---
title: "Turunan dan Kecembungan"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 22
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan
---

# Bab 22 — Turunan dan Kecembungan

[Turunan](#def-g12-deriv-derivative) mengukur laju perubahan sesaat sebuah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function); [turunan](#def-g12-deriv-derivative) itu adalah [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) [garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph). Bab ini meninjau ulang dan memperluas aturan penurunan, mengaitkan tanda $f'$ dengan variasi $f$, lalu memperkenalkan [kecembungan](#def-g12-deriv-convex), yang dikendalikan oleh [turunan](#def-g12-deriv-derivative) kedua.

## 22.1 Turunan

**Definisi 22.1 (Turunan di sebuah titik).**

Misalkan $f$ terdefinisi pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $I$ dan $a \in I$. [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $f$ disebut *dapat diturunkan di $a$* bila hasil bagi selisih

$$
\frac{f(a+h) - f(a)}{h}
$$

mempunyai limit berhingga ketika $h \to 0$. Limit itu disebut *turunan $f$ di $a$* dan ditulis $f'(a)$. Jika $f$ dapat diturunkan di setiap titik $I$, [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $f' \colon x \mapsto f'(x)$ disebut *turunan* $f$.

**Definisi 22.2 (Garis singgung).**

Jika $f$ [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) di $a$, *garis singgung* kurva $f$ di titik $(a, f(a))$ adalah garis dengan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation)

$$
y = f(a) + f'(a)(x - a).
$$

![Ketika h mengecil, garis sekan yang melalui A = (a, f(a)) dan (a+h, f(a+h)) (jingga) berputar menuju garis singgung di A (merah): gradiennya f(a+h)-f(a)/h menuju f'(a).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-aab2cf4487c6.svg)

*Ketika $h$ mengecil, [garis sekan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/12-turunan-perkenalan-pertama#def-g11-deriv-rate) yang melalui $A = (a, f(a))$ dan $(a+h, f(a+h))$ (jingga) berputar menuju [garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) di $A$ (merah): [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ menuju $f'(a)$.*

**Proposisi 22.3.**

[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) yang [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) di $a$ bersifat [kontinu](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#def-g12-limcont-continuity) di $a$. Kebalikannya salah.

**Bukti.** Untuk $h \neq 0$ yang kecil, $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Ketika $h \to 0$, ruas kanannya menuju $0 \times f'(a) = 0$, sehingga $f(a+h) \to f(a)$. Untuk kebalikannya, $x \mapsto \abs{x}$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#def-g12-limcont-continuity) di $0$, tetapi hasil bagi selisihnya di $0$ sama dengan $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ bergantung pada tanda $h$, dan tidak berlimit. ∎

### 22.1.1 Aturan penurunan

**Proposisi 22.4 (Operasi).**

Misalkan $u, v$ [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) pada $I$ dan $\lambda \in \R$. Maka $u + v$, $\lambda u$, $uv$ [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) pada $I$, demikian pula $\frac{u}{v}$ di tempat $v \neq 0$, dan

$$
(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad
(uv)' = u'v + uv', \quad
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
$$

**Bukti aturan hasil kali.** Tulislah hasil bagi selisih $uv$ di $a$ sebagai

$$
\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
= \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.
$$

Ketika $h \to 0$, $v(a+h) \to v(a)$ menurut [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#def-g12-limcont-continuity) ([Proposisi 22.3](#prop-g12-deriv-diffcont)), sehingga ruas kanannya menuju $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$. Aturan lainnya dibuktikan secara serupa. ∎

**Teorema 22.5 (Aturan rantai).**

Misalkan $u$ [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) pada $I$ dengan nilai di $J$, dan $g$ [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) pada $J$. Maka $g \circ u$ [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) pada $I$ dan

$$
(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .
$$

Khususnya, untuk $u$ yang [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative):

$$
(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad
\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad
\left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.
$$

**Sketsa bukti.** Ketika $u(a+h) \neq u(a)$ untuk $h$ yang kecil, tulislah

$$
\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h}
= \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.
$$

Ketika $h \to 0$, $u(a+h) \to u(a)$, sehingga faktor pertamanya menuju $g'(u(a))$ dan yang kedua menuju $u'(a)$. (Bukti yang lengkap harus menangani kasus $u(a+h) = u(a)$ untuk $h$ yang sekecil-kecilnya; butir teknis ini digarap di universitas.) ∎

**Contoh 22.6.**

[Turunan](#def-g12-deriv-derivative) yang lazim, yang berlaku pada [daerah asal](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) alaminya:

$$
(x^n)' = nx^{n-1}, \quad
\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad
(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad
(\cos x)' = -\sin x, \quad
(\sin x)' = \cos x .
$$

Yang pertama dibuktikan lewat induksi dari aturan hasil kali, dan dua yang terakhir pada [Bab 24](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/24-fungsi-trigonometri#ch-g12-trigo).

## 22.2 Variasi dan nilai ekstrem

**Teorema 22.7 (Tanda turunan dan variasi).**

Misalkan $f$ [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) pada sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $I$.

1. $f$ naik pada $I$ jika dan hanya jika $f' \geq 0$ pada $I$ .
2. $f$ turun pada $I$ jika dan hanya jika $f' \leq 0$ pada $I$ .
3. Jika $f' > 0$ pada $I$ kecuali di berhingga banyak titik tempat [turunannya](#def-g12-deriv-derivative) lenyap, maka $f$ tegas naik pada $I$ .

**Bukti sebagian.** Jika $f$ naik, setiap hasil bagi selisihnya $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ bernilai $\geq 0$, dan menerapkan limitnya memberi $f'(a) \geq 0$. Implikasi kebalikannya bersandar pada teorema nilai rata-rata, yang dibuktikan di universitas; keduanya *diterima tanpa bukti pada tingkat ini*. ∎

**Definisi 22.8 (Nilai ekstrem lokal).**

$f$ mempunyai *maksimum lokal* di $a$ bila $f(x) \leq f(a)$ untuk semua $x$ di dekat $a$; [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal didefinisikan secara setangkup.

**Proposisi 22.9 (Syarat orde satu).**

Jika $f$ [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) *terbuka* $I$ dan mempunyai [nilai ekstrem](#def-g12-deriv-extremum) lokal di $a \in I$, maka $f'(a) = 0$. Kebalikannya salah ($f(x) = x^3$ di $a = 0$).

**Bukti.** Katakan $a$ sebuah [maksimum lokal](#def-g12-deriv-extremum). Untuk $h > 0$ yang kecil, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$, sehingga membiarkan $h \to 0^+$ memberi $f'(a) \leq 0$; untuk $h < 0$ hasil baginya $\geq 0$, yang memberi $f'(a) \geq 0$. Jadi $f'(a) = 0$. ∎

![Pada nilai ekstrem lokal di dalam sebuah interval terbuka, garis singgungnya (jingga) mendatar: f'(a) = 0. Di sini f(x) = x3 - 3x, dengan maksimum lokal di -1 dan minimum lokal di 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-407cf2af40d9.svg)

*Pada [nilai ekstrem](#def-g12-deriv-extremum) lokal di dalam sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) terbuka, [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) (jingga) mendatar: $f'(a) = 0$. Di sini $f(x) = x^3 - 3x$, dengan [maksimum lokal](#def-g12-deriv-extremum) di $-1$ dan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal di $1$.*

**Metode 22.10 (Tabel variasi).**

Untuk menelaah sebuah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $f$: tentukan [daerah asalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) dan limitnya di batasnya; hitunglah $f'$ lalu faktorkan; tentukan tanda $f'$ pada setiap subinterval; catat semuanya dalam sebuah [tabel variasi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table), dengan menandai [nilai ekstremnya](#def-g12-deriv-extremum); lalu simpulkan banyaknya penyelesaian $f(x) = k$ dengan teorema bijeksi ([Teorema 21.15](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#thm-g12-limcont-bijection)).

## 22.3 Kecembungan

**Definisi 22.11 (Fungsi cembung).**

Sebuah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $f$ pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $I$ disebut *cembung* pada $I$ bila setiap tali busur [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) terletak di atas [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph): untuk semua $a, b \in I$ dan $t \in \intcc{0}{1}$,

$$
f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).
$$

[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu disebut *cekung* bila ketaksamaannya terbalik ($-f$ cembung).

![Sebuah fungsi cembung: setiap tali busurnya (merah) terletak di atas grafiknya, dan grafiknya terletak di atas setiap garis singgungnya (jingga). Ruas putus-putusnya memperlihatkan celah antara f ((1-t)a+tb ) dan (1-t)f(a)+tf(b).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-7612f364c944.svg)

*Sebuah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) [cembung](#def-g12-deriv-convex): setiap tali busurnya (merah) terletak di atas [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph), dan [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) terletak di atas setiap [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) (jingga). Ruas putus-putusnya memperlihatkan celah antara $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ dan $(1-t)f(a)+tf(b)$.*

**Teorema 22.12 (Kecembungan dan turunan).**

Misalkan $f$ [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $I$. Berikut ini setara:

1. $f$ [cembung](#def-g12-deriv-convex) pada $I$ ;
2. $f'$ naik pada $I$ ;
3. [grafik](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) $f$ terletak di atas setiap [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) .

Jika $f$ [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) dua kali, semua itu juga setara dengan $f'' \geq 0$ pada $I$.

**Bukti (2) $\Rightarrow$ (3).** Tetapkan $a \in I$ lalu ambil $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$, yaitu celah antara kurvanya dan [garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) di $a$. Maka $g$ [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) dan $g'(x) = f'(x) - f'(a)$. Jika $f'$ naik, maka $g' \leq 0$ pada $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ dan $g' \geq 0$ pada $I \cap \intco{a}{+\infty}$: jadi $g$ turun sebelum $a$ lalu naik sesudahnya, sehingga $g$ mencapai [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $g(a) = 0$, dan karena itu $g \geq 0$. Implikasi selebihnya diterima tanpa bukti pada tingkat ini; kesetaraannya dengan $f'' \geq 0$ menyusul dari [Teorema 22.7](#thm-g12-deriv-variations) yang diterapkan pada $f'$. ∎

**Definisi 22.13 (Titik belok).**

Titik tempat kurva $f$ itu memotong [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) disebut *titik belok*. Untuk $f$ yang [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) dua kali, titik beloknya adalah titik tempat $f''$ berganti tanda.

**Contoh 22.14.**

$f(x) = x^3$ mempunyai $f''(x) = 6x$: jadi $f$ [cekung](#def-g12-deriv-convex) pada $\intoc{-\infty}{0}$, [cembung](#def-g12-deriv-convex) pada $\intco{0}{+\infty}$, dengan sebuah [titik belok](#def-g12-deriv-inflection) di titik asal, tempat kurvanya memotong [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) (sumbu $x$).

![Titik belok x x3 di titik asal: kurvanya memotong garis singgungnya (jingga), cekung di kiri, cembung di kanan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-57198458a86d.svg)

*[Titik belok](#def-g12-deriv-inflection) $x \mapsto x^3$ di titik asal: kurvanya memotong [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) (jingga), [cekung](#def-g12-deriv-convex) di kiri, [cembung](#def-g12-deriv-convex) di kanan.*

**Contoh 22.15 (Ketaksamaan dari kecembungan).**

[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) eksponen [cembung](#def-g12-deriv-convex) pada $\R$ ([turunan](#def-g12-deriv-derivative) keduanya adalah dirinya sendiri, yang positif). [Garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) di $0$ adalah $y = 1 + x$, sehingga

$$
\eu^x \geq 1 + x \quad \text{untuk semua } x \in \R .
$$

Ketaksamaan *[garis singgung](#def-g12-deriv-tangent)* semacam ini adalah hasil baku [kecembungan](#def-g12-deriv-convex).

**Metode 22.16 (Memakai kecembungan).**

- Untuk membuktikan ketaksamaan $f(x) \geq ax + b$ : kenali garisnya sebagai [garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) sebuah $f$ yang [cembung](#def-g12-deriv-convex) lalu panggillah [Teorema 22.12](#thm-g12-deriv-convexity) (3).
- Untuk menempatkan [titik belok](#def-g12-deriv-inflection) : selesaikan $f''(x) = 0$ *lalu* periksa bahwa $f''$ berganti tanda di sana.
- Pada sebuah [tabel variasi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table) , [kecembungan](#def-g12-deriv-convex) mempertajam sketsa kurvanya (ke arah mana kurvanya melengkung).

## 22.4 Latihan

**Latihan 22.1 ★.**

Turunkan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) berikut pada [daerah asalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function):

$$
f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad
g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad
h(x) = (2x+1)^5, \quad
k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.
$$

**Solusi Latihan 22.1.**

$f'(x) = 3x^2 - 5$.

Aturan hasil bagi: $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$.

Aturan rantai dengan $u = 2x+1$: $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$.

Aturan rantai dengan $u = x^2 + 1$: $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

**Latihan 22.2 ★.**

Berikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) [garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) kurva $f(x) = x^2 - 3x + 1$ di titik yang berabsis $a = 2$, lalu tentukan kedudukan kurvanya terhadap [garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) itu.

**Solusi Latihan 22.2.**

$f'(x) = 2x - 3$, sehingga $f(2) = -1$ dan $f'(2) = 1$: jadi [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) $y = -1 + (x - 2) = x - 3$. Celahnya adalah

$$
f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,
$$

sehingga kurvanya terletak di atas [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) di mana-mana, dan hanya menyentuhnya di $x = 2$ (seperti diharapkan: $f$ [cembung](#def-g12-deriv-convex)).

**Latihan 22.3 ★.**

Dengan memakai definisi [turunan](#def-g12-deriv-derivative), hitunglah

$$
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x}
\qquad\text{dan}\qquad
\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.
$$

**Solusi Latihan 22.3.**

Keduanya adalah hasil bagi selisih. Dengan $f(x) = (1+x)^{100}$ di $0$: $f'(x) = 100(1+x)^{99}$, sehingga limitnya $f'(0) = 100$. Dengan $g(x) = \sqrt{x}$ di $4$: $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, sehingga limitnya $g'(4) = \frac14$.

**Latihan 22.4 ★★.**

Telaahlah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ pada [daerah asalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function): limit, [turunan](#def-g12-deriv-derivative), [tabel variasi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table), dan [nilai ekstrem](#def-g12-deriv-extremum) lokalnya.

**Solusi Latihan 22.4.**

[Daerah asalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $\R \setminus \{1\}$. Limitnya: di $\pm\infty$, $f(x) \sim x \to
\pm\infty$; di $1^\pm$, pembilangnya $\to 4 > 0$ dan penyebutnya $\to 0^\pm$, sehingga $f \to \pm\infty$; jadi garis $x = 1$ adalah [asimtot tegak](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#def-g12-limcont-asymptote).

$$
f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}
= \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.
$$

Jadi $f' > 0$ pada $\intoo{-\infty}{-1}$ dan $\intoo{3}{+\infty}$, serta $f' < 0$ pada $\intoo{-1}{1}$ dan $\intoo{1}{3}$. [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu naik sampai [maksimum lokal](#def-g12-deriv-extremum) $f(-1) = -2$, turun ke $-\infty$, melompat ke $+\infty$ setelah [asimtotnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#def-g12-limcont-asymptote), turun sampai [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokal $f(3) = 6$, lalu naik.

**Latihan 22.5 ★★.**

Sebuah kotak tanpa tutup dibuat dari lembaran karton persegi bersisi $30\,$cm dengan memotong persegi bersisi $x$ yang sama dari pojoknya lalu melipat sisinya ke atas. Tentukan $x$ yang memaksimumkan volume kotaknya.

**Solusi Latihan 22.5.**

Untuk $x \in \intoo{0}{15}$, kotaknya beralas persegi bersisi $30 - 2x$ dan bertinggi $x$, sehingga

$$
V(x) = x(30 - 2x)^2 .
$$

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x)
= (30-2x)(30-6x)$. Pada $\intoo{0}{15}$ berlaku $30 - 2x > 0$, sehingga $V'$ bertanda sama dengan $30 - 6x$: positif sebelum $x = 5$, negatif sesudahnya. Volumenya [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) untuk $x = 5$ cm, yaitu $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$.

**Latihan 22.6 ★★.**

Misalkan $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$.

1. Hitunglah $f''$ lalu tentukan [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) [kecembungan](#def-g12-deriv-convex) dan [titik belok](#def-g12-deriv-inflection) $f$ .
2. Tunjukkan bahwa [garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) di [titik belok](#def-g12-deriv-inflection) yang berabsis $2$ memotong kurvanya di sana.

**Solusi Latihan 22.6.**

*1.* $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ dan $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$. Jadi $f'' > 0$ pada $\intoo{-\infty}{0}$ dan pada $\intoo{2}{+\infty}$ ([cembung](#def-g12-deriv-convex)), serta $f'' < 0$ pada $\intoo{0}{2}$ ([cekung](#def-g12-deriv-convex)). $f''$ berganti tanda di $0$ dan di $2$: keduanya [titik belok](#def-g12-deriv-inflection).

*2.* Di $a = 2$: $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$, $f'(2) = 32 - 48 = -16$, sehingga [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$. Celahnya adalah

$$
g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .
$$

Karena $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$, maka $(x-2)^3$ membagi $g$; pembagiannya memberi $g(x) = (x-2)^3(x+2)$. Di dekat $x = 2$ berlaku $x + 2 > 0$, sehingga $g$ bertanda sama dengan $(x-2)^3$: negatif sebelum $2$, positif sesudahnya. Jadi kurvanya memotong [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent): $2$ memang sebuah [titik belok](#def-g12-deriv-inflection).

**Latihan 22.7 ★★.**

Dengan sebuah ketaksamaan [garis singgung](#def-g12-deriv-tangent), tunjukkan bahwa untuk semua $x > 0$,

$$
\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},
$$

lalu kenali kapan kesamaannya berlaku. (Petunjuk: akar kuadrat bersifat [cekung](#def-g12-deriv-convex).)

**Solusi Latihan 22.7.**

[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $f(x) = \sqrt{x}$ memenuhi $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ pada $\intoo{0}{+\infty}$: jadi [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu [cekung](#def-g12-deriv-convex), sehingga [grafiknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) terletak *di bawah* setiap [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent). [Garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) di $a = 1$ adalah

$$
y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},
$$

sehingga $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ untuk semua $x > 0$. Kesamaannya berarti kurvanya menyentuh [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent), dan itu hanya terjadi di titik singgungnya $x = 1$. (Setara dengan: $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$.)

**Latihan 22.8 ★★★.**

Misalkan $f$ [cembung](#def-g12-deriv-convex) dan [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) pada $\R$, dan andaikan $f'$ lenyap di suatu titik $a$. Tunjukkan bahwa $f(a)$ adalah [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) *global* $f$ pada $\R$.

**Solusi Latihan 22.8.**

Menurut [Teorema 22.12](#thm-g12-deriv-convexity), [grafik](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-graph) [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) [cembung](#def-g12-deriv-convex) yang [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) terletak di atas setiap [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent). [Garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) di $a$ mendatar ($f'(a) = 0$), dengan [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $y = f(a)$. Jadi $f(x) \geq f(a)$ untuk semua $x \in \R$: yaitu $f(a)$ adalah [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) globalnya.

**Latihan 22.9 ★★★.**

Tunjukkan bahwa di antara semua persegi panjang berkeliling tetap $p$, persegi mempunyai luas terbesar. Lalu tunjukkan bahwa di antara semua persegi panjang berluas tetap $A$, persegi mempunyai keliling terkecil, lalu jelaskan bagaimana kedua pernyataan itu berhubungan.

**Solusi Latihan 22.9.**

*Keliling tetap.* Sebuah persegi panjang bersisi $x$ dan $\frac{p}{2} - x$ ($0 < x < \frac p2$) berluas $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$. Lalu $S'(x) = \frac p2 - 2x$ lenyap di $x = \frac p4$, positif sebelumnya dan negatif sesudahnya: jadi [maksimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) di $x = \frac{p}{4}$, tempat kedua sisinya sama dengan $\frac p4$ — yaitu sebuah persegi.

*Luas tetap.* Sisi $x$ dan $\frac Ax$ memberi keliling $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$, dengan $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$, yang negatif untuk $x < \sqrt A$ dan positif sesudahnya: jadi [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) di $x = \sqrt{A}$, lagi-lagi sebuah persegi.

*Hubungannya.* Kedua pernyataan itu saling dual. Andaikan sebuah persegi panjang yang bukan persegi meminimumkan kelilingnya pada luas tetap $A$; maka persegi dengan keliling yang sama akan berluas $> A$ menurut pernyataan pertamanya, dan menyusutkannya secara sebangun sampai berluas $A$ akan mengurangi kelilingnya secara tegas — yang bertentangan dengan keminimalannya. Jadi masing-masing pernyataan mengakibatkan yang lain.

## 22.5 Soal: Perhitungan sang penjaga pantai

**Soal 22.1.**

Soal akhir pekan — jalur penyelamatan tercepat menuruti hukum Snell tentang cahaya, kecembungan mengesahkan setiap nilai optimum, dan kaleng minuman yang ideal setinggi lebarnya persis

Seorang penjaga pantai melihat perenang dalam kesulitan — menyerong di sepanjang pantai, jauh di air. Berlari lebih cepat daripada berenang: jadi garis lurus *bukanlah* rute tercepat. Rute yang meminimumkan waktu membelok di garis pantai, dan hukum pembelokannya persis sama dengan hukum pembiasan cahaya yang memasuki air: alam pun ikut menurunkan. Soal ini melatih aturan rantai ([Teorema 22.5](#thm-g12-deriv-chain)), menjalankan penyelamatannya, memanen ketaksamaan dari [kecembungan](#def-g12-deriv-convex) ([Teorema 22.12](#thm-g12-deriv-convexity)), lalu merancang sebuah kaleng.

**Bagian I — Kefasihan dengan aturan rantai.**

1. Turunkan: $\left(3x^2 + 1\right)^5$ ; $\sqrt{x^2 + 9}$ ; $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ .
2. Berikan [garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) $y = \sqrt{x^2 + 9}$ di $x = 4$ .
3. Susunlah [tabel variasi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table) $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ pada $\R$ (lengkap dengan [nilai ekstremnya](#def-g12-deriv-extremum) ).
4. Untuk $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ : [tabel variasinya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table) *dan* tabel [kecembungannya](#def-g12-deriv-convex) ( $g''$ ), beserta [titik beloknya](#def-g12-deriv-inflection) ( [Definisi 22.13](#def-g12-deriv-inflection) ).
5. Hitunglah [garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) $g$ di [titik beloknya](#def-g12-deriv-inflection) , lalu tunjukkan bahwa $g(x) - (\text{garis singgungnya}) = (x - 1)^3$ : apa yang dikatakan pergantian tandanya tentang cara [garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) itu bertemu kurvanya di sebuah [titik belok](#def-g12-deriv-inflection) ?

**Bagian II — Penyelamatannya.** Garis pantainya di sepanjang sumbu $x$; penjaga pantai berdiri di pasir pada $A(0, 30)$, perenangnya menunggu di $B(40, -20)$ (dalam meter). Sang penjaga berlari $5$ m/s di pasir, berenang $2$ m/s, dan masuk ke air di sebuah titik $(x, 0)$ pilihannya.

6. Modelnya: nyatakan waktu penyelamatan total $T(x)$ , lalu katakan mengapa hanya $x \in \intcc{0}{40}$ yang layak dipertimbangkan.
7. Turunkan $T$ (aturan rantai bekerja — dua kali).
8. Misalkan $\theta_1$ sudut kaki lariannya terhadap *garis tegak lurus* pantainya, dan $\theta_2$ sudut kaki renangnya. Tunjukkan bahwa $\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 900}}$ dan bahwa syarat $T'(x) = 0$ berbunyi $$\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$$ — yaitu *hukum Snell*, dengan kedua laju itu sebagai ganti laju cahaya di udara dan di air.
9. Ruas garis lurus $[AB]$ memotong pantainya di $x = 24$ . Hitunglah $T(24)$ , $T(40)$ (berlari sepanjang pantai, lalu berenang lurus ke luar) dan $T(0)$ : apakah garis lurus geometris itu yang tercepat? Apakah salah satu strategi ekstremnya yang tercepat?
10. Tempatkan titik masuk yang optimum lewat [dikotomi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#thm-g12-limcont-ivt) pada $T'$ (nilainya $\approx 33.7$ m): berikan $x^*$ sampai satuan meter dan waktu rekornya $T(x^*)$ sampai sepersepuluh detik. Berapa banyak waktu yang dihemat belokan optimum itu dibandingkan garis lurusnya?
11. Mengapa titik kritisnya merupakan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) *global* ? (Setiap suku $T$ [cembung](#def-g12-deriv-convex) — terimalah bahwa jumlah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) [cembung](#def-g12-deriv-convex) bersifat [cembung](#def-g12-deriv-convex) — lalu terapkan [Latihan 22.8](#exo-g12-deriv-8) .)
12. Asas Fermat menyatakan bahwa cahaya selalu menempuh jalur dengan *waktu* terkecil. Simpulkan mengapa seberkas cahaya membelok tepat di permukaan ketika memasuki air (tempat cahaya lebih lambat), lalu sebutkan pengamatan sehari-hari yang dijelaskannya tentang sebatang pensil di dalam gelas berisi air.

**Bagian III — Panen [kecembungan](#def-g12-deriv-convex).**

13. Tunjukkan bahwa $x \mapsto x^2$ [cembung](#def-g12-deriv-convex) , lalu buktikan ketaksamaan [titik tengahnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint) $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq  \frac{a^2 + b^2}{2}$ dua kali: sekali dari [kecembungannya](#def-g12-deriv-convex) , sekali dengan [menjabarkan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-expand) $(a - b)^2 \geq 0$ .
14. Simpulkan bahwa *rataan kuadratik* $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ menguasai rataan aritmetika, lalu rangkailah rantai lengkap seri ini — harmonik $\leq$ geometri $\leq$ aritmetika $\leq$ kuadratik — sambil memeriksa keempatnya pada $a = 2$ , $b = 8$ .
15. [Garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) di bawah kurvanya: $x \mapsto \frac1x$ [cembung](#def-g12-deriv-convex) pada $\intoo{0}{+\infty}$ ; tulislah [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) di $1$ lalu simpulkan ketaksamaan $\frac1x \geq 2 - x$ untuk semua $x > 0$ . Di mana ketaksamaan itu menjadi kesamaan?
16. [Titik belok](#def-g12-deriv-inflection) di alam liar: selama sebuah wabah, cacah kasus kumulatifnya mengikuti kurva berbentuk S. Apa yang terjadi di [titik beloknya](#def-g12-deriv-inflection) , dan mengapa tanggal itulah yang ditunggu para ahli epidemiologi? Kaitkan dengan tanda [turunan](#def-g12-deriv-derivative) keduanya pada masing-masing sisi.

**Bagian IV — Kaleng yang ideal.** Sebuah kaleng berbentuk tabung harus memuat $V = 330$ cm$^3$ dengan logam paling sedikit: luas permukaannya $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$, dengan kendala $\pi r^2 h = V$.

17. Nyatakan $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ , turunkan, lalu hitunglah jari-jari dan tinggi yang optimum untuk $V = 330$ (dengan ketelitian milimeter).
18. Buktikan hukum umumnya yang anggun: pada nilai optimumnya, $h = 2r$ — jadi kaleng yang ideal setinggi lebarnya persis.
19. Periksalah $S''(r) > 0$ lalu simpulkan (lagi-lagi lewat [Latihan 22.8](#exo-g12-deriv-8) ) bahwa nilai optimumnya bersifat global. Kaleng minuman yang sesungguhnya jelas lebih tinggi daripada lebarnya: sebutkan satu alasan yang bukan matematis.
20. Penutup — jalur pipa pengoptimuman: memodelkan, bertanya kepada [turunan](#def-g12-deriv-derivative) , mencari titik kritis, mengesahkannya dengan [kecembungan](#def-g12-deriv-convex) atau tabel, lalu menafsirkan. Jalankan daftar itu pada penjaga pantai, kaleng, dan balok terkuat tahun sebelumnya ( [Soal 12.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/12-turunan-perkenalan-pertama#pb-g11-deriv-1) ) — lalu nyatakan apa kata asas Fermat tentang siapa lagi yang menjalankan jalur pipa ini.

**Solusi Soal 22.1.**

**1.** $30x\left(3x^2 + 1\right)^4$; $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$; $-\dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$.

**2.** $y(4) = 5$, [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $\frac45$: jadi [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) $y = 5 + \frac45(x - 4)$, yaitu $y = \frac45 x + \frac95$.

**3.** $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$: negatif, positif, negatif melintasi $-1$ dan $1$: jadi [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $f(-1) = -\frac12$, [maksimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \frac12$, dengan [asimtot mendatar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#def-g12-limcont-asymptote) $0$ pada kedua sisinya.

**4.** $g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$: naik, turun, naik melintasi $0$ dan $2$; [maksimum lokalnya](#def-g12-deriv-extremum) $g(0) = 4$, [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) lokalnya $g(2) = 0$. $g''(x) = 6x - 6$: [cekung](#def-g12-deriv-convex) sebelum $1$, [cembung](#def-g12-deriv-convex) sesudahnya: jadi [titik beloknya](#def-g12-deriv-inflection) $(1, 2)$.

**5.** [Garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) di $1$: [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $g'(1) = -3$: $y = 2 - 3(x - 1) = -3x + 5$. Selisihnya: $x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 =
(x - 1)^3$, yang berganti tanda di $1$: jadi [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) *memotong* kurvanya — perilaku khas di sebuah [titik belok](#def-g12-deriv-inflection), tempat kurvanya berpindah sisi.

**6.** $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 900}}{5} +
\dfrac{\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}{2}$. Masuk sebelum $0$ atau setelah $40$ memperpanjang *kedua* kakinya: jadi sia-sia.

**7.** $T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{x^2 + 900}} -
\dfrac{40 - x}{2\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}$.

**8.** Pada segitiga lariannya, sisi sepanjang pantainya adalah $x$ dan sisi miringnya $\sqrt{x^2 + 900}$: jadi [sinus](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-cossin) sudutnya terhadap garis tegak lurus persis sama dengan hasil baginya (sisi depan dibagi sisi miring); serupa dengan itu $\sin\theta_2 = \frac{40 - x}{\sqrt{(40-x)^2 + 400}}$. Lalu $T'(x) = 0$ berbunyi $\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$ — yaitu hukum Snell dengan laju $5$ dan $2$.

**9.** $T(24) \approx 20.5$ s; $T(40) = 10 + 10 = 20$ s; $T(0) = 6 + \sqrt{2000}/2 \approx 28.4$ s. Jadi garis lurusnya bahkan kalah oleh “berlari sampai ujung, lalu berenang lurus” — dan keduanya kalah oleh jalur yang membias.

**10.** [Dikotomi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#thm-g12-limcont-ivt) pada $T'$ (negatif di $24$, positif di $40$) memusat ke $x^* \approx 34$ m, dengan $T(x^*) \approx 19.5$ s: sekitar satu detik lebih cepat daripada garis lurusnya — yaitu selisih antara sebuah penyelamatan dan sebuah tragedi.

**11.** Waktu setiap kakinya merupakan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) [cembung](#def-g12-deriv-convex) dari $x$ (cabang $\sqrt{\text{bentuk kuadrat}}$), sehingga $T$ [cembung](#def-g12-deriv-convex), dan titik kritis [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) [cembung](#def-g12-deriv-convex) yang [dapat diturunkan](#def-g12-deriv-derivative) adalah [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) globalnya ([Latihan 22.8](#exo-g12-deriv-8)): jadi $x^*$ bukan sekadar stasioner, melainkan tak terkalahkan.

**12.** Cahaya di dalam air lebih lambat; menurut asas Fermat, jalur tercepat dari udara ke air membelok di permukaannya tepat menurut hukum Snell — sehingga sinar dari pensil yang terendam mencapai mata dalam keadaan membelok, dan otak, yang menarik garis lurus, melihat pensilnya patah di garis air.

**13.** $(x^2)'' = 2 > 0$: jadi [cembung](#def-g12-deriv-convex). [Kecembungan](#def-g12-deriv-convex) di [titik tengahnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#prop-g10-coordgeom-midpoint): $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq
\frac{f(a) + f(b)}{2}$, dan itulah pernyataannya. Dengan tangan: $\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 =
\frac{(a - b)^2}{4} \geq 0$.

**14.** Menarik akar kuadratnya (yang naik) pada pertanyaan 13: $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$. Rantai lengkapnya pada $2, 8$: harmonik $\frac{2 \cdot 16}{10} = 3.2$; geometri $\sqrt{16} = 4$; aritmetika $5$; kuadratik $\sqrt{34} \approx 5.83$: jadi setiap rataan tunduk kepada rataan berikutnya.

**15.** [Garis singgung](#def-g12-deriv-tangent) $\frac1x$ di $1$: nilainya $1$, [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) $-1$: jadi $y = 2 - x$. Kurva [cembung](#def-g12-deriv-convex) duduk di atas [garis singgungnya](#def-g12-deriv-tangent) ([Teorema 22.12](#thm-g12-deriv-convexity)): jadi $\frac1x \geq 2 - x$ untuk semua $x > 0$, dengan kesamaan tepat di titik sentuhnya $x = 1$.

**16.** Di [titik beloknya](#def-g12-deriv-inflection), cacah kasus *harian* (yaitu [turunannya](#def-g12-deriv-derivative)) memuncak: pertumbuhannya berhenti dipercepat lalu mulai diperlambat — itulah isyarat matematis pertama bahwa gelombangnya sedang berbalik, jauh sebelum cacahnya sendiri menurun. Sebelum titik itu, $f'' > 0$ (setiap harinya lebih buruk daripada hari sebelumnya); sesudahnya, $f'' < 0$ (masih tumbuh, tetapi lebih lambat).

**17.** $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ memberi $r^3 = \frac{V}{2\pi} = \frac{330}{2\pi}$: jadi $r \approx 3.74$ cm, dan $h = \frac{330}{\pi r^2} \approx 7.49$ cm.

**18.** $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2}
= 2r$ pada nilai optimumnya: jadi tingginya sama dengan diameternya, berapa pun volumenya.

**19.** $S''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$: [cembung](#def-g12-deriv-convex), sehingga jari-jari kritisnya adalah [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) globalnya. Kaleng yang sesungguhnya berdiri lebih tinggi demi genggaman, penumpukan, penampakan di rak dan logam tutup serta alasnya yang lebih tebal — pengoptimuman selalu meminimumkan persis apa yang kamu tulis, bukan apa yang kamu maksudkan.

**20.** Penjaga pantai: modelkan $T(x)$, turunkan, Snell, [kecembungan](#def-g12-deriv-convex), satu detik terhemat. Kaleng: modelkan $S(r)$, turunkan, $h = 2r$, [kecembungan](#def-g12-deriv-convex), logam terhemat. Balok ([Soal 12.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/12-turunan-perkenalan-pertama#pb-g11-deriv-1)): modelkan $S(w)$, turunkan, $d = w\sqrt2$, tabel, kekakuan bertambah. Lalu menurut asas Fermat, cahaya sendiri menjalankan jalur pipa itu di setiap permukaan yang dijumpainya — alamlah pengoptimum yang pertama.