---
title: "Fungsi Trigonometri"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 24
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/24-fungsi-trigonometri
---

# Bab 24 — Fungsi Trigonometri

[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $\cos$ dan $\sin$ mengubah geometri lingkaran menjadi analisis. Didefinisikan dengan menggulung garis [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) pada lingkaran satuan, keduanya adalah purwarupa [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) berkala, dan [turunannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative) menjadikan keduanya penyelesaian [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) osilasi $y'' = -y$.

## 24.1 Lingkaran satuan

**Definisi 24.1 (Kosinus dan sinus).**

Misalkan $\mathcal{C}$ lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik asal suatu [sistem koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) [ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system). Kepada setiap [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $t$ kaitkan titik $M(t)$ yang diperoleh dengan menggulung panjang $\abs{t}$ sepanjang $\mathcal{C}$ mulai dari titik $I(1,0)$, berlawanan arah jarum jam jika $t \geq 0$ dan searah jarum jam jika sebaliknya. Maka *$\cos t$ dan $\sin t$ adalah koordinat $M(t)$*:

$$
M(t) = (\cos t, \sin t).
$$

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-600a6e9a7eb2.svg)

Karena keliling lingkarannya $2\pi$, titik $M(t)$ tidak berubah ketika $t$ bertambah sebesar $2\pi$; dan karena $M(t)$ terletak pada lingkaran satuan:

**Proposisi 24.2 (Identitas dasar).**

Untuk semua $t \in \R$ dan $k \in \Z$:

$$
\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad
\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad
\sin(t + 2k\pi) = \sin t,
$$

$$
\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,
$$

$$
\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad
\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad
\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .
$$

**Bukti.** Identitas pertama adalah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) lingkaran satuan; sisanya menyatakan kesetangkupan lingkaran itu: $M(-t)$ adalah pencerminan $M(t)$ pada sumbu-$x$, $M(\pi - t)$ pada sumbu-$y$, dan $M(\frac\pi2 - t)$ pada garis $y = x$. ∎

Nilai yang harus dihafal:

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [6pt] $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| [6pt] $\sin t$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |

**Proposisi 24.3 (Rumus penjumlahan).**

Untuk semua $a, b \in \R$:

$$
\begin{align*}
\cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, &
\sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\
\cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, &
\sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b.
\end{align*}
$$

Khususnya $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ dan $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$.

**Bukti.** [Vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) $\vect{u} = (\cos a, \sin a)$ dan $\vect{v} = (\cos b, \sin b)$ adalah [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) satuan yang membentuk sudut $a - b$; [hasil kali skalarnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/16-hasil-kali-skalar-pada-bidang#def-g11-scal-dot) sama dengan $\cos a\cos b + \sin a \sin b$ (dari [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system)) sekaligus dengan $\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b)$ (dari geometrinya), dan itulah rumus ketiga. Mengganti $b$ dengan $-b$ memberi rumus pertama; rumus sinusnya menyusul dengan memakai $\sin x = \cos(\frac\pi2 - x)$. Rumus pelipatduaannya adalah kasus $b = a$ digabung dengan $\cos^2 + \sin^2 = 1$. ∎

## 24.2 Kajian analitis

**Lema 24.4 (Limit dasar).**

$$
\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1
\qquad\text{dan}\qquad
\lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .
$$

**Bukti.** Untuk $0 < t < \frac{\pi}{2}$, bandingkanlah tiga luas pada lingkaran satuan: segitiga $OIM(t)$, juring lingkaran $OIM(t)$, dan segitiga siku-siku beralas $OI$ dan bertinggi $\tan t$:

$$
\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.
$$

![Tiga luas yang bersarang: segitiga OIM (biru, luasnya t/2), juring lingkarannya (dibatasi busur merah, luasnya t/2), dan segitiga siku-siku bertinggi t (jingga, luasnya t/2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-58dd2424af55.svg)

*Tiga luas yang bersarang: segitiga $OIM$ (biru, luasnya $\frac{\sin t}{2}$), juring lingkarannya (dibatasi busur merah, luasnya $\frac{t}{2}$), dan segitiga siku-siku bertinggi $\tan t$ (jingga, luasnya $\frac{\tan t}{2}$).*

Ketaksamaan pertama memberi $\frac{\sin t}{t} \leq 1$; yang kedua memberi $\cos t \leq \frac{\sin t}{t}$. Ketika $t \to 0^+$, $\cos t \to 1$ ([kekontinuan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#def-g12-limcont-continuity)), dan teorema apit memberikan $\frac{\sin t}{t} \to 1$; sifat ganjil-genapnya memperluas ini ke $t \to 0$. Untuk limit yang kedua,

$$
\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)}
= -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1}
\xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere
$$

∎

**Teorema 24.5 (Turunan sinus dan kosinus).**

[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $\sin$ dan $\cos$ [dapat diturunkan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative) pada $\R$, dengan

$$
(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .
$$

Secara lebih umum, $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ dan $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$.

**Bukti.** Menurut rumus penjumlahannya,

$$
\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}
= \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h}
\xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,
$$

dengan memakai [Lema 24.4](#lem-g12-trigo-sinxx). Perhitungan untuk $\cos$ serupa, dan bentuk umumnya menyusul dari aturan rantai. ∎

**Proposisi 24.6 (Variasi).**

Pada $\intcc{0}{\pi}$, $\cos$ turun dari $1$ ke $-1$. Pada $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, $\sin$ naik dari $-1$ ke $1$. Kedua [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) itu berkala $2\pi$ dan berdaerah hasil $\intcc{-1}{1}$; $\cos$ genap, $\sin$ ganjil.

**Bukti.** Pada $\intoo{0}{\pi}$, $(\cos)' = -\sin < 0$ sebab titik $M(t)$ berordinat positif di sana; serupa pula $(\sin)' = \cos > 0$ pada $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$. Sifat berkala dan sifat ganjil-genapnya berasal dari [Proposisi 24.2](#prop-g12-trigo-identities). ∎

![Kurva (biru) dan (merah).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-0ab6284eb634.svg)

*Kurva $\cos$ (biru) dan $\sin$ (merah).*

**Metode 24.7 (Menyelesaikan cos⁡x=a\cos x = acosx=a dan sin⁡x=a\sin x = asinx=a).**

Untuk $a \in \intcc{-1}{1}$, carilah satu penyelesaian khusus $\alpha$ (dari tabel nilainya atau dengan kalkulator). Maka semua penyelesaiannya adalah:

$$
\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ atau } x = -\alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z;
$$

$$
\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ atau } x = \pi - \alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z.
$$

Untuk pertidaksamaannya, letakkanlah busur penyelesaiannya pada lingkaran satuan lalu bacalah selangnya di dalam satu kala.

**Contoh 24.8.**

Selesaikan $\cos x = \frac12$ di $\intoc{-\pi}{\pi}$: satu penyelesaian khususnya $\frac\pi3$, jadi penyelesaiannya $x = \frac\pi3$ dan $x = -\frac\pi3$. Di seluruh $\R$: $x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$, $k \in \Z$.

## 24.3 Latihan

**Latihan 24.1 ★.**

Hitunglah $\cos\frac{2\pi}{3}$, $\sin\frac{5\pi}{6}$, $\cos\frac{7\pi}{4}$ dan $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ dengan memakai identitas pada [Proposisi 24.2](#prop-g12-trigo-identities).

**Solusi Latihan 24.1.**

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3
= -\frac12$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6
= \frac12$.

$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right)
= \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$.

$\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$.

**Latihan 24.2 ★.**

Turunkanlah $f(x) = \sin^2 x$, $g(x) = \cos(3x) + x\sin x$ dan $h(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$.

**Solusi Latihan 24.2.**

$f'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (aturan rantai).

$g'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x$ (aturan rantai dan aturan hasil kali).

Aturan hasil bagi:

$$
h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.
$$

**Latihan 24.3 ★.**

Selesaikan di $\intoc{-\pi}{\pi}$, lalu di $\R$:

$$
\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2};
\qquad
\text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .
$$

**Solusi Latihan 24.3.**

*(a)* Satu penyelesaian khusus $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ adalah $\frac\pi3$. Penyelesaian umumnya: $x = \frac\pi3 + 2k\pi$ atau $x = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Di $\intoc{-\pi}{\pi}$: $x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}$.

*(b)* $\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4$ memberi $2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$, jadi $x = \pm\frac\pi8 + k\pi$. Di $\intoc{-\pi}{\pi}$: $x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}$.

**Latihan 24.4 ★★.**

Dengan memakai rumus penjumlahannya, hitunglah nilai eksak $\cos\frac{\pi}{12}$ dan $\sin\frac{\pi}{12}$. (Petunjuk: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.)

**Solusi Latihan 24.4.**

Dengan $a = \frac\pi3$, $b = \frac\pi4$:

$$
\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b
= \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},
$$

$$
\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b
= \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.
$$

**Latihan 24.5 ★★.**

Selesaikan di $\intcc{0}{2\pi}$ pertidaksamaan $2\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0$. (Petunjuk: faktorkanlah bentuk kuadrat dalam $\sin x$ itu.)

**Solusi Latihan 24.5.**

Ambil $s = \sin x$: $2s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0$ jika dan hanya jika $s \leq -\frac12$ atau $s = 1$.

$\sin x = 1$ memberi $x = \frac\pi2$. Untuk $\sin x \leq -\frac12$: pada lingkaran satuan, itulah busur di bawah garis mendatar $y = -\frac12$, yang di $\intcc{0}{2\pi}$ menjadi $x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}$. Jadi

$$
S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup
\intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .
$$

**Latihan 24.6 ★★.**

Hitunglah limitnya

$$
\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad
\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.
$$

**Solusi Latihan 24.6.**

$\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$ (komposisi dengan $u = 3x \to 0$).

Dengan memakai $1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$:

$$
\frac{1 - \cos x}{x^2}
= \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x}
\xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .
$$

Dengan mensubstitusikan $u = \frac1x \to 0^+$: $x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1$.

**Latihan 24.7 ★★.**

Kajilah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $f(x) = x + \cos x$ pada $\intcc{0}{2\pi}$: variasi dan [nilai ekstremnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-extremum). Tunjukkan bahwa $f$ naik pada $\R$ walaupun $f'$ bernilai nol di tak berhingga banyak titik.

**Solusi Latihan 24.7.**

$f'(x) = 1 - \sin x \geq 0$ untuk semua $x$, dengan kesamaan tepat ketika $\sin x = 1$, *yaitu* $x = \frac\pi2 + 2k\pi$. Pada $\intcc{0}{2\pi}$, $f$ naik dari $f(0) = 1$ ke $f(2\pi) = 2\pi + 1$ (nol $f'$ di $\frac{\pi}{2}$ terpencil, sehingga naiknya bahkan tegas); [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $1$ di $0$, [maksimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $2\pi + 1$ di $2\pi$. Pada $\R$, $f' \geq 0$ di mana-mana dengan nol yang terpencil saja, jadi $f$ naik (secara tegas) menurut [Teorema 22.7](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#thm-g12-deriv-variations), walaupun $f'$ bernilai nol di setiap $\frac\pi2 + 2k\pi$.

**Latihan 24.8 ★★★.**

Misalkan $f(x) = A\cos x + B \sin x$ dengan $(A,B) \neq (0,0)$.

1. Tunjukkan bahwa $f$ dapat ditulis $f(x) = R\cos(x - \varphi)$ dengan $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ dan suatu $\varphi$ yang sesuai.
2. Simpulkan nilai [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) dan [minimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $f$ , lalu selesaikan $\cos x + \sin x = 1$ di $\intoc{-\pi}{\pi}$ .

**Solusi Latihan 24.8.**

*1.* Misalkan $R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0$. Titik $\left(\frac AR, \frac BR\right)$ terletak pada lingkaran satuan, jadi ada $\varphi$ dengan $\cos\varphi = \frac AR$ dan $\sin\varphi = \frac BR$. Maka

$$
R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr)
= A\cos x + B\sin x = f(x).
$$

*2.* Karena daerah hasil $\cos$ adalah $\intcc{-1}{1}$, [maksimum](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $f$ adalah $R$ dan [minimumnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#def-g10-functions-extrema) $-R$. Untuk $\cos x + \sin x$: $A = B = 1$, $R = \sqrt2$, $\varphi = \frac\pi4$, jadi [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) menjadi $\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1$, *yaitu* $\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$, yang memberi $x - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$: di $\intoc{-\pi}{\pi}$, $x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}$.

**Latihan 24.9 ★★★.**

Tunjukkan bahwa $\sin$ dan $\cos$ keduanya memenuhi [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) diferensial $y'' = -y$. Sebaliknya, misalkan $y$ suatu penyelesaian $y'' = -y$ dengan $y(0) = a$ dan $y'(0) = b$; tunjukkan bahwa $y = a\cos + b\sin$. (Petunjuk: tinjaulah $g = (y - a\cos - b\sin)$ dan “tenaga” $E = g^2 + (g')^2$.)

**Solusi Latihan 24.9.**

$(\sin)'' = (\cos)' = -\sin$ dan $(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos$: keduanya memenuhi $y'' = -y$.

Misalkan $g = y - a\cos - b\sin$. Maka $g'' = -g$ (kelinearan penurunan), $g(0) = y(0) - a = 0$ dan $g'(0) = y'(0) - b = 0$. Ambil $E = g^2 + (g')^2$. Maka

$$
E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,
$$

sehingga $E$ tetap dan sama dengan $E(0) = 0$. Jumlah dua kuadrat yang bernilai nol secara identik memaksa $g = 0$, jadi $y = a\cos + b\sin$.

## 24.4 Soal: Rahasia bandul

**Soal 24.1.**

Soal akhir pekan — satu limit geometris menggerakkan turunan sinus dan kosinus, dan dari keduanya seluruh osilasi: pegas, bandul, layangan bunyi, dan meter yang nyaris jadi

Setiap jam yang pernah berdetak, setiap dawai yang pernah berbunyi, menuruti matematika yang sama: gaya pemulih yang sebanding dengan simpangannya, sehingga [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $y'' = -\omega^2 y$, sehingga [kosinus](#def-g12-trigo-cossin). Di dasar semuanya duduk satu limit yang tampak tak berdosa, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ — dijanjikan di kelas 9, dipakai oleh [Teorema 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives), dan dibuktikan di sini dengan gambar. Soal ini mendaki dari limit itu sampai ke ayunan sebuah bandul sepanjang satu meter, dan menjelaskan mengapa meter, tipis sekali [bedanya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-arithmetic), tidak didefinisikan olehnya.

**Bagian I — Limit dasarnya.**

1. Pemanasan secara numeris: hitunglah $\frac{\sin x}{x}$ untuk $x = 0.1$ dan $x = 0.01$ (dalam [radian](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-radian) !).
2. Apitannya, pada lingkaran satuan dengan $0 < x < \frac\pi2$ : nyatakanlah dengan geometri dasar luas (i) segitiga yang bertitik sudut $O$ , $A(1,0)$ dan titik lingkaran $M(\cos x, \sin x)$ ; (ii) juring lingkaran $OAM$ ; (iii) segitiga siku-siku $OAT$ dengan $T(1, \tan x)$ .
3. Dari apitan luas itu simpulkan $\sin x < x < \tan x$ , lalu $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ , dan simpulkan dengan teorema apit bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (sifat ganjilnya mengurus $x < 0$ ).
4. Simpulkan $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$ (kalikan dengan sekawannya).
5. Jelaskan mengapa limit ini adalah mesin [Teorema 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) (berapakah $\sin'(0)$ ?), dan mengapa ia juga melunasi utang lama: dalam arti apa *[radian](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-radian)* adalah satu-satunya satuan sudut yang membuat $\sin' = \cos$ berlaku tanpa tetapan tambahan?

**Bagian II — Gerak harmonis.**

6. Periksalah dengan aturan rantai bahwa $y(t) = R\cos(\omega t - \varphi)$ memenuhi $y'' = -\omega^2 y$ .
7. Sebuah massa pada pegas menuruti $y'' = -4y$ , dengan $y(0) = 3$ dan $y'(0) = 8$ . Dengan menerima (dari [Latihan 24.9](#exo-g12-trigo-9) ) bahwa semua penyelesaiannya berbentuk $A\cos 2t + B\sin 2t$ , tentukanlah $A$ dan $B$ .
8. Tulislah ulang penyelesaiannya sebagai $R\cos(2t - \varphi)$ ( [Latihan 24.8](#exo-g12-trigo-8) ): berikan amplitudo $R$ , kala ayunnya, dan fase $\varphi$ (tiga angka di belakang titik).
9. Pada saat manakah massa itu untuk pertama kalinya melewati kedudukan seimbang $y = 0$ ?
10. Bandulnya: sebuah bandul pada tali sepanjang $L$ menuruti *secara eksak* $\theta'' = -\frac gL \sin\theta$ — tak terselesaikan dengan [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) dasar. Untuk ayunan kecil, gantilah $\sin\theta$ dengan $\theta$ (Bagian I membenarkannya!) lalu simpulkan kala ayunnya $T = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Hitunglah $T$ untuk $L = 1$ m ( $g = 9.81$ ): penemuan masyhur Galileo — pada apakah rumus itu *tidak* bergantung?
11. Bandul sekon: panjang berapakah yang memberi $T = 2$ sekon tepat? Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis pada tahun 1791 ragu antara panjang itu dan sepersepuluh juta seperempat meridian untuk mendefinisikan *meter* — berapa milimeterkah [beda](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#def-g11-seq-arithmetic) kedua calon itu?

**Bagian III — Rumus penjumlahan beraksi.**

12. Tunjukkan dengan rumus penjumlahannya ( [Proposisi 24.3](#prop-g12-trigo-addition) ) bahwa $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x$ dan $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ : penurunan secara melingkar adalah seperempat putaran — periksalah keselarasannya dengan [Teorema 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) .
13. Turunkanlah identitas hasil-kali-ke-jumlah $\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) +  \cos(a + b)\right)$ dan pelinearan $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (bab pengintegralan akan berterima kasih).
14. Layangan bunyi: turunkanlah $\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2}  \cos\frac{p - q}{2}$ , lalu terapkan pada dua garpu tala pada $440$ dan $444$ Hz: nada apakah yang didengar telinga, dan berapa denyut tiap sekonnya? (Beginilah orkestra menyetel nadanya.)
15. Turunkanlah identitas sudut rangkap tiga $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ (tulislah $3x = 2x + x$ ). Dengan mengambil $x = 20^\circ$ , [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) pangkat tiga apakah yang harus dipenuhi $\cos 20^\circ$ ? (Bahwa [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) pangkat tiga itu tak dapat diselesaikan dengan akar kuadrat saja justru itulah sebabnya pembagian sudut menjadi tiga mengalahkan penggaris dan jangka selama dua ribu tahun — kisah lengkapnya diceritakan dalam jilid universitas.)
16. Sebuah arus bolak-balik terbaca $I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t)$ . Tulislah ulang sebagai $R\cos(100\pi t - \varphi)$ : berapakah arus puncaknya dan fasenya?

**Bagian IV — Dunia yang berayun.**

17. Kala ayun: berapakah kala (terkecil) dari $\sin^2 t$ (pakailah pertanyaan 13)? Dan dari $\sin(2t) + \sin(3t)$ ?
18. Bandul yang sesungguhnya teredam: $y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t)$ . Lukiskan geraknya, hitunglah nilai selubungnya di $t = 10$ (seorang kawan lama muncul kembali, [Soal 23.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/23-eksponen-dan-logaritma#pb-g12-exp-1) ), lalu sebutkan bab tempat [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) dengan penyelesaian seperti itu diselesaikan.
19. Mengapa [sinus](#def-g12-trigo-cossin) dan [kosinus](#def-g12-trigo-cossin) menguasai setiap getaran? Berikan kamus fisika-ke-matematikanya dalam dua kalimat (gaya pemulih yang sebanding dengan simpangannya $\rightarrow$ [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) yang mana $\rightarrow$ penyelesaian yang mana), lalu katakan apa sumbangan [Latihan 24.9](#exo-g12-trigo-9) bagi pernyataan itu.
20. Penutup: busur bab ini dalam empat langkah — satu limit geometris, dua [turunan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative) , satu [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) diferensial, seluruh osilasi. Dan tanda bintang yang jujur: untuk ayunan besar, kala bandul yang sebenarnya melibatkan integral eliptis, yang dihitung secepat kilat oleh …rata-rata aritmetika–geometri Gauss, hidangan penutup [Soal 20.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#pb-g12-seq-1) . Benang-benang seri ini menyimpul dirinya.

**Solusi Soal 24.1.**

**1.** $0.99833\ldots$ dan $0.99998\ldots$: merayap menuju $1$.

**2.** Segitiga $OAM$: alasnya $1$, tingginya $\sin x$, luasnya $\frac{\sin x}{2}$. Juring $OAM$: bagiannya $\frac{x}{2\pi}$ dari cakram satuan, luasnya $\frac x2$. Segitiga $OAT$: alasnya $1$, tingginya $\tan x$, luasnya $\frac{\tan x}{2}$.

**3.** Segitiga kecil itu duduk di dalam juringnya, dan juringnya di dalam segitiga besar: $\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}$, yaitu $\sin x < x < \tan x$. Dari $\sin x < x$ diperoleh $\frac{\sin x}{x} < 1$; dan dari $x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, dengan mengalikan dengan $\frac{\cos x}{x} > 0$: $\cos x < \frac{\sin x}{x}$. Ketika $x \to 0^+$, $\cos x \to 1$, sehingga terapit: $\frac{\sin x}{x} \to 1$; dan $\frac{\sin x}{x}$ genap, jadi limit dua sisinya adalah $1$.

**4.** $\frac{1 - \cos x}{x^2} =
\frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} =
\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x}
\to 1 \times \frac12$.

**5.** $\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} =
1$: seluruh penurunan [sinus](#def-g12-trigo-cossin) dan [kosinus](#def-g12-trigo-cossin) mengalir dari satu limit ini. Diukur dalam derajat, limitnya menjadi $\frac{\pi}{180}$, dan setiap [turunannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative) akan menyeret tetapan itu: [radian](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/14-trigonometri-lingkaran-satuan#def-g11-trigo-radian) tepat merupakan satuan yang membuat kalkulus osilasi menjadi bersih.

**6.** $y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi)$, $y'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y$.

**7.** $\omega = 2$. $y(0) = A = 3$; $y'(0) = 2B = 8$, jadi $B = 4$ dan $y = 3\cos 2t + 4\sin 2t$.

**8.** $R = \sqrt{9 + 16} = 5$; kala ayunnya $\frac{2\pi}{2} = \pi$; fasenya $\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927$, sehingga $y = 5\cos(2t - 0.927)$.

**9.** $5\cos(2t - \varphi) = 0$ untuk pertama kalinya ketika $2t - \varphi = \frac\pi2$, jadi $t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25$ sekon.

**10.** Dengan $\sin\theta \approx \theta$: $\theta'' = -\frac gL \theta$, yaitu gerak harmonis dengan $\omega = \sqrt{\frac gL}$ dan kala $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$. Untuk $L = 1$: $T \approx 2.006$ sekon. Kala ayunnya tidak bergantung pada amplitudonya (untuk ayunan kecil) — keisokronan Galileo, kenyataan yang memungkinkan adanya jam bandul.

**11.** $L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 =
\frac{9.81}{\pi^2} \approx 0.994$ m: bandul sekon itu kira-kira $6$ mm lebih pendek daripada meter meridian. Akademinya memilih meridian (gravitasi berubah dari tempat ke tempat, mengkhianati bandulnya); seandainya $g$ setipis rambut lebih besar, meter kita akan berdetak.

**12.** $\cos\left(x + \frac\pi2\right) =
\cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x$; $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$. Jadi menurunkan [sinus](#def-g12-trigo-cossin) memberi [sinus](#def-g12-trigo-cossin) yang bergeser seperempat putaran ($\cos$), lalu sekali lagi ($-\sin$), dan sekali lagi, dan pulang dalam empat langkah: penurunan memutar lingkarannya.

**13.** Dengan menjumlahkan kedua jabaran $\cos(a \mp b)$: $\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b$. Dengan $a = b = x$: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$, yaitu $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

**14.** Dengan $p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}$ dan $q$ bayangan cerminnya, lalu [menjabarkan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-expand) dan menjumlahkan: $\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$. Untuk $440$ dan $444$ Hz: sebuah nada pada $442$ Hz yang kenyaringannya dimodulasi oleh $\cos(2\pi \cdot 2t)$ — kenyaringannya memuncak $4$ kali tiap sekonnya ([nilai mutlak](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-abs) selubungnya): empat layangan tiap sekonnya, yang lenyap ketika kedua garpu itu sepakat.

**15.** $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x =
(2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x -
3\cos x$. Di $x = 20^\circ$: $\cos 60^\circ = \frac12$, jadi $c = \cos 20^\circ$ memenuhi $8c^3 - 6c - 1 = 0$ — [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) pangkat tiga tanpa penyelesaian berbentuk akar kuadrat: melukis $20^\circ$, yaitu membagi tiga $60^\circ$, berada di luar jangkauan penggaris dan jangka.

**16.** $R = \sqrt{9 + 27} = 6$; $\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3$, jadi $\varphi = \frac\pi3$ dan $I(t) = 6\cos\left(100\pi t -
\frac\pi3\right)$: puncaknya $6$ ampere, dengan ketinggalan fase $60^\circ$.

**17.** $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$, jadi kalanya $\pi$. Kala $\sin 2t$ adalah $\pi$, sedangkan kala $\sin 3t$ adalah $\frac{2\pi}{3}$: jumlahnya berulang setelah kelipatan persekutuan terkecilnya, yaitu $2\pi$.

**18.** Osilasi berkala $1$ di dalam selubung yang menyusut, $\pm\eu^{-t/10}$: tiap ayunan kira-kira $10\,\%$ lebih rendah. Di $t = 10$ selubungnya bernilai $\eu^{-1} \approx 0.368$ — lagi-lagi tetapan [Soal 23.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/23-eksponen-dan-logaritma#pb-g12-exp-1). [Persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) dengan penyelesaian teredam seperti itu ($y'' + a y' + b y = 0$) diselesaikan di bab [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) diferensial.

**19.** Gaya yang menarik kembali sebanding dengan simpangannya memberi $y'' = -\omega^2 y$; dan [Latihan 24.9](#exo-g12-trigo-9) menunjukkan bahwa penyelesaian [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) itu *tepat* berupa gabungan $\cos$ dan $\sin$ — keberadaannya lewat contoh, ketunggalannya lewat latihan itu: getaran tidak punya pilihan selain menjadi sinusoidal.

**20.** Satu limit ($\frac{\sin x}{x} \to 1$, lewat luas yang terapit), dua [turunan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative) ($\sin' = \cos$, $\cos' = -\sin$), satu [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) ($y'' = -\omega^2 y$), dan sebuah dunia berisi jam, dawai, arus dan pasang surut. Tanda bintangnya: untuk ayunan lebar, $T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot
\frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))}$ — yaitu rata-rata aritmetika–geometri [Soal 20.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#pb-g12-seq-1) yang menghitung integral eliptis itu dalam beberapa lelaran saja: catatan buku harian Gauss dan bandul Galileo, hanya berjarak satu rumus.