---
title: "Bilangan Kompleks"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 28
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/28-bilangan-kompleks
---

# Bab 28 — Bilangan Kompleks

[Persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $x^2 = -1$ tak punya penyelesaian real. Memperbesar $\R$ dengan satu bilangan baru $\iu$ yang kuadratnya $-1$ menghasilkan lapangan $\C$ berisi [bilangan kompleks](#def-g12-complex-def), dan di dalamnya *setiap* [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) suku banyak punya penyelesaian — lagi pula aritmetikanya menyandikan geometri bidang: geseran, putaran dan penskalaan menjadi penjumlahan dan perkalian.

## 28.1 Bentuk aljabar

**Definisi 28.1 (Bilangan kompleks).**

Himpunan *bilangan kompleks* adalah

$$
\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\},
$$

dengan $\iu$ sebuah lambang yang tunduk pada satu kaidah $\iu^2 = -1$; penjumlahan dan perkaliannya dikerjakan seperti pada suku banyak real dalam $\iu$, dengan menyusutkan $\iu^2$ menjadi $-1$. [Bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $a$ dan $b$ disebut *bagian real* $\Rea(z)$ dan *bagian imajiner* $\Ima(z)$ dari $z = a + \iu b$; ungkapan ini disebut *bentuk aljabar* dari $z$, dan bentuk itu tunggal: $a + \iu b = a' + \iu b'$ jika dan hanya jika $a = a'$ dan $b = b'$.

**Contoh 28.2.**

$(2 + 3\iu)(1 - \iu) = 2 - 2\iu + 3\iu - 3\iu^2 = 5 + \iu$.

**Definisi 28.3 (Konjugat).**

*Konjugat* dari $z = a + \iu b$ adalah $\conj{z} = a - \iu b$.

**Proposisi 28.4 (Sifat pengonjugatan).**

Untuk semua $z, w \in \C$:

$$
\conj{z + w} = \conj z + \conj w, \quad
\conj{zw} = \conj z\,\conj w, \quad
\conj{\conj z} = z, \quad
z + \conj z = 2\Rea(z), \quad
z - \conj z = 2\iu\,\Ima(z),
$$

dan $z\conj z = a^2 + b^2 \geq 0$ untuk $z = a + \iu b$. Lagi pula $z \in \R$ jika dan hanya jika $z = \conj z$.

**Bukti.** Semuanya perhitungan langsung dari [bentuk aljabarnya](#def-g12-complex-def); misalnya $z\conj z = (a + \iu b)(a - \iu b) = a^2 - (\iu b)^2 = a^2 + b^2$. ∎

**Metode 28.5 (Membagi bilangan kompleks).**

Untuk menulis hasil bagi dalam [bentuk aljabar](#def-g12-complex-def), kalikanlah pembilang dan penyebutnya dengan [konjugat](#def-g12-complex-conjugate) penyebutnya:

$$
\frac{1}{2 + \iu} = \frac{2 - \iu}{(2+\iu)(2-\iu)} = \frac{2 - \iu}{5}
= \frac25 - \frac15\iu .
$$

Karena itu setiap [bilangan kompleks](#def-g12-complex-def) tak nol punya balikan: $\C$ adalah sebuah *lapangan*.

## 28.2 Bidang kompleks, modulus dan argumen

**Definisi 28.6 (Afiks, modulus).**

Pada bidang berkoordinat [ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system), titik $M(a, b)$ disebut *bayangan* dari $z = a + \iu b$, dan $z$ disebut *afiks* $M$. *Modulus* dari $z$ adalah jarak $M$ ke titik asalnya:

$$
\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\conj z}.
$$

![Titik M(a,b) berafiks z: modulusnya z adalah panjang OM, dan konjugatnya z adalah pencerminan z pada sumbu realnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-0baf1f3783e3.svg)

*Titik $M(a,b)$ berafiks $z$: modulusnya $\abs z$ adalah panjang $OM$, dan [konjugatnya](#def-g12-complex-conjugate) $\conj z$ adalah pencerminan $z$ pada sumbu realnya.*

**Proposisi 28.7 (Sifat modulus).**

Untuk $z, w \in \C$:

$$
\abs{zw} = \abs z\,\abs w, \qquad
\abs{\tfrac zw} = \tfrac{\abs z}{\abs w}\ (w \neq 0), \qquad
\abs{\conj z} = \abs z, \qquad
\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w} \ \text{(ketaksamaan segitiga)}.
$$

Lagi pula $\abs{z_B - z_A}$ adalah jarak antara titik yang berafiks $z_A$ dan $z_B$.

**Bukti.** $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ memberi yang pertama; yang kedua dan ketiga serupa. Untuk ketaksamaan segitiganya:

$$
\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w)
= \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Rea(z \conj w)
\leq \abs z^2 + \abs w^2 + 2\abs{z\conj w}
= \bigl(\abs z + \abs w\bigr)^2,
$$

dengan memakai $\Rea(u) \leq \abs u$. Pernyataan jaraknya adalah rumus Pythagoras yang diterapkan pada [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) $z_B - z_A$. ∎

**Definisi 28.8 (Argumen, bentuk trigonometri dan bentuk eksponen).**

Misalkan $z \neq 0$. Suatu *argumen* dari $z$, yang ditulis $\Arg(z)$, adalah sebarang ukuran $\theta$ bagi sudut dari sumbu real positif ke sinar $OM$; ukuran itu tertentu sampai pada $2k\pi$. Dengan menulis $r = \abs z$,

$$
z = r(\cos\theta + \iu\sin\theta)
\qquad\text{(bentuk trigonometri)}.
$$

Dengan memperkenalkan lambang

$$
\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta,
$$

ini menjadi *bentuk eksponen* $z = r\,\eu^{\iu\theta}$.

![Bentuk eksponen: z ditentukan oleh jaraknya r ke titik asal dan sudutnya dari sumbu real positif.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-b5b1d1679901.svg)

*[Bentuk eksponen](#def-g12-complex-argument): $z$ ditentukan oleh jaraknya $r$ ke titik asal dan sudutnya $\theta$ dari sumbu real positif.*

**Teorema 28.9.**

Untuk semua $\theta, \theta' \in \R$:

$$
\eu^{\iu\theta}\,\eu^{\iu\theta'} = \eu^{\iu(\theta + \theta')},
\qquad
\conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta},
\qquad
\abs{\eu^{\iu\theta}} = 1 .
$$

Akibatnya, untuk $z = r\eu^{\iu\theta}$ dan $z' = r'\eu^{\iu\theta'}$ yang tak nol:

$$
zz' = rr'\,\eu^{\iu(\theta+\theta')},
\qquad
\frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,\eu^{\iu(\theta - \theta')} :
$$

*modulusnya mengalikan, [argumennya](#def-g12-complex-argument) menjumlahkan.*

**Bukti.** Identitas pertamanya *adalah* sepasang rumus penjumlahan ([Proposisi 24.3](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/24-fungsi-trigonometri#prop-g12-trigo-addition)):

$$
(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\theta' + \iu\sin\theta')
= (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta')
+ \iu(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta').
$$

Sisanya menyusul lewat perhitungan langsung. ∎

**Akibat 28.10 (Rumus De Moivre).**

Untuk $\theta \in \R$ dan $n \in \Z$: $\bigl(\cos\theta + \iu\sin\theta\bigr)^n = \cos n\theta + \iu \sin n\theta$.

**Bukti.** Induksi pada $n \geq 0$ dengan memakai [Teorema 28.9](#thm-g12-complex-expform); lalu perluas ke $n < 0$ dengan mengambil balikannya. ∎

**Metode 28.11 (Berpindah antarbentuk).**

Dari aljabar ke eksponen: hitunglah $r = \abs z$, lalu carilah $\theta$ dengan $\cos\theta = \frac ar$, $\sin\theta = \frac br$ (tentukan dahulu kuadran yang benar sebelum memanggil [kosinus](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/24-fungsi-trigonometri#def-g12-trigo-cossin) balikannya). Dari eksponen ke aljabar: jabarkan $r\cos\theta + \iu\, r\sin\theta$. Pakailah [bentuk aljabar](#def-g12-complex-def) untuk penjumlahan, dan [bentuk eksponen](#def-g12-complex-argument) untuk perkalian, pemangkatan dan pembagian.

**Contoh 28.12.**

$z = 1 + \iu$: $\abs z = \sqrt2$ dan $\cos\theta = \sin\theta =
\frac{1}{\sqrt2}$, jadi $\theta = \frac\pi4$ dan $z = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$. Karena itu $z^{20} = 2^{10}\,\eu^{5\iu\pi} = -1024$.

## 28.3 Persamaan derajat dua dan akar satuan

**Teorema 28.13 (Persamaan kuadrat berkoefisien real).**

Misalkan $a, b, c \in \R$, $a \neq 0$, dan $\Delta = b^2 - 4ac$. [Persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $az^2 + bz + c = 0$ mempunyai penyelesaian di $\C$:

$$
\begin{aligned}
&\Delta > 0:\ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{dua yang real}); \qquad
\Delta = 0:\ z = \frac{-b}{2a} \ (\text{kembar}); \\
&\Delta < 0:\ z = \frac{-b \pm \iu\sqrt{-\Delta}}{2a} \ (\text{dua yang berkonjugat}).
\end{aligned}
$$

**Bukti.** Lengkapkanlah kuadratnya: $az^2 + bz + c = a\left(\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 -
\frac{\Delta}{4a^2}\right)$. Jika $\Delta < 0$, maka $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\iu\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2$, dan selisih kuadratnya terfaktorkan seperti biasa. ∎

**Definisi 28.14 (Akar satuan).**

Untuk $n \geq 1$, yang disebut *akar satuan ke-$n$* adalah penyelesaian $z^n = 1$.

**Teorema 28.15.**

[Persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $z^n = 1$ mempunyai tepat $n$ penyelesaian:

$$
\omega_k = \eu^{2\iu k\pi/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 .
$$

Bayangannya adalah titik sudut segi-$n$ beraturan yang termuat dalam lingkaran satuan, dan untuk $n \geq 2$ jumlahnya $0$.

**Bukti.** Setiap $\omega_k$ memenuhi $\omega_k^n = \eu^{2\iu k\pi} = 1$, dan semuanya berbeda sepasang demi sepasang sebab [argumennya](#def-g12-complex-argument) terletak di $\intco{0}{2\pi}$. Sebaliknya, jika $z^n = 1$ maka $\abs z^n = 1$, sehingga $\abs z = 1$ ([bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) positif) dan $z = \eu^{\iu\theta}$ dengan $n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$, *yaitu* $\theta = \frac{2k\pi}{n}$; menyusutkan $k$ modulo $n$ mendarat di antara $\omega_k$ itu. Titik sudutnya berjarak sudut sama $\frac{2\pi}{n}$: itulah segi-$n$ beraturan. Akhirnya, dengan $\omega = \omega_1$, berlaku $\omega \neq 1$ dan jumlah deret ukurnya memberi

$$
\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k
= \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 . \qedhere
$$

∎

![Akar satuan kelima, = 2 π/5: yaitu titik sudut segi lima beraturan yang termuat dalam lingkaran satuan ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-613555d80b0f.svg)

*[Akar satuan](#def-g12-complex-rootsofunity) kelima, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$: yaitu titik sudut segi lima beraturan yang termuat dalam lingkaran satuan ([Latihan 28.10](#exo-g12-complex-10)).*

**Contoh 28.16.**

[Akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) pangkat tiga dari satuan adalah $1$, $j = \eu^{2\iu\pi/3} =
-\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}{2}$ dan $\conj j = j^2$, yang memenuhi $1 + j + j^2 = 0$.

## 28.4 Bilangan kompleks dan geometri bidang

**Proposisi 28.17 (Kamus geometris).**

Misalkan $A, B, C, D$ titik yang berafiks $a, b, c, d$ ($a \neq b$, $c \neq d$).

1. Geseran oleh [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) berafiks $t$ adalah $z \mapsto z + t$ .
2. Putaran berpusat $\omega$ (afiksnya) dan bersudut $\theta$ adalah $z \mapsto \omega + \eu^{\iu\theta}(z - \omega)$ .
3. Penskalaan (homoteti) berpusat $\omega$ dan berrasio $k \in \R^*$ adalah $z \mapsto \omega + k(z - \omega)$ .
4. $\dfrac{d - c}{b - a}$ bermodulus $\dfrac{CD}{AB}$ dan berargumen sudut antara [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) $\vect{AB}$ dan $\vect{CD}$ . Khususnya, $AB \perp CD$ jika dan hanya jika $\frac{d-c}{b-a}$ murni imajiner, dan $A, B, C$ segaris ( $C \ne A$ , $C\ne B$ ) jika dan hanya jika $\frac{c-a}{b-a} \in \R$ .

**Bukti.** (1) dan (3) hanyalah rumus [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) yang dinyatakan ulang. Untuk (2), pemetaan $w \mapsto \eu^{\iu\theta} w$ mengalikan modulusnya dengan $1$ dan menambahkan $\theta$ pada [argumennya](#def-g12-complex-argument): itulah putaran bersudut $\theta$ terhadap titik asal; mengonjugatkannya dengan geseran yang mengirim $\omega$ ke $0$ memberi pusat yang umum. Untuk (4), [modulus](#def-g12-complex-modulus) dan [argumen](#def-g12-complex-argument) hasil baginya saling mengurangkan ([Teorema 28.9](#thm-g12-complex-expform)). ∎

## 28.5 Latihan

**Latihan 28.1 ★.**

Tulislah dalam [bentuk aljabar](#def-g12-complex-def): $(3 - 2\iu)(1 + 4\iu)$, $\dfrac{2 + \iu}{1 - \iu}$, $\iu^{2027}$.

**Solusi Latihan 28.1.**

$(3-2\iu)(1+4\iu) = 3 + 12\iu - 2\iu - 8\iu^2 = 11 + 10\iu$.

$\dfrac{2+\iu}{1-\iu} = \dfrac{(2+\iu)(1+\iu)}{(1-\iu)(1+\iu)}
= \dfrac{1 + 3\iu}{2} = \dfrac12 + \dfrac32\iu$.

$\iu^{2027}$: karena $\iu^4 = 1$ dan $2027 = 4 \times 506 + 3$, maka $\iu^{2027} = \iu^3 = -\iu$.

**Latihan 28.2 ★.**

Selesaikan di $\C$: (a) $z^2 - 4z + 13 = 0$; (b) $z^2 + z + 1 = 0$. Periksalah pada tiap kasusnya bahwa kedua penyelesaiannya berkonjugat lalu hitung hasil kalinya.

**Solusi Latihan 28.2.**

*(a)* $\Delta = 16 - 52 = -36$: $z = \dfrac{4 \pm 6\iu}{2} = 2 \pm 3\iu$. Keduanya sepasang [konjugat](#def-g12-complex-conjugate); hasil kalinya $= 4 + 9 = 13 = \frac ca$. *(b)* $\Delta = 1 - 4 = -3$: $z = \dfrac{-1 \pm \iu\sqrt3}{2}$ (yaitu akar pangkat tiga dari satuan, $j$ dan $\conj j$); hasil kalinya $= \frac{1 + 3}{4} = 1$.

**Latihan 28.3 ★.**

Nyatakan dalam [bentuk eksponen](#def-g12-complex-argument): $z_1 = -1 + \iu$, $z_2 = \sqrt3 - \iu$, lalu hitung $\dfrac{z_1}{z_2}$ dalam [bentuk eksponen](#def-g12-complex-argument) lalu dalam [bentuk aljabar](#def-g12-complex-def). Simpulkan nilai eksak $\cos\dfrac{11\pi}{12}$.

**Solusi Latihan 28.3.**

$\abs{z_1} = \sqrt2$, [argumennya](#def-g12-complex-argument) $\frac{3\pi}{4}$ (kuadran kedua), jadi $z_1 = \sqrt2\,\eu^{3\iu\pi/4}$. Lalu $\abs{z_2} = 2$, [argumennya](#def-g12-complex-argument) $-\frac\pi6$, jadi $z_2 = 2\,\eu^{-\iu\pi/6}$. Karena itu

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{\iu\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)}
= \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{11\iu\pi/12}.
$$

Secara aljabar,

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+\iu}{\sqrt3 - \iu}
= \frac{(-1+\iu)(\sqrt3+\iu)}{4}
= \frac{-\sqrt3 - 1 + \iu(\sqrt3 - 1)}{4}.
$$

Dengan menyamakan [bagian realnya](#def-g12-complex-def): $\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{11\pi}{12} = \frac{-\sqrt3-1}{4}$, sehingga

$$
\cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.
$$

**Latihan 28.4 ★★.**

Lukiskan secara geometris himpunan titik $M$ berafiks $z$ sedemikian sehingga: (a) $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$; (b) $\abs{z - 1 - \iu} = 3$; (c) $\dfrac{z - 1}{z + 1}$ murni imajiner.

**Solusi Latihan 28.4.**

*(a)* $\abs{z - 2} = \abs{z - (-\iu)}$ berarti $M$ berjarak sama dari $A(2, 0)$ dan $B(0, -1)$: itulah *sumbu ruas* $[AB]$.

*(b)* Berjarak $3$ dari titik $(1,1)$: itulah *lingkaran* berpusat $1 + \iu$ dan berjari-jari $3$.

*(c)* Menurut [Proposisi 28.17](#prop-g12-complex-geometry)(4), $\frac{z-1}{z+1}$ yang murni imajiner berarti [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) dari $A(1,0)$ ke $M$ dan dari $B(-1,0)$ ke $M$ saling tegak lurus: jadi $M$ memandang ruas $[AB]$ dengan sudut siku-siku. Himpunannya adalah *lingkaran berdiameter $[AB]$* (yaitu lingkaran satuan) *tanpa titik $A$ dan $B$* itu sendiri.

**Latihan 28.5 ★★.**

Dengan rumus De Moivre dan teorema binomial, nyatakan $\cos 3\theta$ sebagai suku banyak dalam $\cos\theta$, dan $\sin 3\theta$ dengan $\sin\theta$.

**Solusi Latihan 28.5.**

De Moivre: $\cos3\theta + \iu\sin3\theta = (\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$. Dengan [menjabarkannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-expand) lewat teorema binomial dengan $c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$:

$$
(c + \iu s)^3 = c^3 + 3\iu c^2 s - 3 c s^2 - \iu s^3
= (c^3 - 3cs^2) + \iu(3c^2 s - s^3).
$$

Dengan menyamakan bagiannya dan memakai $s^2 = 1 - c^2$, $c^2 = 1 - s^2$:

$$
\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta,
\qquad
\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta .
$$

**Latihan 28.6 ★★.**

*(Pelinearan.)* Dengan memakai $\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}$, linearkanlah $\cos^3\theta$ (tulislah sebagai gabungan $\cos k\theta$), lalu simpulkan $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta$.

**Solusi Latihan 28.6.**

$$
\cos^3\theta = \left(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\right)^{\!3}
= \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8}
= \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}.
$$

Karena itu

$$
\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta
= \frac14\left[\frac{\sin3\theta}{3} + 3\sin\theta\right]_0^{\pi/2}
= \frac14\left(-\frac13 + 3\right) = \frac{2}{3}.
$$

(Selaras dengan $W_3 = \frac23$ pada [Latihan 25.9](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/25-pengintegralan#exo-g12-integ-9), sebab $\int_0^{\pi/2}\cos^3 = \int_0^{\pi/2}\sin^3$ menurut kesetangkupan $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$.)

**Latihan 28.7 ★★.**

Misalkan $A$ dan $B$ berafiks $a = 1 + \iu$ dan $b = 3 + 2\iu$. Tentukan kedua titik $C$ yang membuat segitiga $ABC$ sama sisi, sebagai bayangan $B$ di bawah putaran berpusat $A$ dan bersudut $\pm\frac{\pi}{3}$.

**Solusi Latihan 28.7.**

$c = a + \eu^{\pm\iu\pi/3}(b - a)$ dengan $b - a = 2 + \iu$ dan $\eu^{\pm\iu\pi/3} = \frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}{2}$:

$$
\eu^{\iu\pi/3}(2+\iu) = \left(\tfrac12 + \iu\tfrac{\sqrt3}{2}\right)(2+\iu)
= \left(1 - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\tfrac12 + \sqrt3\right),
$$

jadi $c_1 = \left(2 - \frac{\sqrt3}{2}\right) +
\iu\left(\frac32 + \sqrt3\right)$, dan serupa dengan sudut $-\frac\pi3$: $c_2 = \left(2 + \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 - \sqrt3\right)$.

**Latihan 28.8 ★★★.**

Selesaikan $z^4 = -4$ di $\C$ lalu gambarkan penyelesaiannya. Faktorkanlah $z^4 + 4$ menjadi dua suku banyak kuadrat yang berkoefisien real.

**Solusi Latihan 28.8.**

$-4 = 4\,\eu^{\iu\pi}$, sehingga penyelesaian $z^4 = -4$ adalah

$$
z_k = \sqrt2\,\eu^{\iu\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)},
\quad k = 0, 1, 2, 3,
$$

*yaitu* $1 + \iu$, $-1 + \iu$, $-1 - \iu$, $1 - \iu$: itulah titik sudut sebuah persegi berjari-jari luar $\sqrt 2$. Dengan mengelompokkan [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) yang berkonjugat,

$$
z^4 + 4 = \bigl(z - (1{+}\iu)\bigr)\bigl(z - (1{-}\iu)\bigr)
\bigl(z + (1{-}\iu)\bigr)\bigl(z + (1{+}\iu)\bigr)
= (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2).
$$

**Latihan 28.9 ★★★.**

Untuk $\theta \in \intoo{0}{2\pi}$ dan $n \in \N$, hitunglah

$$
S = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta
$$

dengan menjumlahkan deret ukurnya $\sum_{k=0}^n \eu^{\iu k\theta}$ lalu mengambil [bagian realnya](#def-g12-complex-def). (Jawabannya: $S = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}
\cos\frac{n\theta}{2}$.)

**Solusi Latihan 28.9.**

Dengan $q = \eu^{\iu\theta} \neq 1$:

$$
\sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}
= \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2}}
\cdot\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2} - \eu^{-\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2}}
= \eu^{\iu n\theta/2}\,
\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}},
$$

dengan memakai $\eu^{\iu\alpha} - \eu^{-\iu\alpha} = 2\iu\sin\alpha$ (yaitu *pemfaktoran setengah sudut*). Dengan mengambil [bagian realnya](#def-g12-complex-def):

$$
S = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\,
\cos\frac{n\theta}{2}.
$$

**Latihan 28.10 ★★★.**

Misalkan $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$.

1. Berilah alasan bahwa $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ .
2. Misalkan $u = \omega + \omega^4$ dan $v = \omega^2 + \omega^3$ . Tunjukkan bahwa $u + v = -1$ dan $uv = -1$ , lalu simpulkan $u = \frac{-1+\sqrt5}{2}$ .
3. Simpulkan bahwa $\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}$ .

**Solusi Latihan 28.10.**

*1.* $\omega$ adalah [akar satuan](#def-g12-complex-rootsofunity) ke-$5$ yang berbeda dari $1$, sehingga jumlah kelima [akarnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) bernilai nol ([Teorema 28.15](#thm-g12-complex-rootsofunity)), dan itu terbaca $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$.

*2.* $u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ menurut butir 1. Untuk hasil kalinya, dengan memakai $\omega^5 = 1$:

$$
uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3)
= \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7
= \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .
$$

Jadi $u, v$ adalah [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) $X^2 + X - 1 = 0$, yaitu $\left\{\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}$. Sekarang $u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (sebab $\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$), sehingga $u = \frac{-1 + \sqrt5}{2}$.

*3.* $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac u2 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$.

## 28.6 Soal: Segi lima di cermin satuan

**Soal 28.1.**

Soal akhir pekan — akar satuan kelima menghitung $\cos 72^\circ$ secara eksak, nisbah emas menandatangani hasilnya, dan perkalian ternyata sebuah putaran

Euklides sanggup melukis segi lima yang beraturan, tetapi alasan *mengapa* bangun itu tunduk pada penggaris dan jangka — sedangkan sudut $20^\circ$ yang sederhana tidak — tersembunyi selama dua ribu tahun. Alasannya bersembunyi di bab ini: kelima [akar satuan](#def-g12-complex-rootsofunity) kelima ([Teorema 28.15](#thm-g12-complex-rootsofunity)) berjumlah nol, dan satu baris aljabar itu memeras $\cos 72^\circ$ keluar dari sebuah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) kuadrat — hanya berisi akar kuadrat, jadi terlukiskan, dan tentu saja ditandatangani oleh nisbah emas. Di sekeliling permata ini: kelancaran, jalan pintas de Moivre menuju trigonometri, dan perkalian yang tersingkap sebagai geometri.

**Bagian I — Kelancaran.**

1. Hitunglah $(2 + \iu)(3 - \iu)$ , $\dfrac{1 + \iu}{1 - \iu}$ ( [Metode 28.5](#met-g12-complex-division) ), dan $\abs{3 + 4\iu}$ .
2. Nyatakan dalam [bentuk eksponen](#def-g12-complex-argument) : $1 + \iu$ ; $-2$ ; $1 - \iu\sqrt3$ .
3. Hitunglah $(1 + \iu)^8$ dengan memakai [bentuk eksponennya](#def-g12-complex-argument) .
4. Selesaikan $z^2 = \iu$ , lalu $z^2 - 2z + 5 = 0$ ( [Teorema 28.13](#thm-g12-complex-quadratic) ).
5. Kamus geometrisnya ( [Proposisi 28.17](#prop-g12-complex-geometry) ): lukiskan pemetaan $z \mapsto \iu z$ , dan himpunan $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$ .

**Bagian II — Lima [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant), satu segi lima.** Misalkan $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ lalu tinjau $1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$.

6. Periksalah bahwa itu tepat penyelesaian $z^5 = 1$ , lalu lukiskan bangun yang digambarnya pada bidang.
7. Buktikan bahwa jumlahnya nol. (Lewat deret ukur — atau kalikan jumlahnya dengan $1 - \omega$ .)
8. Ambillah [bagian realnya](#def-g12-complex-def) lalu simpulkan $$1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0 .$$
9. Ambil $c = \cos\frac{2\pi}{5}$ lalu pakailah rumus sudut rangkap bagi $\cos\frac{4\pi}{5}$ untuk mengubah pertanyaan 8 menjadi [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) kuadrat dalam $c$; selesaikan lalu simpulkan $$\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4} .$$
10. Periksalah secara numeris, lalu biarkan nisbah emas menandatangani karyanya: tunjukkan $c = \frac{1}{2\varphi}$ dengan $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ ( [Soal 2.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#pb-g10-algebra-1) ) — lalu nyatakan gema geometrisnya yang masyhur: pada segi lima beraturan, diagonalnya adalah $\varphi$ kali sisinya.

**Bagian III — Jalan pintas de Moivre.**

11. Vonis pelukisannya: $\cos 72^\circ$ hanya memerlukan akar kuadrat (pertanyaan 9), sehingga segi lima itu terlukiskan dengan penggaris dan jangka; sedangkan $\cos 20^\circ$ memenuhi [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) pangkat tiga yang tak terpecahkan ( [Soal 24.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/24-fungsi-trigonometri#pb-g12-trigo-1) ), sehingga sudut $60^\circ$ tak dapat dibagi tiga. Nyatakan kaidah yang mulai muncul itu (akar kuadrat terbangun, akar pangkat tiga tidak), yang teori lengkapnya — Gauss, pada usia 19 tahun, dan segi tujuh belas — hidup dalam jilid universitas.
12. Selesaikan $z^4 = -4$ lewat [bentuk eksponen](#def-g12-complex-argument) lalu perolehlah kembali pemfaktoran pada [Latihan 28.8](#exo-g12-complex-8) , $z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2)$ , dengan memasangkan [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) yang berkonjugat.
13. Jabarkan $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$ dengan teorema binomial dan de Moivre, lalu turunkan kembali $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ dalam tiga baris — bandingkan dengan jalur rumus penjumlahan pada [Soal 24.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/24-fungsi-trigonometri#pb-g12-trigo-1) .
14. Periksa silang dengan [Latihan 28.9](#exo-g12-complex-9) : untuk $\theta = \frac{2\pi}{5}$ dan $n = 4$ , berapakah nilai jumlah $1 + \cos\theta + \dots + \cos 4\theta$ , dan mengapa itu selaras dengan pertanyaan 8?
15. Hitunglah ketiga akar pangkat tiga dari $8\iu$ dalam [bentuk aljabar](#def-g12-complex-def) .

**Bagian IV — Perkalian adalah geometri.**

16. Lukiskan selengkapnya pemetaan $z \mapsto (1 + \iu)z$ : sebesar sudut apa ia memutar, dengan faktor berapa ia menskalakan, dan apa yang dilakukannya pada persegi satuan?
17. Buktikan $\abs{z_1 z_2} = \abs{z_1}\,\abs{z_2}$ dengan [konjugat](#def-g12-complex-conjugate) ( [Proposisi 28.7](#prop-g12-complex-modulus) ), lalu hitunglah $(1+\iu)^n$ untuk $n = 1, 2, 3, 4$ lalu lukiskan ulir yang digambar pangkatnya.
18. Bilangan $\mathrm{j} = \eu^{2\iu\pi/3}$ : tunjukkan $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$ , lalu periksalah pada segitiga $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$ kaidah klasiknya: $a + \mathrm{j} b + \mathrm{j}^2 c = 0$ berlaku bagi segitiga sama sisi $abc$ (pada salah satu arah putarannya).
19. Teorema dasar aljabar (yang diterima saja: d’Alembert–Gauss): setiap suku banyak terfaktorkan sepenuhnya atas $\C$ . Simpulkan akibat wajarnya di dunia nyata — setiap suku banyak real terfaktorkan menjadi bagian linear dan kuadrat yang real — lalu tunjuklah pertanyaan 12 sebagai contohnya.
20. Penutup — potret $\C$ , masing-masing satu kalimat: bilangan menjadi titik; perkalian menjadi putaran-dan-penskalaan; [akar satuan](#def-g12-complex-rootsofunity) menjadi segi banyak beraturan; de Moivre mengubah pemangkatan menjadi identitas trigonometri; dan ketertutupan aljabarnya menjamin bahwa tak ada [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) yang memerlukan dunia yang lebih besar. Koda: dua bilangan masyhur mana yang bertemu pada pertanyaan 10?

**Solusi Soal 28.1.**

**1.** $(2 + \iu)(3 - \iu) = 6 - 2\iu + 3\iu + 1 =
7 + \iu$. $\frac{1 + \iu}{1 - \iu} =
\frac{(1 + \iu)^2}{2} = \frac{2\iu}{2} = \iu$. $\abs{3 + 4\iu} = 5$.

**2.** $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$; $-2 = 2\eu^{\iu\pi}$; $1 - \iu\sqrt3 = 2\eu^{-\iu\pi/3}$.

**3.** $(1 + \iu)^8 = \left(\sqrt2\right)^8
\eu^{8\iu\pi/4} = 16\,\eu^{2\iu\pi} = 16$.

**4.** $z^2 = \eu^{\iu\pi/2}$, jadi $z = \pm\eu^{\iu\pi/4} = \pm\frac{\sqrt2}{2}(1 + \iu)$. Lalu $\Delta = 4 - 20 = -16$, jadi $z = 1 \pm 2\iu$.

**5.** Pemetaan $z \mapsto \iu z$: putaran seperempat lingkaran terhadap titik asalnya. Lalu $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$: lingkaran berpusat $1 + \iu$ dan berjari-jari $2$.

**6.** $\left(\omega^k\right)^5 = \eu^{2\iu\pi k} = 1$, dan kelima titik $\eu^{2\iu k\pi/5}$ itu berbeda: jadi itulah kelima penyelesaian $z^5 = 1$. Semuanya duduk pada lingkaran satuan dengan sudut yang sama, $72^\circ$: yaitu segi lima beraturan dengan satu titik sudut di $1$.

**7.** $S = 1 + \omega + \dots + \omega^4$ memenuhi $(1 - \omega)S = 1 - \omega^5 = 0$, dan $\omega \neq 1$, jadi $S = 0$. (Titik seimbang segi limanya adalah pusatnya.)

**8.** $\omega^4 = \overline\omega$ dan $\omega^3 = \overline{\omega^2}$: dengan memasangkan [konjugatnya](#def-g12-complex-conjugate), [bagian real](#def-g12-complex-def) jumlahnya terbaca $1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0$.

**9.** $\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1$, sehingga $1 + 2c + 4c^2 - 2 = 0$, yaitu $4c^2 + 2c - 1 = 0$ dan $c = \frac{-1 + \sqrt5}{4}$ ([akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) yang positif, sebab $72^\circ$ sudut lancip): $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$.

**10.** Secara numeris $c \approx 0.30902$, cocok dengan kalkulatornya. Lalu $\frac{1}{2\varphi} = \frac{1}{1 + \sqrt5} =
\frac{\sqrt5 - 1}{4}$ (dengan merasionalkannya): jadi $c = \frac{1}{2\varphi}$. Segi lima itu keemasan sampai ke tulangnya: diagonalnya memotong sisinya dengan nisbah $\varphi$ — keserupaan diri yang tak berujung milik bintang lima itu.

**11.** [Akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) kuadrat terlukis dengan jangka (lewat mesin setengah lingkaran milik rata-rata ukur di jilid sekolah menengah pertama), sehingga bilangan yang dibangun dari [bilangan rasional](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) hanya lewat akar kuadrat — seperti $\cos 72^\circ$ — terlukiskan; sedangkan akar pangkat tiga tidak, dan $\cos 20^\circ$ memerlukannya: segi limanya tunduk, pembagian tiganya melawan. Kaidah Gauss memutuskan setiap segi banyak beraturan — segi tujuh belasnya pada usia sembilan belas membuatnya memilih matematika.

**12.** $-4 = 4\eu^{\iu\pi}$: [akar](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) keempatnya bermodulus $\sqrt2$ dan berargumen $\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$, yaitu keempat bilangan $\pm 1 \pm \iu$. Dengan memasangkan [konjugatnya](#def-g12-complex-conjugate): $(z - 1 - \iu)(z - 1 + \iu) = z^2 - 2z + 2$ dan $(z + 1 - \iu)(z + 1 + \iu) = z^2 + 2z + 2$, yaitu pemfaktoran pada [Latihan 28.8](#exo-g12-complex-8).

**13.** $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 = \cos^3\theta +
3\iu\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta -
\iu\sin^3\theta$; dan menurut de Moivre ini sama dengan $\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta$. [Bagian realnya](#def-g12-complex-def): $\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta)
= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ — sedangkan [bagian imajinernya](#def-g12-complex-def) menyerahkan $\sin 3\theta$ secara cuma-cuma.

**14.** Itulah [bagian real](#def-g12-complex-def) $1 + \omega + \dots + \omega^4 = 0$: jumlahnya sama dengan $0$ — tepat pertanyaan 8, yang dilihat lewat inti pada [Latihan 28.9](#exo-g12-complex-9).

**15.** $8\iu = 8\eu^{\iu\pi/2}$, jadi [akarnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) $2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt3 + \iu$; $2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt3 + \iu$; $2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu$.

**16.** $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$: jadi pemetaannya memutar bidangnya sebesar $45^\circ$ lalu menskalakannya dengan $\sqrt2$. Persegi satuannya menjadi persegi miring bersisi $\sqrt2$ — luasnya berlipat dua, terpuntir seperdelapan putaran.

**17.** $\abs{z_1 z_2}^2 = z_1 z_2 \overline{z_1 z_2} =
z_1\overline{z_1}\, z_2\overline{z_2} =
\abs{z_1}^2\abs{z_2}^2$: lalu ambil akar kuadratnya. Pangkat $1 + \iu$: $1 + \iu$, $2\iu$, $-2 + 2\iu$, $-4$: masing-masing $45^\circ$ lebih jauh berputar dan $\sqrt2$ kali lebih panjang — sebuah ulir yang membuka keluar lewat [modulus](#def-g12-complex-modulus) $\sqrt2, 2, 2\sqrt2, 4, \dots$

**18.** Bilangan $\mathrm{j}$ adalah [akar satuan](#def-g12-complex-rootsofunity) ketiga yang berbeda dari $1$, sehingga (lewat alasan pertanyaan 7 dengan $n = 3$) $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$. Kaidahnya pada segitiga bakunya: $a + \mathrm{j}b + \mathrm{j}^2 c = 1 +
\mathrm{j}\cdot\mathrm{j} + \mathrm{j}^2 \cdot \mathrm{j}^2 =
1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j}^4 = 1 + \mathrm{j}^2 +
\mathrm{j} = 0$: jadi terpenuhi, seperti yang dituntut segitiga sama sisi $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$.

**19.** Atas $\C$, suku banyak real terbelah menjadi faktor linear; [akarnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant) yang tak real datang berpasangan [konjugat](#def-g12-complex-conjugate) (konjugatkanlah [persamaannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation)), dan tiap pasangannya terkalikan menjadi bentuk kuadrat real $z^2 - 2\operatorname{Re}(z_0)\,z + \abs{z_0}^2$: dari situlah pemfaktoran realnya menjadi bagian berderajat $1$ dan berderajat $2$ — dan pertanyaan 12 melakukannya pada $z^4 + 4$.

**20.** Titik; putaran-dan-penskalaan; segi banyak beraturan; identitas trigonometri lewat penjabaran; dan sebuah dunia tertutup tempat setiap [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) berderajat $n$ memiliki $n$ [akarnya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#def-g11-quad-discriminant). Koda: pada pertanyaan 10, segi lima milik $\pi$ berjabat tangan dengan nisbah emas — dua tamu Euklides yang paling masyhur, yang akhirnya diperkenalkan oleh jumlah lima anak panah yang sama dengan nol.