---
title: "Matriks dan Graf"
book: "Matematika Sekolah Menengah Atas"
subject: math
language: id
chapter: 30
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/30-matriks-dan-graf
---

# Bab 30 — Matriks dan Graf

[Matriks](#def-g12-matrix-matrix) adalah larik bilangan berbentuk persegi panjang, yang dijumlahkan dan dikalikan menurut kaidah yang dirancang agar aljabar matriksnya mewakili komposisi transformasi linear. [Matriks](#def-g12-matrix-matrix) menyelesaikan sistem linear, menggerakkan [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) rekurensi yang berpasangan, dan mencacah jalan pada jaringan — yaitu matematika di balik mesin pencari dan algoritme lintasan terpendek.

## 30.1 Aljabar matriks

**Definisi 30.1 (Matriks).**

Suatu *matriks $m \times n$* adalah tabel [bilangan real](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/1-bilangan-dan-himpunan-bilangan#def-g10-numbers-sets) dengan $m$ baris dan $n$ kolom: $A = (a_{ij})$, dengan $a_{ij}$ isian pada baris $i$, kolom $j$. Dua matriks yang berukuran sama dijumlahkan isian demi isian, dan $\lambda A = (\lambda a_{ij})$.

**Definisi 30.2 (Hasil kali matriks).**

Misalkan $A$ berukuran $m \times n$ dan $B$ berukuran $n \times p$. Hasil kali $AB$ adalah [matriks](#def-g12-matrix-matrix) $m \times p$ yang isian $(i,j)$-nya

$$
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
$$

(yaitu kaidah “baris $i$ dari $A$ kali kolom $j$ dari $B$”).

**Contoh 30.3.**

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}$, sedangkan $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 6\end{pmatrix}$: *perkalian [matriks](#def-g12-matrix-matrix) tidak komutatif*.

**Proposisi 30.4 (Kaidah aljabar matriks).**

Setiap kali ukurannya membuat hasil kalinya bermakna:

$$
(AB)C = A(BC), \qquad A(B + C) = AB + AC, \qquad (A+B)C = AC + BC,
$$

dan *[matriks](#def-g12-matrix-matrix) satuan* $I_n$ (berisi satu pada diagonalnya, nol di tempat lain) memenuhi $I_m A = A I_n = A$ untuk $A$ berukuran $m \times n$.

**Bukti.** Semuanya pemeriksaan isian demi isian dari [Definisi 30.2](#def-g12-matrix-product); keasosiatifannya, satu-satunya yang tak sepele, sama saja dengan menukar dua jumlah berhingga: $\bigl((AB)C\bigr)_{ij} = \sum_l \left(\sum_k a_{ik}b_{kl}\right) c_{lj}
= \sum_k a_{ik} \left(\sum_l b_{kl} c_{lj}\right)
= \bigl(A(BC)\bigr)_{ij}$. ∎

**Definisi 30.5 (Balikan).**

[Matriks](#def-g12-matrix-matrix) persegi $A$ berukuran $n$ disebut *dapat dibalik* jika ada [matriks](#def-g12-matrix-matrix) $B$ dengan $AB = BA = I_n$; [matriks](#def-g12-matrix-matrix) $B$ itu lalu tunggal dan ditulis $A^{-1}$.

**Proposisi 30.6 (Balikan matriks 2×22\times22×2).**

Misalkan $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ dan $\det A = ad - bc$ (yaitu *determinan* [matriks](#def-g12-matrix-matrix) itu). Maka $A$ [dapat dibalik](#def-g12-matrix-inverse) jika dan hanya jika $\det A \neq 0$, dan dalam hal itu

$$
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}.
$$

**Bukti.** Perhitungan memberi $A \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} A = (ad - bc) I_2$; jika $ad - bc \neq 0$, bagilah. Sebaliknya, jika $ad - bc = 0$, kolom $A$ sebanding, dan begitu pula kolom $AB$ untuk sebarang $B$; padahal kolom $I_2$ tidak sebanding, jadi tak ada $B$ yang memenuhi $AB = I_2$. ∎

**Metode 30.7 (Sistem linear).**

Sistem $\begin{cases} ax + by = e\\ cx + dy = f \end{cases}$ adalah [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) [matriks](#def-g12-matrix-matrix) $AX = Y$ dengan $X = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$, $Y = \begin{pmatrix} e \\ f\end{pmatrix}$. Jika $\det A \neq 0$, penyelesaian tunggalnya adalah $X = A^{-1}Y$. Formalisme yang sama mengurus $n$ [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) dengan $n$ bilangan tak diketahui.

## 30.2 Pangkat matriks dan barisan rekurensi

**Definisi 30.8.**

Untuk [matriks](#def-g12-matrix-matrix) persegi $A$ dan $k \in \N$, $A^k = A \times \dots \times A$ ($k$ faktor), dengan $A^0 = I$.

**Metode 30.9 (Kasus diagonal-tambah-nilpoten dan kasus terdiagonalkan).**

Dua cara baku untuk menghitung $A^k$:

- Jika $A = \lambda I + N$ dengan $N^2 = 0$ , maka teorema binomial (yang berlaku di sini sebab $I$ dan $N$ komutatif) runtuh menjadi dua suku: $A^k = \lambda^k I + k \lambda^{k-1} N$ .
- Jika orang menemukan $P$ yang [dapat dibalik](#def-g12-matrix-inverse) dengan $A = PDP^{-1}$ dan $D$ diagonal, maka $A^k = P D^k P^{-1}$ , dan $D^k$ dihitung isian demi isian. (Menemukan $P$ semacam itu secara sistematis adalah teori *pendiagonalan* , yang dikembangkan di universitas; pada tingkat ini $P$ sudah diberikan.)

**Contoh 30.10 (Barisan berpasangan).**

Misalkan $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ dan $v_{n+1} = u_n + 3v_n$. Dengan mengambil $X_n = \begin{pmatrix} u_n\\ v_n \end{pmatrix}$ dan $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}$, kita peroleh $X_{n+1} = AX_n$, sehingga $X_n = A^n X_0$. [Barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) bantunya $s_n = u_n + v_n$ dan $d_n = u_n - v_n$ memenuhi $s_{n+1} = 4s_n$ dan $d_{n+1} = 2d_n$, jadi $s_n = 4^n s_0$, $d_n = 2^n d_0$ dan

$$
u_n = \frac{4^n(u_0+v_0) + 2^n(u_0-v_0)}{2}, \qquad
v_n = \frac{4^n(u_0+v_0) - 2^n(u_0-v_0)}{2}.
$$

(Di balik layarnya: $(1,1)$ dan $(1,-1)$ adalah arah [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) eigen $A$.)

## 30.3 Graf dan jalan

**Definisi 30.11 (Graf, matriks ketetanggaan).**

Suatu *graf* terdiri atas simpul $1, 2, \dots, n$ dan sisi yang menghubungkan pasangan simpul tertentu (pasangan terurut bagi graf *berarah*). *Matriks ketetanggaan* dari graf itu adalah [matriks](#def-g12-matrix-matrix) $n \times n$ bernama $M$ dengan $m_{ij} = 1$ jika ada sisi dari $i$ ke $j$, dan $0$ jika tidak. Suatu *jalan* sepanjang $k$ dari $i$ ke $j$ adalah [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) $k$ sisi berturut-turut yang membawa dari $i$ ke $j$.

![M = pmatrix 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 pmatrix Sebuah graf berarah dan matriks ketetanggaannya (): m_ij = 1 tepat ketika ada sisi dari i ke j.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-matrix/fig-783722c7530e.svg)

*$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ Sebuah [graf](#def-g12-matrix-graph) berarah dan [matriks ketetanggaannya](#def-g12-matrix-graph) ([Latihan 30.6](#exo-g12-matrix-6)): $m_{ij} = 1$ tepat ketika ada sisi dari $i$ ke $j$.*

**Teorema 30.12 (Mencacah jalan).**

Banyaknya jalan sepanjang $k$ dari simpul $i$ ke simpul $j$ adalah isian $(i,j)$ pada $M^k$.

**Bukti.** Induksi pada $k$. Untuk $k = 1$ inilah definisi $M$. Andaikan pernyataannya benar untuk $k$. Jalan sepanjang $k+1$ dari $i$ ke $j$ adalah jalan sepanjang $k$ dari $i$ ke suatu simpul $l$, lalu diikuti sisi dari $l$ ke $j$; menurut asas penjumlahan dan asas perkalian, banyaknya adalah

$$
\sum_{l=1}^{n} \bigl(M^k\bigr)_{il}\, m_{lj} = \bigl(M^{k+1}\bigr)_{ij}.
\qedhere
$$

∎

**Contoh 30.13.**

Untuk [graf](#def-g12-matrix-graph) segitiga ($3$ simpul, semua pasangannya terhubung), $M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0\end{pmatrix}$ dan $M^2 = \begin{pmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}$: jadi dari tiap simpulnya ada $2$ jalan sepanjang $2$ yang kembali ke dirinya (lewat salah satu tetangganya) dan $1$ jalan ke tiap simpul lainnya.

## 30.4 Latihan

**Latihan 30.1 ★.**

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Hitunglah $A + B$, $AB$, $BA$ dan $A^2$.

**Solusi Latihan 30.1.**

$$
A + B = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad
AB = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad
BA = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad
A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
$$

Perhatikan bahwa $AB \neq BA$.

**Latihan 30.2 ★.**

Tentukan apakah [matriks](#def-g12-matrix-matrix) berikut [dapat dibalik](#def-g12-matrix-inverse), lalu hitunglah balikannya jika ada:

$$
A = \begin{pmatrix} 2 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \qquad
B = \begin{pmatrix} 3 & 6\\ 2 & 4\end{pmatrix}.
$$

**Solusi Latihan 30.2.**

$\det A = 6 - 5 = 1 \neq 0$: $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. $\det B = 12 - 12 = 0$: jadi $B$ tak [dapat dibalik](#def-g12-matrix-inverse).

**Latihan 30.3 ★.**

Selesaikan lewat pembalikan [matriks](#def-g12-matrix-matrix) sistem $\begin{cases} 2x + 5y = 1\\ x + 3y = 2 . \end{cases}$

**Solusi Latihan 30.3.**

Sistemnya adalah $AX = Y$ dengan $A$ seperti pada [Latihan 30.2](#exo-g12-matrix-2) dan $Y = \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}$:

$$
X = A^{-1}Y = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -7\\ 3\end{pmatrix}:
\qquad x = -7,\ y = 3 .
$$

**Latihan 30.4 ★★.**

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I + N$ dengan $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

1. Periksalah bahwa $N^2 = 0$ dan bahwa $I$ dan $N$ komutatif.
2. Simpulkan $A^k$ untuk semua $k \in \N$ lalu periksalah rumusnya untuk $k=2$ lewat perhitungan langsung.

**Solusi Latihan 30.4.**

*1.* $N^2 = \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix} = 0$, dan $I$ komutatif dengan setiap [matriks](#def-g12-matrix-matrix).

*2.* Karena kedua sukunya komutatif, teorema binomial berlaku dan semua suku yang memuat $N^2$ lenyap:

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N
= \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k \end{pmatrix}.
$$

Periksalah untuk $k = 2$: $A^2 = \begin{pmatrix} 2&1\\0&2\end{pmatrix}^2
= \begin{pmatrix} 4&4\\0&4\end{pmatrix}$, dan rumusnya memberi $2^2 = 4$, $2 \times 2 = 4$. ✓

**Latihan 30.5 ★★.**

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ dan $F_n$ [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) Fibonacci ($F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$). Tunjukkan lewat induksi bahwa untuk $n \geq 1$,

$$
A^n = \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix},
$$

lalu simpulkan identitas $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$. (Petunjuk: [determinan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-det) saling mengalikan: $\det(MN) = \det M \det N$, dan itu boleh kamu periksa untuk [matriks](#def-g12-matrix-matrix) $2\times2$.)

**Solusi Latihan 30.5.**

*Induksinya.* Untuk $n = 1$: $A^1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_0 & F_1\\ F_1 & F_2\end{pmatrix}$. Andaikan rumusnya benar untuk $n$; maka

$$
A^{n+1} = A^n A
= \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_n & F_{n-1} + F_n\\ F_{n+1} & F_n + F_{n+1}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_n & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_{n+2}\end{pmatrix}.
$$

*Identitasnya.* Untuk [matriks](#def-g12-matrix-matrix) $2\times2$, penjabarannya menunjukkan $\det(MN) = \det M \det N$; karena itu $\det(A^n) = (\det A)^n = (-1)^n$, sedangkan $\det A^n = F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2$. (Inilah *identitas Cassini*.)

**Latihan 30.6 ★★.**

Sebuah [graf](#def-g12-matrix-graph) berarah pada simpul $\{1, 2, 3\}$ mempunyai sisi $1\to2$, $2\to3$, $3\to1$ dan $1\to3$.

1. Tulislah [matriks ketetanggaannya](#def-g12-matrix-graph) $M$ lalu hitung $M^2$ dan $M^3$ .
2. Ada berapa jalan sepanjang $3$ dari $1$ ke $1$ ? Daftarkanlah.

**Solusi Latihan 30.6.**

*1.* Dengan mengurutkan simpul $1, 2, 3$:

$$
M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&0&1\\ 1&0&0\end{pmatrix}, \quad
M^2 = \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}, \quad
M^3 = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&0&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix}.
$$

*2.* $\bigl(M^3\bigr)_{11} = 1$: jadi tepat ada satu jalan tertutup sepanjang $3$ di simpul $1$, yaitu $1 \to 2 \to 3 \to 1$. (Jalan $1 \to 3 \to 1$ hanya sepanjang $2$, sedangkan $1 \to 3$ lalu $3\to1$ lalu $1\to3$ berakhir di $3$.)

**Latihan 30.7 ★★.**

Sebuah perusahaan berbagi mobil memindahkan kendaraan antara dua kota $A$ dan $B$. Tiap pekan, $80\%$ mobil di $A$ tinggal di $A$ dan $20\%$ pindah ke $B$; lalu $30\%$ mobil di $B$ pindah ke $A$ dan $70\%$ tinggal. Misalkan $a_n, b_n$ adalah bagian armadanya di tiap kota.

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-matrix/fig-8ee5ea63de42.svg)

1. Tulislah $X_{n+1} = MX_n$ dengan $X_n = \begin{pmatrix} a_n\\ b_n\end{pmatrix}$ lalu kenalilah $M$ .
2. Carilah bagian yang setimbang (selesaikan $MX = X$ dengan $a + b = 1$ ).
3. Tunjukkan bahwa $c_n = a_n - 0.6$ memenuhi $c_{n+1} = 0.5\,c_n$ , lalu simpulkan bahwa [distribusi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-rv) armadanya menuju kesetimbangan itu.

**Solusi Latihan 30.7.**

*1.* $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3b_n$, $b_{n+1} = 0.2a_n + 0.7b_n$, jadi $M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3\\ 0.2 & 0.7\end{pmatrix}$.

*2.* $MX = X$ memberi $0.8a + 0.3b = a$, *yaitu* $0.3b = 0.2a$, sehingga $b = \frac23 a$; lalu dengan $a + b = 1$: $a = 0.6$, $b = 0.4$.

*3.* Dengan memakai $b_n = 1 - a_n$: $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3(1 - a_n) = 0.5a_n + 0.3$, sehingga

$$
c_{n+1} = a_{n+1} - 0.6 = 0.5a_n + 0.3 - 0.6 = 0.5(a_n - 0.6) = 0.5\,c_n .
$$

Jadi $c_n = 0.5^n c_0 \to 0$: maka $a_n \to 0.6$ dan $b_n \to 0.4$, berapa pun [distribusi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-rv) awalnya.

**Latihan 30.8 ★★★.**

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

1. Hitunglah $P^{-1}$ , lalu $D = P^{-1}AP$ , dan periksalah bahwa $D$ diagonal.
2. Simpulkan rumus tertutup bagi $A^n$ lalu bandingkan dengan [Contoh 30.10](#ex-g12-matrix-coupled) .

**Solusi Latihan 30.8.**

*1.* $\det P = -2$, jadi $P^{-1} = -\frac12\begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}
= \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$. Maka

$$
AP = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 4 & -2 \end{pmatrix}, \qquad
D = P^{-1}AP = \frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 4&2\\4&-2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
$$

*2.* Dari $A = PDP^{-1}$, induksi yang langsung memberi $A^n = PD^nP^{-1}$ dengan $D^n = \begin{pmatrix} 4^n & 0\\ 0 & 2^n\end{pmatrix}$, sehingga

$$
A^n = P D^n P^{-1}
= \begin{pmatrix} 4^n & 2^n\\ 4^n & -2^n\end{pmatrix}\cdot
\frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}
= \frac12\begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n\\
4^n - 2^n & 4^n + 2^n\end{pmatrix}.
$$

Menerapkan $A^n$ pada $X_0 = \begin{pmatrix} u_0\\v_0\end{pmatrix}$ menghasilkan kembali persis rumus pada [Contoh 30.10](#ex-g12-matrix-coupled).

## 30.5 Soal: Matriks yang hafal Fibonacci (dan cuaca)

**Soal 30.1.**

Soal akhir pekan — satu matriks $2 \times 2$ memikul seluruh Fibonacci, sebuah matriks Markov meramal cuaca jangka panjang, dan sebuah vektor eigen bernilai semiliar dolar

[Matriks](#def-g12-matrix-matrix) adalah mesin yang memakan sebuah keadaan lalu mengembalikan keadaan berikutnya — dan *pangkatnya* karena itu menyimpan seluruh masa depan. Soal ini dibuka dengan [matriks](#def-g12-matrix-matrix) mencengangkan yang pangkatnya mendaftar bilangan Fibonacci (dan membuktikan identitasnya masing-masing satu baris), lalu menjalankan cuaca sebagai rantai Markov sampai keadaan mapannya, dan ditutup dengan [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) eigen yang di atasnya sebuah mesin pencari dibangun ([Teorema 30.12](#thm-g12-matrix-walks), [Metode 30.9](#met-g12-matrix-powers)).

**Bagian I — Kelancaran.**

1. Dengan $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ : hitunglah $AB$ dan $BA$ . Vonis atas kekomutatifannya?
2. Baliklah $\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix}$ ( [Proposisi 30.6](#prop-g12-matrix-inverse2x2) ) lalu pakailah balikannya untuk menyelesaikan $2x + y = 4$ , $5x + 3y = 7$ .
3. Misalkan $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ : hitunglah $N^2$ , lalu simpulkan $(I + N)^n = I + nN$ untuk setiap $n$ .
4. [Graf](#def-g12-matrix-graph) segitiga (tiga simpul, semua pasangannya terhubung): tulislah [matriks ketetanggaannya](#def-g12-matrix-graph) $A$ , hitunglah $A^3$ , lalu tafsirkan isian diagonalnya ( [Teorema 30.12](#thm-g12-matrix-walks) ).
5. Untuk $D = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & \frac12  \end{pmatrix}$ : berikan $D^n$ dan perilakunya ketika $n \to \infty$ .

**Bagian II — [Matriks](#def-g12-matrix-matrix) Fibonacci.** Misalkan $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ dan misalkan $F_1 = F_2 = 1, F_3 = 2, \dots$ adalah bilangan Fibonacci pada [Soal 13.1](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/13-barisan-perkenalan-pertama#pb-g11-seq-1).

6. Hitunglah $F^2$ , $F^3$ , $F^4$ lalu terkalah bentuk umum $F^n$ dengan bilangan Fibonacci.
7. Buktikan terkaan $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}  \end{pmatrix}$ itu lewat induksi.
8. Ambillah [determinan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-det) kedua ruasnya ( [determinan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-det) hasil kali adalah hasil kali [determinannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-det) — periksalah pada [matriks](#def-g12-matrix-matrix) $2 \times 2$ jika kamu belum pernah melihatnya): lalu simpulkan *identitas Cassini* $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ — yaitu mesin kuadrat yang lenyap itu, yang terbukti dalam satu baris.
9. Dari $F^{m+n} = F^m F^n$, bacalah isian kanan atasnya lalu turunkan *rumus penjumlahannya* $$F_{m+n} = F_{m+1} F_n + F_m F_{n-1} .$$ Periksalah untuk $m = n = 3$.
10. Simpulkan dari rumus penjumlahan itu (lewat induksi pada $k$ ) bahwa $F_n$ [membagi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/29-aritmetika#def-g12-arith-divides) $F_{kn}$ , lalu periksalah pada $F_3 \mid F_6$ dan $F_3 \mid F_9$ .
11. Untuk menghitung $F_{100}$ , orang tak perlu mengalikan $100$ [matriks](#def-g12-matrix-matrix) : kuadratkanlah berulang kali ( $F^2, F^4, F^8, \dots$ ) lalu gabungkan. Berapa kali perkalian [matriks](#def-g12-matrix-matrix) yang cukup, dan muslihat perkalian kuno mana dari jilid sekolah menengah pertama yang ini, yang kini naik pangkat ke [matriks](#def-g12-matrix-matrix) ?

**Bagian III — Mesin cuaca.** Di sebuah kota: sesudah hari yang cerah, hari berikutnya cerah dengan peluang $0.8$; sesudah hari yang hujan, cerah dengan peluang $0.4$. Sandikan [distribusi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-rv) harinya sebagai satu kolom $\binom{p_{\text{cerah}}}{p_{\text{hujan}}}$ dan perubahannya oleh

$$
M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.4\\ 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}.
$$

12. Periksalah bahwa tiap kolom $M$ berjumlah $1$ , lalu katakan mengapa setiap mesin cuaca harus punya sifat itu.
13. Hari ini cerah. Hitunglah ramalan untuk besok dan untuk lusa.
14. Carilah *keadaan mapannya* : yaitu [distribusi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-rv) $v$ dengan $Mv = v$ (dan isiannya berjumlah $1$ ). Berapa bagian harinya yang cerah dalam jangka panjang?
15. Mulailah dari hari hujan, $\binom01$ , lalu terapkan $M$ empat kali, sambil melacak jaraknya ke keadaan mapan pada tiap langkahnya. Dengan faktor berapa jurangnya menyusut tiap langkah — dan kekonvergenan macam apa ini?
16. PageRank dalam ukuran mini: tiga halaman, dengan tautan $A \to B$ , $A \to C$ , $B \to C$ , $C \to A$ . Seorang peselancar acak mengikuti tautan keluar secara acak seragam. Tulislah [matriks](#def-g12-matrix-matrix) peralihannya, carilah keadaan mapannya, lalu peringkatkan halamannya.
17. Tafsirkan peringkatnya: mengapa $C$ bernilai setinggi $A$ padahal menerima tautan dari lebih sedikit halaman — apa yang sebenarnya diukur keadaan mapan itu? (PageRank yang sungguhan menambahkan faktor peredam untuk jalan buntu dan lompatan; gagasan [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) eigennya tepat yang ini.)

**Bagian IV — Untung dari diagonalnya.**

18. Dua besaran yang berpasangan menuruti $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ , $v_{n+1} = u_n + 3v_n$ , yaitu [matriks](#def-g12-matrix-matrix) $A$ pada [Latihan 30.8](#exo-g12-matrix-8) . Dengan memakai pendiagonalan latihan itu ( $D = \operatorname{diag}(4, 2)$ ), berikan rumus tertutup bagi $u_n$ ketika $u_0 = 1$ , $v_0 = 0$ , lalu periksalah terhadap perhitungan langsung untuk $n = 1, 2, 3$ .
19. Dalam satu atau dua kalimat: apa yang *dilakukan* pendiagonalan terhadap sistem yang berpasangan — dan dalam arti apa keadaan mapan Markov pada pertanyaan 14 juga sebuah kisah [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) eigen?
20. Penutup — tiga wajah [matriks](#def-g12-matrix-matrix) pada akhir pekan ini: pembukuan (sistem dan balikan), kombinatorika (jalan dan tautan yang tercacah oleh pangkatnya), dan perubahan (Fibonacci, cuaca, jejaring — masa depan yang terbaca dari arah eigennya). Masing-masing satu kalimat, ditambah penunjuk ke depan: aljabar linear di jilid universitas menjadikan tiap wajah itu sebuah teori.

**Solusi Soal 30.1.**

**1.** $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ dan $BA = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2\end{pmatrix}$: jadi perkalian [matriks](#def-g12-matrix-matrix) tidak komutatif — $B$ menukar kolom bila di kanan, dan menukar baris bila di kiri.

**2.** [Determinannya](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-det) $6 - 5 = 1$, jadi balikannya $\begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2\end{pmatrix}$. Dengan menerapkannya pada $\binom{4}{7}$: $x = 12 - 7 = 5$, $y = -20 + 14 = -6$.

**3.** $N^2 = 0$. Maka $(I + N)^n = I + nN$ lewat induksi: $(I + nN)(I + N) = I + (n+1)N + nN^2 = I + (n+1)N$.

**4.** $A = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0
\end{pmatrix}$, dan $A^3$ berisian diagonal $2$: jadi dari tiap simpulnya ada tepat dua jalan tertutup sepanjang $3$ (segitiganya ditempuh searah atau berlawanan arah jarum jam) — teorema pencacahan itu sedang beraksi.

**5.** $D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0\\ 0 & 2^{-n}
\end{pmatrix}$: satu arahnya meledak, arah lainnya mati — nasib diagonalnya adalah [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) ukur yang saling bebas.

**6.** $F^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $F^3 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, $F^4 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}$: Fibonacci di mana-mana; terkaannya seperti yang dinyatakan.

**7.** Jika $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n &
F_{n-1}\end{pmatrix}$, maka

$$
F^{n+1} = F^n F =
\begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\
F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n
\end{pmatrix} :
$$

itulah pewarisannya; sedangkan kasus dasarnya $n = 1$ adalah $F$ sendiri, dengan memakai kesepakatan $F_0 = 0$ (yang memperluas rekurensinya ke belakang).

**8.** $\det F = -1$, jadi $\det(F^n) = (\det F)^n = (-1)^n$; dan secara langsung $\det(F^n) = F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2$: itulah Cassini, dalam satu baris. (Kaidah hasil kali bagi [determinan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-det) $2 \times 2$ adalah penjabaran lima menit yang menyenangkan.)

**9.** Kanan atas $F^m F^n$: $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$; kanan atas $F^{m+n}$: $F_{m+n}$. Untuk $m = n = 3$: $F_4 F_3 + F_3 F_2 = 3 \times 2 + 2 \times 1 = 8 = F_6$.

**10.** Untuk $k = 1$: sepele. Jika $F_n \mid F_{kn}$, maka rumus penjumlahannya dengan $m = kn$ memberi $F_{(k+1)n} = F_{kn+1}F_n + F_{kn}F_{n-1}$: kedua sukunya kelipatan $F_n$. Jadi $F_n \mid F_{kn}$ untuk semua $k$: periksalah bahwa $F_3 = 2$ [membagi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/29-aritmetika#def-g12-arith-divides) $F_6 = 8$ dan $F_9 = 34$.

**11.** $F^{100} = F^{64} F^{32} F^4$: yaitu tujuh kali pengkuadratan ($F^2, F^4, \dots, F^{64}$) ditambah dua penggabungan — sembilan kali perkalian, bukan sembilan puluh sembilan. Inilah muslihat tabel pelipatduaan para juru tulis Mesir, yang diangkat dari bilangan ke [matriks](#def-g12-matrix-matrix): tulislah $100$ dalam biner, lalu kalikan pelipatduaan yang kamu perlukan.

**12.** $0.8 + 0.2 = 1$ dan $0.4 + 0.6 = 1$: besok haruslah *suatu* cuaca — tiap kolomnya adalah [distribusi](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/18-peluang-dan-peubah-acak#def-g11-prob-rv) peluang yang lengkap, sehingga peluangnya kekal.

**13.** Besok: $\binom{0.8}{0.2}$. Lusa: $M\binom{0.8}{0.2} = \binom{0.72}{0.28}$.

**14.** $Mv = v$ dengan $v = \binom{s}{r}$, $s + r = 1$: maka $0.8s + 0.4r = s$ memberi $0.4r = 0.2s$, jadi $s = 2r$ dan $v = \binom{2/3}{1/3}$. Dalam jangka panjang, dua hari dari tiga hari cerah — bagaimanapun rupa hari ini.

**15.** Dari $\binom01$: komponen cerahnya $0.4$, $0.56$, $0.624$, $0.6496$; jurangnya terhadap $\frac23$: $0.267$, $0.107$, $0.043$, $0.017$ — jadi tiap langkahnya mengalikan jurangnya tepat dengan $0.4$ (yaitu nilai eigen kedua mesinnya): kekonvergenan ukur menuju keadaan mapannya.

**16.** Kolomnya (dari $A$, $B$, $C$): $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ \frac12 & 0 & 0\\
\frac12 & 1 & 0\end{pmatrix}$. Keadaan mapannya: $v_A = v_C$, $v_B = \frac{v_A}{2}$, $v_C = \frac{v_A}{2} + v_B$; lalu dengan berjumlah $1$: $v = \left(\frac25, \frac15, \frac25\right)$. Peringkatnya: $A$ dan $C$ seri di tempat pertama, $B$ terakhir.

**17.** Halaman $C$ menerima *seluruh* lalu lintas $B$ dan separuh milik $A$, lalu menyalurkan semuanya kembali ke $A$: keadaan mapannya mengukur di mana sang peselancar *menghabiskan waktunya*, bukan berapa banyak tautan yang menunjuk masuk — satu tautan dari halaman populer mengalahkan beberapa tautan dari halaman sepi. Pembobotan rekursif itu justru gagasan pendiri Google; peredamnya mengurus perangkap laba-laba dan jalan buntu.

**18.** $A^n = P D^n P^{-1}$ memberi $u_n = \frac{4^n + 2^n}{2}$ (dan $v_n = \frac{4^n - 2^n}{2}$). Periksalah: $u_1 = 3$, $u_2 = 10$, $u_3 = 36$; sedangkan secara langsung: $(1,0) \to (3,1) \to (10,6) \to
(36, 28)$, jadi cocok.

**19.** Pendiagonalan mengganti ke [koordinat](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/5-geometri-koordinat#def-g10-coordgeom-system) yang membuat sistem berpasangan itu terurai menjadi [barisan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/20-barisan#def-g12-seq-sequence) ukur yang saling bebas — tiap nilai eigennya berlari dalam lombanya sendiri. Keadaan mapan Markov adalah [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) eigen dengan nilai eigen $1$, dan laju kekonvergenan pada pertanyaan 15 adalah nilai eigen berikutnya: jadi mesin cuaca itu sejak awal sebuah kisah eigen.

**20.** Pembukuan: satu sistem adalah satu [persamaan](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/2-aljabar-persamaan-dan-pertidaksamaan#def-g10-algebra-equation) [matriks](#def-g12-matrix-matrix), yang diselesaikan oleh satu balikan. Kombinatorika: pangkat [matriks ketetanggaan](#def-g12-matrix-graph) mencacah jalan, tautan, dan hubungan. Perubahan: pangkat mesinnya membawa keadaan menuju nasibnya, dan arah eigennya (yaitu arah emas milik Fibonacci, keadaan mapan cuaca, [vektor](https://one-course.com/books/math/2/id/chapter/15-vektor-dan-garis-pada-bidang#def-g11-vect-vector) peringkat milik jejaring) adalah nasib itu sendiri. Aljabar linear, di jilid universitas, adalah ilmu tentang justru hal ini.