---
title: "Barisan"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 20
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan
---

# Bab 20 — Barisan

Sebuah [barisan](#def-g12-seq-sequence) adalah daftar [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) yang terindeks oleh [bilangan cacah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets). [Barisan](#def-g12-seq-sequence) memodelkan perkembangan diskret — populasi yang dibilang tahun demi tahun, saldo sebuah rekening bank, [hampiran](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-approx) sebuah bilangan yang berturut-turut — dan limitnya adalah perjumpaan serius pertama dengan ketakhinggaan. Bab ini menyiapkan kosakatanya, asas induksi matematika, serta teorema kekonvergenan yang mendasar.

## 20.1 Bernalar dengan induksi matematika

**Teorema 20.1 (Asas induksi matematika).**

Misalkan $P(n)$ sebuah pernyataan yang bergantung pada [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $n$, dan misalkan $n_0 \in \N$. Jika

1. *(langkah dasar)* $P(n_0)$ benar, dan
2. *(langkah induksi)* untuk setiap $n \geq n_0$ , $P(n)$ mengakibatkan $P(n+1)$ ,

maka $P(n)$ benar untuk setiap $n \geq n_0$.

**Bukti.** Andaikan, untuk memperoleh kontradiksi, bahwa himpunan $A$ berisi [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $n \geq n_0$ yang membuat $P(n)$ salah tidaklah kosong. Maka $A$ mempunyai anggota terkecil $m$.[1](#fn-1) Karena $P(n_0)$ benar, $m > n_0$, sehingga $m - 1 \geq n_0$ dan $m-1 \notin A$, yaitu $P(m-1)$ benar. Langkah induksi yang diterapkan pada $n = m-1$ lalu memperlihatkan bahwa $P(m)$ benar, yang bertentangan dengan $m \in A$. ∎

**Contoh 20.2.**

Mari kita buktikan *ketaksamaan Bernoulli*: untuk setiap [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $a > 0$ dan setiap $n \in \N$,

$$
(1+a)^n \geq 1 + na.
$$

*Langkah dasar.* Untuk $n = 0$, kedua ruasnya sama dengan $1$. *Langkah induksi.* Andaikan $(1+a)^n \geq 1+na$ untuk suatu $n \in \N$. Karena $1 + a > 0$, mengalikan kedua ruasnya dengan $1+a$ mempertahankan ketaksamaannya:

$$
(1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a .
$$

Menurut induksi, ketaksamaannya berlaku untuk semua $n \in \N$.

**Metode 20.3 (Menulis bukti dengan induksi).**

Nyatakan selalu pernyataan $P(n)$ secara tersurat sebelum mulai. Bukti yang lengkap mempunyai tiga bagian yang terlihat: langkah dasarnya, langkah induksinya (“andaikan $P(n)$; kita buktikan $P(n+1)$”), dan kesimpulan yang memanggil asas induksi matematika. Kekeliruan yang paling lazim adalah membuktikan langkah induksinya tanpa pernah memakai hipotesis $P(n)$: bila itu terjadi, entah buktinya keliru entah induksinya memang tidak diperlukan.

## 20.2 Kosakata barisan

**Definisi 20.4 (Barisan).**

Sebuah *barisan* adalah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $u \colon \N \to \R$ (atau dari $\{n \in \N : n \geq n_0\}$ ke $\R$). [Peta](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) $n$ ditulis $u_n$, dan barisannya sendiri ditulis $(u_n)_{n\in\N}$ atau cukup $(u_n)$.

Sebuah [barisan](#def-g12-seq-sequence) dapat diberikan secara *eksplisit*, lewat rumus $u_n = f(n)$, atau lewat *rekurensi*, lewat suku pertamanya dan hubungan $u_{n+1} = f(u_n)$.

**Definisi 20.5 (Kemonotonan).**

Sebuah [barisan](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ disebut *naik* bila $u_{n+1} \geq u_n$ untuk semua $n$, *turun* bila $u_{n+1} \leq u_n$ untuk semua $n$, dan *monoton* bila [barisan](#def-g12-seq-sequence) itu naik atau turun. [Barisan](#def-g12-seq-sequence) itu disebut *tegas* naik (masing-masing turun) apabila ketaksamaannya tegas.

**Metode 20.6 (Menelaah kemonotonan sebuah barisan).**

Tiga teknik baku:

1. telaahlah tanda $u_{n+1} - u_n$ ;
2. bila semua sukunya positif, bandingkan $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ dengan $1$ ;
3. bila $u_n = f(n)$ dengan $f$ terdefinisi pada $\intco{0}{+\infty}$ , pakailah variasi $f$ .

**Definisi 20.7 (Barisan terbatas).**

Sebuah [barisan](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ disebut *terbatas di atas* bila ada $M \in \R$ dengan $u_n \leq M$ untuk semua $n$; *terbatas di bawah* bila ada $m \in \R$ dengan $u_n \geq m$ untuk semua $n$; dan *terbatas* bila keduanya berlaku.

### 20.2.1 Barisan aritmetika dan geometri

**Definisi 20.8 (Barisan aritmetika dan geometri).**

Sebuah [barisan](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ disebut *aritmetika* dengan [beda](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-arithmetic) $r$ bila $u_{n+1} = u_n + r$ untuk semua $n$, dan *geometri* dengan [rasio](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-geometric) $q$ bila $u_{n+1} = q\,u_n$ untuk semua $n$.

**Proposisi 20.9 (Bentuk eksplisit dan jumlahnya).**

Misalkan $n \in \N$.

1. Jika $(u_n)$ [aritmetika](#def-g12-seq-arith-geom) dengan [beda](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-arithmetic) $r$, maka $u_n = u_0 + nr$ dan $$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}.$$
2. Jika $(u_n)$ [geometri](#def-g12-seq-arith-geom) dengan [rasio](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-geometric) $q \neq 1$, maka $u_n = u_0\, q^n$ dan $$u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$$

**Bukti.** Bentuk eksplisitnya menyusul lewat induksi langsung. Untuk jumlah [aritmetikanya](#def-g12-seq-arith-geom), tulislah $S = u_0 + \dots + u_n$ lalu tambahkan jumlah yang sama dalam urutan terbalik: masing-masing dari $n+1$ jumlah kolomnya sama dengan $u_0 + u_n$, sehingga $2S = (n+1)(u_0+u_n)$. Untuk jumlah [geometrinya](#def-g12-seq-arith-geom), hitunglah $S - qS$: semua sukunya saling menghapus berpasangan kecuali yang pertama dan yang terakhir, sehingga $(1-q)S = u_0(1 - q^{n+1})$. ∎

## 20.3 Limit sebuah barisan

**Definisi 20.10 (Barisan konvergen).**

Sebuah [barisan](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ *konvergen* ke [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $\ell$ bila setiap [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) terbuka yang memuat $\ell$ memuat semua suku $u_n$ mulai dari suatu indeks. Kita lalu tulis $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$.

Setara dengan itu: untuk setiap $\varepsilon > 0$, ada $N \in \N$ sehingga untuk semua $n \geq N$ berlaku $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$.

![Kekonvergenan u_n = 2 + (-1)n/n ke = 2: diberikan > 0, semua suku mulai dari indeks N terletak dalam pita ( - , + ).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-8991cce01fa0.svg)

*Kekonvergenan $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ ke $\ell = 2$: diberikan $\varepsilon > 0$, semua suku mulai dari indeks $N$ terletak dalam pita $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$.*

**Definisi 20.11 (Divergen ke takhingga).**

[Barisan](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ *menuju $+\infty$* bila untuk setiap $A \in \R$ ada $N \in \N$ sehingga $u_n \geq A$ untuk semua $n \geq N$. Kita tulis $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$; definisi $\lim u_n = -\infty$ serupa. [Barisan](#def-g12-seq-sequence) yang tidak [konvergen](#def-g12-seq-limit) dikatakan *divergen*.

**Catatan 20.12.**

Sebuah [barisan](#def-g12-seq-sequence) dapat divergen tanpa menuju $\pm\infty$: [barisan](#def-g12-seq-sequence) $u_n = (-1)^n$ hanya mengambil nilai $1$ dan $-1$ dan tidak berlimit.

**Proposisi 20.13 (Ketunggalan limitnya).**

Jika $(u_n)$ [konvergen](#def-g12-seq-limit), limitnya tunggal.

**Bukti.** Andaikan $u_n \to \ell$ dan $u_n \to \ell'$ dengan $\ell \neq \ell'$, katakan $\ell < \ell'$. Ambil $\varepsilon = \frac{\ell' - \ell}{3} > 0$. Mulai dari suatu indeks berlaku $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ dan $\abs{u_n - \ell'} \leq \varepsilon$, sehingga

$$
\ell' - \ell \leq \abs{\ell' - u_n} + \abs{u_n - \ell}
\leq 2\varepsilon = \tfrac{2}{3}(\ell' - \ell) < \ell' - \ell,
$$

sebuah kontradiksi. ∎

**Proposisi 20.14 (Operasi pada limit).**

Misalkan $(u_n)$ dan $(v_n)$ dua [barisan](#def-g12-seq-sequence) dengan limit $\ell$ dan $\ell'$ (berhingga atau takhingga). Maka, selama ruas kanannya bukan bentuk taktentu,

$$
\lim (u_n + v_n) = \ell + \ell', \qquad
\lim (u_n v_n) = \ell\,\ell', \qquad
\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell'}.
$$

Bentuk taktentunya adalah $(+\infty) + (-\infty)$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ dan $\frac{0}{0}$.

**Bukti.** Kita buktikan aturan jumlahnya untuk limit yang berhingga; kasus lainnya serupa dan ditinggalkan sebagai latihan. Misalkan $\varepsilon > 0$. Ada $N_1, N_2$ sehingga $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon/2$ untuk $n \geq N_1$ dan $\abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon/2$ untuk $n \geq N_2$. Untuk $n \geq \max(N_1, N_2)$, ketaksamaan segitiga memberi

$$
\abs{(u_n + v_n) - (\ell + \ell')}
\leq \abs{u_n - \ell} + \abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon. \qedhere
$$

∎

**Metode 20.15 (Mengangkat bentuk taktentu).**

Ketika berhadapan dengan bentuk taktentu, keluarkan suku yang menguasainya sebagai faktor. Misalnya

$$
n^2 - n = n^2\left(1 - \tfrac{1}{n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty,
\qquad
\frac{2n^2+1}{n^2 - n} = \frac{2 + 1/n^2}{1 - 1/n}
\xrightarrow[n\to+\infty]{} 2 .
$$

## 20.4 Teorema kekonvergenan

**Teorema 20.16 (Teorema pembandingan dan teorema apit).**

Misalkan $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ [barisan](#def-g12-seq-sequence).

1. Jika $u_n \leq v_n$ mulai dari suatu indeks dan $u_n \to +\infty$ , maka $v_n \to +\infty$ .
2. *(Teorema apit)* Jika $u_n \leq v_n \leq w_n$ mulai dari suatu indeks dan $(u_n)$ serta $(w_n)$ sama-sama [konvergen](#def-g12-seq-limit) ke limit yang sama $\ell$ , maka $(v_n)$ [konvergen](#def-g12-seq-limit) ke $\ell$ .

**Bukti.** *1.* Misalkan $A \in \R$. Karena $u_n \to +\infty$, ada $N$ dengan $u_n \geq A$ untuk $n \geq N$; dengan memperbesar $N$ bila perlu, $v_n \geq u_n \geq A$ untuk $n \geq N$.

*2.* Misalkan $\varepsilon > 0$. Mulai dari suatu indeks, berlaku $\ell - \varepsilon \leq u_n$ dan $w_n \leq \ell + \varepsilon$, sehingga $\ell - \varepsilon \leq u_n \leq v_n \leq w_n \leq \ell + \varepsilon$, yaitu $\abs{v_n - \ell} \leq \varepsilon$. ∎

**Contoh 20.17.**

Untuk semua $n \geq 1$, $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$, dan kedua batasnya menuju $0$; jadi $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$.

**Teorema 20.18 (Teorema kekonvergenan monoton).**

[Barisan](#def-g12-seq-sequence) [naik](#def-g12-seq-monotonic) yang [terbatas di atas](#def-g12-seq-bounded) bersifat [konvergen](#def-g12-seq-limit). [Barisan](#def-g12-seq-sequence) turun yang [terbatas di bawah](#def-g12-seq-bounded) bersifat [konvergen](#def-g12-seq-limit). [Barisan](#def-g12-seq-sequence) [naik](#def-g12-seq-monotonic) yang tidak [terbatas di atas](#def-g12-seq-bounded) menuju $+\infty$.

**Bukti sebagian.** Kita buktikan pernyataan ketiganya. Misalkan $(u_n)$ [naik](#def-g12-seq-monotonic) dan tidak [terbatas di atas](#def-g12-seq-bounded), dan misalkan $A \in \R$. Karena $A$ bukan batas atas, ada $N$ dengan $u_N \geq A$; menurut kemonotonannya, $u_n \geq u_N \geq A$ untuk semua $n \geq N$. Jadi $u_n \to +\infty$.

Kedua pernyataan kekonvergenannya bersandar pada sifat batas atas terkecil $\R$; keduanya *diterima tanpa bukti pada tingkat ini* (dan dibuktikan pada tahun pertama universitas). ∎

**Catatan 20.19.**

Teoremanya menjamin *keberadaan* limitnya tetapi tidak memberikan nilainya. [Barisan](#def-g12-seq-sequence) [naik](#def-g12-seq-monotonic) yang [terbatas di atas](#def-g12-seq-bounded) oleh $M$ [konvergen](#def-g12-seq-limit) ke suatu $\ell \leq M$, tidak harus ke $M$.

**Teorema 20.20 (Limit barisan geometri).**

Misalkan $q \in \R$.

1. Jika $q > 1$ , maka $q^n \to +\infty$ .
2. Jika $q = 1$ , maka $q^n \to 1$ .
3. Jika $\abs{q} < 1$ , maka $q^n \to 0$ .
4. Jika $q \leq -1$ , maka $(q^n)$ divergen dan tidak berlimit.

**Bukti.** *1.* Tulislah $q = 1 + a$ dengan $a > 0$. Ketaksamaan Bernoulli ([Contoh 20.2](#ex-g12-seq-bernoulli)) memberi $q^n \geq 1 + na \to +\infty$, lalu kita simpulkan lewat pembandingan ([Teorema 20.16](#thm-g12-seq-squeeze)).

*2.* Langsung.

*3.* Jika $q = 0$ pernyataannya jelas. Bila tidak, $\abs{q} < 1$ memberi $1/\abs{q} > 1$, sehingga $(1/\abs{q})^n \to +\infty$ menurut butir 1, jadi $\abs{q}^n \to 0$, dan $-\abs{q}^n \leq q^n \leq \abs{q}^n$ memungkinkan kita menyimpulkannya lewat teorema apit.

*4.* Untuk $q \leq -1$, $(q^{2n})$ mengambil nilai $\geq 1$ sedangkan $(q^{2n+1})$ mengambil nilai $\leq -1$: tidak ada satu limit pun yang dapat menarik kedua subbarisan itu. ∎

![Ketiga perilaku (qn): divergen ke +∈fty untuk q > 1 (merah), konvergen ke 0 untuk q < 1 (biru), dan osilasi teredam — yang tetap konvergen ke 0 — untuk -1 < q < 0 (jingga).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-d2621466e91a.svg)

*Ketiga perilaku $(q^n)$: divergen ke $+\infty$ untuk $q > 1$ (merah), [konvergen](#def-g12-seq-limit) ke $0$ untuk $\abs q < 1$ (biru), dan osilasi teredam — yang tetap [konvergen](#def-g12-seq-limit) ke $0$ — untuk $-1 < q < 0$ (jingga).*

**Metode 20.21 (Barisan rekuren un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)).**

Untuk menelaah [barisan](#def-g12-seq-sequence) yang ditentukan oleh $u_{n+1} = f(u_n)$:

1. buktikan dengan induksi bahwa $(u_n)$ tetap berada pada sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $I$ tempat $f$ berperilaku baik (dan, sering kali, bahwa $(u_n)$ [monoton](#def-g12-seq-monotonic) );
2. simpulkan kekonvergenannya dari teorema kekonvergenan [monoton](#def-g12-seq-monotonic) ;
3. terapkan limitnya pada hubungan $u_{n+1} = f(u_n)$ : jika $f$ kontinu dan $u_n \to \ell \in I$ , maka $\ell$ memenuhi $f(\ell) = \ell$ (lihat [Bab 21](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#ch-g12-limcont) ); selesaikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) ini lalu pilihlah [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) yang tepat.

![Lukisan tangga untuk u_n+1 = √u_n + 2, u_0 = 0 (): setiap langkah tegaknya membaca f(u_n) pada kurvanya, setiap langkah mendatarnya membawanya kembali lewat y = x. Barisannya mendaki ke titik tetap = 2, tempat kurvanya bertemu garisnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-fce72bb54caf.svg)

*Lukisan tangga untuk $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$, $u_0 = 0$ ([Latihan 20.6](#exo-g12-seq-6)): setiap langkah tegaknya membaca $f(u_n)$ pada kurvanya, setiap langkah mendatarnya membawanya kembali lewat $y = x$. [Barisannya](#def-g12-seq-sequence) mendaki ke [titik tetap](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) $\ell = 2$, tempat kurvanya bertemu garisnya.*

**Contoh 20.22.**

Misalkan $u_0 = 2$ dan $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$. Dengan induksi diperiksa bahwa $u_n \geq \sqrt{2}$ untuk semua $n$ (ketaksamaan $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ untuk $x>0$ setara dengan $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$), lalu bahwa $(u_n)$ turun, sebab

$$
u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .
$$

Karena turun dan [terbatas di bawah](#def-g12-seq-bounded), $(u_n)$ [konvergen](#def-g12-seq-limit) ke suatu $\ell \geq \sqrt{2}$, yang pasti memenuhi $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$, yaitu $\ell^2 = 2$. Jadi $u_n \to \sqrt{2}$. Inilah algoritme Heron, yang sudah dipakai orang Babilonia; kekonvergenannya sangat cepat ($u_3$ sudah memberi $\sqrt 2$ sampai delapan angka desimal).

## 20.5 Latihan

**Latihan 20.1 ★.**

Buktikan dengan induksi bahwa untuk semua $n \in \N$,

$$
1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
$$

**Solusi Latihan 20.1.**

Misalkan $P(n)$ pernyataan $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. *Langkah dasar:* untuk $n = 0$ kedua ruasnya $0$ (jumlah kosong). *Langkah induksi:* andaikan $P(n)$. Maka

$$
\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2
= \frac{(n+1)\bigl(n(2n+1) + 6(n+1)\bigr)}{6}
= \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6}.
$$

Karena $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)$, bentuk ini sama dengan $\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$, yaitu $P(n+1)$. Menurut induksi, $P(n)$ berlaku untuk semua $n$.

**Latihan 20.2 ★.**

Telaahlah kemonotonan [barisan](#def-g12-seq-sequence) yang ditentukan untuk $n \geq 1$ oleh

$$
a_n = \frac{n+1}{n}, \qquad
b_n = \frac{2^n}{n}, \qquad
c_n = n^2 - 10n .
$$

**Solusi Latihan 20.2.**

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n}
= \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0$: jadi $(a_n)$ tegas turun.

$(b_n)$ mempunyai suku positif dan $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{2^n} =
\frac{2n}{n+1} \geq 1 \iff 2n \geq n+1 \iff n \geq 1$: jadi $(b_n)$ [naik](#def-g12-seq-monotonic) (tegas untuk $n \geq 2$).

$c_{n+1} - c_n = (n+1)^2 - 10(n+1) - n^2 + 10n = 2n - 9$, yang bernilai negatif untuk $n \leq 4$ dan positif untuk $n \geq 5$: jadi $(c_n)$ turun sampai $c_5 = -25$, yaitu [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema), lalu [naik](#def-g12-seq-monotonic). [Barisan](#def-g12-seq-sequence) itu tidak [monoton](#def-g12-seq-monotonic).

**Latihan 20.3 ★.**

Hitunglah limit [barisan](#def-g12-seq-sequence) yang suku umumnya

$$
u_n = \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5}, \qquad
v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}, \qquad
w_n = \frac{2^n - 3^n}{3^n + 1}.
$$

**Solusi Latihan 20.3.**

Keluarkan suku yang menguasainya sebagai faktor:

$$
u_n = \frac{n^2(3 - 1/n + 1/n^2)}{n^2(2 + 5/n^2)} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{2}.
$$

Kalikan dengan bentuk sekawannya:

$$
v_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
\xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.
$$

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan $3^n$:

$$
w_n = \frac{(2/3)^n - 1}{1 + (1/3)^n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{0-1}{1+0} = -1,
$$

dengan memakai $\lim q^n = 0$ untuk $\abs{q} < 1$.

**Latihan 20.4 ★.**

Misalkan $(u_n)$ [barisan aritmetika](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-arithmetic) dengan $u_0 = 5$ dan [beda](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-arithmetic) $r = 3$, dan $(v_n)$ [barisan geometri](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-geometric) dengan $v_0 = 8$ dan [rasio](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-geometric) $q = \frac{1}{2}$. Hitunglah $u_n$, $v_n$, $\sum_{k=0}^{n} u_k$ dan $\sum_{k=0}^{n} v_k$, serta limit keempat bentuk itu ketika $n \to +\infty$.

**Solusi Latihan 20.4.**

$u_n = 5 + 3n \to +\infty$ dan $v_n = 8 \cdot (1/2)^n = 2^{3-n} \to 0$. Jumlahnya adalah

$$
\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\,\frac{5 + (5+3n)}{2} = \frac{(n+1)(10+3n)}{2}
\xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty,
$$

$$
\sum_{k=0}^{n} v_k = 8\,\frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2}
= 16\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)
\xrightarrow[n\to+\infty]{} 16 .
$$

**Latihan 20.5 ★★.**

Dengan teorema apit, hitunglah

$$
\lim_{n\to+\infty} \frac{n + \cos n}{n + 1}
\qquad\text{dan}\qquad
\lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{n^n},
$$

dengan $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$. Untuk limit yang kedua, batasi $\frac{n!}{n^n}$ oleh suku sebuah [barisan geometri](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-geometric).

**Solusi Latihan 20.5.**

Karena $-1 \leq \cos n \leq 1$,

$$
\frac{n-1}{n+1} \leq \frac{n + \cos n}{n+1} \leq 1,
$$

dan $\frac{n-1}{n+1} \to 1$, sehingga limitnya $1$ menurut teorema apit.

Untuk limit yang kedua, tulislah

$$
0 \leq \frac{n!}{n^n}
= \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n}
\leq \frac{1}{n},
$$

sebab setiap faktor $\frac{k}{n}$ dengan $2 \leq k \leq n$ paling besar $1$. Karena $\frac1n \to 0$, teorema apit memberi $\frac{n!}{n^n} \to 0$. (Batas [geometri](#def-g12-seq-arith-geom) yang disarankan juga berhasil: setiap faktor dengan $k \leq n/2$ paling besar $\frac12$, yang memberi batas lebih kuat $(1/2)^{\floor{n/2}}$.)

**Latihan 20.6 ★★.**

Misalkan $u_0 = 0$ dan $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ untuk semua $n \in \N$.

1. Buktikan dengan induksi bahwa $0 \leq u_n \leq 2$ untuk semua $n$ .
2. Tunjukkan bahwa $(u_n)$ [naik](#def-g12-seq-monotonic) .
3. Simpulkan bahwa $(u_n)$ [konvergen](#def-g12-seq-limit) lalu tentukan limitnya.

**Solusi Latihan 20.6.**

*1.* $u_0 = 0 \in \intcc{0}{2}$. Jika $0 \leq u_n \leq 2$, maka $2 \leq u_n + 2 \leq 4$, sehingga $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$; khususnya $0 \leq u_{n+1} \leq 2$. Menurut induksi, sifat itu berlaku untuk semua $n$.

*2.* $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n$. Untuk $x \in \intcc{0}{2}$, $\sqrt{x+2} \geq x \iff x + 2 \geq x^2 \iff (2-x)(x+1) \geq 0$, yang benar. Jadi $(u_n)$ [naik](#def-g12-seq-monotonic).

*3.* Karena [naik](#def-g12-seq-monotonic) dan [terbatas di atas](#def-g12-seq-bounded) oleh $2$, $(u_n)$ [konvergen](#def-g12-seq-limit) ke suatu $\ell \in \intcc{0}{2}$. Menerapkan limit pada $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ (pemetaan $x \mapsto \sqrt{x+2}$ kontinu) memberi $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, sehingga $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, yaitu $\ell \in \{-1, 2\}$. Karena $\ell \geq 0$, diperoleh $\lim u_n = 2$.

**Latihan 20.7 ★★.**

Seorang pasien meminum dosis $1$ satuan obat setiap pagi. Selama setiap selang 24 jam, tubuhnya menyingkirkan $40\%$ obat yang ada. Misalkan $u_n$ banyaknya obat dalam tubuh tepat setelah dosis pada hari ke-$n$, sehingga $u_0 = 1$.

1. Berikan alasan bahwa $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ .
2. Misalkan $v_n = u_n - 2.5$ . Tunjukkan bahwa $(v_n)$ [geometri](#def-g12-seq-arith-geom) lalu simpulkan rumus eksplisit untuk $u_n$ .
3. Tentukan banyaknya obat dalam tubuh dalam jangka panjang.

**Solusi Latihan 20.7.**

*1.* Di antara dua dosis, $40\%$ obatnya tersingkirkan, sehingga banyaknya $u_n$ menjadi $0.6\,u_n$; dosis berikutnya menambahkan $1$ satuan: $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$.

*2.* $v_{n+1} = u_{n+1} - 2.5 = 0.6\,u_n + 1 - 2.5 = 0.6(u_n - 2.5)
= 0.6\,v_n$: jadi $(v_n)$ [geometri](#def-g12-seq-arith-geom) dengan [rasio](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-geometric) $0.6$ dan suku pertama $v_0 = 1 - 2.5 = -1.5$. Karena itu $v_n = -1.5 \times 0.6^n$ dan

$$
u_n = 2.5 - 1.5 \times 0.6^n .
$$

*3.* Karena $0.6^n \to 0$, diperoleh $u_n \to 2.5$: jadi banyaknya obat menetap pada $2.5$ satuan.

**Latihan 20.8 ★★.**

Misalkan $(u_n)$ ditentukan oleh $u_0 = 3$ dan $u_{n+1} = \frac{4u_n - 1}{u_n + 2}$.

1. Tunjukkan dengan induksi bahwa $u_n > 1$ untuk semua $n \in \N$ .
2. Tunjukkan bahwa $v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}$ menentukan [barisan aritmetika](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-arithmetic) .
3. Simpulkan rumus eksplisit untuk $v_n$ dan $u_n$ , serta limit $(u_n)$ .

**Solusi Latihan 20.8.**

*1.* $u_0 = 3 > 1$. Jika $u_n > 1$, maka $u_n + 2 > 0$ dan

$$
u_{n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1 - u_n - 2}{u_n + 2} = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2} > 0 .
$$

Menurut induksi, $u_n > 1$ untuk semua $n$ (dan khususnya $u_n + 2 \neq 0$, sehingga [barisannya](#def-g12-seq-sequence) terdefinisi dengan baik).

*2.* Dengan memakai identitas di atas,

$$
v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)}
= \frac{(u_n - 1) + 3}{3(u_n - 1)} = \frac{1}{3} + v_n .
$$

Jadi $(v_n)$ [aritmetika](#def-g12-seq-arith-geom) dengan [beda](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-arithmetic) $\frac13$ dan $v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac12$.

*3.* $v_n = \frac12 + \frac{n}{3}$, sehingga $u_n = 1 + \frac{1}{v_n} = 1 + \frac{6}{3 + 2n}$. Karena $v_n \to +\infty$, diperoleh $u_n \to 1$.

**Latihan 20.9 ★★★.**

Untuk $n \geq 1$, misalkan $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$.

1. Tunjukkan bahwa untuk semua $n \geq 1$ , $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$ .
2. Simpulkan bahwa $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ untuk semua $k \in \N$ , lalu simpulkan bahwa $H_n \to +\infty$ .

**Solusi Latihan 20.9.**

*1.* $H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ adalah jumlah $n$ suku, masing-masing paling sedikit $\frac{1}{2n}$; sehingga $H_{2n} - H_n \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac12$.

*2.* Dengan induksi pada $k$: $H_{2^0} = H_1 = 1 \geq 1$. Jika $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$, maka menerapkan butir 1 dengan $n = 2^k$,

$$
H_{2^{k+1}} \geq H_{2^k} + \frac12 \geq 1 + \frac{k+1}{2}.
$$

[Barisan](#def-g12-seq-sequence) $(H_n)$ [naik](#def-g12-seq-monotonic) (setiap langkahnya menambahkan $\frac{1}{n+1} > 0$) dan subbarisan $H_{2^k}$ takterbatas, sehingga $(H_n)$ tidak [terbatas di atas](#def-g12-seq-bounded). Karena [naik](#def-g12-seq-monotonic) dan takterbatas, [barisan](#def-g12-seq-sequence) itu menuju $+\infty$ ([Teorema 20.18](#thm-g12-seq-monotone)).

**Latihan 20.10 ★★★.**

*([Barisan](#def-g12-seq-sequence) berdampingan.)* Dua [barisan](#def-g12-seq-sequence) $(a_n)$ dan $(b_n)$ disebut *berdampingan* bila $(a_n)$ [naik](#def-g12-seq-monotonic), $(b_n)$ turun, dan $b_n - a_n \to 0$.

1. Tunjukkan bahwa untuk semua $n$ berlaku $a_n \leq b_n$ . (Petunjuk: telaahlah kemonotonan $(b_n - a_n)$ .)
2. Tunjukkan bahwa [barisan](#def-g12-seq-sequence) yang berdampingan sama-sama [konvergen](#def-g12-seq-limit) , ke limit yang sama.
3. Penerapannya: tunjukkan bahwa [barisan](#def-g12-seq-sequence) $a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ dan $b_n = a_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ ( $n \geq 1$ ) berdampingan. (Limit bersamanya adalah bilangan $\eu$ , yang ditelaah pada [Bab 23](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/23-eksponen-dan-logaritma#ch-g12-exp) .)

**Solusi Latihan 20.10.**

*1.* [Barisan](#def-g12-seq-sequence) $d_n = b_n - a_n$ memenuhi $d_{n+1} - d_n = (b_{n+1} - b_n) - (a_{n+1} - a_n) \leq 0$, sehingga $(d_n)$ turun; karena $d_n \to 0$, diperoleh $d_n \geq 0$ untuk semua $n$ ([barisan](#def-g12-seq-sequence) turun yang mempunyai suku negatif akan tetap berada di bawahnya selamanya, sehingga menghalangi limit $0$). Jadi $a_n \leq b_n$.

*2.* Dari $a_n \leq b_n \leq b_0$, [barisan](#def-g12-seq-sequence) [naik](#def-g12-seq-monotonic) $(a_n)$ [terbatas di atas](#def-g12-seq-bounded), sehingga [konvergen](#def-g12-seq-limit) ke suatu $\ell$. Serupa dengan itu $(b_n)$, yang turun dan [terbatas di bawah](#def-g12-seq-bounded) oleh $a_0$, [konvergen](#def-g12-seq-limit) ke suatu $\ell'$. Lalu $\ell' - \ell = \lim (b_n - a_n) = 0$, sehingga $\ell = \ell'$.

*3.* $(a_n)$ bersifat (tegas) [naik](#def-g12-seq-monotonic) sebab $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$. Untuk $(b_n)$,

$$
b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n\,n!}
= \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!}
= \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0 ,
$$

sehingga $(b_n)$ turun. Akhirnya $b_n - a_n = \frac{1}{n\,n!} \to 0$. Kedua [barisan](#def-g12-seq-sequence) itu berdampingan, sehingga [konvergen](#def-g12-seq-limit) ke limit yang sama.

## 20.6 Soal: Barisan Heron, akhirnya diadili

**Soal 20.1.**

Soal akhir pekan — induksi mengesahkan, kekonvergenan monoton menjatuhkan vonis, dan resep berumur dua ribu tahun untuk $\sqrt2$ akhirnya memperoleh buktinya (dengan rataan menakjubkan milik Gauss sebagai penutup)

Tiga kali seri buku ini berjumpa dengan resep Heron — rata-ratakan terkaan dengan $2/\text{terkaan}$ — dan tiga kali pula hanya dapat *mengamati* bahwa resep itu berhasil. Bab ini akhirnya memiliki alat penghakimannya: induksi ([Teorema 20.1](#thm-g12-seq-induction)), teorema kekonvergenan [monoton](#def-g12-seq-monotonic) ([Teorema 20.18](#thm-g12-seq-monotone)), dan limit rekurensi. Vonisnya, beserta laju yang tersahkan, menempati jantung soal ini; di sekelilingnya, jebakan klasik induksi, kedivergenan paling lambat dalam matematika, dan kekonvergenan tercepat yang pernah ditemukan Gauss.

**Bagian I — Pemanasan induksi.**

1. Buktikan dengan induksi: $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ (tangga bilangan ganjil, yang digambar di jilid sebelumnya, kini tersahkan).
2. Buktikan dengan induksi bahwa $2^n > n$ untuk setiap $n \in \N$ .
3. Buktikan ketaksamaan Bernoulli dengan induksi: untuk $x \geq 0$ dan $n \in \N$ , berlaku $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ .
4. Jebakan klasiknya: “semua kelereng berwarna sama — benar untuk satu kelereng; dan jika sebarang $n$ kelereng selalu berwarna tunggal, maka di antara $n + 1$ kelereng, $n$ yang pertama sewarna, $n$ yang terakhir sewarna, sehingga seluruh $n + 1$ kelereng pun sewarna.” Setiap anak tahu kesimpulan itu mustahil: carilah langkah persisnya tempat induksinya patah.
5. Buktikan dengan induksi bahwa $4^n - 1$ habis dibagi $3$ untuk setiap $n \in \N$ .

**Bagian II — Pengadilan Heron.** Misalkan $x_0 = 2$ dan $x_{n+1} = \dfrac12\left(x_n +
\dfrac{2}{x_n}\right)$.

6. Hitunglah $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ sebagai pecahan eksak (kawan-kawan lama).
7. Buktikan identitas kuncinya $$x_{n+1}^2 - 2 = \left(\frac{x_n^2 - 2}{2x_n}\right)^{\!2}  \geq 0,$$ lalu simpulkan dengan induksi bahwa $x_n > 0$ dan $x_n^2 > 2$ untuk setiap $n$.
8. Tunjukkan bahwa $(x_n)$ tegas turun (hitunglah $x_{n+1} - x_n$ lalu pakai pertanyaan 7).
9. Panggillah teorema kekonvergenan [monoton](#def-g12-seq-monotonic) : mengapa $(x_n)$ [konvergen](#def-g12-seq-limit) ke suatu limit $L \geq 1$ ?
10. Kenali limitnya: terapkan limit pada rekurensinya ( [Proposisi 20.14](#prop-g12-seq-operations) ) lalu simpulkan $L = \sqrt2$ . Nyatakan vonis sejarahnya: setelah dua ribu tahun mengabdi dengan setia, resep Heron *terbukti* [konvergen](#def-g12-seq-limit) .
11. Laju yang tersahkan: dengan $e_n = x_n - \sqrt2$, buktikan $$e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2 x_n} ,$$ lalu simpulkan $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$: jadi galatnya dikuadratkan pada setiap langkah — penggandaan angka yang teramati sejak jilid sebelumnya, kini menjadi teorema.
12. Benarkan secara numeris: hitunglah $e_0, e_1, e_2, e_3$ (dari pertanyaan 6) lalu periksalah bahwa setiap $\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$ dekat dengan $\frac{1}{2x_n}$ .

**Bagian III — Kedivergenan paling lambat.**

13. [Latihan 20.9](#exo-g12-seq-9) membuktikan $H_{2^k} \geq 1 + \frac k2$ untuk jumlah harmoniknya. Berapa banyak suku yang menjamin $H_n > 10$ ? (Sebuah pangkat dua sudah cukup; kagumilah besarnya.)
14. Sebagai bandingannya, jumlah [geometri](#def-g12-seq-arith-geom) $1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^n} =  2 - \frac{1}{2^n}$ [konvergen](#def-g12-seq-limit) ke $2$ ( [Teorema 20.20](#thm-g12-seq-geometric) ): gerak hati batang cokelat di jilid sebelumnya, akhirnya menjadi pernyataan limit. Tulislah bukti dua barisnya.
15. Di antara keduanya: tunjukkan bahwa jumlah $S_n = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots +  \frac{1}{n^2}$ [konvergen](#def-g12-seq-limit) , dengan membatasi $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} =  \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ (untuk $k \geq 2$ ), secara teleskopik, lalu menerapkan kekonvergenan [monoton](#def-g12-seq-monotonic) . (Limitnya, $\frac{\pi^2}{6}$ , adalah salah satu keajaiban Euler, yang dibuktikan pada jilid universitas.)
16. Nyatakan moral pertanyaan 13–15 dalam dua kalimat: apa yang diputuskan oleh “sukunya menuju $0$ ” tentang kekonvergenan jumlahnya — dan apa yang tidak?

**Bagian IV — Rataan aritmetika–geometri milik Gauss.** Misalkan $a_0 = 1$, $b_0 = 2$, dan

$$
a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n},
\qquad
b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} .
$$

17. Hitunglah $a_1, b_1, a_2, b_2$ (lima angka desimal). Apa yang kamu amati tentang lajunya?
18. Tunjukkan bahwa $a_n \leq b_n$ untuk setiap $n$ (yaitu ketaksamaan rataan aritmetika–geometri, yang dijumpai di sepanjang seri ini), bahwa $(a_n)$ [naik](#def-g12-seq-monotonic) dan $(b_n)$ turun.
19. Tunjukkan bahwa $b_{n+1} - a_{n+1} \leq \frac{b_n - a_n}{2}$ (faktorkan $b_{n+1} - a_{n+1} =  \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2}$ lalu bandingkan), lalu simpulkan dengan [Latihan 20.10](#exo-g12-seq-10) bahwa kedua [barisan](#def-g12-seq-sequence) itu berdampingan: keduanya berbagi limit bersama $M(1, 2)$ , yaitu *rataan aritmetika–geometri* .
20. Hitunglah $M(1, 2)$ sampai enam angka desimal (berapa iterasi yang kamu perlukan?). Pada 30 Mei 1799, Gauss menghitung $M(1, \sqrt2)$ sampai sebelas angka desimal, mengenali $\frac{\pi}{M(1,\sqrt2)}$ sebagai sebuah integral yang sudah dikenalnya, lalu menulis bahwa sebuah “lapangan baru analisis” telah terbuka — dan memang demikian: integral eliptik, yang diceritakan pada jilid universitas. Tutuplah dengan laju kekonvergenan yang teramati pada soal ini, dari yang paling lambat sampai yang paling cepat.

**Solusi Soal 20.1.**

**1.** Benar untuk $n = 1$ ($1 = 1^2$). Jika $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$, maka menambahkan bilangan ganjil berikutnya: $n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2$: itulah keturunannya. Menurut induksi, benar untuk semua $n \geq 1$.

**2.** $2^0 = 1 > 0$. Jika $2^n > n$, maka $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2n \geq n + 1$ untuk $n \geq 1$ (dan $n = 0$ terperiksa langsung): keturunannya beres.

**3.** $n = 0$: $1 \geq 1$. Jika $(1 + x)^n \geq 1 + nx$, kalikan dengan $1 + x \geq 1 > 0$: $(1 + x)^{n+1} \geq (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^2
\geq 1 + (n + 1)x$.

**4.** Langkah dari $n = 1$ ke $n = 2$: di antara dua kelereng, “$n$ yang pertama” dan “$n$ yang terakhir” adalah dua kelereng tunggal yang *lepas* — tidak ada kelereng bersama yang menjembatani kedua kelompoknya, sehingga tidak ada yang memaksa warnanya sama. Alasan keturunannya diam-diam menuntut kedua kelompoknya bertindih, dan itu baru benar mulai $n \geq 2$; dengan langkah dasar $n = 1$ rantainya tidak pernah bermula.

**5.** $4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0$. Jika $4^n - 1 = 3k$, maka $4^{n+1} - 1 = 4(4^n - 1) + 3 = 3(4k + 1)$: itulah keturunannya.

**6.** $x_1 = \frac32$, $x_2 = \frac{17}{12}$, $x_3 = \frac{577}{408}$.

**7.** $x_{n+1}^2 - 2 = \frac{(x_n^2 + 2)^2 - 8x_n^2}
{4x_n^2} = \frac{(x_n^2 - 2)^2}{4 x_n^2}$: sebuah kuadrat dibagi bilangan positif, jadi $\geq 0$, dan $> 0$ setiap kali $x_n^2 \neq 2$. Induksinya: $x_0 = 2 > 0$ dengan $x_0^2 = 4 > 2$; jika $x_n > 0$ dan $x_n^2 > 2$, maka $x_{n+1}$ (rata-rata dua bilangan positif) bernilai positif dan $x_{n+1}^2 - 2 > 0$.

**8.** $x_{n+1} - x_n = \frac{2 - x_n^2}{2x_n} < 0$ menurut pertanyaan 7: jadi tegas turun.

**9.** Karena turun dan [terbatas di bawah](#def-g12-seq-bounded) (oleh $1$, sebab $x_n^2 > 2 > 1$ dan $x_n > 0$): menurut teorema kekonvergenan [monoton](#def-g12-seq-monotonic), $(x_n)$ [konvergen](#def-g12-seq-limit) ke suatu $L \geq 1$.

**10.** Limit menghormati aljabarnya: dari $x_{n+1} = \frac12\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$ dan $x_n \to L \geq 1 > 0$ diperoleh $L = \frac12\left(L + \frac2L\right)$, sehingga $L^2 = 2$ dan, karena $L$ positif, $L = \sqrt2$. Vonisnya: kekonvergenannya terbukti, limitnya terkenali — Heron dibebaskan dengan pujian.

**11.** $x_{n+1} - \sqrt2 = \frac{x_n^2 - 2\sqrt2\,x_n +
2}{2x_n} = \frac{(x_n - \sqrt2)^2}{2x_n}$: tepat $e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2x_n}$, dan $x_n > \sqrt2$ memberi $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$. Galat yang dikuadratkan: setiap langkahnya melipatduakan banyaknya angka desimal yang benar, sebagaimana teramati sejak jilid sebelumnya.

**12.** $e_0 \approx 0.5858$, $e_1 \approx 0.0858$, $e_2 \approx 0.00245$, $e_3 \approx 2.1 \times 10^{-6}$. [Rasionya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-geometric) $\frac{e_1}{e_0^2} \approx 0.25 = \frac{1}{2x_0}$; $\frac{e_2}{e_1^2} \approx 0.333 = \frac{1}{2x_1}$; $\frac{e_3}{e_2^2} \approx 0.353 \approx \frac{1}{2x_2}$: jadi teoremanya sedang bekerja.

**13.** $H_{2^{18}} \geq 1 + 9 = 10$: sekitar $260\,000$ suku ($2^{18} = 262\,144$) hanya untuk melampaui $10$ — kedivergenan yang merangkak (dan $H_n > 100$ akan menuntut suku lebih banyak daripada atom di perpustakaan mana pun).

**14.** $S_n = 2 - \frac{1}{2^n}$ (jumlah [geometri](#def-g12-seq-arith-geom)), dan $\frac{1}{2^n} \to 0$ ([Teorema 20.20](#thm-g12-seq-geometric)), sehingga $S_n \to 2$: batang cokelat yang digigit tanpa henti menuju, tanpa pernah mencapai, keseluruhannya — dan kini dalam bahasa resmi limit.

**15.** Untuk $k \geq 2$: $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} -
\frac1k$, sehingga $S_n \leq 1 + \left(1 - \frac1n\right) < 2$: karena [naik](#def-g12-seq-monotonic) dan [terbatas di atas](#def-g12-seq-bounded), [barisan](#def-g12-seq-sequence) itu [konvergen](#def-g12-seq-limit) (kekonvergenan [monoton](#def-g12-seq-monotonic)). Euler kemudian menamai limitnya: $\frac{\pi^2}{6}$.

**16.** Suku yang menuju $0$ memang *perlu* agar jumlahnya mengendap, tetapi tidak memutuskan apa-apa: suku harmonik $\frac1n \to 0$ padahal jumlahnya meledak; suku $\frac{1}{n^2} \to 0$ dan jumlahnya [konvergen](#def-g12-seq-limit). Seberapa *cepat* sukunya mati, itulah seluruh pertanyaannya — yaitu teori deret, yang dibangun pada jilid universitas.

**17.** $a_1 = \sqrt2 \approx 1.41421$, $b_1 = 1.5$; $a_2 \approx 1.45648$, $b_2 \approx 1.45711$: dua iterasi saja sudah cocok sampai tiga angka desimal — laju yang memukau.

**18.** $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} -
\sqrt{a_n b_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2} \geq
0$: jadi kedua rataannya tetap berurutan. $(a_n)$ [naik](#def-g12-seq-monotonic): $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \geq \sqrt{a_n \cdot a_n} = a_n$; $(b_n)$ turun secara setangkup.

**19.** $\frac{b_{n+1} - a_{n+1}}{b_n - a_n} =
\frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}
{2(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})}
= \frac{\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n}}{2(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})}
\leq \frac12$: jadi selisihnya paling sedikit terbagi dua, sehingga $b_n - a_n \to 0$; bersama pertanyaan 18, kedua [barisan](#def-g12-seq-sequence) itu berdampingan dan berbagi limit $M(1, 2)$.

**20.** Iterasi ketiganya memberi $a_3 \approx b_3 \approx 1.456791$: jadi $M(1, 2) \approx
1.456791$ dalam tiga putaran engkol (selisihnya kira-kira *dikuadratkan*, seperti pada Heron). Urutan laju [barisan](#def-g12-seq-sequence) pada soal ini, dari yang paling lambat sampai yang paling cepat: jumlah harmonik (kedivergenan sedingin gletser), jumlah [geometri](#def-g12-seq-arith-geom) (galatnya terbagi dua setiap langkah), lalu Heron dan rataan aritmetika–geometri (galatnya dikuadratkan setiap langkah) — dan laju yang tak wajar dari rataan itulah yang memberitahu Gauss bahwa ia telah menemukan urat baru analisis.

1. Setiap himpunan bagian taktakosong dari $\N$ mempunyai anggota terkecil; sifat $\N$ ini diambil sebagai aksioma. [↩](#fnref-1)