---
title: "Limit dan Kekontinuan"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 21
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan
---

# Bab 21 — Limit dan Kekontinuan

Bab ini memperluas gagasan limit dari [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) ke [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) dari satu peubah real, lalu memperkenalkan [kekontinuan](#def-g12-limcont-continuity). Hasil utamanya adalah teorema nilai antara, yang mengubah keterangan kualitatif (“$f$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) dan berganti tanda”) menjadi keberadaan penyelesaian sebuah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation).

## 21.1 Limit fungsi

Di sepanjang bab ini, $f$ adalah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) yang terdefinisi pada sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) atau gabungan [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $D \subseteq \R$.

**Definisi 21.1 (Limit di takhingga).**

Misalkan $f$ terdefinisi pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $\intco{a}{+\infty}$ dan $\ell \in \R$. Kita katakan bahwa $f$ *menuju $\ell$ di $+\infty$*, ditulis $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$, bila setiap [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) terbuka yang memuat $\ell$ memuat semua nilai $f(x)$ untuk $x$ yang cukup besar: untuk setiap $\varepsilon > 0$ ada $A$ sehingga untuk semua $x \geq A$ berlaku $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$.

Kita katakan $f$ menuju $+\infty$ di $+\infty$ bila untuk setiap $M \in \R$ ada $A$ sehingga $f(x) \geq M$ untuk semua $x \geq A$. Limit di $-\infty$ dan limit yang sama dengan $-\infty$ didefinisikan secara serupa.

**Definisi 21.2 (Limit di sebuah titik).**

Misalkan $a \in \R$ dan misalkan $f$ terdefinisi di dekat $a$ (kecuali mungkin di $a$). Kita katakan bahwa $f$ menuju $\ell \in \R$ di $a$, ditulis $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$, bila untuk setiap $\varepsilon > 0$ ada $\delta > 0$ sehingga untuk semua $x \in D$ dengan $\abs{x - a} \leq \delta$ berlaku $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$.

Kita katakan $f$ menuju $+\infty$ di $a$ bila untuk setiap $M$ ada $\delta > 0$ sehingga $f(x) \geq M$ setiap kali $x \in D$ dan $\abs{x - a} \leq \delta$. Limit sepihak ($x \to a^+$, $x \to a^-$) membatasi $x$ pada $x > a$ atau $x < a$.

**Contoh 21.3.**

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$, $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$, $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$. [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $x \mapsto \frac1x$ tidak berlimit (dua pihak) di $0$.

**Definisi 21.4 (Asimtot).**

Garis $y = \ell$ disebut *asimtot mendatar* kurva $f$ di $+\infty$ (masing-masing $-\infty$) bila $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (masing-masing di $-\infty$). Garis $x = a$ disebut *asimtot tegak* bila $f$ mempunyai limit sepihak yang takhingga di $a$.

![Kurva f(x) = 2 + 1/x-1 beserta asimtot mendatarnya y = 2 (di ±∈fty) dan asimtot tegaknya x = 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-80a817492b00.svg)

*Kurva $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ beserta [asimtot mendatarnya](#def-g12-limcont-asymptote) $y = 2$ (di $\pm\infty$) dan [asimtot tegaknya](#def-g12-limcont-asymptote) $x = 1$.*

**Proposisi 21.5 (Operasi pada limit).**

Aturan [Proposisi 20.14](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#prop-g12-seq-operations) (jumlah, hasil kali, hasil bagi) berlaku kata demi kata untuk limit [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function), di sebuah titik atau di takhingga, dengan keempat bentuk taktentu yang sama $(+\infty)+(-\infty)$, $0\times\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$.

**Bukti.** Buktinya sama persis dengan kasus [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence), dengan mengganti “untuk $n \geq N$” oleh “untuk $x \geq A$” atau “untuk $\abs{x-a} \leq \delta$”. ∎

**Teorema 21.6 (Limit sebuah komposisi).**

Misalkan $f, g$ dua [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) dan $a, b, c$ [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) atau $\pm\infty$. Jika $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ dan $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$, maka

$$
\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .
$$

Pernyataan yang sama berlaku dengan sebuah [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) sebagai ganti $f$: jika $u_n \to b$ dan $\lim_{y\to b} g(y) = c$, maka $g(u_n) \to c$.

**Bukti.** Ambil $b, c$ berhingga (kasus lainnya serupa). Misalkan $\varepsilon > 0$. Ada $\delta > 0$ sehingga $\abs{y - b} \leq \delta$ mengakibatkan $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$; dan ada $\delta' > 0$ sehingga $\abs{x - a} \leq \delta'$ mengakibatkan $\abs{f(x) - b} \leq \delta$. Merangkai keduanya memberi $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ untuk $\abs{x - a} \leq \delta'$. ∎

**Teorema 21.7 (Pembandingan dan apitan).**

Misalkan $f, g, h$ [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) dan $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$.

1. Jika $f \leq g$ di dekat $a$ dan $f(x) \to +\infty$ ketika $x \to a$ , maka $g(x) \to +\infty$ .
2. Jika $f \leq g \leq h$ di dekat $a$ dan $f, h$ menuju limit berhingga yang sama $\ell$ di $a$ , maka $g(x) \to \ell$ ketika $x \to a$ .

**Bukti.** Alasan yang sama seperti untuk [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) ([Teorema 20.16](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#thm-g12-seq-squeeze)). ∎

**Metode 21.8 (Menghitung limit dalam praktik).**

- Polinomial dan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) rasional di $\pm\infty$ : keluarkan pangkat tertinggi $x$ sebagai faktor; limitnya adalah limit perbandingan suku utamanya.
- Bentuk $\frac{0}{0}$ di sebuah titik $a$ : keluarkan $(x-a)$ sebagai faktor pembilang dan penyebutnya, atau kenali sebuah [turunan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/12-turunan-perkenalan-pertama#def-g11-deriv-derivative) $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ ( [Bab 22](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#ch-g12-deriv) ).
- [Akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) kuadrat: kalikan dengan bentuk sekawannya.
- Faktor yang berosilasi ( $\cos$ , $\sin$ ): pakailah teorema apit.

## 21.2 Kekontinuan

**Definisi 21.9 (Kekontinuan).**

Misalkan $f$ terdefinisi pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $I$ dan $a \in I$. [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $f$ disebut *kontinu di $a$* bila $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$. [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu disebut *kontinu pada $I$* bila kontinu di setiap titik $I$.

Secara gerak hati, [grafik](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) yang [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) pada sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) dapat digambar tanpa mengangkat pena.

**Proposisi 21.10 (Kekontinuan fungsi yang lazim).**

Polinomial, [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) rasional, $x \mapsto \sqrt{x}$, $x \mapsto \abs{x}$, $\cos$, $\sin$, $\exp$ dan $\ln$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) pada setiap [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) yang termuat dalam [daerah asalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function). Jumlah, hasil kali, hasil bagi (di tempat yang terdefinisi) dan komposisi [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) bersifat [kontinu](#def-g12-limcont-continuity).

**Bukti sebagian.** Kestabilannya terhadap jumlah, hasil kali, hasil bagi dan komposisi menyusul dari teorema limit yang bersesuaian. [Kekontinuan](#def-g12-limcont-continuity) $x \mapsto x$ dan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) tetap langsung terlihat dari definisinya, sehingga polinomial dan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) rasional [kontinu](#def-g12-limcont-continuity). [Kekontinuan](#def-g12-limcont-continuity) [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) lazim yang lain dibuktikan pada bab tempat [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu disusun, atau diterima tanpa bukti. ∎

**Contoh 21.11.**

*[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) lantai* $x \mapsto \floor{x}$ ([bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) terbesar $\leq x$) tidak [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) di [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $n$ mana pun: limit kirinya di sana adalah $n - 1$ sedangkan $\floor{n} = n$.

![Fungsi lantai melompat di setiap bilangan bulat: nilainya (titik penuh) berbeda dari limit kirinya (titik kosong).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-436d9712d64c.svg)

*[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) lantai melompat di setiap [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets): nilainya (titik penuh) berbeda dari limit kirinya (titik kosong).*

**Proposisi 21.12 (Barisan dan kekontinuan).**

Jika $u_n \to \ell$ dan $f$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) di $\ell$, maka $f(u_n) \to f(\ell)$. Khususnya, jika [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) yang ditentukan oleh $u_{n+1} = f(u_n)$ [konvergen](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-limit) ke $\ell$ dan $f$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) di $\ell$, maka $f(\ell) = \ell$.

**Bukti.** Pernyataan pertamanya adalah [Teorema 21.6](#thm-g12-limcont-composition) yang diterapkan dengan [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$. Untuk yang kedua, terapkan limit pada kedua ruas $u_{n+1} = f(u_n)$: ruas kirinya menuju $\ell$, ruas kanannya menuju $f(\ell)$, dan limitnya tunggal. ∎

## 21.3 Teorema nilai antara

**Teorema 21.13 (Teorema nilai antara).**

Misalkan $f$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) pada $\intcc{a}{b}$ dan misalkan $k$ sebarang bilangan di antara $f(a)$ dan $f(b)$. Maka ada $c \in \intcc{a}{b}$ sehingga $f(c) = k$.

![Teorema nilai antara: kurva kontinu yang menghubungkan (a, f(a)) dengan (b, f(b)) pasti memotong setiap garis mendatar y = k yang terletak di antara f(a) dan f(b).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-04c34a00da51.svg)

*Teorema nilai antara: kurva [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) yang menghubungkan $(a, f(a))$ dengan $(b, f(b))$ pasti memotong setiap garis mendatar $y = k$ yang terletak di antara $f(a)$ dan $f(b)$.*

**Bukti.** Dengan mengganti $f$ oleh $f - k$ (dan oleh $k - f$ bila perlu), kita boleh menganggap $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ lalu mencari sebuah nol $f$. Kita susun dua [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) lewat *dikotomi*: ambil $a_0 = a$, $b_0 = b$; diberikan $a_n \leq b_n$ dengan $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$, misalkan $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ lalu definisikan

$$
(a_{n+1}, b_{n+1}) =
\begin{cases}
(a_n, m) & \text{jika } f(m) \geq 0,\\
(m, b_n) & \text{jika } f(m) < 0.
\end{cases}
$$

Pada kedua kasusnya $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$, [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) $(a_n)$ naik, $(b_n)$ turun, dan $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$: jadi kedua [barisannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) berdampingan (lihat [Latihan 20.10](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#exo-g12-seq-10)) dan [konvergen](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-limit) ke limit bersama $c \in \intcc{a}{b}$. Menurut [kekontinuannya](#def-g12-limcont-continuity), $f(a_n) \to f(c)$ dan $f(b_n) \to f(c)$; menerapkan limit pada $f(a_n) \leq 0$ dan $f(b_n) \geq 0$ memberi $f(c) \leq 0 \leq f(c)$, sehingga $f(c) = 0$. ∎

**Catatan 21.14.**

Bukti [dikotominya](#thm-g12-limcont-ivt) adalah sebuah algoritme: bukti itu menghasilkan [hampiran](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-approx) sebuah penyelesaian setepat yang diinginkan, dengan galat yang terbagi dua pada setiap langkah. Beginilah komputer dapat menyelesaikan $f(x) = 0$ hanya dengan mengetahui cara menghitung $f$.

**Teorema 21.15 (Teorema bijeksi).**

Misalkan $f$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) dan *tegas [monoton](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-monotonic)* pada sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $I$. Maka untuk setiap $k$ yang terletak tegas di antara limit $f$ di titik ujung $I$, [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ mempunyai penyelesaian *tunggal* di $I$.

**Bukti.** Keberadaannya: pilihlah $a, b \in I$ dengan $k$ di antara $f(a)$ dan $f(b)$ (mungkin dilakukan sebab nilai $f$ mendekati limit di titik ujungnya), lalu terapkan teorema nilai antara pada $\intcc{a}{b}$. Ketunggalannya: jika $x < y$, kemonotonan yang tegas memberi $f(x) \neq f(y)$, sehingga dua titik yang berbeda tidak dapat sama-sama menjadi penyelesaian. ∎

**Metode 21.16 (Menyelesaikan f(x)=kf(x) = kf(x)=k dengan teorema bijeksi).**

Untuk membuktikan bahwa $f(x) = k$ mempunyai tepat satu penyelesaian pada sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval):

1. susunlah [tabel variasi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table) $f$ (tanda $f'$ , lihat [Bab 22](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#ch-g12-deriv) );
2. pada setiap [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) tempat $f$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) dan tegas [monoton](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-monotonic) , bandingkan $k$ dengan nilai atau limit di titik ujungnya;
3. terapkan teorema bijeksi pada setiap [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) semacam itu lalu bilanglah penyelesaiannya.

Sebuah kalkulator atau [dikotomi](#thm-g12-limcont-ivt) lalu menempatkan setiap penyelesaiannya sehalus yang diinginkan.

**Contoh 21.17.**

[Persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $x^3 + x = 1$ mempunyai penyelesaian real yang tunggal. Memang $f(x) = x^3 + x$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) dan tegas naik pada $\R$ (sebagai jumlah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) yang tegas naik), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ dan $\lim_{+\infty} f = +\infty$, sehingga teorema bijeksi berlaku dengan $k = 1$. Karena $f(0.6) = 0.816 < 1$ dan $f(0.7) = 1.043 > 1$, penyelesaiannya terletak di $\intoo{0.6}{0.7}$.

## 21.4 Latihan

**Latihan 21.1 ★.**

Hitunglah limit berikut:

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad
\lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad
\lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.
$$

**Solusi Latihan 21.1.**

Setelah dibagi $x^3$: $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x}
\to \dfrac{2}{5}$.

$x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ ketika $x \to -\infty$, sebab $x^2 \to +\infty$ dan isi kurungnya menuju $1$.

Ketika $x \to 2^+$, pembilangnya menuju $3 > 0$ dan penyebutnya menuju $0^+$, sehingga $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$.

Untuk $x > 0$, $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$, sehingga limitnya $0$ menurut teorema apit.

**Latihan 21.2 ★.**

Misalkan $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$, terdefinisi untuk $x \neq 1$.

1. Tunjukkan bahwa $f(x) = 2x - 1$ untuk semua $x \neq 1$ .
2. Simpulkan $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ . Dapatkah $f$ diperluas menjadi [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) yang [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) di $1$ ?

**Solusi Latihan 21.2.**

*1.* $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ ([akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) $x=1$ terlihat dari $2 - 3 + 1 = 0$). Untuk $x \neq 1$, hapuslah $x - 1$: $f(x) = 2x - 1$.

*2.* Jadi $\lim_{x\to1} f(x) = 1$. Menetapkan $f(1) = 1$ memperluas $f$ menjadi [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) polinomial $x \mapsto 2x-1$ pada $\R$, yang [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) di $1$.

**Latihan 21.3 ★.**

Tentukan [asimtot](#def-g12-limcont-asymptote) kurva $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ lalu sketsalah kurvanya.

**Solusi Latihan 21.3.**

Tulislah $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2}
= 3 - \dfrac{7}{x+2}$. Ketika $x \to \pm\infty$, $f(x) \to 3$: jadi garis $y = 3$ adalah [asimtot mendatar](#def-g12-limcont-asymptote) di kedua takhingga. Ketika $x \to (-2)^\pm$, $f(x) \to \mp\infty$: garis $x = -2$ adalah [asimtot tegak](#def-g12-limcont-asymptote). Kurvanya berupa [hiperbola](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-reference), di bawah $y=3$ untuk $x > -2$ dan di atasnya untuk $x < -2$.

**Latihan 21.4 ★★.**

Hitunglah

$$
\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr)
\qquad\text{dan}\qquad
\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.
$$

**Solusi Latihan 21.4.**

Kalikan dengan bentuk sekawannya:

$$
\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x}
= \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)}
= \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1}
\xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.
$$

Serupa dengan itu,

$$
\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)}
= \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.
$$

**Latihan 21.5 ★★.**

Misalkan $f(x) = x + \sin x$.

1. Tunjukkan bahwa $f(x) \to +\infty$ ketika $x \to +\infty$ , walaupun $f$ tidak [monoton](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-monotonic) pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $\intco{A}{+\infty}$ mana pun.
2. Tunjukkan bahwa $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ menuju $1$ di $+\infty$ .

**Solusi Latihan 21.5.**

*1.* Karena $\sin x \geq -1$, berlaku $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$, dan kita simpulkan lewat pembandingan. Namun $f'(x) = 1 + \cos x$ lenyap di setiap kelipatan ganjil $\pi$, dan pada setiap [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $\intco{A}{+\infty}$ [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu berselang-seling dengan [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) kenaikan yang tegas; [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu naik tetapi tidak tegas, dan yang lebih penting pertumbuhannya tidak diperlukan: pembandingannya sudah cukup.

*2.* Untuk $x > 1$, bagilah dengan $x$:

$$
g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},
$$

dan $\frac{\sin x}{x} \to 0$ menurut teorema apit ($\abs{\sin x} \leq 1$). Jadi $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$.

**Latihan 21.6 ★★.**

Tunjukkan bahwa [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $x^3 - 3x + 1 = 0$ mempunyai tepat tiga penyelesaian real, lalu berikan untuk masing-masing sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) sepanjang $1$ yang memuatnya. (Petunjuk: telaahlah variasi $f(x) = x^3 - 3x + 1$; [turunannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/12-turunan-perkenalan-pertama#def-g11-deriv-derivative) adalah $3x^2 - 3$.)

**Solusi Latihan 21.6.**

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity), dengan $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$: jadi $f$ naik pada $\intoc{-\infty}{-1}$, turun pada $\intcc{-1}{1}$, naik pada $\intco{1}{+\infty}$, dengan [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal $f(-1) = 3 > 0$ dan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal $f(1) = -1 < 0$, $\lim_{-\infty} f = -\infty$, $\lim_{+\infty} f = +\infty$.

Pada masing-masing ketiga [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) kemonotonannya, $f$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity), tegas [monoton](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-monotonic), dan $0$ terletak tegas di antara nilai atau limit di titik ujungnya, sehingga teorema bijeksi memberi tepat satu nol per [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval): seluruhnya tiga nol. Pemeriksaan tandanya: $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$, jadi satu nol di $\intoo{-2}{-1}$; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$, satu nol di $\intoo{0}{1}$; $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$, satu nol di $\intoo{1}{2}$.

**Latihan 21.7 ★★.**

Misalkan $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity). Tunjukkan bahwa $f$ mempunyai *[titik tetap](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1)*: ada $c \in \intcc{0}{1}$ dengan $f(c) = c$. (Petunjuk: terapkan teorema nilai antara pada $g(x) = f(x) - x$.)

**Solusi Latihan 21.7.**

Misalkan $g(x) = f(x) - x$, yang [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) pada $\intcc{0}{1}$. Karena $f(0) \in \intcc{0}{1}$, berlaku $g(0) = f(0) \geq 0$; karena $f(1) \in \intcc{0}{1}$, berlaku $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$. Menurut teorema nilai antara, $g$ lenyap di suatu $c \in \intcc{0}{1}$, yaitu $f(c) = c$.

**Latihan 21.8 ★★★.**

Seorang pendaki menyusuri jalur gunung, berangkat pukul 08.00 dan tiba pukul 20.00. Keesokan harinya ia menuruni jalur yang sama, lagi-lagi berangkat pukul 08.00 dan tiba pukul 20.00. Tunjukkan bahwa ada saat dalam sehari ketika ia berada tepat pada titik jalur yang sama pada kedua harinya. (Petunjuk: perkenalkan selisih kedua [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) kedudukannya.)

**Solusi Latihan 21.8.**

Misalkan $u(t)$ dan $d(t)$ kedudukannya (diukur sebagai jarak dari kaki jalurnya) pada waktu $t \in \intcc{8}{20}$ ketika mendaki dan ketika menuruni jalur. Keduanya [kontinu](#def-g12-limcont-continuity), dengan $u(8) = 0$, $u(20) = L$ (panjang jalurnya), $d(8) = L$, $d(20) = 0$. [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $g = u - d$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) dengan $g(8) = -L \leq 0$ dan $g(20) = L \geq 0$, sehingga $g(c) = 0$ untuk suatu waktu $c$ menurut teorema nilai antara: pada waktu $c$, kedudukannya pada kedua hari itu berimpit.

**Latihan 21.9 ★★★.**

Misalkan $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$.

1. Tunjukkan bahwa $f$ mempunyai satu nol real tunggal $\alpha$ , dan bahwa $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .
2. Perikan sebuah prosedur [dikotomi](#thm-g12-limcont-ivt) yang menghitung $\alpha$ dengan ketelitian $10^{-6}$ , lalu berikan banyaknya iterasi yang diperlukan bila dimulai dari $\intcc{0}{1}$ .

**Solusi Latihan 21.9.**

*1.* $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$, sehingga $f$ tegas naik pada $\R$; dengan $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ dan [kekontinuannya](#def-g12-limcont-continuity), teorema bijeksi memberi satu nol real tunggal $\alpha$. Karena $f(0) = -1 < 0$ dan $f(1) = 2 > 0$, diperoleh $\alpha \in \intoo{0}{1}$.

*2.* Pertahankan sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $\intcc{a_n}{b_n}$ dengan $f(a_n) < 0 < f(b_n)$, dimulai dari $\intcc{0}{1}$; pada setiap langkahnya hitunglah $f$ di [titik tengah](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $m$ lalu simpan separuh [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) tempat pergantian tandanya bertahan. Setelah $n$ langkah, [intervalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) berpanjang $2^{-n}$, sehingga [titik tengahnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) menghampiri $\alpha$ dengan ketelitian $2^{-(n+1)}$. Kita memerlukan $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$, yaitu $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$: jadi $n = 20$ iterasi sudah cukup.

## 21.5 Soal: Menyeberangi sungai pasti basah

**Soal 21.1.**

Soal akhir pekan — teorema nilai antara memaksa titik tetap, antipoda bersuhu sama dan meja yang berhenti goyang: tiga teorema yang terdengar mustahil dari satu gagasan

Remaslah sebuah [peta](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) lalu jatuhkan di mana saja di atas wilayah yang digambarnya: ada satu titik [peta](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) yang terletak *tepat* di atas tempat yang diwakilinya. Pada setiap saat, dua titik khatulistiwa yang berhadapan secara diametral mempunyai suhu yang *persis* sama. Dan sebuah meja persegi yang goyang di atas tanah bergelombang selalu dapat ditenangkan dengan *memutarnya*. Tiga sulap pesta, satu teorema: besaran yang [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) tidak dapat beralih dari negatif ke positif tanpa lenyap ([Teorema 21.13](#thm-g12-limcont-ivt)). Soal ini melatih limit, lalu membangun ketiga keajaiban itu — sekaligus mengetahui persis apa yang tidak dijanjikan teoremanya.

**Bagian I — Kefasihan dengan limit.**

1. Hitunglah $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ , $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ , dan $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x^2)$ ( [Metode 21.8](#met-g12-limcont-limits) ).
2. Berikan [asimtot](#def-g12-limcont-asymptote) $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ ( [Definisi 21.4](#def-g12-limcont-asymptote) ), dengan menghitung limit yang bersangkutan.
3. Hitunglah $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ (dengan [memfaktorkan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-expand) ) dan $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ (dengan bentuk sekawan).
4. Dengan teorema apit ( [Teorema 21.7](#thm-g12-limcont-squeeze) ): hitunglah $\lim_{x \to 0} x \sin\frac1x$ dan $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}$ .
5. Lewat komposisi dan suku yang menguasai: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$ .

**Bagian II — [Akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant), yang tersahkan.**

6. Tunjukkan bahwa [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $x^3 + x = 5$ mempunyai paling sedikit satu penyelesaian di $\intcc{1}{2}$ .
7. Tunjukkan bahwa penyelesaiannya tunggal pada $\R$ ( [Teorema 21.15](#thm-g12-limcont-bijection) ).
8. Buktikan yang klasik: *setiap polinomial berderajat ganjil mempunyai paling sedikit satu [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) real* . (Tuliskan alasannya untuk $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ : hitunglah kedua limit takhingganya lewat suku yang menguasai, lalu terapkan teorema nilai antara pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) yang besar.)
9. Menempatkan [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) pertanyaan 6 lewat [dikotomi](#thm-g12-limcont-ivt) : berapa kali $\intcc{1}{2}$ harus dibagi dua agar galatnya terjamin di bawah $10^{-6}$ ( [Latihan 21.9](#exo-g12-limcont-9) )? Bandingkan dengan penggandaan angka pada metode Newton ( [Soal 12.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/12-turunan-perkenalan-pertama#pb-g11-deriv-1) ): kira-kira berapa langkah yang diperlukannya?
10. Contoh penyangkal yang menjaga teoremanya: $g(x) = \frac1x$ memenuhi $g(-1) = -1 < 0$ dan $g(1) = 1 > 0$ , namun tidak pernah lenyap. Hipotesis mana pada teorema nilai antara yang gagal — dan apa yang diajarkan contoh itu tentang memeriksa hipotesis?

**Bagian III — Tiga teorema yang terdengar mustahil.**

11. Teorema [titik tetap](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) pada sebuah ruas: jika $f : \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) , buktikan bahwa ada $c$ yang memenuhi $f(c) = c$ . (Telaahlah $g(x) = f(x) - x$ di kedua ujungnya.)
12. Terjemahkan pertanyaan 11 ke [peta](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) yang teremas: apa yang berperan sebagai $f$ , mengapa nilainya mendarat di $\intcc{0}{1}$ (secara kiasan: di dalam wilayahnya), dan apa titik yang terletak tepat di atas letaknya sendiri? (Satu dimensi diterima diam-diam — pernyataan dua dimensi yang jujur adalah teorema Brouwer, pada jilid universitas.)
13. Khatulistiwa: misalkan $T$ sebuah suhu yang [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) pada sebuah lingkaran, yang dipandang sebagai [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) berkala $2\pi$ dengan $T(0) = T(2\pi)$ . Ambil $g(t) = T(t) - T(t + \pi)$ . Hitunglah $g(0) + g(\pi)$ , simpulkan bahwa $g$ lenyap di suatu tempat pada $\intcc{0}{\pi}$ , lalu nyatakan teoremanya tentang titik antipoda.
14. Meja yang goyang: sebuah meja persegi yang sempurna kaku berdiri di atas tanah bergelombang yang [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) (tanpa undakan!); tiga kakinya selalu menyentuh tanah, satu melayang setinggi $h(\theta)$ yang bergantung secara [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) pada sudut putar meja itu, $\theta$ . Jelaskan mengapa memutarnya seperempat putaran memaksa celah yang melayang itu berganti tanda — lalu simpulkan bahwa ada sudut $\theta^*$ yang menenangkan keempat kakinya. (Alasan ini diterbitkan sebagai teorema sungguhan pada tahun 2005; pemilik kafe sudah lebih dahulu tahu kiatnya.)
15. Pendaki pada [Latihan 21.8](#exo-g12-limcont-8) memakai skema yang sama. Nyatakan pola yang dibagi pertanyaan 11, 13, 14 dan pendaki itu — bangunlah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) yang mana, periksalah apa di kedua ujungnya, panggillah teorema apa — dalam tiga baris.
16. Apa yang *tidak* diberikan teorema nilai antara: keberadaannya datang cuma-cuma, tetapi dua pertanyaan mana yang dibiarkannya terbuka, dan perkakas mana pada soal ini yang menjawabnya (pertanyaan 7 dan 9)?

**Bagian IV — Potret beserta [asimtotnya](#def-g12-limcont-asymptote).**

17. Tulislah ulang $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ sebagai $3 - \dfrac{7}{x + 2}$ lalu pakailah untuk memerikan kurvanya selengkapnya: [asimtot](#def-g12-limcont-asymptote) , variasi pada masing-masing sisi, dan sketsanya. (Sebuah [hiperbola](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-reference) yang tergeser — kurva biaya rata-rata pada [Soal 4.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#pb-g10-reffunc-1) pun demikian.)
18. [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ tidak terdefinisi di $1$ . Nilai mana yang diberikan kepada $f(1)$ yang membuatnya [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) di sana — dan mengapa para analis menyebut titik semacam itu diskontinuitas yang *terhapuskan* ?
19. [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) lantai $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ ( [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) terbesar $\leq x$ ): di mana [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) , di mana ia melompat, dan mengapa kesimpulan teorema nilai antara gagal untuknya (carilah $a < b$ dengan $\lfloor a \rfloor < \frac12 < \lfloor b \rfloor$ namun tanpa penyelesaian $\lfloor x \rfloor = \frac12$ )?
20. Penutup — kedua wajah [kekontinuan](#def-g12-limcont-continuity) : janji lokalnya (nilai $=$ limit: tanpa teleportasi) dan kekuatan globalnya (teorema nilai antara: setiap nilai antaranya disinggahi). Golongkan keempat keajaiban Bagian III di bawah wajah yang tepat, lalu berikan nama matematis yang tepat bagi semboyan penyeberangan sungai itu.

**Solusi Soal 21.1.**

**1.** Suku yang menguasai: $\frac{3x^2}{x^2} \to 3$; $\frac{2x}{x^2} = \frac2x \to 0$; $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \frac1x\right) \to +\infty$.

**2.** $\lim_{x \to \pm\infty} f = 3$: jadi [asimtot mendatarnya](#def-g12-limcont-asymptote) $y = 3$; $\lim_{x \to (-2)^\pm} f = \mp\infty$: [asimtot tegaknya](#def-g12-limcont-asymptote) $x = -2$.

**3.** $\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$. Lalu $\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} =
\frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \to \frac12$.

**4.** $\abs{x \sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$, sehingga limitnya $0$. Lalu $\abs{\frac{\sin x}{x}} \leq \frac1x \to 0$: limitnya $0$.

**5.** $\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} =
\sqrt{4 + \frac1x} \to \sqrt4 = 2$ (lewat [kekontinuan](#def-g12-limcont-continuity) akar kuadrat dan komposisi).

**6.** $f(x) = x^3 + x$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) dengan $f(1) = 2 < 5 < 10 = f(2)$: menurut teorema nilai antara, $f(c) = 5$ untuk suatu $c \in \intoo{1}{2}$.

**7.** $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$: jadi tegas naik pada $\R$, [kontinu](#def-g12-limcont-continuity), dengan limit $\mp\infty$: menurut teorema bijeksi, setiap nilai — khususnya $5$ — dicapai tepat satu kali.

**8.** $p(x) = x^3\left(1 + \frac ax + \frac{b}{x^2} +
\frac{c}{x^3}\right)$: ketika $x \to +\infty$, $p \to +\infty$; ketika $x \to -\infty$, $p \to -\infty$. Jadi pada suatu [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) yang sangat besar $\intcc{-M}{M}$ berlaku $p(-M) < 0 < p(M)$: teorema nilai antara menyerahkan sebuah [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant). Alasan suku yang menguasai itu berlaku kata demi kata untuk sebarang derajat ganjil — pangkat ganjil mempertahankan tanda yang berlawanan di kedua takhingga.

**9.** Membagi dua sebanyak $n$ kali menyisakan [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) sepanjang $2^{-n}$; $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7} < 10^{-6}$: jadi dua puluh langkah. Newton melipatduakan angka yang benar setiap langkah: dari satu angka yang benar, sekitar $3$–$4$ langkah sudah mencapai enam — si kura-kura dan si anjing pemburu dalam pencarian [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant).

**10.** $g$ tidak [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) pada $\intcc{-1}{1}$: [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu meledak di $0$, yang termuat dalam [intervalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval). Kesimpulan teorema nilai antara menguap bersama hipotesisnya — periksalah selalu [kekontinuannya](#def-g12-limcont-continuity) *pada seluruh [intervalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval)*, bukan hanya di titik ujungnya.

**11.** $g(x) = f(x) - x$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity); $g(0) = f(0) \geq 0$ (nilainya terletak di $\intcc{0}{1}$) dan $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$. Menurut teorema nilai antara, $g(c) = 0$ untuk suatu $c$: yaitu $f(c) = c$.

**12.** Dengan mengidealkan wilayahnya sebagai ruas $\intcc{0}{1}$: $f$ mengirim setiap tempat ke tempat yang tergambar tepat di bawahnya pada [peta](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) yang teremas; meremas [peta](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) itu tetap membuatnya berada di atas wilayahnya, sehingga $f$ mendarat di $\intcc{0}{1}$, dan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) (kertasnya tidak robek). [Titik tetap](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) $c$ adalah tempat yang terletak persis di atas [petanya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) sendiri — teorema Brouwer menangani [peta](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-function) dua dimensi yang jujur.

**13.** $g(0) + g(\pi) = \left(T(0) - T(\pi)\right) +
\left(T(\pi) - T(2\pi)\right) = T(0) - T(2\pi) = 0$. Jadi $g(0)$ dan $g(\pi)$ saling berlawanan (atau keduanya nol): bagaimanapun juga $g$, yang [kontinu](#def-g12-limcont-continuity), lenyap di suatu $t^* \in \intcc{0}{\pi}$: $T(t^*) = T(t^* + \pi)$ — jadi di suatu tempat pada khatulistiwa, dua titik antipoda bersuhu sama, pada setiap saat.

**14.** Memutar mejanya seperempat putaran mempertukarkan peran kedua diagonalnya: sepasang kaki yang menekan tanah dan sepasang kaki yang (salah satunya) melayang bertukar keadaan, sehingga tinggi layangnya — yang dihitung bertanda sebagai “celah diagonal yang diistimewakan” — bertanda berlawanan pada $\theta$ dan $\theta + \frac\pi2$. Tanah yang [kontinu](#def-g12-limcont-continuity) membuat $h$ [kontinu](#def-g12-limcont-continuity), dan teorema nilai antara menyerahkan sebuah sudut $\theta^*$ dengan $h(\theta^*) = 0$: keempat kakinya menapak. (Meja persegi panjang atau tanah berundak tidak seberuntung itu.)

**15.** Polanya: bangunlah *selisih* kedua besaran yang ingin kamu buat berimpit ($f(x) - x$; $T(t) - T(t + \pi)$; kedudukan mendaki dikurangi kedudukan menuruni bagi sang pendaki; celah bertanda bagi mejanya); periksalah bahwa selisih itu mengambil nilai dari kedua tanda (sering lewat kesimetrian ujungnya); lalu panggillah teorema nilai antara pada [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) yang [kontinu](#def-g12-limcont-continuity). Keberimpitannya terpaksa.

**16.** Pertanyaan yang terbuka: *berapa banyak* penyelesaiannya (dijawab oleh kemonotonan yang tegas dan teorema bijeksi, pertanyaan 7) dan *di mana* letaknya (dijawab oleh [dikotomi](#thm-g12-limcont-ivt) atau Newton, pertanyaan 9). Teorema nilai antara adalah peramal keberadaan yang murni.

**17.** $3 - \frac{7}{x + 2}$: [asimtot tegaknya](#def-g12-limcont-asymptote) $x = -2$, [asimtot mendatarnya](#def-g12-limcont-asymptote) $y = 3$; pada masing-masing sisi $-2$ [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu naik ($-\frac{7}{x+2}$ naik di tempat yang terdefinisi); kurvanya adalah [hiperbola](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-reference) acuan $-\frac7x$ yang tergeser $2$ ke kiri dan $3$ ke atas — dua cabang yang memeluk perpotongan [asimtotnya](#def-g12-limcont-asymptote).

**18.** Untuk $x \neq 1$: $f(x) = x + 1$, sehingga $\lim_{x \to 1} f = 2$: menetapkan $f(1) = 2$ memulihkan [kekontinuannya](#def-g12-limcont-continuity). Ketakkontinuannya berupa tusukan, bukan lompatan — isilah satu titik yang hilang itu dan kurvanya sembuh: *terhapuskan*.

**19.** [Kontinu](#def-g12-limcont-continuity) pada setiap [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) antara dua [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) berurutan; di setiap [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $n$ [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu melompat dari $n - 1$ ke $n$. Dengan $a = 0.9$, $b = 1.1$: $\lfloor a \rfloor = 0 < \frac12 <
1 = \lfloor b \rfloor$, namun $\lfloor x \rfloor = \frac12$ tidak berpenyelesaian — lompatannya berteleportasi melewati $\frac12$, dan justru itulah yang dilarang teorema nilai antara bagi [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) [kontinu](#def-g12-limcont-continuity).

**20.** Wajah lokalnya: nilai $=$ limit di setiap titik — tusukan yang terhapuskan (pertanyaan 18) melanggarnya tetapi masih dapat diobati, sedangkan lompatan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) lantai (pertanyaan 19) tidak. Wajah globalnya: pada sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval), semua nilai antaranya disinggahi — surat keterangan [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) (6–8), [titik tetapnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1), khatulistiwanya, mejanya dan pendakinya semuanya tinggal di sini. Nama resmi semboyannya: *teorema nilai antara*.