---
title: "Persamaan Diferensial"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 26
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/26-persamaan-diferensial
---

# Bab 26 — Persamaan Diferensial

[Persamaan diferensial](#def-g12-diffeq-ode) mengaitkan sebuah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) dengan [turunannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative). Fisika, kimia, biologi dan ekonomi menyatakan hukumnya dalam bentuk ini: laju pendinginan sebuah benda, peluruhan inti radioaktif, pertumbuhan sebuah populasi, semuanya pernyataan tentang $y'$. Bab ini menyelesaikan secara tuntas [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) linear tingkat satu dengan koefisien tetap.

## 26.1 Persamaan $y' = ay$

**Definisi 26.1 (Persamaan diferensial).**

Suatu *persamaan diferensial* adalah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) yang bilangan tak diketahuinya berupa [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $y$, dan yang memuat $y$ beserta [turunannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative). Suatu *penyelesaian* pada selang $I$ adalah [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) yang [dapat diturunkan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative) dan memenuhi [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) itu di setiap titik $I$.

**Teorema 26.2 (Penyelesaian y′=ayy' = ayy′=ay).**

Misalkan $a \in \R$. Penyelesaian pada $\R$ dari [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $y' = ay$ tepat berupa [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function)

$$
y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .
$$

Untuk setiap pasangan $(x_0, y_0)$ ada tepat satu penyelesaian dengan $y(x_0) = y_0$.

**Bukti.** Setiap $y = C\eu^{ax}$ memenuhi $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$. Sebaliknya, misalkan $y$ sebarang penyelesaian dan ambil $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$. Maka

$$
z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax}
= \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,
$$

sehingga $z$ bernilai tetap, sebutlah $C$, dan $y(x) = C\eu^{ax}$. Syarat awal $y(x_0) = y_0$ memaksa $C = y_0 \eu^{-a x_0}$ secara tunggal. ∎

**Catatan 26.3.**

[Fungsi eksponen](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/23-eksponen-dan-logaritma#thm-g12-exp-existence) dengan demikian *dicirikan* oleh [persamaan diferensial](#def-g12-diffeq-ode) yang paling sederhana dari semuanya: pertumbuhan yang sebanding dengan besarnya. Itulah sebabnya ia muncul di mana-mana di alam.

![Persamaan y' = y menetapkan sebuah gradien di setiap titik bidangnya (ruas kelabu). Penyelesaiannya C x — di sini C = 1 (biru), C = 0.3 (merah), C = -0.5 (jingga) — tepat berupa kurva yang mengikuti medan gradien itu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-4ca95fee37c9.svg)

*[Persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $y' = y$ menetapkan sebuah [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) di setiap titik bidangnya (ruas kelabu). Penyelesaiannya $C\eu^{x}$ — di sini $C = 1$ (biru), $C = 0.3$ (merah), $C = -0.5$ (jingga) — tepat berupa kurva yang mengikuti medan [gradien](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/4-fungsi-acuan#def-g10-reffunc-affine) itu.*

**Contoh 26.4 (Peluruhan radioaktif).**

Suatu banyaknya bahan radioaktif memenuhi $N' = -\lambda N$ dengan $\lambda > 0$, sehingga $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$; lihat [Contoh 23.9](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/23-eksponen-dan-logaritma#ex-g12-exp-halflife) untuk waktu paruhnya.

## 26.2 Persamaan $y' = ay + b$

**Teorema 26.5 (Penyelesaian y′=ay+by' = ay + by′=ay+b).**

Misalkan $a \neq 0$ dan $b \in \R$. Penyelesaian pada $\R$ dari $y' = ay + b$ tepat berupa [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function)

$$
y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .
$$

[Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) tetap $y_p = -\frac ba$ disebut *penyelesaian setimbang*. Untuk setiap $(x_0, y_0)$ ada tepat satu penyelesaian dengan $y(x_0) = y_0$; jika $a < 0$, setiap penyelesaian menuju kesetimbangan $-\frac ba$ ketika $x \to +\infty$.

**Bukti.** [Fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) tetap $y_p = -\frac{b}{a}$ memenuhi $y_p' = 0 = a y_p + b$. Sekarang $y$ adalah penyelesaian jika dan hanya jika

$$
(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0}
= a (y - y_p),
$$

yaitu jika dan hanya jika $z = y - y_p$ memenuhi $z' = az$. Menurut [Teorema 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous), $z = C\eu^{ax}$, dan dari situ rumusnya, keberadaannya serta ketunggalannya. Jika $a < 0$, maka $\eu^{ax} \to 0$ ketika $x \to +\infty$, sehingga $y(x) \to -\frac ba$. ∎

**Metode 26.6 (Menyelesaikan y′=ay+by' = ay + by′=ay+b dengan syarat awal).**

1. Carilah penyelesaian setimbangnya $y_p = -\frac{b}{a}$ (selesaikan $y' = 0$ ).
2. Tulislah penyelesaian umumnya $y = C\eu^{ax} + y_p$ .
3. Tentukan $C$ dari syarat awalnya.
4. Periksalah perilaku jangka panjangnya dengan naluri fisikanya (apakah penyelesaiannya menuju kesetimbangan?).

Siasat yang sama — *satu penyelesaian khusus ditambah penyelesaian umum [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) homogennya* — meluas ke $y' = ay + f(x)$: lihat [Proposisi 26.8](#prop-g12-diffeq-general).

**Contoh 26.7 (Hukum pendinginan Newton).**

Secangkir kopi bersuhu $80\,^\circ$C berada di ruangan bersuhu $20\,^\circ$C. Hukum Newton menyatakan bahwa suhunya $T$ memenuhi $T' = -k(T - 20)$ untuk suatu $k > 0$, *yaitu* $T' = -kT + 20k$. Kesetimbangannya $20$, dan $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$: kopinya mendingin secepat eksponensial menuju suhu ruangannya.

![Berapa pun suhu awalnya, semua penyelesaian T' = -k(T - 20) menuju kesetimbangan T = 20 secara eksponensial.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-0a8a00e7ffcb.svg)

*Berapa pun suhu awalnya, semua penyelesaian $T' = -k(T - 20)$ menuju kesetimbangan $T = 20$ secara eksponensial.*

## 26.3 Persamaan $y' = ay + f(x)$

**Proposisi 26.8 (Susunan himpunan penyelesaiannya).**

Misalkan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/21-limit-dan-kekontinuan#def-g12-limcont-continuity) pada selang $I$ dan $y_p$ satu penyelesaian khusus [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation)

$$
y' = ay + f(x)
$$

pada $I$. Maka penyelesaiannya pada $I$ tepat berupa [fungsi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/11-fungsi-dan-variasinya#def-g11-func-function) $y = C\eu^{ax} + y_p$, $C \in \R$.

**Bukti.** Seperti pada [Teorema 26.5](#thm-g12-diffeq-affine): $y$ adalah penyelesaian jika dan hanya jika $z = y - y_p$ memenuhi $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$, jika dan hanya jika $z = C\eu^{ax}$. ∎

**Metode 26.9 (Menerka satu penyelesaian khusus).**

Carilah satu penyelesaian khusus *yang sebentuk* dengan $f$:

- $f$ suku banyak berderajat $n$ : cobalah suku banyak berderajat $n$ ;
- $f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ dengan $k \neq a$ : cobalah $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ ;
- $f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (kasus beresonansi): cobalah $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ .

Substitusikan ke dalam [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) lalu samakan koefisiennya.

**Contoh 26.10.**

Selesaikan $y' = 2y + 4x$. Cobalah $y_p = \alpha x + \beta$: $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ untuk semua $x$ memaksa $2\alpha + 4 = 0$ dan $\alpha = 2\beta$, jadi $\alpha = -2$, $\beta = -1$. Penyelesaian umumnya: $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$.

## 26.4 Latihan

**Latihan 26.1 ★.**

Selesaikan pada $\R$: (a) $y' = 3y$ dengan $y(0) = 2$; (b) $2y' + y = 0$ dengan $y(0) = -1$; (c) $y' = -y + 5$ dengan $y(0) = 0$.

**Solusi Latihan 26.1.**

*(a)* $y = C\eu^{3x}$; $y(0) = 2$ memberi $y = 2\eu^{3x}$.

*(b)* $y' = -\frac12 y$, jadi $y = C\eu^{-x/2}$; $y(0) = -1$ memberi $y = -\eu^{-x/2}$.

*(c)* Kesetimbangannya $y_p = 5$; $y = C\eu^{-x} + 5$; $y(0) = 0$ memberi $C = -5$, jadi $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$.

**Latihan 26.2 ★.**

Sebuah populasi bakteri tumbuh dengan laju yang sebanding dengan besarnya, dan berlipat dua setiap $3$ jam. Tulislah [persamaan diferensial](#def-g12-diffeq-ode) yang dipenuhi populasinya $N(t)$ lalu tentukan tetapan pembandingnya.

**Solusi Latihan 26.2.**

$N' = kN$, jadi $N(t) = N_0 \eu^{kt}$. Berlipat dua dalam $3$ jam berarti $\eu^{3k} = 2$, *yaitu*

$$
k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{jam}^{-1}.
$$

**Latihan 26.3 ★.**

Periksalah bahwa $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ adalah penyelesaian $y' = y + \eu^x$, lalu berikan semua penyelesaiannya pada $\R$.

**Solusi Latihan 26.3.**

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$: jadi $y_p$ satu penyelesaian khusus (inilah kasus beresonansi pada [Metode 26.9](#met-g12-diffeq-particular)). Menurut [Proposisi 26.8](#prop-g12-diffeq-general), penyelesaiannya adalah $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$, $C \in \R$.

**Latihan 26.4 ★★.**

Selesaikan $y' = -2y + \eu^{x}$ dengan $y(0) = 1$. (Petunjuk: carilah satu penyelesaian khusus berbentuk $\beta\,\eu^{x}$.)

**Solusi Latihan 26.4.**

Cobalah $y_p = \beta\eu^x$: $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ memberi $3\beta = 1$, jadi $y_p = \frac13\eu^x$. Penyelesaian umumnya $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$; syarat $y(0) = 1$ memberi $C = \frac23$:

$$
y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.
$$

**Latihan 26.5 ★★.**

Karbon-14 meluruh dengan waktu paruh $5730$ tahun. Sebuah contoh arkeologis memuat $60\%$ karbon-14 milik makhluk hidup. Taksirlah umurnya.

**Solusi Latihan 26.5.**

$N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ dengan $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ ([Contoh 23.9](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/23-eksponen-dan-logaritma#ex-g12-exp-halflife)). Kita selesaikan $\eu^{-\lambda t} = 0.6$:

$$
t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2}
\approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ tahun}.
$$

**Latihan 26.6 ★★.**

Sebuah tangki memuat $100$ L air murni. Air garam yang memuat $0.2$ kg garam tiap liternya mengalir masuk dengan laju $5$ L/menit, dan campurannya (yang dijaga seragam) mengalir keluar dengan laju yang sama. Misalkan $m(t)$ massa garam di dalam tangki pada waktu $t$ (dalam menit).

1. Berilah alasan bahwa $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ .
2. Selesaikan, lalu tentukan limit $m(t)$ ketika $t \to +\infty$ . Tafsirkan hasilnya.

**Solusi Latihan 26.6.**

*1.* Garamnya mengalir masuk dengan laju $0.2 \times 5 = 1$ kg/menit. Aliran keluarnya membawa kepekatan $\frac{m}{100}$ kg/L pada $5$ L/menit, *yaitu* $\frac{m}{20}$ kg/menit. Jadi $m' = 1 - \frac{m}{20}$.

*2.* Kesetimbangannya $m_p = 20$; $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$, dan $m(0) = 0$ memberi $C = -20$:

$$
m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.
$$

Dalam jangka panjang kepekatan tangkinya sama dengan kepekatan air garam yang masuk: $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg.

**Latihan 26.7 ★★.**

Seorang penerjun payung bermassa $80$ kg jatuh di bawah pengaruh gravitasi ($g = 9.8\ \text{m/s}^2$) dan hambatan udara yang sebanding dengan lajunya, sehingga lajunya memenuhi $v' = g - \frac{k}{m}v$ dengan $k = 16$ kg/s.

1. Selesaikan [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) dengan $v(0) = 0$ .
2. Hitunglah *kecepatan terminalnya* $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ , dan waktu yang diperlukan untuk mencapai $95\%$ darinya.

**Solusi Latihan 26.7.**

*1.* $v' = g - \frac{k}{m} v$ dengan $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$. Kesetimbangannya $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s; $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$, dan $v(0) = 0$ memberi

$$
v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).
$$

*2.* Kecepatan terminalnya $49$ m/s ($\approx 176$ km/jam). Kita inginkan $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$, *yaitu* $\eu^{-0.2t} = 0.05$:

$$
t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ sekon}.
$$

**Latihan 26.8 ★★★.**

*([Persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) logistik.)* Sebuah populasi $y(t) \in \intoo{0}{1}$ (sebagai pecahan dari populasi maksimalnya) memenuhi

$$
y' = y(1 - y).
$$

1. Misalkan $z = \dfrac{1}{y}$ . Tunjukkan bahwa $z$ memenuhi [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) linear $z' = -z + 1$ .
2. Selesaikan untuk $z$ , lalu untuk $y$ , dengan $y(0) = \frac{1}{10}$ .
3. Tunjukkan bahwa $y(t) \to 1$ ketika $t \to +\infty$ lalu lukiskan bentuk kurva penyelesaiannya.

**Solusi Latihan 26.8.**

*1.* $z = \frac1y$ memberi $z' = -\frac{y'}{y^2}
= -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1$.

*2.* Kesetimbangannya $z_p = 1$, jadi $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$. Dari $y(0) = \frac{1}{10}$ diperoleh $z(0) = 10$, jadi $C = 9$ dan

$$
y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .
$$

*3.* Ketika $t \to +\infty$, $9\eu^{-t} \to 0$ dan $y(t) \to 1$. Kurvanya adalah kurva logistik berbentuk S yang klasik (*sigmoid*): pertumbuhannya lambat mula-mula ($y$ kecil, $y' \approx y$), tercepat ketika $y = \frac12$ (ketika $y' = y(1-y)$ maksimal), lalu menjenuh menuju daya dukungnya yang bernilai $1$.

**Latihan 26.9 ★★★.**

Misalkan $y$ suatu penyelesaian $y' = ay + b$ dan $u_n = y(n)$ untuk $n \in \N$. Tunjukkan bahwa $(u_n)$ memenuhi rekurensi aritmetika-geometri $u_{n+1} = q u_n + r$, lalu nyatakan $q$ dan $r$ dengan $a$ dan $b$. Syarat $\abs{q} < 1$ bersesuaian dengan apa bagi [persamaan diferensialnya](#def-g12-diffeq-ode)?

**Solusi Latihan 26.9.**

Menurut [Teorema 26.5](#thm-g12-diffeq-affine), $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$. Jadi

$$
u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba
= \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right)
= q\,u_n + r
$$

dengan $q = \eu^{a}$ dan $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$. Syarat $\abs q < 1$ berarti $\eu^a < 1$, *yaitu* $a < 0$: tepat syarat yang membuat penyelesaian [persamaan diferensialnya](#def-g12-diffeq-ode) menuju kesetimbangan $-\frac ba$ — dan memang [titik tetap](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) rekurensinya adalah $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$.

## 26.5 Soal: Jam di dalam benda

**Soal 26.1.**

Soal akhir pekan — karbon-14 menanggali gua, hukum pendinginan Newton menakar waktu kejahatan, dan satu persamaan kecil mengenakan empat kostum

[Persamaan diferensial](#def-g12-diffeq-ode) adalah hukum perubahan; menyelesaikannya mengubah hukum itu menjadi sebuah *jam*. [Persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) mungil yang sama, $y' = ay + b$ ([Teorema 26.5](#thm-g12-diffeq-affine)), berdetak di dalam arang prasejarah, kopi yang mendingin, tetes hujan yang jatuh dan infus rumah sakit — dan membaca jam itulah urusan soal ini: ia menanggali lukisan Lascaux, memastikan saat kematian, lalu mengaudit anggapannya sendiri seperti ilmuwan yang baik.

**Bagian I — Kelancaran.**

1. Selesaikan $y' = 3y$ , $y(0) = 2$ ; lalu $y' = -2y + 6$ , $y(0) = 0$ ( [Metode 26.6](#met-g12-diffeq-solve) ).
2. Turunkan kembali muslihat ketunggalan di balik [Teorema 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous) : jika $y' = ay$ , hitunglah [turunan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-derivative) $y(t)\,\eu^{-at}$ lalu simpulkan bahwa *setiap* penyelesaiannya berbentuk $C\eu^{at}$ .
3. Untuk $y' = -2y + 6$ : carilah penyelesaian setimbangnya, lalu lukiskan nasib setiap penyelesaian lainnya ketika $t \to +\infty$ . ( [Titik tetap](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) rekurensi pada [Soal 13.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#pb-g11-seq-1) , yang kini menjadi sinambung.)
4. Untuk hukum peluruhan $y' = -\frac{y}{\tau}$ : tunjukkan bahwa waktu paruhnya $t_{1/2} = \tau \ln 2$ .
5. Lukiskan (atau uraikan) keluarga penyelesaian $y' = -2y + 6$ : apa yang dilakukan penyelesaian yang bermula di atas $3$ ? Yang di bawah $3$ ? Yang tepat di $3$ ?

**Bagian II — Karbon-14.** Jaringan hidup mempertahankan nisbah karbon-14 radioaktif yang tetap; pada saat mati asupannya berhenti dan persediaannya meluruh: $N' = -\lambda N$, dengan waktu paruh $5\,730$ tahun.

6. Hitunglah $\lambda$ (tiap tahunnya).
7. Sebuah tulang menyisakan $20\,\%$ nisbah makhluk hidupnya: berapa umurnya?
8. Arang dari gua berlukis di Lascaux menyisakan kira-kira $15\,\%$ : tanggalilah lukisannya.
9. Manusia es Ötzi, yang ditemukan di sebuah gletser Alpen, terukur kira-kira $53\,\%$ : tanggalilah dia (para arkeolog menyebut kira-kira $5\,300$ tahun — bagaimana hasilmu?).
10. Mengapa karbon-14 tidak dapat menanggali dinosaurus? Hitunglah pecahan yang tersisa sesudah sepuluh waktu paruh, nyatakan pecahannya sesudah $65$ juta tahun sebagai pangkat $2$ , lalu simpulkan.
11. Batang galatnya: jika $53\,\%$ milik Ötzi hanya diketahui sampai $\pm 1\,\%$ , hitunglah rentang umurnya. Ketelitian laboratorium seperti apa membeli ketelitian penanggalan seperti apa?

**Bagian III — Pendinginan Newton, dan sebuah kejahatan.** Sebuah benda bersuhu $T$ di lingkungan bersuhu tetap $T_a$ mendingin menurut $T' = -k\,(T - T_a)$.

12. Selesaikan [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) (substitusikan $z = T - T_a$): $$T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .$$
13. Kopi yang dituang pada $90\,^\circ$ C di ruangan $20\,^\circ$ C terbaca $70\,^\circ$ C sesudah $5$ menit. Tentukan $k$ , lalu lama menunggu sampai suhunya enak diminum, $55\,^\circ$ C.
14. Pertanyaan susunya: agar dapat meminum kopi sehangat mungkin dalam sepuluh menit, haruskah susu dinginnya dimasukkan sekarang atau pada saat terakhir? Jawablah dengan [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) (apa yang dilakukan penambahan susu terhadap jurang $T - T_a$ , dan bagaimana jurang itu menggerakkan kehilangan panasnya?).
15. Forensik: sesosok jenazah ditemukan tengah malam pada $30\,^\circ$ C di ruangan $20\,^\circ$ C; satu jam kemudian terbaca $28\,^\circ$ C. Dengan menganggap $37\,^\circ$ C pada saat kematiannya, perolehlah $k$ dari kedua pengukuran itu, lalu hitunglah saat kematiannya.
16. Auditlah jam sang dokter forensik: sebutkan tiga pelanggaran nyata terhadap anggapan modelnya dan ke arah mana masing-masing akan membiaskan taksiran saat kematiannya.

**Bagian IV — Empat kostum dan sebuah kurva S.**

17. [Persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) logistik pada [Latihan 26.8](#exo-g12-diffeq-8) , $y' = y(1 - y)$ dengan $y(0) = 0.1$ : dengan memakai substitusi latihan itu, turunkanlah $y(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ , lalu carilah waktu [titik beloknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-inflection) $y = \frac12$ — tanggal milik ahli epidemiologi pada [Soal 22.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#pb-g12-deriv-1) , yang kini dapat dihitung.
18. Setetes hujan menuruti $v' = 10 - \frac v2$ (gravitasi dikurangi hambatan), $v(0) = 0$ . Carilah kecepatan terminalnya, selesaikan untuk $v(t)$ , lalu hitunglah kapan tetesnya mencapai $95\,\%$ laju terminalnya.
19. Sebuah infus rumah sakit menyalurkan obat dengan laju tetap sementara tubuh membuangnya secara sebanding: $c' = 4 - 0.5c$ , $c(0) = 0$ . Carilah kepekatan pada keadaan mapannya dan waktu untuk mencapai setengahnya. Sebutkan dalam satu kalimat kesejajarannya dengan rekurensi pinjaman pada [Latihan 26.9](#exo-g12-diffeq-9) .
20. Penutup — satu [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) , empat kostum: peluruhan, pendinginan, jatuh, penakaran obat, semuanya $y' = ay + b$ dengan tanda dan nama yang berbeda. Lafalkanlah gelung permodelan yang dijalankan soal ini empat kali (hukum $\to$ [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $\to$ penyelesaian $\to$ penakaran $\to$ ramalan $\to$ audit), lalu sebutkan gejala yang menuntut $y''$ — dan soal mana yang sudah menjumpainya.

**Solusi Soal 26.1.**

**1.** $y = 2\eu^{3t}$. Untuk yang kedua: kesetimbangannya $3$, jadi $y = 3 + C\eu^{-2t}$ dengan $y(0) = 0$, sehingga $C = -3$ dan $y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right)$.

**2.** $\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} -
ay\eu^{-at} = (y' - ay)\eu^{-at} = 0$: jadi hasil kalinya sebuah tetapan $C$, sehingga $y = C\eu^{at}$ — tak ada penyelesaian yang lolos.

**3.** Kesetimbangannya: $y \equiv 3$. Setiap penyelesaian lainnya berupa $3 + C\eu^{-2t}$ dengan $C \neq 0$: [fungsi eksponennya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/23-eksponen-dan-logaritma#thm-g12-exp-existence) mati dan penyelesaiannya meluncur ke $3$ — sebuah [titik tetap](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) yang mantap, kembaran sinambung dari [titik tetap](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi#pb-g10-functions-1) rekurensi pada [Soal 13.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#pb-g11-seq-1).

**4.** $y = y_0\eu^{-t/\tau}$ menjadi separuhnya ketika $\eu^{-t/\tau} = \frac12$, jadi $t = \tau\ln 2$.

**5.** Semua penyelesaiannya adalah geseran tegak dari peluruhan menuju $3$: yang bermula di atasnya jatuh ke $3$, yang di bawahnya naik ke $3$, dan penyelesaian tetap $3$ diam saja — sebuah corong di sekeliling kesetimbangannya.

**6.** $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times
10^{-4}$ tiap tahunnya.

**7.** $\eu^{-\lambda t} = 0.2$, jadi $t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx 13\,300$ tahun.

**8.** $t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700$ tahun: banteng Lascaux itu berasal dari akhir zaman es.

**9.** $t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250$ tahun: hanya selisih satu umur manusia dari angka para arkeolog — jamnya bekerja.

**10.** Sepuluh waktu paruh menyisakan $2^{-10} \approx 0.1\,\%$, sudah di tepi keterukuran. Sesudah $65$ juta tahun pecahannya menjadi $2^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344}$: tak satu atom pun dari persediaan asalnya tersisa di fosil mana pun — dinosaurus ditanggali dengan jam yang lebih lambat (kalium–argon dan kerabatnya).

**11.** Nilai $52\,\%$ memberi $\approx 5\,405$ tahun, dan $54\,\%$ memberi $\approx 5\,095$: jadi $\pm 1\,\%$ milik kimia menjadi kira-kira $\pm 155$ tahun milik sejarah — ketelitian di laboratorium adalah ketelitian pada label museumnya.

**12.** $z = T - T_a$ memenuhi $z' = -kz$, jadi $z = (T_0 - T_a)\eu^{-kt}$, dan $T = T_a + z$.

**13.** Jurang awalnya $T_0 - T_a = 70$; sesudah lima menit jurangnya $70 - 20 = 50$, jadi $50 = 70\eu^{-5k}$ dan $k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067$ tiap menitnya. Enak diminum: $55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}$, jadi $t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3$ menit.

**14.** Laju kehilangan panasnya sebanding dengan jurang $T - T_a$: kopi yang mendidih membuang panas paling cepat. Menambahkan susunya *sekarang* langsung memangkas jurangnya, sehingga panas yang hilang selama sepuluh menit itu lebih sedikit; menambahkannya di akhir membiarkan kopinya mendingin dengan laju penuh lebih dahulu. Untuk cangkir terhangat: susunya dahulu. (Tuan rumah yang tidak sabar membalik urutan termodinamikanya.)

**15.** Jurang terhadap ruangannya: pada tengah malam $10$, satu jam kemudian $8$, jadi $\eu^{-k} = 0.8$ dan $k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223$ tiap jamnya. Pada saat mati jurangnya adalah $17$; jurang itu meluruh menjadi $10$ pada tengah malam, sehingga $s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4$ jam. Saat kematiannya: kira-kira pukul $21{:}40$.

**16.** Ruangan yang dipanaskan atau berangin ($T_a$ tidak tetap) membengkokkan jamnya ke dua arah; pakaian atau massa tubuh mengubah $k$ (tabel dokter forensik menyesuaikannya) — $k$ yang keliru menskalakan seluruh selangnya; dan jenazah yang dipindahkan dari tempat lain menyetel ulang $T_a$ di tengah peluruhannya, sehingga memalsukan kematian yang lebih awal atau lebih lambat. [Persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) jujur; anggapannyalah yang membawa risiko.

**17.** $z = \frac1y$ menuruti $z' = 1 - z$, jadi $z = 1 + 9\eu^{-t}$ (dari $z(0) = 10$), sehingga $y = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$. [Titik beloknya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/22-turunan-dan-kecembungan#def-g12-deriv-inflection) di $y = \frac12$: $9\eu^{-t} = 1$, jadi $t = \ln 9 \approx 2.2$ — tanggal berbaliknya wabah itu, langsung dari rumusnya.

**18.** Kecepatan terminalnya: $v' = 0$ ketika $v = 20$ m/s. Penyelesaiannya: $v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$. Lalu untuk $0.95$: $\eu^{-t/2} = 0.05$, jadi $t = 2\ln 20 \approx 6$ sekon — tetes hujan mencapai laju jelajahnya dalam hitungan sekon, dan itulah sebabnya hujan tidak membunuh.

**19.** Keadaan mapannya: $c = 8$. Setengahnya: $4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$, jadi $\eu^{-t/2} = \frac12$ dan $t = 2\ln 2 \approx 1.4$ jam. Infusnya adalah kembaran sinambung dari pinjaman itu: pemasukan tetap, pengeluaran sebanding — [Latihan 26.9](#exo-g12-diffeq-9) membuat kamusnya menjadi eksak.

**20.** Peluruhan ($a < 0$, $b = 0$), pendinginan ($y = T - T_a$), jatuh ($a < 0$, $b > 0$: mendekati kesetimbangan dari bawah), penakaran obat (serupa, di dalam pembuluh): satu [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation), empat dunia. Gelungnya: nyatakan hukum perubahannya; tulis [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation); selesaikan ([Metode 26.6](#met-g12-diffeq-solve)); tera tetapannya pada pengukuran; ramalkan; lalu audit anggapannya (pertanyaan 16). Osilasi menuntut $y'' = -\omega^2 y$ — yang dijumpai, diselesaikan, dan diayunkan di [Soal 24.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/24-fungsi-trigonometri#pb-g12-trigo-1).