---
title: "Eksponen dan Logaritma"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 23
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/23-eksponen-dan-logaritma
---

# Bab 23 — Eksponen dan Logaritma

[Fungsi eksponen](#thm-g12-exp-existence) adalah satu-satunya [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) yang sama dengan [turunannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative) sendiri dan bernilai $1$ di $0$. [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu mengubah jumlah menjadi hasil kali; inversnya, [logaritma asli](#def-g12-exp-ln), mengubah hasil kali menjadi jumlah. Bersama-sama keduanya memerikan setiap gejala yang laju perubahannya sebanding dengan ukurannya: peluruhan radioaktif, pertumbuhan populasi, bunga majemuk.

## 23.1 Fungsi eksponen

**Teorema 23.1 (Keberadaan dan ketunggalan).**

Ada satu [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $f \colon \R \to \R$ yang tunggal dan [dapat diturunkan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative) sehingga

$$
f' = f \qquad\text{dan}\qquad f(0) = 1 .
$$

[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu disebut *fungsi eksponen* dan ditulis $\exp$, atau $x \mapsto \eu^x$.

**Bukti ketunggalannya.** Pertama, [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) semacam itu tidak pernah lenyap. Memang, misalkan $g(x) = f(x)f(-x)$; maka

$$
g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,
$$

sehingga $g$ tetap dan sama dengan $g(0) = 1$: jadi untuk setiap $x$ berlaku $f(x)f(-x) = 1$, dan khususnya $f(x) \neq 0$.

Kini misalkan $f_1, f_2$ dua penyelesaian dan $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (sah sebab $f_2$ tidak pernah lenyap). Maka

$$
h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,
$$

sehingga $h$ tetap dan sama dengan $h(0) = 1$, *yaitu* $f_1 = f_2$.

*Keberadaannya* diterima tanpa bukti pada tingkat ini (dapat diperoleh lewat [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) pada [Latihan 20.10](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#exo-g12-seq-10), atau sebagai invers [logaritma](#def-g12-exp-ln) yang disusun lewat pengintegralan pada [Bab 25](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/25-pengintegralan#ch-g12-integ)). ∎

**Proposisi 23.2 (Persamaan fungsional).**

Untuk semua $x, y \in \R$ dan $n \in \Z$:

$$
\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad
\eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad
\eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad
\bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.
$$

Lebih lanjut, $\eu^x > 0$ untuk semua $x$.

**Bukti.** Tetapkan $y$ lalu tinjaulah $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$. Pembilang dan penyebutnya, sebagai [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) dari $x$, sama-sama merupakan penyelesaian $f' = f$ sampai pada konstanta $\exp(y)$; menurunkan $\varphi$ secara langsung (aturan hasil bagi) memberi $\varphi' = 0$, sehingga $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$, dan itu membuktikan identitas pertamanya. Mengambil $y = -x$ memberi yang kedua (dengan nilai $\eu^0 = 1$), lalu yang ketiga menyusul. Yang keempat adalah induksi dari yang pertama untuk $n \geq 0$, yang diperluas ke $n < 0$ lewat yang kedua.

Kepositifannya: $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ dan $\eu^x \neq 0$ (ditunjukkan pada [Teorema 23.1](#thm-g12-exp-existence)), sehingga $\eu^x > 0$. ∎

**Proposisi 23.3 (Variasi dan limit).**

[Fungsi eksponen](#thm-g12-exp-existence) tegas naik, [cembung](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-convex), dan

$$
\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .
$$

**Bukti.** $(\exp)' = \exp > 0$ memberi kenaikan yang tegas; $(\exp)'' = \exp > 0$ memberi [kecembungannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-convex). Menurut [kecembungannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-convex), $\eu^x \geq 1 + x$ ([garis singgung](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-tangent) di $0$, lihat [Contoh 22.15](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#ex-g12-deriv-ineq)), sehingga $\eu^x \to +\infty$ ketika $x \to +\infty$ lewat pembandingan. Lalu $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ ketika $x \to -\infty$. ∎

![Fungsi eksponen: tegas naik, cembung, dengan _-∈fty x = 0. Fungsi itu terletak di atas garis singgungnya di 0: x ≥ 1 + x.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-4d7aa83a2aa6.svg)

*[Fungsi eksponen](#thm-g12-exp-existence): tegas naik, [cembung](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-convex), dengan $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$. [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu terletak di atas [garis singgungnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-tangent) di $0$: $\eu^x \geq 1 + x$.*

**Teorema 23.4 (Pembandingan pertumbuhan).**

Untuk setiap [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $n \geq 1$,

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty,
\qquad
\lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .
$$

Dengan kata lain: [fungsi eksponen](#thm-g12-exp-existence) mengalahkan setiap pangkat $x$.

**Bukti.** Untuk $n = 1$: menerapkan $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ pada $t = x/2$,

$$
\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x}
\geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .
$$

Untuk $n$ yang umum, tulislah

$$
\frac{\eu^x}{x^n}
= \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n}
\xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty
$$

menurut kasus $n=1$ dan komposisinya. Limitnya di $-\infty$ menyusul lewat substitusi $x \mapsto -x$: $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$. ∎

![Fungsi eksponen (biru) akhirnya mengalahkan setiap pangkat: fungsi itu menyalip x2 (merah) sejak awal dan x3 (jingga) di x 4.54.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-2bf938e48637.svg)

*[Fungsi eksponen](#thm-g12-exp-existence) (biru) akhirnya mengalahkan setiap pangkat: [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu menyalip $x^2$ (merah) sejak awal dan $x^3$ (jingga) di $x \approx 4.54$.*

## 23.2 Logaritma asli

**Definisi 23.5 (Logaritma asli).**

[Fungsi eksponen](#thm-g12-exp-existence) [kontinu](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#def-g12-limcont-continuity) dan tegas naik dari $\R$ pada $\intoo{0}{+\infty}$; menurut teorema bijeksi ([Teorema 21.15](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#thm-g12-limcont-bijection)), untuk setiap $y > 0$ [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = y$ mempunyai penyelesaian tunggal. Penyelesaian itu disebut *logaritma asli* dari $y$, ditulis $\ln y$. Jadi

$$
\text{untuk } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .
$$

Khususnya $\ln 1 = 0$, $\ln \eu = 1$, serta $\eu^{\ln y} = y$ dan $\ln(\eu^x) = x$.

![Kurva dan saling mencerminkan terhadap garis y = x: titik (x, x) tercermin menjadi ( x, x).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-a625fce5956d.svg)

*Kurva $\exp$ dan $\ln$ saling mencerminkan terhadap garis $y = x$: titik $(x, \eu^x)$ tercermin menjadi $(\eu^x, x)$.*

**Proposisi 23.6 (Sifat aljabar).**

Untuk semua $a, b > 0$ dan $n \in \Z$:

$$
\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad
\ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad
\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad
\ln(a^n) = n \ln a, \quad
\ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .
$$

**Bukti.** $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$, lalu mengambil $\ln$ kedua ruasnya memberi identitas pertamanya. Yang lain menyusul lewat mekanisme yang sama dari identitas [Proposisi 23.2](#prop-g12-exp-funceq) yang bersesuaian. ∎

**Proposisi 23.7 (Sifat analitis).**

[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $\ln$ [dapat diturunkan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative) pada $\intoo{0}{+\infty}$ dengan

$$
(\ln x)' = \frac{1}{x},
$$

tegas naik, [cekung](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-convex), serta $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$ dan $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$. Lebih lanjut, untuk setiap [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $n \geq 1$,

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad
\lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .
$$

**Bukti.** Keterdiferensialan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) inversnya diterima tanpa bukti pada tingkat ini; dengan menerimanya, turunkan identitas $\eu^{\ln x} = x$ lewat aturan rantai: $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$, sehingga $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$, dan dari sana kenaikan yang tegas, lalu $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$, dan dari sana kecekungannya. Limitnya di $0^+$ dan $+\infty$ mencerminkan limit $\exp$ lewat bijeksinya. Untuk [pembandingan pertumbuhannya](#thm-g12-exp-growth), substitusikan $x = \eu^{t}$: $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ ketika $t \to +\infty$ menurut [Teorema 23.4](#thm-g12-exp-growth), dan serupa untuk limit lainnya dengan $x = \eu^{-t}$, yang memberi $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$. ∎

**Metode 23.8 (Menyelesaikan persamaan dengan exp⁡\expexp dan ln⁡\lnln).**

Kedua [fungsinya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) tegas naik, sehingga keduanya dapat diterapkan pada (atau dihapus dari) kedua ruas sebuah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) atau pertidaksamaan tanpa mengubah arahnya:

$$
\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad
\eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,
$$

dan demikian pula $\ln$ pada besaran yang positif. *Periksalah selalu [daerah asalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) lebih dahulu* ($\ln$ menuntut argumen yang positif). Untuk [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) seperti $a^x = b$ dengan $a>0$, $a \neq 1$, tulis ulang $a^x = \eu^{x\ln a}$ lalu selesaikan $x = \frac{\ln b}{\ln a}$.

**Contoh 23.9.**

Sebuah cuplikan radioaktif meluruh mengikuti $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$. *Waktu paruhnya* $T$ memenuhi $N(T) = N_0/2$, *yaitu* $\eu^{-\lambda T} = \frac12$, sehingga $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$: jadi waktu paruhnya tidak bergantung pada banyaknya bahan mula-mula.

## 23.3 Latihan

**Latihan 23.1 ★.**

Sederhanakan $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ dan $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$.

**Solusi Latihan 23.1.**

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$.

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)
= 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$.

**Latihan 23.2 ★.**

Selesaikan dalam $\R$:

$$
\text{(a) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0;
\qquad
\text{(b) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .
$$

**Solusi Latihan 23.2.**

*(a)* Ambil $X = \eu^x > 0$: $X^2 - 3X + 2 = 0$ memberi $X = 1$ atau $X = 2$, keduanya positif, sehingga $x = 0$ atau $x = \ln 2$.

*(b)* [Daerah asalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function): $x - 1 > 0$ dan $x + 2 > 0$, jadi $x > 1$. [Persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) menjadi $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$, sehingga $(x-1)(x+2) = 4$, *yaitu* $x^2 + x - 6 = 0$, jadi $x = 2$ atau $x = -3$. Hanya $x = 2$ yang berada di [daerah asalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function): $S = \{2\}$.

**Latihan 23.3 ★.**

Hitunglah limitnya:

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad
\lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).
$$

**Solusi Latihan 23.3.**

Bagilah dengan $\eu^x$: $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$, dengan memakai $x^2 \eu^{-x} \to 0$ ([Teorema 23.4](#thm-g12-exp-growth)).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ menurut [Proposisi 23.7](#prop-g12-exp-lnanalytic) (kasus $n = 2$).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$.

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$ sebab $\frac{\ln x}{x} \to 0$.

**Latihan 23.4 ★★.**

Telaahlah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $f(x) = x\,\eu^{-x}$ pada $\R$: variasi, limit, dan [nilai ekstremnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-extremum); lalu tunjukkan bahwa kurvanya mempunyai sebuah [titik belok](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-inflection) dan berikan [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system).

**Solusi Latihan 23.4.**

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$, yang bertanda sama dengan $1 - x$: jadi $f$ naik pada $\intoc{-\infty}{1}$, turun pada $\intco{1}{+\infty}$, dengan [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) global $f(1) = \eu^{-1}$.

Limitnya: ketika $x \to +\infty$, $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ ([Teorema 23.4](#thm-g12-exp-growth)); ketika $x \to -\infty$, $x \to -\infty$ dan $\eu^{-x} \to +\infty$, sehingga $f(x) \to -\infty$.

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$, yang berganti tanda di $x = 2$: jadi [titik beloknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-inflection) $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$.

**Latihan 23.5 ★★.**

Tunjukkan bahwa untuk semua $x > -1$ berlaku $\ln(1 + x) \leq x$, dengan kesamaan hanya di $x = 0$. Simpulkan bahwa untuk semua $n \geq 1$,

$$
\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .
$$

**Solusi Latihan 23.5.**

Misalkan $g(x) = x - \ln(1+x)$ pada $\intoo{-1}{+\infty}$. Maka $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$, yang negatif pada $\intoo{-1}{0}$ dan positif pada $\intoo{0}{+\infty}$: jadi $g$ mencapai [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $g(0) = 0$, sehingga $g \geq 0$ dengan kesamaan hanya di $0$. Karena itu $\ln(1+x) \leq x$.

Terapkan ini dengan $x = \frac1n$: $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$, sehingga $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$. Terapkan pula dengan $x = -\frac{1}{n+1} > -1$: $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$, sehingga $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ dan $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$.

**Latihan 23.6 ★★.**

Sebuah modal $C_0$ ditanamkan dengan laju $3\%$ per tahun, dengan bunga dimajemukkan setiap tahun.

1. Nyatakan modalnya $C_n$ setelah $n$ tahun.
2. Setelah berapa tahun modalnya berlipat dua? Berikan jawaban eksaknya dengan $\ln$ , lalu sebuah nilai numeris.
3. Bandingkan dengan [hampiran](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-approx) “ $70$ dibagi lajunya dalam persen” yang dipakai para bankir.

**Solusi Latihan 23.6.**

*1.* Setiap tahunnya mengalikan modalnya dengan $1.03$: $C_n = C_0 (1.03)^n$.

*2.* $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2
\iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$: jadi modalnya berlipat dua setelah $24$ tahun.

*3.* $\frac{70}{3} \approx 23.3$, dekat dengan nilai eksak $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$. Kaidah itu berhasil sebab $\ln(1 + r) \approx r$ untuk $r$ yang kecil, sehingga $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$.

**Latihan 23.7 ★★.**

Selesaikan pertidaksamaan $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$, lalu pertidaksamaan $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$.

**Solusi Latihan 23.7.**

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ ([fungsi eksponen](#thm-g12-exp-existence) tegas naik): jadi $S = \intoo{1}{+\infty}$.

[Daerah asal](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) pertidaksamaan kedua: $x^2 - 1 > 0$ dan $x + 5 > 0$, *yaitu* $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$. Pada daerah itu, karena $\ln$ tegas naik,

$$
\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0
\iff x \in \intcc{-2}{3}.
$$

Setelah diiriskan dengan [daerah asalnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function): $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$.

**Latihan 23.8 ★★★.**

Misalkan $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ untuk $x > 0$.

1. Telaahlah variasi $f$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ lalu berikan [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) .
2. Untuk nilai $k$ yang mana [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = kx$ mempunyai $0$ , $1$ atau $2$ penyelesaian di $\intoo{0}{+\infty}$ ?

**Solusi Latihan 23.8.**

*1.* $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$, yang negatif pada $\intoo{0}{1}$ dan positif pada $\intoo{1}{+\infty}$: jadi [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \eu$. Limitnya: $f \to +\infty$ di $0^+$ (pembilangnya $\to 1$, penyebutnya $\to 0^+$) dan di $+\infty$ ([Teorema 23.4](#thm-g12-exp-growth)).

*2.* Untuk $x > 0$, $\eu^x = kx \iff f(x) = k$. Dari [tabel variasinya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-table) ($+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$, [kontinu](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#def-g12-limcont-continuity) dan tegas [monoton](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-monotonic) pada masing-masing sisinya): tanpa penyelesaian untuk $k < \eu$; tepat satu ($x = 1$) untuk $k = \eu$; dan tepat dua untuk $k > \eu$ (satu di $\intoo{0}{1}$, satu di $\intoo{1}{+\infty}$, menurut teorema bijeksi pada masing-masing [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval)).

**Latihan 23.9 ★★★.**

Untuk $n \geq 1$, misalkan $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$.

1. Dengan [Latihan 23.5](#exo-g12-exp-5) , tunjukkan bahwa $(u_n)$ [terbatas di atas](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-bounded) oleh $\eu$ .
2. Tunjukkan bahwa $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ , lalu simpulkan bahwa $u_n \to \eu$ . (Petunjuk: kenalilah sebuah hasil bagi selisih $\ln$ di $1$ .)

**Solusi Latihan 23.9.**

*1.* Langsung dari ketaksamaan pertama pada [Latihan 23.5](#exo-g12-exp-5): $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$.

*2.* Tulislah

$$
\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right)
= \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},
$$

yaitu hasil bagi selisih $\ln$ di titik $1$ dengan pertambahan $h = \frac1n \to 0$. Karena $\ln$ [dapat diturunkan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative) di $1$ dengan [turunan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative) $1$, maka $\ln u_n \to 1$. Menurut [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#def-g12-limcont-continuity) $\exp$ ([Proposisi 21.12](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#prop-g12-limcont-seqcont)), $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$.

## 23.4 Soal: Logaritma menjinakkan dunia

**Soal 23.1.**

Soal akhir pekan — waktu pelipatduaan dan kaidah 72, skala gempa bumi, asam dan piano, serta tetapan $\eu$ yang meninggalkan sidik jari di mana-mana

Apa pun yang tumbuh dengan *persentase* yang tetap tumbuh secara eksponensial — tabungan, bakteri, wabah — dan apa pun yang membentang melewati terlalu banyak pangkat sepuluh untuk digenggam — energi gempa bumi, keasaman, intensitas bunyi — dijinakkan oleh [logaritma](#def-g12-exp-ln). Soal ini menghitung waktu pelipatduaan lalu menyingkap kaidah 72 milik para bankir, membaca skala logaritmis dunia, lalu mengumpulkan sidik jari yang ditinggalkan bilangan $\eu$ di setiap tempat [kejadian](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-model) perkara ([Proposisi 23.2](#prop-g12-exp-funceq), [Teorema 23.4](#thm-g12-exp-growth), [Metode 23.8](#met-g12-exp-equations)).

**Bagian I — Kefasihan.**

1. Selesaikan: $\eu^{2x} = 5$ ; $\ln(3x - 1) = 2$ ; $\eu^{2x} - 3\eu^x + 2 = 0$ (bentuk kuadrat dalam samaran).
2. Sederhanakan: $\dfrac{\ln 8}{\ln 2}$ ; $\ln\!\left(\eu^3 \sqrt{\eu}\right)$ ; $\eu^{\ln 5 - \ln 2}$ .
3. Buktikan ketaksamaan induknya: $\eu^x \geq 1 + x$ untuk setiap [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $x$ (telaahlah $f(x) = \eu^x - 1 - x$ ), lalu simpulkan $\ln(1 + u) \leq u$ untuk $u > -1$ .
4. Hitunglah $\lim_{x \to +\infty} x^2 \eu^{-x}$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ ( [Teorema 23.4](#thm-g12-exp-growth) ), dan $\lim_{x \to 0} \frac{\eu^x - 1}{x}$ (kenalilah sebuah [turunan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative) ).
5. Telaahlah $f(x) = x \ln x$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ : variasinya, [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) , dan limitnya di $0^+$ (diterima tanpa bukti: $x \ln x \to 0$ ). [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) kecil ini mengukur informasi dan entropi di sepanjang jilid universitas.

**Bagian II — Waktu pelipatduaan dan kaidah 72.**

6. Tabungan tumbuh $3\,\%$ per tahun. Selesaikan $1.03^n = 2$ : berapa lama modalnya berlipat dua?
7. Para bankir menaksir waktu pelipatduaan sebagai $\frac{72}{\text{laju dalam }\%}$ . Ujilah kaidah itu pada $3\,\%$ , $6\,\%$ dan $9\,\%$ terhadap nilai eksak $\frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ , lalu jelaskan: untuk $r$ yang kecil, $\ln(1 + r) \approx r$ (ketaksamaan pertanyaan 3 adalah separuh ceritanya), sehingga tetapan eksaknya adalah $100 \ln 2 \approx 69.3$ — lalu mengapa para bankir lebih menyukai $72$ ?
8. Sebuah bakteri membelah setiap $20$ menit: $p(t) = 2^{t/20}$ ( $t$ dalam menit). Tulis ulang sebagai $\eu^{\lambda t}$ , lalu hitunglah $p$ setelah $24$ jam. Jawabannya (lebih dari $10^{21}$ ) membuktikan apa tentang modelnya — dan apa yang menghentikan koloni yang sesungguhnya?
9. Kafeina meninggalkan tubuh dengan waktu paruh sekitar $5$ jam. Setelah secangkir kopi berkadar $100$ mg pada pukul 15.00, berapa yang tersisa pada pukul 23.00? Pada pukul berapa kadarnya turun di bawah $10$ mg? (Susah tidur pun berlogaritma.)
10. Satu euro dengan bunga $100\,\%$ per tahun: hitunglah modal akhir tahunnya bila bunganya dimajemukkan setiap tahun, setiap bulan dan setiap hari, lalu berikan langit-langit yang dibuktikan tak tertembus oleh [Latihan 23.9](#exo-g12-exp-9) . Tetapan termasyhur mana yang menjadi limit ketamakan murni?
11. Mengapa para ilmuwan menggambar $\ln(\text{cacah kasus})$ terhadap waktu pada tahap awal sebuah wabah? Apa yang disingkapkan sebuah garis lurus pada gambar itu, dan apa yang diukur [gradiennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) ?

**Bagian III — Skala logaritmis dunia.** (Tulislah $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$.)

12. Taraf bunyi dalam desibel: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ . Sebuah percakapan terukur $60$ dB, sebuah konser rok $120$ dB: berapa kali lipat intensitas bunyinya berbeda?
13. Magnitudo gempa bumi naik $1$ ketika amplitudo seismiknya dikalikan $10$ , dan energi yang dilepaskannya berskala seperti amplitudo $^{3/2}$ . Bandingkan gempa bermagnitudo $5$ dan bermagnitudo $7$ : perbandingan amplitudonya, lalu perbandingan energinya.
14. Kimia: $\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ . Air jeruk lemon ber-pH $2$ , susu ber-pH $6.5$ : berapa perbandingan kepekatan asamnya?
15. Musik: setiap oktaf melipatduakan frekuensinya. Dari A terendah pada piano ( $27.5$ Hz) sampai C tertingginya ( $4\,186$ Hz), berapa oktaf yang dibentangkan papan tutsnya? Lalu mengapa indra kita — pendengaran, penglihatan, perasaan terhadap gempa — lebih menyukai skala logaritmis? (Satu kalimat.)
16. Mistar hitung, kalkulator para insinyur selama $350$ tahun: dua batang bertanda sehingga *panjang* sampai tanda $x$ sebanding dengan $\ln x$ . Jelaskan bagaimana menggeser satu batang di sepanjang batang yang lain mengalikan bilangan, lalu sebutkan identitas [Proposisi 23.6](#prop-g12-exp-lnalg) yang melakukan pekerjaannya.

**Bagian IV — Sidik jari $\eu$.**

17. Dari [Latihan 23.8](#exo-g12-exp-8) : [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = kx$ ( $x > 0$ ) mempunyai $0$ , $1$ atau $2$ penyelesaian menurut kedudukan $k$ terhadap sebuah ambang. Nyatakan ulang hasilnya — lalu periksalah fakta geometris di baliknya: garis $y = \eu x$ tepat merupakan [garis singgung](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-tangent) [fungsi eksponen](#thm-g12-exp-existence) yang melalui titik asal.
18. Tetapan nyaris-meleset: dengan $n$ karcis undian yang masing-masing berpeluang menang $\frac1n$ , $\P(\text{tidak menang}) = \left(1 - \frac1n\right)^n$ . Hitunglah limitnya lewat $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right)$ (pakailah limit baku $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ ), lalu cocokkan dengan $0.368$ yang misterius pada [Soal 19.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/19-distribusi-binomial#pb-g11-binom-1) .
19. Kaidah $37\,\%$ : untuk memilih yang terbaik di antara $n$ calon yang diwawancarai dalam urutan acak (tanpa boleh kembali), strategi optimumnya menolak $\frac{n}{\eu} \approx 37\,\%$ yang pertama lalu mengambil calon pertama yang lebih baik daripada semua calon sebelumnya — dan berhasil dengan peluang sekitar $\frac1\eu$ . Dari mana kedua $\frac1\eu$ pada pertanyaan 18 dan 19 berasal — nyatakan mekanisme bersamanya (banyak [kejadian](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-model) saling bebas yang berpeluang kecil), lalu hitunglah $\frac1\eu$ sampai tiga angka desimal.
20. Penutup — potret $\eu$ : langit-langit pemajemukan (pertanyaan 10); bilangan pokok yang [garis singgungnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-tangent) di $0$ bergradien tepat $1$ (pertanyaan 3 dan 4); pertumbuhan yang tidak terkejar polinomial mana pun (pertanyaan 4); tetapan nyaris-meleset dan penghentian optimum (pertanyaan 18–19); serta inversnya $\ln$ , yang mengubah hasil kali menjadi jumlah (pertanyaan 16) dan dasawarsa menjadi inci (Bagian III). Masing-masing satu kalimat.

**Solusi Soal 23.1.**

**1.** $x = \frac{\ln 5}{2}$. $3x - 1 = \eu^2$: jadi $x = \frac{\eu^2 + 1}{3}$. Dengan $u = \eu^x$: $u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2) = 0$: jadi $x = 0$ atau $x = \ln 2$.

**2.** $\frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$; $3 + \frac12 = \frac72$; $\frac52$.

**3.** $f'(x) = \eu^x - 1$: negatif sebelum $0$, positif sesudahnya: jadi [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $f(0) = 0$, sehingga $f \geq 0$ di mana-mana: $\eu^x \geq 1 + x$. Dengan mensubstitusikan $x = \ln(1 + u)$: $1 + u \geq 1 + \ln(1 + u)$, yaitu $\ln(1 + u) \leq u$.

**4.** $x^2\eu^{-x} = \frac{x^2}{\eu^x} \to 0$ dan $\frac{\ln x}{x} \to 0$: [fungsi eksponen](#thm-g12-exp-existence) meremukkan pangkat, dan pangkat meremukkan [logaritma](#def-g12-exp-ln). Lalu $\frac{\eu^x - 1}{x} =
\frac{\eu^x - \eu^0}{x - 0} \to \exp'(0) = 1$.

**5.** $f'(x) = \ln x + 1$: bernilai nol di $\eu^{-1}$, negatif sebelumnya, positif sesudahnya: jadi [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $f\!\left(\frac1\eu\right) = -\frac1\eu$; lalu $x \ln x \to 0$ di $0^+$: kurvanya meninggalkan titik asal, menukik ke $-\frac1\eu$, lalu mendaki menjauh.

**6.** $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4$ tahun.

**7.** Eksaknya: $23.4$, $11.9$, $8.0$ tahun; menurut kaidah 72: $24$, $12$, $8$. Karena $\ln(1+r) \approx r$, berlaku $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r}$, yaitu $\frac{69.3}{\text{laju dalam }\%}$; para bankir membulatkannya ke atas menjadi $72$ sebab bilangan itu terbagi dengan indah oleh $2, 3, 4, 6, 8, 9, 12$ — berhitung di kepala mengalahkan satu angka ketelitian.

**8.** $2^{t/20} = \eu^{t \ln 2 / 20}$: jadi $\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ per menit. Setelah $24 \times 60 = 1440$ menit: $2^{72} \approx 4.7 \times
10^{21}$ bakteri — lebih banyak daripada butiran pasir di Bumi, dari satu sel dalam sehari. Modelnya jujur hanya selama makanan dan ruangnya bertahan: pertumbuhan yang sesungguhnya membelok menjadi kurva S logistik (kurva ahli epidemiologi pada [Soal 22.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#pb-g12-deriv-1)).

**9.** Pada pukul 23.00 (setelah $8$ jam): $100 \times 2^{-8/5} \approx 33$ mg. Di bawah $10$ mg: $2^{-t/5} < 0.1$ memberi $t > 5\,\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx
16.6$ jam: jadi sekitar pukul 07.40 keesokan paginya — espreso pukul tiga berekor panjang.

**10.** Setiap tahun: $2$. Setiap bulan: $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$. Setiap hari: $\approx 2.715$. Langit-langitnya: $\eu = 2.71828\ldots$ ([Latihan 23.9](#exo-g12-exp-9)) — dengan pemajemukan sinambung, ketamakannya [konvergen](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-limit).

**11.** Jika kasusnya tumbuh secara eksponensial, $c(t) = c_0
\eu^{\lambda t}$, maka $\ln c(t) = \ln c_0 + \lambda t$: yaitu garis lurus bergradien $\lambda$ — yaitu laju pertumbuhannya. Bentangan lurus pada gambar logaritmis itu *adalah* tahap eksponensialnya, dan kecuramannya adalah tempo wabahnya.

**12.** $120 - 60 = 60$ dB berarti $10\log_{10}(I_2/I_1) = 60$: jadi konsernya $10^6$ — sejuta kali — lebih kuat daripada percakapannya.

**13.** Amplitudonya: $10^{7-5} = 100$. Energinya: $100^{3/2} = 1000$: jadi dua angka magnitudo menyembunyikan tiga orde besaran energi.

**14.** $10^{6.5 - 2} = 10^{4.5} \approx 32\,000$: jadi air jeruk lemon tiga puluh ribu kali lebih asam daripada susu — pH memampatkan jurang kimia ke dalam skala saku.

**15.** $\log_2\!\frac{4186}{27.5} =
\frac{\ln(4186/27.5)}{\ln 2} \approx 7.25$: jadi piano membentang sedikit lebih dari tujuh oktaf. Indra menanggapi *perbandingan* rangsangan — melipatduakan intensitasnya terasa seperti satu langkah, berapa pun taraf awalnya — sehingga persepsi dibangun atas skala logaritmis, dan begitu pula satuan yang kita ciptakan untuknya.

**16.** Menempatkan batang untuk $a$ ujung bertemu ujung dengan kedudukan batang untuk $b$ menjumlahkan panjangnya $\ln a + \ln b$, dan tanda yang duduk pada panjang total itu terbaca $\eu^{\ln a + \ln b} = ab$: jadi mistar hitung menghitung hasil kali dengan menjumlahkan [logaritma](#def-g12-exp-ln) — $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ([Proposisi 23.6](#prop-g12-exp-lnalg)) yang terpahat pada kayu.

**17.** [Minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $\frac{\eu^x}{x}$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ adalah $\eu$, di $x = 1$: jadi tanpa penyelesaian untuk $k < \eu$, tepat satu untuk $k = \eu$, dan dua untuk $k > \eu$. Pemeriksaan [garis singgungnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-tangent): di $a = 1$ [garis singgung](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-tangent) $\eu^x$ adalah $y = \eu + \eu(x - 1) = \eu x$: garis itu melalui titik asal — yaitu garis ambangnya, yang menyerempet kurvanya di $(1, \eu)$.

**18.** $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right) =
\frac{\ln(1 - 1/n)}{-1/n} \times (-1) \to -1$, sehingga $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \eu^{-1} \approx 0.368$: jadi $0.999^{1000} \approx 0.368$ pada [Soal 19.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/19-distribusi-binomial#pb-g11-binom-1) pun terjelaskan — tetapan nyaris-meleset milik undian itu adalah $\frac1\eu$.

**19.** Keduanya adalah bentuk limit “banyak [kejadian](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-model) saling bebas yang masing-masing tidak mungkin”: peluang bahwa *tidak satu pun* dari $n$ peluang berukuran $\frac1n$ terwujud menuju $\eu^{-1}$, dan kaidah sekretaris menyetel jendela penolakannya sehingga keberhasilannya memusat pada tetapan yang sama itu. $\frac1\eu \approx 0.368$.

**20.** Langit-langit pemajemukan; satu-satunya bilangan pokok yang [garis singgungnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-tangent) di $0$ bergradien $1$ (itulah sebabnya kalkulus mencintainya); pertumbuhan yang melampaui setiap pangkat; tetapan tempat nyaris-meleset dan penghentian optimum mengendap; serta [logaritmanya](#def-g12-exp-ln) — perkalian yang menjadi penjumlahan, dan rentang paling liar di dunia yang terlipat ke atas sebuah penggaris.