nilai ke-$7$ ($4$): tetap $2$.

*3.* Satu pencilan itu menyeret [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) dari $3$ naik ke $5$ tetapi membiarkan [median](#def-g11-stat-median) dan [jangkauan antarkuartilnya](#def-g11-stat-quartiles) tidak berubah: keduanya bersifat *kekar*. Bila sebuah kumpulan data mungkin memuat nilai yang menyimpang, laporkanlah [median](#def-g11-stat-median) dan [jangkauan antarkuartilnya](#def-g11-stat-quartiles), bukan [rata-rata](#def-g11-stat-mean) dan [simpangan bakunya](#def-g11-stat-variance).

## 17.5 Soal: Skor-z, sebuah penggaris semesta

**Soal 17.1.**

Soal akhir pekan — simpangan baku membandingkan apel dengan jeruk, ketaksamaan Chebyshev mengubah $\sigma$ menjadi jaminan, dan rata-rata memenangkan medalinya sendiri

Apakah $15/20$ pada ujian yang sukar lebih baik daripada $13/20$ pada ujian yang mudah? Apakah $23$ dalam daftar bilangan kecil sebuah kebetulan atau sebuah pencilan? Bilangan mentah tidak dapat mengatakannya — tetapi setelah dibagi [simpangan baku](#def-g11-stat-variance) yang tepat, semuanya berbicara dalam satu bahasa, yaitu *[skor-z](#pb-g11-stat-1)*. Soal ini menguasai mesin [ragamnya](#def-g11-stat-variance) ([Definisi 17.6](#def-g11-stat-variance), [Proposisi 17.7](#prop-g11-stat-shortcut)), membangun penggaris semestanya, lalu membuktikan ketaksamaan mengagumkan yang mengubah $\sigma$ dari sebuah bilangan pemerian menjadi sebuah jaminan.

**Bagian I — Mekanika [ragam](#def-g11-stat-variance).**

1. Untuk kumpulan data $4, 8, 6, 5, 2$ : hitunglah [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) , lalu [ragamnya](#def-g11-stat-variance) langsung dari definisinya, lalu $\sigma$ .
2. Hitunglah ulang [ragamnya](#def-g11-stat-variance) dengan rumus jalan pintas ( [Proposisi 17.7](#prop-g11-stat-shortcut) ) — [rata-rata](#def-g11-stat-mean) kuadrat dikurangi kuadrat [rata-rata](#def-g11-stat-mean) — lalu periksa kecocokannya.
3. Dengan frekuensi: nilai $8$ , $10$ , $14$ diperoleh oleh $3$ , $5$ , $2$ siswa. Hitunglah [rata-rata](#def-g11-stat-mean) , [ragam](#def-g11-stat-variance) dan $\sigma$ -nya (dua angka desimal).
4. Suhu mempunyai [rata-rata](#def-g11-stat-mean) $20$ dan $\sigma = 3$ (derajat Celsius). Berikan [rata-rata](#def-g11-stat-mean) dan $\sigma$ -nya dalam Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ ; [Proposisi 17.9](#prop-g11-stat-affine) ).
5. Buktikan kedua aturan yang baru saja dipakai: menambahkan konstanta $b$ pada setiap nilainya menggeser [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) sebesar $b$ dan membiarkan $\sigma$ tidak berubah; mengalikan dengan $a$ mengalikan [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) dengan $a$ dan $\sigma$ dengan $\abs a$ .

**Bagian II — Penggaris semesta.** Yang disebut *skor-z* sebuah nilai $x$ pada kumpulan data yang berrata-rata $\bar x$ dan bersimpangan baku $\sigma$ adalah $z = \dfrac{x - \bar x}{\sigma}$: yaitu banyaknya [simpangan baku](#def-g11-stat-variance) yang memisahkan $x$ dari [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean).

6. Ujian A berrata-rata $12$ dan $\sigma = 2$ ; ujian B berrata-rata $8$ dan $\sigma = 4$ . Alice memperoleh $15$ pada A, Bob $13$ pada B. Hitunglah kedua [skor-z-nya](#pb-g11-stat-1) : penampilan siapa yang berdiri lebih jauh di atas kerumunannya?
7. Hitunglah kelima [skor-z](#pb-g11-stat-1) kumpulan data pada pertanyaan 1, lalu periksalah bahwa semuanya berrata-rata $0$ dan bersimpangan baku $1$ . Jelaskan dari pertanyaan 5 mengapa pembakuan *selalu* menghasilkan [rata-rata](#def-g11-stat-mean) $0$ dan $\sigma = 1$ .
8. Sebuah tes bakat berrata-rata $100$ dan $\sigma = 15$ . Nilai mentah berapa yang berskor $z = 2$ ? Berapa [skor-z](#pb-g11-stat-1) nilai $76$ ?
9. Seorang dokter anak mencatat berat badan bayi sebagai “ $z = -2.5$ ”. Katakan apa artinya, dan mengapa pertumbuhan dipantau lewat [skor-z](#pb-g11-stat-1) , bukan lewat kilogram, seiring anak itu bertambah usia.
10. Pencilan pada [Latihan 17.10](#exo-g11-stat-10) (kumpulan data $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 23$ ): hitunglah [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) , $\sigma$ , dan [skor-z](#pb-g11-stat-1) nilai $23$ . Ambang peringatan yang klasik adalah $\abs z \geq 3$ : bagaimana putusannya?
11. Hitunglah ulang $\sigma$ *tanpa* nilai $23$ , lalu [skor-z](#pb-g11-stat-1) yang akan dipunyai $23$ terhadap [rata-rata](#def-g11-stat-mean) dan $\sigma$ data yang bersih itu. Apa yang telah dilakukan pencilan itu terhadap penggaris yang justru dimaksudkan untuk mengukurnya, dan apa yang disarankan [Latihan 17.10](#exo-g11-stat-10) sebagai penangkalnya?

**Bagian III — Jaminan Chebyshev.**

12. Buktikan ketaksamaan Bienaymé–Chebyshev untuk sebuah kumpulan data: jika sebagian $p$ nilainya memenuhi $\abs{x - \bar x} \geq k\sigma$, maka, dengan hanya menyimpan suku-suku itu pada jumlah [ragamnya](#def-g11-stat-variance), $$\sigma^2 \geq p \cdot (k\sigma)^2,  \qquad\text{sehingga}\qquad  p \leq \frac{1}{k^2} .$$
13. Apa yang dijamin ketaksamaan itu tentang bagian sebarang kumpulan data yang berjarak lebih dari $2\sigma$ dari [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) ? Lebih dari $3\sigma$ ? Periksalah pernyataan $2\sigma$ itu pada kumpulan data pertanyaan 1.
14. Sebuah pabrik menghasilkan baut dengan [rata-rata](#def-g11-stat-mean) $50$ mm dan $\sigma = 0.1$ mm. Apa yang dijamin Chebyshev tentang bagian baut yang berada di luar $\intcc{49.7}{50.3}$ ? (Produksi yang sesungguhnya jauh lebih baik — kurva lonceng tahun berikutnya mengubah $\frac19$ yang berhati-hati ini menjadi sepersekian persen.)
15. Dua dana sama-sama memberi imbal hasil $5\,\%$ per tahun secara [rata-rata](#def-g11-stat-mean) , dengan $\sigma = 2\,\%$ untuk dana A dan $\sigma = 12\,\%$ untuk dana B. Untuk masing-masing dana, apa kata Chebyshev tentang bagian tahun yang imbal hasilnya di bawah $-19\,\%$ ? Apa nama keuangan bagi $\sigma$ ?

**Bagian IV — Medali [rata-rata](#def-g11-stat-mean), dan sebuah peringatan.**

16. Misalkan $f(c)$ [rata-rata](#def-g11-stat-mean) kuadrat simpangan $(x_i - c)^2$ terhadap pusat sebarang $c$. Buktikan identitas $$f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2 ,$$ lalu simpulkan: [rata-rata](#def-g11-stat-mean) adalah satu-satunya peminimum [rata-rata](#def-g11-stat-mean) kuadrat simpangan — itulah medalinya, sepadan dengan peminimuman simpangan mutlak oleh [median](#def-g11-stat-median) pada [Soal 8.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#pb-g10-stats-1).
17. Periksalah identitas itu pada kumpulan data pertanyaan 1 dengan $c = 6$ : hitunglah $f(6)$ secara langsung dan lewat rumusnya.
18. Ringkasan sama, data berbeda: periksalah bahwa $P = \{3, 5, 7, 9, 11\}$ dan $Q = \{1, 7, 7, 7, 13\}$ berbagi [rata-rata](#def-g11-stat-mean) yang sama tetapi tidak berbagi [ragam](#def-g11-stat-variance) yang sama; lalu susunlah kumpulan data berbentuk $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ dengan [rata-rata](#def-g11-stat-mean) dan [ragam](#def-g11-stat-variance) yang persis sama dengan $P$ — namun berbentuk sama sekali lain.
19. Buktikan bahwa $\sigma = 0$ memaksa semua nilainya sama. (Setiap suku pada jumlah kuadrat yang bernilai nol pastilah apa?)
20. Penutup — tangga sang ahli statistik, satu baris untuk setiap anak tangganya: ukuran pemusatan ( [rata-rata](#def-g11-stat-mean) , [median](#def-g11-stat-median) ), ukuran penyebaran ( $\sigma$ , [jangkauan antarkuartil](#def-g11-stat-quartiles) ), penggaris semesta ( $z$ ), jaminannya (Chebyshev), dan peringatan pada pertanyaan 18: ringkasan memampatkan, dan pemampatan selalu kehilangan — sedangkan kurva lonceng tahun berikutnya menanti untuk mengubah [skor-z](#pb-g11-stat-1) menjadi peluang yang eksak.

**Solusi Soal 17.1.**

**1.** [Rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) $\bar x = \frac{25}{5} = 5$. Kuadrat simpangannya: $1, 9, 1, 0, 9$: [ragamnya](#def-g11-stat-variance) $\frac{20}{5} = 4$, sehingga $\sigma = 2$.

**2.** [Rata-rata](#def-g11-stat-mean) kuadratnya: $\frac{16 + 64 + 36 + 25 + 4}{5} = 29$; dikurangi $\bar x^2 = 25$: [ragamnya](#def-g11-stat-variance) $4$. Jawaban yang sama, separuh pekerjaannya.

**3.** [Rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) $= \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 2 \times
14}{10} = 10.2$; [ragamnya](#def-g11-stat-variance) $= \frac{3 \times 64 + 5 \times 100 +
2 \times 196}{10} - 10.2^2 = 108.4 - 104.04 = 4.36$; $\sigma \approx 2.09$.

**4.** [Rata-ratanya](#def-g11-stat-mean): $1.8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ$F; $\sigma$-nya: $1.8 \times 3 = 5.4\,^\circ$F — pergeseran $+32$ tidak menyebarkan apa pun.

**5.** Menambahkan $b$: setiap simpangannya $x_i + b - (\bar x + b)
= x_i - \bar x$ tidak berubah, sehingga [ragamnya](#def-g11-stat-variance) pun tidak. Mengalikan dengan $a$: simpangannya dikalikan $a$, kuadratnya dikalikan $a^2$, [ragamnya](#def-g11-stat-variance) dikalikan $a^2$, dan $\sigma$ dikalikan $\sqrt{a^2} = \abs a$.

**6.** $z_A = \frac{15 - 12}{2} = 1.5$; $z_B = \frac{13 - 8}{4} = 1.25$. Alice berdiri lebih jauh di atas kerumunannya: nilai $15$ pada ujian yang lebih sukar mengalahkan $13$ pada ujian yang lebih mudah.

**7.** Skor-$z$-nya: $-0.5,\ 1.5,\ 0.5,\ 0,\ -1.5$: berrata-rata $0$, bersimpangan baku $1$. Secara umum, pembakuan mengurangkan $\bar x$ (sehingga [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) $0$, $\sigma$ tak tersentuh) lalu membaginya dengan $\sigma$ (sehingga $\sigma$ yang baru menjadi $1$): jadi pertanyaan 5 dua kali.

**8.** Untuk $z = 2$: $100 + 2 \times 15 = 130$. Lalu $z(76) = \frac{76 - 100}{15} = -1.6$.

**9.** Bayi itu berada $2.5$ [simpangan baku](#def-g11-stat-variance) di bawah [rata-rata](#def-g11-stat-mean) berat *bayi seusianya* — ringan yang mengkhawatirkan bagi kelompoknya. Kilogram mentah tidak dapat dibandingkan antarusia (semua bayi bertambah berat); [skor-z](#pb-g11-stat-1) mengukur setiap anak terhadap kelompok usianya sendiri, satu penggaris untuk semua usia.

**10.** [Rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) $5$; [rata-rata](#def-g11-stat-mean) kuadratnya $\frac{622}{10} = 62.2$, [ragamnya](#def-g11-stat-variance) $37.2$, $\sigma \approx 6.10$; $z(23) = \frac{18}{6.10} \approx 2.95$: tepat di bawah ambang peringatannya — ujinya nyaris tidak berkedip.

**11.** Tanpa $23$: [rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) $3$, [ragamnya](#def-g11-stat-variance) $\frac{93}{9} - 9 \approx 1.33$, $\sigma \approx 1.15$; terhadap penggaris yang bersih itu, $23$ memperoleh skor $z \approx \frac{20}{1.15} \approx 17$: sebuah raksasa. Pencilan itu menggelembungkan [rata-rata](#def-g11-stat-mean) sekaligus $\sigma$, sehingga menyamarkan dirinya sendiri — dan itulah sebabnya [Latihan 17.10](#exo-g11-stat-10) menganjurkan ringkasan yang kekar ([median](#def-g11-stat-median), [jangkauan antarkuartil](#def-g11-stat-quartiles)) ketika pencemaran data mengancam.

**12.** Pada jumlah [ragamnya](#def-g11-stat-variance), $\sigma^2 = \frac1N \sum (x_i - \bar x)^2$, simpanlah hanya suku dengan $\abs{x_i - \bar x} \geq k\sigma$: ada $pN$ suku semacam itu, masing-masing paling sedikit $(k\sigma)^2$, sehingga $\sigma^2 \geq \frac{1}{N} \cdot pN \cdot k^2\sigma^2 =
p\,k^2\sigma^2$: bagilah dengan $k^2 \sigma^2$ (sebarannya taknol): $p \leq \frac{1}{k^2}$.

**13.** Di luar $2\sigma$: paling banyak $\frac14 = 25\,\%$ dari kumpulan data apa pun; di luar $3\sigma$: paling banyak $\frac19 \approx 11\,\%$. Data pertanyaan 1: berjarak lebih dari $2\sigma = 4$ dari [rata-rata](#def-g11-stat-mean) $5$ berarti $\leq 1$ atau $\geq 9$: tidak satu pun dari kelima nilainya — $0\,\% \leq 25\,\%$, seperti dijanjikan.

**14.** Berada di luar $\intcc{49.7}{50.3}$ berarti melampaui $3\sigma$: paling banyak $\frac19$ dari produksinya, *apa pun* bentuk sebarannya — Chebyshev tidak menuntut apa-apa selain sebuah [rata-rata](#def-g11-stat-mean) dan sebuah $\sigma$. Produksi yang berbentuk lonceng memusat jauh lebih baik (sekitar $0.3\,\%$ di luar $3\sigma$): itulah hukum normal tahun berikutnya.

**15.** Angka $-19\,\%$ terletak $24$ satuan di bawah [rata-rata](#def-g11-stat-mean) $5$. Dana B: $24 = 2\sigma_B$: Chebyshev mengizinkan sampai $\frac14$ tahun seburuk itu. Dana A: $24 = 12\sigma_A$: paling banyak $\frac{1}{144}$. [Rata-ratanya](#def-g11-stat-mean) sama, bahayanya tak sebanding — dan $\sigma$ itulah yang disebut dunia keuangan sebagai *risiko* (atau kegolakan).

**16.** Jabarkan di sekitar $\bar x$: $(x_i - c)^2 = \left((x_i - \bar x) + (\bar x - c)\right)^2
= (x_i - \bar x)^2 + 2(\bar x - c)(x_i - \bar x) +
(\bar x - c)^2$. Setelah dirata-ratakan: suku tengahnya mati (simpangan terhadap [rata-rata](#def-g11-stat-mean) berjumlah nol), sehingga tersisa $f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2$ — yang [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) tepat di $c = \bar x$, dengan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $\sigma^2$. Jadi [rata-rata](#def-g11-stat-mean) adalah pusat kuadrat terkecil, sebagaimana [median](#def-g11-stat-median) adalah pusat [nilai mutlak](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-abs) terkecil ([Soal 8.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#pb-g10-stats-1)).

**17.** Secara langsung: simpangan terhadap $6$ adalah $-2, 2, 0, -1, -4$, kuadratnya $4, 4, 0, 1, 16$: $f(6) = \frac{25}{5} = 5$. Lewat rumusnya: $\sigma^2 + (5 - 6)^2 = 4 + 1 = 5$. Cocok.

**18.** Keduanya berrata-rata $7$; [ragamnya](#def-g11-stat-variance): $P$: $\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$; $Q$: $\frac{36 + 0 + 0 + 0 + 36}{5} = 14.4$: jadi sebaran yang berbeda di balik satu [rata-rata](#def-g11-stat-mean). Untuk $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$: [ragam](#def-g11-stat-variance) $\frac{2a^2}{5} = 8$ memberi $a = \sqrt{20} \approx 4.47$: jadi kumpulan data $\{2.53, 7, 7, 7, 11.47\}$ mengusung [rata-rata](#def-g11-stat-mean) dan [ragam](#def-g11-stat-variance) $P$ yang persis sama, tetapi dengan profil yang sama sekali berbeda — ringkasan memampatkan, dan pemampatan selalu kehilangan.

**19.** $\sigma^2 = 0$ berarti jumlah kuadrat $(x_i - \bar x)^2$ lenyap; kuadratnya $\geq 0$, sehingga jumlah yang bernilai nol memaksa setiap sukunya nol: $x_i = \bar x$ untuk semua $i$ — jadi semua nilainya sama.

**20.** Ukuran pemusatan mengatakan di mana datanya tinggal; ukuran penyebaran mengatakan seberapa longgar; [skor-z](#pb-g11-stat-1) membentangkan satu penggaris melintasi semua kumpulan data, ujian, usia dan mata uang; Chebyshev mengubah $\sigma$ menjadi jaminan tanpa syarat; dan pertanyaan 18 menjaga kejujuran kita — tidak ada segenggam bilangan yang pernah memuat seluruh kisahnya. Tahun berikutnya kurva lonceng mempertajam penggaris itu menjadi peluang yang eksak.