---
title: "Aljabar: Persamaan dan Pertidaksamaan"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 2
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan
---

# Bab 2 — Aljabar: Persamaan dan Pertidaksamaan

Aljabar adalah seni berhitung dengan huruf. Bab ini mengulang dan mempertajam dua langkah dasarnya — [menjabarkan](#def-g10-algebra-expand) dan [memfaktorkan](#def-g10-algebra-expand) — lalu memakai keduanya untuk menyelesaikan [persamaan](#def-g10-algebra-equation) dan pertidaksamaan secara sistematis, dengan [tabel tanda](#def-g10-algebra-signtable) sebagai alat utamanya.

## 2.1 Menjabarkan dan memfaktorkan

**Definisi 2.1 (Menjabarkan, memfaktorkan).**

*Menjabarkan* sebuah bentuk aljabar berarti mengubah hasil kali menjadi jumlah; *memfaktorkan* berarti sebaliknya, mengubah jumlah menjadi hasil kali. Aturan dasarnya adalah sifat distributif:

$$
k(a + b) = ka + kb,
\qquad
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
$$

**Contoh 2.2.**

Jabarkan $(2x + 3)(x - 5)$ selangkah demi selangkah:

$$
\begin{align*}
(2x + 3)(x - 5)
&= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\
&= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\
&= 2x^2 - 7x - 15 .
\end{align*}
$$

**Teorema 2.3 (Identitas istimewa).**

Untuk semua [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $a$ dan $b$:

$$
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
\qquad
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,
\qquad
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .
$$

**Bukti.** Masing-masing merupakan penjabaran langsung. Untuk yang pertama:

$$
(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 .
$$

Yang kedua diperoleh dengan mengganti $b$ oleh $-b$: $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) +
(-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Untuk yang ketiga: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$. ∎

![Mengapa (a+b)2 = a2 + 2ab + b2: persegi bersisi a + b terbagi menjadi persegi bersisi a, persegi bersisi b, dan dua persegi panjang a × b.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-algebra/fig-578dad376d43.svg)

*Mengapa $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: persegi bersisi $a + b$ terbagi menjadi persegi bersisi $a$, persegi bersisi $b$, dan dua persegi panjang $a \times b$.*

**Contoh 2.4.**

Dipakai maju ([menjabarkan](#def-g10-algebra-expand)) dan mundur ([memfaktorkan](#def-g10-algebra-expand)):

$$
\begin{align*}
(3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4,
& x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\
(x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16,
& 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 .
\end{align*}
$$

Berhitung di kepala pun terbantu: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) =
10000 - 1 = 9999$.

**Metode 2.5 (Memfaktorkan sebuah bentuk aljabar).**

Cobalah, menurut urutan ini:

1. *Faktor persekutuan:* temukan faktor yang hadir pada setiap suku lalu keluarkan, misalnya $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ . Faktor persekutuan itu boleh berupa satu kurung utuh: $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ .
2. *Identitas istimewa:* kenali $a^2 - b^2$ , atau $a^2 \pm 2ab + b^2$ , misalnya $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 =  (3x+4)(3x-4)$ .
3. Gabungkan keduanya, lalu periksa hasilnya dengan [menjabarkannya](#def-g10-algebra-expand) kembali.

**Contoh 2.6.**

Faktorkan $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$. Ini selisih dua kuadrat $a^2 - b^2$ dengan $a = 2x+1$ dan $b = x-3$:

$$
\begin{align*}
E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\
  &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\
  &= (3x - 2)(x + 4).
\end{align*}
$$

Perhatikan kurung kedua: mengurangkan $x - 3$ berarti mengurangkan $x$ *dan* menambahkan $3$.

## 2.2 Persamaan

**Definisi 2.7 (Persamaan, penyelesaian).**

Sebuah *persamaan* adalah kesamaan yang memuat sebuah bilangan yang belum diketahui $x$; sebuah *penyelesaian* adalah nilai $x$ yang membuat kesamaan itu benar. Menyelesaikan persamaan berarti mencari *semua* penyelesaiannya.

Dua [persamaan](#def-g10-algebra-equation) disebut *ekuivalen* apabila keduanya mempunyai penyelesaian yang persis sama. Menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas, atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan *taknol* yang sama, menghasilkan [persamaan](#def-g10-algebra-equation) yang ekuivalen.

**Contoh 2.8 (Persamaan derajat satu).**

Selesaikan $5x - 7 = 2x + 8$, selangkah demi selangkah:

$$
\begin{align*}
5x - 7 &= 2x + 8 \\
5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(tambahkan $7 - 2x$ pada kedua ruas)} \\
3x &= 15 \\
x &= 5 && \text{(bagi kedua ruas dengan $3$).}
\end{align*}
$$

Penyelesaian tunggalnya adalah $5$. Periksa: $5 \times 5 - 7 = 18$ dan $2 \times 5 + 8 = 18$.

**Teorema 2.9 (Aturan hasil kali nol).**

Hasil kali [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) sama dengan nol jika dan hanya jika paling sedikit satu faktornya nol:

$$
A \times B = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
A = 0 \ \text{ atau } \ B = 0 .
$$

**Bukti.** Jika $A = 0$ atau $B = 0$, jelas hasil kalinya $0$. Sebaliknya, andaikan $AB = 0$ dan $A \neq 0$. Membagi kedua ruas dengan $A$ memberi $B = 0$. ∎

**Metode 2.10 (Menyelesaikan dengan memfaktorkan).**

Untuk menyelesaikan [persamaan](#def-g10-algebra-equation) yang ruas kanannya $0$ dan ruas kirinya dapat difaktorkan:

1. pindahkan semuanya ke kiri sehingga [persamaannya](#def-g10-algebra-equation) berbunyi $E = 0$ ;
2. faktorkan $E$ menjadi hasil kali faktor-faktor derajat satu;
3. terapkan aturan hasil kali nol lalu selesaikan setiap [persamaan](#def-g10-algebra-equation) kecil;
4. kumpulkan semua penyelesaian yang diperoleh.

**Contoh 2.11.**

Selesaikan $(x - 2)(3x + 6) = 0$: entah $x - 2 = 0$, yang memberi $x = 2$, atau $3x + 6 = 0$, yang memberi $x = -2$. Penyelesaian: $-2$ dan $2$.

Selesaikan $x^2 = 9x$. *Jangan* membagi dengan $x$ (nilainya bisa nol!); pindahkan semuanya ke satu ruas lalu faktorkan:

$$
x^2 - 9x = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x(x - 9) = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x = 0 \ \text{ atau } \ x = 9 .
$$

**Contoh 2.12 (Persamaan berbentuk pecahan).**

Selesaikan $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$. Sebuah pecahan bernilai nol tepat ketika pembilangnya nol *dan* penyebutnya tidak. Di sini $x - 1 = 0$ memberi $x = 1$, dan $1 + 2 = 3 \neq 0$: satu-satunya penyelesaian adalah $1$. Nilai $x = -2$ *terlarang* (pembagian oleh nol) dan harus selalu dikecualikan lebih dahulu.

## 2.3 Pertidaksamaan dan tabel tanda

**Proposisi 2.13 (Aturan untuk pertidaksamaan).**

Misalkan $a \leq b$.

1. Untuk sebarang $c$ : $a + c \leq b + c$ (penjumlahan mempertahankan urutan).
2. Jika $c > 0$ : $ac \leq bc$ (mengalikan dengan bilangan positif mempertahankan urutan).
3. Jika $c < 0$ : $ac \geq bc$ (mengalikan dengan bilangan negatif *membalik* urutan).

**Bukti.** 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$. 2. $bc - ac = (b-a)c$ adalah hasil kali dua bilangan taknegatif, sehingga $bc \geq ac$. 3. Kini $(b-a)c \leq 0$ sebagai hasil kali bilangan taknegatif dan bilangan negatif, sehingga $bc \leq ac$. ∎

**Contoh 2.14.**

Selesaikan $-2x + 3 > 9$:

$$
\begin{align*}
-2x + 3 &> 9 \\
-2x &> 6 && \text{(kurangi 3)} \\
x &< -3 && \text{(bagi dengan $-2 < 0$: balik arah pertidaksamaan).}
\end{align*}
$$

Himpunan penyelesaiannya adalah $\intoo{-\infty}{-3}$.

**Definisi 2.15 (Tabel tanda).**

Sebuah *tabel tanda* mencatat, satu baris untuk setiap faktor, tanda ($+$ atau $-$) setiap faktor sebuah bentuk aljabar ketika $x$ menyusuri $\R$, dengan $0$ pada setiap nilai yang membuat faktor itu lenyap; baris terakhir memberi tanda hasil kalinya, memakai kaidah tanda kolom demi kolom.

**Contoh 2.16.**

Tanda dari $P(x) = (x - 2)(3 - x)$. Faktor $x - 2$ lenyap di $2$ dan positif sesudahnya; faktor $3 - x$ lenyap di $3$ dan positif sebelumnya:

| $x$ | $-\infty$ | $2$ |  | $3$ | $+\infty$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x - 2$ | $-$ | $0$ | $+$ |  | $+$ |
| $3 - x$ | $+$ |  | $+$ | $0$ | $-$ |
| $P(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |

Jadi $P(x) > 0$ tepat pada $\intoo{2}{3}$, dan $P(x) \leq 0$ pada $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$.

![Grafik P(x) = (x-2)(3-x) membenarkan tabel tandanya: positif di antara kedua akarnya, 2 dan 3, serta negatif di luarnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-algebra/fig-5304e5f43271.svg)

*Grafik $P(x) = (x-2)(3-x)$ membenarkan [tabel tandanya](#def-g10-algebra-signtable): positif di antara kedua akarnya, $2$ dan $3$, serta negatif di luarnya.*

**Metode 2.17 (Menyelesaikan pertidaksamaan dengan tabel tanda).**

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan seperti $E(x) \geq 0$ atau $E(x) < 0$:

1. pindahkan semuanya ke ruas kiri, sehingga ruas kanannya $0$ (jangan pernah mengalikan kedua ruas dengan bentuk aljabar yang tandanya belum diketahui);
2. faktorkan ruas kiri, atau samakan penyebutnya bila ruas itu berupa pecahan;
3. susun [tabel tanda](#def-g10-algebra-signtable) dengan satu baris untuk setiap faktor (untuk pecahan, tandai nilai terlarang dengan garis rangkap pada baris terakhir);
4. bacalah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) tempat tanda yang diminta berlaku, sambil memeriksa apakah setiap batasnya termasuk.

**Contoh 2.18.**

Selesaikan $\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$. Pembilangnya lenyap di $-1$, penyebutnya di $3$ (nilai terlarang). Pecahan itu bernilai negatif ketika keduanya bertanda berlawanan, yaitu untuk $x$ antara $-1$ dan $3$. Batas tempat *pembilang* lenyap disertakan, sedangkan nilai terlarang dikecualikan: himpunan penyelesaiannya adalah $\intco{-1}{3}$.

## 2.4 Latihan

**Latihan 2.1 ★.**

Jabarkan lalu sederhanakan:

$$
3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad
(x + 4)(2x - 1), \qquad
(3x - 2)^2, \qquad
(5 - x)(5 + x).
$$

**Solusi Latihan 2.1.**

$3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$.

$(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$.

$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

$(5-x)(5+x) = 25 - x^2$.

**Latihan 2.2 ★.**

Faktorkan:

$$
x^2 - 49, \qquad
x^2 + 10x + 25, \qquad
7x^2 - 14x, \qquad
16x^2 - 8x + 1 .
$$

**Solusi Latihan 2.2.**

$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (selisih dua kuadrat).

$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$.

$7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (faktor persekutuan).

$16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$.

**Latihan 2.3 ★.**

Selesaikan:

$$
4x + 9 = x - 3, \qquad
\frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad
2(x - 3) = 2x + 1 .
$$

(Salah satunya tidak mempunyai penyelesaian — jelaskan mengapa.)

**Solusi Latihan 2.3.**

$4x + 9 = x - 3$: $3x = -12$, jadi $x = -4$.

$\frac{2x-1}{3} = 5$: $2x - 1 = 15$, jadi $x = 8$.

$2(x-3) = 2x + 1$ terjabar menjadi $2x - 6 = 2x + 1$, yaitu $-6 = 1$: salah untuk setiap $x$. Tidak ada penyelesaian — kedua ruasnya menyatakan garis sejajar yang tidak pernah bertemu.

**Latihan 2.4 ★.**

Selesaikan dengan aturan hasil kali nol:

$$
(x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad
x^2 - 16 = 0, \qquad
x^2 + 6x + 9 = 0 .
$$

**Solusi Latihan 2.4.**

$(x+5)(2x-8) = 0$: $x = -5$ atau $x = 4$.

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$: $x = 4$ atau $x = -4$.

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$: penyelesaian tunggalnya $x = -3$.

**Latihan 2.5 ★.**

Selesaikan pertidaksamaan berikut, lalu tulis himpunan penyelesaiannya sebagai [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval):

$$
3x - 5 \leq 7, \qquad
-4x + 1 > 9, \qquad
2(x - 1) \geq 5x + 4 .
$$

**Solusi Latihan 2.5.**

$3x - 5 \leq 7$: $3x \leq 12$, jadi $x \leq 4$: himpunan penyelesaiannya $\intoc{-\infty}{4}$.

$-4x + 1 > 9$: $-4x > 8$, membagi dengan $-4$ membalik arah pertidaksamaan: $x < -2$: himpunan penyelesaiannya $\intoo{-\infty}{-2}$.

$2(x-1) \geq 5x + 4$: $2x - 2 \geq 5x + 4$, jadi $-3x \geq 6$, jadi $x \leq -2$: himpunan penyelesaiannya $\intoc{-\infty}{-2}$.

**Latihan 2.6 ★★.**

Faktorkan $E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$, lalu selesaikan $E = 0$.

**Solusi Latihan 2.6.**

Faktor persekutuannya adalah $(x-1)$:

$$
E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5)
= (x-1)(8 - x).
$$

Lalu $E = 0$ ketika $x = 1$ atau $x = 8$ (aturan hasil kali nol).

**Latihan 2.7 ★★.**

Selesaikan $x^2 = 5x$, lalu $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$. (Untuk yang kedua, pindahkan semuanya ke kiri lalu faktorkan selisih dua kuadratnya.)

**Solusi Latihan 2.7.**

$x^2 = 5x$: $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$, jadi $x = 0$ atau $x = 5$ (jangan sekali-kali membagi dengan $x$: penyelesaian $0$ akan hilang).

$(2x+1)^2 = (x-4)^2$: pindahkan ke kiri lalu faktorkan selisih dua kuadratnya:

$$
(2x+1)^2 - (x-4)^2
= \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr]
= (3x - 3)(x + 5).
$$

Aturan hasil kali nol: $x = 1$ atau $x = -5$.

**Latihan 2.8 ★★.**

Dengan [tabel tanda](#def-g10-algebra-signtable), selesaikan

$$
(x + 2)(4 - x) > 0,
\qquad
\frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 .
$$

**Solusi Latihan 2.8.**

$(x+2)(4-x) > 0$: faktor $x + 2$ lenyap di $-2$ (positif sesudahnya), $4 - x$ lenyap di $4$ (positif sebelumnya). Hasil kalinya positif tepat ketika kedua faktornya positif, yaitu pada $\intoo{-2}{4}$.

$\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$: pembilang nol di $3$, penyebut nol di $-1$ (terlarang). [Tabel tanda](#def-g10-algebra-signtable): pecahan itu positif ketika kedua bagiannya bertanda sama, yaitu untuk $x < -1$ atau $x > 3$; nilainya nol di $x = 3$. Himpunan penyelesaiannya: $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$.

**Latihan 2.9 ★★.**

Sebuah layanan siaran daring berbiaya $9$ per bulan, ditambah biaya pendaftaran sekali bayar sebesar $15$; pesaingnya berbiaya $12$ per bulan tanpa biaya pendaftaran. Setelah berapa bulan layanan pertama menjadi pilihan yang lebih murah secara keseluruhan? Susun lalu selesaikan sebuah pertidaksamaan.

**Solusi Latihan 2.9.**

Setelah $x$ bulan, layanan pertama berbiaya $9x + 15$ dan yang kedua $12x$. Yang pertama lebih murah apabila

$$
9x + 15 < 12x
\ \Longleftrightarrow\
15 < 3x
\ \Longleftrightarrow\
x > 5 .
$$

Mulai bulan ke-$6$, layanan pertama menjadi pilihan yang lebih murah.

**Latihan 2.10 ★★.**

Selesaikan $\dfrac{x+3}{x-1} = 2$. (Kalikan kedua ruas dengan $x - 1$ setelah mengecualikan nilai terlarangnya, atau pindahkan semuanya ke kiri dengan penyebut yang sama.)

**Solusi Latihan 2.10.**

Nilai terlarang: $x = 1$. Untuk $x \neq 1$, kalikan kedua ruas dengan $x - 1$:

$$
x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2
\ \Longleftrightarrow\
x = 5 .
$$

Karena $5 \neq 1$, penyelesaiannya adalah $x = 5$. Periksa: $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$.

**Latihan 2.11 ★★★.**

Misalkan $n$ [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets). Tunjukkan bahwa $(n + 1)^2 - n^2$ selalu ganjil, dan bahwa selisih kuadrat dua bilangan ganjil berurutan selalu merupakan kelipatan $8$.

**Solusi Latihan 2.11.**

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$, yang ganjil untuk setiap [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $n$.

Dua bilangan ganjil berurutan dapat ditulis $2n - 1$ dan $2n + 1$. Maka

$$
(2n+1)^2 - (2n-1)^2
= \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr]
= 4n \times 2 = 8n,
$$

yaitu kelipatan $8$.

## 2.5 Soal: Dari Babilonia ke rasio emas

**Soal 2.1.**

Soal akhir pekan — soal jumlah-dan-hasil-kali, melengkapkan kuadrat sempurna sebagaimana digambar al-Khwarizmi, dan persamaan $x^2 = x + 1$

Empat ribu tahun silam, juru tulis Babilonia menyelesaikan soal ini di atas lempung: *carilah dua bilangan bila diketahui jumlah dan hasil kalinya*. Kiat mereka — mencari kedua bilangan secara simetris di sekitar setengah jumlahnya — sampai hari ini masih memecahkan setiap [persamaan](#def-g10-algebra-equation) kuadrat, dengan nama modernnya, *melengkapkan kuadrat sempurna*. Soal ini mempelajari kiat itu, menyaksikan al-Khwarizmi benar-benar melengkapkan sebuah persegi, lalu menerapkan metodenya pada perbandingan yang paling termasyhur di antara semuanya.

**Bagian I — Soal Babilonia.**

1. Pemanasan ( [Teorema 2.3](#thm-g10-algebra-identities) ): faktorkan $x^2 - 10x + 25$ , lalu $9x^2 - 49$ , lalu — dengan memadukan sebuah identitas dan selisih dua kuadrat — $x^2 + 6x + 9 - 4$ .
2. Selesaikan $(x + 1)(x + 5) = 0$ dan $(3x - 7)(3x + 7) = 0$ ( [Teorema 2.9](#thm-g10-algebra-zeroproduct) ).
3. Soal sang juru tulis: dua bilangan berjumlah $10$ dan berhasil kali $21$ . Mengikuti Babilonia, tulislah keduanya sebagai $5 - t$ dan $5 + t$ (simetris di sekitar setengah jumlahnya) lalu carilah $t$ , kemudian kedua bilangan itu.
4. Dengan metode yang sama: jumlah $14$ , hasil kali $33$ .
5. Resep umumnya: untuk jumlah $s$ dan hasil kali $p$, tunjukkan bahwa kedua bilangan itu adalah $$\frac s2 - t  \quad\text{dan}\quad  \frac s2 + t,  \qquad\text{dengan}\quad  t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p ,$$ lalu nyatakan syarat pada $s$ dan $p$ agar soal itu mempunyai penyelesaian.

**Bagian II — Melengkapkan kuadrat sempurna.**

6. Jabarkan $(x - a)(x - b)$ lalu simpulkan: penyelesaian $x^2 - sx + p = 0$ tepat adalah pasangan bilangan yang berjumlah $s$ dan berhasil kali $p$ . (Para juru tulis menyelesaikan [persamaan](#def-g10-algebra-equation) kuadrat tanpa menyadarinya.)
7. Periksa bahwa $x^2 - 10x + 21 = (x - 5)^2 - 4$ , lalu selesaikan $x^2 - 10x + 21 = 0$ dengan [memfaktorkan](#def-g10-algebra-expand) ruas kanannya sebagai selisih dua kuadrat. Bandingkan dengan pertanyaan 3.
8. Selesaikan $x^2 + 6x - 7 = 0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
9. Lengkapkan kuadrat sempurna pada $x^2 + 4x + 5$ , lalu jelaskan mengapa [persamaan](#def-g10-algebra-equation) $x^2 + 4x + 5 = 0$ *tidak* mempunyai penyelesaian real. Nyatakan kriteria umumnya: setelah ditulis sebagai $(x + h)^2 + k$ , kapan sebuah bentuk kuadrat lenyap?
10. Namanya harfiah. Di Bagdad pada abad kesembilan, al-Khwarizmi menggambar $x^2 + 6x = 7$ sebagai persegi bersisi $x$ dengan dua persegi panjang $3 \times x$ yang direkatkan pada dua sisinya, lalu *melengkapkan persegi itu* dengan pojok $3 \times 3$ yang hilang. Gambarlah bangunnya dan jelaskan bagaimana gambar itu mengubah [persamaannya](#def-g10-algebra-equation) menjadi $(x + 3)^2 = 16$ — lalu selesaikan.

**Bagian III — Tanda, tabel dan dua janji lama.**

11. Susun [tabel tanda](#def-g10-algebra-signtable) dari $(x - 3)(x + 2)$ ( [Definisi 2.15](#def-g10-algebra-signtable) ) lalu selesaikan $(x - 3)(x + 2) < 0$ .
12. Selesaikan $x^2 \leq 10x - 21$ (pindahkan semuanya ke satu ruas lalu pakai kembali pertanyaan 7).
13. Selesaikan $\dfrac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ dengan [tabel tanda](#def-g10-algebra-signtable) , sambil memperhatikan nilai terlarangnya.
14. Sebuah janji lama ditepati: bagi petani pada soal pagar Ratu Dido di jilid sebelumnya, dengan pagar sepanjang $20$ m, luas kandang berukuran $x \times (10 - x)$ memenuhi $$A(x) = x(10 - x) = 25 - (x - 5)^2 .$$ Periksa identitas itu, lalu bacalah darinya sebuah *bukti* bagi apa yang di jilid sebelumnya hanya dapat diduga: luas maksimumnya, dan satu-satunya $x$ yang mencapainya.
15. Janji lain: buktikan bahwa $x + \dfrac1x \geq 2$ untuk setiap $x > 0$ , dengan kesamaan hanya di $x = 1$ . (Kalikan dengan $x$ , kumpulkan sukunya, kenali sebuah kuadrat — ketaksamaan rataan aritmetika–geometri pada soal akhir pekan tentang relasi Euclid di jilid sebelumnya dalam wujud baru.)

**Bagian IV — Potongan emas.** Potonglah sebuah ruas garis sepanjang $1$ menjadi bagian besar $x$ dan bagian kecil $1 - x$ sedemikian sehingga *seluruhnya berbanding bagian besar sama dengan bagian besar berbanding bagian kecil*: $\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$.

16. Tunjukkan bahwa syarat itu berbunyi $x^2 + x - 1 = 0$ .
17. Selesaikan dengan melengkapkan kuadrat sempurna, lalu simpan akar yang berupa panjang: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ .
18. *Rasio emas* adalah $\varphi = \frac1x = \frac{2}{\sqrt5 - 1}$ . Rasionalkan penyebutnya (kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt5 + 1$ , sebuah identitas sedang bekerja) lalu tunjukkan $\varphi = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ .
19. Periksa *secara eksak* kedua identitas ajaib $\varphi$: $$\varphi^2 = \varphi + 1,  \qquad  \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 .$$
20. Penutup: jelaskan mengapa $\varphi$ bersifat [irasional](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#ex-g10-numbers-classify) (soal akhir pekan tentang sifat [irasional](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#ex-g10-numbers-classify) di jilid sebelumnya memberi fakta kuncinya tentang $\sqrt5$ ), lalu hitunglah rasio $\frac53$ , $\frac85$ , $\frac{13}{8}$ , $\frac{21}{13}$ dari bilangan Hemachandra–Fibonacci yang berurutan (soal akhir pekan tentang pencacahan irama di jilid sebelumnya) sampai tiga angka desimal. Apa yang tampaknya mereka kejar? (Bukti bahwa mereka benar-benar menangkapnya menjadi bagian bab tentang barisan.)

**Solusi Soal 2.1.**

**1.** $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$; $9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)$; $x^2 + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 1)(x + 5)$.

**2.** $x = -1$ atau $x = -5$; $x = \frac73$ atau $x = -\frac73$.

**3.** $(5 - t)(5 + t) = 25 - t^2 = 21$ memberi $t^2 = 4$, $t = 2$: kedua bilangan itu $3$ dan $7$ (jumlah $10$, hasil kali $21$: cocok).

**4.** $(7 - t)(7 + t) = 49 - t^2 = 33$: $t = 4$, bilangannya $3$ dan $11$.

**5.** $\left(\frac s2 - t\right)\left(\frac s2 + t\right)
= \left(\frac s2\right)^2 - t^2 = p$ memaksa $t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$. Penyelesaian ada tepat ketika nilai ini $\geq 0$, yaitu ketika $p \leq \left(\frac s2\right)^2$ — hasil kali dua bilangan yang jumlahnya tertentu tidak pernah melampaui kuadrat setengah jumlahnya (soal pagar Ratu Dido di jilid sebelumnya sudah tahu).

**6.** $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$: jadi [persamaan](#def-g10-algebra-equation) $x^2 - sx + p = 0$ berkata persis “$x$ adalah salah satu dari dua bilangan yang berjumlah $s$ dan berhasil kali $p$”.

**7.** $(x-5)^2 - 4 = x^2 - 10x + 25 - 4 = x^2 - 10x +
21$. Selisih dua kuadrat: $(x - 5 - 2)(x - 5 + 2) = (x - 7)(x - 3) = 0$: penyelesaiannya $3$ dan $7$ — bilangan sang juru tulis pada pertanyaan 3.

**8.** $x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = 0$ memberi $(x + 3)^2 = 16$, $x + 3 = \pm 4$: $x = 1$ atau $x = -7$.

**9.** $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$ untuk setiap $x$: tidak ada penyelesaian real. Dalam bentuk $(x + h)^2 + k$: penyelesaian ada tepat ketika $k \leq 0$ (lalu $(x+h)^2 = -k$ mempunyai dua akar $-h \pm \sqrt{-k}$); ketika $k > 0$ bentuk itu tetap positif.

**10.** Persegi bersisi $x$ (luas $x^2$) dengan dua persegi panjang $3 \times x$ (seluruhnya $6x$) membentuk huruf L berluas $x^2 + 6x = 7$; pojok $3 \times 3$ yang hilang (luas $9$) melengkapkan sebuah persegi besar bersisi $x + 3$. Menambahkan $9$ pada kedua ruas: $(x + 3)^2 = 16$, jadi $x + 3 = 4$ (panjang selalu positif) dan $x = 1$. Aljabar dan gambarnya adalah satu tindakan yang sama.

**11.** $(x-3)(x+2)$: negatif di antara kedua akarnya. Penyelesaian $< 0$: $x \in \intoo{-2}{3}$.

**12.** $x^2 - 10x + 21 \leq 0$, yaitu $(x - 3)(x - 7) \leq 0$: di antara kedua akarnya, ujungnya termasuk: $x \in \intcc{3}{7}$.

**13.** Nol di $x = 1$, terlarang di $x = -2$; pecahan itu positif di luar kedua akarnya: $x \in \intoo{-\infty}{-2} \cup \intco{1}{+\infty}$.

**14.** $25 - (x - 5)^2 = 25 - x^2 + 10x - 25 =
x(10 - x)$: identitasnya terbukti. Karena $(x-5)^2 \geq 0$ selalu, $A(x) \leq 25$, dengan kesamaan tepat ketika $x = 5$: kandang persegi $5 \times 5$, luas maksimum $25$ m$^2$ — tabel di jilid sebelumnya, kini menjadi bukti dua baris.

**15.** Untuk $x > 0$, kalikan pernyataannya dengan $x$: $x^2 + 1 \geq 2x$, yaitu $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ — benar, dengan kesamaan hanya di $x = 1$. Membaginya kembali dengan $x > 0$ mempertahankan semuanya ([Proposisi 2.13](#prop-g10-algebra-ineqrules)).

**16.** Perkalian silang pada $\frac1x = \frac{x}{1 - x}$ (semua panjang positif): $x^2 = 1 - x$, yaitu $x^2 + x - 1 = 0$.

**17.** $x^2 + x - 1 = \left(x + \frac12\right)^2 -
\frac54 = 0$ memberi $x + \frac12 = \pm\frac{\sqrt5}{2}$. Akar positifnya: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$.

**18.** $\varphi = \frac{2}{\sqrt5 - 1} =
\frac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)}
= \frac{2(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt5 + 1}{2}
\approx 1.618$.

**19.** $\varphi^2 = \frac{(\sqrt5 + 1)^2}{4} =
\frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2}$, sedangkan $\varphi + 1 = \frac{\sqrt5 + 3}{2}$: keduanya sama. Lalu $\varphi - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = x = \frac1\varphi$ (memang begitulah $\varphi$ didefinisikan). Rasio emas adalah bilangan yang kuadratnya bertambah satu dan kebalikannya berkurang satu.

**20.** $\sqrt5$ bersifat [irasional](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#ex-g10-numbers-classify) (soal akhir pekan tentang sifat [irasional](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#ex-g10-numbers-classify) di jilid sebelumnya: $5$ bukan kuadrat sempurna), dan menambah $1$ lalu membagi dua mempertahankan sifat [irasional](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#ex-g10-numbers-classify) itu (operasi rasional, [Soal 1.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#pb-g10-numbers-1)). Rasionya: $\frac53 \approx 1.667$, $\frac85 = 1.600$, $\frac{13}{8} = 1.625$, $\frac{21}{13} \approx 1.615$: berganti-ganti di atas dan di bawah, sambil mengerucut ke $\varphi = 1.618\ldots$ — bilangan pencacah irama pada soal akhir pekan tentang pencacahan irama di jilid sebelumnya diam-diam mengejar potongan emas; bab tentang barisan akan menangkapnya beraksi.