---
title: "Fungsi"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 3
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/3-fungsi
---

# Bab 3 — Fungsi

[Fungsi](#def-g10-functions-function) adalah sebuah mesin: sebuah bilangan masuk, sebuah bilangan keluar, dan masukan yang sama selalu memberi keluaran yang sama. [Fungsi](#def-g10-functions-function) merupakan objek utama analisis yang akan dibangun pada tahun-tahun mendatang (mulai [Bab 10](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#ch-g11-quad)); bab ini menyiapkan kosakatanya — [daerah asal](#def-g10-functions-function), [peta](#def-g10-functions-function), [grafik](#def-g10-functions-graph), variasi — dan melatih keterampilan pokoknya, yaitu membaca keterangan dari sebuah [grafik](#def-g10-functions-graph).

## 3.1 Kosakata: peta dan prapeta

**Definisi 3.1 (Fungsi).**

Misalkan $D$ sebuah himpunan [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets). Sebuah *fungsi* $f$ yang terdefinisi pada $D$ mengaitkan setiap bilangan $x \in D$ dengan tepat satu [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets), ditulis $f(x)$ dan disebut *peta* dari $x$. Himpunan $D$ adalah *daerah asal* $f$. Kita tulis

$$
f : x \longmapsto f(x).
$$

Jika $f(x) = y$, maka $x$ adalah *prapeta* dari $y$.

**Catatan 3.2.**

Setiap $x$ di [daerah asal](#def-g10-functions-function) mempunyai tepat satu [peta](#def-g10-functions-function), tetapi sebuah bilangan $y$ bisa mempunyai beberapa [prapeta](#def-g10-functions-function), atau tidak sama sekali. Untuk $f(x) = x^2$: [peta](#def-g10-functions-function) dari $3$ adalah $9$, dan $9$ mempunyai dua [prapeta](#def-g10-functions-function), yaitu $3$ dan $-3$; bilangan $-4$ tidak berprapeta.

**Contoh 3.3 (Mencari daerah asal).**

Bila sebuah [fungsi](#def-g10-functions-function) diberikan oleh rumus, [daerah asalnya](#def-g10-functions-function) adalah himpunan $x$ yang membuat rumus itu bermakna.

- $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ bermakna untuk setiap $x$ : [daerah asalnya](#def-g10-functions-function) $\R$ .
- $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ menuntut $x - 2 \neq 0$ : [daerah asalnya](#def-g10-functions-function) semua [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) kecuali $2$ .
- $h(x) = \sqrt{x - 3}$ menuntut $x - 3 \geq 0$ : [daerah asalnya](#def-g10-functions-function) $\intco{3}{+\infty}$ .

**Contoh 3.4 (Menghitung peta dan prapeta).**

Misalkan $f(x) = x^2 - 4x + 3$, terdefinisi pada $\R$.

*[Peta](#def-g10-functions-function) dari $5$:* substitusikan $x = 5$: $f(5) = 25 - 20 + 3 = 8$.

*[Prapeta](#def-g10-functions-function) dari $3$:* selesaikan $f(x) = 3$:

$$
x^2 - 4x + 3 = 3
\quad\Longleftrightarrow\quad
x^2 - 4x = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x(x - 4) = 0,
$$

jadi [prapeta](#def-g10-functions-function) dari $3$ adalah $0$ dan $4$.

## 3.2 Grafik sebuah fungsi

**Definisi 3.5 (Grafik).**

Pada sebuah sistem koordinat, *grafik* (atau *kurva*) $f$ adalah himpunan semua titik $(x, f(x))$ untuk $x$ di [daerah asalnya](#def-g10-functions-function). Dengan kata lain, sebuah titik $(x, y)$ terletak pada grafik tepat ketika $y = f(x)$.

![Membaca sebuah peta pada grafik: mulailah dari x = 3 pada sumbu mendatar, naiklah tegak lurus sampai kurva, lalu bergeraklah mendatar ke sumbu tegak untuk membaca f(3) = 1.25.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-3f0b88dc9f29.svg)

*Membaca sebuah [peta](#def-g10-functions-function) pada [grafik](#def-g10-functions-graph): mulailah dari $x = 3$ pada sumbu mendatar, naiklah tegak lurus sampai kurva, lalu bergeraklah mendatar ke sumbu tegak untuk membaca $f(3) = 1.25$.*

**Metode 3.6 (Membaca grafik).**

Pada [grafik](#def-g10-functions-graph) $f$:

1. *[peta](#def-g10-functions-function) dari $a$* : bergeraklah tegak lurus dari $x = a$ pada sumbu mendatar sampai kurva, lalu mendatar ke sumbu tegak; nilai yang terbaca di sana adalah $f(a)$ ;
2. *[prapeta](#def-g10-functions-function) dari $b$* : tariklah garis mendatar $y = b$ ; [prapetanya](#def-g10-functions-function) adalah koordinat $x$ dari semua titik potong garis itu dengan kurva;
3. *penyelesaian $f(x) = k$* : sama dengan [prapeta](#def-g10-functions-function) dari $k$ ;
4. *penyelesaian $f(x) \leq k$* : nilai $x$ yang membuat kurva berada pada atau di bawah garis $y = k$ .

![Menyelesaikan f(x) = k secara grafis: penyelesaian x_1 dan x_2 adalah absis titik potong kurva dengan garis mendatar y = k. Di sini f(x) ≤ k berlaku pada (x_1, x_2), yaitu tempat kurva berada di bawah garis itu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-d26495113fd4.svg)

*Menyelesaikan $f(x) = k$ secara grafis: penyelesaian $x_1$ dan $x_2$ adalah absis titik potong kurva dengan garis mendatar $y = k$. Di sini $f(x) \leq k$ berlaku pada $\intcc{x_1}{x_2}$, yaitu tempat kurva berada di bawah garis itu.*

**Contoh 3.7.**

Apakah titik $A(2, 5)$ terletak pada [grafik](#def-g10-functions-graph) $f(x) = x^2 + 1$? Hitunglah $f(2) = 4 + 1 = 5$: ya, sebab $f(2)$ sama dengan koordinat $y$ titik $A$. Titik $B(3, 8)$ tidak terletak pada [grafik](#def-g10-functions-graph) itu, sebab $f(3) = 10 \neq 8$.

## 3.3 Variasi sebuah fungsi

**Definisi 3.8 (Naik, turun).**

Misalkan $f$ terdefinisi pada sebuah [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) $I$.

- $f$ disebut *naik* pada $I$ apabila untuk semua $u, v \in I$ , jika $u < v$ maka $f(u) \leq f(v)$ : keluarannya membesar seiring masukannya, dan [grafiknya](#def-g10-functions-graph) mendaki dari kiri ke kanan.
- $f$ disebut *turun* pada $I$ apabila $u < v$ mengakibatkan $f(u) \geq f(v)$ : [grafiknya](#def-g10-functions-graph) menurun dari kiri ke kanan.

Dengan ketaksamaan tegas $f(u) < f(v)$ (masing-masing $>$) kita katakan *tegas* naik (masing-masing turun).

**Definisi 3.9 (Tabel variasi).**

Sebuah *tabel variasi* merangkum pada [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) mana saja $f$ [naik](#def-g10-functions-variations) dan [turun](#def-g10-functions-variations), dengan panah $\nearrow$ dan $\searrow$, serta mencatat nilai $f$ pada titik-titik baliknya.

**Contoh 3.10.**

Tinjaulah [fungsi](#def-g10-functions-function) yang [grafiknya](#def-g10-functions-graph) digambar di bawah ini pada $\intcc{-2}{4}$.

![Sebuah fungsi pada (-2, 4), mula-mula naik lalu turun.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-0353dee9a0b8.svg)

*Sebuah [fungsi](#def-g10-functions-function) pada $\intcc{-2}{4}$, mula-mula [naik](#def-g10-functions-variations) lalu [turun](#def-g10-functions-variations).*

Dari [grafiknya](#def-g10-functions-graph): $f$ [naik](#def-g10-functions-variations) dari $f(-2) = -1.5$ sampai [maksimumnya](#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 3$, lalu [turun](#def-g10-functions-variations) sampai $f(4) = -1.5$. [Tabel variasinya](#def-g10-functions-table) adalah

| $x$ | $-2$ |  | $1$ |  | $4$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $f$ | $-1.5$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-1.5$ |

**Contoh 3.11 (Membuktikan sebuah variasi).**

Tunjukkan bahwa $f(x) = 3x + 1$ tegas [naik](#def-g10-functions-variations) pada $\R$. Ambil sebarang $u < v$ lalu bandingkan [petanya](#def-g10-functions-function):

$$
f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,
$$

sebab $v - u > 0$. Jadi $f(u) < f(v)$: [fungsi](#def-g10-functions-function) itu tegas [naik](#def-g10-functions-variations). Perhitungan yang sama dengan gradien negatif, misalnya $g(x) = -2x + 5$, memberi $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$: tegas [turun](#def-g10-functions-variations).

## 3.4 Nilai ekstrem

**Definisi 3.12 (Maksimum, minimum).**

Misalkan $f$ terdefinisi pada $D$ dan $a \in D$. Nilai $f(a)$ disebut *maksimum* $f$ pada $D$ apabila $f(x) \leq f(a)$ untuk semua $x \in D$; nilai itu disebut *minimum* apabila $f(x) \geq f(a)$ untuk semua $x \in D$. Pada [grafik](#def-g10-functions-graph), keduanya adalah titik tertinggi dan titik terendah kurvanya.

**Contoh 3.13.**

Tunjukkan bahwa $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ mempunyai [minimum](#def-g10-functions-extrema) $2$ pada $\R$, yang dicapai di $x = 1$. Untuk setiap $x$, kuadrat $(x-1)^2$ bernilai $\geq 0$, jadi $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$; dan $f(1) = 0 + 2 = 2$, sehingga nilai $2$ benar-benar tercapai. Kedua fakta itu bersama membuktikan bahwa $2$ [minimumnya](#def-g10-functions-extrema).

![Kurva f(x) = (x-1)2 + 2 tidak pernah turun di bawah garis putus-putus y = 2, dan menyentuhnya di x = 1: minimum f adalah 2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-87e2c2026d31.svg)

*Kurva $f(x) = (x-1)^2 + 2$ tidak pernah [turun](#def-g10-functions-variations) di bawah garis putus-putus $y = 2$, dan menyentuhnya di $x = 1$: [minimum](#def-g10-functions-extrema) $f$ adalah $2$.*

## 3.5 Latihan

**Latihan 3.1 ★.**

Misalkan $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Hitunglah [peta](#def-g10-functions-function) dari $0$, $2$, $-1$ dan $\frac12$.

**Solusi Latihan 3.1.**

$f(0) = 1$; $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$; $f(-1) = 2 + 3 + 1 = 6$; $f\!\left(\tfrac12\right) = 2 \times \tfrac14 - \tfrac32 + 1 = \tfrac12 -
\tfrac32 + 1 = 0$.

**Latihan 3.2 ★.**

Berikan [daerah asal](#def-g10-functions-function) setiap [fungsi](#def-g10-functions-function) berikut:

$$
f(x) = 5x - 2, \qquad
g(x) = \frac{3}{x + 4}, \qquad
h(x) = \sqrt{2x - 6}, \qquad
k(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.
$$

**Solusi Latihan 3.2.**

$f$: tanpa kendala, [daerah asalnya](#def-g10-functions-function) $\R$.

$g$: menuntut $x + 4 \neq 0$, [daerah asalnya](#def-g10-functions-function) semua [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) kecuali $-4$.

$h$: menuntut $2x - 6 \geq 0$, yaitu $x \geq 3$: [daerah asalnya](#def-g10-functions-function) $\intco{3}{+\infty}$.

$k$: $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ tidak pernah lenyap, [daerah asalnya](#def-g10-functions-function) $\R$.

**Latihan 3.3 ★.**

Misalkan $f(x) = x^2 - 2x$. Carilah semua [prapeta](#def-g10-functions-function) dari $0$, dari $3$, dan dari $-1$.

**Solusi Latihan 3.3.**

*[Prapeta](#def-g10-functions-function) dari $0$:* $x^2 - 2x = x(x-2) = 0$, jadi $0$ dan $2$.

*[Prapeta](#def-g10-functions-function) dari $3$:* $x^2 - 2x = 3$, yaitu $x^2 - 2x - 3 = 0$, yaitu $(x-3)(x+1) = 0$ (periksa dengan [menjabarkannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-expand)), jadi $3$ dan $-1$.

*[Prapeta](#def-g10-functions-function) dari $-1$:* $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0$, jadi [prapeta](#def-g10-functions-function) tunggalnya $1$.

**Latihan 3.4 ★.**

Apakah titik $A(-1, 4)$ terletak pada [grafik](#def-g10-functions-graph) $f(x) = x^2 - 2x + 1$? Dan titik $B(2, 1)$? Berikan alasan lewat perhitungan.

**Solusi Latihan 3.4.**

$f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$: ya, $A(-1, 4)$ terletak pada [grafiknya](#def-g10-functions-graph). $f(2) = 4 - 4 + 1 = 1$: ya, $B(2, 1)$ pun terletak pada [grafiknya](#def-g10-functions-graph).

**Latihan 3.5 ★.**

Sebuah [fungsi](#def-g10-functions-function) $g$ pada $\intcc{-3}{5}$ mempunyai [tabel variasi](#def-g10-functions-table)

| $x$ | $-3$ |  | $0$ |  | $3$ |  | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $g$ | $1$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $4$ | $\searrow$ | $0$ |

1. Berapakah [maksimum](#def-g10-functions-extrema) dan [minimum](#def-g10-functions-extrema) $g$ pada $\intcc{-3}{5}$ ?
2. Bandingkan $g(-1)$ dan $g(-0.5)$ tanpa mengetahui nilainya.
3. Paling banyak berapa penyelesaian yang dipunyai [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) $g(x) = 0$ pada setiap [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) dalam tabel itu?

**Solusi Latihan 3.5.**

*1.* Nilai terbesar dalam tabel itu adalah $4 = g(3)$ ([maksimum](#def-g10-functions-extrema)), yang terkecil $-2 = g(0)$ ([minimum](#def-g10-functions-extrema)).

*2.* Pada $\intcc{-3}{0}$ [fungsi](#def-g10-functions-function) itu [turun](#def-g10-functions-variations), dan $-1 < -0.5$, sehingga $g(-1) \geq g(-0.5)$.

*3.* Pada setiap [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) kemonotonannya, $g$ mengambil setiap nilai paling banyak sekali, sehingga $g(x) = 0$ mempunyai paling banyak satu penyelesaian per [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval): seluruhnya paling banyak $3$ penyelesaian. (Di sini $0$ terletak antara $-2$ dan $1$, antara $-2$ dan $4$, serta antara $0$ dan $4$, jadi ada tepat tiga.)

**Latihan 3.6 ★★.**

Misalkan $f(x) = -2x + 7$. Tunjukkan, dengan membandingkan $f(u)$ dan $f(v)$ untuk $u < v$, bahwa $f$ tegas [turun](#def-g10-functions-variations) pada $\R$.

**Solusi Latihan 3.6.**

Misalkan $u < v$. Maka

$$
f(v) - f(u) = (-2v + 7) - (-2u + 7) = -2(v - u) < 0,
$$

sebab $v - u > 0$. Jadi $f(v) < f(u)$: $f$ tegas [turun](#def-g10-functions-variations) pada $\R$.

**Latihan 3.7 ★★.**

Tunjukkan bahwa [fungsi](#def-g10-functions-function) $f(x) = x^2 + 6x + 11$ mempunyai [minimum](#def-g10-functions-extrema) pada $\R$, lalu berikan nilainya dan tempat nilai itu dicapai. (Petunjuk: tulislah $f(x) = (x + 3)^2 + c$ dengan konstanta $c$ yang tepat.)

**Solusi Latihan 3.7.**

Lengkapkan kuadratnya: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, jadi

$$
f(x) = x^2 + 6x + 11 = (x + 3)^2 + 2 .
$$

Untuk setiap $x$ berlaku $(x+3)^2 \geq 0$, jadi $f(x) \geq 2$; dan $f(-3) = 0 + 2 = 2$. [Minimum](#def-g10-functions-extrema) $f$ adalah $2$, dicapai di $x = -3$.

**Latihan 3.8 ★★.**

Sebuah kebun berbentuk persegi panjang berkeliling $40$ m. Misalkan $x$ lebarnya, dalam meter.

1. Nyatakan panjangnya, lalu luasnya $A(x)$ , sebagai [fungsi](#def-g10-functions-function) dari $x$ . Untuk $x$ yang mana hal ini bermakna?
2. Hitunglah $A(4)$ , $A(8)$ , $A(10)$ , $A(12)$ dan $A(16)$ . Apa dugaanmu tentang bentuk yang luasnya terbesar?

**Solusi Latihan 3.8.**

*1.* Panjang $+$ lebar $= 20$, jadi panjangnya $20 - x$ dan

$$
A(x) = x(20 - x).
$$

Kedua ukurannya harus positif: $0 < x < 20$.

*2.* $A(4) = 64$, $A(8) = 96$, $A(10) = 100$, $A(12) = 96$, $A(16) = 64$. Nilainya [naik](#def-g10-functions-variations) sampai $x = 10$ lalu [turun](#def-g10-functions-variations) secara simetris: luasnya tampak terbesar untuk $x = 10$, yaitu untuk kebun *persegi*. ([Bab 10](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/10-fungsi-dan-persamaan-kuadrat#ch-g11-quad) membuktikan dugaan ini.)

**Latihan 3.9 ★★.**

Misalkan $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$, terdefinisi pada $\R$.

1. Tunjukkan bahwa $0 < f(x) \leq 1$ untuk setiap [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) $x$ .
2. Apakah $f$ mempunyai [maksimum](#def-g10-functions-extrema) pada $\R$ ? [Minimum](#def-g10-functions-extrema) ? Berikan alasannya.

**Solusi Latihan 3.9.**

*1.* Untuk setiap $x$: $x^2 + 1 \geq 1 > 0$, jadi $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ bernilai positif; dan karena $x^2 + 1 \geq 1$, mengambil kebalikannya (kedua ruas positif) memberi $f(x) \leq 1$.

*2.* [Maksimum](#def-g10-functions-extrema): $f(0) = 1$ dan $f(x) \leq 1$ untuk semua $x$, jadi $1$ [maksimumnya](#def-g10-functions-extrema), dicapai di $0$. [Minimum](#def-g10-functions-extrema): $f(x) > 0$ selalu, tetapi tidak ada nilai $x$ yang mencapai $0$ (hasil bagi bilangan taknol bernilai taknol), dan $f$ mengambil nilai sedekat yang kita mau ke $0$ untuk $x$ besar; jadi $f$ tidak mempunyai [minimum](#def-g10-functions-extrema).

**Latihan 3.10 ★★★.**

Misalkan $f(x) = x^2$ pada $\R$.

1. Misalkan $0 \leq u < v$ . Faktorkan $f(v) - f(u)$ lalu simpulkan bahwa $f$ tegas [naik](#def-g10-functions-variations) pada $\intco{0}{+\infty}$ .
2. Sesuaikan alasannya untuk menunjukkan bahwa $f$ tegas [turun](#def-g10-functions-variations) pada $\intoc{-\infty}{0}$ .

**Solusi Latihan 3.10.**

*1.* $f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$. Jika $0 \leq u < v$, maka $v - u > 0$ dan $v + u > 0$ (jumlah bilangan taknegatif dan bilangan positif), jadi $f(v) - f(u) > 0$: $f$ tegas [naik](#def-g10-functions-variations) pada $\intco{0}{+\infty}$.

*2.* Jika $u < v \leq 0$, maka $v - u > 0$ tetap berlaku, tetapi kini $v + u < 0$ (jumlah bilangan takpositif dan bilangan negatif), jadi $f(v) - f(u) < 0$: $f$ tegas [turun](#def-g10-functions-variations) pada $\intoc{-\infty}{0}$.

## 3.6 Soal: Mesin yang disuapi keluarannya sendiri

**Soal 3.1.**

Soal akhir pekan — titik tetap, iterasi, dan tiga mesin termasyhur: penyempurna Heron, pengkuadrat, dan mesin hujan es yang belum terpecahkan

[Fungsi](#def-g10-functions-function) adalah sebuah mesin: sebuah bilangan masuk, sebuah bilangan keluar. Percobaan yang paling menarik menyuapi mesin itu dengan *keluarannya sendiri*, berulang-ulang — lalu dua pertanyaan menjadi utama: apakah prosesnya mengendap di suatu tempat (sebuah *[titik tetap](#pb-g10-functions-1)*), dan bagaimana variasi mesin itu menuntunnya ke sana? Salah satu mesin dalam soal ini sudah dua ribu tahun mengasah akar kuadrat; mesin yang lain menjaga soal tak terpecahkan yang paling termasyhur dalam matematika dasar.

**Bagian I — Mesin Heron.** Tinjaulah [fungsi](#def-g10-functions-function)

$$
f(x) = \frac12\left(x + \frac2x\right).
$$

1. Berikan [daerah asal](#def-g10-functions-function) $f$ , lalu hitunglah $f(1)$ , $f(2)$ dan $f\!\left(\frac32\right)$ sebagai pecahan eksak.
2. Carilah semua [prapeta](#def-g10-functions-function) dari $\frac32$ : selesaikan $f(x) = \frac32$ (hilangkan penyebutnya lalu pakai metode [Soal 2.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#pb-g10-algebra-1) ).
3. Sebuah *titik tetap* $f$ adalah bilangan yang tidak diubah oleh mesin itu: $f(x) = x$ . Carilah kedua [titik tetap](#pb-g10-functions-1) $f$ . Kenalan lama yang mana menjaga [titik tetap](#pb-g10-functions-1) positifnya?
4. Mulai dari $x = 1$ , suapkan keluaran mesin itu kembali ke dalamnya tiga kali lalu catat hasil eksaknya. Barisan mana pada soal akhir pekan tentang sifat [irasional](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#ex-g10-numbers-classify) di jilid sebelumnya yang baru saja dibangun kembali — dan apa itu “resep Heron” dalam bahasa [fungsi](#def-g10-functions-function) ?
5. Pada satu gambar, sketsalah [grafik](#def-g10-functions-graph) $f$ (untuk $x > 0$ ) dan garis diagonal $y = x$ . Di manakah letak [titik tetapnya](#pb-g10-functions-1) pada gambar itu? (Bandingkan dengan soal akhir pekan tentang dua termometer di jilid sebelumnya: suhu yang terbaca sama pada kedua skala adalah gagasan yang sama.)

**Bagian II — Mengapa mesin itu tak mungkin meleset.**

6. Untuk $0 < u < v$, tunjukkan dengan menyamakan penyebutnya bahwa $$f(v) - f(u) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv} ,$$ lalu simpulkan variasi $f$ pada $\intoo{0}{+\infty}$: [turun](#def-g10-functions-variations) sampai suatu titik, lalu [naik](#def-g10-functions-variations) — titik yang mana? (Teknik yang sama seperti pada [Latihan 3.10](#exo-g10-functions-10).)
7. Simpulkan bahwa pada $\intoo{0}{+\infty}$ [fungsi](#def-g10-functions-function) $f$ mempunyai [minimum](#def-g10-functions-extrema) , yang nilainya tepat $\sqrt2$ , dicapai di $\sqrt2$ . Apa artinya hal ini bagi *setiap* keluaran mesin itu (untuk masukan positif)?
8. Tunjukkan bahwa jika $x > \sqrt2$ maka $\sqrt2 < f(x) < x$ : terkaan yang kebesaran selalu diperbaiki, tidak pernah kelewatan. (Untuk $f(x) < x$ , bandingkan $\frac2x$ dengan $x$ .)
9. Rangkailah pertanyaan 6–8 menjadi [tabel variasi](#def-g10-functions-table) $f$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ ( [Definisi 3.9](#def-g10-functions-table) ), lengkap dengan [minimumnya](#def-g10-functions-extrema) .
10. Mesin kedua: $g(x) = x^2$ . [Titik tetapnya](#pb-g10-functions-1) adalah $0$ dan $1$ (periksa). Iterasikan $g$ empat kali dari $x = 0.9$ , lalu empat kali dari $x = 1.1$ (dengan kalkulator, tiga angka desimal). Satu [titik tetap](#pb-g10-functions-1) menarik, yang lain menolak: yang mana yang mana?

**Bagian III — Mesin hujan es.** Pada [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) positif, definisikan: $h(n) = \frac n2$ jika $n$ genap, dan $h(n) = 3n + 1$ jika $n$ ganjil. Bilangan memantul di bawah $h$ seperti butir hujan es di dalam awan badai.

11. Hitunglah seluruh penerbangan $7$ di bawah $h$ , sampai ke $1$ . Berapa langkah yang diperlukan, dan setinggi apa ia terbang?
12. Mulailah penerbangan $27$ lalu hitunglah sepuluh langkah. (Seluruh penerbangannya berlangsung $111$ langkah dan memuncak di $9\,232$ — padahal berangkat dari $27$ .) Pelajaran apa tentang aturan sederhana yang diajarkan oleh $7$ dan $27$ ?
13. Jelaskan mengapa setiap penerbangan yang mencapai pangkat dari $2$ langsung terjun ke $1$ , dan apa yang terjadi di $1$ (hitunglah $h(1)$ , $h(4)$ , $h(2)$ ). Apakah $h$ mempunyai [titik tetap](#pb-g10-functions-1) di antara [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) positif? Apa yang justru dibentuk oleh ujung setiap penerbangan yang teramati?
14. *Dugaan Collatz* menyatakan bahwa setiap bilangan awal pada akhirnya mencapai $1$ . Komputer telah memeriksanya jauh melampaui $10^{20}$ ; tidak seorang pun pernah membuktikannya. Dua macam temuan apa yang akan *menggugurkannya* ? Dan mengapa pemeriksaan besar-besaran tetap tidak menutup perkaranya (soal akhir pekan tentang ramalan batang korek api di jilid sebelumnya pernah membunyikan lonceng ini)?
15. “Matematika belum matang untuk pertanyaan semacam itu,” kata Paul Erdős tentang dugaan ini. Dalam satu kalimat: apa yang membedakan mesin hujan es dari mesin Heron, yang pertanyaan 6–8 sudah menuntaskan segalanya?

**Bagian IV — Buku petunjuk pemakai mesin.**

16. [Daerah asal](#def-g10-functions-function) sebagai [interval](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-interval) (dalam bahasa [Soal 1.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#pb-g10-numbers-1) ): berikan [daerah asal](#def-g10-functions-function) $x \mapsto \sqrt{x - 3}$ , $x \mapsto \frac{1}{x^2 - 9}$ , $x \mapsto \sqrt{9 - x^2}$ .
17. Kembali ke $f$ milik Heron: carilah [prapeta](#def-g10-functions-function) eksak dari $3$ (selesaikan $f(x) = 3$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna).
18. Sebuah batu dilempar ke atas: tingginya $H(t) = 20t - 5t^2$ meter setelah $t$ detik. Pada selang waktu mana rumus itu bermakna secara fisis? Lengkapkan kuadratnya untuk mencari tinggi [maksimum](#def-g10-functions-extrema) dan waktunya ( [Definisi 3.12](#def-g10-functions-extrema) ), lalu berikan [tabel variasinya](#def-g10-functions-table) .
19. Berapa lama batu itu berada paling sedikit $15$ m di atas tanah? (Selesaikan $H(t) \geq 15$ dengan [tabel tanda](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-signtable) , [Metode 2.17](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#met-g10-algebra-signtable) .)
20. Penutup: soal ini menjalankan empat mesin — penyempurna Heron, pengkuadrat, mesin hujan es, dan tinggi batu. Dalam dua atau tiga kalimat, nyatakan apa yang dimiliki setiap [fungsi](#def-g10-functions-function) ( [daerah asal](#def-g10-functions-function) , aturan, [grafik](#def-g10-functions-graph) ) dan dua pertanyaan besar yang diajukan soal ini kepada masing-masing (ke mana iterasinya mengendap? bagaimana [fungsi](#def-g10-functions-function) itu bervariasi?) — pertanyaan yang akan digarap satu per satu oleh bab-bab berikutnya.

**Solusi Soal 3.1.**

**1.** [Daerah asal](#def-g10-functions-function): $x \neq 0$ (pembagian oleh $x$). $f(1) =
\frac12(1 + 2) = \frac32$; $f(2) = \frac12(2 + 1) = \frac32$; $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 +
\frac43\right) = \frac{17}{12}$.

**2.** $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ memberi $x^2 + 2 = 3x$, yaitu $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$: jadi [prapeta](#def-g10-functions-function) dari $\frac32$ adalah $1$ dan $2$ — seperti sudah diisyaratkan pertanyaan 1.

**3.** $f(x) = x$ memberi $x + \frac2x = 2x$, jadi $\frac2x = x$, $x^2 = 2$: [titik tetapnya](#pb-g10-functions-1) $\sqrt2$ dan $-\sqrt2$. Yang positif adalah diagonal persegi satuan, yang [irasional](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#ex-g10-numbers-classify) menurut soal akhir pekan tentang sifat [irasional](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#ex-g10-numbers-classify) di jilid sebelumnya.

**4.** $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to
\frac{577}{408}$: [hampiran](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-approx) Heron bagi $\sqrt2$. Resepnya, “rata-ratakan terkaan dengan $2/$terkaan”, tepat sama dengan *mengiterasi [fungsi](#def-g10-functions-function) $f$* — dan bilangan yang dikejar proses itu adalah [titik tetap](#pb-g10-functions-1) $f$.

**5.** [Titik tetapnya](#pb-g10-functions-1) adalah perpotongan [grafiknya](#def-g10-functions-graph) dengan diagonal $y = x$: menyuapkan keluarannya kembali membuat titik itu berjalan sepanjang [grafik](#def-g10-functions-graph) menuju perpotongan tadi. Pada soal akhir pekan tentang dua termometer di jilid sebelumnya, angka $-40^\circ$ adalah gagasan memotong diagonal yang sama, untuk [fungsi](#def-g10-functions-function) konversinya.

**6.** $f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u
= \frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv}
= (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right)
= \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$. Untuk $0 < u < v \leq \sqrt2$: $uv < 2$, isi kurungnya negatif, $f(v) < f(u)$: [turun](#def-g10-functions-variations). Untuk $\sqrt2 \leq u < v$: $uv > 2$: [naik](#def-g10-functions-variations). Titik baliknya: $\sqrt2$.

**7.** [Turun](#def-g10-functions-variations) sebelum $\sqrt2$, [naik](#def-g10-functions-variations) sesudahnya: $f$ mencapai [minimumnya](#def-g10-functions-extrema) di $\sqrt2$, bernilai $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right)
= \sqrt2$. Akibatnya: setiap keluaran mesin itu (untuk masukan positif) paling sedikit $\sqrt2$ — setelah satu putaran engkol, semua terkaan berada di $\intco{\sqrt2}{+\infty}$.

**8.** Jika $x > \sqrt2$, maka $x^2 > 2$, sehingga $\frac2x < x$ dan rata-rata $f(x)$ dari $x$ dan $\frac2x$ lebih kecil daripada $x$; lalu $f(x) \geq \sqrt2$ menurut pertanyaan 7, dengan kesamaan hanya di $x = \sqrt2$. Jadi $\sqrt2 < f(x) < x$: setiap iterasi memperbaiki secara tegas tanpa kelewatan — barisan pada pertanyaan 4 meluncur [turun](#def-g10-functions-variations) ke $\sqrt2$.

**9.** Pada $\intoo{0}{+\infty}$: [turun](#def-g10-functions-variations) dari $+\infty$ (dekat $0$) sampai [minimum](#def-g10-functions-extrema) $\sqrt2$ di $x = \sqrt2$, lalu [naik](#def-g10-functions-variations) tanpa batas.

**10.** $g(x) = x$ memberi $x^2 = x$, $x(x - 1) = 0$: [titik tetapnya](#pb-g10-functions-1) $0$ dan $1$. Dari $0.9$: $0.81$, $0.656$, $0.430$, $0.185$ — meluncur ke $0$. Dari $1.1$: $1.21$, $1.464$, $2.144$, $4.595$ — lari ke takhingga. [Titik tetap](#pb-g10-functions-1) $0$ menarik, $1$ menolak: beda sehelai rambut di awal, nasib yang berlawanan.

**11.** $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to
13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$: enam belas langkah, memuncak di $52$.

**12.** $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to
47 \to 142 \to 71 \to 214 \to \dots$ — masih mendaki setelah sepuluh langkah, dalam perjalanan menuju puncak $9\,232$ dan penerbangan sepanjang $111$ langkah. Pelajarannya: aturan dua baris dapat menghasilkan perilaku yang tak tertebak sekilas — bilangan bertetangga ($26$, $27$, $28$) mempunyai penerbangan yang jauh berbeda.

**13.** Pangkat dari $2$ terbagi dua menuruni seluruh tangganya: $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to 1$. Di dasarnya, $h(1) = 4$, $h(4) = 2$, $h(2) = 1$: penerbangannya masuk ke daur $4 \to 2 \to 1 \to 4$. [Titik tetap](#pb-g10-functions-1) menuntut $\frac n2 = n$ (hanya $n = 0$) atau $3n + 1 = n$ (negatif): tidak ada di antara [bilangan bulat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) positif — penerbangan yang teramati berakhir bukan pada [titik tetap](#pb-g10-functions-1), melainkan pada *daur* kecil itu.

**14.** Contoh penyangkalnya berupa penerbangan yang membesar selamanya (tidak pernah kembali ke $1$) atau daur kedua yang lepas dari $4 \to 2 \to 1$. Pemeriksaan sampai $10^{20}$ menyisakan tak hingga banyak bilangan yang belum teruji — persis pelajaran daerah lingkaran pada soal akhir pekan tentang ramalan batang korek api di jilid sebelumnya: kecocokan pada berhingga banyak kasus tidak membuktikan apa pun tentang semuanya.

**15.** Pada mesin Heron kita punya *struktur* — selisih terfaktorkan (pertanyaan 6) yang menyingkap variasinya, sebuah [minimum](#def-g10-functions-extrema), sebuah apitan — sedangkan aturan pergantian paritas mesin hujan es tidak menawarkan pegangan semacam itu: belum ada yang menemukan struktur yang menjinakkannya.

**16.** $\sqrt{x - 3}$: menuntut $x - 3 \geq 0$: $\intco{3}{+\infty}$. $\frac{1}{x^2 - 9}$: menuntut $x \neq \pm 3$: $\R$ tanpa $-3$ dan $3$. $\sqrt{9 - x^2}$: menuntut $x^2 \leq 9$: $\intcc{-3}{3}$.

**17.** $f(x) = 3$ memberi $x + \frac2x = 6$, jadi $x^2 - 6x + 2 = 0$, yaitu $(x - 3)^2 = 7$: $x = 3 - \sqrt7$ atau $x = 3 + \sqrt7$ (keduanya positif: dua [prapeta](#def-g10-functions-function) eksak).

**18.** Bermakna secara fisis selama batu itu melayang: $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$ untuk $t \in \intcc{0}{4}$. Setelah dilengkapkan: $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$: [maksimum](#def-g10-functions-extrema) $20$ m pada $t = 2$ s. Variasinya: [naik](#def-g10-functions-variations) pada $\intcc{0}{2}$ dari $0$ ke $20$, lalu [turun](#def-g10-functions-variations) pada $\intcc{2}{4}$ kembali ke $0$.

**19.** $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff
(t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$: dua detik penuh di atas $15$ m.

**20.** Setiap mesin mempunyai [daerah asal](#def-g10-functions-function) (tempat aturannya berlaku), sebuah aturan (rumus atau pergantian paritas), serta [grafik](#def-g10-functions-graph) atau tabel yang menampilkannya utuh. Kepada masing-masing kita ajukan dua pertanyaan besar: *ke mana pengulangan bermuara* ([titik tetap](#pb-g10-functions-1), daur, tarikan — terpecahkan untuk Heron, terbuka untuk mesin hujan es) dan *bagaimana keluaran bergerak mengikuti masukan* (variasi, nilai ekstrem — puncak batu, [minimum](#def-g10-functions-extrema) Heron). Bab-bab berikutnya mempertajam keduanya: [fungsi](#def-g10-functions-function) acuan lebih dahulu, lalu, pada tahun-tahun mendatang, turunan untuk mengukur variasi dan limit untuk memastikan ke mana iterasi mendarat.