---
title: "Peluang dan Peubah Acak"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 18
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak
---

# Bab 18 — Peluang dan Peubah Acak

Peluang memodelkan percobaan yang hasilnya tidak pasti: lemparan dadu, kartu yang diambil, permainan yang dimainkan. Bab ini menyiapkan kosakatanya pada himpunan berhingga, lalu memperkenalkan tokoh utama seluruh teori peluang: *[peubah acak](#def-g11-prob-rv)* dan *[nilai harapannya](#def-g11-prob-expectation)*. Gagasan ini ditinjau ulang dan diperdalam pada [Bab 33](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/33-peubah-acak-dan-distribusi-binomial#ch-g12-randvar), dan peluang bersyarat menyusul pada [Bab 32](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/32-peluang-bersyarat-dan-kebebasan#ch-g12-condprob).

## 18.1 Peluang pada himpunan berhingga

**Definisi 18.1 (Model peluang).**

Percobaan dengan berhingga banyak hasil dimodelkan oleh *ruang sampelnya* $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (himpunan hasilnya) beserta sebuah *peluang* $\P$ yang memberikan kepada setiap hasil $\omega_i$ sebuah bilangan $p_i \geq 0$, dengan $p_1 + \dots + p_n = 1$. Sebuah *kejadian* adalah himpunan bagian $A \subseteq \Omega$, dan

$$
\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .
$$

Ketika semua hasilnya sama-sama mungkin ($p_i = \frac1n$: *model seragam*),

$$
\P(A) = \frac{\text{banyaknya hasil dalam } A}
{\text{banyaknya hasil dalam } \Omega}.
$$

**Contoh 18.2.**

Lemparlah dua dadu yang dapat dibedakan: $\Omega$ adalah himpunan $36$ pasangan terurut $(i, j)$ dengan $1 \leq i, j \leq 6$, semuanya sama-sama mungkin. [Kejadian](#def-g11-prob-model) $S$ = “jumlahnya $7$” memuat $6$ pasangan $(1,6)$, $(2,5)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(5,2)$, $(6,1)$, sehingga $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$. [Kejadian](#def-g11-prob-model) “jumlahnya $12$” hanya memuat $(6,6)$: peluangnya $\frac{1}{36}$. Memilih [ruang sampel](#def-g11-prob-model) yang *tepat* — pasangan terurut, bukan takterurut — itulah yang membuat [model seragamnya](#def-g11-prob-model) dapat diterapkan.

**Proposisi 18.3 (Aturan peluang).**

Untuk [kejadian](#def-g11-prob-model) $A, B \subseteq \Omega$:

$$
\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad
\P(\bar A) = 1 - \P(A),
$$

$$
\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),
$$

dengan $\bar A$ adalah *[komplemen](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/9-peluang-dan-penyampelan#def-g10-proba-operations)* $A$ (semua hasil yang tidak dalam $A$). Khususnya, $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ ketika $A$ dan $B$ *[saling lepas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/9-peluang-dan-penyampelan#def-g10-proba-operations)* ($A \cap B = \emptyset$).

**Bukti.** [Kejadian](#def-g11-prob-model) kosong tidak memuat hasil apa pun (jumlah kosong), dan $\Omega$ memuat semuanya (jumlah totalnya $1$). Setiap hasil berada tepat pada salah satu dari $A$ dan $\bar A$, sehingga $\P(A) + \P(\bar A) = 1$. Untuk gabungannya: menjumlahkan $p_i$ atas $A$ lalu atas $B$ membilang hasil dalam $A \cap B$ dua kali; mengurangkan $\P(A \cap B)$ membetulkan penghitungan gandanya. ∎

**Contoh 18.4.**

Di sebuah kelas, $60\%$ belajar musik ($M$), $45\%$ berolahraga ($S$), dan $25\%$ melakukan keduanya. Bagian yang melakukan paling sedikit satu di antaranya adalah $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$, sehingga $20\%$ tidak melakukan keduanya ([komplemennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/9-peluang-dan-penyampelan#def-g10-proba-operations)).

## 18.2 Peubah acak

**Definisi 18.5 (Peubah acak, distribusi).**

Sebuah *peubah acak* pada $\Omega$ adalah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $X$ yang memberikan sebuah bilangan kepada setiap hasil. Yang disebut *distribusi* peubah itu adalah tabel nilai yang mungkin $x_1, \dots, x_k$ beserta peluangnya

$$
\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr),
\qquad
\sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .
$$

**Contoh 18.6.**

Sebuah permainan: bayar $2$ euro, lempar satu dadu setimbang, terimalah nilai mata yang muncul bila paling sedikit $5$, dan tidak menerima apa-apa selain itu. Misalkan $G$ *keuntungannya* (yang diterima dikurangi yang dibayar). Hasil $1, 2, 3, 4$ memberi $G = -2$; hasil $5$ memberi $G = 3$; hasil $6$ memberi $G = 4$. [Distribusi](#def-g11-prob-rv) $G$:

| $g$ | $-2$ | $3$ | $4$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(G = g)$ | $\dfrac46$ | $\dfrac16$ | $\dfrac16$ |

**Metode 18.7 (Menyusun tabel distribusi).**

Daftarkan nilai $X$ yang mungkin; untuk setiap nilai, kumpulkan hasil yang menghasilkannya lalu jumlahkan peluangnya; periksalah bahwa baris peluangnya berjumlah $1$.

## 18.3 Nilai harapan

**Definisi 18.8 (Nilai harapan).**

*Nilai harapan* (atau rata-rata) $X$ adalah rata-rata nilainya yang dibobot oleh peluangnya:

$$
\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .
$$

**Catatan 18.9.**

$\E(X)$ adalah rata-rata yang akan diperoleh dari pengulangan percobaan itu yang sangat banyak dan saling bebas — versi tepat pernyataan ini adalah hukum bilangan besar, yang dibuktikan pada [Bab 34](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/34-jumlah-peubah-acak-dan-hukum-bilangan-besar#ch-g12-sums). Perhatikan keserupaan bentuknya dengan rata-rata sebuah kumpulan data berfrekuensi ([Definisi 17.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-mean)): peluang berperan sebagai [frekuensi relatif](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/8-statistika-deskriptif#def-g10-stats-series) $\frac{n_i}{n}$.

**Contoh 18.10.**

Untuk permainan pada [Contoh 18.6](#ex-g11-prob-game):

$$
\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4
= \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .
$$

Secara rata-rata pemainnya rugi kira-kira $17$ sen setiap permainan: jadi permainan itu merugikan. Sebuah permainan disebut *adil* bila harapan keuntungannya $0$.

**Proposisi 18.11 (Kelinearan).**

Untuk semua [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $a, b$:

$$
\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .
$$

**Bukti.** Peubah $aX + b$ mengambil nilai $a x_i + b$ dengan peluang $\P(X = x_i)$, sehingga

$$
\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b)
= a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X =
x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .
$$

∎

## 18.4 Ragam dan simpangan baku

**Definisi 18.12 (Ragam).**

*Ragam* $X$ mengukur sebaran nilainya di sekitar [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation) $m = \E(X)$:

$$
\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr)
= \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2,
\qquad
\sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .
$$

**Proposisi 18.13 (Rumus jalan pintas).**

$$
\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .
$$

**Bukti.** Jabarkan $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ di dalam jumlahnya:

$$
\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2
- 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i)
= \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,
$$

yang sama dengan $\E(X^2) - m^2$. Inilah versi [peubah acak](#def-g11-prob-rv) dari identitas yang dibuktikan untuk kumpulan data pada [Proposisi 17.7](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#prop-g11-stat-shortcut). ∎

**Proposisi 18.14 (Transformasi afin).**

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ dan $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$.

**Bukti.** Menurut kelinearannya, $aX + b$ menyimpang dari [nilai harapannya](#def-g11-prob-expectation) $a m + b$ sebesar $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$: jadi setiap simpangannya terskalakan dengan $a$, sehingga setiap kuadrat simpangannya terskalakan dengan $a^2$, dan begitu pula rata-rata berbobotnya. Pergeseran $b$ lenyap — menggeser sebuah peubah tidak mengubah sebarannya. ∎

**Contoh 18.15.**

Untuk permainan pada [Contoh 18.6](#ex-g11-prob-game): $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16
= \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$, sehingga

$$
\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2
= \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8,
\qquad
\sigma(G) \approx 2.6 .
$$

Kerugian $0.17$ per permainan secara rata-rata itu datang bersama ayunan sebesar $2.6$ euro — jadi [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation) tanpa [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) hanya menceritakan separuh kisahnya.

![Distribusi keuntungan G pada , dan nilai harapannya (G) = -1/6 (putus-putus): yaitu titik seimbang massa peluangnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-prob/fig-10cbaf11787d.svg)

*[Distribusi](#def-g11-prob-rv) keuntungan $G$ pada [Contoh 18.6](#ex-g11-prob-game), dan [nilai harapannya](#def-g11-prob-expectation) $\E(G) = -\frac16$ (putus-putus): yaitu titik seimbang massa peluangnya.*

## 18.5 Latihan

**Latihan 18.1 ★.**

Sehelai kartu diambil dari satu set $52$ kartu baku. Hitunglah peluang mengambil: sehelai hati; seorang raja; sehelai hati atau seorang raja; bukan hati dan bukan pula raja.

**Solusi Latihan 18.1.**

[Model seragam](#def-g11-prob-model) pada $52$ kartu. Hati: $\frac{13}{52} = \frac14$. Raja: $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$. Hati atau raja: $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (raja hati terhitung sekali). Bukan keduanya: $1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$.

**Latihan 18.2 ★.**

Dua dadu setimbang dilempar dan jumlah matanya $S$ dicatat. Dengan model $36$ hasil pada [Contoh 18.2](#ex-g11-prob-twodice), hitunglah $\P(S = 6)$, $\P(S \geq 10)$ dan $\P(S \text{ genap})$.

**Solusi Latihan 18.2.**

$S = 6$: pasangan $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$, sehingga $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$.

$S \geq 10$: tiga pasangan untuk $10$, dua untuk $11$, satu untuk $12$: $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$.

$S$ genap: jumlah $2, 4, 6, 8, 10, 12$ mempunyai $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ pasangan: peluangnya $\frac{18}{36} = \frac12$.

**Latihan 18.3 ★.**

Sebuah [peubah acak](#def-g11-prob-rv) mempunyai [distribusi](#def-g11-prob-rv)

| $x$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\P(X=x)$ | $0.3$ | $0.2$ | $0.4$ | $p$ |

Carilah $p$, lalu hitunglah $\E(X)$.

**Solusi Latihan 18.3.**

Peluangnya berjumlah $1$: $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$. Lalu

$$
\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5
= -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .
$$

**Latihan 18.4 ★.**

$X$ memenuhi $\E(X) = 3$ dan $\V(X) = 4$. Berikan [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation), [ragam](#def-g11-prob-variance) dan [simpangan baku](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/17-statistika-deskriptif#def-g11-stat-variance) $Y = 2X - 5$.

**Solusi Latihan 18.4.**

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$; $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$; $\sigma(Y) = 4$.

**Latihan 18.5 ★★.**

Sebuah roda keberuntungan mempunyai $10$ juring yang sama: $5$ bertuliskan $0$ euro, $3$ bertuliskan $2$ euro, $2$ bertuliskan $5$ euro. Bermain berbiaya $2$ euro. Berikan [distribusi](#def-g11-prob-rv) keuntungan $G$ (perolehan dikurangi taruhan), hitunglah $\E(G)$, lalu putuskan apakah permainannya menguntungkan.

**Solusi Latihan 18.5.**

Perolehannya $0$, $2$, $5$ euro dengan peluang $0.5$, $0.3$, $0.2$; setelah dikurangi taruhan $2$ euro, $G$ mengambil nilai $-2, 0, 3$:

| $g$ | $-2$ | $0$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(G=g)$ | $0.5$ | $0.3$ | $0.2$ |

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$: pemainnya rugi $40$ sen per permainan secara rata-rata — jadi merugikan.

**Latihan 18.6 ★★.**

Sebuah guci berisi $3$ bola merah dan $2$ bola biru; dua bola diambil *tanpa* pengembalian. Misalkan $X$ banyaknya bola merah yang terambil. Susunlah [distribusi](#def-g11-prob-rv) $X$ (daftarkan $20$ pengambilan terurutnya, atau pakailah sebuah [pohon](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/9-peluang-dan-penyampelan#met-g10-proba-tree)), lalu hitunglah $\E(X)$.

**Solusi Latihan 18.6.**

Mengambil secara berurutan: $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (merah lalu merah); $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$ (biru lalu biru); sehingga $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$. Lalu

$$
\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10}
= \frac{12}{10} = 1.2 ,
$$

yang sesuai dengan gerak hati: $\frac35$ dari kedua pengambilan itu merah secara rata-rata.

**Latihan 18.7 ★★.**

Untuk roda pada [Latihan 18.5](#exo-g11-prob-5), hitunglah $\V(G)$ dan $\sigma(G)$.

**Solusi Latihan 18.7.**

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$, sehingga menurut rumus jalan pintasnya $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ dan $\sigma(G) \approx 1.9$ euro.

**Latihan 18.8 ★★.**

Sebuah perusahaan asuransi menjual polis seharga $80$ euro. Dengan peluang $0.05$ nasabahnya mengeklaim $1000$ euro, dengan peluang $0.01$ nasabahnya mengeklaim $5000$ euro, dan selain itu tidak ada klaim. Misalkan $B$ manfaat yang diperoleh perusahaan dari satu polis. Berikan [distribusi](#def-g11-prob-rv) $B$, hitunglah $\E(B)$, lalu tafsirkan.

**Solusi Latihan 18.8.**

Manfaatnya adalah $80$ dikurangi klaimnya:

| $b$ | $80$ | $-920$ | $-4920$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(B=b)$ | $0.94$ | $0.05$ | $0.01$ |

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$: pada harga ini perusahaannya *rugi* $20$ euro per polis secara rata-rata. Preminya terlalu rendah untuk risiko yang ditanggung (preminya harus melampaui $100$ euro agar harapan manfaatnya positif).

**Latihan 18.9 ★★.**

Sebuah soal pilihan ganda mempunyai $4$ jawaban, satu di antaranya benar. Jawaban benar bernilai $+1$; untuk mencegah terkaan, jawaban salah bernilai $x < 0$. Seorang siswa menjawab secara acak. Untuk nilai $x$ yang mana harapan nilai siswa itu sama dengan nol?

**Solusi Latihan 18.9.**

Nilai acaknya adalah $+1$ dengan peluang $\frac14$ dan $x$ dengan peluang $\frac34$:

$$
\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .
$$

Dengan denda $-\frac13$, menerka secara acak tidak membawa apa-apa secara rata-rata.

**Latihan 18.10 ★★.**

Dua koin setimbang dilempar. Ani mengusulkan: “jika kedua koinnya sama, saya membayarmu $1$ euro; jika berbeda, kamu membayarku $1$ euro.” Hitunglah harapan keuntungan setiap pemain. Apakah permainannya adil? Pertanyaan yang sama dengan tiga koin, dengan Ani membayar $2$ euro bila ketiganya sama.

**Solusi Latihan 18.10.**

Dua koin: keduanya sama (GG atau AA) dengan peluang $\frac24 \times 2 =
\frac12$. Keuntungan pemainnya $+1$ atau $-1$ dengan peluang yang sama: jadi [nilai harapannya](#def-g11-prob-expectation) $0$ untuk kedua pemain — permainannya adil.

Tiga koin: ketiganya sama (GGG atau AAA) dengan peluang $\frac{2}{8} =
\frac14$. Pemainnya menerima $2$ dengan peluang $\frac14$ dan membayar $1$ dengan peluang $\frac34$: $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$. Permainan itu menguntungkan Ani sebesar $25$ sen per ronde; permainannya akan adil bila ia membayar $3$ euro untuk ketiganya sama.

**Latihan 18.11 ★★★.**

Sebuah undian menjual $1000$ karcis seharga $5$ euro masing-masing. Satu karcis memenangkan $2000$ euro, lima karcis memenangkan $200$ euro, dan dua puluh karcis memenangkan $25$ euro.

1. Berikan [distribusi](#def-g11-prob-rv) pendapatan total penyelenggara dikurangi hadiahnya, dan [distribusi](#def-g11-prob-rv) keuntungan $G$ seorang pemain.
2. Hitunglah $\E(G)$ dan total harapan laba penyelenggaranya. Periksalah bahwa kedua jawabannya taat asas.

**Solusi Latihan 18.11.**

*1.* Penyelenggaranya menerima $1000 \times 5 = 5000$ euro dan membayarkan $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ euro seluruhnya: jadi labanya adalah *konstanta* $1500$ (tanpa keacakan sama sekali begitu semua karcisnya terjual). Keuntungan $G$ seorang pemain (hadiah dikurangi karcis $5$ euro):

| $g$ | $1995$ | $195$ | $20$ | $-5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\P(G=g)$ | $\dfrac{1}{1000}$ | $\dfrac{5}{1000}$ | $\dfrac{20}{1000}$ | $\dfrac{974}{1000}$ |

*2.*

$$
\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000}
= \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .
$$

Setiap pemain berharap rugi $1.50$ euro; atas $1000$ pemain jumlahnya $1500$ euro — persis sama dengan laba penyelenggaranya. Bukunya seimbang: apa yang rugi bagi pemain secara rata-rata persis sama dengan apa yang dipungut penyelenggaranya.

## 18.6 Soal: Permainan yang tak selesai

**Soal 18.1.**

Soal akhir pekan — Pascal, Fermat dan pembagian adil sebuah taruhan yang terhenti: kelahiran nilai harapan, keajaiban kelinearan, dan apa yang tak terlihat oleh nilai harapan

Pada tahun 1654 Chevalier de Méré — penjudi yang sama, yang taruhan dadunya membuka soal peluang di jilid sebelumnya — mengajukan pertanyaan yang lebih dalam kepada Blaise Pascal: dua pemain yang sama mahirnya harus menghentikan rangkaian permainannya pada kedudukan $5$ lawan $3$, sedangkan enam kemenangan mengambil taruhan $64$ pistole. *Bagaimana taruhan itu harus dibagi secara adil?* Surat-menyurat antara Pascal dan Fermat yang menjawabnya mendirikan gagasan yang menjadi inti bab ini: [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation) ([Definisi 18.8](#def-g11-prob-expectation)). Kamu akan menurunkan ulang jawaban mereka dengan kedua cara, lalu berjumpa dengan sulap kelinearan dan satu titik buta [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation).

**Bagian I — Kefasihan dengan [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation).**

1. Lemparlah dadu setimbang; keuntunganmu adalah (mata dadu $- 3$ ) euro. Susunlah tabel [distribusi](#def-g11-prob-rv) keuntungan $G$ ( [Metode 18.7](#met-g11-prob-table) ) lalu hitunglah $\E(G)$ .
2. Hitunglah $V(G)$ dengan rumus jalan pintasnya ( [Proposisi 18.13](#prop-g11-prob-konig) ) dan $\sigma(G)$ (dua angka desimal).
3. Tanpa tabel baru apa pun, berikan $\E(2G - 1)$ dan $V(2G - 1)$ ( [Proposisi 18.14](#prop-g11-prob-affine) ).
4. Sebuah lapak menarik $m$ euro untuk melempar dua dadu lalu menyerahkan jumlah matanya kepadamu dalam euro. Berapa harga $m$ yang *adil* ? Lapak itu menarik $8$ : berapa harapan kerugianmu per permainan?
5. Sebuah laptop seharga $800$ euro mempunyai peluang $5\,\%$ rusak total setiap tahun. Hitunglah premi asuransi yang adil, dan harapan laba penjamin per polis bila ia menarik $60$ euro.

**Bagian II — Membagi taruhannya.** Kedudukannya $5$–$3$, yang lebih dahulu mencapai $6$ mengambil $64$ pistole, dan setiap ronde adalah lemparan koin yang setimbang.

6. Dua jawaban keliru yang menggoda: bagilah $5 : 3$ (sebanding dengan ronde yang dimenangkan), atau berikan semuanya kepada yang unggul. Katakan dalam satu kalimat untuk masing-masing apa yang tidak adil padanya.
7. Metode Fermat: pemain A butuh $1$ kemenangan lagi, B butuh $3$ ; bayangkan bermain tepat $3$ ronde lagi apa pun yang terjadi. Daftarkan $8$ hasil yang sama-sama mungkin, tandai siapa yang menang rangkaiannya pada masing-masing, lalu simpulkan pembagian adil $64$ pistole itu.
8. Butir halus yang harus dibela Fermat: permainan yang sesungguhnya mungkin berhenti setelah satu ronde — lalu mengapa bernalar atas semua $3$ ronde khayalan itu tetap sah?
9. Metode Pascal, mundur dari ujungnya: hitunglah bagian adil A pada kedudukan (khayalan) $5$ – $5$ , lalu $5$ – $4$ , lalu $5$ – $3$ , setiap kali dengan merata-ratakan kedua masa depan yang sama-sama mungkin. Bandingkan dengan pertanyaan 7.
10. Pertanyaan yang sama pada kedudukan $4$ – $3$ : berapa ronde khayalan, hasil mana yang memberi rangkaiannya kepada B, dan berapa pembagian adilnya?
11. Nyatakan asas yang dibagi kedua metode itu — nilai adil sebuah masa depan yang tak pasti adalah *[nilai harapannya](#def-g11-prob-expectation)* — lalu sebutkan dua industri modern yang seluruhnya berjalan atasnya (pertanyaan 5 memperlihatkan salah satunya).
12. Sebuah pemeriksaan kewarasan untuk setiap kedudukan: jelaskan, dengan kelinearan [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation) ( [Proposisi 18.11](#prop-g11-prob-linearity) ), mengapa bagian adil kedua pemain harus selalu berjumlah tepat sama dengan taruhan $64$ pistole itu.

**Bagian III — Sulap kelinearan.**

13. Temukan kembali $\E(\text{jumlah dua dadu}) = 7$ hanya dalam satu baris dengan kelinearan ( [Proposisi 18.11](#prop-g11-prob-linearity) ), tanpa tabel $36$ sel. Untuk *[ragam](#def-g11-prob-variance)* jumlahnya, aturan $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ menuntut dadunya saling bebas (diterima tanpa bukti): hitunglah.
14. Pesta penitipan topi: $n$ tamu melemparkan topinya ke dalam satu tumpukan lalu masing-masing mengambil satu kembali secara acak. Misalkan $X$ membilang tamu yang memperoleh topinya sendiri. Untuk satu tamu tertentu, berapa peluang memperoleh topinya sendiri? Dengan menjumlahkan $n$ peluang itu (kelinearan!), hitunglah $\E(X)$ . Jawabannya semestinya mengejutkan: nilainya tidak bergantung pada $n$ .
15. Periksalah $\E(X) = 1$ secara paksa untuk $n = 2$ dan $n = 3$ (daftarkan $2$ dan $6$ penugasan topi yang sama-sama mungkin lalu rata-ratakan cacahnya).
16. Perolehan topi para tamu jauh dari saling bebas (jika $n - 1$ tamu memperoleh topinya sendiri, maka tamu terakhir pun pasti memperolehnya). Di bagian mana persisnya perhitungan pertanyaan 14 *tidak* menuntut kebebasan? Nyatakan kekuatan super kelinearannya.

**Bagian IV — Apa yang tak terlihat oleh [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation).**

17. Dua kartu gosok seharga $5$ euro: kartu A memenangkan $10$ euro dengan peluang $\frac12$ ; kartu B memenangkan $1\,000$ euro dengan peluang $0.005$ . Periksalah bahwa kedua keuntungannya mempunyai [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation) yang sama, lalu hitunglah kedua [ragamnya](#def-g11-prob-variance) . Kartu mana yang sungguh dibeli orang, dan apa sebenarnya yang mereka beli?
18. Permainan St Petersburg: lempar koin sampai angka pertama muncul; jika angka pertamanya muncul pada lemparan ke- $n$ kamu menerima $2^n$ euro. Hitunglah sumbangan setiap $n$ pada [nilai harapannya](#def-g11-prob-expectation) dan [nilai harapannya](#def-g11-prob-expectation) sendiri. Maukah kamu membayar $1\,000$ euro untuk bermain sekali? Apa yang diajarkan benturan itu tentang [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation) ?
19. Asuransi dari sisi nasabah: membayar $20$ euro, atau menghadapi risiko $1\,\%$ kehilangan $1\,000$ ? Bandingkan kedua [nilai harapannya](#def-g11-prob-expectation) , lalu jelaskan mengapa membeli asuransi tetap dapat masuk akal (apa yang tidak dapat “dirata-ratakan” oleh satu keluarga?).
20. Penutup — riwayat hidup [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation) , satu kalimat untuk setiap babnya: lahir pada tahun 1654 untuk membagi taruhan; kekuatan supernya, yaitu kelinearan, yang menjumlahkan [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation) tanpa menuntut kebebasan (topi tadi); titik butanya, yaitu risiko, yang diukur oleh [ragam](#def-g11-prob-variance) (kartu gosok, St Petersburg, asuransi); dan penobatannya tahun berikutnya, ketika hukum bilangan besar menjelaskan tepatnya mengapa bandar selalu menang.

**Solusi Soal 18.1.**

**1.** $G$ mengambil $-2, -1, 0, 1, 2, 3$, masing-masing dengan peluang $\frac16$: $\E(G) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2 +
3}{6} = \frac12$ euro.

**2.** $\E(G^2) = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{6} =
\frac{19}{6}$; $V(G) = \frac{19}{6} - \frac14 = \frac{35}{12}
\approx 2.92$; $\sigma(G) \approx 1.71$.

**3.** $\E(2G - 1) = 2 \times \frac12 - 1 = 0$; $V(2G - 1) = 4\,V(G) = \frac{35}{3}$.

**4.** $\E(\text{jumlahnya}) = 7$: jadi harga adilnya $7$ euro. Pada $8$, harapan kerugiannya $1$ euro per permainan.

**5.** Premi adilnya: $0.05 \times 800 = 40$ euro. Dengan menarik $60$: harapan labanya $20$ euro per polis.

**6.** Membagi $5:3$ mengganjar *masa lalu* — padahal taruhannya menjadi milik siapa pun yang memenangkan *masa depan*, dan B masih mungkin menang. Memberikan semuanya kepada A memperlakukan kemenangan yang mungkin sebagai kemenangan yang pasti — padahal peluang kecil B tetap ada harganya.

**7.** Ronde yang dimainkan: $3$; hasilnya (A menang atau B menang per ronde): AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. Pemain B merebut rangkaiannya hanya dengan memenangkan ketiganya: yaitu BBB saja. A memenangkan rangkaiannya pada $7$ dari $8$ kasus: jadi pembagian adilnya $64 \times \frac78 = 56$ pistole untuk A, dan $8$ untuk B.

**8.** Memainkan ronde tambahan yang tidak berguna itu tidak mengubah kemenangan siapa pun: begitu A memperoleh kemenangan keenamnya, ronde berikutnya tinggal upacara. Namun mematok cakrawalanya tepat pada $3$ ronde membuat semua $8$ hasilnya sama-sama mungkin — pembilangan yang jujur menuntut cerita yang sama panjangnya, dan memanjangkannya tidak berongkos apa pun.

**9.** Pada $5$–$5$: satu ronde penentu, $32$ untuk masing-masing. Pada $5$–$4$: A memperoleh $\frac{64 + 32}{2} = 48$. Pada $5$–$3$: ronde berikutnya membawa ke $64$ (bila A memenangkannya) atau ke kedudukan $5$–$4$ yang bernilai $48$: jadi bagian A adalah $\frac{64 + 48}{2} = 56$ — yaitu $56 : 8$ milik Fermat, yang diturunkan ulang dengan berjalan mundur.

**10.** A butuh $2$, B butuh $3$: mainkan $4$ ronde khayalan ($16$ hasil). B merebut rangkaiannya dengan $3$ atau $4$ kemenangan B: yaitu $4 + 1 = 5$ hasil. Pembagiannya: $B$: $64 \times \frac{5}{16} = 20$; $A$: $44$.

**11.** Nilai kini yang adil bagi imbalan masa depan yang tak pasti adalah [nilai harapannya](#def-g11-prob-expectation) — yaitu rata-rata berbobot peluang atas apa yang mungkin datang. Asuransi (pertanyaan 5) dan keuangan (memberi harga pada imbalan yang tak pasti) adalah kalimat itu yang diubah menjadi industri; demikian pula kasino, dari sisi meja yang lain.

**12.** Taruhannya selalu berakhir di suatu tempat: kedua bagiannya adalah [peubah acak](#def-g11-prob-rv) yang berjumlah konstanta $64$, sehingga menurut kelinearan $\E_A + \E_B = 64$ — jadi bagian yang adil menghabiskan taruhannya, pada kedudukan mana pun.

**13.** Kelinearan: $\E(X + Y) = 3.5 + 3.5 = 7$, tanpa tabel — benar bahkan untuk dadu yang direkatkan. [Ragam](#def-g11-prob-variance) satu dadu: $\E(X^2) - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$; untuk dadu yang saling bebas $V(X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$.

**14.** Setiap tamu tertentu memperoleh topinya sendiri dengan peluang $\frac1n$ (topinya satu di antara $n$). Setelah dijumlahkan atas $n$ tamu: $\E(X) = n \times \frac1n = 1$ — jadi rata-rata satu tamu yang beruntung, entah di pesta berisi dua topi entah dua ribu topi.

**15.** $n = 2$: penugasannya: keduanya tepat ($X = 2$) atau tertukar ($X = 0$): $\E = 1$. $n = 3$: keenam penugasannya memberi $X = 3, 1, 1, 1, 0, 0$: $\E = \frac{6}{6} = 1$.

**16.** Perhitungannya menjumlahkan [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation) $n$ penunjuk perorangan (“tamu $i$ memperoleh topinya”), dan kelinearan menjumlahkan [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation) *tanpa syarat* — kebergantungan akan merusak sebuah hasil kali atau sebuah [ragam](#def-g11-prob-variance), tetapi tidak pernah merusak jumlah [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation). Itulah kekuatan super kelinearan: tanpa pertanyaan tentang kebebasan sama sekali.

**17.** Kedua keuntungannya: $\E = 0.5 \times 10 - 5 = 0$ dan $0.005 \times 1000 - 5 = 0$. [Ragamnya](#def-g11-prob-variance) (bagi keuntungannya): A: $\E(G^2) = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$; B: $0.005 \times 995^2 + 0.995 \times 25 \approx 4\,975$: jadi $\sigma_A = 5$, $\sigma_B \approx 70.5$. Orang membeli B: yang mereka beli bukan [nilai harapan](#def-g11-prob-expectation) (nol pada keduanya) melainkan *sebarannya* — yaitu peluang kecil untuk ekor kanan yang mengubah hidup.

**18.** Angka pertama muncul pada lemparan ke-$n$ dengan peluang $2^{-n}$ dan membayar $2^n$: jadi setiap $n$ menyumbang $2^{-n} \times 2^n = 1$ pada [nilai harapannya](#def-g11-prob-expectation), yang karena itu bernilai $1 + 1 + 1 + \dots$: takhingga. Namun tidak ada orang waras yang membayar $1\,000$ untuk bermain sekali: dengan peluang $\frac{15}{16}$ pembayarannya paling besar $16$. [Nilai harapan](#def-g11-prob-expectation) meringkas jangka panjang taruhan yang *dapat diulang*; permainan sekali seumur hidup dengan ekor yang liar tidak diberi harga oleh rata-ratanya.

**19.** [Nilai harapannya](#def-g11-prob-expectation): berasuransi $-20$; tanpa asuransi $-0.01 \times 1000 = -10$. Strategi telanjang itu menang secara rata-rata — bagi orang yang sanggup menyerap kerugiannya dan mengulang taruhannya berkali-kali. Sebuah keluarga yang tidak dapat bertahan dari $-1\,000$ tidak berada dalam usaha merata-ratakan: keluarga itu membayar $10$ lebih banyak untuk menghapus [ragamnya](#def-g11-prob-variance). Penjamin merata-ratakan; rumah tangga membeli kepastian.

**20.** Lahir untuk membagi taruhan di antara dua penjudi yang tak sabar; diberdayai oleh kelinearan, yang menjumlahkan harapan tanpa meminta izin kepada kebergantungan; buta terhadap risiko, yang justru harus diukur oleh [ragam](#def-g11-prob-variance) — undian, permainan Petersburg, polis keluarga tadi; lalu dinobatkan tahun berikutnya oleh hukum bilangan besar, yang menjelaskan mengapa rata-ratanya selalu, pada akhirnya, tertagih.